高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法(一)——法向量

r
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
r ∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
方法小结
12
问题:如何求平面的法向量? r
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
r
r
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
uuuur uuur
uuuBur1OguAuuEr
(1,1,
uuuur
2)g(0,
uuur
2,1)
1
0
1
2
2
1
0
B1O AC B1O AE
即B1O⊥AC，B1O⊥AE，又ACI
B1O⊥平面EAC
2
AE=A
立体几何中的向量方法(一)
前面,我们把 平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
向
量
OP 来表示，我们把向量 OP 称为点 P 的位置向
量.
P ⑵直线
P
空间中任
r
意一条直线 l
a
的位置可以由
O
l 上一个定点
B A 以及一个定
A
方向确定.
4
⑵直线
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一
个定点 A 以及一个定方向确定.
r a
P
对于直线 l 存在实数 t 使得
上的任一点
uuur uuur AP t AB
立体几何中的向量方法(一)
1
例题 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，且AC与BD交于点 O，E为棱DD1的中点。求证：B1O⊥平面EAC。
解：如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系 z
A-xyz，则A（0，0，0）,B（2，0，0）， C（2，2，0），D（0，2，0）E（0，2，1），
；
2
ab
rr
直线 l 与平面
所成的角为 ( 0 ≤
≤
), sin
au rr
；
2
au
rr
uv
二面角 ─l ─ 的大小为 ( 0≤ ≤ ), cos r r .
画出图形意会
uv
以上思考在今后的解题中会经常用到,注意体会.
11
问题:已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的
平面的一个法向量?
C(0,0在, 2)空,试间直 求角平面坐标AB系C 中 的,一已个知法rA向(3量,0.,0n)r, B(0(,44,,03),,6)
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
3
(课本第 111 页)思考 1：
怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
⑴点 在空间中，我们取一定点 O 作为基点，
那么 uuur
空间中
任
意一点
P
的位 uuur
置
就
可以用
面面平行 ∥ u ∥ v u kv.
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合.
画出图形意会
9
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
rr 的法向量分别为 u, v ，则
r r rr
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
rr 的法向量分别为 u, v ，则
8
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
rr 的法向量分别为 u, v ，则
rr r r 线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；
r r rr
线面平行 l ∥ a u a u 0 ； rr r r
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
A
2.一个平面的所有法向量都
互相平r行;
3.向ur量n 是平面的法向量，向
量m 是与平r面ur平行或在平面
内，则有 7
nm
0
因为方向向量与法向量可以确定直线和平 面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向 向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的 平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的 方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关 系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向 量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及 它们二面角的大小吗？
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程Fra Baidu bibliotek
rr
组
n r
a r
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
13
练习:
uuur
uuur
1.已知 AB (2, 2,1), AC (4, 5, 3), 求平面 ABC 的单位
法向量.
解:设平面 r uuur
ArBCu的uur一个u法uur向量为
n
(
x
,uuyu,rz )
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
P
,
此方程称为直线的向量参数方程
B uuur uuur r uuur uuur uuur
OP OA ta 或 OP xOA yOB (x y 1）
A
⑶平面
r
P
b
r
O a
5
⑶平面
空间中平面 的位置可以由 内两条相
交直线来确定.
r n
r b
r
O a
P
对于平面 上的任一点 P ,
存在有序实数对 ( x, y) ,使得
A1
B1（2，0，2）
B1
D1 C1
E
Q
Ou是uuur正方形ABCD的中uu心ur ， uuBur1O (1,1, 2) AE
O（1，1，0）
A
(0, 2,1)
B
AC (2, 2, 0)
O
D y
C
uuuur uuur
x
B1OgAC (1,1,2)g(2,2,0) 12 12 20 0
rr r r
线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ； 面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
画出图形意会
10
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
rr
的法向量分别为 u, v ，则
rr
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤
), cos
ab rr
uuur r r
OP xa yb
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的 方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面 的位置.
6
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.