初中奥数讲义_代数证明附答案
初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)-第01章-代数基础知识
第一章代数式基础知识第一节用字母表示数1、什么是代数式用运算符号将数或者表示数的字母连接起来的式子，叫代数式。
单独一个数或字母也叫代数式。
代数式总能表达一个意思。
2、什么是单项式任意个字母和数字的积的形式的代数式。
一个单独的数或字母也叫单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
任何一个非零数的零次方等于“1”。
单项式分母中不含字母(单项式是整式，而不是分式）。
3、什么是多项式若干个单项式的和组成的式子叫做多项式。
多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。
不含字母的项叫做常数项。
4、循环小数化为分数纯循环小数：小数中除了循环节外没有其它小数。
如3.0 、82.0 、283.0 等。
混循环小数：小数中除了循环节外还有其它小数。
如1032.0 、1032.5 等。
例、纯循环小数化为分数。
（1）3.0（2）82.0（3）283.0 解：3.33.010 （1） 82.2882.0100 283.382283.01000 3.03.0 （2）82.082.0283.0283.0（1）－（2）得：（1）－（2）得：（1）－（2）得：33.0)110(2882.0)1100( 382283.0)11000( 9311033.0 992811002882.0999382283.0 例、混循环小数化为分数。
将（1）1032.0 、（2）1032.5 化为分数。
解：（1）设x 1032.0 ， 那么：103.210 x ；103.230110000 ＝x ；2230199901010000 x x x99902299x 。
∴ 999022991032.0 解：（2）设x 1032.0 ，则1032.5 ＝5＋x 51032.0 那么：103.210 x ；103.230110000 ＝x ； 2230199901010000 x x x99902299x ∴ 9990229951032.5 。
初中奥数经典代数部分精选
第一章 实数及代数式的运算和求值求解有关实数及代数式运算和求最值问题的基本方法1.整体代换方法 例1. 当219941+=x 时，多项式()20013199419974--x x 的值为 。
例2. 已知代数式19975213=++by ax ，当2=x 时，4-=y ；当4-=x ，21-=y 时，求代数式49862433+-by ax 的值。
例3. 已知1313+-=a ，则=+-+-4565234a a a a 。
例4. 若实数z y x ,,满足2005104,173=++=++z y x z y x 则分式zy x yx 2004200420043+++的值为 。
例5. 设0199719961995333>==xyz z y x ，，且,1997199619951997199619953333222++=++z y x 则=++zy x 111 。
2. 利用公式化简计算 例6. 计算下列分式的值：()()()()()()()()()()21996199321072852632412199719942118296274252+⨯⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+⨯例7. 乘积⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2231-121-1…⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2220001-119991-1等于 3. 换元法例8.=+++++++aa a a a a a a a a 9898939392929... ，其中a >0.例9. 计算2-316-2-324++。
例10. 已知k a a a a a a a a a a a a a a a a =++=++=++=++4321342124311432，求k 的值。
求和方法1.逆序相加法例11.计算=++++++++50009900-9999...5000300-335000200-225000100-1122222222 2.裂项抵消求和方法例12. 计算=+⨯+++⨯++⨯++⨯8102961 (882187118601)例13. 计算：（1）1×2+2×3+3×4+…+n(n+1);（2）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)(n+2) 注：用类似方法可证明：()()()()()()()()()121111212154314321321⨯⨯⋅⋅⋅⨯-+⨯+⋅+=-+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⨯+⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯++⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯+⨯-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯k n k n k k n n n n k k k k k k ;2. 公式法 例14. 计算（1）; (3212)222n ++++（2）....3213333n ++++4.典型例题解题思维策略分析例15. 设215-=a 则，=-+---+a a a a a a 3234522a 例16. 已知333124++=a ，那么=++32133a a a 例17. 数10021,...,,x x x 满足下列条件：对于k x k ,100,...,2,1=比其余99个数之和小k ，则25x 的值为例18. 若0≠=++abc c b a 计算()()()()()()abb a ca ac bc c b 22222211111-1--+--+-的值例19. 设10098981001...10881018668164461++++++++=S 则S =课后练习1. 已知实数y x ,满足()()20082008200822=----y y x x ，则2007332322--+-y x y x 的值为2. 已知132=+-a a 则，2219294a a a ++--的值为 3. 已知zy x ,,满足x z z y x +=-=532，则zy y x 25+-的值为 4. 计算：()()()()()()()()()()=++++++++++6435642764196411643643964316423641564744444444445. 已知d c b a ,,,是四个不同的有理数，且()()1a c a d ++=，()(),1=++d b c b 则()()=++c b c a6. 已知,0142=++a a 且32212324=+++-ama a ma a ，求m 的值。
奥数讲义-第2讲代数⑵-希望杯教师版
【解析】答案：C
先从丁开始分析．丁拿的两张纸上的数字的商是3，
这两个数字一定是1和3、2和6、3和9中的一对．
若丁拿的两张纸上的数字是1和3，由丙拿的两张纸上的数字的积是24，可知这两个数字应是4和6．甲拿的两张纸上的数字的和是10，这两个数字应是2和8．现在剩余5、7、9，都不符合乙的情况，这种拿法舍去．
解2如图34， 表示甲单独完成工程所用的时间，根据比例关系得
，
所以 ．
表示实际完成这项工程所用的时间，根据比例关系得
，
所以 ．
因此，实际所用的时间比甲单独完成所有的时间少12天，选（D）．
习题1.（第19届希望杯初试）初二⑴班有 名同学，其中男同学 名，将他们编成1号、2号，…， 号．在寒假期间，1号给3名同学打电话，2号给4名同学打电话，3号给5名同学打电话，…， 号同学给一半同学打电话，由此可知该班女同学的人数是（）
（个）．
因此，满足题意的四位数一共有
（个）．
故选（C）．
【例12】（第20届希望杯培训题）某人出门时看了一下家里的时钟，时刻是晚上6时多，不到6点半，而且时针与分针恰好成直角，过了一段时间后回家，再看一下时钟，已经是晚上7时多，过了7点半而且时针与分针仍成直角，那么他出门在外的时间是（）
A．1小时30分钟B．1小时36分钟
A．22 B．24 C．25 D．26
【解析】D
习题2.（第19届希望杯第一试）一次函数 的图象经过点 和 ，则在该图象和坐标轴围成的三角形内，横坐标和纵坐标都是正整数的点有（）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【解析】A
习题3.（第19届希望杯第一试）有一个运算程序，可以使：当 （ 为常数）时，得 ．现在，已知 ，那么 ________．
奥数讲义-第1讲代数⑴-希望杯学生版
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩数论整式与因式分解分式根式考点一：数论1． 考察内容：⑴ 完全平方数：考察解完全平方数问题的基本模型；⑵ 整除：考察整除的性质，余数，商，最大公约数、最小公倍数等内容． ⑶ 分数：关于最简分数或最简分数与完全平方数的结合．2． 需要掌握的基本知识、方法质数：⑴ 1不是质数，也不是合数；2是惟一的偶质数．⑵ 若质数|p ab ，则必有|p a 或|p b ．⑶ 若正整数,a b 的积是质数p ，则必有a p =或b p =完全平方数：解完全平方数问题的一个基本模型：2m k a +=，2m h b +=（m ，a ，b 为未知数，k ，h 为常数） 两式相减可得，()()a b a b k h +-=-然后将k h -分解成几个整数的乘积的形式来求解a ，b 的值．【例1】 ⑴（第20届希望杯培训题）从1到2009这2009个自然数中，数码和等于18的数有_______个．⑵（第20届希望杯培训题）若2821-能被110与130之间的三个自然数整除，那么这三个自然数分别是_________．【例2】 ⑴（第20届希望杯培训题）若对于任意的自然数n ，213n a ++都是8的倍数，那么满足条件的最第1讲希望杯专题——代数（一）小的自然数a 是________．⑵（第17届”希望杯”试题）已知m n l ，，都是两位正整数，且它们不全相等，它们的最小公倍数是385，则m n l ++的最大值是__________，最小值是__________．【例3】 ⑴ （2007年”希望杯”初赛试题）若n 是质数，且分数417n n -+不约分或经过约分后是一个最简 分数的平方，则n =_____或_________．⑵ （2008年”希望杯”培训题）已知k 是正整数，且12007k ≤≤，分数2008kk+是最简分数，那么这样的最简分数有_________个．【例4】 （第14届”希望杯”初试）已知p ，q 都是质数，以x 为未知数的方程597px q +=的根是1，则401014p q ++的值是_________．【例5】 ⑴（2007年”希望杯”试题）Let A abcd = be a four –digit number ．if 400abcd is a square ofan integer ，then A =_______or________．⑵（第16届”希望杯”试题）A ，n 都是自然数，且21526A n n =++是一个完全平方数，则n 等于__________．考点二：整式与因式分解1． 考察内容：乘法公式：主要考察常见的平方差、完全平方、立方和、立方差等公式； 因式分解：提取公因式、公式法、十字相乘、分组分解．2． 需要掌握的基本知识、方法 整式的乘除 ： ⑴ 课外公式：① 3()a b +=322333a a b ab b +++② 3()a b -=322333a a b ab b -+- ③ ()()x a x b ++=2()x a b x ab +++ ④ ()()ax b cx d ++=2()acx ad bc x bd +++ ⑵ 乘法公式的变形：① 22a b +=22()2()2a b ab a b ab +-=-+② 2()a b +=2()4a b ab -+ ③ 2()a b -=2()4a b ab +- ④ 22()()a b a b ++-=222()a b + ⑤ 22()()a b a b +--=4ab ⑥ 3()a b +=333()a b ab a b +++ ⑦ 33a b +=3()3()a b ab a b +-+⑧ 3()a b -=33()3()a b ab a b --- ⑶ 完全平方公式的推广：① 2()a b c ++=222222a b c ab bc ca +++++② 2()a b c d +++=2222222222a b c d ab ac ad bc bd ca +++++++++【例6】 （第20届希望杯培训题）两位同学将同一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(1)(9)x x --，另一位同学因看错了常数项而分解成2(2)(4)x x --，则将原多项式分解因式后，正确的结果应该是_________．【例7】 （第20届希望杯培训题）下列各图中表示的a ，b 的位置关系，能使10ab a b -+-<成立的是（ ）(A)b 10a-1(B)-1a 01b (C)-1a 01b (D)-1a 01b【例1】 ⑴ （2008年”希望杯”培训试题）设,x y 是整数，且1x ≠±，1y ≠±，()(2)(1)x y x y xy xy +++++ (1)0xy -=，则由,x y 组成的实数对(,)x y 的个数是 （ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ．4⑵ （第16届”希望杯”试题）已知a 是整数，x ，y 是方程210x xy ax ay --++=的整数解，则x y -=_______或_________． 【例2】 （第15届”希望杯”试题）已知,,x y z 是三个互不相同的非零实数，设222a x y z =++，b xy yz zx =++，222111c x y z =++，111d xy yz zx=++，则a 与b 的大小关系是________，c 与d 的大小关系是________．考点三：分式1．考察内容⑴ 分式的概念及性质：① 分式的分子可以含有字母，但分母必须含有字母 ② 分母不为零的条件是分式概念的组成部分③ 分式值为零的条件，只有在分式有意义的前提下，才讨论分式的值，故分式值为零的条件是：分子为零且分母不为零2． 需要掌握的基本知识、方法 ⑴ 比例性质、引参法； ⑵ 分式的化简求值．⑶ 分式运算中的技巧：根据题目的特点恰当地通分，并以整式变形、因式分解为工具进行运算 ⑷ 有条件的分式的化简与求值技巧： ① 恰当引入参数进行换元； ② 取倒数或利用倒数关系； ③ 拆项变形或拆分变形； ④ 整体代入；⑤ 利用比例性质等【例8】 ⑴（第20届希望杯培训题）已知0a b c ++=，0abc ≠，则222222222111a b c b c a c a b ++=+-+-+-____________． ⑵（2007年培训题）设正数a ，b ，c ，x ，y 满足：a c ≠，6223x y +=，222221x xy y a b c++=，222221x xy y c b a ++=，则代数式 222111a b c++的值为 ．【例9】 ⑴（第20届希望杯培训题）已知x ，y ，z 为实数，且1111x y z ++=，333827216x y z ==，那么x =_________，y =__________，z =______________．⑵ (第11届”希望杯”2试) 已知9p q r ++=，且222p q r x yz y zx z xy ==---， 则px qy rzx y z++++等 于_________（A ）9 （B ）10 （C ）8 （D ）7考点四：根式和幂1．考察内容⑴ 数的开方的概念：平方根、立方根、算术平方根⑵ 注意：① 一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根② 正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0 ③ 非负数才有算术根；算术根一定是非负数⑶ 根式的化简技巧：（1）有理化；（2）配方法；（3）待定系数法2．需要掌握的基本知识、方法⑴ 根式的相关知识：平方根、算术平方根、立方根、n 次方根等．⑵ 二次根式的化简求值方法：①直接代入法 ②简化条件法 ③配方法 ④方程法 ⑤换元法等 ⑶ 关于求2a b ±的算术平方根① 一般设2a b ±=2()x y ±（0x y >>），其中x y axy b +=⎧⎨=⎩，通过解方程组就可以求出,x y ．即2a b ±=x y ±；② 可通过构造对偶式的方法整体处理．例如化简A B +，就可构造A B -．设m A B A B =++-，n A B A B =+--，则1()2A B m n +=+，1()2A B m n -=-【例10】 （第20届希望杯培训题）已知412009x =，492009y =，则11x y+的值等于（ ） A ．12B ．1C ．32D ．2【例11】 （第15届”希望杯”初试）[]x 表示不大于的最大整数，如[3.15]3=，[ 2.7]3-=-，[4]4=，则1223...20032004________1002⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯+⨯++⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦=（A ）1001 （B ）2003 （C ）2004 （D ）1002【例12】 ⑴ (“希望杯”培训题)计算423423-++=_________．⑵（2007年”希望杯”培训题）化简132527235+++【例13】 ⑴（第20届希望杯培训题）计算：2009201120132015165⨯⨯⨯++=________________．⑵ (第9届“希望杯”2试)化简199819992000200114⨯⨯⨯+⑶（第15届”希望杯”初试）化简121212...12322-----(共有n 重根号)的结果是_____习题1. 使方程32200x y +=成立的正整数对()x y ，有（ ）**个 B.33个 C.30个 D.18个习题2. 已知a b c ，，都是正整数，且2008abc =，则a b c ++的最小值为________.习题3. （第20届希望杯培训题）若代数式32222mx x x m +-+有因式1x -，则m 的值是__________．习题4. （2008年”希望杯”培训题）已知五位数88***能被2008整除，则所得的商是 （ ）A ．36B ．41C ．46D ．151习题5. （2008年”希望杯”培训题）分解因式：11()()()m n m n m n m n n a ab a ab a b ab a b +++--+=_______．习题6. （第20届希望杯培训题）若0x >，0y >，且20x xy y +-=，则2009[(23)()()]x y x y x y -+-的值等于__________．习题7. （第20届希望杯培训题）若1xy =，则代数式44114x y +的最小值是___________．习题8. （第17届”希望杯”初试）已知221x =+，则分式23291115x x x x ----的值等于____习题9. （2007年”希望杯”试题）如果实数a b ≠，且101101a b a b a b ++=++，那么a b +的值等于 ．。
初中数学竞赛代数专题讲义之代数式求值含例题习题及详解
代数式求值由数与字母经有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所组成的表达式叫做代数式。
已知一个代数式，把式中的字母用给定数值代替后，运算所得结果叫做在字母取给定数值时代数式的值。
一、专题知识1.基本公式（1）立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+（2）立方差公式：2233()()a b a ab b a b-++=-（3）完全立方和：33223()33a b a a b ab b +=+++（4）完全立方差：33223()33a b a a b ab b -=-+-2.基本结论（1）33322()33a b a b a b ab +=+--（2）33322()33a b a b a b ab -=-+-（3）22()()4a b a b ab-=+-二、经典例题例题1已知y z x z x yx y z+++==求代数式y z x +的值。
【解】（1）0x y z ++≠，由等比性质得2()2x y z y zx y z x+++==++；（2）0x y z ++=，则y z x +=-，所以1y zx+=-。
例题2已知234100x y +-=，求代数式y x x y xy y x x 65034203152223--++++的值。
【解】32221532043506x x y xy y x x y++++--322222215205034103410105(3410)(3410)(3410)1010x xy x x y y y x y x x y y x y x y =+-++-++-+=+-++-++-+=例题3实数,,a b c满足条件：231224a b ab -=+=-，求代数式2a b c ++的值。
【解】22222442318224a b a ab b ab c ab ⎧-=⇒-+=⎪⎨+=-⇒+=-⎪⎩两式相加得，()2220a b ++=只有2=0a b +且0c =，所以20a b c ++=。
代数式求值讲义稿及答案精品
代数式求值（讲义）一、知识点睛1．整式加减：___________________________________________2．整体代入：___________________________________________3．数位表示： __________________________________________二、精讲精练【板块一】整式加减1. 化简：()222518464(1)24m m m m m ⎡⎤---+--⎢⎥⎣⎦.2. 化简：22225111124244228a b a b ab ab a b ab ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.3. 若关于x 、y 的多项式2mx 2-x 2+5x +8-(7x 2-3y +5x )的值与x 无关，求m 2-[2m 2-(5m -4)+m ]的值．4. 化简：3(a +b )2-2(a +b )2-(a +b )-(a +b )2+3(a +b )+1.【板块二】整体代入5.若a2+2a=1，则代数式2(a2+2a)3-5(a2+2a)-7的值是.6.若252m nm n-=+，则代数式3(2)2322m n m nm n m n-+-++-的值是.7.若代数式2a2+3b的值是6，则代数式4a2+6b+8的值是_____.8.若x3-4x+4=0，则代数式3x3-12x+10的值是_______.9.当x=1时，代数式px3+qx+1的值是2012；则当x=-1时，代数式px3+qx+1的值是________.10.当x=7时，代数式ax3+bx-5的值是7；则当x=-7时，代数式ax3+bx-5的值是_______.11.当x=2时，代数式ax3-bx+1的值是-17；则当x=-1时，代数式12ax-3bx3-5的值是_______.【板块三】数位表示12.一个三位数，中间数字为9，百位上数字为a，个位上数字是b，用代数式表示这个三位数是______________________.13.一个三位数，个位数字为a，十位数字比个位数字大b，百位数字比个位数字的平方小2，用代数式表示这个三位数是______________________.14.若a表示一个两位数，b表示一个一位数，把b放在a的左边组成一个三位数，则这个三位数用代数式可表示为______________________.15.若x表示一个两位数，y表示一个三位数，把x放在y的左边组成一个五位数，则这个五位数用代数式可表示为______________________.16.一个两位数，十位上的数字为x，个位上的数字为y，交换这个两位数十位上的数字和个位上的数字，得到一个新的两位数，这两个两位数的差能被9整除吗？说明理由.三、回顾与思考______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．①去括号；②合并同类项．2．①做判断（无法求出单个字母值时考虑整体代入）；②找整体；③巧表示（含有字母的项放到等号左边，不含字母的项放到等号右边）.3．①画数位表；②找计数单位．二、精讲精练1．-9m-2；2．2ab2；3．-4；4．2a+2b+1；5．-10；6．4175（895）；7．20；8．-2；9．-2010；10．–17；11．22；12．100a+b+90；13．100a2+11a+10b-200；14．100b+a；15．1000x+y；。
初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b22 23（1（24由（由5（a+b（a－a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
二．例题精选例1．已知x、y满足x2+y2+54=2x+y,求代数式xyx y的值。
例2．整数x,y满足不等式x2+y2+1≤2x+2y,求x+y的值。
例3．同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:•第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b; 乙商场:两次提价的百分率都是2a b+(a>0,•b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,•则哪个商场提价最多?说明理由. 例4．计算:(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1；(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452.例5222()例6例7例8数.12A.x 3A 45(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________。
6．已知a+1a=5,则=4221a a a ++=_____。
7．已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______.8．已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a ba b +-=_____.9．若代数式b x x +-62可化为1)(2--a x ，则b ﹣a 的值是． 10．已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数.证明:(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数. 参考答案： 一．例题精选例1．提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12,原式=13例2．原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x 、y 为整数,(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,•10x -=11x -=±10x -=解得x y =⎧⎨⎩例3例4．(2)设例5． 例6．P ＜Q ；差值法：P -例7．例8因(x 12+x 22+…+x 102)-(y 12+y 22…+y 102)=(x 12-y 12)+(x 22-y 22)+…+(x 102-y 102) =(x 1+y 1)(x 1-y 1)+(x 2+y 2)(x 2-y 2)+…+(x 10+y 10)(x 10-y 10) =9[(x 1+x 2+…+x 10)-(y 1+y 1+…+y 10)]=0二．同步练习9．121)(222-+-=--a ax x a x ，这个代数式于b x x +-62相等，因此对应的系数相等，即﹣2a ＝﹣6，解得a ＝3，b a =-12，将a ＝3代入得b ＝8，因此b ﹣a ＝5． 10．解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又c+b 与c-b 同奇同偶,c+b>c-b,故a•不可能为偶质数2,a应为奇质数,c+b与c-b同奇同偶,b与c必为一奇一偶.(2)c+b=a2,c-b=1,两式相减,得2b=a2-1,于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.。
15年八年级数学同步培优竞赛详附答案：第二十三讲-代数证明
名师第二十三讲 代数证明代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系．在初中阶段，要证的等式一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明．恒等式的证明常用的方法有： (1)由繁到简，从一边推向另一边；(2)从左右两边人手，相向推进；(3)作差或作商证明，即证明：左边一右边=0，)0(1≠=右边右边左边． 条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换，证明的关键是寻找条件与结论的联系，既要注意已知条件的变换，使之有利于应用；又要考虑求证的需求情况，使之有利于与已知条件的沟通．代数证明不同于几何证明，几何证明有直观的图形为依托，而代数证明却取决于代数式化简求值变形技巧、方法和思想的熟练运用．例题求解【例1】(1)求证：aa z a y a x a az za ay ya ax x3111222+-+-+-=-+-+- （2）求证：)1)(1)(1(4)1()1()1(222abab b b a a ab ab b b a a ++++=+++++． 思路点拨 (1)从较复杂的等式左边推向等式右边，注意左边每个分式分子与分母的联系；(2)等式两边都较复杂，对左、右两边都作变形或作差比较．注 如果一个等式的字母在条件允许范围内的任意一个值，使得等式总能成立，那么这个等式叫做恒等式．把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子，这种变形叫做恒等变形，形变值不变是恒等变形的特点．代数式的化简求值、代数证明其实质都是作恒等变形，分解、换元、引参、配方、分组、拆分，取倒数等是恒等变形常用的技巧与方法．【例2】 已知b a y x +=+，且2222b a y x +=+．求证：2001200120012001b a y x +=+．(黄冈市竞赛题)思路点拨 从完全平方公式入手，推出 x 、y 与a 、b 间关系，寻找证题的突破口．【例3】 有18支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用i a 和i b ，分别表示第i(I=1，2，3…18)支球队在整个赛程中胜与负的局数．求证：21822212182221b b b a a a +++=+++ ．(天津市竞赛题)思路点拨 作差比较，明确比赛规则下隐含的条件是证题的关键．【例4】 已知333cz by ax ==，且1111=++z y x ． 求证：3333222c b a cz by ax ++=++．思路点拨 条件中有一个连等式，恰当引入参数，把待证式两边都变形为与参数相同的同一个代数式． 【例5】 已知0≠abc ，证明：四个数abc c b a 3)(++、abc a c b 3)(--、abc b a c 3)(--、abcc b a 3)(--中至少有一个不小于6．(北京市竞赛题)思路点拨 整体考虑，只需证明它们的和大于等于24即可．注 证明条件等式的关键是恰当地使用条件，常见的方法有：(1)将已知条件直接代入求证式；(2)变换已知条件，再代入求证式；(3)综合变形巳知条件，凑出求证式；(4)根据求证式的需求，变换已知条件，凑出结果等．不等关系证明类似于等式的证明，在证明过程中常用如下知识：(1)若A —B>0，则A>B ；(2)若A —B<0，则A<B ； (3)ab b a 222≥+；(4)21≥+xx （x>0）； (5)若M a a a >+++ 21，则n a a a 、、、 21中至少有一个大于n M ． 学力训练1．已知b a b a P +-=，cb c b q +-=，r=a c a c +-，求证：)1)(1)(1()1)(1)(1(r q p r q p ---=+++． 2．已知1=++c z b y a x ，0=++z c y b x a ．求证：1222222=++cz b y a x ． 3．已知：)(3)(2a c a c c b c b b a b a -+=-+=-=，求证：0598=++c b a ． 4．设43239-的小数部分为b ，求证：b b 1243239+=-． 5．设x 、y 、z 为有理数，且(y —z)2+( x －y)2+(z —x)2=(y+z －2x)2+(z+x －2y)2+(x+y —2z)2，求证：1)1)(1)(1()1)(1)(1(222=++++++z y x xy zx yz ．(重庆市竞赛题)6．已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：a ：b ：c=1：2：3．7．已知11111=++=++zy x z y x ，求证：x 、y 、z 中至少有一个为1． 8．若z y x t y x t z x t z y t z y x ++=++=++=++，记zy x t y x t z x t z y t z y x A +++++++++++=，证明：A 是一个整数． (匈牙利竞赛题)9．已知0=-+-+-b a c a c b c b a ，求证：0)()()(222=-+-+-b a c a c b c b a ． 10．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p 倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的q 倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的x 倍，求证：12-++=pq q p x ． (天津市竞赛题)11．设a 、b 、c 均为正数，且1=++c b a ，证明：9111≥++c b a ． 12．如果正数a 、b 、c 满足b c a 2=+，求证：a c cb b a +=+++211．(北京市竞赛题)13．设a 、b 、c 都是实数，考虑如下3个命题：①若02>++c ab a ，且c>1，则0<b<2；②若c>1且0<b<2，则02>++c ab a ；③若0<b<2，且02>++c ab a 0，则c>1．试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否定． (武汉市选拔赛试题)。
奥数讲义-第2讲代数⑵-希望杯学生版
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩方程与不等式一次函数与反比例函数杂题应用题考点一：方程与不等式1．分式方程 2．绝对值方程 3．一次不等式【例1】 （第20届希望杯培训题）方程22(2008)(2007)1x x -+-=的解为___________．【例2】 （第20届希望杯培训题）对于实数x ，用[]x 表示不大于x 的最大整数，记{}[]x x x =-．已知当12x <≤时，有{}x ax b =+，且a ，b 为常数，则a =________，b =_________．【例3】 ⑴（第20届希望杯培训题）若6a b c ++=，23a b c -+=，且0b c ≥≥，那么a 的最大值与最小值分别是（ ）A ．3和0B ．6和32C ．3和32D ．6和0⑵ （第20届希望杯培训题）已知3a ≤，1b ≤，4c -≤，如果8a b c +-=，则abc =___________．第2讲希望杯专题——代数（二）【例4】 ⑴（第20届希望杯培训题）若不等式组302(1)0x a x a +<⎧⎨-+>⎩的解集为空集，则a 的取值范围是_________．⑵ （2007“希望杯”试题）分式方程 225111mx x x +=+--会产生增根，则m = 或 ．【例5】 （第20届希望杯培训题）若正整数a ，b 使等式()(1)20092a b a b a ++-+=成立，求a 和b 的值．考点二：一次函数与反比例函数1．一次函数与反比例函数的基础知识； 2．一次函数与反比例函数的交点； 3．求一次函数反比例函数的解析式；4．一次函数、反比例函数与三角形、四边形知识的简单综合．【例6】 ⑴（第20届希望杯培训题）Given m is a real number ， in the system of coordinates of right angle ，if point (32)P m m -+， does not belong to any quadrant ， then point (34)P m m '+-， is in ( )A ．the first quadrantB ．the second quadrantC ．the third quadrantD ．the fourth quadrant（英汉词典：belong to 属于；quadrant 象限）⑵ （2008年“希望杯”培训题）若一次函数1y a x =-与22008y x a =+的图像的交点在第三象限，则实数a 的取值范围是_________．【例7】 ⑴ （第20届希望杯培训题）已知一次函数y kx b =+的自变量x 的取值范围是36x -≤≤，相应的y 的取值范围是52y --≤≤，那么k b +的值是________或________． ⑵ (第16届“希望杯”初试)在式子y kx b =+（k b ，为常数）中，当31x -≤≤时，19y ≤≤，则2k b - 的值为 或 ．【例8】 （第20届希望杯培训题）Given 32()f x ax bx cx d =+++，if when x takes the value of its inversenumber ， the corresponding value of ()f x is also the inverse number ， and (2)0f =， then c da b+=+________．【例9】 （第20届希望杯培训题）如图25，已知()0(123)nA n n =，，，，是直角坐标系横轴上的一系列点，线段1n n A A +的垂直平分线交函数1xy =的图象于点n B ，设点n B 到横轴的距离为n l ，则122009l l l +++=____________．考点三：杂题【例10】 （第20届希望杯培训题）九张纸上各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张纸上的数字的和是10，乙拿的两张纸上的数字的差是1，丙拿的两张纸上的数字的积是24，丁拿的两张纸上的数字的商是3，最后剩下的一张纸上的数字是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【例11】 （第20届希望杯培训题）用0、1、2三个数码组成四位数，这三个数码中的每一个至少出现一次，这样的四位数共有（ ） A ．52个 B ．26个 C ．24个 D ．20个【例12】 （第20届希望杯培训题）某人出门时看了一下家里的时钟，时刻是晚上6时多，不到6点半，而且时针与分针恰好成直角，过了一段时间后回家，再看一下时钟，已经是晚上7时多，过了7点半而且时针与分针仍成直角，那么他出门在外的时间是（ ） A ．1小时30分钟 B ．1小时36分钟C ．1小时42011分钟D ．1小时36011分钟考点四：应用题【例13】 （第20届希望杯培训题）一桶油，连桶带油的质量为21千克，先用掉一半的油，再用掉剩下的连油带桶质量的一半的油，这时剩下的油连桶的质量为6千克，则原来桶里油的质量是_________千克．【例14】 （第20届希望杯培训题）甲、乙两个工程队共同建设某项工程，先是甲单独做10天，然后乙队加入合作，完成剩下的全部工程．设工程总量为单位1，工程进度满足如图8所示的函数关系，那么实际完成这项工程所用的时间比由甲单独完成这项工作所用的时间少（ ） A ．15天 B ．14天 C ．13天 D ．12天图 8O工作量天数16101 4121 图 25OyxA n+1A nl n B n习题1. （第19届希望杯初试）初二⑴班有48名同学，其中男同学n 名，将他们编成1号、2号，…，n号．在寒假期间，1号给3名同学打电话，2号给4名同学打电话，3号给5名同学打电话，…，n 号同学给一半同学打电话，由此可知该班女同学的人数是（ ） A ．22 B ．24 C ．25 D ．26习题2. （第19届希望杯第一试）一次函数y kx b =+的图象经过点()05，和()40B ，，则在该图象和坐标轴围成的三角形内，横坐标和纵坐标都是正整数的点有（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个习题3. （第19届希望杯第一试）有一个运算程序，可以使：当m n k ⊗=（k 为常数）时，得()()1112m n k m n k +⊗=-⊗+=+，．现在，已知112⊗=，那么20072007⊗=________．习题4. （第20届希望杯培训题）已知关于x 的方程5514228x x a -=+，当a 取某些自然数时，方程的根是自然数，则满足条件的a 的最小值是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8习题5. ⑴（第15届“希望杯”试题）方程31121x x x --+=+的解是_______或________．⑵（第18届“希望杯”试题）关于x 的不等式123x x -+-≤的所有整数解的和是 ．习题6. （第20届希望杯培训题）不等式20096200923x x +>+的解集是___________．习题7. （第20届希望杯培训题）若关于x 的方程1322a xx x-=---无解，那么实数a =________．习题8. （第20届希望杯培训题）由一次函数2y x =+，25y x =-+和x 轴围成的三角形的面积等于________．习题9. （第20届希望杯培训题）已知一次函数(3)2y m x =--的图象不经过第二象限，一次函数(4)3y m x =-+的图象不经过第三象限，化简：2281696m m m m -+-+-=____________．图 50-2123-154321O y=-2x+5y=x+2x y。
奥数基础讲座 二次函数(含解答)-
二次函数讲座问题选讲1．二次函数y=ax 2，y=a （x-h ）2，y=a （x-h ）2+k ，y=ax 2+b x+c （各式中，a ≠0）•的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：2．抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象；当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，•对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a ，244ac b a-）． 3．抛物线y=a x 2+bx+c （a ≠0），若a>0，当x ≤-2b a 时，y 随x 的增大而减小；当x ≥-2b a时，y•随x 的增大而增大．若a<0，当x ≤-2b a 时，y 随x 的增大而增大；当x ≥-2b a 时，y 随x 的增大而减小． 4．抛物线y=a x 2+bx+c 的图象与坐标轴的交点：（1）图象与y 轴一定相交，交点坐标为（0，c ）；（2）当△=b 2-4ac>0，图象与x 轴交于两点A （x 1，0）和B （x 2，0），其中的x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根．这两点间的距离AB=│x 1-x 2│． 当△=0，图象与x 轴只有一个交点；当△<0，图象与x 轴没有交点．当a>0时，图象落在x 轴的上方，x 为任何实数，•都有y>0；当a<0时，图象落在x 轴的下方，x 为任何实数时，都有y<0．5．用待定系数法求二次函数的解析式（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x 、y 的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=a x 2+bx +c （a ≠0）．（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=•a （x-h ）2+k （a ≠0）．（3）当题给条件为已知图象与x 轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）．6．二次函数知识很容易与其他知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目．因此，以二次函数知识为主的综合性题目是热点考题，往往以大题形式出现．例题剖析例1 （2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题）作抛物线A关于x•轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2-1，则抛物线A所对应的函数表达式是（）（A）y=-2（x+3）2-2; （B）y=-2（x+3）2+2;（C）y=-2（x-1）2-2; （D）y=-2（x-1）2+2例2 （2006年全国初中数学竞赛（海南赛区））根据下列表格的对应值，判断方程a x2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）一个解x的范围是（）（A）3<x<3.23 （B）3.23<x<3.24（C）3.24<x<3.25 （D）3.25<x<3.26例3 （2006年芜湖市鸠江区初中数学竞赛试题）函数y=ax2+bx+c图象的大致位置如右图所示，则ab，bc，2a+b，（a+c）2-b2，（a+b）2-c2，b2-a2等代数式的值中，正数有（）（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个例4 （2004年河北省初中数学创新与知识应用竞赛决赛试题）一条抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（4，-11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（）（A）只有a （B）只有b （C）只有c （D）只有a和b例5 （2006年“信利杯”全国初中数学竞赛（广西赛区）初赛试题）设b>0，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列图象之一，则a的值是（）（A）1 （B）-1 （C(D例6 （2006年芜湖市鸠江区初中数学竞赛试题）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（-1，0）•，•则S=•a+•b+•c•的值的变化范围是__________．例7 （2005年全国初中数学竞赛试题）Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C•均在抛物线y=x 2上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（ ）（A ）h<1 （B ）h=1 （C ）1<h<2 （D ）h>2例8 （1993年江苏初中数学竞赛试题）已知mn 是两位数，二次函数y=x 2+mx+n•的图象与x 轴交于不同的两点，这两点间距离不超过2．（1）求证：0<m 2-4n ≤4；（2）求出所有这样的两位数mn ．例9 （1997年天津市初中数学竞赛试题）已知函数y=x 2-│x │-12的图象与x 轴交于相异两点A ，B ，另一抛物线y=ax 2+bx+c 过点A ，B ，顶点为P ，且△APB 是等腰直角三角形，求a ，b ，c ．例10 （2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题）已知二次函数y=x 2+2（m+1）x-m+1．（1）随着m 的变化，该二次函数图象的顶点P 是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由．（2）如果直线y=x+1经过二次函数y=x 2+2（m+1）x-m+1图象的顶点P ，求此时m 的值．例11 （2004年河北省初中数学创新与知识应用竞赛决赛试题）通过实验研究，•专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平衡的状态，随后开始分散．学生注意力指标数y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示（y•越大表示学生注意力越集中）．当0≤x ≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤x ≤20和20≤x≤40时，图象是线段．（1）当0≤x ≤10时，求注意力指标数y 与时间x 的函数关系式；（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟．问老师能否经过适当安排，•使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36．例12 （2006年全国初中数学竞赛（海南赛区））已知A 1、A 2、A 3是抛物线y=12x 2上的三点，A 1B 1、A 2B 2、A 3B 3分别垂直于x 轴，垂足为B 1、B 2、B 3，直线A 2B 2交线段A 1A 3于点C ．（1）如图（a ），若A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA 2的长；（2）如图（b ），若将抛物线y=12x 2改为抛物线y=12x 2-x+1，A 1、A 2、A 3•三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA 2的长；（3）若将抛物线y=12x 2改为抛物线y=ax 2+bx+c ，A 1、A 2、A 3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA 2的长（用a 、b 、c 表示，并直接写出答案）．例13 设抛物线C 的解析式为y=x 2-2kx+）k ，k 为实数．（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴方程（用k 表示）；（2）任意给定k 的三个不同实数值，请写出三个对应的顶点坐标，试说明当k•变化时，抛物线C 的顶点在一条定直线L 上，求出直线L 的解析式并画出图象；（3）在第一象限有任意两圆O 1、O 2相外切，且都与x 轴和（2）中的直线L 相切，设两圆在x 轴上的切点分别为A 、B （OA<OB ），试问：OA OB是否为一定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； （4）已知一直线L 1与抛物线C 中任意一条都相截，且截得的线段长都为6，求这条直线的解析式．巩固练习一、选择题1．直线y=52x-2与抛物线y=x 2-12x 的交点个数是（ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）互相重合的两个 2．关于抛物线y=a x 2+bx+c （a ≠0），下面几点结论中，正确的有（ ）①当a>0时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边y 随x 的增大而增大，•当a<0时，情况相反．②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点．③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同．④一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的根，就是抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交点的横坐标．（A ）①②③④ （B ）①②③ （C ）①② （D ）①③④3．若函数y=a x的图象经过点（1，-2），那么抛物线y=ax 2+（a-1）x+a+3的性质说得全对的是（ ） （A ）开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与正半y 轴相交（B ）开口向下，对称轴在y 轴左侧，图象与正半y 轴相交（C）开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与负半y轴相交（D）开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与负半y轴相交4．函数y=a x2与y=ax（a<0）在同一直角坐标系中的大致图象是（）5．如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于A点，与x轴正半轴交于B，C两点，且BC=3，S△ABC=6，则b的值是（）（A）b=5 （B）b=-5 （C）b=±5 （C）b=4（第5题）（第5题）6．不论x为何值，函数y=ax+bx+c（a≠0）的永远小于0的条件是（）（A）a>0，△>0 （B）a>0，△<0 （C）a<0，△>0 （D）a<0，△<07．已知抛物线y=a x2+bx+c如图所示，则关于x的方程a x2+bx+c-3=0的根的情况是（• ）（A）有两个不相等的正实数根（B）有两个异号实数根（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根8．为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处挑射，•正好射中了2.4米高的球门横梁．若足球运行的路线是抛物线y=a x2+bx+c（如图），则下列结论：①a<-160；②-160<a<0；③a-b+c>0；④0<b<-12a，其中正确的结论是（）（A）①③（B）①④（C）②③（D）②④(第8题) (第12题) (第15题)9．已知：二次函数y=x2+b x+c与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，其顶点坐标为P（-24,24b c b），AB=│x1-x2│，若S△APB=1，则b与c的关系式是（）（A）b2-4c+1=0 （B）b2-4c-1=0 （C）b2-4c+4=0 （D）b2-4c-4=010．若函数y=12（x2-100x+196+│x2-100x+196│），则当自变量x取1、2、3、…、•10这100个自然数时，函数值的和是（）A.540;B.390;C.194;D.9711．已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（-1，1），则ab有（）（A）最小值0 （B）最大值1 （C）最大值2 （D）有最小值1 412．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则（）（A）ac+1=b （B）ab+1=c （C）bc+1=a （D）以上都不是13．若二次函数y=a x2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则S=a+b+c的变化范围是（）（A）0<S<2 （B）S>1 （C）1<S<2 （D）-1<S<114．如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（）（A）8 （B）14 （C）8或14 （D）-8或-1415．（2005年全国初中数学联赛初赛试题）如图，直线x=1是二次函数y=a x2+bx+c的图象的对称轴，则有（）（A）a+b+c=0 （B）b>a+c （C）c>2b （D）abc<0二、填空题1．二次函数y=a x2+c（c不为零），当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x1与x2的关系是________．2．已知直线y=2x-1与抛物线y=5x2+k交点的横坐标为2，则k=________，•交点坐标为________．3．已知二次函数y1=ax2+b x+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（-2，4）和B（8，2）（如图所示），则能使y1>y2成立的x的取值范围是________．(第3题) (第6题) (第9题)4．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：_______．5．对于反比例函数y=-2x与二次函数y=-x2+3，•请说出它们的两个相同点①______②________；再说出它们的两个不同点①______，②_______．6．如图，已知点M（p，q）在抛物线y=x2-1上，以M为圆心的圆与x轴交于A、B两点，且A、B两点的横坐标是关于x的方程x2-2px+q=0的两根，则弦AB的长等于_______．7．设x、y、z满足关系式x-1=1223y z+-=，则x2+y2+z2的最小值为_______．8．已知二次函数y=ax2（a≥1）的图象上两点A、B的横坐标分别是-1、2，点O•是坐标原点，如果△AOB 是直角三角形，则△OAB的周长为________．9．如图，A、B、C是二次函数y=a x2+bx+c（a≠0）的图像上三点，根据图中给出的三点的位置，可得a_____0，c_____0，△_____0．10．炮弹从炮口射出后，飞行的h（m）高度与飞行的时间t（s）之间的函数关系是h=vtsina-5t2，其中v是炮弹发射的初速度，a是炮弹的发射角，当v0=300（m/s），sina=12时，炮弹飞行的最大高度是_______．11．抛物线y=-（x-L）（x-3-k）+L与抛物线y=（x-•3）2•+•4•关于原点对称，•则L+•k=________．12．（2000年全国初中数学联合竞赛试题）a，b是正数，并且抛物线y=x2+ax+2b和y=x2+2bx+a都与x 轴有公共点，则a2+b2的最小值是________．13．已知直线y=-2x+3与抛物线y=x2相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB•的面积等于________．14．（2003年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y=ax 2+bx+c （其中a 是正整数）的图象经过点A （-1，4）与点B （2，1），并且与x 轴有两个不同的交点，则b+c 的最大值为________．15．（2005年全国初中数学竞赛浙江赛区试题）在直角坐标系中，抛物线y=x 2+mx-34m 2（m>0）与x 轴交于A ，B 两点，若A ，B 两点到原点的距离分别为OA ，OB ，且满足11OB OA =23，则m•的值等于_______． 三、解答题1．已知抛物线y=23x 2与直线y=x+k 有交点，求k 的取值范围． 2．如图，P 是抛物线y =x 2上第一象限内的一个点，A 点的坐标是（3，0）．（1）令P 点坐标为（x ，y ），求△OPA 的面积S ；（2）S 是y 的什么函数？（3）S 是x 的什么函数？（4）当S=6时，求点P 的坐标；（5）在抛物线y=x 2上求一点P ′，使△OP ′A 的两边P ′O=P ′A ．3．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点位于直线y=x-1和y=-2x-4的交点上，且与直线y=•4x-4有唯一交点，试求函数表达式．4．已知实数p<q ，抛物线y 1=x 2-px+2q 与y 2=x 2-qx+2p 在x 轴上有相同的交点A ．（1）求A 点坐标；（2）求p+q 的值．5．已知抛物线y =x 2+kx+k-1．（1）求证：无论k 是什么实数，抛物线经过x 轴上一个定点；（2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且满足：x 1<x 2，│x 1│<│x 2│，S △ABC =6，问：过A 、B 、C 三点的圆与抛物线是否有第四个交点，试说明理由，•如果有，求出其坐标．6．如图，已知直线y=-2x+2在x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB•为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90°，过C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ．（1）求点A 、B 的坐标和AD 的长．（2）求过B 、A 、D 三点的抛物线的解析式．7．如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位是AB 宽20m ，水位上升3m•就达到警戒线CD ，这是水面宽度为10m ．（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式．（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？8．先阅读下面一段材料，再完成后面的问题：材料：过抛物线y=a x 2（a>0）的对称轴上一点（0，-14a ）作对称轴的垂线L ，•则抛物线上任一点P 到点F （0，14a）的距离与P 到L 的距离一定相等．我们将点F 与直线L•分别称作这抛物线的焦点和准线，如y=x 的焦点为（0，14）．问题：若直线y=kx+b 交抛物线y=14x 2于A 、B ，•AC 、BD 垂直于抛物线的准线L ，垂足分别为C 、D （如图）．（1）求抛物线y=14x 2的焦点F 的坐标；（2）求证：直线AB 过焦点F 时，CF ⊥DF ； （3）当直线AB 过点（-1，0），且以线段AB 为直径的圆与准线L 相切时，求这直线对应的函数解析式．9．已知某绿色蔬菜生产基地收获的蒜苔，从四月一日起开始上市的30天内，蒜苔每10千克的批发价y （元）是上市时间x （元）的二次函数，•由近几年的行情可知如下信息：（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）蒜台每10千克的批发价为10.8元时，问是在上市的多少天？10．已知：抛物线y=ax 2+4ax+t 与x 轴的一个交点为A （-1，0）．（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5：2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．已知二次函数y=x 2+b x+c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，•一元二次方程x 2+b 2x+20=0的两实数为x 3、x 4，且x 2-x 3=x 1-x 4=3，求二次函数的解析式，•并写出顶点坐标．12．改革开放以来，某镇通过多种途径发展地方经济，1995•年该镇国民生产总值为2亿元，根据测算，该镇国民生产总产值为5亿元时，可达到小康水平．（1）若从1996年开始，该镇国民生产总值每年比上一年增加0.6亿元，该镇通过几年可达到小康水平？（2）设以2001年为第一年，该镇第x 年的国民生产总值为y 亿元，y 与x•之间的关系是y=19x 2+23x+5（x ≥0）该镇那一年的国民生产总值可在1995•年的基础上翻两番（•即达到1995年的年国民生产总值的4倍）？13．已知：二次函数y=-x 2+3b x+c 与x 轴交于点M （x ，0），N （x ，0）两点，与y 轴交于点H ．（1）若∠HMO=45°，∠MHN=105°时，求：函数解析式；（2）若│x 1│2+│x 2│2=1，当点Q （b ，c ）在直线y=19x+13上时，求二次函数y=-x+3b x+c 的解析式．14．如图，一次函数y=kx+n 的图象与x 轴和y 轴分别交于点A （6，0）和B （0，• 线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，交AB 于点D ．（1）试确定这个一次函数关系式；（2）求过A 、B 、C 三点的抛物线的函数关系式．15．如图，在直角坐标系中，O 是原点，A 、B 、C 三点的坐标分别为A （18，0），B （•18，6），C （8，6），四边形OABC 是梯形，点P 、Q 同时从原点出发，分别坐匀速运动，•其中点P 沿OA 向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿OC 、CB 向终点B 运动，•当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）求出直线OC 的解析式及经过O 、A 、C 三点的抛物线的解析式．（2）试在（1）中的抛物线上找一点D ，使得以O 、A 、D 为顶点的三角形与△AOC 全等，请直接写出点D 的坐标．（3）设从出发起，运动了t 秒，如果点Q 的速度为每秒2个单位，试写出点Q 的坐标，•并写出此时t 的取值范围．（4）设从出发起，运动了t 秒，当P 、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC 的周长的一半，这时，直线PQ 能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，•请求出t 的值；如不可能，请说明理由．16．抛物线y=ax 2+bx+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，已知抛物线的对称轴为x=1，B （3，0），C （0，-3）．（1）求二次函数y=ax 2+bx+c 的解析式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C 两点距离之差最大？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于x 轴的一条直线交抛物线于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆的半径．答案：一、1～9．CDBDD DCBD10．B ．提示：∵x 2-100x+196=（x-2）（x-98），∴当2≤x ≤98时，│x 2-100x+196│=-（x 2-100x+196）． ∴当自变量x 取2、3、…、98时，函数值都为0． 而当x 取1、99、100时，│x 2-100x+196│=x 2-100x+196，故所求的和为：（1-2）（1-98）+（99-2）（99-98）+（100-•2）（100-98）=97+97+196=390． 11～15．DAACC二、1．互为相反数 2．-17，（2，3）． 3．x<-2或x>8 4．y=15x 2-85x+3等 5．图象都是曲线，都过点（-1，2）；图象形状不同，x 取值范围不同6．13.2 7．59148．．<、<、> 10．1125m 11．-9 12．2013．如图，直线y=-2x+3与抛物线y =x 2的交点坐标为A （1，1），B （-3，9），作AA 1，BB 1分别垂直于x 轴，垂足为A 1，B 1， ∴S △OAB =S梯形AA1BB1-S △AA1O -S △BB1O =12³（1+9）³（1+3）-12³1³1-12³9³3=6．14．由于二次函数的图象过点A （-1，4），点B （2，1），所以4,1,421,32.a b c b a a b c c a -+==--⎧⎧⎨⎨++==-⎩⎩解得 • 因为二次函数图象与x 轴有两个不的交点，所以△=b 2-4ac>0，（-a-1）2-4a （3-2a ）>0，即（9a-1）（a-1）>0，• 由于a 是正整数，故a>1，所以a ≥2．又因为b+c=-3a+2≤-4，且当a=2，b=-3，c=-1时，•满足题意， 故b+c 的最大值为-4． 15．2．提示：设方程x 2+mx-34m 2=0的两根分别x 1，x 2，且x 1<x 2， 则有x 1+x 2=-m<0，x 1x 2=-34m 2<0，•所以x 1<0，x 2>0，由11OB OA -=23，可知OA>OB ，又m>0， 所以抛物线的对称轴y 轴的左侧，于是OA=│x 1│=-x 1，OB=x 2． 所以2111x x +=23，1212x x x x +=23，故234mm --=23，解得m=2．三、1．由题意知，方程组22,3.y k y x k ⎧=⎪⎨⎪=+⎩有实数解，即方程23x 2=x+k 有实数解， 整理，得2x 2-3x-3k=0，∴△=9-4³2³（-3k ）≥0，∴k ≥-38． 2．（1）S=32y ，又y =x 2，∴S=32x 2；（2）正比例函数；（3）二次函数；（4）P （2，4）；（5）P ′（32，94）．3．y=23x2+43x-43．4．（1）A（-2，0）；（2）p+q=-2．5．（1）（-1，0）；（2）过A，B，C三点的圆与抛物线有第四个交点D．∵│x1│<│x2│，•C点在y轴上，∴点C不是抛物线的顶点，由于抛物线都是轴对称图形，过A、B、C三点的圆与抛物线组成一个轴对称图形，所以过A、B、C•三点的圆与抛物线第四个交点与C是对称点．∵x1=-1<0，x1<x2，│x1│<│x2│，∴x2>1，即x2>-1，-k>1，∴k<0，∵S△ABC=6，∴12│1-•k│）²（1+│1-k│）=6，∴（1-k）2+（1-k）-12=0，解得1-k=-4或1-k=3，∴k=-2或k=5（舍去），∴y=x2-2x-3．其对称轴为x=1，据对称性，D点坐标为（2，-3）．6．（1）A（1，0），B（0，2），AD=2；（2）y=23x2-83x+2．7．y=-125x2；5小时8．（1）F（0，1）；（2）∵AC=AF，∴∠ACF=∠AFC．又∵AC∥OF，∴∠ACF=∠CFO，∴CF平分∠AFO．同理DF平分∠BFO．而∠AFO+∠BFO=180°，∴∠CFO+∠DFO=12（∠AFO+∠BFO）=90°，∴CF⊥DF．（3）设圆心为M切L于N，连结MN，∴MN=12 AB．在直角梯形ACDB中，M•是AB中点，∴MN=12（AC+BC）．而AC=AF，BD=BF，∴MN=12（AF+BF），∴AF+BF=AB．∴AB过焦点F（0，1），又AB过点（-1，0），∴1bk b=⎧⎨-+=⎩∴AB对应的函数解析式为y=x+1．9．（1）设这个二次函数解析式为y=ax2+bx+c．根据题意，得15255 1022515 1562525a b ca b ca b c=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩• 解这个三元一次方程组，得12032854a y c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩∴这个函数解析式为：y=120x 2-32x+854．（或y=120（x-15）2+10） （2）把y=10.8代入上式，得10.8=120（x-15）2+10，（或10.8=120x 2-32x+854）．整理，得x 2-30x+209=0，（x-11）（x-19）=0，∴x 1=11，x 2=19， 经检验x=11，x=19都符合题意．即蒜苔每10千克批发价为10.8元时，是上市11天、9天．10．（1）依题意，抛物线的对称轴为y=x-2．∵抛物线与x 轴的一个交点为A （-1，0），∴由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（-3，0）． （2）∵抛物线y=a x 2+4ax+t 与x 轴的一个交点为A （-1，0），∴a （-1）2+4a （-1）+t=0，•∴t=3a ．∴y=ax 2+4ax+3a ．∴D （0，3a ）． ∵梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线y=a x 2+4ax+3a 上， ∴C （-4，3a ），∴AB=2，CD=4， ∵梯形ABCD 的面积为9，∴12（AB+CD ）²OD=9． ∴12（2+4）│3a │=9，∴a=±1． ∴所求抛物线的解析式为y=x 2+4x+3或y=-x 2-4x-3．（3）设点E 坐标为（x 0，y 0），依题意x 0<0，y 0>0，且00||y x =52．∴y=-52．①设点E 在抛物线y=x 2+4x+3上，∴y 0=x 02+4x 0+3．解方程组000200005621540y x x y x x x ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=++⎩得∴001`25`4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵点E 与点A•在对称轴x=-2的同侧，∴点E 坐标为（-12，54）， 设在抛物线的对称轴x=-2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵AE 长为定值，∴要使△APE 的周长最小，只须PA+PE 最小． ∵点A•关于对称轴x=-2的对称点是B （-3，0）， ∴几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x=-2的交点．•设过点E 、B 的直线的解析式为y=mx+n ，∴1152243302m m n m n n ⎧=⎧⎪-+=⎪⎪⎨⎨⎪⎪-+==⎩⎪⎩解得 ∴直线BE 的解析式为y=12x+32，把x=-2•代入上式，得y=12， ∴点P 坐标为（-2，-12）． ②设点E 在抛物线y=-x 2-4x-3上，∴y 0=-x 02-4x 0-3．解方程0020005243y x x x x ⎧=-⎪⎨⎪=---⎩ 消去y 0，得x 02+32x 0+3=0， ∴△<•0，∴此方程无实数根．综上．在抛物线的对称轴上存在点P （-2，12），使△APE 的周长最小． 11．y=x 2+3x+2；（-32，-14）． 12．（1）5；（2）2003． 13．（1）y=-x 2+（2）y=-x 2+13x+94，y=-x 2-x ．14．（1）2）先求出点C （2，0），故（x-2）（x-6）． 15．（1）∵O ，C 两点的坐标分别为O （0，0），C （8，6），设OC 的解析式为y=kx+b ，将两点坐标代入得：k=34，b=0，∴y=34x ． ∵抛物线过O ，A ，C 三点，这三点的坐标为O （0，0），A （18，0），C （8，6）． ∵A ，O 是x 轴上两点，故可设抛物线的解析式为y=a （x-0）（x-18）． 再将C （8，6）代入得：a=-340．∴y=-340x 2+2720x ．（2）D （10，6）．（3）当Q 在OC 上运动时，可设Q （m ，34m ）， 依题意有：m 2+（34m ）2=（2t ）2，∴m=85t ，∴Q （85t ，65t ）•，•（0≤t ≤5）．当Q 在CB 上时，Q 点所走过的路程为2t ． ∵OC=10，∴CQ=2t-10，∴Q 点的横坐标为2t-10+8=2t-2．∴Q （2t-2，6），（5<t ≤10）．（4）∵梯形OABC 的周长为44，当Q 点在OC 上时，P 运动的路程为t ， 则Q 运动的路程为（22-t ）．△OPQ 中，OP 边上的高为：（22-t ）³35．∴S △OPQ =12t （22-t ）³35，S 梯形OABC =12（18+10）³6=84．• 依题意有：12t （22-t ）³35=84³12．整理得：t 2-22t+140=0．∵△=222-4³140<0，∴这样的t 不存在．当Q 在BC 上时，Q 走过的路程为22-t ，∴CQ 的长为：22-t-10=12-t ， ∴S梯形OCQP=12³6（22-t-10+t ）=36≠84³12． ∴这样的t 值也不存在．综上所述，不存在这样的t 值，使得P 、Q 两点同时平分梯形的周长和面积． 16．（1）将C （0，-3）代入y=ax 2+bx+c ，得c=-3，将c=-3，B （3，0）代入y=a x 2+bx+c ，得9a+3b+c=0． ∵x=1是对称轴，∴-2ba=-1．（2）． 将（2）代入（1）得a=1，b=-2．•所以二次函数得解析式是y=x 2-2x-3．（2）AC 与对称轴的交点P 即为到B 、C 的距离之差最大的点．∵C 点的坐标为（0，-3），A 点的坐标为（-1，0）．∴直线AC 的解析式是y=-3x-3，又对称轴为x=1，∴点P 的坐标（1，-6）．（3）设M （x 1，y ），N （x 2，y ），所求圆的半径为r ，则x 2-x 1=2r ，（1）∵对称轴为x=1，∴x 2+x 1=2．（2） 由（1）、（2）得：x 2=r+1． （3）将N （r+1，y ）将代入解析式y=x 2-2x-3，得y=（r+1）2-2（r+1）-3，（4） 整理得：y=r 2-4．由于r=±y ，当y>0时，r 2-r-4=0，解得r 1，r 2（舍去），•当y<0时，r 2+r-4=0，解得r 1，r 2（舍去），所以圆的半径是12+或12．。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第3讲 充满活力的韦达定理
第三讲 充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。
韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。
【例题求解】【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 。
思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么ba a b+的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。
注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。
【例3】 已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x(1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。
思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。
代数关于奥赛部分知识点的讲解及习题讲解
代数关于奥赛部分知识点的讲解及习题讲解函数迭代定义和符号设f(x)是定义在集合M 上并在M 上取值的函数，归纳地定义函数迭代如下： f (1)(x)=f(x) (x ∈M)f (n)(x)=f(f (n-1)(x)) (x ∈M) (n ≥2)f (n)(x)称为函数f(x)的n 次迭代。
有时还规定f (0)(x)=f(x) (x ∈M)* 函数迭代中的”穿脱”技巧：设函数y=f(x),并记f n (x)=f(f(f …(fx)…),其中n 是正整数, f n (x)叫做函数f(x)的n 次迭代,函数迭代是一种特殊的函数复合形式,由f(x)(或f n (x)的表达式”穿上”或”脱去”n -1个函数符号得出f n (x)(或f(x))的函数迭代问题,这里我们对数学竞赛中穿脱问题的解题技巧作简单介绍和粗浅的探索. 1程序化穿脱：“穿”,”脱”函数符号是一种有序的过程,由内至外一层层穿上f ,或从外至内一层层脱去f ,往往是一种程序化的模式,2.周期性穿脱：在求解函数迭代问题时我们经常要借助于函数的周期性,利用周期性穿脱要能达到进退自如,做到需穿插则穿,需脱则脱,从而优化解题过程.例题1．设f(x)=x 2+px+q, A={x|x=f(x)}, B={x|f[f(x)]=x}。
①求证：A ⊂B ；②如果A={－1,3}，求B 。
解析：①设x 0是集合A 中的任一元素，即有x 0∈A∵A={x|x=f(x)}∴x 0=f(x 0)⇒f[f(x 0)]=f(x 0)=x 0⇒x 0∈B∴A ⊂B②∵A={－1,3}={x|x 2+px+q=x}={x|x 2+(p-1)x+q=0}∴⎩⎨⎧=⨯---=+-q p 3)1()1(31⇒⎩⎨⎧-=-=31q p ⇒f(x)= x 2-x-3 ∵f[f(x)]=x ⇒x 4-2x 3-6x 2+6x+9=0⇒(x 2-2x-3)(x 2-3)=0⇒x=-1或3或3或-3 ∴B={-1,3,-3,3}。
奥数-整式加减-第2讲代数式师
第二讲 代数式化简与求值代数式是用基本运算符号，将数和表示数的字母连接而成的式子。
代数式的变形、推导、求值是整个初中数学代数部分的基本功。
它综合了数学中的各种常见方法和技巧，既要求我们对基本的公式及其变形要熟记，同时也要灵活掌握各种解题方法，学会分析代数式条件，建立已知和求解之间的关系，为将来进一步的数学思维的培养打下基础。
当然，这部分内容也是初中竞赛常考的内容之一。
一、 基础知识●代数式定义1 用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。
单独一个数或字母也是代数式。
● 代数式的值定义2 用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。
● 列代数式列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、少、增加、增加到等数学概念和有关知识。
列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”。
● 求代数式的值代数式的值由它所含字母的取值决定，并随字母取值的改变而改变，字母取不同的值，代数式的值可能同也可能不同。
代数式中所含字母取值时，不能使代数式无意义。
求代数式的值的一般步骤是(1)代入，(2)计算。
二、 例题第一部分 列代数式 例1. 轮船在静水中的速度是每小时a 千米，水流速度为每小时b 千米(b<a)，甲乙两码头间相距S 千米，则轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度为每小时 千米。
分析：轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度应为往返一趟的总路程除以总时间。
解 因为轮船在静水中的速度是每小时a 千米，水流速度为每小时b 千米(b<a)则轮船的顺流速度为(a+b)千米，逆流速度为(a-b)千米，所以顺流所用时间是b a +S逆流所用时间是b a -S，轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度为往返路程的和除以往返所用时间的和，即ab a ba Sb a S 222S-=-++评注：顺流速度=静水中的速度+水流速度；逆流速度=静水中的速度-水流速度。
七年级数学代数式(教师讲义 带答案)
图形
①
②
③
正方形个 8 数
图形的周 18 长
（2）推测第n个图形中，正方形的个数为____________，周长为
____________（用含n的代数式表示）
分析：通过图形的排列规律，可以总结出图形变化和正方形个数及
图形周长变化的联系规律。
解：（1）图形往后推移一个，则正方形的个数增加5个正方形的周
二. 用代数式表示。 （1）x与y的积的平方； （2）a与b的相反数的和的6倍； （3）两个数的积为8，其中一个数m，求两数和； （4）一个两位数的个位上数字为a，十位上数字比它多2，求这个两
位数； （5）两个连续整数的积； （6）被x除余4商为8的数。
三. 应用题。 1. 用1立方米水的费用为0.98元，1千瓦时的电费为0.5元，用x立方米的 水、y千瓦时的电，水电费共多少元？ 2. 一个三位数，个位数字为a，十位数字为b，百位数字为个位数字、 十位数字的和，求这个三位数。
例3. 下图是一组数值转换机，写出图a的输出结果，找出图b的转换步 骤，并完成下表.
输入
-3
0
0.25
图a的输出
图b的输出
分析：由图可知，图a输出的实际上是代数式3x-2的值，而图b只有 在第一步应填“-3”，第二步填“×2”时，输出的才是2（x-3）的值.想求输 出的数值，只要将输入的数值分别代入这两个代数式就行了.
+ ÷2 输出结果
当x=把图形语言翻译为符号语言的关键是识图，弄清图中运算顺序.
例6 求代数式的值，其中 分析：本题考查平方和绝对值的非负性，先化简，即去括号，合并
同类项，再代入求值。 解：∵， ∴由得 且 ∴， 把，代入上式得
七年级数学竞赛讲座第11讲从算术到代数(含答案)
第11讲从算术到代数知识梳理：“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”(algebra)•可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”。
著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言。
”用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别。
字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代表式(algebra expression)、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用。
例题求解【例1】(2001年某某省中考题)观察下列等式：9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,……这些等式反映出自然数间的某种规律,设n表示自然数,用关于n的等式表示出来:____________.思路点拨在观察给定的等式基础上,寻找数字特点,等式的共同特征,•发现一般规律.解:(n+2)2-n2=4(n+1)【例2】(2003年“TRULY信利杯”竞赛题)某商品2000年比1999年涨价5%,2001年又比2000年涨价10%,•2002•年比2001年降价12%,则2002年比1999年( )A.涨价3%B.涨价1.64%C.涨价1.2%D.降价1.2%思路点拨设此商品1999年的价格为a元,把相应年份的价格用a的代数式表示,由计算作出判断.解:选B.1319?【例3】计算： (12+13+…+12002)(1+12+13+…+12001)-(1+12+…+12002)(12+13…+12001) 思路点拨 直接计算复杂而繁难,注意括号内数式的联系,引入字母,•将复杂的数值计算转化为简单的式的计算.解:12002提示：设1+12+13+…+12001=a,12+13+…+12001=b,则a-b=1 【例4】(第17届某某省竞赛题)有一X 纸,第1次把它分割成4片,第2次把其中的1片分割分4片,•以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片,如此进行下去,试问: (1)经5次分割后,共得到多少X 纸片? (2)经n 次分割后,共得到多少X 纸片?(3)能否经若干次分割后共得到2003X 纸片?为什么?思路点拨 从简单情形入手,发现纸片数的特点是解本例的关键.解:(1)因为每分割1次,就要增加3X 纸片,所以经5次分割,共得到1+3×5=16•X 纸片. (2)经n 次分割,共得到(1+3n)X 纸片.(3)若能分得2003X 纸片,则1+3n=2003,3n=2002,无整数解,•所以不可能经若干次分割后得到2003年纸片.【例5】(市“迎春杯”竞赛题)在右图中有9个方格,要求每个方格填入不同的数,使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等,问:右图上角的数是多少?思路点拨 虽然要求的只是右上角的数,但是题目的条件还与其他的数有关,因此,需恰当地引进不同的字母表示数,以便充分运用已知条件.解:提示:如图,设相应方格中的数为x 1,x 2,x 3和x 4,问号处填的数为x,由已知条件得:x+x 1+x 2=x+x 3+x 4=x 1+x 3+13=x 2+19+x 4,这样,前面两个式子之和等于后面的两个式子之和,•即 2x+x 1+x 2+x 3+x 4=13+19+x 1+x 2+x 3+x 4,∴2x=13+19,得x=16.1319 x4x3x2x1x基础训练1. (2001年某某市中考题)给出下列算式:12+1=1×2,22+2=2×3,32+3=3×4,……观察上面一列算式,你能发现什么规律,用代数式子表示这个规律:________.2. (2003年某某市中考题)已知:2+23=22×23,3+38=32×38,4+415=42×415……,若10+ab=102×ab(a、b为正整数),•则a+b=_________.3. (第15届某某省竞赛题)若(m+n)人完成一项工程需要m天,则n个人完成这项工程需要________天.(假定每个人的工作效率相同)4. (某某省竞赛题)某同学上学时步行,回家时坐车,路上一共要用90分钟,若往返都坐车,全部行程只需30分钟,如果往返都步行,那么,需要的时间是________.5.一项工程,甲建筑队单独承包需要a天完成,乙建筑队单独承包需要b天完成,•现两队联合承包,完成这项工程需要( )天.A.1a b+B.1a+1bC.aba b+D.1ab6. (2003年某某省中考题)某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现,二月份比一月份增加10%,•三月份比二月份减少10%,那么三月份比一月份( )A.增加10%B.减少10%C.不增不减 D.减少1%7. (2001年某某省中考题)如图,在长方形ABCD 中,横向阴影部分是长方形,另一阴影部分是平行四边形,依照图中标注的数据,计算图中空白部分的面积,其面积是( )A.bc-ab+ac+c2B.ab-bc-ac+c222-bc+a2-ab8.为了绿化环境,美化城市,在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪,•如果两块草坪的周长相同,那么它们的面积S1、S2的大小关系是( )>S21<S21=S219.从1开始,连续的奇数相加,和的情况如下:1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=42,1+3+5+7+9=25=52,(1)请你推测出,从1开始,n个连续的奇数相加,它们的和s的公式是什么?(2)计算:①1+3+5+7+9+11+13+15+17+19;②11+13+15+17+19+21+23+25.(3)已知1+3+5+…+(2n-1)=225,求整数n的值.10. (第17届某某省竞赛题)从小明的家到学校,是一段长度为a的上坡路接着一段长度为b 的下坡路(•两段路的长度不等但坡度相同).已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20%,走下坡路时的速度比走平路时的速度快20%,又知小明上学途中花10分钟,•放学途中花12分钟.(1)判断a与b的大小;(2)求a与b的比值.二、能力拓展：11.观察下列各正方形图形,每条边上有n(n≥2)个圆点,每个图案中圆点的总数是S.EDBG FCA 按时规律推断出S 与n 的关系式是__________.(2001年某某中考题)n=4,s=12n=3,s=8n=2,s=4.......12. (“希望杯”邀请赛试题)如图,将面积为a 2的小正方形与面积为b 2的大正方形放在一起(b>a>0),用a 、•b 表示三角形ABC 的面积为________.13. (某某市竞赛题)已知17个连续整数的和是306,那么,紧接在这17个数后面的那17个整数的和为_________.14. (2003年某某市中考题)用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律,拼成若干个图案:(1)第4个图案中有白色地面砖_________块;(2)第n 个图案中有白色地面砖_________块.15. (第17届某某省竞赛题)下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是( )16. (2002年某某市竞赛题)给出两列数:1,3,5,7,9,…2001和1,6,11,16,21,…,2001,•同时出现在这两列数中的数的个数为( )17. (2003年某某某某市中考题)一种商品每件进价为a 元,按进价增加25%定出售价,后因库存积压降价,按售价的九折出售,每件还能盈利( )18.如果用a 名同学在b 小时内共搬运c 块砖,那么c 名同学以同样的速度搬运a•块砖所需的小时数是( )A.22ca bB.2cabC.2abcD.22a bcn+1=111na(n=1,2,3,…,2002),求当a1=1时,a1a2+a2a3+a3a4+…+a2002a2003的值.20. (2002年某某省黄冈市竞赛题)在一次数学竞赛中,组委会决定用NS公司的赞助款购买一批奖品,•若以1•台NS计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS•计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买80份奖品。
初中奥数讲义_代数式
代数式一主要知识点回顾字母代表量，是数学重要的抽象，高度的抽象是数学有别其他科学一个最重要的特征，是数学广泛应用的基础。
初一一个最为重要的训练是如何运用字母和代数式解决问题.1．代数式用运算符号把表示数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式.单独一个数或一个字母也是代数式.2. 单项式、多项式数与字母的积的代数式，单独一个数或字母也是单项式.3．整式的意义：单项式和多项式统称为整式4．同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项5．用字母表示数解题在某些数学问题中，如果把其中的特殊常数用字母表示，即用字母表示数解题，常会收到化繁为简，化难为易的效果.6．求代数式的值：用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值二．典型例题讲解例1：某市出租车收费标准如下：3km以内（含3km）收费8元，超过3km的部分，每千米收费1.5元,(1)请写出收费y(元)与出租车行驶的路程x(km)的关系式;(2)若小明乘出租车行驶6km,则应付车费多少元?(3)若小明付车费17元,则他乘出租车行使了多少千米?例4:如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b 的值．三、专项练习(一)选择题:1．已知14x 5y 2和－31x 3m y 2是同类项，则代数式12m －24的值是 （ ）（A ）－3 （B ）－5 （C ）－4 （D ）－62.列去括号错误的是 （ ）（A ）2x 2－(x －3y)=2x 2－x ＋3y （B ）31x 2＋(3y 2－2xy)=31x 2－2xy ＋3y 2 （C ）a 2－4(－a ＋1)=a 2－4a －4 （D ）－(b －2a)－(－a 2＋b 2)=－b ＋2a ＋a 2－b 23.a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的相反数是21的倒数，则m 2－2cd ＋mb a +的值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）54.M 厂库存钢材100吨，每月用去15吨，N 厂库存钢材82吨，每月用去9吨，经过x 个月，两厂所剩钢材相等，x 等于 （ ）（A ）2 （B ）4 （C ）3 （D ）55.a 是有理数，则200011+a 的值不能是（ ） A 1 B 1- C 0 D 2000-6.若a a a 112000,0+<则等于（ ）A a 2007B a 2007-C a 1989-D a 19897.小明编制了一个计算程序。
初中数学竞赛代数专题多项式培优讲义、习题及解答
初中数学竞赛多项式培优讲义由一些字母和数进行加减和乘法所构成的代数式叫做多项式。
一元多项式的一般式为2012 (0)n n n a a x a x a x a ++++≠ 。
一元多项式函数的一般式为2012() (0)n n n f x a a x a x a x a =++++≠ 。
一、专题知识1.基本定理（1）余式定理：多项式()f x 除以x a -所得的余式为()f a ，()()()()f x Q x x a f a =-+；（2）一元多项式带余除法恒等式：()()()()f x Q x g x R x =+ 其中deg ()deg ()R x g x ＜或()0R x =，()Q x 、()R x 分别叫做多项式()f x 除以()g x 的商式、余式；（3）因式定理：多项式()f x 含有因式x a -的充要条件是()0f a =；（4）多项式()f x 含有因式123()()()()k x a x a x a x a ---- 的充要条件是12()()()0k f a f a f a ==== 其中1a ，2a ，3a ， k a 互不相等；（5）多项式函数定理：一个n 次多项式()f x ，可由它在x 取1n +个不同值(0,1,2,3,)i a i n = 时的函数值()i i b f a =惟一确定。
2.基本结论（1）若多项式()f x 除以()0g x ≠的商式为()Q x ，余式为()R x ，则()f x 除以() (0)kg x k ≠的商式为1()Q x k，余式仍为()R x ；（2）两个一元n 次多项式()f x ，()g x 相等的充要条件是()() (0,1,2,)i i f a g a i n == ，其中i a 各不相同；（3）一元n 次多项式()f x 最多只有n 个不同的根()n N ∈；（4）使得一元多项式的值为零的自变量的值，称为这个一元多项式的根，即若()0f a =，则称a 为多项式()f x 的根，或称为多项式的零点；（5）零多项式有无数个根，零次多项式没有根。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角2第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手3第一讲走进追问求根公式形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。
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代数证明
代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系．
在初中阶段，要证的等式一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明． 恒等式的证明常用的方法有： (1)由繁到简，从一边推向另一边； (2)从左右两边人手，相向推进；
(3)作差或作商证明，即证明：左边一右边=0，
)0(1≠=右边右边
左边
． 条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换，证明的关键是寻找条件与结论的联系，既要注意已知条件的变换，使之有利于应用；又要考虑求证的需求情况，使之有利于与已知条件的沟通．
代数证明不同于几何证明，几何证明有直观的图形为依托，而代数证明却取决于代数式化简求值变形技巧、方法和思想的熟练运用．
例题求解 【例1】(1)求证：
a
a z a y a x a az z a ay y a ax x 3
1112
2
2
+-+-+-=
-+
-+
- （2）求证：)1
)(1)(1(4)1()1()1(222ab
ab b b a a ab ab b b a a ++++=+++++．
思路点拨 (1)从较复杂的等式左边推向等式右边，注意左边每个分式分子与分母的联系；(2)等式两边都较复杂，对左、右两边都作变形或作差比较．
注 如果一个等式的字母在条件允许范围内的任意一个值，使得等式总能成立，那么这个等式叫做恒等式．把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子，这种变形叫做恒等变形，形变值不变是恒等变形的特点．
代数式的化简求值、代数证明其实质都是作恒等变形，分解、换元、引参、配方、分组、拆分，取倒数等是恒等变形常用的技巧与方法．
【例2】 已知b a y x +=+，且2222b a y x +=+． 求证：2001200120012001b a y x +=+． (黄冈市竞赛题)
思路点拨 从完全平方公式入手，推出 x 、y 与a 、b 间关系，寻找证题的突破口．
【例3】 有18支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用i a 和i b ，分别表示第i(I=1，2，3…18)支球队在整个赛程中胜与负的局数． 求证：21822212182221b b b a a a +++=+++ ．
思路点拨 作差比较，明确比赛规则下隐含的条件是证题的关键． 【例4】 已知333cz by ax ==，且11
11=++
z
y x
． 求证：3333222c b a cz by ax ++=++．
思路点拨 条件中有一个连等式，恰当引入参数，把待证式两边都变形为与参数相同的同一个代数式．
【例5】 已知0≠abc ，证明：四个数abc c b a 3)(++、abc a c b 3)(--、abc b a c 3)(--、abc
c b a 3)(--中至少有一个
不小于6． (北京市竞赛题)
思路点拨 整体考虑，只需证明它们的和大于等于24即可． 注 证明条件等式的关键是恰当地使用条件，常见的方法有： (1)将已知条件直接代入求证式； (2)变换已知条件，再代入求证式； (3)综合变形巳知条件，凑出求证式；
(4)根据求证式的需求，变换已知条件，凑出结果等．
不等关系证明类似于等式的证明，在证明过程中常用如下知识： (1)若A —B>0，则A>B ； (2)若A —B<0，则A<B ； (3)ab b a 222≥+； (4)21
≥+
x
x （x>0）
； (5)若M a a a >+++ 21，则n a a a 、、
、 21中至少有一个大于n
M
． 学力训练
1．已知b a b a P +-=
，c b c b q +-=，r=a
c a
c +-，求证：)1)(1)(1()1)(1)(1(r q p r q p ---=+++． 2．已知1=++c z
b y a x ，0=++z
c y b x a ．求证：1222222=++c
z b y a x ． 3．已知：
)
(3)(2a c a
c c b c b b a b a -+=-+=-=，求证：0598=++c b a ． 4．设43239-的小数部分为b ，求证：b
b 1
243239+
=-． 5．设x 、y 、z 为有理数，且(y —z)2
+( x －y)2
+(z —x)2
=(y+z －2x)2
+(z+x －2y)2
+(x+y —2z)2
，求证：
1)
1)(1)(1()1)(1)(1(2
2
2
=++++++z y x xy zx yz ．
6．已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：a ：b ：c=1：2：3． 7．已知11111
=++=++z
y x z y x
，求证：x 、y 、z 中至少有一个为1． 8．若
z y x t y x t z x t z y t z y x ++=++=++=++，记z
y x t y x t z x t z y t z y x A +++++++++++=，证明：A 是一个整数． (匈
牙利竞赛题) 9．已知
0=-+-+-b a c
a c
b
c b a ，求证：
0)()()(2
22=-+-+-b a c a c b c b a ． 10．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p 倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的q 倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的x 倍，求证：1
2
-++=pq q p x ． (天津市竞赛题)
11．设a 、b 、c 均为正数，且1=++c b a ，证明：91
11≥++c
b a ． 12．如果正数a 、b 、
c 满足b c a 2=+，求证：a
c c
b b
a +=
++
+211．
(北京市竞赛题)
13．设a 、b 、c 都是实数，考虑如下3个命题： ①若02>++c ab a ，且c>1，则0<b<2； ②若c>1且0<b<2，则02>++c ab a ； ③若0<b<2，且02>++c ab a 0，则c>1．
试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否定． (武汉市选拔赛试题)。