通信原理第3章_随机信号
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6
随机过程
传输的信号具有一定的不可预知性，即随 机性，通信系统才有意义 不可预知性的信号就是随机信号 本章内容
随机过程的概念，和之前的概率、统计有什么 不一样？随机过程的特征 讨论随机过程的统计特性以及随机过程通过通 信系统的情况
7
随机实验
概率论是研究随机现象的统计规律一门科学 随机变量，从样本空间到实数域的映射 样本空间，随机实验可能出现结果的全部 特点
9
引例2
例2：考察某种生物群体的增长问题。若以 Ｘ(t)表示在时刻t 生物群体的个数，则对每 一个固定的t,Ｘ(t)是一个随机变量． 思考：要了解其生长规律，观察一个时刻的 随机变量Ｘ(t是不够的，需要怎么观察？
一般从t＝０开始每隔一定时间对群体个数观察 一次，即观察随机变量Ｘ（t）(t＝０,１, 2 , ….）
显然，n越大，对 随机过程统计的描 述就越充分，但问 若上式中的偏导存在的话。 题的复杂性也随之 随机过程 (t) 的n维分布函数： 增加。在一般的实 际问题中，掌握二 Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,t n ) 维分布函数就已经 P (t1 ) x1 , (t 2 ) x2 ,, (t n ) 足够了。
一次一次做实验
27
随机过程的统计特性
3.1.1随机过程的分布函数，
设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)是一个随 机变量，可以用统计特性对其进行研究
把随机变量小于或等于某一数值的概率，随机过程 (t)的一维分 布函数
F1 ( x1 , t1 ) P[ (t1 ) x1 ]
是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集
合。
19
噪声和随机信号的区别？
噪声也是随机的？它和随机信号的区别是？随机信 号的不可预知性和噪声的意义完全不同，随机信号
的不可预知性是信号的能力，而噪声的不可预知性
是有害的，使有用信号受到污染。
在通信系统中，随机过程是重要的数学工具，在信
息源的统计建模，信源输出的数字化，信道研究 （分析、特性描述、设计）信息的接收，通信系统 的性能方面都是很重要的。
0 0 π/2 A Φ X(t=0.5) 0 0 π/2 -A
Φ X(t=1)
P
0.5
0.5
P
0.5
0.5
t一定时，x(t)是一个随机变量？ 随机变量随t的不同而不同 顺便说，X(t)取值的空间成为状态空间，[-A，A]
22
23
例：随机相位正弦波 X( t)=Asin（wt+ Φ ） ，其 中A,为常数， Φ是在（0,2)内服从均匀分布的 随机变量。 对于每一个固定的t=ti ,X( t)=Asin（wt+ Φ ） 是一 个随机变量； 若在（0,2)内随机地取一个数Φ = Φ i，就有 X( t)=sin（wt+ Φ i ） ，表示一个样本函数； 若t和Φ均给定时，取t=ti, Φ = Φ i，有X( t)=Asin （wt+ Φ ） ，是一个实数。
用很多随机变量方能反映.
11
概念及目标
概念
随机过程是研究随机现象随时间变化过程中的 规律性的一门数学学科. ——是概率论的深入和发展.
目标
掌握随机过程的基本理论和分析方法. •提高应用随机过程的理论和方法分析问题和解 决问题的能力.
12
第3章 随机过程
3.1 随机过程的基本概念
29
第3章 随机过程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
随机过程 (t) 的二维分布函数： F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 , ) P (t1 ) x1 , (t 2 ) x2 随机过程 (t)的二维概率密度函数：
2 F2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) x1 x2
xn
随机过程 (t) 的n维概率密度函数：
n Fn ( x1，x2， ，x n；t1，t2， ，t n ) f n ( x1，x2， ，x n；t1，t2， ，t n ) x1x2 x n 30
随机过程分布函数的例子
例子1 ：X (t ) A cost t 0;其中A具有以下的概率分布 1 P（A i） i 1 ， 2 ， 3 3
随机变量例子
投掷一个骰子，观察出现的点数，这是一个随机变量，样 本空间｛1，2，3，4，5，6｝，投一次，出现个数，这个 数一定是空间中的一个，这称为随机事件 从一个装了红球，白球的袋子中拿一个出来，观察球的颜 色，样本空间｛红球，白球｝---｛0，1｝ 在连续掷两次硬币的例子中，样本空间为？ Ω={HH,HT,TH,TT} 这样的实验结果可以有很多数值化的方法，比如定义HH为 400， HT为30， TH为0.2，TT为1。也可简单用｛0，1，2， 3｝ 要注意的是，这里是用某个数字来代表样本空间的某个元 素，这个数字并不是概率值。
33
随机过程
数字特征之数学期望
均值 t一定时，随机过程表现 为一个随机变量 对这些随机变量的取值 求平均 均值随t变化
(t )
1 (t ) 2 (t ) n (t )
下面通过离散随机变量 均值计算过程，分析得 出连续随机变量均值计 算方法
0
t
34
数学期望：均值
离散随机变量的均值
14
t一定时， φ变化，X(t)，就变化，所有变化 的全部构成样本函数集 只有样本函数集可以较为全面的反映所想了 解的随机现象. 为此将概率论中的随机变量推广为样本函数 集.
15
随机过程
随机过程的基本特征
它是时间的函数，当然这个函数会随着时间的变 化而变化 在某个固定的时刻t1，,全体样本在时刻t1的取值 X(t1)是一个不含t变化的随机变量 因此，随机过程看成依照时间参数的一般随机变 量，可见，随机过程具有随机变量和时间函数的 特点
4
随机变量(random variable)
在随机过程中，随机变量有许多取值，这些值的全 部构成样本空间。数学上研究时，将这些取值进行 从状态到数的映射 随机变量的本质是一个函数，是从样本空间到实数 的映射，将事件转换成一个数值。 通过几个例子来分析样本空间和随机变量取值之间 的关系
5
随机变量
20
随机过程的量值分析
怎么判断一个过程是不是随机过程呢？
t一定时， （t）是不是一个随机变量？ 这个随机变量随t变化吗？
21
随机过程举例一
设随机过程可表示成，X (t ) A sin(ct Φ) 其中，A和 c=2π均为常数；Φ是离散随机变量。 P Φ＝0＝1/2） P Φ ＝ π/2 ＝?） ？随机过程
样本函数i (t)：随机过程的一次实现，是确定的时间函数。 随机过程： (t) ={1 (t), 2 (t), …, n (t)} 是全部样本函数的集合。
(t)
t
18
第3章 随机过程
角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。
随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。
随机变量随时间变化，又可以把随机过程看作
成绩 62
72
85
95
100
个数 1
2
3
2
2
连续随机变量的均值怎么 计算呢？
621 72 2 85 3 95 2 100 2 1 2 3 2 2 1 2 3 2 2 62 72 85 95 100 10 10 10 10 10
此时Ｘ(t)是很多随机变量．记为{Ｘ(t) ,t＝０, １, 2 , ….}
10
引例3
具有随机初位相的简谐波， X(t)=Acos（wt+ φ ） 其中Ａ，ω为常数，φ服从[0,2π]上的均匀分布。 由于初位相的随机性，在某时刻t＝t0，Ｘt0是一个 随机变量．
思考：如何观察该谐波的波形与规律？ 需要在任意时刻t处观察，即观察随机变量Ｘ(t)，此时Ｘ (t)是很多随机变量.记为{Ｘ(t)，t∈[0，+∞)}
已知某时刻t，x的概率密度函数是f（x）
E ( t ) xk pk xk f ( xk )x
k 1 k 1
k 1
xk pk
xf ( x)dx
35
a (t )
相同条件下，实验可重复进行 可能的结果事先是知道的 在一次的实现中，出现的结果是不可预测的
8
引例1
给定t0( >0)，考察[0，t0]时间内某站点收到的访 问次数Ｘ, 则Ｘ是一个随机变量，可记为X （t0） 思考：如果要全面了解站点的访问情况，如何？
则需要让t变化起来,即考察随机变量Ｘt. 此时Ｘt是很多随机变量，.可记为{Ｘt, t∈［0,∞)}
24
25
简单理解
随机过程 (t)，一定是t的函数，里面还暗含
一个随机变量 t和都是变量，随机过程 t是变量而固定，确知的时间函数 t固定， 变，就是随机变量，概率论的处理 方法 t也确定， 也确定，就是一个确定值
26
随机过程的研究方法
随机过程的两重特性使得可以用与描述随机 变量相似的方法来描述它。 随机特性的研究通常和概率相关的，就用概 率的特性来研究 概率怎么研究？
如果F1（x1,t1）对x1的偏导存在
f1 ( x1 , t1 )
F 1(x 1 , t1 ) x1
随机过程 (t)的一维概率密度函数
28
多维分布函数和密度函数
随机过程的一维分布函数或一维概率密度 函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻 的统计特性，而没有说明随机过程在不同 时刻取值之间的内在联系，因此需要定义 二维、多维分布函数。 描述不同时刻的随机变量之间的关系
3 求该随机过程的一维分 布函数 F（x， ）， F（x, ） 4 4
解， X Acos
4
4
2 A 2
A 1 X(A) P 1/3
2
3
1/3 1/3
0 1 分布函数F ( x, ) 3 2 4 13
x
2 2
2 x 2 2 3 2 2 x 2 3 x 2 2
F1 ( x1 , t1 ) P[ (t1 ) x1 ]
31
分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地 描述随机过程的统计特性
32
数字特征
但在实际工作中，有时不易或不需要求出 分布函数和概率密度函数，而用随机过程 的数字特征来描述随机过程的统计特征， 更直观简单
数学期望 方差 相关函数
通信原理
通信原理
第3章 随机过程
随机过程
Stochasstic processes 英 [stə'kæstɪk] 美 [sto'kæstɪk]
probability theory 概率论
3
为什么要研究随机？
自然界事物的变化过程，随时间的变化有两 种关系（过程意味着时间）
确定性的过程，物体从某个高度下落，高度和落 地时间是服从确定关系的 不确定的过程，变化的过程和时间的关系是不确 定的 研究不确定过程，随机过程 所谓随机，是指研究这个过程中有个量在随机变 化，随机变量，还有与之相关的一些概念
什么是随机过程？
随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能
用确切的时间函数描述。随机过程研究的是随时间 演变的随机现象。
看几个例子，了解随机过程、随机现象、随机变量
是怎样随着时间演变的
13
随机过程例子
具有随机初位相的简谐波 其中Ａ，ω为常数，φ服从[0,2π]上的均匀分布. 由于初相位随机，在某时刻t＝t0，Ｘ（t0）是一个随机变 量．随机变量随φ的不同而不同，Ｘ（t0）一个还是很多个？ 在很多个t上都进行分析，就得到一个X（t）, φ一定时， X(t)就是时间t的确定函数。 或者在φ一定时，观察随t的变化。
16
随机过程的定义
设Sk(t)是一个随机实验，每一次实验都有一条时间 波形（称为样本函数或者实现），记作x1(t)，所有 可能出现的结果的总体（ x1(t) ,x2(t) …… xn(t) ）就 构成一个随机过程，记作 (t)。无穷多个样本函数 的总体叫做随机过程。
17
第3章 随机过程
角度1：对应不同随机试验结果的样本空间 【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声 波形
随机过程
传输的信号具有一定的不可预知性，即随 机性，通信系统才有意义 不可预知性的信号就是随机信号 本章内容
随机过程的概念，和之前的概率、统计有什么 不一样？随机过程的特征 讨论随机过程的统计特性以及随机过程通过通 信系统的情况
7
随机实验
概率论是研究随机现象的统计规律一门科学 随机变量，从样本空间到实数域的映射 样本空间，随机实验可能出现结果的全部 特点
9
引例2
例2：考察某种生物群体的增长问题。若以 Ｘ(t)表示在时刻t 生物群体的个数，则对每 一个固定的t,Ｘ(t)是一个随机变量． 思考：要了解其生长规律，观察一个时刻的 随机变量Ｘ(t是不够的，需要怎么观察？
一般从t＝０开始每隔一定时间对群体个数观察 一次，即观察随机变量Ｘ（t）(t＝０,１, 2 , ….）
显然，n越大，对 随机过程统计的描 述就越充分，但问 若上式中的偏导存在的话。 题的复杂性也随之 随机过程 (t) 的n维分布函数： 增加。在一般的实 际问题中，掌握二 Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,t n ) 维分布函数就已经 P (t1 ) x1 , (t 2 ) x2 ,, (t n ) 足够了。
一次一次做实验
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随机过程的统计特性
3.1.1随机过程的分布函数，
设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)是一个随 机变量，可以用统计特性对其进行研究
把随机变量小于或等于某一数值的概率，随机过程 (t)的一维分 布函数
F1 ( x1 , t1 ) P[ (t1 ) x1 ]
是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集
合。
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噪声和随机信号的区别？
噪声也是随机的？它和随机信号的区别是？随机信 号的不可预知性和噪声的意义完全不同，随机信号
的不可预知性是信号的能力，而噪声的不可预知性
是有害的，使有用信号受到污染。
在通信系统中，随机过程是重要的数学工具，在信
息源的统计建模，信源输出的数字化，信道研究 （分析、特性描述、设计）信息的接收，通信系统 的性能方面都是很重要的。
0 0 π/2 A Φ X(t=0.5) 0 0 π/2 -A
Φ X(t=1)
P
0.5
0.5
P
0.5
0.5
t一定时，x(t)是一个随机变量？ 随机变量随t的不同而不同 顺便说，X(t)取值的空间成为状态空间，[-A，A]
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例：随机相位正弦波 X( t)=Asin（wt+ Φ ） ，其 中A,为常数， Φ是在（0,2)内服从均匀分布的 随机变量。 对于每一个固定的t=ti ,X( t)=Asin（wt+ Φ ） 是一 个随机变量； 若在（0,2)内随机地取一个数Φ = Φ i，就有 X( t)=sin（wt+ Φ i ） ，表示一个样本函数； 若t和Φ均给定时，取t=ti, Φ = Φ i，有X( t)=Asin （wt+ Φ ） ，是一个实数。
用很多随机变量方能反映.
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概念及目标
概念
随机过程是研究随机现象随时间变化过程中的 规律性的一门数学学科. ——是概率论的深入和发展.
目标
掌握随机过程的基本理论和分析方法. •提高应用随机过程的理论和方法分析问题和解 决问题的能力.
12
第3章 随机过程
3.1 随机过程的基本概念
29
第3章 随机过程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
随机过程 (t) 的二维分布函数： F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 , ) P (t1 ) x1 , (t 2 ) x2 随机过程 (t)的二维概率密度函数：
2 F2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) x1 x2
xn
随机过程 (t) 的n维概率密度函数：
n Fn ( x1，x2， ，x n；t1，t2， ，t n ) f n ( x1，x2， ，x n；t1，t2， ，t n ) x1x2 x n 30
随机过程分布函数的例子
例子1 ：X (t ) A cost t 0;其中A具有以下的概率分布 1 P（A i） i 1 ， 2 ， 3 3
随机变量例子
投掷一个骰子，观察出现的点数，这是一个随机变量，样 本空间｛1，2，3，4，5，6｝，投一次，出现个数，这个 数一定是空间中的一个，这称为随机事件 从一个装了红球，白球的袋子中拿一个出来，观察球的颜 色，样本空间｛红球，白球｝---｛0，1｝ 在连续掷两次硬币的例子中，样本空间为？ Ω={HH,HT,TH,TT} 这样的实验结果可以有很多数值化的方法，比如定义HH为 400， HT为30， TH为0.2，TT为1。也可简单用｛0，1，2， 3｝ 要注意的是，这里是用某个数字来代表样本空间的某个元 素，这个数字并不是概率值。
33
随机过程
数字特征之数学期望
均值 t一定时，随机过程表现 为一个随机变量 对这些随机变量的取值 求平均 均值随t变化
(t )
1 (t ) 2 (t ) n (t )
下面通过离散随机变量 均值计算过程，分析得 出连续随机变量均值计 算方法
0
t
34
数学期望：均值
离散随机变量的均值
14
t一定时， φ变化，X(t)，就变化，所有变化 的全部构成样本函数集 只有样本函数集可以较为全面的反映所想了 解的随机现象. 为此将概率论中的随机变量推广为样本函数 集.
15
随机过程
随机过程的基本特征
它是时间的函数，当然这个函数会随着时间的变 化而变化 在某个固定的时刻t1，,全体样本在时刻t1的取值 X(t1)是一个不含t变化的随机变量 因此，随机过程看成依照时间参数的一般随机变 量，可见，随机过程具有随机变量和时间函数的 特点
4
随机变量(random variable)
在随机过程中，随机变量有许多取值，这些值的全 部构成样本空间。数学上研究时，将这些取值进行 从状态到数的映射 随机变量的本质是一个函数，是从样本空间到实数 的映射，将事件转换成一个数值。 通过几个例子来分析样本空间和随机变量取值之间 的关系
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随机变量
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随机过程的量值分析
怎么判断一个过程是不是随机过程呢？
t一定时， （t）是不是一个随机变量？ 这个随机变量随t变化吗？
21
随机过程举例一
设随机过程可表示成，X (t ) A sin(ct Φ) 其中，A和 c=2π均为常数；Φ是离散随机变量。 P Φ＝0＝1/2） P Φ ＝ π/2 ＝?） ？随机过程
样本函数i (t)：随机过程的一次实现，是确定的时间函数。 随机过程： (t) ={1 (t), 2 (t), …, n (t)} 是全部样本函数的集合。
(t)
t
18
第3章 随机过程
角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。
随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。
随机变量随时间变化，又可以把随机过程看作
成绩 62
72
85
95
100
个数 1
2
3
2
2
连续随机变量的均值怎么 计算呢？
621 72 2 85 3 95 2 100 2 1 2 3 2 2 1 2 3 2 2 62 72 85 95 100 10 10 10 10 10
此时Ｘ(t)是很多随机变量．记为{Ｘ(t) ,t＝０, １, 2 , ….}
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引例3
具有随机初位相的简谐波， X(t)=Acos（wt+ φ ） 其中Ａ，ω为常数，φ服从[0,2π]上的均匀分布。 由于初位相的随机性，在某时刻t＝t0，Ｘt0是一个 随机变量．
思考：如何观察该谐波的波形与规律？ 需要在任意时刻t处观察，即观察随机变量Ｘ(t)，此时Ｘ (t)是很多随机变量.记为{Ｘ(t)，t∈[0，+∞)}
已知某时刻t，x的概率密度函数是f（x）
E ( t ) xk pk xk f ( xk )x
k 1 k 1
k 1
xk pk
xf ( x)dx
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a (t )
相同条件下，实验可重复进行 可能的结果事先是知道的 在一次的实现中，出现的结果是不可预测的
8
引例1
给定t0( >0)，考察[0，t0]时间内某站点收到的访 问次数Ｘ, 则Ｘ是一个随机变量，可记为X （t0） 思考：如果要全面了解站点的访问情况，如何？
则需要让t变化起来,即考察随机变量Ｘt. 此时Ｘt是很多随机变量，.可记为{Ｘt, t∈［0,∞)}
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简单理解
随机过程 (t)，一定是t的函数，里面还暗含
一个随机变量 t和都是变量，随机过程 t是变量而固定，确知的时间函数 t固定， 变，就是随机变量，概率论的处理 方法 t也确定， 也确定，就是一个确定值
26
随机过程的研究方法
随机过程的两重特性使得可以用与描述随机 变量相似的方法来描述它。 随机特性的研究通常和概率相关的，就用概 率的特性来研究 概率怎么研究？
如果F1（x1,t1）对x1的偏导存在
f1 ( x1 , t1 )
F 1(x 1 , t1 ) x1
随机过程 (t)的一维概率密度函数
28
多维分布函数和密度函数
随机过程的一维分布函数或一维概率密度 函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻 的统计特性，而没有说明随机过程在不同 时刻取值之间的内在联系，因此需要定义 二维、多维分布函数。 描述不同时刻的随机变量之间的关系
3 求该随机过程的一维分 布函数 F（x， ）， F（x, ） 4 4
解， X Acos
4
4
2 A 2
A 1 X(A) P 1/3
2
3
1/3 1/3
0 1 分布函数F ( x, ) 3 2 4 13
x
2 2
2 x 2 2 3 2 2 x 2 3 x 2 2
F1 ( x1 , t1 ) P[ (t1 ) x1 ]
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分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地 描述随机过程的统计特性
32
数字特征
但在实际工作中，有时不易或不需要求出 分布函数和概率密度函数，而用随机过程 的数字特征来描述随机过程的统计特征， 更直观简单
数学期望 方差 相关函数
通信原理
通信原理
第3章 随机过程
随机过程
Stochasstic processes 英 [stə'kæstɪk] 美 [sto'kæstɪk]
probability theory 概率论
3
为什么要研究随机？
自然界事物的变化过程，随时间的变化有两 种关系（过程意味着时间）
确定性的过程，物体从某个高度下落，高度和落 地时间是服从确定关系的 不确定的过程，变化的过程和时间的关系是不确 定的 研究不确定过程，随机过程 所谓随机，是指研究这个过程中有个量在随机变 化，随机变量，还有与之相关的一些概念
什么是随机过程？
随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能
用确切的时间函数描述。随机过程研究的是随时间 演变的随机现象。
看几个例子，了解随机过程、随机现象、随机变量
是怎样随着时间演变的
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随机过程例子
具有随机初位相的简谐波 其中Ａ，ω为常数，φ服从[0,2π]上的均匀分布. 由于初相位随机，在某时刻t＝t0，Ｘ（t0）是一个随机变 量．随机变量随φ的不同而不同，Ｘ（t0）一个还是很多个？ 在很多个t上都进行分析，就得到一个X（t）, φ一定时， X(t)就是时间t的确定函数。 或者在φ一定时，观察随t的变化。
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随机过程的定义
设Sk(t)是一个随机实验，每一次实验都有一条时间 波形（称为样本函数或者实现），记作x1(t)，所有 可能出现的结果的总体（ x1(t) ,x2(t) …… xn(t) ）就 构成一个随机过程，记作 (t)。无穷多个样本函数 的总体叫做随机过程。
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第3章 随机过程
角度1：对应不同随机试验结果的样本空间 【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声 波形