不定积分第2换元法

2011-3-30
不定积分的计算
例12
化分母为一个变量 x +1= t , x = t −1
解： I 2
分项
=
∫
( t − 1) 3 dt 100 t
− 99
x3 , 求 I2 = ∫ dx 100 (x +1)
=
∫ (t
− 97
− 3t
− 98
+ 3t
−t
− 100
) dt
积分
1 − 96 3 − 97 3 − 98 1 − 99 = − t + t − t + t +C 96 97 98 99 代回 1 3 3 − 96 − 97 − 98 = − ( x + 1) + ( x + 1) − ( x + 1) 96 97 98 1 + 2011-3-30+ 1) − 99 + C (x 99
，
：
∫
f [ϕ (t )]ϕ ′(t )dt = G (t ) + C ⇒ ∫ f ( x)dx = G[ϕ −1 ( x)] + C
下： 下：
(1) 换元 x =ϕ ( t ) ( 2) 理
第二换元法计算
∫
f ( x)dx =
∫
f [ϕ (t )]ϕ ′(t )dt =
( 4) t =ϕ 回
g (t )dt ∫
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− 代回t =arcsin x21
不定积分的计算
例11
求积分
I =
∫
dx x x
2
− a
2
(a > 0)
1 1 解：当 a < x < +∞ 时，令 x = , t ∈ ( 0 , ) t a 凑微分 dt 1 d ( at ) I = −∫ = − ∫ 2 2 a 1 − ( at ) 1 − ( at )
不定积分的计算
例12
解法 1
dx 求 I3 = ∫ 1+ ex
dt 分项 dt dt 解： I 3 = ∫ = ∫ −∫ 1 + e x = t t ( t − 1) t −1 t = ln( t − 1) − ln t + C = x − ln(1 + e ) + C
x 回代
1+ e − e e dx I3 = ∫ 1 + e x dx = ∫ dx − ∫ 1 + e x 凑微分，分项 x d ( e + 1) x = x−∫ = x − ln( e + 1) + C x e +1
类似可得，当 x ∈ ( −∞ , − a ) 时： 1 a I2 = arccos + C ( x ∈ ( a , +∞ )) a x 2011-3-30
第二换元法例( 第二换元法例(续1)
不定积分的计算
计算：I3 = ∫ a + x dx
2 2
例9
解：I3 ====== a ∫ cosh 2 ttdt e Sh = 2 2
例9
dx 不定积分的计算, 计算：I 2 = ∫ x x2 − a2
a < x < +∞ , 代换 x = aSect x 2 − a 2 = atgt
第二换元法例( 第二换元法例(续1)
解： I 2 ==========
整理
∫
a sec t ⋅ tan tdt a sec t ⋅ a tan t
代回 t= x
= 2 x + 33 x + 6 6 x + 6 ln | 6 x − 1 | + C 6
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第二换元法例( ：在含有无理式的积分中，基本的解题思路 第二换元法例(续1) 在含有无理式的积分中，基本的解题思路是：有理化无理式， 分析： 解题思路是： 分析
例9
不定积分的计算 即：去根号。对于√￣￣可以用直角三角形中勾股弦关系代换： 。对于√￣￣可以用直角三角形中勾股弦关系代换：
sin t = x / a
积分 sec 2 t 1 1 ∫ tan 4 t dt = − a 2 3 tan 3 t + C 2 2 3/2 代回 (a − x ) ====== 2 − + C ( 见上图 ) 2 3 tan t = x / a 2 − x 3a x 2 2 3/2 (a − x ) 类似可得： I 1 = − + C (− a < x < 0) 2 3 2011-3-30 3a x
a + x , x − a 的某些不定 积分，可以分别作三角 换元： x = a sin t , x = a tan t , x = a sec t 函数或指数函数后积出 。
(或 x = a sinh t , 或 x = a cosh t ), 将它们化成有理
2011-3-30
2 不定积分的计算 + c )可配方成 结论5：对于被积函数为 f ( ax + bx
f ( a − 10 )求积分 I = ∫ )或f ( 2 x + 3dx 后求解。 例 x 或f ( x − a − x + x + a )
2 2 2 2
2
2
2
解：I =
配方
∫
4 − ( x − 1) dx (属于∫ a − u du类)
2 2 2
令x −1= 2 sin t
4 − ( x −1) = 2 cos t
分项积分
=2
4∫ cos2 tdt = 2∫ (1 + cos 2t )dt
2 t
4 − ( x − 1) 2
sin 2 t = 2 sin t cos t x −1 =2 ⋅ 2 4 − ( x − 1) 2 2
=
2t + sin 2t + C
x-1
x −1 x −1 2 = 2 arcsin + 4 − ( x − 1) + C − sin 2 t = x21 4 − ( x −1) 2 2 2
2011-3-30
不定积分的计算
例12
1 + sin x 求I1 = ∫ dx, sin x(1 + cos x)
x 解：对于三角有理函数可用万能代换公式：t = tan 2 x t = tan 2 , x = 2 arctan t , dx = 2 dt /(1+ t 2 ) 1 −1 ∴ I1 = ∫ (t + 2 + t )dt 2 2 2 sin x = 2 t /(1+ t ),cos x = (1−t ) /(1+ t ) 2 积分 1 t 2 = ( + 2t + ln | t |) + C 2 2 代入 1 x x 2 x = tan + tg + ln | tan | +C 4 2 2 2
解法 2 x x x
2011-3-30
不定积分的计算
第一、二换 元法的异同
(1) 两种换元法都以下面积分等式为依据： 两种换元法都以下面积分等式为依据： ∫ f ( x ) dx = ∫ f [ϕ ( t )] ϕ ′ ( t ) dt = ∫ g ( t ) dt
其中： x = ϕ ( t )
(2) 两种换元法的区别在于： 两种换元法的区别在于：
2t
代回 t = ln( x + x 2 + a 2 )
2011-3-30
x 2 2 a2 2 2 ========= x + a + ln(x + x + a ) + C sinh 2 t = ( 见右图 ) 2 2
不定积分的计算
结论 4：对于含有根式
2 2 2 2
a −x ,
2 2
去根号。
对于√￣￣可以 对于√￣￣可以 用直角三角形中 勾股弦关系代换： 勾股弦关系代换：
∫
a2 − x2 dx , 4 x
计算： I 1 =
a
x
解：当 0 < x < a ,
t
I 1 ======== 2 2 1 = 2 a
x = a sin t , dx = a cos tdt a − x = a cos t
∫
a 2 cos 2 t dt 4 4 a sin t
a2 − x2
2 2 cost = a − x / a tan t = x / a 2 − x 2
代回 1 1 a = − arcsin at + C = − arcsin + C t =1 / x a a x 2011-3-30 积分
不定积分的计算
1 a 注1：这一结果与例 9中 I 2的结果 ( arccos + C )不同， a x 请同学们想一想，为什 么？ 注2 注 2：以上代换叫做倒代换 。
计算： I =
整理
∫
ax + b；
k为 n , m 的最小公倍数。
x=t 6 3
x−
x
dx
1 t 5 解： I 3 = ∫ 3 6t dt = 6 ∫ dt 2 t =6 x t −t t −1 积分 t3 − 1 + 1 dt 2 = 6∫ dt = 6 ∫ (t + t + 1) dt + 6 ∫ t −1 t −1 3 2 = 2t + 3t + 6t + 6 ln | t − 1 | + C
令3 3x+1=t
I2 =2 2∫ sintdt = − 2 cost + C = − 2 cos x + C
x=t t= x
2011-3-30
x =t
积分
代回
不定积分的计算
例8
第二换元法例
n
结论 3： ) 对 f ( n ax + b )形式的被积函数，可令 t = (1 1
3 ( 2 ) 对 f ( n x , m x )形式的被积函数，可令 x = t k , 3
x
x2 − a2
====== =====
t = arccos 代回
1 a
∫
1 dt = t + C a a + C x
t
a
sin t = x 2 − a 2 / x cot = a / x tan t = x 2 − a 2 / a
a x
1 arccos a
( x ∈ ( a , +∞ ))
不定积分的计算
第二节
不定积分的
计算方法
2011-3-30
不定积分的计算
2. 第二换元 法：令x=x(t),将x换为t,结果再换回x 将 结果再换回
当∫ f ( x)dx的原函数难以计算而 ∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t ) dt
定 理
的原函数易求时，我们 有下面定理：
x = ϕ (t )
I
，
不为
2 2
代换x=a sinht
x +a =a cosht
整理
a 2t −2t x x +a = (e + e + 2)dt =2 ⋅ ∫ a a 4 2 积分 a 2 e2t − e−2t a = + 2t + C = sinh2t + 2t + C 4 4 2
2 2
2
− e −2 t (e t ) 2 − (e − t ) 2 = 2 2 et − e−t et + e−t =2 ⋅ = 2 Sht ⋅ Cht 2 2
当∫ g (t ) dt比 ∫ f ( x ) dx较难计算时，用第一换 元法： ∵ ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ,∴ 据上式可得： ⇒ ∫ g (t ) dt = F [ϕ ( x )] + C
当∫ f ( x ) dx比 ∫ g (t ) dt较难计算时，用第二换 元法： ∵ ∫ g (t ) dt = G (t ) + C ,∴ 据上式可得： ⇒ ∫ f ( x ) dx = G[ϕ −1 ( x )] + C , (其中， ϕ −1 ( x )是x = ϕ (t )的反函数 ) 2011-3-30
( 3) 积分
= G (t ) + C
=1 G[ϕ ′( x)] + C −
( Fra Baidu bibliotek)
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第二换元法例
不定积分的计算
x +1 sin x 计算： = ∫ 3 I1 dx, I2 = ∫ dx, 3x +1 x
例8
积分 1 1 1 4 5 2 解： 1 = I 3 ∫ (t + 2t)dt = 3 (5 t + t ) + C x=(t −1) / 3 3 t =3 3x+1 1 5 2 1 = (3x +1) 3 + (3x +1) 3 + C 15 3