高中数学函数导数专题

专题六函数导数专题

函数是高考考查能力的重要素材，以函数为基础编制的考查能力的试题在历年的高考试卷中占有较大的比重．这部分内容既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．一般说来，选择题、填空题主要考查函数的概念、单调性与奇偶性、函数图象、导数的几何意义等重要知识，关注函数知识的应用以及函数思想方法的渗透，着力体现概念性、思辨性和应用意识．解答题大多以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，并与数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、有限与无限思想等进行较为深入的考查，体现了能力立意的命题原则．这些综合地统揽各种知识、应用各种方法和能力的试题充分显示了函数与导数的主干知识地位．在中学引入导数知识，为研究函数的性质提供了简单有效的方法．解决函数与导数结合的问题，一般有规范的方法，利用导数判断函数的单调性也有规定的步骤，具有较强的可操作性．高考中，函数与导数的结合，往往不是简单地考查公式的应用，而是与数学思想方法相结合，突出考查函数与方程思想、有限与无限思想等，所考查的问题具有一定的综合性．在一套高考试卷中一般有2-3个小题有针对性地考查函数与导数的重要知识和方法，有一道解答题综合考查函数与导数，特别是导数在研究函数问题中的应用，这道解答题是试卷的把关题之一．

【考点透析】函数和导数的主要考点包括函数的概念、图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用，导数及其应用、微积分及微积分基本定理等．

【例题解析】

题型1 函数的概念及其表示

例1 （2008高考山东文5）设函数

2

2

11

()

21

x x

f x

x x x

⎧-

⎪

=⎨

+->

⎪⎩

，，

，，

≤

则

1

(2)

f

f

⎛⎫

⎪

⎝⎭

的值为（）A．

15

16

B．

27

16

-C．

8

9

D．18

分析：由内向外逐步计算．

解析：()()

11

24,

24

f

f

==，故

()

2

11115

1

24416

f f

f

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

==-=

⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

．答案A．

点评：本题考查分段函数的概念和运算能力．解决的关键是由内到外“逐步有选择”的代入函数解析式，求出函数值．

例2如图，函数()

f x的图象是曲线OAB，其中点,,

O A B的坐标分别为()

0,0,(1,2),(3,1)，则

()

1

3

f

f

⎛⎫

⎪

⎪

⎝⎭的值等于．

分析：从图象上理解自变量与函数值的对应关系．

解析：对于(3)1,

f=(1)2

f=．

点评：图象是表示函数的一种方法，图象上反应了这个函数的一切性质．

题型2 函数的图象与性质

例3已知m为非零实数，若函数ln(1)

1

m

y

x

=-

-

的图象关于原点中心对称，则m=．

分析：图象的对称性反应在函数性质上就是这个函数是奇函数，根据奇函数对定义域内任意x 都有

()()f x f x -=-点特点可得一个关于x 的恒等式，根据这个恒等式就可以确定m 的值，特别地

()()()0000f f f -=-⇒=也可以解决问题．

解析： 对于函数ln(1)1

m

y x =--的图象关于原点中心对称,则对于()00f =，因此有

ln(1)0,11,2m m m --=∴--==-．答案2-．

点评：函数的奇偶性是函数的重要性质之一，这两个性质反应了函数图象的某种对称性，这二者之间是可以相互转换的．

例4设0.2

1

312

1log 3,,23a b c ⎛⎫

=== ⎪⎝⎭，则（ ）

A ．a b c <<

B ．c b a <<

C ．c a b <<

D ．b a c << 分析：以0和1为分界线，根据指数函数与对数和的性质解决．

解析：对于0.2

1

3

12

1log 30,1,213a b o c ⎛⎫

=<>=>=> ⎪

⎝⎭，因此a b c <<．答案A ．

点评：大小比较问题，可以归结为某个函数就归结为一个函数、利用函数的单调性比较，不能归结为某个函数一般就是找分界线．

题型3 函数与方程

例5．函数()23

123

x x f x x =++

+的零点的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

分析：这是一个三次函数，可以通过研究这个函数的单调性与极值，结合函数图象的基本特征解决． 解析：对于()2

2

13

1()024

f x x x x '=++=++

>，因此函数()f x 在R 上单调递增，而对于523

(2)0,(2)033

f f -=-<=>，因此其零点的个数为1个．答案B ．

点评：本例和例9在本质方法上是一致的，其基本道理就是“单调函数至多有一个零点”，再结合连续函数

的零点定理，探究问题的答案．

例6．函数()2

21f x mx x =-+有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是

A ．(],1-∞

B ．(]{},01-∞U

C ．()(],00,1-∞U

D ．(),1-∞

分析：函数中的二次项系数是个参数，先要确定对其分类讨论，再结合一次函数、二次函数的图象布列不等式解决．

解析：当0m =时，1

2

x =

为函数的零点；当0m ≠是，若0∆=，即1m =时，1x =是函数唯一的零点，若0∆≠，显然函数0x =不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价与方程

()2210f x mx x =-+=有一个正根一个负根，即()00mf <，即0m <．综合知答案B ．

点评：分类讨论思想、函数与方程思想是高考所着重考查的两种数学思想，在本题体现的淋漓尽致．还要注意函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，如本题中的1x =就是函数的“不变号零点”，对于“不变号零点”，函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点时要注意这个问题． 题型4 简单的函数模型及其应用

例7．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）