高考数学中的线性规划问题的总结分析

线性规划问题的专题研究

新教材试验修订本中简单的线性规划是新增的内容，在线性约束条件下研究目标函数的最值问题是一类常见的问题，在近几年高考试题中均有出现，而且灵活多变。本文结合08年高考出现的几个线性规划问题，对常见的线型规划问题作以专题总结研究。 一、08年高考中的线性规划问题的总结分析

1.基本问题

（1）（08年安徽理）如果实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩

，那么2x y

-的最大值为（ ）

A ．2

B ．1

C ．2-

D ．3- 解：本题为较基本的线性规划问题，解决方式应该是： 画定可行域；做目标函数对应平行线束；找到最

大值，如图所示显然是平行线过A 点时取

最大值，将A 点坐标代入有

max 1Z =，故选择B

（2）（08年福建文）

已知实数x 、y 满足1,1,y y x ≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩

则2x y +的最大值是＿＿＿＿ 解：本题也是一个基本题型，但从给定的约束条件来看，难度加大了，解法如图所示

当平行线过点()2,1B 时，2x y +

区的最大值为4

（3）（08年山东理）某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须

满足约束条件⎪⎩

⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则z =10x +10y 的最大值是

(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95

解：本题是一个应用性的线性规划问题，经转化实质上是一个整点问题，实际的约束条件应为

51122,239,211,

,x y x y x x N y N

-≥-⎧⎪+≥⎪⎨≤⎪⎪∈∈⎩，画出区域如右图 过A 点时z 值最大，但由于A 点不是整点

故不能取到，所以应该是图中过整点（5，4）的直线使z 取最大值90 整点问题是线性规划部分的一个难点，但本题由于只是求最大值，唯有涉及到取整点是什么，所以难度降低了，但鉴于它是个应用题，还是比较灵活的。

（4）（08年辽宁理）双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是

(A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (C) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (D) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩

解：本题是一个综合性问题，既考查了线性规划又考查了双曲线的渐近线问题，但从难度上来说不大，但从此题可以看出，线性规划题型的灵活性，此题结果如下：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为

y x =±，与直线3x =围成一个三角形区域时有0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩

（5）（08年浙江理）在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩

⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表

示的平面区域的面积是 (A)21 (B)23 (C)81 (D)8

9

解：本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积 由题知可行域为ABC ∆， 42204=⨯-=

∆ABC S ，故选择B

（6）（08年四川理）某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为11a b 、千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为22a b 、千克 甲、乙产品每千克可获利润分别为12d d 、元 月初一次性购进本

月用原料A 、B 各12c c 、千克 要计划本月生产甲、乙两种产品各多少千克才能使月利润总额达到最大 在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为ｘ千克、ｙ千克，月利润总额为ｚ元，那么，用于求使总利润12z d x d y =+最大的数学模型中，约束条件为

（A ）121122,,0,0a x a y c b x b y c x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩（B ）111222,,0,0a x b y c a x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ （C ）121122,,0,0a x a y c b x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ （D ）121122,,0,

a x a y c

b x b y

c x y +=⎧⎪+=⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ 解：在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克，y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润12z

d x d y =+最大的数

学模型中，约束条件为12112200a x a y c b x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，选 C. 本题应该说是一个基本的

线性规划应用题，而且只需要列出约束条件，所以难度不大

总结：以上6个题，从考查的知识点及题目形式上看，都考查了线性规划的基本问题，但每个题的侧重点又有所不同，而且（3），（4），

（5）又有一定的综合性，可见在学习线性规划时，要加强对学生基础知识的同时，还要适度培养学生的综合能力。

2.变形题

（1）（08年重庆理）

已知变量,x y 满足约束条件14,2 2.x y x y ≤+≤-≤-≤若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点()3,1处取得最大值，则a 的取值范围为 解：本题是一个逆向思维问题，已知变量,x y 满足约束条件 14,2 2.x y x y ≤+≤-≤-≤ 在坐标系中画出可行域，

如图为四边形ABCD ，其中()3,1,1,1AD AB A k k ==-，

目标函数z ax y =+（其中0a >）中的z 表示斜率为a -

的直线系中的截距的大小，若仅在点()3,1处取得最大值，

则斜率应小于1AB k =-，即1a -<-，所以a 的取值范围

为(1，+∞) 由解决问题的过程可见，本题的难度加大了，学生需要要良好逆向思维能力，问题转化能力和几何直观能力。

（2）（08

年广东）在约束条件0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是 A [6,15] B [7,15] C [6,8] D [7,8] 解：本题的约束条件中出现了变量s ，由此使问题的难度一下子加大了，具体解决方法如下