高考数学中的线性规划问题的总结分析

线性规划问题的专题研究
新教材试验修订本中简单的线性规划是新增的内容，在线性约束条件下研究目标函数的最值问题是一类常见的问题，在近几年高考试题中均有出现，而且灵活多变。

本文结合08年高考出现的几个线性规划问题，对常见的线型规划问题作以专题总结研究。

一、08年高考中的线性规划问题的总结分析
1.基本问题
（1）（08年安徽理）如果实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩
，那么2x y
-的最大值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．2-
D ．3- 解：本题为较基本的线性规划问题，解决方式应该是： 画定可行域；做目标函数对应平行线束；找到最
大值，如图所示显然是平行线过A 点时取
最大值，将A 点坐标代入有
max 1Z =，故选择B
（2）（08年福建文）
已知实数x 、y 满足1,1,y y x ≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩
则2x y +的最大值是＿＿＿＿ 解：本题也是一个基本题型，但从给定的约束条件来看，难度加大了，解法如图所示
当平行线过点()2,1B 时，2x y +
区的最大值为4
（3）（08年山东理）某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须
满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则z =10x +10y 的最大值是
(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95
解：本题是一个应用性的线性规划问题，经转化实质上是一个整点问题，实际的约束条件应为
51122,239,211,
,x y x y x x N y N
-≥-⎧⎪+≥⎪⎨≤⎪⎪∈∈⎩，画出区域如右图 过A 点时z 值最大，但由于A 点不是整点
故不能取到，所以应该是图中过整点（5，4）的直线使z 取最大值90 整点问题是线性规划部分的一个难点，但本题由于只是求最大值，唯有涉及到取整点是什么，所以难度降低了，但鉴于它是个应用题，还是比较灵活的。

（4）（08年辽宁理）双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是
(A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (C) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (D) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩
解：本题是一个综合性问题，既考查了线性规划又考查了双曲线的渐近线问题，但从难度上来说不大，但从此题可以看出，线性规划题型的灵活性，此题结果如下：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为
y x =±，与直线3x =围成一个三角形区域时有0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩
（5）（08年浙江理）在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表
示的平面区域的面积是 (A)21 (B)23 (C)81 (D)8
9
解：本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积 由题知可行域为ABC ∆， 42204=⨯-=
∆ABC S ，故选择B
（6）（08年四川理）某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为11a b 、千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为22a b 、千克 甲、乙产品每千克可获利润分别为12d d 、元 月初一次性购进本
月用原料A 、B 各12c c 、千克 要计划本月生产甲、乙两种产品各多少千克才能使月利润总额达到最大 在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为ｘ千克、ｙ千克，月利润总额为ｚ元，那么，用于求使总利润12z d x d y =+最大的数学模型中，约束条件为
（A ）121122,,0,0a x a y c b x b y c x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩（B ）111222,,0,0a x b y c a x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ （C ）121122,,0,0a x a y c b x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ （D ）121122,,0,
a x a y c
b x b y
c x y +=⎧⎪+=⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ 解：在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克，y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润12z
d x d y =+最大的数
学模型中，约束条件为12112200a x a y c b x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，选 C. 本题应该说是一个基本的
线性规划应用题，而且只需要列出约束条件，所以难度不大
总结：以上6个题，从考查的知识点及题目形式上看，都考查了线性规划的基本问题，但每个题的侧重点又有所不同，而且（3），（4），
（5）又有一定的综合性，可见在学习线性规划时，要加强对学生基础知识的同时，还要适度培养学生的综合能力。

2.变形题
（1）（08年重庆理）
已知变量,x y 满足约束条件14,2 2.x y x y ≤+≤-≤-≤若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点()3,1处取得最大值，则a 的取值范围为 解：本题是一个逆向思维问题，已知变量,x y 满足约束条件 14,2 2.x y x y ≤+≤-≤-≤ 在坐标系中画出可行域，
如图为四边形ABCD ，其中()3,1,1,1AD AB A k k ==-，
目标函数z ax y =+（其中0a >）中的z 表示斜率为a -
的直线系中的截距的大小，若仅在点()3,1处取得最大值，
则斜率应小于1AB k =-，即1a -<-，所以a 的取值范围
为(1，+∞) 由解决问题的过程可见，本题的难度加大了，学生需要要良好逆向思维能力，问题转化能力和几何直观能力。

（2）（08
年广东）在约束条件0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是 A [6,15] B [7,15] C [6,8] D [7,8] 解：本题的约束条件中出现了变量s ，由此使问题的难度一下子加大了，具体解决方法如下
由⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+4
2442s y s x x y s y x 交点为(2,0),(4,24),(0,),(0,4)A B s s C s C '--，
（1） 当43<≤s 时可行域是
四边形OABC 内部包括边界，此
时，87≤≤z ，如图1，可知
3s =时，z 值最大，最大值为 直线过点B 时的值，z 值最大为7；如图2 可知，4s =时，z 值最大，最大值为直线过点C ’(
此时B 与C ’重合)时的值，z 值最大为8
（2） 当54≤≤s 时，如右图，可行域
是△OA C '此时，8max =z ，故选D
综上所得，32z x y =+的最大值的变化范围是[7,8]。

本题从题干上来讲，好像是基本的线性规划，但实际上
由于变量s 的引入，使此题的查考的范围就不仅仅是基
本的线性规划问题了，还要用到分类讨论的思想，最后
实现问题的解决还要很好的做到形与数的统一。

总结：以上两题在问题设置上摆脱了线性规划问题的常规模式，比较新颖，且很灵活，尤其（2），要想正确解答，很困难，可见培养学生的综合运用知识能力很关键，尤其是对于高三的学生来说。

3.扩展题
图1
图2
（1）（08北京理）已知点 P （x ，y ）的坐标满足条件4,1,x y y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩
点O
为坐标原点，
那么z =的最小值等于________,最大值等于________. 解：画出可行域，如图所示：
易得A （2，2），OA
＝B （1，3），OB
C （1，1），OC
故|OP|
本题约束条件是线性的，但目标函数却是非线性的，问题的解决关键
是能够很好的利用目标函数的几何特点，将求z =的最值问题转化为区域内的点到原点的距离问题，从而实现问题的解决 类似的选取05年高考江西卷的一道题
设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩
⎪⎨⎧≤->-+≤-- . 解：求y x
的最大值问题可转化为区域内的点和原点的连线的斜率的最大值，画出可行域，如图所示，当原点和31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭连线时，斜率最大，为32
， 由此说明y x 的最大值为32
总结：以上两题说明，在给定约束条件情况下，要利用好目标函数的几何意义，可以使我们能够站在系统的高度，把握问题的规律，有效地实现问题解决，而且有助于加深学生对数学知识的理解和深化。

二、从08年高考题中得到的反思
1．在线性规划问题的教学中夯实基础，不能存在任何侥幸心理，对约束条件的建立，目标函数把握上要做到灵活。

2．在线性规划问题的教学中要注意知识的综合运用能力的培养，注意线性规划问题与函数，解析几何中其他问题的联系。

3．在线性规划问题的教学中还要注意理论联系实际，尤其是在应用性问题的教学中更要注意把握应用问题的实质。