数学史 数学王子高斯

总结
非欧几何被后世誉为“十九世纪最有 启发性、最重要的数学成就.”它与近世 代数一起改变了人们处理数学问题的观点 和方法，迎来了数学发展的新时期.
除了数学领域，高斯在许多与数学 联系紧密的其他领域也有很深的造诣.
天文学方面：
•24岁时，高斯创立了行星轨道椭圆法， 成功地解决了如何根据有限的观测数 据来确定新行星的轨道这个难题.
因此，高斯、罗巴切夫斯基和波尔约被 并列看作非欧几何的创始人.
在非欧几何里，存在罗 氏几何和黎曼几何.
罗氏几何用 “同一平面上任何 两条直线都不相交” 代替欧式几何中的 第五公设，在罗氏 几何中，三角形的 内角和小于180度.
黎曼几何用
“同一平面上任 何两条直线一定 相交”代替欧式 几何中的第五公 设，在黎曼几何 中，三角形的内 角和大于180度.
进入19世纪后，一种革命性的几何观念 在酝酿：欧几里得几何不是唯一描述物质空 间的几何学，在不同的公理基础上可以建立 不同的几何学体系.最早认识到这一点的就 是高斯.
15岁时，高斯就已经思考过 第五公设，1816年左右，他已经 有了非欧几何的基本思想，确信 存在着不同于欧式几何的另一种 几何学，而且进一步考虑到这种 新几何的现实性.但高斯一直对 自己的发现秘而不宣，原因是高 斯的“宁要少些，但要好些”. 高斯深知：这种新思想对欧几里 得几何学造成极大的冲击，必遭 到人们的攻击和耻笑.
高斯(Gauss,1777-1855), 德国数学家、天文学 家和物理学家，有 “数学王子”美称.
教学目标
【知识与能力】
1. 了解高斯的数学生涯是如何开始的. 2. 能够熟悉高斯的学术成就. 3. 能够熟悉非欧几何.
【过程与方法】
• 联系学过的知识，对高斯的学术 成就有更深的了解.
【情感态度与价值观】
高斯在学术上强调，数学作为一门严 谨的科学，必须追求明确的定义、清晰的 假设、严格的证明以及研究成果的系统化.
纯数学方面：
•19岁时，高斯证明了二次互反律，也称 为“黄金律”.
•1801年，高斯出版了《算术探究》，该 书奠定了近代数论的基础，它不仅是数 论方面划时代的著作，而且可以列为历 史上最有代表性的数学著作之一.
高斯曾说：“数学是科学之王，数论是数 学子王.它常常屈尊去为天文学和其他自然学科 效劳，但在所有的关系中，它都堪称第一.”
代数方面：
•1797年，高斯证明了n次代数方程在复 数域内有n个根，这就是著名的代数基 本定理. •高斯提出了所有的复数都可以用复平 面上的点来表示，后人把“复平面” 也称作高斯平面.
•高斯利用平面向量与复数之间的一一 对应关系，阐述了复数的几何加法与 乘法，为向量代数学奠定了基础.
•高斯将微分几何大大推进了一步， 并确定了这一学科发展的基本方向.
•1816年，高斯发现了非欧几何原理， 成为非欧几何的创始人之一.
那么，什么是非欧几何呢？
两千多年来，人们认为欧几里得几何空 间是唯一反映现实世界的几何空间，所以一 直把欧几里得几何奉为金科玉律.19世纪二、 三十年代，非欧几何的诞生把人们从这一思 想禁锢中解放了出来.
我难以相信心理学上的资料，能以 数学的方法表达，上苍是唯一掌握 有心理现象之数学基础的人.
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高斯是科学史上的一位通才，他的研 究领域非常广阔，但其数学成就最令人瞩 目，高斯被后人誉为“数学王子”.他是数 学史上一个转折时期的杰出代表人物，起 着承上启下的作用.
俄国数学家罗巴切夫斯基 （1792——1856）经过10年的 艰苦努力，对非欧几何思想的 研究取得突破.1826年2月23日， 罗巴切夫斯基第一次公开了他 的非欧几何思想，这个思想使 人类思维从直接经验的狭小范 围内解放出来.这一天被公认 为非欧几何的诞生日.
1823年，匈牙 利的波尔约也独立 发现了非欧几何.
电磁学和光学方面：
•1883年，高斯和韦伯（W.E.Weber， 1804——1891）共同发明了电磁电报.
•高斯是大地测量学卓越的理论家和 实践者.
高斯知多言少，一生发表了155 篇论文，但还有大量的创作没有发 表出来.因为高斯总是等到作品尽善 尽美的时候才公布出来.如果具有超 群洞察力的高斯不那么过于谨慎， 及早地发表他的真知灼见，对数学 发展的贡献将会更加巨大.
高斯的学校生涯
由于家境贫寒，高斯受人们的资助， 不仅完成了中学学业，还完成了大学学业， 18岁那年，高斯到哥廷根大学就读，在大 学的三年里，高斯全身心地投入数学学习 和思考，取得了一系列的重要发现.最重 要的是，在这一时期，贯穿高斯一生的研 究风格的一个重要方面已趋于成熟：不停 地观察和实例剖析，从经验性质的研究中 获得灵感和猜想.
回顾就知
上节课，我们讲了数学英雄 欧拉，现在大家想想欧拉的丰功 伟绩都有哪些?
在数学分析、函数概
念、“哥尼斯堡七桥”问 题、欧拉世性数、数学符 号等方面贡献很多!
进入另
一位数学巨 星的学习.
导入新课
19世纪是倍受数学史家瞩目的 世纪，古典数学在这一世纪里蜕变 为现代数学的形态.新旧交替，万 象更新，数学基本形成了现在的格 局，在这个时期，最杰出的代表人 物是被称作“数学王子”的德国数 学家高斯.
• 通过对本课的学习，使学生们更 深刻的了解数学的实质，培养严谨 的逻辑推理的思维.
教学重难点
重点
能够熟悉高斯的学术成就.了解非欧几何.
难点
高斯的学术成就，以及对非欧几何的讲述.
高斯出生在德国
不伦瑞克一个贫苦的 家庭，高斯很小就显 露出数学天赋.
传奇的小故事(1)
有一天，父亲计算工薪账目，他算 了半天才算完，在一旁观看的高斯却说： “爸爸，你算错了，应该是……”核对后， 果然高斯是对的.
欧几里得的《原本》的全部内容是以开
篇的五个公设为出发点展开的，其中的第五 公设是这样叙述的：同一平面内，一条直线 与另外两条直线相交，若在某一侧的两个内 角之和小于两个直角，则这两条直线无限延 长后在这一侧相交.
欧 几 里 得
《 原 本 》
《原本》诞生后，第五公设引起了数学 家的极大关注，许多数学家试图从其他公 理、公设中把它推导出来，结果都以失败 而告终.
传奇的小故事(2)
高斯10岁时，数学老师要求学生将 100以内的数加起来.高斯很快就把有答案 的石板交了上去，并且答案正确，而其他 学生则用了很长时间才完成计算，而答案 却是错的.
他并不是急于直接相加计算，他 发现1+100=101，2+99=101， 3+98=101，……50+51=101总共有50个 101，他立刻得出答案就是5050.
高斯的成就：
他的成就遍及数学的各个领域，在数论、 非欧几何、微分几何、超几何级数、复变、 函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡 献.他十分注重数学的应用，并且在对天文 学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用 数学方法进行研究.
世人对高斯的评价：
高斯和牛顿、阿基米德，被誉为 有史以来的三大数学家. 高斯是近代数 学奠基者之一，在历史上影响之大，可 以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有 “数学王子”之称.
高斯是近代数学奠基人之一，在数 学史上的影响之大，使得他与阿基米德、 牛顿、欧拉并称为“数学四杰”.
高斯去世后，阿根 廷大学建立了高斯的塑 像以资纪念.德国政府为 了纪念这位数学巨， 还发行过印有高斯头像 的10马克钞票.
课堂小结
高斯简介：
高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一 个工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根。 幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助 才进学校受教育.1795～1798年在格丁根大学 学习1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因 证明代数基本定理获博士学位.从1807年起担 任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至 逝世.
高斯的新发现
1796年是高斯学术生涯的第一个 转折点：他敲开了自欧几里得时代起 就困绕着数学家的尺规作图难题的大 门，证明了正十七边形可以用直尺和 圆规做出来，这是欧几里得以来悬而 未决的问题.这一成功使高斯真正认 识到自己的天赋是数学.高斯的数学 生涯开始了.
高斯的语录
数学，科学的皇后；算术，数学的 皇后.