第19讲 间隔与阵列-完整版

第19讲间隔与阵列兴趣篇1．★在长为10米的小桥一侧每隔1米插一面彩旗，小桥两端都要有彩旗．’一共需要多少面彩旗？答案11面解答小桥全长是10米，相邻两面旗的间隔是1米，则共有10÷1=10(个)间隔．两端都有彩旗，则彩旗面数=间隔数+1，所以一共需要11面彩旗.2．*10名学生从左至右站成一排，相邻两名学生的间隔都是1米．请问：排头和排尾的距离是多少米？答案9米解答根据题意，有10-1=9（个）间隔，每个间隔是1米，所以排头和排尾的距离是9米．3．★社区门口有一条长为100米的马路，现在要在这条马路的一侧种树，每隔10米种一棵，而且马路的两端都要种．一共需要种多少棵树？答案11棵解答马路全长100米，相邻两棵树的间隔是10米，则共有100÷10=10（个）间隔．两端都种树，棵数=间隔数+1，所以一共需要种11棵树．4．★学校门前有条长100米的马路，马路两侧一共种了42棵树，每侧相邻两棵树之间的距离都相等，而且马路的两端都种了，请问：相邻两棵树之间的距离是多大？答案5米解答马路每侧有42÷2=21（棵）树，两端都种树，棵数=间隔数+1，所以一共有21-1=20（个）间隔.也就是说，100米被平均分成了20段，每段长度等于100÷20=5（米），这就是相邻两树的间距．5．★★萱萱上楼，从第一层走到第三层需要上36级台阶，如果各层楼之间的台阶数相同，那么萱萱从第一层走到第六层一共需要上多少级台阶？答案90级解答走到第三层正好走了3-1=2（段）台阶，这两段台阶共有36级，所以每段台阶共有36÷2=18(级)．同理，从第一层走到第六层需要走6-1=5（段）台阶，因此，共有18×5=90（级）．6．★★学校组织军训，教官让男生站一排，女生站一排．请问：(1)萱萱和女生站成一排，她发现自己的左侧有7人、右侧有8人，女生一共有多少人？(2)墨莫和男生站成一排，他发现自己是左起第7个、右起第9个，男生一共有多少人？(3)小高也在男生队伍里，他是左起第4个，他的右侧应该有几人？他应该是右起第几人？答案(1)16人；(2)15人；(3) 11人，第12人解答(1)8+7=15（人），漏算了萱萱，所以女生队伍总人数应该是15+1=16（人）．如下图所示：(2) 7+9=16（人），把墨莫多算了一次，所以男生趴伍总人数应该是16-1=15（人）．如下图所示：(3)男生队伍共有15人，小高是左边数起第4个，所以他右侧显然应该是15 -4=11(人)．如果从右边数起，他应该是第11+1=12（人）．7．★★学校运动会闭幕式结束后，班长萱萱让全班同学站成一行清点人数（她自己并不在队伍中）．她先从左往右数，发现墨莫是第25个；然后她又从右往左数，发现小高正好是第29个，如果队伍里一共有31个人，那么墨奠和小高之间有几个人？答案21人解答29+25=54(个)人，比31个人多54-31=23（个）人，说明有些人被数重了，数重的人中包括墨莫、小高，还包括墨莫与小高之间的人．所以墨莫、小高之间有23-2=21(人)．8．★★学校有一个圆形水池，水池的周长为40米．如果绕着水池每隔4米种一棵树，一共要种几棵树？答案10棵解答每个间隔的长度为4米，水池周长为40米，所以一共有40÷4=10（个）间隔．从示意图上可以发现树的棵数和间隔数一样多，所以10个间隔正好要种10棵树．9．★★50个男生沿着300米的跑道站成一圈，并且相邻两人之间的距离都相等．现在，每相邻两个男生之间叉加入了两个女生，相邻两人之间的距离还是相等．请问：一共加入了多少个女生？加入女生后，相邻两人之间的距离又是多少米？答案100个；2米解答男生有50个，所以间隔数也是50个，每个间隔加入2个女生，所以女生一共加入50×2=100(个)．跑道周长为300米，原来每个间隔的长度为300÷50=6（米）．加入女生后，每个间隔被平均分成3个新间隔，则新间隔的长度是6÷3=2（米）．所以相邻两人之间的距离是2米．10．有100人站成一个实心方阵，那么这个方阵的最外层共有多少人？从外向里算起的第二层有多少人？从里向外算起的第三层有多少人？答案36人；28人；20人解答这是一个10×10的方阵，最外面一层正好每边10人，一共有：10×4-4=40-4=36(人)．从上图不难看出，第二层每边都比第一层少2人，所以四条边一共少了8人，总人数也就等于36-8=28(人)．由于10×10是偶阵，则最里层是2×2的方阵，正好4人．再往外数一层，每层人数也应该加8人，再数一层，再加8人．所以从里往外算起的第三层人数为：4+8+8=20(人)．拓展篇1．★★王老师想做一张木凳，他先把一根木头锯成4段，用了12分钟，如果要把另一根木头锯成8段，需要几分钟？（假设王老师每锯断一次所花的时间相同）答案28分钟解答把一根木头锯成4段要锯3次，每锯一次用12÷3=4（分）．同理，把一根木头锯成8段要锯7次，总共需要4×7=28(分)．2．★★小高和墨莫去王老师家玩，王老师住在15层，两人同时从一楼往上走，速度都保持不变，当小高走到第3层的时候，墨莫恰好走到了第5层，请问：当墨莫走到王老师家的时候，小高走到了第几层？答案第8层解答小高走到第3层时走了2段楼梯，此时，墨莫已经到了第5层，一共走了5-1=4（段）．显然，墨莫的速度是小高的2倍，当墨莫走到王老师家（15层）时，一共走了14段楼梯，此时小高就走了14÷2=7（段），走7段楼梯正好走到第7+1=8（层）．3．★★有一块三角形土地，三条边的长度分别为120米、150米、80米．如果在边界上每隔10米种一棵树，三角形的每个顶点都必须种，一共要种多少棵树？答案35棵解答由题意，两棵树的间隔是10米，那么120米长的边上要种：120÷10+1=13（棵），150米长的边上要种150÷10+1=16（棵），80米长的边上要种80÷10+1=9（棵）．三者相加共有13+16+9=38(棵)．但这样计算有重复，由于三角形的每个顶点也是每条边的端点，所以三角形顶点处的3棵树都被计算了两次，多算了1次．需从38棵树中减去重复计算的3棵，所以一共要种38-3=35（棵）．4．★★体育课上老师让42个同学站成一行，卡莉娅发现有一半人站在她的左边；萱萱发现自己是从右往左数的第12个．卡莉娅和萱萱之间有多少个同学？(1)最外层每边有多少人？这个方阵一共有多少人？(2)如果要组成一个更大的方阵，至少需要增加多少人？(3)如果给这个方阵最外面再增加一层，那么需要增加多少人？答案8人解答卡莉娅左边的有42÷2=21(人)，因此卡莉娅是左起第22个，萱萱是右起第12个．如下图所示：因此卡莉娅和萱萱之间的人数=42-22-12=8（人）．5．班里一共有42名学生，站成一圈做游戏，现在从小高开始数，请问：(1)如果墨奠是顺时针数第26个，萱萱是顺时针数第17个，墨奠与萱萱之间有几名同学？(2)如果墨莫是顺时针数第22个，萱萱是逆时针数第13个，墨莫与萱萱之间有几名同学？(3)如果墨莫是顺时针数第27个，萱萱是逆时针数第31个，墨莫与萱萱之间有几名同学？答案(1)8名；(2)8召；(3) 13名解答(1)如下图所示，墨莫与萱萱之间共有26-17-1=8（名）同学．(2)萱萱位于逆时针第13个，墨莫是顺时针第22个，从萱萱开始顺时针数到墨莫共有22+13-1=34（名）同学.依据下图所示，得墨莫和萱萱之间共有42-34=8（名）同学．(3)萱萱是逆时针数第31个，墨莫是顺时针第27个，31+27=58，比42名还多，说明有重叠．一共有58-42=16（名）同学重叠．如下图所示，这16个数重的人，既包含小高、墨莫、萱萱，还包含墨莫与萱萱之间的所有人．所以墨莫与萱萱之间共有16-3=13（名）同学．6、一整块大豆腐长40厘米，宽20厘米，厨师准备把它切成一些长5厘米，宽4厘米的小块，而且每次只能沿着直线切．如果不允许移动豆腐的位置，那么厨师至少要切几次？答案：11次解答小豆腐的长为5厘米，宽为4厘米，要从大豆腐中切出5厘米的长度来，可以把40厘米的长切出若干5厘米，也可以把20厘米的宽切出若干个5厘米，因此，一共有2种切法.切法一:40厘米的长被分成若干个5厘米，一共40÷5=8（段），分8段需要切8-1=7（次）．20厘米的宽被分成若干个4厘米，一共20÷4=5（段），分5段需要切5-1=1（次）.因此一共需要7+4=11（次）.如下图：切法二：40厘米的长被分成若干个4厘米，一共40÷4=10(段)，分10段需要切10-1=9（次）．20厘米的宽被分成若干个5厘米，一共20÷5=4（段），分4段需要切4-1=3（次）．因此一共需要9+3=12(次)．如下图：比较2种切法，切法一所切次数较少，所以至少需要11次．7．★★若干名同学站成一个15×15的实心方阵．请问：最外层一共有多少名同学？这个方阵一共有多少层？从里向外算起的第七层有多少名同学？答案56名；8层；48名解答最外层一共有15×4-4=56（名）同学，最外层每边15名，由于相邻两层每边差2名，所以往里数各层依次是13名、11名、9名、7名、5名、3名，1名，共8层．从里往外数第七层，就是从外往里数第二层，紧挨着最外层．由于相邻两层总数差8名，所以一共有56-8=48(名)同学．8．一个实心方阵，最外层一共有20人，请问：(1)最外层每边有多少人？这个方阵一共有多少人？(2)如果要组成一个更大的方阵，至少需要增加多少人？(3)如果给这个方阵最外面再增加一层，那么需要增加多少人？答案(1)6人，36人；(2) 13人；(3) 28人解答(1)最外层每条边人数：(20+4)÷4=6（人）．6×6的方阵总人数为6×6=36（人）．(2)现在的方阵为6×6方阵，要增大一些，即变成7×7方阵．需要增加的人数为7×7-6×6=13（人）．(3)增加的一层的人数要比原本最外层的人数多8，也就是28人9．一个实心方阵，最外层共有44人．请问：(1)这个方阵共有多少人？(2)要让这个方阵减少一行一列，一共要减少多少人？答案(l) 144人；(2) 23人解答(1)最外层每边的人数为(44+4)÷4=12（人），12×12的方阵总人数为12×12=144(人)．(2)如果要减少一行一列，就是去掉一个L形．在计算L形人数的时候，如果用12×2=24来算就多算了，多算的就是L形拐角处的那个人，因此，一共减少12×2-1=23（人）．10．红领巾小学三年级有120个学生，他们排成一个三层的空心方阵，请问：(1)这个方阵最外层每边有多少个学生？(2)如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，应该增加几个学生？(3)如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，还需要再增加几个学生？答案(1)13人；(2) 56人；(3) 24人解答(1)已有的这三层，总人数构成一个等差数列，所以中间层的人数为120÷3=40（人）．利用“相邻两层，总数差8”的性质，可得：最里层比中间层少8人，共有40-8=32（人），最外层比中间层多8人，共有40+8=48（人），相应的最外层每边人数=(48+4)÷4=13（人）．(2)如果在外面再加一层，那么它比现在的最外层还多8人，因此一共要加48+8=56(人)．(3)如果在内部再加一层，那么它比现在的最内层还少8人，因此应该再加32-8=24(人)．11．用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖铺一块正方形墙面：由外到内算起，这个墙面最外层铺的是红色瓷砖，第二层是绿色瓷砖，第三层是红色瓷砖，第四层是绿色瓷砖……依次铺下去，一共用了400块瓷砖，请问：这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？碾种瓷砖相差多少块？答案红色；40块解答20×20=400(块)，说明这是一个20×20的方阵，共有20÷2=10(层)．从外往里数相邻两层为一组，共分5组．每组里红色瓷砖都比绿色瓷砖多8块，所以红色瓷砖比绿色瓷砖共多5×8=40（块）．12．王老师把一些树苗栽种成一个尽量大的实心方阵，结果还多出了6棵树苗；后来又运来了34棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵，那么后来的方阵最外层每边有多少棵树？答案11棵或7棵解答方法一：大方阵是在小方阵基础之上扩展而来的，方阵由小变大一共用了6+34=40(棵)树苗.最简单的想法就是在原先的方阵外再围上一层或者几层，如图1．也可以只围其中相邻的两条边(L型，如图2)，这样也可以构成一个更大的方阵．如果增加了奇数个L．增加的树的棵数是一令奇数，不可能为40;如果增加了偶数个L，则可以转化为以上的在外围增加一层或几层的情况．(1)加一层（如图3）：如果这40棵树苗正好围成一层，那这一层每条边各种了40÷4+1=11（棵）树．(2)加两层（如图4）：如果分两层种这40棵树苗，根据“相邻两层总数差8”，这两层的数量分别是(40+8)÷2=24，(40-8)÷2=16．进而得到这两层的边长分别为7和5．所以大方阵每边应该是7棵．(3)加三层或更多：如果要分3层，由于40除以3除不尽，所以不可能，如果要分4层，一个4层的方阵至少也有49棵树（即一个7×7的方阵）．所以也不可能，由此可知40棵树至多分两层．综合上面的3种情况，后来的方阵每边种了11棵树或7棵树.方法二：由于从一个方阵到另一个方阵增加了40棵树，设这两个方阵的边数分别为a和b，则应有a×a-b×b= 40，即(a+b)(a-b)=40，由于a+b和a-b的奇偶性相同，乘积又是偶数，它们必然是两个偶数，只可能分别是20和2或者10和4，于是或分别解得或所以，后来的方阵每边种了11棵树或7棵树．13．如图19 -1，一块绿地由3块相同的等边三角形草地和一个水池构成，现在要在草地上种花，要求在草地与草地的公共点处种上花（即图中的A、B、C点），且每块草地上的花朵排成一个三角形实心点阵，每块草地上最外层的每条边上有10朵花，请问：整个绿地一共要种多少朵花？答案162朵解答每个三角形阵列每边都有10朵花，所以每片草地都有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55(朵)花．3片草地加在一起共有55×3=165（朵）花.三角形连接处的点被算了两次，多算了1次，必须减去．因此，整个绿地一共种花160-3=162（朵）．14．有10 000人参加国庆节游行庆祝活动，这些人被平均分戍25队，每队以20人为一排，前进过程中，排与排之间相隔1米，队与队之间相隔6米．那么这支游行队伍的长度为多少米？答案619米解答依题意，这10000人平均分成25队，每队正好10000÷25=400(人)．而这400人又以20人为一排，排成400÷20=20(排)．不难看出，这正好是一个方阵．所以这10000人组成了25个方阵，而这些方阵前后间隔6米，依次排成一列，如下图所示：每个方阵20排，从第一排到最后一排一共有20-1= 19(个)间隔．依据题意，前后两排间隔1米，所以从第一排到最后一排应该是19×1=19(米)．队伍的长度除了25个方阵的长度之外，还有25-1= 24(个)队与队之间的间隔．把这些长度都加起来，即可得队伍总长：19×25+6×24=619（米）．超越篇1．如图19 -2，有一个长方形的“田”字道路，整个长方形的长为100米，宽为70米，现在要在所有道路上种树，相邻两棵树之间的距离都相等，而且拐弯的地点（顶点或中点）都要种上树．那么最少要种多少棵树？答案99棵解答由于50必须是树的间距的倍数；35也须是树的间距的倍数，因此树的间距最大只能是5米.横向道路长100米，每条横向道路上种100÷5+1= 21(棵)树．有3条横向道路，一共21×3=63（棵）．纵向道路长70米，每条纵向道路上种70÷5+1=15（棵）树．有3条纵向道路．一共15×3=45（棵）．两者相加一共45+63=108（棵）．由于每个拐点同时属于一条横向道路和一条纵向道路，所以被计算了两次．一共有9个拐点，则最后要减去9．因此，总共应该种树108-9=99（棵）．2．在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图19 -3中的阵列类似．从外向内一共8层，依次站着两层六年级的同学、两层五年级的同学、两层四年级的同学以及两层三年级的同学．已知参加表演的六年级同学有126人，请问：(1)最外层有多少人？(2)现在阵列中一共有多少人。