《离散数学课件》谓词演算的推理理论
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离散数学的谓词逻辑详解省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
究它们旳形式构造及逻辑关系，总结出正确旳推理形式和 规则，这就是一阶逻辑所研究旳内容.
一阶逻辑也称谓词逻辑。谓词逻辑是一种体现能力更强旳
逻辑。
2024/9/22
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谓词逻辑
我们将简介谓词逻辑旳基本概念和符号。有关命题、 命题旳真值、命题词、命题常量和命题变元以及逻辑 五个联结词其含意和在命题逻辑中旳基本相同，
达．
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9
函词
例：张华旳哥哥比李明高 a:张华 b:李明 L(x，y):x高于y f(x):x旳哥哥 则上述符号化为： L(f(a)，b) f称为函词
定义：一种n元函词即是一种论域Ｄ上旳一种n元函数．
2024/9/22
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概念旳讨论
❖ 变元在谓词中旳顺序直接影响了谓词旳取值 。 如:设谓词P(x，y)为“x比y高”，
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表达成 H(a) ，H(b). 这么表达就揭示了两命题间有相同旳谓语这一特征。
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例2：张华比李明高 令 a:张华 b:李明 L(x，y):x高于y 该命题可表达为： L(a，b)
例1和例2中旳 H、L称为谓词， 其中H是一元谓词，表达个体旳性质（是什么），
L是二元谓词，表达个体之间旳关系。
注： （1）常用大写拉丁字母表达谓词. （2）谓词是用来刻划个体旳性质或者个体之间
旳关系旳。
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命题函数与命题
例: 令P(x)表达x为质数，则P(x)为一元谓词。 令 H(x，y)表达“x高于y”,则 H(x，y)为二元谓词。
则：H(张三，李四) 表达“张三高于李四”，是命题。
是约束变元。
一阶逻辑也称谓词逻辑。谓词逻辑是一种体现能力更强旳
逻辑。
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谓词逻辑
我们将简介谓词逻辑旳基本概念和符号。有关命题、 命题旳真值、命题词、命题常量和命题变元以及逻辑 五个联结词其含意和在命题逻辑中旳基本相同，
达．
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函词
例：张华旳哥哥比李明高 a:张华 b:李明 L(x，y):x高于y f(x):x旳哥哥 则上述符号化为： L(f(a)，b) f称为函词
定义：一种n元函词即是一种论域Ｄ上旳一种n元函数．
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概念旳讨论
❖ 变元在谓词中旳顺序直接影响了谓词旳取值 。 如:设谓词P(x，y)为“x比y高”，
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表达成 H(a) ，H(b). 这么表达就揭示了两命题间有相同旳谓语这一特征。
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例2：张华比李明高 令 a:张华 b:李明 L(x，y):x高于y 该命题可表达为： L(a，b)
例1和例2中旳 H、L称为谓词， 其中H是一元谓词，表达个体旳性质（是什么），
L是二元谓词，表达个体之间旳关系。
注： （1）常用大写拉丁字母表达谓词. （2）谓词是用来刻划个体旳性质或者个体之间
旳关系旳。
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命题函数与命题
例: 令P(x)表达x为质数，则P(x)为一元谓词。 令 H(x，y)表达“x高于y”,则 H(x，y)为二元谓词。
则：H(张三，李四) 表达“张三高于李四”，是命题。
是约束变元。
《离散数学》课件-第二章 谓词逻辑(A)
• 谓词是用来说明个体的性质或个体间的关系。
• 例如，小王是个大学生
•
谓词
•
个体词
3大于2
个体词
个体词
谓词
2
谓词
• 形如“b是A”类型的命题可表达为A(b)；
• 表示多个个体间关系的命题，可表达为B(a，b)，或P(a，b， c)
• 定义2.1.2 和一个个体相联系的谓词称为一元谓词，和二个 个体相联系的谓词称为二元谓词，和n个个体相联系的谓词 称为n元谓词。
• yxP(x，y)表示命题：“存在实数y，对每一个实数x，都 有x+y>10成立”，这是个假命题，真值为0。
• 注意：除非所有量词都是全称量词或存在量词，否则，多个 量词同时出现时，不能随意颠倒量词的顺序，颠倒后会改变 原命题的含义。
18
2.2 谓词演算公式
• 一个谓词P和n个个体变元，如x1，x2，x3， xn，表示成P(x1，x2，x3，
都是谓词公式。 • 如果A是谓词公式，x是其中的任一变元，则xA和xA都是谓
词公式。 • 当且仅当有限次地应用上面的步骤得到的符号串才是谓词公式。
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量词的辖域及变元的约束
• 定义2.2.2 • 谓词公式xA和xA中出现在量词和后面的变元x称为量词的指导变元。 • 每个量词后面的最小的谓词子公式，称为该量词的辖域。 • 在量词的辖域中，x的所有出现都称为约束出现。约束出现的变元称为约束
• 一个谓词常项P和几个个体变元如x，y，z，表示成P(x，y，z， )的形式，称为命题函数，其中的个体变元可以代表任意一个个体。
• 注意：命题的谓词表达式是有真值的，命题函数的真值是不确定的。
4
例题 • 写出下列命题的谓词表达式。
L4谓词逻辑1 离散数学.ppt
么x是动物〞.所以这个命题涉及两个谓词
Man( 最精新 选.文档 )和Animal( )间的蕴涵.
4
为什么需要谓词逻辑?
• 可描述更丰富的推理形式.
• 例如下面这个推理用命题逻辑无法描述.
• 人皆有死.
a
• 苏格拉底是人. b
• 苏格拉底会死. c
• 用谓词逻辑可以很好地描述.
• 我们介绍的是一阶谓词逻辑(FOL),它根本 上覆盖了人们在数学和日常生活中用到
25
例:自然语句形式表示(续)
(6) “函数f (x)在[a,b]上的点x0处连续〞的 - 定义.
( )( > 0 ( )( > 0
( x)( |x - x0 | < )))
|f (x) – f (x0)| <
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例:自然语句形式表示(续)
(7)屡次量化:如对P(x,y) 有四种屡次量化情形:
谓词逻辑
一
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1
主要内容
• 谓词与量词 • 谓词公式 • 等值演算 • 范式 • 谓词逻辑推理 • 归结法推理
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2
谓词逻辑与命题逻辑的区别
• 命题逻辑:简单命题是分析的根本单元,不再对 简单命题的内部构造进展分析.
• 例如a:“柏拉图是人〞和b:“亚里士多德是人 〞是两个相互独立的命题,看不出a和b有什么联 系.
• 例如:假设函数father(x)表示x的父亲,谓 词P(x)表示x是教师,那么P(father(x))就 表示x的父亲是教师.
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10
量词
• 量词(quantifier)用来对论域中参与判断 的个体数量进展约束.
左孝凌离散数学课件第02章谓词逻辑
15
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers)
例如: H(x,y)∧H(y ,z)H(x,z)
若H(x,y)解释为: x大于y,当x,y,z都在实数中取值时,则这个 式子表示“若x大于y 且y 大于z，则x大于z” 。这是一个永 真式。
其中(1)、(2)、 (3)为一元谓词， (4) 、 (6)为二元谓词，
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression)
注: (1)单独一个谓词并不是命题，在谓词字母后 填上客体所得到的式子称之为谓词填式。 (2)在谓词填式中，若客体确定，则A(a1， a2...an)就变成了命题 (3)在多元谓词表达式中，客体字母出现的先 后次序与事先约定有关,一般不可以随意交换 位置(如,上例中H(s,t) 与H(t, s)代表两个不同 的命题) 。
离散数学(Discrete Mathematics)
9
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示 2.2命题函数与量词 2.3谓词公式与翻译 2.4变元的约束 2.5谓词演算的等价式与蕴含式 2.6前束范式 2.7谓词演算的推理理论
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
17
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propoቤተ መጻሕፍቲ ባይዱitional functions & Quantifiers)
2.2.2 量词(Quantifiers)
《离散数学课件》谓词逻辑
A(a, H(b)) →F(a,b)
非一阶谓词 26/44
例3 符号化：我送他这本书。
解：令 A(e1，e2，e3)表示“e1送e3给e2”； B(e)表示“e为书”； a表示“我”； b表示“他”； c表示“这”；
则原句译为： A(a，b，c) B(c)
27/44
例4 符号化：这只大红书柜摆满了那些古书。
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例 计算机学院的有些老师是青年教师
解： 设 C(e)表示e为计算机学院的人； T(e)表示e为教师; Y(e)表示e为青年.
则原句译为：
x(C(x)T(x) Y(x))
此例中：x就取值于全总个体域U， 谓词C(x)限定x取值范围。
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例 个体域I为人类集合,将下列命题符号化:
(1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。
21/44
一元谓词变元
A(x)
其中x为变量符号项、A为谓词变元。 此式表示x具有性质A。 注意：x，A分别在两个域上变化。
22/44
二元谓词变元
A(x，y)
其中x, y为变量符号项、A为谓词变元。 此式表示x和y具有关系A。 注意：x，y，A分别在三个域上变化。
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二、谓词语句的符号化
例1 将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶
1A(e)如下图所示: e A1 A2 a TF
2 谓词数目：
14/44
个体域{a，b}上的一元谓词
A(e)如下图所示: e A1 A2 A3 A4 a TFTF b TTFF
22
谓词数目：
15/44
个体域{a，b，c}上的一元谓词
A(e)如下图所示:
e A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
离散数学第四章 谓词演算的推理理论-归结推理系统
对应语句(1)至(3)的子句集为： (1) R(x1) L(x1) (2) H(x2) L(x2) (3) H(a) (4) I(a) 其中子句(3)(4)为对(3)式SKOLEM化而得，a为 SKOLEM常量。 要证明的定理的否定式为： x(I(x)R(x)), 即 x(I(x)R(x)) 化为子句形式为(5)： (5) I(x3)R(x3)
(8) P(a) D(a)
(9) P(a) (10) 口
{ a/y} (5)(6)归结
(8)(7)归结 (9)(3)归结
例 用归结方法证明下列公式
x(P(f(x))(P(f(a))P(x)))
证: 目标的否定为 x(P(f(x))(P(f(a)) ∧ P(x))) = x (P(f(x))(P(f(a)) ∧ P(x))) = x (P(f(x)) ∧ ( P(f(a)) ∨ P(x))) 子句集为 (1) P(f(x1)) (2) P(f(a)) ∨ P(x2) (3) P(x2) {a/x1} (1)(2)归结 (4)口 {f(x1)/x2}(1)(3)归结
(5)消去存在量词(按Skolem标准形)
(6)消去全称量词(直接去掉) (7)化为合取范式 (8)消去合取词得子句集， (9)改变变量的名称 (变量符号不重复使用)
例(p46-47) xP(x)x(A(x)y(B(y)W(x，y)))
解: (1)消去蕴含词 xP(x)x(A(x)y(B(y)W(x，y))) (2)约束变元改名： 利用改名方法对上式施行改名，以保证每一个量词 约束的变元不同名。 xP(x)z(A(z)y(B(y)W(z，y))) (3)化为前束范式 xzy(P(x)(A(z)(B(y)W(z，y)))) (4)消去存在量词(按Skolem标准形) 原式z(P(a)(A(z)(B(f(z))W(z，f(z)))))
(8) P(a) D(a)
(9) P(a) (10) 口
{ a/y} (5)(6)归结
(8)(7)归结 (9)(3)归结
例 用归结方法证明下列公式
x(P(f(x))(P(f(a))P(x)))
证: 目标的否定为 x(P(f(x))(P(f(a)) ∧ P(x))) = x (P(f(x))(P(f(a)) ∧ P(x))) = x (P(f(x)) ∧ ( P(f(a)) ∨ P(x))) 子句集为 (1) P(f(x1)) (2) P(f(a)) ∨ P(x2) (3) P(x2) {a/x1} (1)(2)归结 (4)口 {f(x1)/x2}(1)(3)归结
(5)消去存在量词(按Skolem标准形)
(6)消去全称量词(直接去掉) (7)化为合取范式 (8)消去合取词得子句集， (9)改变变量的名称 (变量符号不重复使用)
例(p46-47) xP(x)x(A(x)y(B(y)W(x，y)))
解: (1)消去蕴含词 xP(x)x(A(x)y(B(y)W(x，y))) (2)约束变元改名： 利用改名方法对上式施行改名，以保证每一个量词 约束的变元不同名。 xP(x)z(A(z)y(B(y)W(z，y))) (3)化为前束范式 xzy(P(x)(A(z)(B(y)W(z，y)))) (4)消去存在量词(按Skolem标准形) 原式z(P(a)(A(z)(B(f(z))W(z，f(z)))))
离散数学PPT教学谓词逻辑
b. X(P(X，Y)→YR(X，Y) ) 解：其中的P(X，Y)中的Y是自由变元，X是约束变元， R(X，Y)中的X，Y是约束变元。
注：在一个公式中，一个变元既可以约束出现，又可以 自由出现。为避免混淆可用改名规则对变元改名。
返回
3、约束变元改名规则
1.若要改名，则该变元在量词及该量词的辖域中的所有 出现须一起更改。
全总个体域 人
全总个体域
要死的
二条规则
返回
4．全总个体域 故得二条规则： ①对全称量词，特性谓词作为蕴含式之前件而加入之。 ②对存在量词，特性谓词作为合取项而加入之。
返回
5、举例
a，
b，
c，
d，
e
注：命题翻译为谓词公式，由于对个体的刻划深度不
同，可译成不同形式的谓词公式。
返回目录
5、举例
a.没有不犯错误的人 解：设F(x)为‘x是犯错误’,M(x)为‘x是人’,则
例
返回
一、基 本 定 义
例：当A（x）P（x）X P（x）且P（x）只能解释： （1）R（x）：x是质数（2）S（x）：x是合数。
论述域为{3，4}，判定A（x）是否为永真
解： P（x） x
P（x）X P（x）
--------------------------------------
R (x)
3
二、 量 词
2．存在量词x x读作‘至少有一x’，‘存在一x’ x ┐P(x)表示 ‘存在一x，使┐P(x) 为真’ ┐x ┐P(x)表示 ‘并非存在一个x，使┐ P(x)为真’
返回目录
二、 量 词
3．量词的作用 在P(x)，P(x,y)前加上x或x，称变元x被存在量
化或全称量化。 将谓内变元X的一切出现叫约束出 现，称这样的X为约束变元。
注：在一个公式中，一个变元既可以约束出现，又可以 自由出现。为避免混淆可用改名规则对变元改名。
返回
3、约束变元改名规则
1.若要改名，则该变元在量词及该量词的辖域中的所有 出现须一起更改。
全总个体域 人
全总个体域
要死的
二条规则
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4．全总个体域 故得二条规则： ①对全称量词，特性谓词作为蕴含式之前件而加入之。 ②对存在量词，特性谓词作为合取项而加入之。
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5、举例
a，
b，
c，
d，
e
注：命题翻译为谓词公式，由于对个体的刻划深度不
同，可译成不同形式的谓词公式。
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5、举例
a.没有不犯错误的人 解：设F(x)为‘x是犯错误’,M(x)为‘x是人’,则
例
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一、基 本 定 义
例：当A（x）P（x）X P（x）且P（x）只能解释： （1）R（x）：x是质数（2）S（x）：x是合数。
论述域为{3，4}，判定A（x）是否为永真
解： P（x） x
P（x）X P（x）
--------------------------------------
R (x)
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二、 量 词
2．存在量词x x读作‘至少有一x’，‘存在一x’ x ┐P(x)表示 ‘存在一x，使┐P(x) 为真’ ┐x ┐P(x)表示 ‘并非存在一个x，使┐ P(x)为真’
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二、 量 词
3．量词的作用 在P(x)，P(x,y)前加上x或x，称变元x被存在量
化或全称量化。 将谓内变元X的一切出现叫约束出 现，称这样的X为约束变元。
离散数学谓词逻辑课件
第二章谓词逻辑
第二章 小结
本章重点掌握内容： 1.各基本概念清楚。 2.会命题符号化。 3.熟练掌握等价公式和永真蕴涵式。 4.会写前束范式。 5.熟练3)b)P:2>1,Q(x):x≤3, R(x):x>5,a:5,{-2,3,6} x(P→Q(x))∨R(a)(P→xQ(x))∨R(a) (P→(Q(-2)∧Q(3)∧Q(6)))∨R(5) (T→(T ∧T ∧F ))∨F (T→F)∨FF∨F F (4)b)对约束变元换名 x(P(x)→(R(x)∨Q(x)))∧ xR(x)→zS(x,z) y(P(y)→(R(y)∨Q(y)))∧ tR(t)→uS(x,u) (5)a)对自由变元代入 (yA(x,y)→xB(x,z))∧ xzC(x,y,z) (yA(u,y)→xB(x,v))∧ xzC(x,w,z)
第二章谓词逻辑
(6)判断下面推证是否正确。 x(A(x)→B(x)) ⑴ x(A(x)∨B(x)) ⑵ x(A(x)∧B(x) ⑶ x(A(x)∧B(x)) ⑷ (xA(x)∧xB(x)) ⑸ xA(x)∨xB(x) ⑹ xA(x)∨xB(x) ⑺ xA(x)→xB(x) 第⑷步错，由⑶到⑷用的是公式： x(A(x)∧B(x))(xA(x)∧xB(x)) 无此公式，而是 x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x)，应将⑷中的换成 即：
第二章谓词逻辑
例2.7.1 所有金属都导电。铜是金属。故铜导电。 令 M(x):x是金属。C(x):x导电。a:铜。 符号化为： x(M(x)→C(x)),M(a) C(a) ⑴ x(M(x)→C(x)) P ⑵ M(a)→C(a) US ⑴ ⑶ M(a) P ⑷ C(a) T ⑵⑶ I11
2-7 谓词演算的推理理论
第二章谓词逻辑
离散数学、第7章、谓词逻辑、课件
z( P ( z ) R( x , z )) Q( x , y )
换名规则1)
换名范围:量词中的指导变元
和作用域中出现的该变元.公式中其
余部分不变.
2) 要换成作用域中没有出现的
变元名称.
代入(自由变元的更换)
x ( P ( y ) R( x , y ))
x ( P ( z ) R( x , z ))
为避免由变元的约束与自由同时 出现, 而引起概念上的混乱, 可对约束
变元进行换名. 换名 (约束变元改变名称符号)
x( P ( x ) R( x , y )) Q( x , y )
z ( P( z ) R( z, y)) Q( x, y)
y( P ( y ) R( x , y )) Q( x , y )
Hale Waihona Puke “ 一些A是B ”。7.4 谓词公式与符号化 谓词演算的逻辑公式:
1) 原子谓词公式是逻辑
公式 Q , A( x ), A( x , y ), 2) 若A 是逻辑公式,则┑A 也是逻辑公式.
3) 若 A , B 是逻辑公式,则
A B , A B , A B,
A B 也是逻辑公式.
量词前的否定,是否定被 量化了的整个命题. 并非每个人都吃面包
x( M ( x ) H ( x ))
x(M ( x ) H ( x ))
x(M ( x ) H ( x ))
x( M ( x ) H ( x ))
存在不吃面包的人
设个体域中的客体变元 为 a1 , , a n ,则 xA( x )
3) xy ( P( x, y) Q( x, y)) xP( x, y)
离散数学谓词逻辑.ppt
三、量词和全总个体域 1.量词
使用前面介绍的概念，还不足以表达日常生活中 的各种命题。
例如：对于命题 “ 所有的正整数都是素数 ”
和 “ 有些正整数是素数 ” 仅用个体词和谓词是很难表达的。 量词 在命题里表示数量的词。
（1） 全称量词
“ x”
x D（x）， 如“所有人都是要死的。”可表示为
三、换名规则和代入规则 1.换名规则
对约束变元进行换名，使得一个变元在一个 公式中只呈一种形式出现。 （1）约束变元换名时，该变元在量词及其辖域 中的所有出现均须同时更改，公式的其余部分不 变； （2）换名时，一定要更改为该量词辖域中没有 出现过的符号，最好是公式中未出现过的符号。
例8
对公式 进 x(P(x, y) yz (u, v, z) ) S(x, z)
x或 x的辖域。x在公式的x约束部分的任一出现都称为
x的约束出现。 公式中约束出现的变元是约束变元 当x的出现不是约束出现时，称x的出现是自由出 现 。 自由出现的变元是自由变元。
例7
指出下列各公式中的量词辖域及自
由变元和约束变元。
( 1 ) x y (( P ( x ) Q ( y )) zR ( z ))
行换名，使各变元只呈一种形式出现。
解 需对x，y换名
u(P(u, y) v Q(u, v, z)) S(x, z)
错误法： u(P(u, v) vQ(u, v, z)) S(x, z)
u(P(u, y) zQ(u, z , z)) S(x, z)
2.
代入规则
谓词、个体词和量词 谓词演算公式 谓词演算的永真公式 谓词演算的推理理论
谓词、个体词和量词 例
离散数学之谓词逻辑 ppt课件
▪ 但客体变元在哪些范围内取特定的值，对是 否成为命题及命题的真值极有影响。
例：R(x)表示“x是大学生”，如果x的讨论范 围是某大学里班级中的学生，则R(x)是永真式。 如果x的讨论范围是某中学里班级中的学生， 则R(x)是永假式。如果x的讨论范围为一剧场 中的观众，那么对某些观众，R(x)为真，对另 一些观众，R(x)为假。
2.3 谓词公式与翻译
▪ F 的项： (1)个体常项和个体变项都是项。 (2)若f(x1, x2, …, xn)是任意的n元函数，t1, t2, …, tn是任意的n个项，则f(t1, t2, …, tn)是 项。 (3)所有的项都是有限次使用(1),(2)得到的。
▪ 原子公式 若A(x1, x2, …, xn)是F 的任意n 元谓词，t1, t2, …, tn是F 的任意n个项，则称 A(t1, t2, …, tn)为谓词演算的原子公式。
给定任何两个谓词公式wffa和wff的任一组真值指派所得真值均相同则称谓词公式a和b在e上是等价的并记作给定任意谓词公式wffa其个体域为e对于a的任一组真值指派wffa皆为1则称公式a在e上是有效的永真的
2.1 谓词的概念与表示
下列推理：凡是人都是要死的。 苏格拉底是人。 苏格拉底是要死的。
众所周知，这是真命题。但在命题逻辑中 ( P ∧ Q ) R ，难证其为重言式。 原因：命题逻辑不考虑命题之间的内在联系 和数量关系。 办法：将命题再次细分。
为相应量词的指导变元。P(x)称为相应量词 的作用域/辖域。在x和x的辖域中，x的
所有出现都称为x在公式A中的约束出现，
所有约束出现的变元，叫做约束变元。A中 不是约束出现的变元均称作自由变元。
2.4 变元的约束
(1)x(F(x) G(x,y)) x是指导变元，量词的辖域为(F(x)G(x,y))， 其中，x是约束出现两次，y是自由出现一次。
例：R(x)表示“x是大学生”，如果x的讨论范 围是某大学里班级中的学生，则R(x)是永真式。 如果x的讨论范围是某中学里班级中的学生， 则R(x)是永假式。如果x的讨论范围为一剧场 中的观众，那么对某些观众，R(x)为真，对另 一些观众，R(x)为假。
2.3 谓词公式与翻译
▪ F 的项： (1)个体常项和个体变项都是项。 (2)若f(x1, x2, …, xn)是任意的n元函数，t1, t2, …, tn是任意的n个项，则f(t1, t2, …, tn)是 项。 (3)所有的项都是有限次使用(1),(2)得到的。
▪ 原子公式 若A(x1, x2, …, xn)是F 的任意n 元谓词，t1, t2, …, tn是F 的任意n个项，则称 A(t1, t2, …, tn)为谓词演算的原子公式。
给定任何两个谓词公式wffa和wff的任一组真值指派所得真值均相同则称谓词公式a和b在e上是等价的并记作给定任意谓词公式wffa其个体域为e对于a的任一组真值指派wffa皆为1则称公式a在e上是有效的永真的
2.1 谓词的概念与表示
下列推理：凡是人都是要死的。 苏格拉底是人。 苏格拉底是要死的。
众所周知，这是真命题。但在命题逻辑中 ( P ∧ Q ) R ，难证其为重言式。 原因：命题逻辑不考虑命题之间的内在联系 和数量关系。 办法：将命题再次细分。
为相应量词的指导变元。P(x)称为相应量词 的作用域/辖域。在x和x的辖域中，x的
所有出现都称为x在公式A中的约束出现，
所有约束出现的变元，叫做约束变元。A中 不是约束出现的变元均称作自由变元。
2.4 变元的约束
(1)x(F(x) G(x,y)) x是指导变元，量词的辖域为(F(x)G(x,y))， 其中，x是约束出现两次，y是自由出现一次。
离散数学第7讲谓词逻辑2.ppt
20
谓词演算的基本等价式
2024年11月24日
❖ 定理2-3.４：（量词分配侓）
❖ Ｅ35:(x)(P(x)∧Q(x))（x）P(x)∧（x）Q(x)
❖ Ｅ36:(x)(y)(P(x)∨Q(ｙ))(x)P(x)∨(x)Q(x)
❖ Ｅ37:(x)(ｙ)(P(x)∧Q(ｙ))（x）P(x)∧（x）Q(x)
❖ 4）仅仅由1)-3)产生的表达式才是合适公式。
6
谓词公式
2024年11月24日
❖ 例2.2 (P(x)→(Q(x,y)∨┐R(x,a,f(z))))
❖
(P(x)∨R(y))
❖
(x)(P(x))
❖ 等都是公式。
❖而
❖
(x)(P(x)→R(x)
❖
(x)∨P(x)(y)
❖ 等则不是公式，前者括号不匹配，后者量词无辖域。
❖ ❖
ＥＥ3389：：（（xx））((PP((xx))∨QQ((xx)))) （（xx））同词顺Pp一，序((xx类可而))∨型以不（（的交影量换响xx））QQ((xx))
❖ 定理2-3.５：（双量词公式的等价性其）等价性。
❖ Ｅ40：(x)(ｙ)Ａ(x，ｙ)（ｙ）（x）Ａ(x，ｙ) ❖ Ｅ41：(x)(ｙ)Ａ(x，ｙ)（ｙ）（x）Ａ(x，ｙ)
❖ 3)、解释I为： (x)(y)(P(x,y)→Q(x,y))。
❖
①.个体域为N；
❖
②.P(x,y)指定为：“x+y＝0”；
❖
③.Q(x,y)指定为：“x>y”。
❖ 则原公式的真值为“真”。
❖ 因对任意的x≠0,任意y∈N，有"x+y＝0"为“假”，所以 无论后件如何，都有 P(x,y)→Q(x,y)为“真”，
左孝凌离散数学课件2.6前束范式-2.7谓词演算的推理理论
2. 6前束范式
练习:求下列公式的前束析取范式和前束合取范式.
(1) ((x) F ( x, y) (y)G( y )) (x) H ( x, y) (2) (x){(y) A( x, y ) (x)(y)[B( x, y ) (y)( A( y, x) B( x, y))]}
9
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2. 6前束范式(Prenex normal form)
•
(6) (x ){( y ) A( x, y ) (x )(y )[ B ( x, y ) (y )( A( y , x ) B ( x, y ))]}
(x ){(y ) A( x, y ) ( x )(y )[ B ( x, y ) (y )(A( y , x ) B ( x, y ))]} (x ){( y ) A( x, y ) (x )(y )[B ( x, y ) ( y )( A( y , x ) B ( x, y ))]}
11
2. 6前束范式
前束析取范式
• 定义 : 任何一个谓词公式 A ，如果具有如下形式则称为 前束析取范式： (□x1) (□x2)…(□xn)[(A11∧A12∧…∧A1k1)∨ (A21∧A22∧…∧A2k2 )∨…∨(Am1∧Am2∧…∧Amkm)] 其中n大于等于1,Aij(j=1, …,ki ,i=1,2,3,…,m)为原子谓词公 式或其否定,□为量词或量词， xi（i=1，… n）为客 体变元. 例如： (x)(u )(z )((P (x ) Q (x , y )) (P (u ) Q ( y , z ))
离散数学(Discrete Mathematics)
1
离散数学-2-7谓词演算的推理理论.ppt
21
本课小结
US规则 UG规则 ES规则 EG规则
22
课后作业
P79 (1) 补充: 符号化下列命题并推证其结论。 所有的人或者是吃素的或者是吃荤的，吃素 的常吃豆制品，因而不吃豆制品的人是吃 荤的。（个体域为人的集合） 令 F(x)：x 是 吃 素 的 ， G(x)：x 是 吃 荤 的 ， H(x)：x吃豆制品。
15
六、例题
例：给定下面2个推理,找出错误. （1） 1．x (F(x) G(x)) P 2．F(y) G(y) US(1) 3．x F(x) P 4．F(y) ES(3) 5．G(y) T(2)(3) I 6．xG(x) UG(5) （2） 1．xy F(x, y) P 2．y F(z, y) US(1) 3．F(z, c) ES(2) 4．x F(x, c) UG 5．yx F(x, y) EG *在上面推理中（1）中从3到4有错，（2）中从2到3有错
6
三、全称推广规则
2．全称推广规则（简称UG规则）
P(x) ∴(x)P(x) P（y） xP(x)
上式成立，要求以下条件： （1）y在P（y）中自由出现，且y取任何值时P（y）均为真； （2）取代y的x不能在P（y）中约束出现，否则产生错误。
7
三、全称推广规则
例 在实数集中F（x，y）：x>y， 取P（y）= x F(x, y)对给定y都成立。 若应用上式时，以x取代y 得x(x(x>x))，这是假命题 *出错原因是违背了（2）。
第二章谓词逻辑
2-7 谓词演算的推理理论 授课人：李朔 Email:chn.nj.ls@
1
一、谓词演算推理规则
谓词演算的推理方法,可以看作是命题演算 推理方法的扩张。
本课小结
US规则 UG规则 ES规则 EG规则
22
课后作业
P79 (1) 补充: 符号化下列命题并推证其结论。 所有的人或者是吃素的或者是吃荤的，吃素 的常吃豆制品，因而不吃豆制品的人是吃 荤的。（个体域为人的集合） 令 F(x)：x 是 吃 素 的 ， G(x)：x 是 吃 荤 的 ， H(x)：x吃豆制品。
15
六、例题
例：给定下面2个推理,找出错误. （1） 1．x (F(x) G(x)) P 2．F(y) G(y) US(1) 3．x F(x) P 4．F(y) ES(3) 5．G(y) T(2)(3) I 6．xG(x) UG(5) （2） 1．xy F(x, y) P 2．y F(z, y) US(1) 3．F(z, c) ES(2) 4．x F(x, c) UG 5．yx F(x, y) EG *在上面推理中（1）中从3到4有错，（2）中从2到3有错
6
三、全称推广规则
2．全称推广规则（简称UG规则）
P(x) ∴(x)P(x) P（y） xP(x)
上式成立，要求以下条件： （1）y在P（y）中自由出现，且y取任何值时P（y）均为真； （2）取代y的x不能在P（y）中约束出现，否则产生错误。
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三、全称推广规则
例 在实数集中F（x，y）：x>y， 取P（y）= x F(x, y)对给定y都成立。 若应用上式时，以x取代y 得x(x(x>x))，这是假命题 *出错原因是违背了（2）。
第二章谓词逻辑
2-7 谓词演算的推理理论 授课人：李朔 Email:chn.nj.ls@
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一、谓词演算推理规则
谓词演算的推理方法,可以看作是命题演算 推理方法的扩张。
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(3) P(e)
(4) P(e) Q(e)
(5) Q(e)
(6) x Q(x)
(3)(4)
(5) Q(e)
(6) x Q(x)
✘
(3)(4)
21/51
小结 谓词演算的推理理论
推理的形式结构 重要的推理定律 推理规则 构造证明 附加前提证明法
22
7
例 下面推理是否正确？
设前提为∀x∃yF（x，y）， （1） ∀x∃yF（x，y） 前提引入 （2） ∃y F（y，y） 全称量词消去
解 推理并不正确。 如果给定解释I：个体域为实数集， F（x，y）：x＞y。 则 ∀x∃yF（x，y）意为 “对于每个实数x，均存在着比之更小的实数y”， 这是一个真命题。 而∃yF（y，y）意为 “存在着比自己小的实数”，是假命题。 之所以出现这样的错误,是因为∃yF（x，y） 中有1个自由变 元x, 而∃y F（y，y）中无自由变元。
20
附加前提引入 ①UI 前提引入 ③UI ②④假言推理 ⑤UG
例 (p55) x(P(x)Q(x))(xP(x)xQ(x))
解： 解：
(1) x(P(x) Q(x))
(2) x P(x)
(1) x(P(x) Q(x))
(2) x P(x)
(3) P(e) Q(e)
(4) P(e)
6
(2)结论引入规则 (4)假言推理规则 (6)化简规则 (8)假言三段论规则 (10)构造性二难推理规则
推理规则(续)
(12) 全称量词消去规则（简记为UI规则或UI）
xA( x ) A( y)
或
xA( x ) A( c )
两式成立的条件是： 在第一式中，取代x的y应为任意的不在A(x)中 约束出现的个体变项. 在第二式中，c为任意个体常项. 用y或c去取代A(x)中的自由出现的x时，一定要 在x自由出现的一切地方进行取代.
14
构造推理证明(续)
例2 乌鸦都不是白色的. 北京鸭是白色的. 因此，北京鸭不是乌鸦. 令 F(x): x是乌鸦, G(x): x是北京鸭, H(x): x是白色的 前提：x(F(x)H(x))， x(G(x)H(x)) 结论：x(G(x)F(x))
15
前提：x(F(x)H(x))，x(G(x)H(x)) 结 论：x(G(x)F(x))
11
例如，设(ｘ)Ｐ(ｘ)和(ｘ)Ｑ(ｘ)都真， 则对于某些ｃ和某些ｄ，可以断定Ｐ(ｃ)∧Ｑ (ｄ)为真，但却不能断定Ｐ(ｃ)∧Ｑ(ｃ)为真 或Ｐ(ｄ)∧Ｑ(ｄ)为真。 例 考察∃yF（x，y） 存在量词消去能不能得到下式: F（x，c）
F（x，c）表示对常元c与任意变元x成立, 错误
在于: c可能与x有关的.
8/51
推理规则(续)
(13) 全称量词引入规则（简记为UG规则或UG）
A( y ) xA( x )
该式成立的条件是： 无论A(y)中自由出现的个体变项y取何值，A(y) 应该均为真. 取代自由出现的y的x，也不能在A(y)中约束出 现.
9
推理规则(续)
(14) 存在量词引入规则（简记为EG规则或EG）
18
例 在自然推理系统中构造下面推理的证明 前提： xP(x)→xQ(x) 结论： x(P(x)→Q(x))
证明: (1) xP(x)→xQ(x) (2) xP(x) (3) P(a)→xQ(x) (4) P(a) (5) xQ(x)
✘
前提引入 前提引入? 去存在量词(1) ? 去全称量词(2) (3)(4)
第二组 由基本等值式生成 如 由 xA(x)xA(x) 生成 xA(x)xA(x), xA(x)xA(x), … 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)) x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
5
推理规则
(1)前提引入规则 (3)置换规则 (5)附加规则 (7)拒取式规则 (9)析取三段论规则 (11)合取引入规则
13/51
构造推理证明
例1 证明苏格拉底三段论: “人都是要死的, 苏格拉 底是人，所以苏格拉底是要死的.”
令 F(x): x是人, G(x): x是要死的, a: 苏格拉底 前提：x(F(x)G(x))，F(a) 结论：G(a) 证明：① F(a) 前提引入 ② x(F(x)G(x)) 前提引入 ③ F(a)G(a) ②UI ④ G(a) ①③假言推理 注意：使用UI时，用a取代x .
17前提：xF(x)xG(x) 结论：x(F(x)G(x)) 证明：① xF(x)xG(x) ② xy(F(x)G(y)) ③ x(F(x)G(z)) ④ F(z)G(z) ⑤ x(F(x)G(x))
前提引入 ①置换 ②UI ③UI ④UG
(2)并非是结论的前件 (3)错误使用规则，(1)并非前束范式
19/51
构造推理证明(续)
例5 构造下述推理证明 前提：x(F(x)G(x)) 结论：xF(x)xG(x) 证明：① xF(x) ② F(y) ③ x(F(x)G(x)) ④ F(y)G(y) ⑤ G(y) ⑥ xG(x) 本题可以使用附加前提证明法
A( c ) xA( x )
该式成立的条件是： c是使A为真的特定个体常项. 取代c的x不能在A(c)中出现过.
10
推理规则(续)
(15) 存在量词消去规则（简记为EI规则或EI）
xA( x ) A( c )
闭 式
该式成立的条件是： c是使A为真的特定的个体常项. c不在A(x)中出现. 若A(x)中除自由出现的x外，还有其他自由出现 的个体变项，此规则不能使用.
✘
12
例 下面推理是否正确？
设前提为∀x∃yF（x，y）， （1） ∀x∃yF（x，y） （2） ∃yF（t，y） （3） F（t，c） （4） ∀xF（x，c） （5） ∃yxF（x，y）
前提引入 全称量词消去 存在量词消去 全称量词引入 存在量词引入
解： 推理并不正确。 如果给定解释I：个体域为实数集，F(x,y)：x＞y。 则 x∃yF（x，y）为真， 而∃y xF（x，y）意为“存在着最小实数”， 是假命题，故知推理不正确。 之所以出现这样的错误，是在第（3）步中， ∃yF（t，y ）非闭式（含有自由变元t)。
证明： ① x(F(x)H(x)) ② F(y)H(y) ③ x(G(x)H(x)) ④ G(y)H(y) ⑤ H(y)G(y) ⑥ F(y)G(y) ⑦ G(y)F(y) ⑧ x(G(x)F(x))
16
前提引入 ①UI 前提引入 ③UI ④置换 ②⑤假言三段论 ⑥置换 ⑦UG
2
重要的推理定律
第一组 命题逻辑推理定律代换实例 如 xF(x)yG(y)xF(x)为化简律代换实例. xF(x)yG(y)的代换实例为pq 化简律: (pq) p
3
推理定律——重言蕴涵式
重要的推理定律 A (AB) (AB) A (AB)A B (AB)B A (AB)B A (AB)(BC) (AC) (AB)(BC) (AC) (AB)(CD)(AC) (BD) 附加律 化简律 假言推理 拒取式 析取三段论 假言三段论 等价三段 构造性二难
构造推理证明(续)
例3 构造下述推理证明 前提：x(F(x)G(x))，xF(x) 结论：xG(x) 证明：① xF(x) 前提引入 ② x(F(x)G(x)) 前提引入 ③ F(c) ①EI ④ F(c)G(c) ②UI ⑤ G(c) ③④假言推理 ⑥ xG(x) ⑤EG 注意：必须先消存在量词
第5讲 谓词演算的推理理论
推理的形式结构 重要的推理定律 推理规则 构造证明 附加前提证明法
1
推理
推理的形式结构有两种： 第一种 A1A2…AkB (*) 第二种 前提：A1，A2，…，Ak 结论： B 其中 A1,A2,…,Ak,B为一阶逻辑公式. 若(*)为永真式, 则称推理正确, 否则称推理不正确. 判断方法: 真值表法, 等值演算法, 主析取范式法及构造证 明法. 前3种方法采用第一种形式结构, 构造证明 法采用第二种形式结构.