随机变量及其分布PPT课件
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随机变量及其分布
Ch2 随机变量的分布与数字特征
密度函数
分布函数
概率分布
连续型 随机变量
三种重要的 连续型分布
随机变量 随机变量的数字特征
期
方
望
差
离散型 随机变量
三种重要的 离散型分布
随机变量函数的分布
§2.1 随机变量及其分布
本节知识要点：
1. 理解一维离散型随机变量的概念及性质；
2. 理解一维连续型随机变量的概率密度及其性质； 3. 熟练求解离散型随机变量的分布列和连续型随机变量的分布函数.
6 19
4 19
P{X 1} 0
P{ X
1}
P{ X
1}
9 19
P{ X
2.5}
9 19
6 19
15 19
P{ X
4}
9 19
6 19
4 19
1
Ex1.袋内有5个黑球,3个白球,每次抽取一个,不放回,直到取得 黑球为止.记X为取到白球的数目,求随机变量X的概率分布.
三、连续型r.v.的密度函数
3. r.v.的分类: (1) 离散型r.v.；
()
所有取值可以 (2) 连续型r.v.；
()
逐个一一列举 (3) 非离散非连续型r.v..
例1 从一批产品中任抽取10件，若用X表示检测的10件中 的废品数. “少于两件废品”可表示成 {0 X 2}
“恰有一件废品”可表示成 {X 1}
“至少有一件废品” { 1 X 10 }
2 a (2)2a (2)3a
2 3
a
2a
33
3
1
2 3
a1 2
例4 袋中有5张卡片,其中标有数字1的有1张, 标有数字 2和3的各有2张. 从袋中一次随机地抽取3张,用X表示 取到的3张卡片上的最大数字, 写出X的概率分布.
例5 设离散型r.v.X的概率分布为：
X1 2 3
P
9 19
y f (x)
P{a X b}
30 P{ X c} 0,
0a
b
x
连续型r.v取任一指定值的概率为0.
可由X的概率分布通过求和得到
20求离散型r.v.X的分布问题 核心是: 求出 （1）X的所有可能取值; （2）取各值的概率 .
例2 问下面给出的是不是某 r.v.的分布列？
X0 1 2 P 1/2 1/4 1/3
1 1 1 13 1 2 4 3 12
不是某 r.v.的分布列
例3 设离散型r.v.X的概率分布为：
X为离散型随机变量.
2.Def .设X为离散型r.v.它的一切可能取值为 x1, x2 , , xn , ,
记 pi P{ X xi }, i 1,2
称为X的概率分布.
X x1 x2 xn
为直观起见，习惯上把它们写成 P p1 p2 pn
pi P{ X xi },
X x1 x2 xn P p1 p2 pn
事件及事件的概率
随机变量及其取值规律
二、离散型r.v.的概率分布
引例 对于掷一粒骰子的试验，以X表示出现的点数，
X可能取的值是1,2,3,4,5,6 1
P{1
X
P{X i} 6 (i 1,2,3,4,5,6) 3} P{X 1} P{X 2} P{X 3}
1
“数点求和”
2
1.Def . 如果随机变量X只可能取有限个或可列个值，则称
一、随机变量的概念 1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.
例如，掷一颗骰子出现的点数; {1,2,3,4,5,6} 记录某车站的等车人数； {0,1,2, } “无人等车”
Fra Baidu bibliotek
检查某元件的寿命 [0,)
一个射手对目标进行射击“，元 击中 件得寿1命分在，5未00击 1中00得0小0分时. 之间”
0
,
T
例如 袋内有1个红球，1个白球，1个黑球，从中任
取一个球，考察取得的球的颜色 .
设1=“球是红的”，2=“球是白 的”，3=“球是黑的” .
=｛ 1 ，2， 3 ｝ {1,2,3}
X
X ( )
1 , 2 ,
1 2
3 , 3
P{ X
1}
1 3
P{ X
2}
1 3
对于任何一个试验E的每一个基本结果（即基本事件） 都可以
(2)规范性
f ( x)dx 1
这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为 某连续型r.v的密度函数的充要条件
b
P{a X b} a f ( x)dx
20 事件的概率与密度函数的关系
P{a X b} P{a X b}
P{a X b} b
P{a X b} a f ( x)dx
X
1
：击中
0 ：未击中
P{X 0}
P{500 X 1000}
2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但可以
引进一个变量来表示它的各种结果.－－把试验结果数值化.
办法是：将基本事件与一个实数对应 例如，掷一枚硬币，观察出现正、反面情况;
{H ,T } {1,0}
X
X ( )
1 , H
(1) P{ X i} a (2)i , i 1,2,3. 3
(2) P{ X i} a (2)i , i 1,2,
求a的值.
解
(1)
1
P{ X
3
1}
P{ X
2}
P{ X
3}
a 2 a 4 a 8 a 38 3 9 27 27
a 27 38
(2) 1 P{X 1} P{X 2}
用一个不同的实数 X 与之相对应,亦即可以定义不同的一个实
数 X 来表征试验的每一个结果.
Def . 在随机试验E中，随机试验结果取不同数值的量
X 称为随机变量，简记为X.
1.通常用字母 X、Y、Z 或 、、 表示随机变量.
用小写字母 x, y ,z等表示随机变量所取的值.
2. 随机变量X ，有时简记为 r.v. X (random variable X)
1.Def . 设X是一个r.v., 如果存在一个非负可积函数f(x),
使得对于任意的实数a < b, 都有
b
P{a X b} a f ( x)dx
则称 X为连续型 r.v. , f ( x)为X的概率密度函数, 记为 X ~ f (x)
10密度函数f ( x)的性质 (1)非负性 f ( x) 0
10 X的分布列{ pi } 具有下述性质：
(1)非负性 pi 0, i 1,2,
用这两条性质判断 一个数列是否是某个
(2)规范性 pi 1
离散型r.v.的概率分布
i 1
(3)可加性 P{a X b} pi , P{ X B} pi
“数点求和”
a xi b
xiB
由性质(３)可见，事件的概率都
Ch2 随机变量的分布与数字特征
密度函数
分布函数
概率分布
连续型 随机变量
三种重要的 连续型分布
随机变量 随机变量的数字特征
期
方
望
差
离散型 随机变量
三种重要的 离散型分布
随机变量函数的分布
§2.1 随机变量及其分布
本节知识要点：
1. 理解一维离散型随机变量的概念及性质；
2. 理解一维连续型随机变量的概率密度及其性质； 3. 熟练求解离散型随机变量的分布列和连续型随机变量的分布函数.
6 19
4 19
P{X 1} 0
P{ X
1}
P{ X
1}
9 19
P{ X
2.5}
9 19
6 19
15 19
P{ X
4}
9 19
6 19
4 19
1
Ex1.袋内有5个黑球,3个白球,每次抽取一个,不放回,直到取得 黑球为止.记X为取到白球的数目,求随机变量X的概率分布.
三、连续型r.v.的密度函数
3. r.v.的分类: (1) 离散型r.v.；
()
所有取值可以 (2) 连续型r.v.；
()
逐个一一列举 (3) 非离散非连续型r.v..
例1 从一批产品中任抽取10件，若用X表示检测的10件中 的废品数. “少于两件废品”可表示成 {0 X 2}
“恰有一件废品”可表示成 {X 1}
“至少有一件废品” { 1 X 10 }
2 a (2)2a (2)3a
2 3
a
2a
33
3
1
2 3
a1 2
例4 袋中有5张卡片,其中标有数字1的有1张, 标有数字 2和3的各有2张. 从袋中一次随机地抽取3张,用X表示 取到的3张卡片上的最大数字, 写出X的概率分布.
例5 设离散型r.v.X的概率分布为：
X1 2 3
P
9 19
y f (x)
P{a X b}
30 P{ X c} 0,
0a
b
x
连续型r.v取任一指定值的概率为0.
可由X的概率分布通过求和得到
20求离散型r.v.X的分布问题 核心是: 求出 （1）X的所有可能取值; （2）取各值的概率 .
例2 问下面给出的是不是某 r.v.的分布列？
X0 1 2 P 1/2 1/4 1/3
1 1 1 13 1 2 4 3 12
不是某 r.v.的分布列
例3 设离散型r.v.X的概率分布为：
X为离散型随机变量.
2.Def .设X为离散型r.v.它的一切可能取值为 x1, x2 , , xn , ,
记 pi P{ X xi }, i 1,2
称为X的概率分布.
X x1 x2 xn
为直观起见，习惯上把它们写成 P p1 p2 pn
pi P{ X xi },
X x1 x2 xn P p1 p2 pn
事件及事件的概率
随机变量及其取值规律
二、离散型r.v.的概率分布
引例 对于掷一粒骰子的试验，以X表示出现的点数，
X可能取的值是1,2,3,4,5,6 1
P{1
X
P{X i} 6 (i 1,2,3,4,5,6) 3} P{X 1} P{X 2} P{X 3}
1
“数点求和”
2
1.Def . 如果随机变量X只可能取有限个或可列个值，则称
一、随机变量的概念 1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.
例如，掷一颗骰子出现的点数; {1,2,3,4,5,6} 记录某车站的等车人数； {0,1,2, } “无人等车”
Fra Baidu bibliotek
检查某元件的寿命 [0,)
一个射手对目标进行射击“，元 击中 件得寿1命分在，5未00击 1中00得0小0分时. 之间”
0
,
T
例如 袋内有1个红球，1个白球，1个黑球，从中任
取一个球，考察取得的球的颜色 .
设1=“球是红的”，2=“球是白 的”，3=“球是黑的” .
=｛ 1 ，2， 3 ｝ {1,2,3}
X
X ( )
1 , 2 ,
1 2
3 , 3
P{ X
1}
1 3
P{ X
2}
1 3
对于任何一个试验E的每一个基本结果（即基本事件） 都可以
(2)规范性
f ( x)dx 1
这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为 某连续型r.v的密度函数的充要条件
b
P{a X b} a f ( x)dx
20 事件的概率与密度函数的关系
P{a X b} P{a X b}
P{a X b} b
P{a X b} a f ( x)dx
X
1
：击中
0 ：未击中
P{X 0}
P{500 X 1000}
2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但可以
引进一个变量来表示它的各种结果.－－把试验结果数值化.
办法是：将基本事件与一个实数对应 例如，掷一枚硬币，观察出现正、反面情况;
{H ,T } {1,0}
X
X ( )
1 , H
(1) P{ X i} a (2)i , i 1,2,3. 3
(2) P{ X i} a (2)i , i 1,2,
求a的值.
解
(1)
1
P{ X
3
1}
P{ X
2}
P{ X
3}
a 2 a 4 a 8 a 38 3 9 27 27
a 27 38
(2) 1 P{X 1} P{X 2}
用一个不同的实数 X 与之相对应,亦即可以定义不同的一个实
数 X 来表征试验的每一个结果.
Def . 在随机试验E中，随机试验结果取不同数值的量
X 称为随机变量，简记为X.
1.通常用字母 X、Y、Z 或 、、 表示随机变量.
用小写字母 x, y ,z等表示随机变量所取的值.
2. 随机变量X ，有时简记为 r.v. X (random variable X)
1.Def . 设X是一个r.v., 如果存在一个非负可积函数f(x),
使得对于任意的实数a < b, 都有
b
P{a X b} a f ( x)dx
则称 X为连续型 r.v. , f ( x)为X的概率密度函数, 记为 X ~ f (x)
10密度函数f ( x)的性质 (1)非负性 f ( x) 0
10 X的分布列{ pi } 具有下述性质：
(1)非负性 pi 0, i 1,2,
用这两条性质判断 一个数列是否是某个
(2)规范性 pi 1
离散型r.v.的概率分布
i 1
(3)可加性 P{a X b} pi , P{ X B} pi
“数点求和”
a xi b
xiB
由性质(３)可见，事件的概率都