初中数学竞赛解三角形(含答案)

18．解三角形
A 卷
1．如果tan α·tan32°=1，那么α=____________。

2．化简1cos 2cos 2+-αα=_____________ .
3．已知在△ABC ，∠C=90°，a ：b=3，则sinA = _________, cosA = ___________, tanA = ________, cotA =___________。

4．若0°≤α≤90°，4
1cos sin 66=+αα，则α等于__________。

5．若D 、E 分别是直角△ABC 的斜边AB 上的三等分点，且CD=cos α,CE=sin α，如图，则斜边AB=____________。

6．已知在△ABC 中，有一个角为60°，310ABC S ∆，周长为20，则三边长分别为_________。

7．在△ABC 中，若,0)(242242224=++++-b b a a c b a c 则∠C=___________。

8．若三角形三边长之比为1：3：2，则此三角形的最小内角的正弦值为____________。

9．如果在Rt △ABC 中，∠C=90°，a = 8, b = 15，则sinA + sinB + sinC= _____________。

10．已知在一段坡面上，铅直高度为3，坡面长为23，则坡度等于_________，坡角等于_________。

B 卷
1．在△ABC 中，A 、B 都是锐角，且SinA = cosB 那么△ABC 一定是___________。

2．在直角三角形ABC 中，各边的长度都扩大两倍 ，那么锐角A 的各三角函数值__________。

3．在△ABC 中，已知sinA ·cosA=0，那么这个三角形是_____________。

4．设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，若方程0sin )1(sin 2sin )1(22=-+++C x B A x 有不等实根，那么∠A 为___________。

5．在△ABC 中，∠C=3∠A ，AB=48，BC=27，则AC=_____________。

6．△ABC 的顶点A 、B 、C 所对的边长的a,b,c ，且1=+--b
c a a c b ，则△ABC 中最大角的度数为__________。

7．在△ABC 中，∠A=45°，∠B=60°，BC=1，则△ABC 的面积为____________。

8．在△ABC 中，顶点A 、B 、C 所对的边长为a,b,c ，且c b a c b b a ++=+++311，则角B 的大小为____________。

9．在△ACD 中，∠A=45°，CB=5，CD=7，BD=3，则∠CBD=_________，AC 的长为_________。

10．若∠A 、∠B 是直角三角形ABC 的两个锐角，则关于x 的方程2
tan 4tan 0A x x B ⋅-+=的根的情况为___________。

答案
A 卷
1．由tan α·tan32°=1，得tan α=1tan 32︒
=cot58°，又α为锐角，故α=58° 2．由于1cos 2cos 2+-αα=2)1(cos -α = |cos α – 1 |,而cos ≤1，
故原式=1 – cos α
3．由已知，得tgA = ,333
1,3====a b ctgA b a 因a ：b=3：1：2，从而 sinA =
21cos ,23===c b A c a 4．由41cos sin 66=+αα，得4
1)cos cos sin (sin )cos (sin 422422=+-⋅+αααααα 即,1sin ,2
1cos sin ,41cos sin 1222===-ααααα因为0°≤α≤90°，所以α=45° 5．由图，设AC=b, BC=a, AB=3x,在△ACD 中，由余弦定理及题设条件，得：] 22222223
132cos 2cos b x x b bx b x A bx b x +=⋅
-+=⋅-++α （1） 同理，在△BCE 中，得 22222223132)90cos(2sin a x x a ax a x A ax a x +=⋅
-+=-︒⋅-+=α （2） （1）+（2）得 )(3
121222b a x ++= 又∵ 2229x b a =+ 代入解之，得55=x 故AB=5
53 6．在△ABC 中，不妨设A=60°，则由题意可得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-+==++=A bc c b a c b a S
A bc cos 220sin 21222
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧-+==++=bc c b a c b a bc 22220
31043 ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-=+=)3(120)()2(20)1(4022c b a a c b bc 由（2）、（3）解得a=7，于是求得b=5,c=8或b=8,c=5
∴△ABC 三边长分别为5，7，8。

7．把已知等式化为：
0)()]([0)()(222222222222224=-+-=-+++-ab b a c b a b a c b a c 即
∴0))((222222=+-----ab b a c ab b a c
当,02
22=+--ab b a c 时,212222=-+ab c b a ∴C=60° 当,02
22=---ab b a c 时,212222-=-+ab c b a ∴C=120° 故C=60°或C=120°
8．不妨设三边长为1、3、2，由三角形的性质知，1所对的角最小，由余弦定理，得最小角的弦值为2
332212)3(2
22=⋅⋅-+，于是其正弦值为.21 9．由已知易求得c = 17，于是1sin ,17
15sin ,178sin ===C B A ， 所以sinA + sinB + sinC = 17
4011715178=++ 10．由已知，得水平距离为3，从而坡度为3
3，坡度为30°
B 卷
1．由于A 、B 都是锐角，且sinA=cosB ，所以sinA=sin(90°- B )，于是，得A+B=90°，故三角形ABC 一定是直角三角形。

2．因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大两倍后，锐有A 的各三角函数值没有变化。

3．因为在三角形ABC 中，0< sinA ≤1，所以，只有cosA=0，从而A=90°，
故这个三角形是直角三角形。

4．把原方程化为(sinA - sinC)2x + (2sinB)x + (sinA + sinC) = 0 由正弦定理，得R
c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===， 于是上式化为(a – c )2x + 2bx + (a + c) = 0
由△=,0)(44222>--c a b 得0,2
22222>-++<a c b c b a 即 根据余弦定理，得02cos 2
22>-+=bc
a c
b A 故∠A 为锐角。

5．作CD 交AB 于D ，使∠ACD=∠A ，由已知得∠BCD=2∠A ，
又因∠BDC=∠A+∠ACD=2∠A ，
所以∠BCD=∠BDC ，BD=CB=27，CD=AD=AD-BD=21，
由余弦定理，得：
27482274827
221272cos 2
22222⨯⨯-+=⨯-⨯=AC B 解之，得AC=35。

6．把已知等式化为b 2+bc-ac+a 2=c 2-ac+bc-ab ，即b 2+a 2-c 2
=-ab ∴2
122cos 222-=-=-+=ab ab ab c a b C ∴∠C=120°，即△ABC 的最大内角为120°
7．由正弦定理，得2
645sin 60sin ,145sin 60sin =︒︒=︒=︒b b ， 由余弦定理，得︒⋅⋅⋅-+=60cos 121)2
6(22c c ， 即01222
=--c c ，解之得231±=c 舍去负值，故 8
33232312160sin 21+=⋅+⋅=︒=∆ABC S 8．把已知等式化为3(a+b)(b+c ) = (a+b+c)(a+2b+c) 即ac c a b -+=222 由余弦定理，得2
12cos 222=-+=ac b c a B ，故B=60° 9．在△CBD 中，BC=5，BD=3，CD=7，由余弦定理，得
3
527352cos 2
22222⋅⋅-+=⋅-+=∠BD BC CD BD BC CBD =21- ∴ ∠CBD=120°，从而∠CBA=60°
在△ABC 中，由正弦定理，得A
BC CBA AC sin sin =∠ ∴2652
2
235sin sin ==∠⋅=A CBA BC AC 10．由于∠A ，∠B 是Rt △ABC 的两个锐角，则∠B=90°-∠A ，
考虑关于x 的方程，因为tanA ≠0，
由韦达定理，得△=2
44tan tan 164tan cot 164120A B A A -⋅=-⋅=-=>， 从而方程有两个不相等的实数根。