2 7.1.2 复数的几何意义
7-1-2复数的几何意义(课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册
b
OZ : a bi
a
x
环节二:一一对应，构建复数几何意义
我们知道在实数内：a 表示点 A 到原点的距离，同理，我们来思考一下：
z 表示什么？
y
Z : a bi
b
a
x
环节二:一一对应，构建复数几何意义
任务四：类比实数，猜想 z 表示的涵义
z 也表示的是点 Z 到原点的距离，也就是有向线段（向量） OZ 的长度（我们也称作向量的模）
复数集 C 中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系
复数 z a bi(a,b R)
一一对应
有序实数对 ( a, b) 一一对应点 Z (a, b)
复平面中的点 Z (a, b) 是复数 z 的
几何表示
除原点外，
虚轴上的点
都表示纯虚
数.
虚轴
y
b
O
复平面
Z : a bi
实轴
x
实轴上的点都表示实数.
复数 z a bi(a,b R)
一一对应
点 Z (a, b) 一一对应 向量 OZ
向量 OZ 是复数 z 的另一种
y
b
OZ : a bi
几何表示
a
之后我们也将利用复数与向量之间一一对应
的关系，从几何的角度阐述复数的加法与乘
法。至此，复数理论才比较完整和系统地建
立起来了。
x
环节二:一一对应，构建复数几何意义
z a bi(a,b R) 的模，记作 z 或者 a bi ，且 z
a2＋b2
4.共轭复数
两个复数的实部 相同
，虚部互为
互为相反数
叫做互为共轭复数.复数 z 的共轭复数记做
2022-2023学年人教A版必修第二册 7-1-2 复数的几何意义 课件(31张)
(3)位于直线x-y+3=0上.
解复数z=(m2-4m)+(m2-m-6)i在复平面内对应的点的坐标为Z(m2-4m,m2-m6).
0 < < 4,
2 -4 < 0,
(1)点 Z 位于第三象限,则 2
解得
∴0<m<3.
-2 < < 3,
--6 < 0,
(2)点Z位于虚轴上,则m2-4m=0,解得m=0或m=4.
2 --2 < 0,
则 2
解得 m=1,所以 z=-2.
-3 + 2 = 0,
探究点三 复数的模及其应用
【例3】 若复数z=(a+2)-2ai的模等于 √5 ,求实数a的值.
2
2
解由已知得 ( + 2) + (-2) = √5,即 5a +4a-1=0,解得
a
2
1
a=5或
a=-1,故实数
∴2<m<4,即m的取值范围为(2,4).
(3)由题意,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,
∴2<m<4或-5<m<-2,
即m的取值范围为(2,4)∪(-5,-2).
(4)由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,故m=
规律方法
2
5
.
利用复数与复平面内点的对应的解题步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的坐标.
(3)点Z位于直线x-y+3=0上,则(m2-4m)-(m2-m-6)+3=0,即-3m+9=0,解得m=3.
的模等于(
第五章复数的几何意义【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件
由 = ,得(x-1,y-3)=(2,2),
即 x-1=2,y-3=2,解得 x=3,y=5,
故点 D(3,5),其对应的复数为 3+5i.
(2)因为 B(0,-1),C(2,1),
所以直线 BC 的方程为 x-y-1=0,
|1-3-1|
所以点 A 到直线 BC 的距离 d=
上,故选ABC.
答案ABC
微练习2
若x-2+yi和3x-i(x,y∈R)互为共轭复数,则x=
,y=
.
解析由题意,可得
答案-1
1
-2 = 3,
= -1,
故
= 1,
= 1.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
复数与点的对应关系
例1求实数a分别取何值时,复数
下列条件:
(1)在复平面的第二象限内.
=(3,10),而=(0,-3),于是 D(3,7).
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟 1.若复数z=a+bi(a,b∈R),则复数z在复平面内对应的向量
2.复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得
.
=(a,b).
3.一个向量不管怎样平移,它所对应的复数是不变的,但其起点与终点对
激趣诱思
知识点拨
例1求实数a分别取何值时,复数
四、共轭复数
+(a2-2a-15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件:
复数z=a+bi(a,b∈R)用复平面内的点Z(a,b)表示,复平面内点Z的坐标是(a,b),而非(a,bi).
这个通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面,x轴称为实轴,y轴称为虚轴.
人教A版7.1.2复数的几何意义课件(18张)
4. 复数相等
a bi c di a c,b d a bi 0 a b 0
思考:实数的几何意义是什么？
在几何上，我们用什么来表示实数?
实数可以用数轴上的点来表示。
实数 (数)
数轴上的点 (形)
思考：类比实数的表示，可以用什么来表示复数？
一个复数由什么唯一确定？
Z=a+bi(a, b∈R)
m6 m2
0 0
得m 32 或m
m
2 பைடு நூலகம்
1
所以m(3, 2) (1, 2)
（2(m）2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0 ∴ m=1或m=-2
课堂练习
1.设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( B )
A．1
B. 2 C. 3 D．2
2.已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
实部! 虚部! 一个复数由它的实部和 虚部唯一确定
1. 复平面定义
y
b
虚轴
O
Z:a＋bi Z(a,b)
ax
实 轴
判断：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数.（✕ ）
注：实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
课堂练习
1. 说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小方格的边长为1).
原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上 OZ与相等
的向量有无数个.
复数与复平面内向量的关系
【例 1】 向量O→Z1对应的复数是 5－4i，向量O→Z2对应的复数是－5＋4i，则
O→Z1＋O→Z2对应的复数是( ) A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
复数的几何意义
A.－1＋ 3i
B.1＋ 3i
C.－1＋ 3i 或 1＋ 3i D.－2＋ 3i 解析：由题意得aa2<＋0，3＝4， 解得 a＝－1.
故 z＝－1＋ 3i.
答案：A
2.若复数 z 满足|z|≤ 2，则 z 在复平面所对应的图形的面积 为________. 解析：满足|z|≤ 2的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以 2 为半径的圆及其内部所有的点构成的集合，∴所求图形的 面积 S＝2π. 答案：2π
[对点练清] 在复平面内，若复数 z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的 对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数 z.
解：若复数 z 的对应点在虚轴上，则 m2－m－2＝0， 所以 m＝－1 或 m＝2，所以 z＝6i 或 z＝0. 若复数 z 的对应点在实轴负半轴上， 则mm22－ －m3m－＋2<2＝0，0， 所以 m＝1，所以 z＝－2.
二、创新应用题 5.已知复数 z 对应的向量为―O→Z (O 为坐标原点)，―O→Z 与实轴
正方向的夹角为 120°，且复数 z 的模为 2，求复数 z. 解：根据题意可画图形如图所示， 设点 Z 的坐标为(a，b)， ∵|―O→Z |＝|z|＝2，∠xOZ＝120°， ∴a＝－1，b＝± 3，即点 Z 的坐标为(－1， 3)或(－1，－ 3)， ∴z＝－1＋ 3i 或 z＝－1－ 3i.
题型二 复数、共轭复数与复平面内的向量的关系
[学透用活]
[典例 2] (1)向量―OZ→1 对应的复数是 5－4i，向量―OZ→2 对应
的复数是－5＋4i，则―OZ→1 ＋―OZ→2 对应的复数是( )
A.－10＋8i
B.10－8i
C.0
D.10＋8i
7.1.2复数的几何意义
复数的几何意义
高一数学必修第二册
第七章 复数
学习目标
1.理解复数的代数表示及其几何意义; 2. 掌握实轴、虚轴、模等概念数的有
关概念和表示. 3.掌握用向量的模表示复数模的方法. 4.核心素养:直观想象、数学运算。
一、回顾旧知
1.在几何上,我们用什么来表示实数?
实数可以用 数轴上的点 来表示。
(1) z 1;
(2)1 z 2.
解: (1)如图
y 2
1
(2)如图
y 2 1
-2 -1 O -1
-2
1 2x
-2 -1 O -1
-2
1 2x
(2).以原点为圆心,半径1至2的圆环内
四、课堂小结：
x轴------实轴 1 .复平面
y轴------虚轴 2 .复数的几何意义
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应 平面向量OZ
一一对应
3.复数的模及其几何意义: 1).| z | = |OZ| a2 b2
2).几何意义： 复数 z=a+bi在复平面上对应的 点Z(a,b)到原点的距离.
作业：课本P73 习题7.1 6、8题
x (a,o)
z1=a+bi
z1=bi
z1=a
得出结论:在复平面内,共轭复数z1 ,z2 所对应的点关于实轴对称.
⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi
则z1·z2=(a+bi)(a-bi)=a2-abi+abi-bi2=a2+b2
任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数.
9.变式训练3
已知复数 x2 x 2 (x2 3x 2)i
【人教A版】高中数学必修第二册第七章：7.1.2复数的几何意义 教学设计
【人教A版】高中数学必修第二册第七章7．1.2 复数的几何意义教学设计(教师独具内容)课程标准：理解复数的几何意义．教学重点：复数的几何意义、复数的模的概念及共轭复数的概念．教学难点：复数的几何意义的理解与应用．核心素养：1.通过复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系培养直观想象素养.2.通过求复数的模及求一个复数的共轭复数培养数学运算素养.共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝z－⇔z∈R.利用这个性质，可以证明一个复数是实数．(3)z z－＝|z|2＝|z－|2∈R.z与z－互为实数化因式．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( )(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( )(3)复数的模一定是正实数．( )(4)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( )2．做一做(1)若OZ→＝(0，－3)，则OZ→对应的复数为____.(2)复数z＝1－4i位于复平面上的第____象限．(3)复数3i的模是____.(4)复数5＋6i的共轭复数是____.题型一复数与复平面内的点例1 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围． [跟踪训练1] 实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.(1)对应的点在x轴上方；(2)对应的点在直线y＝－x上．题型二复数与复平面内的向量例2 已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO→表示的复数；(2)CA→表示的复数；(3)点B对应的复数． [跟踪训练2] (1)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA→与OB→，则向量AB→表示的复数是____.(2)在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．题型三复数的模例3 设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形？[跟踪训练3] 设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z 的集合是什么图形？(1)1<|z|<2；(2)|z－i|<1.1．已知a∈R，且0<a<1，i为虚数单位，则复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(多选)若复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点Z在虚轴上，则a的值可以是( )A．0 B．1C．2 D．33．若复数z1＝2＋b i与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝____，b＝____.4．已知复数z＝3＋a i，且|z|<5，则实数a的取值范围是____.5．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．一、选择题1．复数z1＝1＋3i和z2＝1－3i在复平面内的对应点关于( )A．实轴对称B．一、三象限的角平分线对称C．虚轴对称D．二、四象限的角平分线对称2．当23<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是( ) A．－1<a<1 B．a>1C．a>0 D．a<－1或a>04．(多选)若|4＋25i|＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(i为虚数单位)，其中x，y是实数，则( )A．x＝3 B．y＝4C．x＋y i＝－3＋4i D．|x＋y i|＝55．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )A．1个圆B．线段C．2个点D．2个圆二、填空题6．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z－2＝____.7．已知复数(2k2－3k－2)＋(k2－k)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数k的取值范围是____.8．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若OC→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，则x＋y的值是____.三、解答题9．已知复数z＝(1＋2m)＋(3＋m)i(m∈R)．(1)若m＝1，且|z－|＝|x＋(x－1)i|，求实数x的值；(2)当m为何值时，|z－|最小？并求|z－|的最小值．1．在复平面上，复数i,1,4＋2i对应的点分别是A，B，C，求平行四边形的ABCD的点D对应的复数．2．已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i.(1)当x为何值对，复数z的模最小？(2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn>0，求1m＋1n的最小值及取得最小值时m，n的值．7．1.2 复数的几何意义(教师独具内容)课程标准：理解复数的几何意义．教学重点：复数的几何意义、复数的模的概念及共轭复数的概念．教学难点：复数的几何意义的理解与应用．核心素养：1.通过复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系培养直观想象素养.2.通过求复数的模及求一个复数的共轭复数培养数学运算素养.共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝z－⇔z∈R.利用这个性质，可以证明一个复数是实数．(3)z z－＝|z|2＝|z－|2∈R.z与z－互为实数化因式．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( )(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( )(3)复数的模一定是正实数．( )(4)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( )答案(1)√(2)×(3)×(4)×2．做一做(1)若OZ→＝(0，－3)，则OZ→对应的复数为____.(2)复数z＝1－4i位于复平面上的第____象限．(3)复数3i的模是____.(4)复数5＋6i的共轭复数是____.答案(1)－3i (2)四(3) 3 (4)5－6i题型一复数与复平面内的点例1 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．[解] 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2.(1)由题意得m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1. (2)由题意得⎩⎨⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎨⎧－1<m <2，m >2或m <1，∴－1<m <1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，∴m ＝2.复数集与复平面内所有的点组成的集合之间存在着一一对应关系．每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部对应着有序实数对的横坐标，而虚部则对应着有序实数对的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．[跟踪训练1] 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i. (1)对应的点在x 轴上方； (2)对应的点在直线y ＝－x 上． 解 (1)由题意得m 2－2m －15>0， 解得m <－3或m >5，所以当m <－3或m >5时，复数z 对应的点在x 轴上方．(2)由题意，得m 2－2m －15＝－(m 2＋5m ＋6)，整理，得2m 2＋3m －9＝0，解得m ＝32或m ＝－3.所以当m ＝32或m ＝－3时，复数z 对应的点在直线y ＝－x 上.题型二 复数与复平面内的向量例2 已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →表示的复数；(2)CA →表示的复数；(3)点B 对应的复数．[解] 由题意得O 为原点，OA →＝(3,2)，OC →＝(－2,4)． (1)∵AO →＝－OA →＝－(3,2)＝(－3，－2)∴AO →表示的复数为－3－2i.(2)∵CA →＝OA →－OC →＝(3,2)－(－2,4)＝(5，－2)， ∴CA →表示的复数为5－2i.(3)∵OB →＝OA →＋OC →＝(3,2)＋(－2,4)＝(1,6)， ∴OB →表示的复数为1＋6i ，即点B 对应的复数为1＋6i.复数与平面向量一一对应是复数的另一种几何意义，利用这种几何意义，复数问题可以转化为平面向量来解决，平面向量问题也可以用复数方法来求解．[跟踪训练2] (1)复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是____.(2)在复平面内的长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 对应的复数分别是2＋3i,3＋2i ，－2－3i ，求点D 对应的复数．答案 (1)－6－8i (2)见解析解析 (1)因为复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，所以OA →＝(4,3)，OB →＝(－2，－5)，又AB →＝OB →－OA →＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB →表示的复数是－6－8i.(2)记O 为复平面的原点，由题意得OA →＝(2,3)，OB →＝(3,2)，OC →＝(－2，－3)． 设OD →＝(x ，y )，则AD →＝(x －2，y －3)，BC →＝(－5，－5)． 由题知，AD →＝BC →，所以⎩⎨⎧x －2＝－5，y －3＝－5，即⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－2，故点D 对应的复数为－3－2i. 题型三 复数的模例3 设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面内对应的点Z 的集合是什么图形？[解] 由|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ →的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆．巧用复数的模的几何意义解题(1)复平面内|z|的意义我们知道，在实数集中，实数a的绝对值，即|a|是表示实数a的点与原点O 间的距离．那么在复数集中，类似地，有|z|是表示复数z的点Z到坐标原点间的距离．也就是向量OZ→的模，|z|＝|OZ→|.(2)复平面内任意两点间的距离设复平面内任意两点P，Q所对应的复数分别为z1，z2，则|PQ|＝|z2－z1|.运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题．[跟踪训练3] 设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z 的集合是什么图形？(1)1<|z|<2；(2)|z－i|<1.解(1)根据复数模的几何意义可知，复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，1和2为半径的两圆所夹的圆环，不包括圆环的边界．(2)根据模的几何意义，|z－i|＝1表示复数z对应的点到复数i对应的点(0,1)的距离为1.∴满足|z－i|＜1的点Z的集合为以(0,1)为圆心，1为半径的圆内的部分(不含圆的边界)．1．已知a∈R，且0<a<1，i为虚数单位，则复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 D解析∵0<a<1，∴a>0且a－1<0，故复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点(a ，a －1)位于第四象限．故选D.2．(多选)若复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点Z 在虚轴上，则a 的值可以是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 AC解析 由点Z 在虚轴上可知，点Z 对应的复数是纯虚数和0，∴a 2－2a ＝0，解得a ＝2或a ＝0.故选AC.3．若复数z 1＝2＋b i 与复数z 2＝a －4i 互为共轭复数，则a ＝____，b ＝____. 答案 2 4解析 因为z 1与z 2互为共轭复数，所以a ＝2，b ＝4.4．已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<5，则实数a 的取值范围是____. 答案 －4<a <4解析 |z |＝32＋a 2<5，解得－4<a <4.5．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．解 因为复数z 对应的点在第一象限， 所以⎩⎨⎧m 2＋m －1>0，4m 2－8m ＋3>0，解得m <－1－52或m >32.所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.一、选择题1．复数z 1＝1＋3i 和z 2＝1－3i 在复平面内的对应点关于( ) A ．实轴对称B ．一、三象限的角平分线对称C ．虚轴对称D ．二、四象限的角平分线对称 答案 A解析 复数z 1＝1＋3i 在复平面内的对应点为Z 1(1，3)，复数z 2＝1－3i 在复平面内的对应点为Z 2(1，－3)，点Z 1与Z 2关于实轴对称．2．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 ∵23<m <1，∴2<3m <3，∴0<3m －2<1且－13<m －1<0，∴复数z 在复平面内对应的点位于第四象限．∵一对共轭复数在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ．3．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．a >1 C ．a >0 D ．a <－1或a >0答案 A解析 依题意有a 2＋22<－22＋12，解得－1<a <1.4．(多选)若|4＋25i|＋x ＋(3－2x )i ＝3＋(y ＋5)i(i 为虚数单位)，其中x ，y 是实数，则( )A ．x ＝3B ．y ＝4C ．x ＋y i ＝－3＋4iD ．|x ＋y i|＝5答案 BCD解析 由已知，得6＋x ＋(3－2x )i ＝3＋(y ＋5)i ， 所以⎩⎨⎧x ＋6＝3，3－2x ＝y ＋5，解得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝4，所以|x ＋y i|＝|－3＋4i|＝5，故选BCD.5．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆答案 A解析 由题意可知(|z |－3)(|z |＋1)＝0，即|z |＝3或|z |＝－1.∵|z |≥0，∴|z |＝3.∴复数z 对应的轨迹是1个圆．二、填空题6．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z －2＝____.答案 －2－3i解析 复数z 1＝2－3i 对应的点为(2，－3)，则z 2对应的点为(－2，3)．所以z 2＝－2＋3i ，z －2＝－2－3i.7．已知复数(2k 2－3k －2)＋(k 2－k )i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数k 的取值范围是____.答案 －12<k <0或1<k <2解析 根据题意，有⎩⎨⎧2k 2－3k －2<0，k 2－k >0，即⎩⎨⎧－12<k <2，k <0或k >1，所以实数k 的取值范围是－12<k <0或1<k <2.8．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC →＝xOA→＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值是____.答案 5解析 由已知，得OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，OC →＝(3，－2)，∴xOA →＋yOB →＝x (－1,2)＋y (1，－1)＝(－x ＋y,2x －y )．由OC →＝xOA→＋yOB →， 可得⎩⎨⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝4，∴x ＋y ＝5.三、解答题9．已知复数z ＝(1＋2m )＋(3＋m )i(m ∈R )．(1)若m ＝1，且|z －|＝|x ＋(x －1)i|，求实数x 的值；(2)当m 为何值时，|z －|最小？并求|z －|的最小值． 解 (1)由m ＝1，得z ＝3＋4i ，z －＝3－4i ， 则由|z －|＝|x ＋(x －1)i|， 得32＋－42＝x 2＋x －12，整理得x 2－x －12＝0，解得x ＝4或x ＝－3. (2)|z －|＝1＋2m2＋[－3＋m]2＝5m 2＋10m ＋10＝5m ＋12＋5≥ 5，当且仅当m ＝－1时，|z －|取得最小值，最小值为 5.1．在复平面上，复数i,1,4＋2i 对应的点分别是A ，B ，C ，求平行四边形的ABCD 的点D 对应的复数．解 解法一：由已知条件得点A (0,1)，B (1,0)，C (4,2)， 则AC 的中点E ⎝⎛⎭⎪⎫2，32，由平行四边形的性质知点E 也是边BD 的中点，设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＝2，y ＋02＝32，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3，即D (3,3)，∴点D 对应的复数为3＋3i.解法二：由已知得向量OA →＝(0,1)，OB →＝(1,0)，OC →＝(4,2)，其中O 为坐标原点．∴BA →＝(－1,1)，BC →＝(3,2)， ∴BD →＝BA →＋BC →＝(2,3)，∴OD →＝OB →＋BD →＝(3,3)，即点D 对应的复数为3＋3i. 2．已知x 为实数，复数z ＝x －2＋(x ＋2)i. (1)当x 为何值对，复数z 的模最小？(2)当复数z 的模最小时，复数z 在复平面内对应的点Z 位于函数y ＝－mx ＋n的图象上，其中mn>0，求1m＋1n的最小值及取得最小值时m，n的值．解(1)|z|＝x－22＋x＋22＝2x2＋8≥22，当且仅当x＝0时，复数z的模最小，为2 2.(2)当复数z的模最小时，Z(－2,2)．又点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2.又mn＞0，所以1m＋1n＝⎝⎛⎭⎪⎫1m＋1n⎝⎛⎭⎪⎫m＋n2＝32＋mn＋n2m≥32＋2，当且仅当n2＝2m2,2m＋n＝2时等号成立．所以m＝2－2，n＝22－2.所以1m＋1n的最小值为32＋2，此时m＝2－2，n＝22－2.。
复数的几何意义
复数的几何意义一、复数的几何意义1、复数的几何表示：bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的，即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。
2、复数的向量表示：直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。
复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |=22b a +4、复数的加法与减法的几何意义加法的几何意义 减法的几何意义)ZZ 2Z1yz 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、 复数乘法与除法的几何意义z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。
7.1.2 复数的几何意义(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
平面向量
一 一对应
复平面内的点Z(a,b)
2.复数的模
|| = | + i| =
2 + 2
3.共轭复数 如果 = + i，那么ҧ = − i．
一 一对应
作业
习题7.1 第8,10题
(1)
(4)
2 + 5i, (2)
−3 − i, (5)
−3 + 2i,
5,
(3)
(6)
y
2 − 4i,
−3i.
2 5i
3 2i
5
O
x
3 i
3i
2 4i
复数的几何意义
问题2：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数
对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的．你能用平面向量来表示复
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用
数轴上的点来表示．复数有什么几何意义呢？
一 一对应
（数） 实数
（形） 数轴上的点
o
1
x
复数的几何意义
问题1：根据复数相等的定义，任何一个复数 = + i都可以由一
个有序实数对 (, )唯一确定；反之也对．由此你能想到复数的几何
表示方法吗？
不等式|| > 1的解集是圆 = 1外部所有的点组成的集合，
这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，
也就是满足条件1 < || < 2的点的集合．
容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以１及２为半径的两个圆所夹的圆环，但
不包括圆环的边界．
课堂小结
复数 = +
一 一对应
1.复数几何意义
高中数学7.1.2《复数的几何意义》基础过关练习题
第七章 7.1 7.1.2A 级——基础过关练1．(2019年北京海淀区二模)已知复数z 在复平面上对应的点为(1，－1)，则( ) A ．z ＝－1＋i B ．z ＝1＋i C ．z ＋i 是实数D ．z ＋i 是纯虚数【答案】C 【解析】∵复数z 在复平面上对应的点为(1，－1)，∴z ＝1－i.∴z ＋i ＝1－i ＋i ＝1，即z ＋i 是实数．故选C ．2．已知0<a <2，复数z ＝a －i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3)D ．(1,5)【答案】B 【解析】|z |2＝a 2＋1，∵0<a <2,0<a 2<4⇒1<a 2＋1<5，∴1<|z |< 5.故选B ． 3．(2019年陕西三模)在复平面内，表示复数z ＝5a ＋(6－a 2)i 的点在第二象限，则实数a 满足( )A ．－6<a <0B ．a <－6C ．0<a <6D ．－6<a <6【答案】A【解析】∵z ＝5a ＋(6－a 2)i对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧5a <0，6－a 2>0，解得－6<a <0.故选A ．4．复平面内，向量OA →表示的复数为1＋i ，将OA →向右平移一个单位后得到向量O ′A ′→，则向量O ′A ′→与点A ′对应的复数分别为( )A ．1＋i,1＋iB ．2＋i,2＋iC ．1＋i,2＋iD ．2＋i,1＋i【答案】C 【解析】向量OA →向右平移一个单位后起点O ′(1,0)，∵OA ′→＝OO ′→＋O ′A ′→＝OO ′→＋OA →＝(1,0)＋(1,1)＝(2,1)，∴点A ′对应复数2＋i.又O ′A ′→＝OA →，∴O ′A ′→对应复数为1＋i.故选C ．5．(2020年宜宾模拟)已知i 是虚数单位，复数m ＋1＋(2－m )i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)【答案】A 【解析】∵复数m ＋1＋(2－m )i 在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，2－m >0，解得m ＜－1.∴实数m 的取值范围是(－∞，－1)．故选A ． 6．(2020年重庆月考)已知实数m ，n 满足m －2i ＝n (2＋i)，则在复平面内，复数z ＝m ＋n i 所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】∵m －2i ＝n (2＋i)，∴m －2i ＝2n ＋n i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ，n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2.∴复数z ＝m ＋n i ＝－4－2i.∴复数z ＝m ＋n i 所对应的点位于第三象限．故选C ．7．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2的共轭复数为________．【答案】－2－3i 【解析】∵z 1＝2－3i ，∴z 1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．∴z 2＝－2＋3i.z 2的共轭复数为－2－3i.8．已知复数z ＝1－2m i(m ∈R )，且|z |≤2，则实数m 的取值范围是________． 【答案】⎣⎡⎦⎤－32，32 【解析】|z |＝1＋4m 2≤2，解得－32≤m ≤32. 9．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 满足下列条件？ (1)对应点在x 轴上方； (2)对应点在直线y ＝－x －5上．解：(1)由m 2－2m －15>0，得当m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方． (2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得当m ＝－3－414或m ＝－3＋414，z 的对应点在直线y ＝－x －5＝0上．10．已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R )．若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值．解：因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i ，所以OZ 1→＝(－3,4)，OZ 2→＝(2a,1)．因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以－3×1－4×2a ＝0，解得a ＝－38，即a 的值为－38.B 级——能力提升练11．(2020年合肥月考)设复数z 满足|z －1|＝|z －i|(i 为虚数单位)，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )A ．y ＝－xB ．y ＝xC ．(x －1)2＋(y －1)2＝1D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1【答案】B 【解析】由z 在复平面内对应的点为(x ，y )，且|z －1|＝|z －i|，得|x －1＋y i|＝|x ＋(y －1)i|，∴(x －1)2＋y 2＝x 2＋(y －1)2，整理得y ＝x .故选B ．12．已知复数z 满足|z |＝2，则|z ＋3－4i|的最小值是( ) A ．5 B ．2 C ．7D ．3【答案】D 【解析】|z |＝2表示复数z 在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z ＋3－4i|表示圆上的点到(－3,4)这一点的距离，故|z ＋3－4i|的最小值为(－3)2＋42－2＝3.13．(多选)下列命题中，正确的是( ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2|【答案】ABC 【解析】①任意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立，故A 正确；②由复数相等的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；③设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )，若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，所以|z 1|＝|z 2|，故C 正确；④虚部不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故D 错．14．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －tan A )＋itan B 对应的点位于复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】因为A ，B 为锐角三角形的两个内角，所以A ＋B >π2，即A >π2－B ，sin A >cos B ，cos B －tan A ＝cos B －sin Acos A <cos B －sin A <0.又tan B >0，所以点(cos B －tan A ，tan B )在第二象限．故选B ．15．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值是________．【答案】5 【解析】由复数的几何意义可知，OC →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)，∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i.由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.∴x ＋y＝5.16．已知两向量a ，b 对应的复数分别是z 1＝－3，z 2＝－12＋m i(m ∈R )，且a ，b 的夹角为60°，求m 的值．解：因为a ，b 对应的复数分别为z 1＝－3，z 2＝－12＋m i(m ∈R )，所以a ＝(－3,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，m .又a ，b 的夹角为60°， 所以cos 60°＝(－3，0)·⎝⎛⎭⎫－12，m (－3)2＋02·⎝⎛⎭⎫－122＋m 2，即12＝32314＋m 2，解得m ＝±32.17．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正方向的夹角为120°，且复数z 的模为2，求复数z .解：根据题意可画图形如图所示，设点Z 的坐标为(a ，b )，∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°，∴a ＝－1，b ＝±3，即点Z 的坐标为(－1，3)或(－1，－3)．∴z ＝－1＋3i 或z ＝－1－3i.C 级——探索创新练18．已知t 为实数，复数z ＝(t 2＋t －2)＋(t 2＋3t ＋2)i. (1)当t 为何值时，复数z 为纯虚数？(2)当t ＝0时，复数z 在复平面内对应的点Z 落在直线y ＝－mx ＋n 上，其中mn ＞0，求1m ＋1n的最小值及取得最值时的m 和n 值． 解：(1)复数z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋t －2＝0，t 2＋3t ＋2≠0，解得t ＝1.(2)当t ＝0时，点Z (－2,2)，复数z 在复平面内对应的点Z 落在直线y ＝－mx ＋n 上，∴2m ＋n ＝2，∵mn ＞0，∴1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ⎝⎛⎭⎫m ＋n 2＝32＋m n ＋n 2m ≥32＋2，当且仅当n 2＝2m 2等号成立． 又2m ＋n ＝2，∴m ＝2－2，n ＝22－2.。
7.1.2复数的几何意义课件(人教版)
A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
(2)已知在复平面内表示复数 z=(m-3)+2 i 的点在直线 y=x
上,则实数 m 的值为
.
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用
复平面内的点Z(a,b)来表示.
2.表示：z 的共轭复数用 z 表示，即若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝ a－bi .
做一做:
(1)已知复数z=i,则复平面内z对应的点Z的坐标为(
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(0,0) D.(1,1)
(2)若=(0,-3),则对应的复数为(
A.0
B.-3
C.-3i
（3）做一做:若复数 z=1+
数学（人教202X版）必修第二册
第七章 复数
7.1.2 复数的几何意义
学习目标
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的
一一对应关系.
2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
1
知识梳理
知识点一
复平面
实轴
虚轴
思考
有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点
在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之,
复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即
为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复
7.1.2 复数的几何意义(练习)(解析版)
7.1.2 复数的几何意义（练习）(60分钟120分)知识点1复数与复平面内点的关系1．(5分)复数z＝－1＋2i所对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B解析：由复数的几何意义知z＝－1＋2i对应复平面中的点为(－1,2)，而(－1,2)是第二象限中的点，故选B.2．(5分)复数z1＝1＋3i和z2＝1－3i在复平面内的对应点关于() A．实轴对称B．一、三象限的平分线对称C．虚轴对称D．二、四象限的平分线对称A解析：复数z1＝1＋3i在复平面内的对应点为Z1(1，3)，复数z2＝1－3i在复平面内的对应点为Z2(1，－3)，点Z1与Z2关于实轴对称，故选A.3．(5分)已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)对应的点在虚轴上，则()A．a≠2或a≠1B．a≠2且a≠1C．a＝0D．a＝2或a＝0D解析：由题意，得a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.故选D.4．(5分)已知复数z＝12i2，则复数z在复平面上对应的点在()A．直线y＝－12x上B．直线y＝12x上C ．直线x ＝－12上 D ．直线y ＝－12上C 解析：∵z ＝12i 2＝－12，∴z 对应的点在直线x ＝－12上，C 正确． 知识点2 复数与复平面内向量的关系5．(5分)在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2iB 解析：因为复数－1＋2i 对应的点为A (－1,2)，点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2,1)，所以OB →对应的复数为－2＋i.6．(5分)与x 轴同方向的单位向量e 1，与y 轴同方向的单位向量e 2，它们对应的复数分别是( )A ．e 1对应实数1，e 2对应虚数iB ．e 1对应虚数i ，e 2对应虚数iC ．e 1对应实数1，e 2对应虚数－iD ．e 1对应实数1或－1，e 2对应虚数i 或－iA 解析：e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)．因此e 1对应实数1，e 2对应虚数i. 7.(5分)在△ABC 中，AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的复数为 ．－1－5i 解析：因为AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，所以AB →＝(－1,2)，AC →＝(－2，－3)．又BC →＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的复数为－1－5i.知识点3 复数的模及应用8．(5分)下列四个式子中，正确的是( ) A ．z ＝|z | B ．|2＋3i|>|1－4i|C ．|2－i|>2i 2D ．i 2>|－i|C 解析：A 中z 是复数，|z |是实数，二者不一定相等，错误；B 中|2＋3i|＝13<|1－4i|＝17，错误；C 中|2－i|＝5>2i 2＝－2，正确；D 中i 2＝－1<|－i|＝1，错误．9．(5分)已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是( ) A ．－ 3 B ．3i C ．±3iD ．±3D 解析：设复数z 的虚部为b (b ∈R ，b ≠0)，∵|z |＝2，实部为1，∴1＋b 2＝4，∴b ＝±3，选D.10.(5分)已知复数z ＝x －2＋y i(x ，y ∈R )的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是 ．(x －2)2＋y 2＝8 解析：由题意得(x －2)2＋y 2＝2 2，即(x －2)2＋y 2＝8. 11.(5分)复数z ＝－5－12i 在复平面内对应的点到原点的距离为 ． 13 解析：复数z ＝－5－12i 在复平面内对应点Z (－5，－12)．所以点Z 与原点O 的距离为|OZ →|＝(－5)2＋(－12)2＝13.12.(5分)已知复数z ＝x ＋1＋(y －1)i(x ，y ∈R )在复平面内的对应点位于第二象限，则点(x ，y )所构成的平面区域是( )A 解析：由题意，得⎩⎨⎧ x ＋1<0，y －1>0，即⎩⎨⎧x <－1，y >1，故点(x ，y )所构成的平面区域为A 项中的阴影部分．13．(5分)在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限提升篇C ．第三象限D ．第四象限D 解析：∵sin 2>0，cos 2<0，∴复数z 对应的点(sin 2，cos 2)在第四象限．故选D.14．(5分)如果复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( ) A ．－34＋i B ．34－i C ．－34－iD ．34＋iD 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，即z ＝34＋i.15．(5分)已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°，且复数z 的模为2，则复数z 为( )A ．1＋3iB ．2C ．(－1，3)D ．－1＋3iD 解析：设复数z 对应的点为(x ，y )，则x ＝|z |·cos 120°＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y ＝|z |·sin 120°＝2×32＝3，∴复数z 对应的点为(－1，3)，∴z ＝－1＋3i.16.(5分)i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝ .－2＋3i 解析：复数z 1＝2－3i 对应的点为(2，－3)，则z 2对应的点为(－2,3)．所以z 2＝－2＋3i.17.(5分)复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是 ．－6－8i 解析：因为复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，所以OA →＝(4,3)，OB →＝(－2，－5)．又AB →＝OB →－OA →＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB →表示的复数是－6－8i.18.(5分)已知3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|1－5i|，|x －y i|，|y ＋2i|的大小关系为 ．|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i| 解析：由3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，得x ＝3，y ＝－4.而|1－5i|＝1＋52＝26，|x －y i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5，|y ＋2i|＝|－4＋2i|＝(－4)2＋22＝20.∵20<5<26，∴|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|. 19.(5分)若z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，则z ＝ .±i 解析：设z ＝a i(a ∈R 且a ≠0)，∴|z －1|＝|a i －1|＝a 2＋1.∵|－1＋i|＝2，∴a 2＋1＝2，∴a ＝±1，∴z ＝±i.20.(12分)实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在：(1)第三象限？ (2)第四象限？(3)直线 x －y －3＝0上？解：(1)当实数x 满足⎩⎨⎧x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即－3<x <2时，点Z 在第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎨⎧x 2＋x －6>0，x 2－2x －15<0，即2<x <5时，点Z 在第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．21.(13分)已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R )．若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值．解：因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i ，所以OZ 1→＝(－3,4)，OZ 2→＝(2a,1)．因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以存在实数k 使OZ 2→＝kOZ 1→，即(2a,1)＝k (－3，4)＝(－3k,4k )，所以⎩⎨⎧2a ＝－3k ，1＝4k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝14，a ＝－38.即a 的值为－38.。
【精品】7.1.2复数的几何意义-高中数学必修第二册课件
当b 0时，z z.即任一实数的共轭复数是它本身.
探究点 1 复数与复平面内的点 已知复数 z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中 a∈R.当复数 z 在复平面内对应
的点 Z 满足下列条件时，求 a 的值(或取值范围)． (1)在实轴上； (2)在第三象限．
【解】 (1)若 z 对应的点在实轴上，则有 2a－1＝0，解得 a＝12. (2)若 z 对应的点在第三象限，则有2aa2－－11<<00，，解得－1<a<12. 故 a 的取值范围是－1，12.
A．第一象限
B．第二象限
()
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 由题意，得－z ＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，
位于第三象限，故选 C. 【答案】 C
4．若复数 z1＝2＋bi 与复数 z2＝a－4i 互为共轭复数，则 a＝________，b＝ ________． 解析：因为 z1 与 z2 互为共轭复数，所以 a＝2，b＝4. 答案：2 4
这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？
课堂典例
满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形？
–5
设z=x+yi(x,y∈R)
| z | x2 y2 5
y 5
5
O
x
–5
课堂典例
思考：
(1)复数的模能否比较大小？模相等的两个复数相等吗？ (2)满足|z|=2(z∈R)的z值有几个？
（2）虚轴上的点除原点外都表示纯虚数；
（3）各象限内的点表示实部和虚部都不为零的虚数.
引入新知
1.复数的几何意义
这是复数的一种几何意义.
课堂典例 概念1.复数的几何意义 y
人教版数学必修第二册7.1.2复数的几何意义课件
方法总结
复数模的计算
(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再
利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但
它们的模可以比较大小．
(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问
题求解．
跟踪训练
3 3
− ,
2 2
1．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是__________．
②因为||＝ 2 ，||＝2 2 ，||＝ 10 ，
所以||2＋||2＝||2，
所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
反思感悟
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，
向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定
因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，
2 −−6
所以
＋a2－2a－15＋7＝0，
+3
即a3＋2a2－15a－30＝0，
所以(a＋2)(a2－15)＝0，
故a＝－2或a＝± 15.
所以a＝－2或a＝± 15时，点Z在直线x＋y＋7＝0上.
题型二
[例2] 已知复数z1＝ 3
复数的模
1
3
＋i，z2＝－ ＋ i.
变式1 复数z＝
2 −−6
＋(a2－2a－15)i(a∈R)表示的点在x轴上时，
+3
求实数a的值．
点Z在x轴上，
所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，
所以a＝5.
故a＝5时，点Z在x轴上．
变式2 复数z＝
2 −−6
＋(a2－2a－15)i(a∈R)表示的点Z在直线
+3
7.2.1复数的加、减及其几何意义课件(人教版)
【变式训练3】 如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小
值是(
)
A.1
B.
C.2
D.
解析:设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,
因为|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,
所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为,动点Z在线段Z1Z2上移动,
-3-2i,那么向量 对应的复数是
;
(2)设复数 z1 =1-i,z2 =2+2i 对应的点分别为 Z 1,Z2 ,则|Z 1 Z2 |
=
.
探究一 复数的加、减运算
【例1】 计算:
(1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i);
(2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i).
复数代数情势的加、减法运算技能
0,3+2i,-2+4i.求:
(1)
表示的复数;
(2)对角线 表示的复数;
(3)对角线
表示的复数.
解:(1)因为
=-
(2)因为 =
,所以
表示的复数为-3-2i.
− ,
所以对角线 表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)因为对角线
所以对角线
=
+ ,
表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
∴平行四边形 OZ1ZZ2 为正方形.
∴|z1-z2|=|
|=|
|=
.
,
,
.
1.解决复数问题时,设出复数的代数情势z=x+yi(x,y∈R),利用
7.1.2 复数的几何意义
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R )可
以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据． (2)列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条
件，通过解方程(组)或不等式(组)求解． 特别提醒：复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可
解析：由|z|＝
1＋4m2≤2，解得－
23≤m≤
3 2.
答案：－
23，
3 2
2．求复数z1＝6＋8i与z2＝－
1 2
－
2 i的模，并比较它们的模
的大小．
解：∵z1＝6＋8i，z2＝－12－ 2i，
∴|z1|＝ 62＋82＝10，
|z2|＝
－12＋2 － 22＝32.
∵10>32，∴|z1|>|z2|.
以用点来表示．
[变式训练]
1．[变设问]本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上 时，实数a的值． 解：点Z在x轴上， 所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0， 所以a＝5. 故a＝5时，点Z在x轴上．
2．[变设问]本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上， 求实数a的值．
解：因为点Z在直线x＋y＋7＝0上， 所以a2－a＋a－3 6＋a2－2a－15＋7＝0， 即a3＋2a2－15a－30＝0， 所以(a＋2)(a2－15)＝0， 故a＝－2或a＝± 15. 所以a＝－2或a＝± 15时，点Z在直线x＋y＋7＝0上.
a2－a－6 a＋3
＋(a2－
2a－15)i(a∈R )对应的点Z满足下列条件：
(1)在复平面的第二象限内； (2)在复平面内的x轴上方．
[解] (1)点Z在复平面的第二象限内，
复数的几何意义课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
高中数学 必修第二册 RJ·A
典例剖析
一、 复数与复平面内的点对应
例1 已知复数z＝(a2－4)＋(2a－3)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a的值(或取值范围). (1)Z在实轴上；
解 因为z＝(a2－4)＋(2a－3)i， 所以复数z在复平面内对应的点Z的坐标为(a2－4,2a－3). 若点Z在实轴上，则有2a－3＝0， 解得 a＝32.
∴复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于第四象限.
高中数学 必修第二册 RJ·A
→ 3.在复平面内，O 为原点，向量OA对应的复数为－1＋2i，若点 A 关于直线
→ y＝－x 的对称点为 B，则向量OB对应的复数为
A.－2－i C.1＋2i
B.－2＋i D.－1＋2i
B解析 ∵A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)， →
高中数学 必修第二册 RJ·A
(2)若复数z＝(m＋1)＋(m－2)i，其中m∈R，则复数z对应的点不可能位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B解析 复数z对应的点为(m＋1，m－2).因为m＋1>m－2， 所以点(m＋1，m－2)不可能位于第二象限.
高中数学 必修第二册 RJ·A
0＋2 x0＝32， 若设 D(x0，y0)，则有
－32＋y0＝2，
x0＝3，
解得
故 D(3,7).
y0＝7，
→
→
→
方法二 由已知得OA＝(1,4)，OB＝(0，－3)，OC＝(2,0)，
→
→
所以BA＝(1,7)，BC＝(2,3)，
→→→
→
由平行四边形的性质得BD＝BA＋BC＝(3,10)，而OB＝(0，－3)，于是 D(3,7).
7.1.2复数的几何意义
答案:(2)-2+3i
探究点二
复数与复平面内向量的关系
→
→
[例 2] 已知 O 为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为 2a+i(a∈R).若
→
→
与共线,求 a 的值.
→
→
解:因为对应的复数为-3+4i,对应的复数为 2a+i,
系为
.
解析:由 3-4i=x+yi(x,y∈R),
得 x=3,y=-4.
而|1-5i|= + (-) = ,
|x-yi|=|3+4i|= + =5,
|y+2i|=|-4+2i|= (-) + = ,
因为 <5< ,
所以|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|.
答案:|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|
[备用例3] 已知复数z=3+ai(a∈R),且|z|<4,求实数a的取值范围.
解:法一 因为 z=3+ai(a∈R),
所以|z|= + ,
2
2
2
2
由已知得 3 +a <4 ,所以 a <7,
所以 a∈(- , ).
法二 由|z|<4 知,z 在复平面内对应的点在以原点为圆心,以 4 为半径的圆内(不包
[备用例2] 在复平面内,复数i,1,4+2i对应的点分别是A,B,C.求平行四边形
ABCD的顶点D所对应的复数.
解:法一
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7．1.2 复数的几何意义
考点 学习目标 核心素养 复平面 了解复平面的概念
数学抽象 复数的几何意义 理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系
直观想象 复数的模 掌握复数的模的概念，会求复数的模 数学运算 共轭复数
掌握共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数
数学运算
问题导学
预习教材P70－P72的内容，思考以下问题： 1．复平面是如何定义的？
2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？ 3．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数是什么？
1．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数的两种几何意义
(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←――→一一对应
复平面内的点Z (a ，b )．
(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ←――→一一对应平面向量OZ →.
■名师点拨
(1)复平面内的点Z 的坐标是(a ，b )，而不是(a ，b i)．也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.
(2)当a ＝0，b ≠0时，a ＋b i ＝0＋b i ＝b i 是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b )(b ≠0)都表示纯虚数．
(3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中的z ，书写时应小写；复平面内的点Z (a ，b )中的Z ，书写时应大写．
3．复数的模
复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →
的模叫做复数z 的模或绝对值，记作|z |或|a
＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2．
■名师点拨
如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|a |(a 的绝对值)． 4．共轭复数
(1)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． (2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
(3)复数z 的共轭复数用z －表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z －
＝a －b i ． ■名师点拨
复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点为(a ，b )，复数z －
＝a －b i 在复平面内对应的点为(a ，－b )，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x 轴对称．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)原点是实轴和虚轴的交点．( )
(2)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．( ) (3)若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2.( )
(4)若z 1与z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
复数1－2i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
答案：D
复数z ＝1＋3i 的模等于( ) A ．2 B ．4 C.10 D ．2 2 答案：C
复数z ＝－2＋5i 的共轭复数z －
＝________． 答案：－2－5i
复数与复平面内的点
已知复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下
列条件时，求a 的值(或取值范围)．
(1)在实轴上；
(2)在第三象限．
【解】 (1)若z 对应的点在实轴上，则有 2a －1＝0，解得a ＝1
2
.
(2)若z 对应的点在第三象限，则有
⎩⎨⎧a 2－1<0，2a －1<0，
解得－1<a <1
2
. 故a 的取值范围是⎝
⎛⎭⎫－1，12.
[变条件]本例中复数z 不变，若点Z 在抛物线y 2＝4x 上，求a 的值．
解：若z 对应的点(a 2－1，2a －1)在抛物线y 2＝4x 上，则有(2a －1)2＝4(a 2－1)，即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4，解得a ＝5
4
.
利用复数与点的对应解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示，是解决此类问题的根据．
(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R )的对应点在虚
轴上和实轴负半轴上，分别求复数z .
解：(1)若复数z 的对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0， 所以m ＝－1或m ＝2， 所以z ＝6i 或z ＝0.
(2)若复数z 的对应点在实轴负半轴上，
则⎩
⎨⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0，所以m ＝1，所以z ＝－2.
复数与复平面内的向量
在复平面内，复数i ，1，4＋2i 对应的点分别是A ，B ，C .求平行四边形ABCD 的顶
点D 所对应的复数．
【解】 法一：由复数的几何意义得A (0，1)，B (1，0)，C (4，2)，则AC 的中点为⎝⎛⎭⎫2，32，由平行四边形的性质知该点也是BD 的中点，设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1
2＝2，y ＋02＝32，所以⎩⎨⎧x ＝3，
y ＝3，
即点D 的
坐标为(3，3)，所以点D 对应的复数为3＋3i.
法二：由已知得OA →＝(0，1)，OB →＝(1，0)，OC →
＝(4，2)， 所以BA →＝(－1，1)，BC →
＝(3，2)，
所以BD →＝BA →＋BC →＝(2，3)，所以OD →＝OB →＋BD →
＝(3，3)， 即点D 对应的复数为3＋3i.
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
1．已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA →，OB →
对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →
对应的复数是( )
A ．－5＋5i
B ．5－5i
C ．5＋5i
D ．－5－5i
解析：选B.向量OA →，OB →
对应的复数分别记作z 1＝2－3i ，z 2＝－3＋2i ，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA →＝(2，－3)，OB →
＝(－3，2)．
由向量减法的坐标运算可得向量BA →＝OA →－OB →
＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)， 根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA →
对应的复数是5－5i.
2．在复平面内，O 为原点，向量OA →
表示的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →
表示的复数为( )。