高中数学一轮复习第九章 第7节 抛物线导学案

第7节抛物线

最新考纲 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

知识梳理

1.抛物线的定义

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离______的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的_______.

(2)其数学表达式：{M||MF|＝d }(d 为点M到准线l的距离).

2.抛物线的标准方程与几何性质

图形

标准方程

y2＝2px (p>0)y2＝－px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－py(p>0)

p的几何意义：焦点F到准线l的距离

性

质

顶点O(0，0)

对称轴y＝0 x＝0

焦点F

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

p

2，0F⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

－

p

2，0F⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

0，

p

2F⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

0，－

p

2离心率e＝1

准线

方程

x＝－

p

2x＝

p

2y＝－

p

2y＝

p

2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R

开口

方向

向右向左向上向下[微点提醒]

1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.

2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

p

2，0的距离|PF|＝x0＋

p

2，也称为

抛物线的焦半径.

基础自测

1.(选修1－1P64A4(2)改编)顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是________________.

2. (选修1－1P59练习3(2)改编)抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为________.

3.(2018·黄冈联考)已知方程y2＝4x表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x＝m 的距离为4，则m的值为()

A.5

B.－3或5

C.－2或6

D.6

4.(2019·福州调研)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()

A.4

B.6

C.8

D.12

5.(2019·昆明诊断)已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.

考点一抛物线的定义及应用

【例1】(1)(2019·厦门外国语模拟)已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋x21－y2－x22＝()

A.4

B.6

C.8

D.10

(2)(2019·豫南九校联考)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是()

A.2

B.13

5 C.

14

5 D.3

规律方法应用抛物线定义的两个关键点

(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.

(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋p

2或|PF|＝|y0|

＋p 2.

【训练1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.

(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________. 考点二 抛物线的标准方程及其性质

【例2】 (1)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当|MA |

|MF |＝2时，△AMF 的面积为( ) A.1

B. 2

C.2

D.2 2

(2)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝85

5，则抛物线C 2的方程为( )

A.y 2＝85x

B.y 2＝165x

C.y 2＝325x

D.y 2＝645x

规律方法 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.

2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此. 考点三 直线与抛物线的位置关系

多维探究

角度1 直线与抛物线的公共点(交点)问题

【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；

(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.