27 命题逻辑的推理讲解
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（1）“由前提A1, A2 , … , An 推结论B 的推理”是有效推理。 （2）“由前提A1, A2 , … , An 推结论B 的推理”是正确推理。 （3）公式 A1 A2 … An B 是重言式。 （4）B 是 A1, A2 , … , An 的逻辑结论。 （5）B 是 A1, A2 , … , An 的有效结论。 （6）A1 A2 … An B （7）A1, A2 , … , An B （8）B 可由 A1, A2 , … , An 逻辑推出。 4.证明 A1 A2 … An B 是重言式的方法，常用的
( p q) (p q) ( p q) ( p q) ( p q) (p q)
m10 m00 m11 m10 m11 m01 m10 m00 m11 m01 m00 m01 m10 m11
也称 B 可由 A1, A2 , … , An 逻辑推出。
记作：{A1, AHale Waihona Puke Baidu , … , An} B
或：A1 A2 … An B
注：1. 如果 A1 A2 … An B 是重言式， 则对于
该公式的任意一组赋值，有且只有以下三种情形：
(1) A1 A2 … An 为 0 ，B 为 0 ； (2) A1 A2 … An 为 0 ，B 为 1 ； (3) A1 A2 … An 为 1 ，B 为 1 。
解：该公式的命题变元为：p, q
q ( p q) q ( p q) q p q
(q ( p p)) ( p (q q)) (q ( p p))
(q p) (q p) ( p q) ( p q) (q p) (q p)
注：形式推理只是推理的一种，还有按常识推理等等。
七、形式证明
定义2.24 在证明 B 是 A1, A2 , … , An 的逻辑结论的形式推理中，
每一步都产生一个公式，整个推理过程产生一个公式序列，
这个公式序列称为( 从 A1, A2 , … , An 到 B 的 )一个形式证
“由前提 A1, A2 , … , An 推结论 B 的推理”的形式结构为： {A1, A2 , … , An} B
或：A1 A2 … An B
或： 前提：A1, A2 , … , An
结论：B 其中：A1, A2 , … , An (n 1) 和 B 都是命题公式。
四、有效推理（或正确推理）
有四种：真值表法、等值演算法、主范式法、形式证明法
（也称推理规则推导法）。到目前为止，我们学会了三种：
真值表法、等值演算法和主范式法。
（1） 真值表方法。
列出公式 A1 A2 … An B 的真值表，若所有赋值都是
该公式成真赋值，则该公式为重言式；
（2） 等值演算方法。
对公式 A1 A2 … An B 进行等值变换，若 A1 A2 … An B 1 ，则此蕴涵式为重言式。
如果 A1 A2 … An B 是重言式，则称 “ 由前提 A1, A2 , … , An 推结论 B 的推理 ” 是有效推理
或正确推理。
记作：{A1, A2 , … , An} B
或：A1 A2 … An B
五、逻辑结论
定义2.22 若公式 A1 A2 … An B 为重言式， 则称 B 是 A1, A2 , … , An 的逻辑结论（或有效结论）。
从而，p q 是 q 的逻辑结论。
(2) 等值演算方法。
解：q ( p q) q ( p q) (q q) p 1 p 1
由 q ( p q) 1 知，q ( p q)是重言式。
从而，p q 是 q 的逻辑结论。
(3) 主析取范式方法。
因为公式q ( p q) 的主析取范式包含了它的所有极小项，
所以该公式是重言式。从而，p q 是 q 的逻辑结论。
下面学习：证明 B 是 A1, A2 , … , An 的逻辑结论的形式证明法
首先明确有关概念：
（一）、形式推理
定义2.23 从前提 A1, A2 , … , An 出发，应用推理规则，证明B 是 A1, A2 , … , An 的逻辑结论，这一过程称为形式推理。
2.7 命题逻辑的推理理论 一、推理 推理是指从前提推出结论的思维过程。
（其中：前提是事先给定的（或假定的）条件，
结论是一个断言，是推理的目标。）
二、命题逻辑中的推理
命题逻辑中的推理是指在命题逻辑系统中从前提推出结论 的过程。前提是给定的若干个命题公式；结论是一个命题公式。 三、命题逻辑中推理的形式结构（即：符号化）
（3） 主析取范式方法。
求公式 A1 A2 … An B 的主析取范式，若主析取
范式包含了该公式的所有极小项，则该公式是重言式。
注：这三种方法可以用于证明任意的命题公式是否为重言式；
形式证明法只能用于证明蕴涵式是重言式；当蕴涵式中包含 的命题变元较多时，真值表法、等值演算法和主析取范式法 都不好用，这时只有形式证明法最好用。
例2.23 证明p q 是 q 的逻辑结论。
（即：证明公式 q ( p q) 是重言式 ）
证明：(1) 真值表方法。
列出公式 q ( p q) 的真值表如下:
因为对 p, q 的任何一组赋值，公式 q ( p q) 的真值都是1，
所以, q ( p 是q)重言式 。
所以，正确推理不一定推出正确结论，只是（逻辑）有效结论。 因为前提不一定正确。 如果前提正确，那么正确推理一定推出正确结论。
2. 要证明“由前提A1, A2 , … , An 推结论B 的推理”是否有效， 只要证明 A1 A2 … An B 是否为重言式即可。
3.以下说法是同一个意思：
( p q) (p q) ( p q) ( p q) ( p q) (p q)
m10 m00 m11 m10 m11 m01 m10 m00 m11 m01 m00 m01 m10 m11
也称 B 可由 A1, A2 , … , An 逻辑推出。
记作：{A1, AHale Waihona Puke Baidu , … , An} B
或：A1 A2 … An B
注：1. 如果 A1 A2 … An B 是重言式， 则对于
该公式的任意一组赋值，有且只有以下三种情形：
(1) A1 A2 … An 为 0 ，B 为 0 ； (2) A1 A2 … An 为 0 ，B 为 1 ； (3) A1 A2 … An 为 1 ，B 为 1 。
解：该公式的命题变元为：p, q
q ( p q) q ( p q) q p q
(q ( p p)) ( p (q q)) (q ( p p))
(q p) (q p) ( p q) ( p q) (q p) (q p)
注：形式推理只是推理的一种，还有按常识推理等等。
七、形式证明
定义2.24 在证明 B 是 A1, A2 , … , An 的逻辑结论的形式推理中，
每一步都产生一个公式，整个推理过程产生一个公式序列，
这个公式序列称为( 从 A1, A2 , … , An 到 B 的 )一个形式证
“由前提 A1, A2 , … , An 推结论 B 的推理”的形式结构为： {A1, A2 , … , An} B
或：A1 A2 … An B
或： 前提：A1, A2 , … , An
结论：B 其中：A1, A2 , … , An (n 1) 和 B 都是命题公式。
四、有效推理（或正确推理）
有四种：真值表法、等值演算法、主范式法、形式证明法
（也称推理规则推导法）。到目前为止，我们学会了三种：
真值表法、等值演算法和主范式法。
（1） 真值表方法。
列出公式 A1 A2 … An B 的真值表，若所有赋值都是
该公式成真赋值，则该公式为重言式；
（2） 等值演算方法。
对公式 A1 A2 … An B 进行等值变换，若 A1 A2 … An B 1 ，则此蕴涵式为重言式。
如果 A1 A2 … An B 是重言式，则称 “ 由前提 A1, A2 , … , An 推结论 B 的推理 ” 是有效推理
或正确推理。
记作：{A1, A2 , … , An} B
或：A1 A2 … An B
五、逻辑结论
定义2.22 若公式 A1 A2 … An B 为重言式， 则称 B 是 A1, A2 , … , An 的逻辑结论（或有效结论）。
从而，p q 是 q 的逻辑结论。
(2) 等值演算方法。
解：q ( p q) q ( p q) (q q) p 1 p 1
由 q ( p q) 1 知，q ( p q)是重言式。
从而，p q 是 q 的逻辑结论。
(3) 主析取范式方法。
因为公式q ( p q) 的主析取范式包含了它的所有极小项，
所以该公式是重言式。从而，p q 是 q 的逻辑结论。
下面学习：证明 B 是 A1, A2 , … , An 的逻辑结论的形式证明法
首先明确有关概念：
（一）、形式推理
定义2.23 从前提 A1, A2 , … , An 出发，应用推理规则，证明B 是 A1, A2 , … , An 的逻辑结论，这一过程称为形式推理。
2.7 命题逻辑的推理理论 一、推理 推理是指从前提推出结论的思维过程。
（其中：前提是事先给定的（或假定的）条件，
结论是一个断言，是推理的目标。）
二、命题逻辑中的推理
命题逻辑中的推理是指在命题逻辑系统中从前提推出结论 的过程。前提是给定的若干个命题公式；结论是一个命题公式。 三、命题逻辑中推理的形式结构（即：符号化）
（3） 主析取范式方法。
求公式 A1 A2 … An B 的主析取范式，若主析取
范式包含了该公式的所有极小项，则该公式是重言式。
注：这三种方法可以用于证明任意的命题公式是否为重言式；
形式证明法只能用于证明蕴涵式是重言式；当蕴涵式中包含 的命题变元较多时，真值表法、等值演算法和主析取范式法 都不好用，这时只有形式证明法最好用。
例2.23 证明p q 是 q 的逻辑结论。
（即：证明公式 q ( p q) 是重言式 ）
证明：(1) 真值表方法。
列出公式 q ( p q) 的真值表如下:
因为对 p, q 的任何一组赋值，公式 q ( p q) 的真值都是1，
所以, q ( p 是q)重言式 。
所以，正确推理不一定推出正确结论，只是（逻辑）有效结论。 因为前提不一定正确。 如果前提正确，那么正确推理一定推出正确结论。
2. 要证明“由前提A1, A2 , … , An 推结论B 的推理”是否有效， 只要证明 A1 A2 … An B 是否为重言式即可。
3.以下说法是同一个意思：