用圆锥曲线极点与极线的性质解题
圆锥曲线极点极线定理
圆锥曲线极点极线定理圆锥曲线极点极线定理1. 引言圆锥曲线是平面解析几何中的重要概念之一，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
在研究圆锥曲线的性质时，极点和极线是不可避免的概念。
本文将介绍圆锥曲线的极点极线定理，该定理是描述圆锥曲线中极点和极线之间关系的重要结论。
2. 极点和极线的定义在平面直角坐标系中，设有一条直线L和一个点P(x0,y0)。
若从P到L上每一点所引的直线与L垂直，则称P为L的极点，L为P的极线。
3. 圆锥曲线的定义设有一个平面内固定点F（称为焦点）和一条固定直线d（称为准线）。
对于任意一点P，分别以PF和PD（D为d上任意一点）为半径作两个圆，并将这两个圆相切于P处。
则所有这样的P所构成的集合称为圆锥曲线。
4. 圆锥曲线中极点与极轴间关系对于任意一条圆锥曲线，设其焦点为F，准线为d，P为任意一点，则有以下结论：（1）若P在焦点F上，则其极线为准线d；（2）若P在准线d上，则其极线为过该点且垂直于准线的直线；（3）若P不在焦点F和准线d上，则其极轴为PF的中垂线。
5. 圆锥曲线中极轴与极径间关系对于任意一条圆锥曲线，设其焦点为F，准线为d，O为坐标系原点，则有以下结论：（1）若O在焦点F上，则其极径是任意一条过O的直线；（2）若O在准线d上，则其极径是与准线垂直且经过O的直线；（3）若O不在焦点F和准线d上，则其极径是从O出发经过圆锥曲线上任意一点P的直线。
6. 圆锥曲线中两个互异的定理对于任意一条圆锥曲线，设其焦点为F，准线为d，P(x,y)为任意一点。
则有以下两个互异的定理：（1）以FP和PD分别为半径的两个圆相交于点P，则P在圆锥曲线上；（2）以FP和PD分别为半径的两个圆相切于点P，则P在圆锥曲线上。
7. 结论综上所述，圆锥曲线极点极线定理是描述圆锥曲线中极点和极线之间关系的重要结论。
在研究圆锥曲线的性质时，该定理具有重要意义。
高中数学圆锥曲线技巧之极点与极线
高中数学圆锥曲线技巧之极点与极线在高中数学的学习中，圆锥曲线是一个比较复杂但又非常重要的内容。
其中，极点与极线是圆锥曲线中一个较为抽象但又极具深度的概念。
在本文中，我们将深入探讨高中数学中关于极点与极线的技巧，并通过具体的例子来帮助大家更好地理解和运用这一知识。
极点与极线是圆锥曲线中的重要概念，它们的理解和运用可以帮助我们更好地解题和应用数学知识。
在接下来的内容中，我们将从简单到复杂，由浅入深地介绍极点与极线的相关知识，让大家能够更直观地理解这一概念。
让我们从极点的定义和性质入手。
极点是在圆锥曲线上的一个特殊点，它具有一定的性质和特点。
在直角坐标系中，对于椭圆、双曲线和抛物线而言，这些曲线上都存在极点。
具体来说，在椭圆和双曲线上，极点是无限远处的点，而在抛物线上，极点是定点。
通过对极点的性质进行深入了解，我们可以更好地应用这一知识解决问题。
让我们了解极线的概念及其性质。
极线是与极点对应的直线，它们之间存在着一定的几何关系。
在椭圆和双曲线的情况下，极线是通过极点并且与曲线相切的直线，而在抛物线的情况下，极线是通过极点并且与对称轴垂直的直线。
通过对极线的性质进行深入研究，我们可以更好地掌握圆锥曲线相关问题的解题技巧。
接下来，让我们通过实例来详细讨论极点与极线的应用技巧。
以椭圆曲线为例，假设我们需要确定椭圆上关于极点和极线的一些特定问题。
在解题过程中，我们可以先确定椭圆的极点，然后求出与极点相关的极线方程，进而利用极线的性质来解决具体的问题。
通过实例的具体讲解，我们可以更好地理解并掌握极点与极线的运用技巧。
总结回顾一下，极点与极线是圆锥曲线中的重要概念，它们的理解和运用可以帮助我们更好地解题和应用数学知识。
通过对极点与极线的深入讨论和实例分析，我们能够更全面、深刻和灵活地理解这一知识，并运用于实际问题中。
对于我个人来说，极点与极线的学习过程不仅仅是对圆锥曲线知识的掌握，更是对数学思维和解题能力的提升。
2023年高考数学圆锥曲线极点极线的运用
2023年高考数学圆锥曲线极点极线的运用圆锥曲线极点极线是数学中的一个重要概念，其在高考数学中也经常出现。
2023年的高考数学考试中，圆锥曲线极点极线的运用将成为一道热点题目。
本文将围绕这一话题展开探讨，详细介绍圆锥曲线极点极线的相关概念和运用，希望能为广大考生提供一些帮助。
首先，我们来了解一下圆锥曲线极点极线的基本概念。
在数学中，圆锥曲线是指由平面上的一点到两条固定直线的距离之比为定值的轨迹。
而圆锥曲线的极点则是指曲线上的一个特殊点，它与两条固定直线的距离之比为无穷大，即该点到两条直线的距离为无穷大。
极线则是指与曲线上所有点的极距之积为定值的直线。
圆锥曲线极点极线的运用涉及到极坐标系、直角坐标系、参数方程等多种数学方法，需要考生熟练掌握这些知识点。
在高考数学中，圆锥曲线极点极线的运用主要包括以下几个方面：一是求圆锥曲线的极点和极线，计算极点的坐标以及确定其对应的极线方程；二是利用极点极线性质解决实际问题，如求解曲线上某一点到两条直线的距离，或者确定曲线上满足某些条件的点的位置等；三是应用极点极线的性质进行曲线的绘制和分析，包括确定曲线的形状、性质以及与其他曲线的关系等。
考生在备战高考数学时，应该针对这些方面进行有针对性的复习和练习，以提高自己对圆锥曲线极点极线的理解和应用能力。
在解题过程中，要特别注意以下几点：首先是要善于观察和分析问题，根据题目给出的条件，合理选择适当的数学方法和工具，尤其是对于涉及到极坐标系和参数方程的问题，要灵活运用相关知识进行分析和求解；其次是要善于化繁为简，将问题进行适当的简化和转化，以便更好地把握问题的本质和核心，从而更加有效地解决问题；最后是要善于总结和归纳，掌握圆锥曲线极点极线的一般性质和规律，以便在解决新问题时能够迅速找到解题思路和方法。
总的来说，圆锥曲线极点极线的运用在高考数学中占据着重要地位。
考生在备考时要加强对这一知识点的理解和掌握，多做相关题目，积累解题经验，以应对考试中的各种可能的考查。
用圆锥曲线极点与极线的性质解题
Ⅳ．过圆锥曲线特定直线（极线）上任意一点引圆锥曲线 的切线，则切点弦直线恒过定点（极点）．
上述证明可参考《高等几何》，此处不再展开，这里重在说 明其应用．
例１ 已知椭圆ｃ：每＋ｙ２—１的两焦点为，点Ｐ（如，Ｙｏ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
满足．则１ＰＦ，ｌ＋ｌＰＦ。ｊ的取值范围为——，直线等＋ｙｏｙ＝
１与椭圆Ｃ的公共点个数——．
一条直线都有一个极点．
２．标准方程下圆锥曲线极点与相应极线的方程
，２
．．２
椭圆争＋寺一１，则点ｐ（ｘ。，Ｙ ｃ，）对应的极线方程为：
掣＋掣一１．
Ⅱ。
Ｄ”
双曲线≥一ｙ６２—１，则点ｐ（ｚ。，Ｙ。）对应的极线方程为：
Ｘｏ工 口２
ｙｏＹ一１
ｂ２
１‘
抛物线Ｙ２＝２ｐｘ。则点ｐ（氙，Ｙ。，）对应的极线方程为：
Ｐ（Ｘ０，ｙｏ）．还有学生看到竿＋ｙｏｙ一１这样的结构，认为是 切线，所以判断有一个公共点．事实上，下Ｊ。ｏ ３１＂＋ｙｏＹ一１是
～２
Ｐ（ｚ。，Ｙ。）对应的极线，Ｐ（ｚ。，Ｙ。）在椭圆ｃ：等＋ｙ２—１的内 部，此直线与椭圆相离，故交点数为０个，问题能够快速解决．
而常规方法只能联立方程用判别式判断，计算比较复杂．
引用本文格式：黄彩红 用圆锥曲线极点与极线的性质解题[期刊论文]-中学生数理化（学研版） 2013(10)
点共线．由极点与极线性质知相应的三极线共点于Ｐ．
ｆ竿一ｙ，一一，１
Ｐ（Ｔ。，一１），代入极线方程得：＜
Ｉ—＇／７２：广Ｘ（Ｉ—ｙ２一一１．
两式相减得：塑１二竽堕一（ｙ。一ｙ：）． Ｌ
所以讳·蕊一Ｔ。（ｚ：一ｚ。）一２（弘一ｙ１）一ｏ．
（２）设ＡＢ方程：ｙ一１一ｋｘ，则ＡＢ对应的极点为（２ｋ， １）．把ＡＢ代人Ｃ：，一４ｙ．
用圆锥曲线极点与极线的性质解题
用圆锥曲线极点与极线的性质解题
邹生书
【期刊名称】《河北理科教学研究》
【年(卷),期】2011(000)001
【摘要】@@ 本文介绍圆锥曲线极点和极线的几何性质在解题中的应用,以飨读者.1 圆锥曲线极点和极线的定义已知圆锥曲线C:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,则称点P(x0,y0)和直线l:Ax0x+Cyoy+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是圆锥曲线C的一对极点和极线.
【总页数】2页(P13-14)
【作者】邹生书
【作者单位】湖北省阳新县高级中学,435200
【正文语种】中文
【相关文献】
1.用圆锥曲线极点与极线的性质解题 [J], 黄彩红
2.简述与圆锥曲线的极点和极线有关的性质 [J], 彭世金
3.高观点下再看问题本质——圆锥曲线极点与极线的一个性质应用 [J], 黄嘉欣
4.探解圆锥曲线问题的有效工具:极点与极线的性质 [J], 项燕英
5.用圆锥曲线极点与极线的性质解题 [J], 黄彩红;
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圆锥曲线的极点与极线问题
圆锥曲线的极点与极线问题圆锥曲线的极点与极线问题导言圆锥曲线是数学中的一个重要分支，其所涵盖的概念和性质有着深远的研究价值。
其中，圆锥曲线的极点与极线问题是一个具有特殊意义的主题。
在本文中，我将以深度和广度的方式来探讨圆锥曲线的极点与极线，希望能够使读者对这一问题有全面、深刻和灵活的理解。
一、圆锥曲线的基本定义与性质1.1 什么是圆锥曲线圆锥曲线是由一个平面与一个平行于它的不相交的直线切割圆锥所得到的曲线。
根据切割的方式和角度不同，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
1.2 圆锥曲线的焦点与离心率圆锥曲线的焦点是指在其上的特殊点，其具有特殊的几何性质。
离心率是一个衡量圆锥曲线形状的参数，也是圆锥曲线性质的重要指标。
二、极点与极线的基本概念2.1 极点的定义与性质在平面上给定一个圆锥曲线，其直角坐标系中的原点O被称为该圆锥曲线的极点。
极点在圆锥曲线的研究中具有重要的地位，它与曲线的各种性质密切相关。
2.2 极线的定义与性质对于圆锥曲线上的任意一点P，以极点为中心，作直线OP，称为圆锥曲线的极线。
极线是一个与极点相关的直线，它与曲线的位置和特性有着密切的联系。
三、不同类型曲线的极点与极线问题3.1 椭圆的极点与极线对于椭圆，其极点为原点O，极线为过原点O的直线。
椭圆的极点处于其主轴的中点位置，其极线是关于两个焦点的对称直线。
3.2 双曲线的极点与极线对于双曲线，其极点为原点O，极线为过原点O的渐近线。
双曲线的极点处于离心率之间的位置，其极线是关于两个焦点的渐近线。
3.3 抛物线的极点与极线对于抛物线，其极点为其焦点，极线为过焦点的直线。
抛物线的极点位于抛物线的顶点位置，其极线是关于焦点的直线。
四、个人观点与理解圆锥曲线的极点与极线问题是一个十分有趣且具有挑战性的数学问题。
通过研究圆锥曲线的极点与极线，我们能够更深入地理解曲线的性质和特性。
极点是曲线的重要几何特征，它能够从不同的角度揭示出曲线的各种性质。
圆锥曲线的极点与极线的重要结论_罗碎海
y = ax 与曲线 y = mxα (m > 0) 公共点个数．
分析：当 x > 0 时，曲线 y = ax 与 y = mxα (m > 0) 的公共点
个数等价于方程 ax = mxα 在 (0, +∞) 上的根的个数，等价于为
x
方程 aα = α m x 在 (0, +∞) 上的根的个数．
x
如图 6，在同一坐标系中作出 y = aα 与 y = α m x 的图象，
［Ｊ］．2010. (4)．
40
中学数学研究
2014 年第 10 期（上）
圆锥曲线的极点与极线的重要结论
华南师范大学附属中学 （广州，510630） 罗碎海
文【1】很值得一读，原文作者的探究思想与技巧方法启
迪我们的思维，作者的严格推理与运算毅力震撼我们的心
灵。他由 2012 年北京卷解析几何题探究出 5 个优美的结论，
而且 5 个结论的证明过程使用高中解析几何的初等方法。
图7
M (x1,y1)、N(x2,y2) ，其中
m > 0,y1 > 0,y2 < 0.
（1）设动点 P 满足 PF2 - PB2 = 4 ,求点 P 的轨迹；
（2）设
x1
=
-2,
x2
=
-
1 3
，求点
T
的坐标；
（3）设 t = 9 ,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标
与 m 无关）。
分析（3）：因为点（9，m）关于椭圆的极线为 x+y=1,此极线
锥曲线①相交，过交点作圆锥曲线
①的切线，两切线交点的轨迹方程
图3
为直线②；过直线②上任一点作圆锥曲线①两切线（存在的
漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法
抛物线 ｘ ２ ， ＝ Ｙ 则点 Ｐ 二 ＇ｏ 对应的极线方程 ２ Ｐ （。ｙ ） 为：（ 一ｐｙ ｏ ＝ ０ 二二 （ ＋Ｙ ） ； 若抛物线 犷 二２ｘ 则点 Ｐ 二 ＋０ 对应的极线方 ｐ， （（ｙ） ， 程为：ｏ ＂（ ＋二 ） ０ ＹＹ ｐ二 。 ＝ ． － 命题 ２ 圆锥曲线中极线共点于 尸 则这些极线相 ， 应的极点共线于点 尸相应的极线． 反之亦然． 称为极点 与相应极线对偶性． 如题 １ Ａ 图，Ｂ绕焦点Ｆ转动， Ａ 则 Ｂ相应的极点 Ｐ
中学数学教学
相交， 两个交点的纵坐标为 Ｙ ．２求 ｌ ， Ｙ
２０ 年第 ６ ０６ 期
证Ｙ ２ ． Ｉ＝ Ｙ －厂
作为课本一习题，０１年全 国卷 ２０
ｉ 题以此题为背景命题， ｓ 利用此结论
可迅速证 明该题． （０ １年 全 国 卷 理 科 １ ２０ ９题 ） 设 抛 物 线 Ｙ ２＝
、 Ｙｉ一 Ｙ２）
所以 声＂ 方＝ｘ （ ： １ 一 ２ ｙ 一 Ｙ ）“ ０ Ｆ Ａ ｐｘ 一ｘ ） （ ： １ ．
（） 扫方程为，－１ ｘ 逆用命题 １ Ｂ对 ２ 设Ａ Ｙ ＝ｋ ， 得Ａ
应 的极点为（ｋ 一１ ， ＝ｋ 十１ ２ ， ）把ｙ ｘ 代人 ｘ ＝ 并由 ２ ｙ ４
２ ３ 竞赛中抛头露面， ． 显山露水
２ｘ ｐ ０ 的焦点为 Ｆ 过焦点 Ｆ的直线交抛物线于 ｐ （ ＞ ） ， Ａ， Ｂ两点 ， Ｃ在抛物线的准线上， Ｂ〕 点 且 （平行ｘ轴， 证
明直线 Ａ Ｃ过原点． 下面利用命题 １２ ， 给出例 １ 的证明：
标 （ ２ 为线上点 点 对 的线 为奋 ） ，动， 尸应极 ，直 Ｐ 则 Ａ必（ ２ Ｂ过２卜 １ 设Ｂ 程 一 （ ， 恤１ 方：卜‘ ）用 ， Ａ的 ， 一合 逆 得 Ａ 应极 设 （，一） Ａ 人； Ｂ 的杆可为 夸 ２把Ｂ Ｃ 对 夸 ・ 代
圆锥曲线中的极点极线问题(学生版)-高中数学
圆锥曲线中的极点极线问题考情探究命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线极点极线的定义2.理解、掌握圆锥曲线的极点极线问题及其相关计算【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习知识讲解1.极点极线的定义如图,设P 是不在圆雉曲线上的一点,过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E ,F ,G ,H ,连接EH ,FG 交于N ,连接EG ,FH 交于M ,则直线MN 为点P 对应的极线.若P 为圆雉曲线上的点,则过P 点的切线即为极线.同理,PM 为点N 对应的极线,PN 为点M 所对应的极线.因而将△MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线于点A ,B 两点,则P A ,PB 恰为圆锥曲线的两条切线.2.其他定义对于圆锥曲线C :Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0,已知点P x 0,y 0 (非中心)及直线l :Ax 0x +B ⋅x 0y +y 0x 2+Cy 0y +D ⋅x +x 02+E ⋅y 0+y 2+F =0,则称点P x 0,y 0 是直线l 关于圆锥曲线C 的极点,直线l 称为点P 关于圆锥曲线C 的极线。
配极原则:共线点的极线必共点,共点线的极点必共点。
3.替换原则x0x →x 2,x 0y +y 0x 2→xy ,y 0y →y 2,x +x 02→x ,y +y 02→y .4.极点极线的几何意义(以椭圆为例)已知椭圆方程:x2a2+y2b2=1,设点P x0,y0的极线l:x0xa2+y0yb2=1.(1)当点P x0,y0在椭圆上时,极线l是以点P为切点的切线。
(极点在极线上)(2)当点P在椭圆外时,极线l与椭圆相交,且为由P点向椭圆所引切线的切点弦所在直线。
(3)当点P在椭圆内时,极线l与椭圆相离,极线l为经过点P的弦在两端点处的切线交点的轨迹,且极线l与以点P为中点的弦所在的直线平行。
压轴题型05 圆锥曲线中的极点、极线问题(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练
压轴题05圆锥曲线中的极点、极线问题“极点极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点极线是圆锥曲线的一种基本特征，自然成为命题人命题的背景知识和方向，可以肯定的说“极点极线”为背景的考题是出题人思维中的定势方向，学生掌握了极点极线的相关知识，就可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质，虽然高考解答题不能用相关结论，但是我们可以将它作为辅助手段，快速的找到正确答案，然后再用初等方法写过程解题。
也就是说只有熟练“二级结论”才能明确运算方向、提高运算效率.○热○点○题○型1椭圆中的极点与极线问题○热○点○题○型2双曲线中的极点与极线问题○热○点○题○型3抛物线中的极点与极线问题极点极线的定义4.极点极线的配极性质①点P关于二次曲线ϕ的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于二次曲线ϕ的极线q 经过点P ．②直线p 关于二次曲线ϕ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于二次曲线ϕ的极点Q 在直线p 上．①②说白了，就是点P 和点Q 是二次曲线的一组调和共轭点．1.若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是．解利用替换法则，易得直线AB 为：112x y +=，故1c =，2b =，椭圆方程是22154x y +=2.如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC 、BD ，设内层椭圆方程为()222210x y ab a b +=>>，若直线AC 与BD 的斜率之积为14-，则椭圆的离心率为()．A ．12B ．22C ．D ．34解(1)法一选C ；不妨特殊化，设切线BD 关于y 轴的对称切线为BE ，令切线AC 和BE 恰好重合为切线AB ，则222114b e a ==-，即32e =．法二设11(,)C x y ，22(,)D x y ，外层椭圆为()22222211x y m m a m b+=>，则(,0)A ma，(0,)B mb ．椭圆在点C 处的切线为：11221xx yy a b +=，代入(,0)A ma ，可得1ax m=，1y =；椭圆在点D 处的切线为：22221xx yy a b +=，代入(0,)B mb ，可得2bym=，2x =-因此，2244221212224421212114ACBD b x b x x x b b b k k e a y a y a y y a a ⎛⎫=--===-=-=-⎪⎝⎭ ，即32e =．法三设直线AC 为：()y k x ma =-，利用等效判别式：222222a k b k m a +=，解得AC k =；同理可得：BDk a=，因此，2214AC BDbk ka=-=-．3.如图，已知A、B分别为椭圆()222210x y a ba b+=>>的右顶点和上顶点，直线l∥AB，l与x轴、y轴分别交于C、D两点，直线CE、DF为椭圆的切线，则CE与DF的斜率之积CE DFk k等于()．A．22ab±B．222a ba-±C．22ba±D．222a bb-±ABCDyxOABCDyEFO xl解选C；不妨在第一象限，令CD与该椭圆相切于点H，则切点F与H关于y轴对称，切点E与H关于x轴对称，此时有22CE DFbk ka=．4.如图，O是坐标原点，过(,0)E p的直线分别交抛物线22(0)y px p=>于A、B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M与此抛物线相切的直线与直线x p=相交于点N．则22ME NE-=()．A．22p B．2p C．4p D．pyxO EN BAM答案选A．法一设211,2yA yp⎛⎫⎪⎝⎭，222,2yB yp⎛⎫⎪⎝⎭，则直线AB的方程为：1212()2y y y px y y+=+，代入点E可得：2122y y p=-．直线OB的方程为：22py xy=，令1y y=，可得x p=-，即点M的坐标为1(,)p y-．设3(,)N p y，则22222134ME NE p y y-=+-，只需要再得到一个关于1y、3y的式子即可．直线MN的两点式方程为：1313()2()0y y x py p y y-+-+=，与抛物线方程联立：2221313()42()0y y y p y p y y-+-+=，令2221313(4)4()2()0p y y p y y ∆=+-+= ，可得222132y y p -=-，故2222ME NE p -=．法二利用到点00(,)M x y 对抛物线22y px =的双切线方程为：[]2220000(2)(2)()y px y px yy p x x --=-+，代入点1(,)M p y -、3(,)N p y ，可得：[]222223131(2)(2)()y p y p y y p p p -+=--，解得222132y y p -=-．5.设a 、b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ，2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为()．A ．0B ．1C ．2D ．3解易知直线AB 的方程为cos sin 0y x θθ+=，又双曲线的渐近线为cos sin x y θθ=±，则直线AB 为双曲线的渐近线，故选A ．6.过椭圆22194x y +=上一点M 作圆222x y +=的两条切线，点A 、B 为切点．过A 、B的直线l 与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，则△POQ 的面积的最小值为()．A ．12B ．23C ．1D ．43解(1)选B ；设00(,)M x y ，则直线l 的方程为：002xx yy +=，易得02,0P x ⎛⎫⎪⎝⎭，020,Q y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．又2200001943x y x y +=≥，即003x y ≤，故00223POQ S x y =≥△．7.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，圆222C x y a +=：，过双曲线的任意一点000(,)(0)P x y y ≠作圆C 的两条切线，其切点分别为A 、B ．若直线AB 与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，则2222b a OMON-=．A ．22b aB ．22b a-C ．22a b D ．22c a 解选A ；直线AB 为：200xx yy a +=，令0y =，20a x x =，20a OM x =；令0x =，20a y y =，20a ON y =，因此，22222220022442b x a y b a b a a aOMON-=-=．8.圆221x y +=的切线与椭圆22143x y +=交于两点A 、B ，分别以A 、B 为切点的椭圆22143x y +=的切线交于点P ，则点P 的轨迹方程为．解设00(,)P x y ，则极点P 对应的极线（切点弦）AB 的方程为：00143xx yy+=，又直线AB1=，即22001169x y +=，即点P 的轨迹方程为221169x y +=．9.设1A 、2A 、3A 、4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312()A A A A λλ=∈R，1412()A A A A μμ=∈R ，且112λμ+=,则称3A 、4A 调和分割1A 、2A ，已知平面上的点C 、D 调和分割A 、B ，则下面说法正确的是()．A ．C 可能是线段AB 的中点B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上解对调和点列背景熟悉的话，此题是送分题，显然选D ．10.过点(1,1)M -的动直线l 交圆2220C x y x +-=：于点A 、B ，O 为坐标原点，若在线段AB 上的点Q 满足112MA MB MQ+=，则min OQ =．答案55；Q 点的轨迹就是极点M 对应的极线！。
高中数学圆锥曲线系统讲解第33讲《极点与极线》练习及答案
第33讲 极点与极线知识与方法极点极线是射影几何中的重要内容，在中学教材中并未提及，但纵观历年高考的解析几何大题，可以发现诸多试题都有极点极线的背景，所以了解极点极线，可以让我们站在更高处来看待问题．这一小节我们先介绍极点极线的几何定义、代数定义和一些常用的性质，再辅以若干典型的高考真题的极点极线观点，来加深大家的理解.1．极点极线的几何定义：以椭圆为例，如图1所示，设P 为椭圆外一点，过P 作椭圆的两条割线分别与椭圆相交于A 、B 和C 、D 四点，AC 与BD 交于点M ，AD 与BC 交于点N ，则称点P 为直线MN 关于椭圆的极点，直线MN 为点P 关于椭圆的极线.另一方面，图1也可以这么来看，从椭圆外的点N 作椭圆的两条割线分别交椭圆于A 、D 和B 、C 四点，AC 与BD 交于点M ，AB 与CD 交于点P ，所以点N 和直线PM 也是一对极点极线，事实上，点M 和直线PN 也是一对极点极线，因此在PMN 中，以其中一个顶点作为极点，那么该顶点的对边所在的直线就是对应的极线，从而我们将PMN 称为“自极三角形”，为了加以区分，图中画成了虚线．这个图形有两种特殊情况：（1）如图2所示，当四边形ABCD 有一组对边平行时，如AD BC ∥，此时我们看成AD 和BC 的交点N 在无穷远处，那么以M 为极点，对应的极线是图2中的2PN ，其中2PN BC ∥；以P 为极点，那么极线是1MN ，其中1MN BC ∥；（2）如图3所示，当其中一条割线变成切线时，此时D 、M 、N 几个点就都与切点C 重合，从而点C 和切线PC 是一对极点极线.2．极点极线的代数定义：在平面直角坐标系xOy 中，设有圆锥曲线C （圆、椭圆、双曲线、抛物线均可）和不与C 的对称中心重合的点()00,P x y ，在圆锥曲线C 的方程中，用0x x 替换2x ，0y y 替换2y ，02x x +替换x ，02y y+替换y ，得到的方程即为以P 作为极点的极线l 的方程.例如，设椭圆C 的方程为2212x y +=，极点为()2,4P ，则与P 对应的极线为2412x y +=，即410x y +−=；又如，设抛物线C 的方程为22y x =，极点为()2,4P ，则与P 对应的极线为2422xy +=⋅，即420x y −+=.可以看到，极点与极线是一个成对的概念，且若给定极点，求极线的规则是统一的，与圆锥曲线的类型无关，与极点P 的位置无关，下面以椭圆为例，说明极点P 在不同位置时，极线l 的情形：（1）当点P 在椭圆C 上时，极线l 为椭圆C 在P 处的切线，如图4所示；（2）当点P 在椭圆C 外部时，极线l 为点P 对椭圆C 的切点弦所在直线，如图5所示；（3）当点P 在椭圆C 内部时，过点P 任作椭圆C 的一条割线交C 于A 、B 两点，椭圆C 在A 、B 两点处的切线交于点Q ，则当割线AB 绕着点P 旋转时，点Q 的轨迹就是极线l ，如图6所示.3．极点极线的常用性质：（下面以椭圆为例）（1）如图7所示，O 为椭圆中心，点P 在椭圆内，延长OP 交椭圆于点Q ，交椭圆与点P 对应的极线l 于点M ，则OP 、OQ 、OM 成等比数列；当P 恰好为弦AB 的中点时，直线AB 的方程为2200002222x x y y x y a b a b+=+，且极线l 和椭圆在点Q 处的切线均与AB 平行.（2）调和分割性：如图8所示，设极点P 的极线是直线l ，过P 作椭圆的一条割线交椭圆于A 、B 两点，交极线l 于点Q ，则P 、A 、Q 、B 成调和点列，即PA QA PBQB=（或写成211PQ PA PB=+） （3）配极原理：若点P 关于椭圆的极线过点Q ，则点Q 关于椭圆的极线也过点P .由此出发，我们可以得出共线点的极线必然共点，共点极线的极点必然共线，如图9所示，极点1P 、2P 、3P 的极线分别为1l 、2l 、3l ，则1P 、2P 、3P 共线⇔1l 、2l 、3l 共点.提醒：极点极线的分析方法只能让我们在看到问题时能够迅速“窥得天机”，不能作为正式的作答，我们在学习时，仍然应该以基本方法为主，技巧偏方为辅，不能本末倒置.典型例题【例1】（2021·新高考Ⅱ卷·多选）已知直线2:0l ax by r +−=与圆222:C x y r +=，点(),A a b 则下列说法正确的是（ ）A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【解析】解法1：A项，若点A在圆C上，则222a b r+=，圆心C到直线l的距离d r=，所以直线l与圆C相切，故A项正确；B项，若点A在圆C内，则222a b r+<，圆心C到直线l的距离2d r==>，所以直线l与圆C相离，故B项正确；C项，若点A在圆C外，则222a b r+>，圆心C到直线l的距离2d r==<，所以直线l与圆C相交，故C项错误；D项，若点A在直线l上，则2220a b r+−=，即222a b r+=，圆心C到直线l的距离d r==，所以直线l与圆C相切，故D项正确.解法2：显然对于圆C，以(),A a b作为极点，那么极线就是2:0l ax by r+−=A项，若极点A在圆C上，则极线l是圆C的切线，故A项正确；B项，若极点A在圆C内，则极线l与圆C相离，故B项正确；C项，若极点A在圆C外，则极线l是圆C的切点弦，应与圆C相交，故C项错误；D项，若极点A在直线l上，这是极线恰好为切线，极点为切点的情形，故D项正确.【答案】ABD【例2】（2011·四川）椭圆有两个顶点()1,0A−，()1,0B，过其焦点()0,1F的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q.（1）当CD=时，求直线l的方程；（2）当P点异于A、B两点时，证明：OP OQ⋅为定值.【解析】（1）由题意，椭圆的短半轴长1b=，半焦距1c=，所以长半轴长a =，故椭圆的方程为2212y x +=，当2CD =时，易得直线l 与x 轴垂直，故可设l 的方程为1y kx =+()0,1k k ≠≠±， 设()11,C x y ，()22,D x y ，联立22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()222210k x kx ++−=， 判别式()2810k ∆=+>，由韦达定理，1221222212k x x k x x k ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=−⎪+⎩①②，所以12CD x x =−==k =所以直线l 的方程为1y =+.（2）极点极线看问题：设(),0P m ，以P 为极点，则对应的极线为1mx =，即1x m=， 显然点Q 在极线上，所以1Q x m =，不难发现101Q OP OQ m y m⋅=⋅+⋅=. 注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面两个解法来写.解法1：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，其方程为()1111yy x x =++③，直线BD 的斜率为221BD y k x =−，其方程为()2211yy x x =−−④，用式③除以式④整理得：()()21121111y x x x y x ++=−−，即()()21121111Q Q x y x x y x ++=−−， 而()()()()()()212112211212121211111111y x kx x kx x kx x y x kx x kx x kx x ++++++==−+−−+−，所以122112121111Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=−−+−，由①知12222kx x k =−−+， 故()()()()()()222222222222122111122212121111222Q Q k k k kkx x k x x k k k k k k k k x k k x x k x k k k −−−+−−++−+−+++===−+−+⎛⎫−−−−+−++ ⎪+++⎝⎭，解得：Q x k =−，易得1,0P k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k ⋅==−⋅−=，即OP OQ ⋅为定值1.解法2：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，其方程为()1111yy x x =++③，直线BD 的斜率为221BD y k x =−，其方程为()2211yy x x =−−④，用式③除以式④整理得：()()21121111y x x x y x ++=−−，即()()21121111Q Q x y x x y x ++=−−⑤ 所以()()()()()()()()()()()()222222121211212222212121212122111111111111211Q Q x x x y x x x x x x x x x x x x x x y x x x −+⎛⎫+++++++==== ⎪ ⎪−−−−++−−−⎝⎭ 22222121122121122kk k k k k k k −−+−⎛⎫++= ⎪+⎝⎭−++++， 因为1x ，()21,1x ∈−，所以12101x x +<−，结合⑤可得11Q Q x x +−与21y y 异号， 又()()()()()222212121212222221122211112222k k k k k y y kx kx k x x k x x k k k k +−−=++=+++=−−+==++++()2221121k k k k +−=−⋅++， 所以12y y 与11k k −+异号，即21y y 与11k k −+异号，从而11Q Q x x +−与11k k −+同号，所以1111Q Q x k x k +−=−+，解得：Q x k =−，易得1,0P k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k ⋅==−⋅−=，即OP OQ ⋅为定值1.【例3】（2020·新课标Ⅰ卷）已知A 、B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）由题意，(),0A a −，(),0B a ，()0,1G ，故(),1AG a =，(),1GB a =−， 所以218AG GB a ⋅=−=，解得：3a =或3−（舍去），故E 的方程为2219x y +=.（2）极点极线看问题：如图1，设AB 和CD 交于点Q ，AD 和CB 交于点M ，则PQM 为自极三角形，所以点Q 和直线PM 是一对极点极线，设(),0Q m ，则极线PM 的方程为19mx=，即9x m =，又点P 在直线6x =上，所以96m =，从而32m =，故3,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭，这样就得到了直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面两个解法来写. 解法1：由（1）知()3,0A −，()3,0B ，设()6,P t ，()11,C x y ，()22,D x y ，当0t ≠时，直线PA 的方程为93x y t =−，代入2219x y +=消去x 化简得：22815490y y t t ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭， 解得：0y =或269t t +，所以269C ty t =+，故22927339C C t x y t t −=−=+，从而2222736,99t t C t t ⎛⎫− ⎪++⎝⎭，直线PB 的方程为33x y t =+，代入2219x y +=消去x 化简得：2291890y y t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得：0y =或221t t −+，所以221D t y t =−+，从而2233331D D t x y t t −=+=+，故222332,11t t D t t ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭，设3,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2222796,929t t TC t t ⎛⎫− ⎪= ⎪++⎝⎭，()222392,121t t TD t t ⎛⎫− ⎪=− ⎪++⎝⎭，即()22319t TC TD t +=−+，故TC TD ∥，所以T 、C 、D 三点共线，从而直线CD 过定点3,02T ⎛⎫⎪⎝⎭，当0t =时，易得C 、D 分别与B 、A 重合，所以直线CD 即为x 轴，显然直线CD 也过点T ，综上所述，直线CD 过定点3,02T ⎛⎫⎪⎝⎭解法2：由（1）知()3,0A −，()3,0B ，设()11,C x y ，()22,D x y ，()06,P y当00y ≠时，由图2可知点C 不与点B 重合，因为221119x y +=，所以()2211199y x =−，故CA 、CB 的斜率之积为2111211113399CA CB y y y k k x x x ⋅=⋅==−+−−① 又PA 的斜率09PA CA y k k ==，PB 的斜率03PB BD y k k ==，所以13CA BD k k =， 代入式①化简得：BC 、BD 的斜率之积13BC BD k k ⋅=−，显然CD 不与y 轴垂直，否则AC 与BD 的交点在y 轴上，故可直线CD 的方程为x my t =+，联立2219x ty x my ⎧⎪⎨+==+⎪⎩消去x 整理得：()2229290m y mty t +++−=， 判别式()()222244990m t m t ∆=−+−>，所以2290m t +−>， 由韦达定理，12229mt y y m +=−+，212299t y y m −=+，所以()121221829t x x m y y t m +=++=+，()22221212122999t m x x m y y mt y y t m −=+++=+，()1212121212133393BC BD y y y y k k x x x x x x ⋅=⋅==−−−−++，故()121212339y y x x x x −=−++，即22222299918339999t t m t m m m −−−⋅=−⋅++++，整理得：22990t t −+=，解得：32t =或3，若3t =，则C 、D 中有一个点与B 重合，不合题意，所以32t =，满足0∆>，即直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭，当00y =时，易得C 、D 分别与B 、A 重合，所以直线CD 即为x 轴，也过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上所述，直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【例4】（2018·新课标Ⅰ卷）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，点M 的坐标为()2,0.（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.【解析】（1）由题意，()1,0F ，当l 与x 轴垂直时，其方程为1x =， 由22112x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：y =，即点A的坐标为1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 当点A的坐标为2⎛ ⎝⎭时，直线AM的方程为2y x =， 当点A的坐标为1,⎛ ⎝⎭时，直线AM的方程为y =−. （2）极点极线看问题：如图，设A '、B '分别为A 、B 关于x 轴的对称点， 则显然四边形AA BB ''构成等腰梯形，其对角线的交点为F ，以()1,0F 为极点， 则对应的极线为1012xy ⋅+⋅=，即2x =，而BA '和B A '的交点应该在极线上， 从而()2,0M 就是BA '和B A '的交点， 由图形的对称性不难发现OMA OMB ∠=∠. 且这一结论还可以推广，若F 不是焦点， 而是椭圆内x 轴正半轴上的一个一般的点， 比如可设为(),0t ，那么它的极线为012txy +⋅=，即2x t =，所以点2,0M t ⎛⎫⎪⎝⎭必定也能使OMA OMB ∠=∠注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面的解法来写. 解：当l y ⊥轴时，易得0OMA OMB ∠=∠=︒当l 不与y 轴垂直时，可设其方程为1x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：()222210m y my ++−=，易得判别式0∆>， 由韦达定理，12222m y y m +=−+，12212y y m =−+， ()()()()()()()122112211212121212222222222AM BM y x y x x y x y y y y yk k x x x x x x −+−+−++=+==−−−−−− 而()1221122x y x y y y +−+()()()()12211212121122my y my y y y my y y y =+++−+=−+ 22122022m m m m ⎛⎫⎛⎫=⋅−−−= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以0AM BM k k +=，从而OMA OMB ∠=∠， 综上所述，OMA OMB ∠=∠.【例5】（2008·安徽）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点)M，且左焦点为()1F .（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点()4,1P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同的点A 、B 时，在线段AB上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，求证：点Q 在某定直线上.【解析】（1）由题意，22222211a b ab ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：24a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=. （2）极点极线看问题：因为AP QB AQ PB ⋅=⋅，所以AP AQ PBQB=，故P 、A 、Q 、B 是一组调和点列，从而点Q 必定在点P 的极线上，因为点P 的坐标为()4,1，所以它的极线为41142x y⋅+=，化简得：220x y +−=，从而点O 在定直线220x y +−=上. 注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面的定比点差法来写. 解：设(),Q x y ，()11,A x y ，()22,B x y 因为AP QB AQ PB ⋅=⋅，所以AP AQ PBQB=，设AP AQ PBQBλ==()0,1λλ>≠，则PA PB λ=，AQ QB λ=，而()114,1PA x y =−−，()224,1PB x y =−−，()11,AQ x x y y =−−，()22,QB x x y y =−−所以()()12124411x x y y λλ⎧−=−⎪⎨−=−⎪⎩，且()()1212x x x x y y y y λλ⎧−=−⎪⎨−=−⎪⎩，从而12124111x x y y λλλλ−⎧=⎪⎪−⎨−⎪=⎪−⎩①②，且121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩③④，①×③得：22212241x x x λλ−=−，②×④得：2221221y y y λλ−=−，所以22222212122224211x x y y x yλλλλ−−+⋅=+−−，即()222221122222421x y x y x y λλ+−+=+−⑤ 又A 、B 在椭圆C 上，所以22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 从而221122222424x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，代入⑤的：2244421x y λλ−=+−， 化简得：220x y +−=，即点Q 始终在直线220x y +−=上.强化训练1.（★★★）对于抛物线2:2C y x =，设点()00,P x y 满足2002y x <，则直线00:l y y x x =+与抛物线C （ ） A.恰有1个交点B.恰有2个交点C.没有交点D.有1个或2个交点【解析】显然直线l 是点P 对应的极线，因为2002y x <，所以点P 在抛物线内部，从而直线l 与抛物线C 没有交点. 【答案】C2.（★★★）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过点()2,2A 的直线与椭圆C 在x 轴上方相切于点B ，则直线BF 的方程为______.【解析】由题意，()1,0F ，以F 为极点，则极线为12x=，即2x =，所以点A 在极线上，根据配极原理，以A 为极点的极线过点F ，所以该极线就是BF ，其方程为2212xy +=，即21x y +=【答案】21x y +=3.（★★★）过点()2,1P 的直线l 与椭圆2214x y +=相交于点A 和B ，且AP PB λ=，点Q 满足AQ QB λ=−，若O 为原点，则OQ 的最小值为________.【解析】由题意，PA QA PBQAλ==所以点Q 是对应极点P 的极线与直线l 的交点，如图，易求得极线l 的方程为214xy +=，即220x y +−=，所以点Q在该极线上，从而min 5OQ ==.【答案】54.（★★★★）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，上顶点为D ，点P 是椭圆C 上异于顶点的动点，已知椭圆C的离心率e =，短轴长为2. （1）求椭圆C 的方程； （2）如下图所示，直线AD 与直线BP 交于点M ，直线DP 与x 轴交于点N ，证明：直线MN 过定点，并求出该定点.【解析】（1）由题意，22b =，所以1b =，椭圆C的离心率e =，所以2a =，故椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）极点极线看问题：如图，连接AP 、BD 交于点Q ，显然点Q 的极线是直线MN ， 当P 在椭圆上运动的过程中，点Q 会在直线BD 上运动，根据共线极点的极线必然共点不难发现直线MN 是过定点的直线，易求得直线BD 的方程为22x y +=，所以可设()22,Q t t −，那么极线MN 的方程为()2214t xty −+=，整理得：()220x t x y −−−=，所以直线MN 过的定点是()2,1．下面给出规范的作答过程.解：由（1）可得()0,1D ，()2,0B ，()2,0A −，可设直线BP 的方程为2x my =+()0,2m m ≠≠±， 联立22214x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：()22440m y my ++=，解得：0y =或244m m −+，所以244p m y m =−+，从而228224p p m x my m −=+=+，故222824,44m m P m m ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭，从而直线DP 的斜率为()222224144248282224DP mm m m m k m m m m −−−−−++===−−−+故直线DP 的方程为()2122m y x m +=+−，联立()02122y m y x m =⎧⎪+⎨=+⎪−⎩解得：()222m x m −=+，所以()22,02m N m −⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 直线AD 的方程为121x y +=−，即220x y −+=，联立2202x y x my −+=⎧⎨=+⎩，解得：24242m x m y m +⎧=−⎪⎪−⎨⎪=−⎪−⎩，所以点M 的坐标为244,22m m m +⎛⎫−− ⎪−−⎝⎭，设()2,1G ， 则42,22mm GM m m +⎛⎫=−− ⎪−−⎝⎭，4,12m GN m ⎛⎫=−− ⎪+⎝⎭， 从而22m GM GN m +=−，故G 、M 、N 三点共线， 即直线MN 过定点()2,1G .【反思】求解这道题时，可以先在草稿纸上用极点极线的知识去找到定点()2,1G ，那么在严格求解时，心中就有答案了，可以通过证明GM 与GN 共线，从而得出直线MN 过定点G . 5.（★★★★）如下图所示，椭圆22:143x y E +=的左、右顶点分别为A 、B ，左焦点为F ，过F 的直线与椭圆E 交于不与A 、B 重合的C 、D 两点，记直线AC 和BD 的斜率分别1k ，2k ，证明：12k k 为定值.【解析】极点极线看问题：由题意，()1,0F −，椭圆E 的极点F 对应的极线为10143x y−⋅⋅+=，即4x =−，如图，AC 与BD 的交点P 应在极线上，所以可设()04,P y −，显然()2,0A −，()2,0B ，所以直线AC 的斜率012PA y k k ==−，直线BD 的斜率026PB yk k ==−， 从而123k k =.下面给出严格求解过程. 解：由题意，()1,0F −，直线CD 不与y 轴垂直，可设其方程为1x my =−，设()11,C x y ，()22,D x y ，联立221431x y x my =+=−⎧⎪⎨⎪⎩消去x 整理得：()2234690m y my +−−=， 易得判别式0∆>， 由韦达定理，122634m y y m +=+，122934y y m =−+， 所以()121232my y y y =−+ 显然()2,0A −，()2,0B ，所以直线AC 的斜率1112y k x =+， 直线BD 的斜率2222y k x =−， 从而()()()()()()121121212112121212122122123933233222333121222y y y y y y x y my k my y y k x y my y my y y y y y y y −+−−−−−−======+++−++−−.6.（★★★★）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上、下顶点分别为A 和B ，左焦点为F ， 原点O 到直线FA的距离为2. （1）求椭圆C 的离心率； （2）设2b =，直线4:l y kx =+与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，证明：直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上.【解析】（1）由题意，原点O 到直线FA的距离OA OF bc d AFa ⋅===， 所以椭圆C的离心率2c e a ==. （2）极点极线看问题：由题意，直线l 与y 轴交于定点()0,4P ，显然点G 在点P 对应的极线上，当2b =时，易求得椭圆C 的方程为22184x y +=，从而该极线的方程为04184x y ⋅+=，即1y =，所以点G 在定直线1y =上．下面给出严格求解过程.解：由题意，()0,2A ，()0,2B −，设()11,M x y ，()22,N x y ， 联立224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()221216240k x kx +++=，判别式()()2216412240k k ∆=−+⨯>所以2k <或2k >，由韦达定理，12212216122412k x x k x x k ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩①②直线BM 的方程为1122y y x x ++=，直线AN 的方程为2222y y x x −−=，联立11222222y y x x y y xx +⎧+=⎪⎪⎨−⎪−=⎪⎩消去x 可得：()()12212222y x y y y x ++=−−，从而()()()()1212122212112126262222G G y x kx x y kx x x y y x kx x kx x x ++++===−−++③， 接下来给出以下两种计算非对称结构12212162kx x x kx x x ++的方法：法1：由①②知()121232kx x x x =−+， 代入式③得：()()122121221211211233966222331322222x x x x x kx x x kx x x x x x x x −++−++===−+−++−， 从而232G G y y +=−，解得：1G y =，所以点G 在定直线1y =上. 法2：由①知1221612kx x k =−−+代入式③得：22221221212222224246661212382416222121212k kx x kx x x k k k k k kx x x x x k k k +++++===−+⎛⎫−−+−− ⎪+++⎝⎭从而232G G y y +=−−，解得：1G y =，所以点G 在定直线1y =上.。
漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法
浙江省绍兴县鲁迅中学
本文源于两道高考压轴题 : 题 1( 2006 年全国Ⅱ卷题 21) 已知抛物线 x 2 = 4 y 的 焦点 为F , A 、 B 是抛物线 上的 两动 点 , B 两 且 AF = KFB ( K> 0 ) . 过 A 、 点分别 作抛 物线 的 切 线 , 设其 交 点为 P. ( 1) 证明 FP # AB 为定值 ; ( 2) 设 v A BP 的面积为 S , 写出 S = f ( K ) 的表达 式 , 并求 S 的最小值 . 题 2( 2005 年江西卷题 22) 设抛物 线 C: y = x 2 的 焦点 为 F, 动点 P 在直线 l: x - y - 2 = 0 上 运动 , 过 P 作 C 的 两 条 切 线 PA 、 PB , 且 与抛物线 C 分别相切于 A 、 B 两点 . ( 1) 求 v AP B 的重心 G 的轨迹方程 . ( 2) 证明 N PFA = N PFB . 这是一类解析几何常见题 , 两题 非常类 似 , 笔者还 发现它们含有相同的高等数学背 景 . 按射影 几何观 点 , 题中点 P 与直线 A B 称为圆锥曲线 相应的极点与极线 , 两者蕴涵了圆锥曲 线的 内在 特征 . 本文 拟以 极点 与极 线的两个命题给出 试题 统一 解法 , 并讨 论该 性质 在中 学数学中的现状及应用 . 1 1. 1 关于极点与极 线 极点与极线的定义与 作图 开. 虽然中学数学中没有提 到极点 与极线 , 但 事实上 , 它的身影随处可见 , 只是没有点破而已 . 下面利 用上 述两 个命题 , 给出 两考题 统一 简解 以 及该命题在教材、 竞赛等方面的应用 . 2 2. 1 中学数学中极点与极线知识的现状与应用 教材内改名换姓 , / 视0 而不/ 见0 双 曲线 程为 :
高中数学圆锥曲线之极点极线微专题二
AB 的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
（2014 辽宁高考理第 10 题）已知点 A(2,3) 在抛物线 C： y2 2 px 的准线上，过点 A 的
直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为（
01
义）： 极点极线的定义（代数定
02
义）：
03
极点极线的应用：
04
小结与延伸
01 极点极线的定义 （几何定义）：
极点极线的定义 （几何定义）：
N
R R'
02 极点极线的定义 （代数定义）：
已 知 圆 锥 曲 线 ：Ax2 Cy2 2Dx 2Ey F 0 ， 则 称 点 P（x0, y0）和 直 线
等角定理一： 椭圆准线与长轴的交点（特征点)与焦
半径端点连线所成角被长轴平分
等角定理二：过椭圆长轴上任意一点N（t，0）的一条
a2
弦端点与 对应点（ ，t 0 ）的连线所成角被焦点所在
直线平分.
调和共轭点和定比点差法
（ 2008
安徽理
22
）设 椭 圆
C:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
x0
0
X
切线方程为
y
y0
x0 y0
(x
x0 )
y0
整理得, x0 x y0 y x0求圆的切线方程为 x0 x y0 y r 2
圆中的三个重要结论：
圆 C:x2+y2=r2 点 M（x0，y0）
结论一：当点 M x0 , y0 在圆 C 上时， xx0 yy0 r 2 为圆 C 在点 M 处的切线方程 结论二：当点 M x0 , y0 在圆 C 外时，过点 M 可作圆 C 的两条切线，设切点为 P1,P2
极点极线探秘
0 0 F ( , 0) (— 极点和极线的定义和性质极 点 与 极 线 探 秘在圆锥曲线方程中，以 x x 替换 x 2 ，以x 0x 替换 x ，以 y y 替换 y 2，以 y 0 + y 替换 y ，即可得到点22P (x 0 , y 0 ) 的 极 线 方 程 ． 已 知 圆 锥 曲 线 Γ : Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 ， 则 称 点 P (x , y ) 和 直 线 l : Ax 0 x + Cy 0 y + D (x + x 0 ) + E ( y + y 0 ) + F = 0 是圆锥曲线Γ 的一对极点和极线.从定义我们共同思考和讨论几个问题: 1．若点 P (x 0 , y 0 ) 在圆锥曲线上，则其对应的极线是什么?圆锥曲线的焦点对应的极线分别是什么?x 2 y 2 （1）对于椭圆 + = ≠ )，与点 P (x , y ) 对应的极线方程为 x 0 x + y 0 y= 1；a 2b 2 1 a b 0 0x 0 xy 0 ya 2b 2 a 2 当 P (x 0 , y 0 ) 为其焦点 F (c , 0) 时，极线 a 2 + b 2 = 1变成 x = c ，恰是椭圆的右准线．x 2 y 2 （2）对于双曲线 - = ，与点 P (x , y ) 对应的极线方程为x 0 x+ y 0 y = 1； 1 a 2 b 20 0x 0 x y 0 ya 2b 2 a 2 当 P (x 0 , y 0 ) 为其焦点 F (c , 0) 时，极线 a 2 - b 2 = 1变成 x = c，恰是双曲线的右准线．（3）对于抛物线 y = 2 px 2 ，与点 P (x 0 , y 0 ) 对应的极线方程为 y 0 y = p (x 0 + x ) ．当 P (x 0 , y 0 ) 为其焦点 p 时，极线 y 2 0 y = p (x 0+ x ) 变为 x = - p，恰为抛物线的准线． 22.过圆锥曲线上（外、内）任意一点 P (x 0 , y 0 ) ，如何作出相应的极线？（1）当点 P 在圆锥曲线Γ 上时，其极线是曲线Γ 在点 P 点处的切线； （2）当点 P 在Γ 外时，其极线是曲线Γ 从点 P 所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在的直线）； （3）当点 P 在Γ 内时，其极线是曲线Γ 过点 P 的任一割线两端点处的切线交点的轨迹．为了表达方便，我们给出圆锥曲线内部和外部的定义．圆、椭圆是封闭图形其内部和外部很好界定，抛物线、双曲线不是封闭的是开放的，对双曲线和抛物线的内部和外部给出如下定义：焦点所在的平面区域称为该曲线的内部，不含焦点的平面区域称为曲线的外部，曲线上的点既不在内部也不在外部．二 极点与极线的作图（几何意义）如图 1 和图 2，设 P 是不在圆锥曲线上的一点，过 P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点 E , F ,G , H ， 连接 EH , FG 交于 N ，连接 EG , FH 交于 M ，则直线 MN 为点 P 对应的极线.由图 1 同理可知， PM 为点 N 对应的极线， PN 为点 M 所对应的极线.因而将 MNP 称为自极三点形.设直线 MN 交圆锥曲线于点 A , B 两点，则 PA , PB 恰为圆锥曲线的两条切线.AEPFFNG BHMM图 1 图 2 图 3 图 4如图 3，设点 P 关于圆锥曲线Γ 的极线为l ，过点 P 任作一割线交Γ 于 A , B ，交l 于Q ，则 PA = PBAQ BQ①；反之，若有①成立，则称点 P , Q 调和分割线段 AB ，或称点 P 与Q 关于Γ 调和共轭，或称点 P (或点Q ) 关于圆锥曲线Γ 的调和共轭点为点Q (或点 P ).点 P 关于圆锥曲线Γ 的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点 P 的极线.如图 4，设点 P 关于圆锥曲线 Γ 的极线为l ，过点 P 作过曲线中心的直线交 Γ 于 R ，交l 于 Q ，则 OR 2 = OP ⋅ OQ .H NPEG法二：切点弦 AB 所在的直线就是点（3，1）对应的极线，故其方程为(3 -1)(x -1)+1⨯ y = 1，即 2x + y - 3 = 0 ．故选 A ．2 x 2= < x + 2 <图 5配极原则：点 P 关于圆锥曲线Γ 的极线 p 过点Q ⇔ 点Q 关于Γ 的极线 q 经过点 P ;直线 p 关于Γ 的极点 P 在直线q 上⇔ 直线q 关于Γ 的极点Q 在直线p ．由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线． 极点极线垂直定理:如图 5，设圆锥曲线Γ 的一个焦点为 F ，与 F 相应的准线为l ． (1)若过点 F 的直线与圆锥曲线 Γ 相交于 M , N 两点，则 Γ 在 M , N 两点处的切线的交点Q 在准线l 上，且FQ ⊥ MN ;(2)若过准线l 上一点Q 作圆锥曲线Γ 的两条切线，切点分别为 M , N ，则直线 MN 过焦点 F ，且 FQ ⊥ MN ； (3)若过焦点 F 的直线与圆锥曲线Γ 相交于 M , N 两点，过 F 作 FQ ⊥ MN 交准线l 于Q ，则连线QM , QN 是圆锥曲线Γ 的两条切线．注意：极点与极线一般在小题中直接用很爽，但是在大题中，由于不在中学的课本范围内，基本上都无法 直接使用，那么解答题中我们只给出思路． 三.极点极线的应用 1.求切线和切点弦方程问题【例 1】（2013•山东）过点（3，1）作圆(x 2 -1)2 + y 2 = 1的两条切线，切点分别为 A 、B 则直线 AB 的方程为 （ ） A ． 2x + y - 3 = 0 B ． 2x - y - 3 = 0 C ． 4x - y - 3 = 0 D ． 4x + y - 3 = 0 【解析】法一：因为过点(3,1) 作圆(x -1)2 + y 2 = 1 的两条切线，切点分别为 A ， B ，所以圆的一条切线方程为 y = 1 ，切点之一为(1,1) ，显然 B 、 D 选项不过(1,1) ， B 、 D 不满足题意； 另一个切点的坐标在(1,1) 的右侧，所以切线的斜率为负，选项C 不满足， A 满足．故选： A ． 【例 2】过椭圆 x + y 25 9= 1 内一点 M (3 , 2) ，做直线 AB 与椭圆交于点 A ，B ，作直线CD 与椭圆交于点C ，D ，过 A ，B 分别作椭圆的切线交于点 P ，过C ，D 分别作椭圆的切线交于点Q ，求 PQ 所在的直线方程．【解析】过点 A 、B 、C 、D 的切线方程为分别为l : x A x + y A y = 1，l : x B x + y B y = 1，l : x C x + y C y= 1 ，PA 25 9 PB 25 9 QC25 9 l : x D x + y D y = 1 ，因点 P (x ， y ) 在 PA ， PB 上，则 x A x p + y A y p = 1， x B x p + y B y p= 1，这表明 A (x ，QD25 9 p p 25 925 9 A y ) ，B (x ， y ) ，在直线x P x + y p y= 1上，同理CD 所在的直线方程为 x Q x + y Q y = 1 ，因为直线 AB ，CD A A A25 9 25 9相交于点 M (3, 2) ，所以 3x P + 2 y P = 1 ， 3x Q + 2 y Q= 1 ，所以 P 、Q 所在的直线方程为 3x + 2 y = 1 ．2 【例 3】（2010•湖北）已知椭圆 C : + y 2 2 1 的两个焦点 F 1，F 2 ，点 P (x 0 , y 0 ) 满足 0 0 y 0 1 ，则2PF + PF 的取值范围为 ，直线 x 0 x+ y y = 1与椭圆C 的公共点个数是 ． 1 2 2【解析】依题意知，点 P 在椭圆内部且与原点不重合．画出图形，由椭圆方程得c = 1，由数形结合可得，22 3 2MD MP = 2MD PD 13 y a ( ,1) 2 当 P 点在线段 F 1F 2 上除原点时， (| PF 1 | + | PF 2 |)min = 2 ，当 P 在椭圆上时， (| PF 1 | + | PF 2 |)max = 2a = 2 ，故| PF | + | PF | 的取值范围为[2, 2 2) ．由题意知，点 P (x , y ) 和直线 x 0 xy y 1恰好是椭圆的一对极点1 2 0 0 2和极线，因为点 P 在椭圆内，所以极线与椭圆相离，故极线与椭圆公共点的个数为零． 3 .最值问题【例 4】已知椭圆C 的方程为 x y 4 31 ，过直线l : x = 4 上任意一点Q ，作椭圆C 的两条切线，切点分别为 A ，B ，则原点到直线 AB 距离的最大值为 ． x 2 + y 2= > >【解析】法一：设 A (x 1 ， y 1 ) ， B (x 2 ， y 2 ) ， Q (4, y 0 ) ，由椭圆 a 2b 21(a b 0) 在(x 0 ， y 0 ) 处的切线方程为： x 0 x + y 0 y = 1，则直线QA 的方程： x 1 x + y 1 y = 1 ，直线QB 的方程： x 2 x + y 2 y= 1，由直线QA ，直a 2b 2 4 3 4 3线QB 过Q ，将 M 代入直线QA ，直线QB 方程得3x 1 + y 1 y 0 = 3 ，3x 2 + y 2 y 0 = 3，则 A (x 1 ， y 1 ) ， B (x 2 ， y 2 ) 分别为方程3x + yy 0 = 3 的解，∴直线 AB 的方程为3x + yy 0 = 3 ，令 y = 0 ，则 x = 1 ，直线 AB 恒过定点(1, 0) ， 当 直 线 AB 的 斜 率 不 存 时 ， 直 线 AB 的 方 程| k | y = k (x - 1) ， O 到 直 线 AB 的 距 离 d ==< 1 ，当直线 AB 的斜率不存在时，则直线 AB 的方程 x = 1 ，则原点到直 【例 5 】已知椭圆 C : a 2 + b2 = 1(a > b > 0) 的左顶点和右焦点分别为 A ， F ，右准线为直线 m ，圆D : x 2 + y 2 - 6y - 4 = 0 ．（1）若点 A 在圆 D 上，且椭圆C 的离心率为 3，求椭圆C 的方程；2（2）若直线m 上存在点Q ，使∆AFQ 为等腰三角形，求椭圆C 的离心率的取值范围；（3）若点 P 在（1）中的椭圆C 上，且过点 P 可作圆 D 的两条切线，切点分别为 M 、 N ，求弦长 MN 的取值范围．【解析】（1）对 x 2 + y 2 - 6y - 4 = 0 ，令 y = 0 ，则 x = ±2 ．所以， A (-2, 0) ， a = 2 ，又因为， e = c = 3，a 2所以， c = ，b 2 = a 2 -c 2 = 1 ，椭圆C 的方程为： x 2 + 24= 1 ． 2 （ 2 ）由图知 ∆AFQ 为等腰三角形 a + c = AF = QF > - c ，所以 2c 2 + ac - a 2 > 0 ， 2e 2 + e - 1 > 0 ， c(2e - 1)(e + 1) > 0 ，又0 < e < 1 ，所以 1 < e < 1，即椭圆离心率取值范围为 1．2 2（3）法一：连 PD 交 MN 于 H ，连 DM ，则由圆的几何性质知：H 为 MN 的中点，DM ⊥ PM ，MN ⊥ PD ．∴ MN = 2MH =PD PD = 2MD x2， D : x 2 + ( y - 3)2=13 ， MD = ， ∴MN = 2 ，设 P (x ， y ) ，则 0+ y 2 = 1且-1 y < 0 ， 0 0 4 0 0∴PD 2 = x 2 + ( y - 3)2 = -3y 2 - 6y 2 +13 = -3( y +1)2 +16(-1y < 0) ∴13 < PD 2 ≤ 16 ，所以，0 < MN ≤39 ． 0 0 0 0 0 0 2法二思路（切点弦方程请自己证明完成）：点 P 为椭圆上一点，则点P (2 cos θ , s in θ ) 对应的极线（即切点弦 MN ）方程为2x cos θ + y sin θ - 3( y + sin θ ) - 4 = 0 ⇒ 2x cos θ + (sin θ - 3) y - 3sin θ - 4 = 0 ，由于圆3 x my 1 ，因为直线 AB 过椭圆C 焦点(1 , 0)，所以原点到直线 AB 的距离的最大值为 1．4 3法二：切点弦 AB 是点Q 对应的极线，设点 Q 的坐标为4 , m ，则可知直线 AB 的方程为 4x my1 ，即1 - MD 2PD 213 1- 13 PD 22222 3 = ⎨ ⎩ ⎪ 2 D : x 2 + y 2 - 6y - 4 = 0 的圆心为(0,3) ，半径为 ，弦心距 d =13∈[13 , 13] ，显然∈（0， 39] ，所以， 0 < MN ≤ 2 44 2 39 ．24 直线过定点和定直线问题【例 6】设 P 是直线l : 2x + y + 9 = 0 上的任一点，过点 P 作圆 x 2 + y 2 = 9 的两条切线 PA 、 PB ，切点分别为 A 、 B ，则直线 AB 恒过定点 ．【解析】法一：因为 P 是直线l : 2x + y + 9 = 0 上的任一点，所以设 P (m , -2m - 9) ，由于圆 x 2 + y 2 = 9 的两条切线 PA 、PB ，切点分别为 A 、B ，所以OA ⊥ PA ，OB ⊥ PB ，则点 A 、B 在以OP 为直径的圆上，即 AB 是圆O 和圆C 的公共弦，则圆心C 的坐标是( m 2， - 2m + 9 2 ) ，且半径的平方是r 2 m 2 + (2m + 9)2 ， 4 所 以 圆 C 的 方 程 是 (x - m )2 + ( y + 2m + 9)2 m 2 + (2m + 9)2 ， ① 又 x 2 + y 2 = 9 ， ② ， ② - ① 得，2 2 4 mx - (2m + 9) y - 9 = 0 ，即公共弦 AB 所在的直线方程是：mx - (2m + 9) y - 9 = 0 ，即m (x - 2 y ) - (9 y + 9) = 0 ， 由 ⎧x - 2 y = 0 得， ⎧x = -2 ，所以直线 AB 恒过定点(-2, -1) ，故答案为： (-2, -1) ． ⎩9 y + 9 = 0 ⎨ y = -1x 2 y 2 【例 7】已知椭圆C : a 2 + b 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为e = 角形的最大面积为 1， （1）求椭圆C 的方程；2，椭圆上的点 P 与两个焦点 F 1 ， F 2 构成的三（2）若点Q 为直线 x + y - 2 = 0 上的任意一点，过点Q 作椭圆C 的两条切线QD 、QE （切点分别为 D 、E ) ， 试证明动直线 DE 恒过一定点，并求出该定点的坐标．x 2 y 2 【解析】（1）解： 椭圆C : a 2 + b 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为e = ⎧ c =2，椭圆上的点 P 与两个焦点 F 1 ， F 2 构⎪a 2 ⎪ x 2 +2成的三角形的最大面积为 1，∴ ⎨bc = 1 ⎪a 2 = b 2 + c 2⎪⎩，解得a = ， b = c = 1 ，∴椭圆C 的方程为 2 y = 1 ．（2）证明：设切点为 D (x 1 ， y 1 ) ， E (x 2 ， y 2 ) ，则切线方程为 x 1 x + 2 y 1 y = 2 ， x 2 x + 2y 2 y = 2 ，两条切线都过 x + y - 2 = 0 上任意一点Q (m , 2 - m ) ，∴得到 x 1m + 2 y 1 (2 - m ) = 2 ， x 2m + 2y 2 (2 - m ) = 2 ， ∴ D (x 1 ， y 1 ) ， E (x 2 ， y 2 ) ，都在直线 mx + 2(2 - m ) y = 2 上，而对任意的 m ，直线 mx + 2(2 - m ) y = 2 始终经过定点(1, 1 ) ．∴动直线 DE 恒过一定点(1, 1) ．2 2x 2 y 2 1【例 8】已知椭圆C ： +a b 2=（1 a > b > 0）的长轴长为4 ，离心率为 ，点 P 是椭圆上异于顶点的任意一点， 2 过点 P 做椭圆的切线l ，交 y 轴于点 A ，直线l ' 过点 P 且垂直于l ，交 y 轴于点 B ． （1）求椭圆的方程；（2）试判断以 AB 为直径的圆能否过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由． 【解析】（1） 2a = 4 ， c = 1，∴ a = 2 ， c = 1， b = ．∴椭圆的方程为 x 2 + y 2= 1 ．a 24 3 （2）设点 P (x ， y )(x ≠ ， ≠ ，直线l 的方程为 - =- ，代入 x 2 + y 2 = 1 ， 0y 00)y y 0 k (x x 0 )4 3整理，得(3 + 4k 2 )x 2 + 8k ( y - kx )x + 4( y - kx )2 -12 = 0 ． x = x 是方程的两个相等实根，2 法二：设点 P 的坐标为(m ,-2m - 9) ，因为点 P 对应的极线为直线 AB ，其方程为 mx + (-2m - 9) y = 9 ，整理得(x - 2 y )m = 9 y + 9 ，令9 y + 9 = 0 , x - 2 y = 0 ，可见直线 AB 过定点（- 2 , -1）．故答案为：(-2, -1) ． 13 - 3sin 2 θ - 6sin θ + 13MN=0 0 0 0 0+ = ⎩0 0∴2x = - 8k ( y 0 - kx 0 ) ，解得k =- 3x 0 ．∴直线l 的方程为 y - y = - 3x0 (x - x ) ．0 3 + 4k 2 4 y 24 y 0 + 3x 2 x 2 y 2 4y 0 2 2 令 x = 0 ，得点 A 的坐标为(0, 0 0) ．又 0 + 0 = 1 ，∴4y + 3x =12 ．4 y 0 4 3∴点 A 的坐标为(0, 3) ．又直线l ' 的方程为 y - y = 4y 0 (x - x ) ，令 x = 0 ，得点 B 的坐标为(0, - y 0 ) ．3x 0 3 ∴以 AB 为直径的圆的方程为 x x + ( y - 3 ) ( y + y 0 ) = 0 ．整理，得 x 2 + y 2+ ( y 0 - 3 ) y -1 = 0 ．y 0 3 3 y 0令 y = 0 ，得 x = ±1 ，∴以 AB 为直径的圆恒过定点(1, 0) 和(-1, 0) ．x 2 y 2【例 9】已知椭圆C : a 2 + b2 = 1(a > b > 0) 与 y 轴的交点为 A ，B （点 A 位于点 B 的上方）， F 为左焦点，原点O 到直线 FA 的距离为 2b ．2（1）求椭圆C 的离心率；（2）设b = 2 ，直线 y = kx + 4 与椭圆C 交于不同的两点 M ， N ，求证：直线 BM 与直线 AN 的交点G 在（2 若b = 2 ，由（Ⅰ）得a = 2 x 2 y 2，∴椭圆方程为 1 8 4 ．联立方程组⎨ y = kx + 4化简得： (2k 2 +1)x 2 +16kx + 24 = 0 ，由△ = 32(2k 2- 3) > 0 ，解得： k 2 > 32由韦达定理得： x + x = -16k ①， x x =24②设 M (x ， kx + 4) ， N (x ， kx + 4) ， M N 2k 2+1M N 2k 2 +1 M M N N MB 方程为：y = kx M + 6 x - 2 ，③ NA 方程为：y = kx N + 2 x + 2 ，④，由③④解得：y = 2(kx M x N + x M + 3x N )x M 2( 24k + -16k + 2x x N ) 2( 8k + 2x ) 3x N - x M= 2k 2 + 1 2k 2 + 1 N = 2k 2 + 1 N= 1 即 y = 1，∴直线 BM 与直线 AN 的交点G 在定直线上． 4x N - -16k2 4x N + 16k G2k 2 + 1【例 10】已知椭圆C : a 2 + b 2 = 1(a > b > 0) 的左、右顶点分别为 A 1 ， A 2 ，右焦点为 F 2 (1, 0) ，点 B (1 , 2) 在椭圆C 上．（1）求椭圆方程；2 ．22 2 ab = 2 0 00 0y+ = （2）若直线l : y = k (x - 4)(k ≠ 0) 与椭圆C 交于 M ， N 两点，已知直线 A 1M 与 A 2 N 相交于点G ，证明： 练习x 2y 21．（2010•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆9 51 的左、右顶点为 A 、B ，右焦点为 F ．设过点T (t , m ) 的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点 M (x 1 , y 1 ) 、 N (x 2 , y 2 ) ，其中m > 0 ， y 1 > 0 ， y 2 < 0 ． （1）设动点 P 满足 PF 2 - PB 2 = 4 ，求点 P 的轨迹；（2）设 x = 2 ， x = 1，求点T 的坐标；1 23（3）设t = 9 ，求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）． = 3 ，(0, 3) ， 3 , N 3 3 ) ，4 5 3 (x 23 3 (x 3 3) ，所以2 22．已知A(-2,0) , B(2,0) ,点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为-3 ．4（1）求动点C 的轨迹方程；（2）设至直线l 与（1）中轨迹相切于点P ,与直线x = 4 相较于点Q ,判断以PQ 为直径的圆是否过x 轴上一定点.3．（2011•四川）椭圆有两顶点A(-1 , 0) 、B(1 , 0) ，过其焦点F (0 , 1) 的直线l与椭圆交于C、D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BD 交于点Q ．（1）当| CD |=322时，求直线l 的方程；（2）当点P 异于A 、 B 两点时，求证：OP OQ 为定值．x 2 y 24．左、右焦点分别为 F 1 、F 2 的椭圆C : a 2 + b2 = 1(a > b > 0) 经过点Q (0, 3) ，P 为椭圆上一点，△ PF 1F 2 的重心为G ，内心为 I ， IG / / F 1F 2 ． （1）求椭圆C 的方程； （2） M 为直线 x - y = 4 上一点，过点 M 作椭圆C 的两条切线 MA 、 MB ， A 、 B 为切点，问直线 AB 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．5．已知实数 P > 0 ,且过点 M (0 , - P 2 ) 的直线l 与曲线C ：x 2 = 2 py 交于 A , B 两点． （1）设O 为坐标原点，直线OA ,OB 的斜率分别为k 1, k 2 ，若k 1k 2 = 1 ，求 p 的值；（2）设直线 MT 1, MT 2 与曲线C 分别相切于点T 1,T 2 ，点 N 为直线T 1,T 2 与弦 AB 的交点，且MA = λMN , MB = μMN ,证明： 1 + 1为定值．λ μx 2 y 26．（2008•安徽）设椭圆C : a 2 + b2 = 1(a > b > 0) 过点 M ( （1）求椭圆C 的方程；, 1) ，且左焦点为 F 1 (- , 0) ．（2）当过点 P (4 , 1) 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点 A ， B 时，在线段 AB 上取点Q ，满足 | AP | | QB |=| AQ | | PB | ，证明：点Q 总在某定直线上．练 习 答 案1 ．【 解 析 】（ 1 ） 设 点 P (x , y ) ，则： F (2, 0) 、 B (3, 0) 、 A (-3, 0) ．由 PF2 - PB 2 = 4 ，得(x - 2)2 + y 2 -[(x - 3)2 + y 2 ] = 4 ，化简得 x = 9 ．故所求点 P 的轨迹为直线 x = 9．2 2（2）将 x = 2, x = 1 分别代入椭圆方程，以及 y > 0 ， y < 0 ，得 5 、 N (1 ， - 20) 123 1 2M (2, ) 3 3 9 直线 MTA 方程为： y - 0 = x + 3 ，即 y = 1x +1 ，直线 NTB 方程为： y - 0 = x - 3 ， 5 - 0 2 + 3 3 - 20 - 0 1- 33 9 35 5 ⎧x = 710 即 y = x - ．联立方程组，解得： ⎪10 ，所以点T 的坐标为(7, ) ． 6 2 ⎨y = 3⎩ 3（3）点T 的坐标为(9, m ) ．当t = 9 时，点T 的坐标为（9，m ），连接 MN 交 AB 于点，由极点极线的定义可 知，点T 对应的极线经过点 K ，而点T 的对应的极线方程为 9·x + m ·y=1 ，该直线即为 MN 与直线 AB 交点9 5 的轨迹，当 y = 0 ，得 x =1 ，故直线 MN 必经过 x 轴上的定点 K (1, 0) ． 2．【解析】（1）设C (x , y ) ，则依题意得k，又A (-2, 0)，B (2, 0) ，所以有y y= - 3( y ≠ 0) ，2 2k =-3BC 4AC x + 2 x - 2 42 x =- 1 2 k 2 + 22 2(k 2 + 1)3 + = ≠ + = ≠ + = > > 1 2 + ( , y ( , y2,b x整理得 x 2 y 2 1(y 4 3 0) ，故动点C 的轨迹方程为 x 2 y 21( y 4 30) ．（ 2 ）法一：设直线 l : y = kx + m ，与 3x 2 + 4y 2 =12联 立 ， 得 3x 2 + 4(kx + m )2 =12 ， 即(3 + 4k 2 )x 2 + 8kmx + 4m 2 -12 = 0 ，依题意△ = (8km )2 - 4(3 + 4k 2 )(4m 2 -12) = 0 ，即3 + 4k 2 = m 2 ，设直线l 与动点C 的轨迹交于点(x ， y ) ， (x ， y ) ，则 x + x =-8km ，得 x = x = -4km ，1122123 + 4k 2 1 2 3 + 4k 2∴ P ( -4km , 3 + 4k2 3m3 + 4k 2 ) ，而3 + 4k 2 = m 2 ，得 P ( -4k , 3 ，又Q (4, 4k + m ) ，设 R (t , 0) 为以 PQ 为直线的圆上一 m m点，则由 RP RQ = 0 ，得(- 4k - t , 3 - t , 4k + m ) = 0 ，整理得 4k(t -1) + t 2 - 4t + 3 = 0 ，m m m由 k的任意性得t -1 = 0 且t 2 - 4t + 3 = 0 ，解得t = 1 ，综上知，以 PQ 为直径的圆过 x 轴上一定点(1, 0) ． m法二：设 P (x ， y ) ，则曲线C 在点 P 处切线 PQ : x 0 x + y 0 y = 1 ，令 x = 4 ，得Q (4, 3 - 3x 0) ，设 R (t , 0) ，0 04 3 y则由 RP RQ = 0 ，得(x - t ) (4 - t ) + 3 - 3x = 0 ，即(1- t )x + t 2 - 4t + 3 = 0 ，由 x 的任意性得1 - t = 0 且t 2 - 4t + 3 = 0 ，解得t = 1 ，综上知，以 PQ 为直径的圆过 x 轴上一定点(1, 0) ．y 2x 21(a b 0)b = = 3．【解析】（1） 椭圆的焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为 a 2 b 2，由已知得 1 ，c 1，所以a = ，椭圆的方程为 y 2 + 22= 1 ，当直线l 与 x 轴垂直时与题意不符，设直线l 的方程为 y = kx + 1 ， C (x 1 ， y 1 ) ， D (x 2 ， y 2 ) ，将直线 l 的方程代入椭圆的方程化简得 (k 2 + 2)x 2 + 2kx -1 = 0 ，则 x + x = - 2k k 2+ 2 ， x 1 ， ∴| CD |= = 32 ，解得k =± =2 ．∴直线l 的方程为 y = ± 2x + 1 ；k 2 + 2 2y 2 （2）对椭圆 x 2= 1 ，若以点 P 为极点，则其对应的极线过点Q ,设 P (m ,0) ，其极线方程为 0× y 2 + mx =1 ，即 x = 1 ，故可设点Q 的坐标为 1 ) ，所以OP • OQ = (m ,0) • 1) =1 ，即OP • OQ 为定值 1． m m Q m Qx 2 y 24．【解析】（1） 椭圆C : a 2 + b2 = 1(a > b > 0) 焦点在 x 轴上，且过点Q (0, 3) ，∴ b = 设△ PF F 内切圆的半径为r ，点 P 的坐标为(x ， y ) ，则△ PF F 重心G 的坐标为( x 0 , y0 ) ，1 2 0 0 1 23 3IG / /F F ，∴| y |= 3r ．由△ PF F 面积可得 1 (| PF | + | PF | + | F F |)r = 1| F F || y | ，1 21 221 2 1 221 2 0即 a = 2c ， (c =，解得a = = ，即所求的椭圆方程为则椭圆方程为 x 2 + y 2 = 14 3（2）设 M (x ， y ) ， A (x ， y ) ， B (x ， y ) 则切线 MA ， MB 的方程分别为 x 2 x + y 2 y = 1， x 3 x + y 3 y= 11 12 23 34 3 4 3点 M 在两条切线上，∴ x 2 x 1 + y 2 y 1 = 1， x 3 x 1 + y 3 y 1 = 1，故直线 AB 的方程为 x 1 x + y 1 y= 1 ．4 3 4 3 4 330 2AP PBAQ QB⎨⎩1 2 ⎩⎨ ， ⎨ a 2 1 0⎨ 又 点 M 为直线 x - y = 4 上， ∴ y = x - 4 ，即直线 AB 的方程可化为 x 1 x + (x 1 - 4) y= 1 ，整理得1 1⎧3x + 4 y = 0 4 3⎧x = 1 3 (3x + 4 y )x 1 = 16 y +12 ，由⎨解得⎪ 3 ，因此，直线 AB 过定点(1, - ) ． ⎩16 y + 12 = 0 ⎪⎩ y =- 24⎧ y = kx - p 25．【解析】（1）设直线 AB 的方程为 y = kx - p ，设A (x 1 ， y 1 ) ，B (x 2 ， y 2 ) ，联立方程组⎨x 2 = 2 py ，消y 可得 x 2 - 2 p kx + 2 p 3 = 0 ，∴ x x = 2 p 3 ， x + x = 2 pk ，∴ y y= k 2 x x - kp 2 (x + x ) + p 4 = p 4 ，1 212y y 1 21 212p 4直线OA 、OB 的斜率分别为k 、k ， k k = 1，∴ 2 1 = 1 ，即 = 1 ，解得p = 2 ， 1 2 1 2x 2 x 1 2 p 3证明（2）由（1）可知 x 2 = 4y ， M (0, -1) ，可设直线 y = kx - 4 ，由（1）可得 y y = 161x 2 + 4设过点 M 与 x 2 = 4y 的相切的切线的坐标为(x ， 1 x 2 ) ， y '= 1x ，∴ k = 1 x = 4 0，解得 x = ±4 ，0 4 0 2 2 0 x 0∴T 1 (-4, 4) ， T 2 (4, 4) ，∴直线T 1T 2 的方程为 y = 4 ，由 ⎧ y = 4 ，解得 x = 8 ，y = 4 ，∴ N ( 8，4) ，MA = (x ，y + 4) ，MN = ( 8 ，8) ，MB = (x ，y + 4) ， ⎨ y = kx - 4 k k 1 1 k 2 2MA = λ M N ， MB = μ M N ，∴(x ， y + 4) = λ( 8 ，8) ， (x ， y + 4) = μ( 8 ， 8) ， ⎧x = 8λ ⎧x = 8μ 11k2 2k∴ ⎪ 1 k ⎪ 2k ，∴ y 1 y 2 = (8λ - 4)(8μ - 4) = 64λμ + 32λ - 32μ +16 = 16 ∴ 2λμ - λ - μ = 0 ， ⎪⎩ y 1 + 4 = 8λ ⎪⎩ y 2 + 4 = 8μ ∴ 1 + 1 = 2 ，故： 1 + 1为定值． λ μ λ μ极点极线原理：第（2）问中，由于切点弦T T 所在的直线为点 M (0,- p 2) 所对应的极线，故其方程为0× x = 2 p ⋅y - p 22，即 y = p 2⎧c 2 = 2 1 2= 4 ． ⎪6．（1）由题意得⎪ + 1 ⎪ b 2 = 1 ，解得a 2 = 4,b 2= 2，所求椭圆方程为 x4 + y 2 2 = 1 ． ⎪⎩c 2 = a 2 - b 2（2）解法 1：（定比点差法，参考秒 1）设点Q , A , B 的坐标分别为(x , y ), (x 1, y 1 ), (x 2 , y 2 ) ．由题设知 AP , PB , AQ , QB 均不为零，记λ ==,则λ > 0 ，且λ ≠ 1 ．又 A , P , B , Q 四点共线，从而 AP =-λ PB , AQ = λQB ．于是4 = x 1 - λx 2 ,1 = y 1 - λy 2 , x = x 1 + λx 2 , y = y 1+ λy 2 ．1 - λ x2 - λ2 x 2 1 - λ 1 + λ 1 + λ 从而 1 2 = 4x ①421-λ2QB QAy 2 - λ2 y 211- λ22= y ②又点 A , B 在椭圆C 上， 即 x 2 + 2 y 2 = 4 ③x 2 + 2 y 2 = 4④1122由① + ② ⨯2 并结合③，④式，得 4x + 2 y = 4 ．即点Q (x , y ) 总在定直线2x + y - 2 = 0 ．极点极线原理：已知 = ，说明点 P , Q 关于椭圆调和共轭，根据定理 3，点Q 在点 P 对应的极线上， 此极线方程为 4 ⋅ x + 1⋅ y= 1 ，化简得2x + y - 2 = 0 ．故点Q 总在直线2x + y - 2 = 0 ．4 2PB PA。
圆锥曲线极点极线问题
圆锥曲线的极点与极线在高考中的应用刘定勇(安徽省宁国中学 ,242300)圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多,原因有二:其一,有高等数学背景,结论非常完美;其二,运用高中知识解决问题,能够考查学生思维、计算多方面能力、文[1]给出了两个较为简洁的结论:命题1 椭圆12222=+b y a x,点()00,y x P 对应的极线12020=+b y y a x x 、双曲线12222=-b y a x ,点()00,y x P 对应的极线12020=-by y a x x 、抛物线px y 22=,点()00,y x P 对应的极线000=+-px y y px 、命题 2圆锥曲线中极线共点于P,则这些极线相应的极点共线于点P 相应的极线、反之亦然、称为极点与相应极线对偶性、以上结论在文[2]中有证明、如图给出椭圆的极点与对应极线的简图:题1、(2010湖北文15)、已知椭圆12:22=+y x C 的两焦点为12,F F ,点()00,y x P 满足2200012x y <+<,则|1PF |+2PF |的取值范围为_______,直线1200=+y y x x 与椭圆C 的公共点个数_____、解析:第一个问题,依题意知,点P 在椭圆内部、画出图形,由数形结合可得范围为[)22,2、第二个问题,其实就是非常容易做错的题目、因为()00,y x P 在椭圆12:22=+y x C 的P 在椭圆内 P 在椭圆外内部,所以很多学生误以为直线与椭圆一定有两个交点,但直线1200=+y y xx 并不经过()00,y x P 、还有学生瞧到1200=+y y xx 这样的结构,认为就是切线,所以判断有一个公共点、事实上,1200=+y y xx 就是()00,y x P 对应的极线,()00,y x P 在椭圆12:22=+y x C 的内部,由命题2画出相应极线,此直线与椭圆不可能有交点,故交点数为0个、如果能够用极点与极线理论,本题能够快速解决、而常规方法只能联立方程用判别式判断了、题2、(2010重庆文21)已知以原点O 为中心,(5,0)F 为右焦点的双曲线C 的离心率5e =、 (Ⅰ)求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程;(Ⅱ)如题图,已知过点11(,)M x y 的直线1l :1144x x y y +=与过点22(,)N x y (其中21x x ≠)的直线2l :2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上,直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H两点,求OH OG ⋅的值、解析:(I)C 的标准方程为.1422=-y x C 的渐近线方程为.21x y ±= (II)如图,直线44:11`=+y y x x l 与44:122=+y y x x l 上显然就是椭圆4422=+y x 的两条切线,由题意点),(E E y x E 在直线44:11`=+y y x x l 与44:122=+y y x x l 上,MN 即就是由E 点生成的椭圆的极线、因此直线MN 的方程为.44=+y y x x E EMN 的方程求出后剩下工作属常规计算、设G 、H 分别就是直线MN 与渐近线02=-y x 及02=+y x 的交点,由方程组⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=-=+,02,4402,44y x y y x x y x y y x x E E E E 及 解得.2224,22,24⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=E E N E E N E E C EE C y x y y x x y x y y x x 故44222222E E E E E E E E OG OG x y x y x y x y ⋅=⋅-⋅+-+-.41222EE y x -= 因为点E 在双曲线.44,142222=-=-E E y x y x 有上所以2212 3.4E E OG OH x y ⋅==- 分析:如果就是常规方法求直线MN 的方程,只能就是观察:由题意点),(E E y x E 在直线44:11`=+y y x x l 与44:122=+y y x x l 上,因此有E E E x x y y x x 211,44=+442=+E y y 故点M 、N 均在直线44=+y y x x E E 上,因此直线MN 的方程为.44=+y y x x E E 应该说很难观察,所以很多学生只能不了了之、题3、(2010江苏18)、在平面直角坐标系xoy 中,如图,已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B,右焦点为F 、设过点T(m t ,)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ,其中m>0,0,021<>y y 、(Ⅰ)设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹; (Ⅱ)设31,221==x x ,求点T 的坐标; (Ⅲ)设9=t ,求证:直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)、解析:(Ⅰ)(Ⅱ)很简单,略、(Ⅲ)我们先瞧瞧常规做法:点T 的坐标为(9,)m直线)3(12:+=x my TA ,与椭圆联立得)8040,80)80(3(222++--m m m M 直线)3(6:-=x my TB ,与椭圆联立得)2020,20)20(3(222+-+-m m m N当12x x ≠时,直线MN 方程为:22222222220)20(380)80(320)20(3202080402020m m m m m m x m m m m m m y +--+-+--=+++++ 令0y =,解得:1x =、此时必过点D(1,0);当12x x =时,直线MN 方程为:1x =,与x 轴交点为D(1,0)、 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D(1,0)、分析:怎么样？目瞪口呆吧、应该说,一点也不难,但就是很难算对、如果知道点T 的坐标为()m ,9,事实上T 的轨迹就是9=x ,可以瞧成就是一条极线:15091=+y x ,所以它一定过定点D(1,0)、题4、已知椭圆C的离心率e =,长轴的左右端点分别为()1A 2,0-,()2A 2,0。
极点极线巧解圆锥曲线
巧用极点、极线——速解圆锥曲线压轴大题！
经典例题：[2018浙江卷]
如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上
(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴
(2)若P是半椭圆x2+y2/4=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围
解析：
（1）设P（x0，y0）
（2）连CB,AD交于Q，由于AB∥CD过P作曲线C的两条切线PE，PF，切点为E，F。
则P对应的极线为EF，显然EF过Q，且AB∥EF∥CD，
总结：圆锥曲线的两个端点和这两个端点处的切线的交点所构成的三角形叫阿基米德三角形，这条弦叫做阿基米德三角形的底，两长切线的交点叫阿基米德三角形的顶点。
本题的极限情形之一为阿基米德三角形。
圆锥曲线关于极点极线的一个统一结论
= | QP |+ | QB |, 代入定理 ( 1) 中的式子整理即得要 证的式子. 同理可证 ( 2 ) 中的式子成立. 推论 2 设 P ( x 0, y 0 ) 是圆锥曲线
2 2 2
椭圆
x 2 a
2
+
y x y 双曲线 2 - 2 = 1 ( a > 0 , 2 = 1( a > b > 0 ) 、 b a b
的极点与极线, 有下面统一的结论. 2 x 椭圆 2 定理 设 P ( x 0, y 0 ) 是圆锥曲线 a 2 2 2 y x y + 2 = 1 ( a > b > 0) 、 双曲线 2 - 2 = 1 ( a > 0 , b a b ; 0)
2
的一个极点, 它 于点
2
b > 0 )、 抛物线 y = 2px ( p > 0)
的一个极点 , 它
对应的极线为 L. ( 1 ) 若 为椭圆或双曲线, OP (O 为中心 ) 或 OP 的 延 长 线 交 于 R, 交 L 于 点 Q, 则 | OP | | OQ | = | OR | ; ( 2 ) 若 为抛物线, l是 在顶点 O 处的切线 ( 即 y 轴 ), 过点 P 作 l的垂线, 交 L 于 Q, 交 于 R, 则 | PR | = | QR |. 证明较易 , 从略.
参考文献 1 陈光捷. 圆锥曲线的一个性质 [ J] . 数学通报, 1999 ( 6 ). (收稿日期 : 2010 06 10 )
2
2 2 2
! 的方程整理得 + a s in
2 2 0 2 2 2
)t
2 2
+
2
2 ( b x 0 cos
极点与极线法解高中圆锥曲线
极点与极线法解高中圆锥曲线极点与极线在高等几何中是重要的概念，虽然不是《高中数学课程标准》规定的研究内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所涉及，自然也会成为高考试题的命题背景。
从几何角度来看，极点与极线的定义如下：设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E、F、G、H，连接EH、FG交于N，连接EG、FH交于M，则直线MN为点P对应的极线。
若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线。
由图1同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M所对应的极线。
因此，将MNP称为自极三点形。
设直线MN交圆锥曲线于点A、B两点，则PA、PB 恰为圆锥曲线的两条切线。
定理1如图1，当P在圆锥曲线上时，则点P的极线是曲线在P点处的切线；当P在圆锥曲线外时，过点P作圆锥曲线的两条切线，设其切点分别为A、B，则点P的极线是直线AB（即切点弦所在的直线）；当P在圆锥曲线内时，过点P任作一割线交圆锥曲线于A、B，设圆锥曲线在A、B处的切线交于点Q，则点P的极线是动点Q的轨迹。
定理2如图2，设点P关于圆锥曲线的极线为l，过点P任作一割线交圆锥曲线于A、B，交l于Q，则①成立；反之，若有①成立，则称点P、Q调和分割线段AB，或称点P与Q关于圆锥曲线的调和共轭，或称点P（或点Q）关于圆锥曲线的调和共轭点为点Q（或点P）。
点P关于圆锥曲线的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P的极线。
推论1如图2，设点P关于圆锥曲线的调和共轭点为点Q，则有②成立；反之，若有②成立，则点P与Q关于圆锥曲线调和共轭。
可以证明，①与②是等价的。
事实上，由①可得到②，由②可得到①。
特别地，我们还有推论2如图3，设点P关于有心圆锥曲线（其中心为O）的调和共轭点为点Q，PQ连线经过圆锥曲线的中心，则有OR²=OP×OQ，反之若有此式成立，则点P与Q关于圆锥曲线调和共轭。
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ｆ竿一ｙ，一一，１
Ｐ（Ｔ。，一１），代入极线方程得：＜
Ｉ—＇／７２：广Ｘ（Ｉ—ｙ２一一１．
两式相减得：塑１二竽堕一（ｙ。一ｙ：）． Ｌ
所以讳·蕊一Ｔ。（ｚ：一ｚ。）一２（弘一ｙ１）一ｏ．
（２）设ＡＢ方程：ｙ一１一ｋｘ，则ＡＢ对应的极点为（２ｋ， １）．把ＡＢ代人Ｃ：，一４ｙ．
物线上的两动点，且葡一Ａ商
（Ａ＞Ｏ）．过Ａ、Ｂ两点分别作抛 物线的切线，设其交点为Ｐ．
（１）证明讳·蕊为定值；
（２）设△ＡＢＰ的面积为Ｓ，
写出ｓ—ｆ（２）的表达式，并求Ｓ
ｋ∥ 中学生数理亿．掌饼版
＼Ｖ
１
Ｐ
的最小值．
图１
解析：（１）设点Ｐ（ｘ。，Ｙ（，），Ａ（ｘｌ，Ｙ１），Ｂ（ｘ２，Ｙ２），三点对应
的极线方程分别是：ｙ一一ｌ，ｙ一等一Ｍ（ｉ一１，２），Ａ，Ｆ·Ｂ三
例２已知直线等一帅ｙ一１与双曲线虿０７＂－一Ｙ２—１没有
一２
公共点，则等一Ｓｏ的取值范围是——．
解析：因为极线等一ｙｏｙ一１与双曲线等一Ｙ２—１没有
公共点，所以对应极点（ｚ。，ｙ。）在双曲线内部，所以有等一
，．２
Ｙｊ＞１，故等一ｙ：的取值范围是（１，＋。。）．
例３如图１，已知抛物线
，
ｚ！一４ｙ的焦点为Ｆ，Ａ、Ｂ是抛
万方数据
解析：第一个Ｉ司题，依题意知，点Ｐ在椭圆内部．圊出图
形，由数形结合可得范围为［２，啦）．
第二个问题，是一道涉及点、直线与圆锥曲线的位置关系 的判定的考题．其实是非常容易做错的题目．因为Ｐ（ｚ。，Ｙ。）
一？
在椭圆Ｃ：寻＋ｙ２—１的内部，所以很多学生误以为直线与椭
圆一定有两个交点，但直线下ＸＯＸ＋ＹｏＹ一１并不经过
由弦长公式得：１ＡＢＩ一４（１＋ｋ２），
．。．ｓ＾∞Ｐ一２（１＋女２）√４（１＋ｋ２）． 显然女一０时，Ｓ取最小值为４．
作者单位：江苏省丹阳市珥陵高级中学
簿
用圆锥曲线极点与极线的性质解题
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)：
黄彩红 江苏省丹阳市珥陵高级中学
中学生数理化（学研版） MATH PHYSICS&CHEMISTRY FOR MIDDLE SCHOOL STUDENTS(SENIOR HIGH SCHOOL EDITION) 2013(10)
论．鉴于这个原因，笔者试着对极点与极线的知识作了一些整
理，希望对大家有所帮助．
１．极点与极线的定义
如果曲线切于Ａ，Ｂ两点的切线相交于Ｐ点，那么Ｐ点称
为直线ＡＢ关于该曲线的极点（ｐｏｌｅ）。直线ＡＢ称为Ｐ点的极
线（ｐｏｌａｒ）．极点和极线的思想是曲线上点和过该点切线的思
想的一般化．任何一点关于一般的代数曲线都有一条极线，每
Ｙｏｙ一声（＿ｒ—｝Ｔｏ）． 其他形式的圆锥曲线标准方．圆锥曲线极点和极线的几何性质
性质１：圆锥曲线中极线共点于Ｐ，则这些极线相应的极 点共线于点Ｐ相应的极线，反之亦然．称为极点与相应极线对
偶性．
性质２：已知点和直线是圆锥曲线的一对极点与极线． （１）若极点在曲线上，则极线与曲线的相切于点；（２）若极点在
曲线内，则极线与曲线的相离；（３）若极点在曲线外，则极线与 曲线的相交．
性质３：
Ｉ．圆锥曲线过定点（极点）弦的端点之切线交点的轨迹 为直线（极线）；
Ⅱ．圆锥曲线过定点（极点）的弦ＡＢ的中点向极线作垂
线交点为Ｐ．则ＰＡ，ＰＢ与圆锥曲线相切，反之亦然；
Ⅲ．圆锥曲线极线上的任意一点Ｐ与极点Ｆ连线交圆锥
曲线于Ａ、Ｂ的两点测胤＝甜；
引用本文格式：黄彩红 用圆锥曲线极点与极线的性质解题[期刊论文]-中学生数理化（学研版） 2013(10)
Ｐ（Ｘ０，ｙｏ）．还有学生看到竿＋ｙｏｙ一１这样的结构，认为是 切线，所以判断有一个公共点．事实上，下Ｊ。ｏ ３１＂＋ｙｏＹ一１是
～２
Ｐ（ｚ。，Ｙ。）对应的极线，Ｐ（ｚ。，Ｙ。）在椭圆ｃ：等＋ｙ２—１的内 部，此直线与椭圆相离，故交点数为０个，问题能够快速解决．
而常规方法只能联立方程用判别式判断，计算比较复杂．
用圆锥曲线极点与极线的性质解题
■黄彩红
由于中学数学教材中没有提及极点与极线，因而大多数
老师和学生对此“视而不见”，并未进行深入探讨，但事实上，
极点与极线的身影随处可见，只是没有被点破而已．如果我们 能够了解一些圆锥曲线的极点与极线知识，不仅可以帮助我
们更快地找到解决问题的方向，还可以帮助我们快速得到结
Ⅳ．过圆锥曲线特定直线（极线）上任意一点引圆锥曲线 的切线，则切点弦直线恒过定点（极点）．
上述证明可参考《高等几何》，此处不再展开，这里重在说 明其应用．
例１ 已知椭圆ｃ：每＋ｙ２—１的两焦点为，点Ｐ（如，Ｙｏ）
满足．则１ＰＦ，ｌ＋ｌＰＦ。ｊ的取值范围为——，直线等＋ｙｏｙ＝
１与椭圆Ｃ的公共点个数——．
一条直线都有一个极点．
２．标准方程下圆锥曲线极点与相应极线的方程
，２
．．２
椭圆争＋寺一１，则点ｐ（ｘ。，Ｙ ｃ，）对应的极线方程为：
掣＋掣一１．
Ⅱ。
Ｄ”
双曲线≥一ｙ６２—１，则点ｐ（ｚ。，Ｙ。）对应的极线方程为：
Ｘｏ工 口２
ｙｏＹ一１
ｂ２
１‘
抛物线Ｙ２＝２ｐｘ。则点ｐ（氙，Ｙ。，）对应的极线方程为：