晶体对称性

2.表示方式
(1)熊夫利符号表示— ;
(2)国际符号表示—m。
z A x, y, z
A
A
O
y
x
A x, y,z O-xy 相当于镜面。
UESTC
如以x3=0面作为对称面,镜象是将图形的任何一点 ( x1 , x2 , x3 ) 变为 ( x1 , x2 , x3 )
x1 x1 x2 A x2 x3 x3
UESTC 晶体的宏观对称类型:
八类对称元素按合理组合,但不能产生5或高于6的轴次。
由此,推出晶体所属的32个点群。
轴
m
轴—面
对称性低，则具有的对称操作的数量少；
UESTC
基本对称操作
平移（Translation） 反演（Inversion）—具有对称中心; 旋转（Rotation)—具有对称轴； 反映（Reflection)—具有对称面。 平移是一切晶体的内部结构都含有的对称性
UESTC
对称操作与线性变换
经过某一对称操作，把晶体中任一点 X ( x1 , x变2 , 为x3 )
析，可以得到象旋转轴只有 4 是独立的。
UESTC (1) 1 象转轴—实际上就是对称心i
z(u轴)
A点绕旋转轴(z轴)
Ax, y, z
旋转3600,再经过中
心 反 演 到 A' 点 ， 晶
体完全重合。实际
O(对称心)
y
上即为中心反演
x
x, y,z
A
UESTC (2)2 象转轴—实际上就是镜象m
X~ X A~X~ AX X~A~AX X~X A~A I
x3
X
(
x1
,
x2
,
x
3
)
X ( x1, x2 , x3 )
O x2
x1
UESTC 一、旋转
1.旋转对称操作 设晶体外形为一立方体,沿图中
所示转轴转动900，外形与原来重合。 这样的转动称为转动对称操作。该轴 称为转动轴。如果转动1800等晶体都 保持外形重合。
1.中心反演
如图所示,有对称心i，晶体中任
iA
一点A过中心 i 连线Ai并延长到A'，
使Ai = A' i, A与A'是等同点， i点称
A
为对称心。
2.表示方式
x, y, z
(1)熊夫利符号表示—i
(2)国际符号表示— 1
x, y,z
例:立方体的中心就是对称中心。如果将对称心放在坐标
原点上,则有(x,y,z)点与(-x,-y,-z)点等同。
cos n 1，且 -1 cos 1， n只能取值：3，2，1，0，-1。
2
n : 3 2 1 0 -1;
cos : 1
:0
2
1
2
n
0.5 0 - 0.5 - 1 2
323 2 2 2 2
643
2
n 1，2，3，4，6。 分 别 称
为1，2，3，4，6次( 度 )转 轴 。
UESTC 3.n度旋转对称轴
A
1 0 0
0 1 0
001
UESTC 四、n度旋转—反演轴(象转轴)
1.象转轴 (1)定义
先绕u轴转动2/n,再经过中心反演，晶体自动重合，
则称u轴为n度旋转—反演轴，又称为n度象转轴。只有1，
2，3，4，6。
(2)符号表示 1，2，3，4，6
2.n度象转轴简析 n度象转轴实际上并不都是独立的，通过下面的分
m3 3
5 5
1
1
6
2' 2
6 4
4
UESTC (5) 4 象转轴
3
1 2
2
3 1
4 4
UESTC
3
2
1 1
2 4
3 4
UESTC
结论： 晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称
操作：1，2，3，4，6，1 , m, 4。 这些基本的操
作组合起来，就可以得到32种不包括平移的宏观 操作类型。
熊 夫 利 符 号 ：C1 ,C2 ,C3 ,C4 ,C6 ,i, , S4
1.6 晶体的对称性
UESTC
对称性
UESTC
UESTC
相关概念
对称性:经过某种动作后,晶体能够自身重合的特性。 对称操作: 使晶体自身重合的动作。 对称素: 对称操作所依赖的几何要素。
一个几何图形的对称性的高低可以由它所 具有的对称操作的数量的多少来决定。
对称性高,则具有的对称操作的数量多;
转动轴
UESTC
2.旋转对称操作的种类
由于受晶格周期性的限制,转动对称操作所转动的角度并不是
任意的。而是遵循一定的规律。
B
A
B1
A
B
A1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AB是晶列上最近邻两格点的距离。
BA nAB AB AB cos BA cos AB(1 2 cos )
cos n 1
2
n是 整 数 。
UESTC
1、 2、 3、 4、 6。
UESTC
4.对称轴度 数符号表示
度数 n
2
3
4
6
符号
UESTC
5. 长方形、 正三角形、 正方形和正 六方形可以 在平面内周 期性重复排 列。正五边 形及其它正
n 边形则不
能作周期性 重复排列。
UESTC
UESTC
Penrose拼接图案
UESTC 二、中心反演(中心反映)
UESTC
取中心为原点,经过中心反映后，图形中任一点
( x1 , x2 , x3 ) 变为 ( x1 , x2 , x3 )
x1 x1 x2 A x2 x3 x3
A
1 0 0
0 1 0
001
UESTC 三、镜象(镜面反映、对称面)
1.镜象
如图所示,A和A’等同，如同镜子一样。
z(u轴)
A
Ax, y, z
x, y, z
和O-xy对称面
的操作相当。
O(对称心)
y
x
x, y,z
A
UESTC
UESTC
(3)3象转轴—实际上就是3度转轴
5
＋对称心(i)
3
3
5
1
1
4
6
2
4
6
2
UESTC （4）6 象转轴—实际上就是3度转轴
5 5
+镜面(m)
3
3
1
1
2 4
6 2
6 4
6=3+
X ( x1, x2 , 可x3以) 用线性变换来表示。
X
x1 x2 x3
x1
X x2
x3
A
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23
33
X AX
操作前后,两点间的距离保持不变，
O点和X点间距与O点和X 点间距相等。
x12 x2 2 x3 2 x1 2 x2 2 x3 2
(1)定义
晶体绕某一固定轴u旋转角度2/n以后,能自身重合，
则称u为n度(或n次)旋转对称轴。n只能取1，2，3，4， 6。
晶体不能有5度或6度以上的转轴。 (2)对称轴表示方式 ①熊夫利(Schoenflies notation)符号表示
C1、C2、C3、C4、C6。 ②国际符号(International notation)表示