高中数学人教A选修2-2导数及其应用一测试题.pdf
高中数学人教A选修2-2导数及其应用一测试题
《数学选修2-2》导数及其应用(一)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1.若函数 在区间 内可导,且 则 的值为( ) A.0()f x ' B.02()f x ' C.02()f x '- D.02.一个物体的运动方程为 其中 的单位是米, 的单位是秒,那么物体在 秒末的瞬时速度是( )A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒 3.曲线 在点 处的切线倾斜角为( )A.34π B.2π C.4π D.6π 4.曲线 在 处的切线平行于直线 ,则 点的坐标为( )A.(1,0)B.(2,8)C.(2,8)和(1,4)--D.(1,0)和(1,4)-- 5.若 ,则 等于( )A.cos αB.sin αC.sin cos αα+D.2sin α 6.若曲线 的一条切线 与直线 垂直,则 的方程为( )A.430x y --=B.450x y +-=C.430x y -+=D.430x y ++= 7、对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则 数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是( ) A.2n B.22n - C.12n + D.122n +-8、已知32()967,f x ax x x =++-若(1)4f '-=,则a 的值等于( ) A.193 B.163 C.103 D.1339、二次函数()y f x =的图象过原点,且它的导函数()y f x '=的图象过第一、二、三象限的一条直线,则函数()y f x =的图象的顶点所在象限是( )A.第一B.第二C.第三D.第四10、已知函数)(x f y =的图象在点M (1,f (1))处的切线方程是x y 21=+2,则(1)(1)f f '+的值等于( )A.1B.52C.3D.0 11.下列式子不正确的是( )A.()23cos 6cos sin x x x x x x x '+=+- B.23112ln x x x x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C.............D.12.设 ,函数 的导函数是 ,且 是奇函数.若曲线 的一条切线的斜率是 ,则切点的横坐标为 ( )A.ln 2B.ln 2-C.ln 22D.ln 22-第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)13.已知函数 的图象上的一点 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆xy. 14.曲线 在点(1,一3)处的切线方程是___________15、在平面直角坐标系 中,点P 在曲线 上,且在第二象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,则点P 的坐标... .16.已知函数 是定义在R 上的奇函数, , ,则不等式 的解集是 .三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12分)已知函数))(2ln(2)(2R a x ax x f ∈-+=,设曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线为l ,若l 与圆41:22=+y x C 相切,求a 的值.18、(12分)设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<,且()()f x f x '+为奇函数. (1)求ϕ的值;(2)求()'()f x f x +的最值.19、(12分)已知a ∈R ,函数2()()f x x x a =-,若(1)1f '=.(1)求a 的值并求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程()y g x =;(2)设()()()h x f x g x '=+,求()h x 在[0,1]上的最大值与最小值.20、(12分)设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线1870x y +-=垂直,导函数'()f x 的最小值为12.(1)求a ,b ,c 的值; (2)设2()()f x g x x =,当0x >时,求()g x 的最小值.21.(12分)设函数()bf x ax x=-,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=. (1)求()f x 的解析式;(2)证明:曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值,并求此定值.22.(14分)已知关于x 的方程sin ((0,1))xk k x=∈在(3,0)(0,3)-ππ内有且仅有4个根,从小到大依次为1234,,,x x x x .(1)求证:44tan x x =;(2)是否存在常数k ,使得234,,x x x 成等差数列?若存在求出k 的值,否则说明理由.参考答案1.B 000000()()()()limlim 2[]2h h f x h f x h f x h f x h h h →→+--+--=0000()()2lim 2()2h f x h f x h f x h→+--'==.2.C ()21,(3)2315s t t s ''=-=⨯-=.3.A 21334,|1,tan 1,4x y x k y αα=''=-==-=-=π. 4.D 设切点为0(,)P a b ,22()31,()314,1f x x k f a a a ''=+==+==±,把1a =-, 代入到3()2f x x x 得4b =-;把1a =,代入到3()2f x x x 得0b =,所以0(1,0)P 和(1,4)--.5.B ()sin ,()sin f x x f αα''==.6.A 与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=,即4y x =在某一点的导数为4,而34y x '=,所以4y x =在(1,1)处导数为4,此点的切线为430x y --=.7.D ()()11222,:222(2)n n n x y n y n x --='=-++=-+-切线方程为,令0x =,求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012ny n =+,所以21n n a n =+,则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和()12122212n n n S +-==--8.B2()3186f x ax x '=++,由(1)4,f '-=得31864a -+=,即163a =. 9.C 设2(),()2f x ax bx f x ax b '=+=+,()f x '的图象是过第一、二、三象限的一条直线,故20,0a b >>,又22()24b b f x a x a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,即项点2,24b b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第三象限. 10.C 由已知切点在切线上,所以f (1)=25221=+,切点处的导数为切线斜率,所以1(1)2f '＝,所以(1)(1)f f '+＝311.D 2sin cos sin x x x xx x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭12.A '()x xf x e ae-=-,()f x '是奇函数'(0)10f a =-=,∴1a =,有'()x xf x e e-=-,设切点为00(,)x y ,则0003'()2xx f x e e -=-=,得02x e =或012xe =-(舍去),∴0ln 2x =. 13.3x -∆22(1)(1)y x x -+∆=--+∆+-+∆∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 14.520x y +-= 易判断点(1,-3)在曲线32242y x x x =--+上,故切线的斜率()211|344|5x x k y x x =='==--=-,∴切线方程为()351y x +=--,即520x y +-=15.(-2,15) 231022y x x '=-=⇒=±,又点P 在第二象限内,∴2x =-,得点P 的坐标为(-2,15)16.),1()0,1(+∞- 可得()'()f x f x x>,由导数的定义得,当01x <<时, ()(1)()1f x f f x x x->-,又0)1(=f ,()(1)()xf x x f x <-,∴()0f x <;当1x >时, 同理得()0f x <.又)(x f 是奇函数,画出它的图象得()0f x >⇒(1,0)(1,)x ∈-+∞.17.解:依题意有:)2(222)(,)1(<-+='=x x ax x f a f , l ∴的方程为02)1(2=-+--a y x a l 与圆相切,811211)1(4|2|2=⇒=+--∴a a a ∴a 的值为118.18.解:(1)()'()f x f x +))ϕϕ=+-+5)6πϕ=++, 又0ϕ<<π,()'()f x f x +是奇函数,∴=ϕ6π.(2)由(1)得()'()f x f x +)=+π=-. ∴()'()f x f x +的最大值为2,最小值为2-.19、解:(1)2()32f x x ax '=-,由(1)1f '=得321a -=,所以1a =; 当1a =时,32()f x x x =-,(1)0f =,又(1)1f '=,所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为01(1)y x -=⨯-,即()1g x x =-;(2)由(1)得22113()313()612h x x x x =--=--, 又(0)1h =-,(1)1h =,113()612h =-, ∴()h x 在[0,1]上有最大值1,有最小值1312. 20.解:(1)∵()f x 为奇函数,∴()()f x f x -=-,即33ax bx c ax bx c --+=---, ∴0c =,又∵2'()3f x ax b =+的最小值为12,∴12b =;又直线1870x y +-=的斜率为118- ,因此,'(1)318f a b =+=, ∴2a =, ∴2a =,12b =,0c =为所求.(2)由(1)得3()212f x x x =+,∴当0x >时,2()()f x g x x=62()2x x =+≥⋅=,∴()g x的最小值为.21.解:(1)方程74120x y --=可化为734y x =-. 当 时, .又 , 于是 解得.,故 .(2)设00(,)P x y 为曲线上任一点,由231y x'=+知曲线在点00()P x y ，处的切线方程为 002031()y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭,即00200331()y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令0x =得06y x =-,从而得切线与直线0x =的交点坐标为060x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 令y x =得02y x x ==,从而得切线与直线y x =的交点坐标为00(22)x x ，. 所以点00(,)P x y 处的切线与直线0x =,y x =所围成的三角形面积为016262x x-=. 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =,y x =所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.22.解:(1)由原方程得sin (0)x kx x =≠,设函数()sin f x x =,()g x kx =(0)x ≠,它们的图象如图所示:方程得sin (0)x kx x =≠在(3,0)(0,3)-ππ内有且仅有4个根,4x 必是函数()g x kx =与()sin f x x =在5(2,)2ππ内相切时切点的横坐标,即切点为44(,sin )x x ,()g x kx =是()sin f x x =的切线. 由 ,∴ ,又∵ ,于是 .(2)由题设知23x x =-,又234,,x x x 成等差数列,得3242x x x =+,∴3413x x =. 由33sin x kx =,得4411sin 33x kx =,即441sin 3sin 3x x =. 由题设45(2,)2x π∈π,得425(,)336x ππ∈,∴41sin(,322x ∈,有433sin (,322x ∈,即43sin (,)22x ∈,与4sin 1x <矛盾! 故不存在常数k 使得234,,x x x 成等差数列。
选修2-2第一章导数及其应用测试题((打印)
高二数学(理)导数及其应用检测题编制人：王友华审核人：张乾明使用时间：2013.3.23一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1 .若函数 f(x)=2x 2+1,图象上 P(1,3)及邻近上点 Q(1+A x,3+ △ y)，则—y =()xA .4 B. 4 A x C. 4+2 A x D.2 A x2 .已知对任意实数x , 有f( x) f (x), g( x) g(x),且 x 0 时，f (x) 0, g(x) 0,则 x 0时()A. f (x) 0, g (x) 0B. f (x) 0, g(x) 0C. f (x) 0, g (x) 0A. f (x o) B . 2f(x。
) C . 4f(x。
) D .不能确定4. 曲线y x3在点(2,8)处的切线方程为().A. y 6x 12 B . y 12x 16C. y 8x 10 D . y 2x 325. 已知函数f(x) ax3 bx2 cx d的图象与x轴有三个不同交点(0,0),(为,0),(X2,0), 且f (x)在x 1 , x 2时取得极值，则花X2的值为( )A . 4B . 5C . 6D .不确定6 .设y 1 x21 . X，则y'sin x ().22xsin x (1 x ) sin x7.设函数f x的导函数为f x，且f XA . 0 B.-4 C. -2 D. 28 .积分a2 x2dxa ().C .22xsin x (1 x ) D sin x3.设函数f(x)在x o可导, moA.22xsinx (1 x )cosx.2sin x22xsin x (1 x ) cosx.2sin x2x 2x f 1 ,则f 0 等于()A . 1a2B . 12 a C. a 24 29 .函数f x的定义域为a,b，导函数f x在a, b内的图像如图所示，则函数f x在a,b内有极小值点()A. 1 个 B .2个 C . 3个 D . 4个1Q .由抛物线y22x与直线y x 4所围成的图形的面积是()c 38 16A. 18B.-C.D. 163 311 .设底面为等边二角形的直棱柱的体积为 V,则其表面积最小时，底面边长为().A. 3 VB. 3 2VC. 3 4VD. 23 V12. 已知函数y=xf' (x)的图象如图⑴所示(其中f' (x)是函数f(x)的导函数)，下二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13. 曲线y x3在点(a,a3)(a 0)处的切线与x轴、直线x a所围成的三角形的面积为-，则a .61 1 114. lim ( ) _______________ -n n 1 n 2 n n15. 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2: 1，则该长方体的长、宽、高各为 _____________ 时，其体积最大.i、1Q(0 x 2)16. 一物体在力F(x) 3x 4 (x 2)仲位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x Q处运动到x 4 (单位：m)处，则力F(x)做的功为_______________ 焦.三、解答题：面四个图象中，y= f(x)的图象大致是()求由y2 4x 与直线y 2x 4所围成图形的面积18. (本小题 12 分)已知函数f x x3 ax2 bx c 图像上的点P(1,m) 处的切线方程为y 3x 1 ．1)若函数 f x 在 x 2 时有极值，求 f x 的表达式；2)函数 f x 在区间 2,0 上单调递增，求实数 b 的取值范围19. (本小题 12 分)已知函数f(x) ax3 bx2 3x在X 1处取得极值.⑴讨论f(1)和f ( 1)是函数f (x)的极大值还是极小值(2)过点A(0,16)作曲线y f (x)的切线，求此切线方程.用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器, 扇形的圆心角多大时，容器的容积最大？21. （本小题12分）直线y kx分抛物线y x x2与x轴所围成图形为面积相等的两个部分,求k 的值.22. （本题14分）2已知函数fx x —, g x xlnx,其中a 0 . x（1）若x 1是函数h x f x g x的极值点，求实数a 的值；（2）若对任意的X1,x2 1, e （e为自然对数的底数）都有f % >g x2成立，求实数a的取值范围.高二数学导数及其应用检测题参考答案、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)二、 填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分) (13)、 1 ( 14)、 In 2 (15)、2, 1, 5 ( 16)、 46三、 解答题：(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤) 17. 解：918. 解：f x 3x 2 2ax b ，因为函数 f x 在x1处的切线斜率为- 3， 所以 f 13 2a b 3，即2a b 0，又f 11 a bc 2 得 a b c1。
高二数学 人教A版选修2-2习题 第1章 导数及其应用1.2.1 Word版含答案
选修2-2 第一章 1.2 1.2.1一、选择题1．双曲线y ＝1x 在点(2，12)的切线方程是( ) A.14x ＋y ＝0 B.14x －y ＝0 C.14x ＋y ＋1＝0 D ．14x ＋y －1＝0 [答案] D[解析] ∵y ＝1x 的导数为y ′＝－1x 2， ∴曲线y ＝1x 在点(2，12)处的切线斜率k ＝－14， ∴切线方程是y －12＝－14(x －2)， 化简得，14x ＋y －1＝0，故选D. 2．已知f (x )＝x 3，则f ′(2)＝( )A ．0B ．3x 2C ．8D ．12[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝3x 2，∴f ′(2)＝3×22＝12，故选D.3．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 [答案] A[解析] 若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.4．一个物体的运动方程为s (t )＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 [答案] C[解析] v (t )＝s ′(t )＝－1＋2t ，∴v (3)＝－1＋2×3＝5(米/秒)，故选C.5．曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( ) A ．1 B ．－π4 C.π4D ．5π4[答案] C[解析] ∵y ＝13x 3，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.6．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－x )2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 [答案] D[解析] 由导数的定义知lim x →0 f (1)－f (1－x )2x＝12lim x →0 f (1)－f (1－x )x ＝12lim －x →0 f (1－x )－f (1)－x＝12f ′(1)＝－1. 二、填空题7．已知①y ＝f (x )，②y ＝g (x )，③y ＝h (x )都是路程y 关于时间x 的函数，且f ′(x )＝1，g ′(x )＝2，h ′(x )＝3，则运动速度最快的是________(填序号).[答案] ③[解析] 由导数的几何意义知，y ＝f (x )的瞬时速度为1，y ＝g (x )的瞬时速度为2，y ＝h (x )的瞬时速度为3，且都是匀速运动，故最快的是③.8．若曲线y ＝x 3的某一切线与直线y ＝12x ＋6平行，则切点坐标是________.[答案] (2,8)或(－2，－8)[解析] 设切点坐标为(x 0，x 30)，因为y ′＝3x 2，所以切线的斜率k ＝3x 20，又切线与直线y ＝12x ＋6平行，所以3x 20＝12，解得x 0＝±2，故切点为(2,8)或(－2，－8)．9．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________.[答案] 4[解析] y ′＝12x ，切线方程为y －a ＝12a(x －a )， 令x ＝0得，y ＝a 2，令y ＝0得，x ＝－a ， 由题意知12·a 2·a ＝2，∴a ＝4. 三、解答题10．求与曲线y ＝f (x )＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程.[解析] 因为y ＝3x 2，所以y ′＝(3x 2)′＝(x 23)′＝23x －13.所以f ′(8)＝23×8－13＝13，即曲线在点P (8,4)处的切线的斜率为13.所以适合条件的直线的斜率为－3.从而适合条件的直线方程为y －8＝－3(x －4)，即3x ＋y －20＝0.一、选择题1．已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( ) A.33 B ．333C. 3 D ．393[答案] D[解析] 由导数的定义容易求得，曲线y ＝x 3－1在x ＝x 0处切线的斜率k 1＝3x 20，曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处切线的斜率为k 2＝－x 0，由于两曲线在x ＝x 0处的切线互相垂直，∴3x 20·(－x 0)＝－1，∴x 0＝393，故选D. 2．曲线y ＝3x 上的点P (0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－xB ．x ＝0C ．y ＝0D ．不存在 [答案] B[解析] ∵y ＝3x ，∴Δy ＝3x ＋Δx －3x＝x ＋Δx －x(3x ＋Δx )2＋3x (x ＋Δx )＋(3x )2＝Δx(3x ＋Δx )2＋3x (x ＋Δx )＋(3x )2，∴Δy Δx ＝1(3x ＋Δx )2＋3x (x ＋Δx )＋(3x )2， ∴y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝13x 23. ∴曲线在点P (0,0)处切线的斜率不存在，∴切线方程为x ＝0.二、填空题3．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.[答案] 1[解析] 因为f (x )＝ax 3＋x ＋1，所以f (1)＝a ＋2，f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝3a ＋1，所以在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，又因为切线过点(2,7)，所以7－(a ＋2)＝(3a ＋1)×(2－1)，解之得a ＝1.4．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________.[答案] 21[解析] ∵y ′＝2x ，∴在点(a k ，a 2k )的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.三、解答题5．已知曲线C ：y ＝1t －x经过点P (2，－1)，求 (1)曲线在点P 处的切线的斜率．(2)曲线在点P 处的切线的方程．(3)过点O (0,0)的曲线C 的切线方程．[解析] (1)将P (2，－1)代入y ＝1t －x中得t ＝1， ∴y ＝11－x. ∴Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝11－(x ＋Δx )－11－x Δx＝1(1－x －Δx )(1－x )， ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝1(1－x )2， ∴曲线在点P 处切线的斜率为k ＝y ′|x ＝2＝1(1－2)2＝1. (2)曲线在点P 处的切线方程为y ＋1＝1×(x －2)，即x －y －3＝0.(3)∵点O (0,0)不在曲线C 上，设过点O 的曲线C 的切线与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，则切线斜率k ＝y 0x 0＝1(1－x 0)2，由于y 0＝11－x 0，∴x 0＝12，∴切点M (12，2)，切线斜率k ＝4，切线方程为y －2＝4(x －12)，即y ＝4x . 6．求曲线y ＝1x与y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积.[解析] 两曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴k 1＝－1x2|x ＝1＝－1，k 2＝2x |x ＝1＝2， ∴两切线方程为x ＋y －2＝0,2x －y －1＝0，所围成的图形如图所示．∵两直线与x 轴交点分别为(2,0)，(12，0)． ∴S ＝12×1×⎝⎛⎭⎫2－12＝34.。
人教A版选修2-2数学：1.2《导数及其应用》高考试题(新人教A版选修2—2).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作导数的概念与运算第1题. ()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 ．答案：3第2题.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为（ ） Ａ．3 Ｂ．52 Ｃ．2 Ｄ．32答案：Ｃ第3题.设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） Ａ．15-Ｂ．0 Ｃ．15 Ｄ．5答案：B第4题.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．12答案：A第5题.曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 ．答案：520x y +-=第6题.已知对任意实数x ，有()()f x f x -=-，()()g x g x -=，且0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则0x <时（ ）Ａ．()0f x '>，()0g x '>Ｂ．()0f x '>，()0g x '< Ｃ．()0f x '<，()0g x '>Ｄ．()0f x '<，()0g x '<答案：B 导数的概念和性质第1题.设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） Ａ．15-Ｂ．0 Ｃ．15 Ｄ．5答案：B 第2题. ()f x 是定义在(0)+∞，上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤．对任意正数a b ，，若a b <，则必有（ ）A ．()()af b bf a ≤B ．()()bf a af b ≤C ．()()af a f b ≤D ．()()bf b f a ≤ 答案：A第3题. 设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）答案：D y x O y x O y x O y xO A ． B ． C ． D ．第4题.已知对任意实数x ，有()()()(f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，答案：B。
高二数学 人教A版选修2-2习题 第1章 导数及其应用1.3.2 Word版含答案
选修2-2 第一章 1.3 1.3.2一、选择题1．已知函数y ＝f (x )在定义域内可导，则函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件[答案] B[解析] 根据导数的性质可知，若函数y ＝f (x )在这点处取得极值，则f ′(x )＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f (x )＝x 3在R 上是增函数，f ′(x )＝3x 2，则f ′(0)＝0，但在x ＝0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.2．函数y ＝2x 3－6x 2－18x ＋7( )A ．在x ＝－1处取得极大值17，在x ＝3处取得极小值－47B ．在x ＝－1处取得极小值17，在x ＝3处取得极大值－47C ．在x ＝－1处取得极小值－17，在x ＝3处取得极大值47D ．以上都不对 [答案] A[解析] y ′＝6x 2－12x －18，令y ′＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：x (－∞，－1)－1 (－1,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值3．函数y ＝14x 4－13x 3的极值点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] y ′＝x 3－x 2＝x 2(x －1)，由y ′＝0得x 1＝0，x 2＝1. 当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表x (－∞，0)0 (0,1) 1 (1，＋∞)y ′ －0 －0 ＋y 无极值极小值4．已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b ，c )，则ad 等于( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2 [答案] A[解析] ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，∴ad ＝bc ， 又(b ，c )为函数y ＝3x －x 3的极大值点， ∴c ＝3b －b 3，且0＝3－3b 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.∴ad ＝2. 5．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( )A ．－1<a <2B ．－3<a <6C ．a <－3或a >6D ．a <－1或a >2 [答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6， ∵f (x )有极大值与极小值， ∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6. 6．函数f (x )＝－xex (a <b <1)，则( )A ．f (a )＝f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )>f (b )D ．f (a )，f (b )的大小关系不能确定[答案] C[解析] f ′(x )＝(－x e x )′＝(－x )′·e x －(－x )·(e x )′(e x )2＝x －1e x. 当x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数， ∵a <b <1，∴f (a )>f (b )． 二、填空题7．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为____________.[答案] y ＝－1e[解析] y ＝f (x )＝x e x ⇒f ′(x )＝(1＋x )e x ，令f ′(x )＝0⇒x ＝－1，此时f (－1)＝－1e ，函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为y ＝－1e.8．若函数f (x )＝x 3－2mx 2＋m 2x 在x ＝1处取得极小值，则实数m ＝________.[答案] m ＝1[解析] ∵f ′(x )＝(3x －m )(x －m ) 由题意得：f ′(1)＝(3－m )(1－m )＝0∴m ＝3或m ＝1.经检验知，当m ＝3时，在x ＝1处取得极大值． 当m ＝1时，在x ＝1处取得极小值． ∴m ＝1.9．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，则常数a ＝________.[答案] －23[解析] f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0.∴a ＝－23.三、解答题10．若a ≠0，试求函数f (x )＝－23ax 3－x 2＋a 2x 2＋2ax 的单调区间与极值.[解析] ∵f (x )＝－23ax 3－x 2＋a 2x 2＋2ax ，∴f ′(x )＝－2ax 2－2x ＋2a 2x ＋2a ＝－2(ax 2＋x －a 2x －a ) ＝－2(x －a )(ax ＋1)．令f ′(x )＝0，可得x ＝－1a或x ＝a .若a >0，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： 单调递减单调递增单调递减所以f (x )在区间(－∞，－1a )，(a ，＋∞)内为减函数，在区间(－1a ，a )内为增函数．函数f (x )在x ＝－1a 处取得极小值f (－1a )＝－1－13a 2，在x ＝a 处取得极大值f (a )＝a 2＋13a 4.若a <0，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： 单调递增单调递减单调递增所以f (x )在区间(－∞，a )，(－1a ，＋∞)内为增函数，在区间(a ，－1a)内为减函数．函数f (x )在x ＝a 处取得极大值f (a )＝a 2＋a 43，在x ＝－1a 处取得极小值f (－1a )＝－1－13a2.一、选择题1．已知函数f (x )＝e x (sin x －cos x )，x ∈(0,2013π)，则函数f (x )的极大值之和为( )A.e 2π(1－e 2012π)e 2π－1B.e π(1－e 2012π)1－e 2πC.e π(1－e 1006π)1－e 2πD.e π(1－e 1006π)1－e π[答案] B[解析] f ′(x )＝2e x sin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝0，∴x ＝k π，k ∈Z ，当2k π<x <2k π＋π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当(2k －1)π<x <2k π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴当x ＝(2k ＋1)π时，f (x )取到极大值，∵x ∈(0,2013π)，∴0<(2k ＋1)π<2013π，∴0≤k <1006，k ∈Z .∴f (x )的极大值之和为S ＝f (π)＋f (3π)＋f (5π)＋…＋f (2011π)＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e 2011π＝e π[1－(e 2π)1006]1－e 2π＝e π(1－e 2012π)1－e 2π，故选B.2．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，则g (12017)＋g (22017)＋…＋g (20162017)＝( )A ．2015B ．2016C ．2017D ．2018[答案] B[解析] 函数的导数g ′(x )＝x 2－x ＋3， g ″(x )＝2x －1，由g ″(x 0)＝0得2x 0－1＝0，解得x 0＝12，而g (12)＝1，故函数g (x )关于点(12，1)对称，∴g (x )＋g (1－x )＝2，故设g (12017)＋g (22017)＋…＋g (20162017)＝m ，则g (20162017)＋g (20152017)＋…＋g (12017)＝m ，两式相加得2×2016＝2m ，则m ＝2016. 故选B. 二、填空题3．已知函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1处有极大值，在x ＝3处有极小值，则a ＝______，b ＝________.[答案] －3 －9[解析] y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，方程y ′＝0有根－1及3，由韦达定理应有⎩⎨⎧－1＋3＝－2a3，－3＝b 3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－9. 经检验a ＝－3，b ＝－9符合题意．4．(2016·郑州市质量检测)已知偶函数y ＝f (x )，对于任意的x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式中成立的有________. ①2f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π4 ②2f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫－π4 ③f (0)<2f ⎝⎛⎭⎫－π4 ④f ⎝⎛⎭⎫π6<3f ⎝⎛⎭⎫π3 [答案] ②③④[解析] 令g (x )＝f (x )cos x ，由已知得g ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x >0，∴g (x )＝f (x )cos x 在⎣⎡⎭⎫0，π2上单调递增，故得g ⎝⎛⎭⎫π3>g ⎝⎛⎭⎫π4，g (0)<g ⎝⎛⎭⎫π4， 即2f ⎝⎛⎭⎫π3>f ⎝⎛⎭⎫π4，f (0)<2f ⎝⎛⎭⎫π4， ∴2f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π4，2f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫－π4，①错误，②正确；③正确；又g ⎝⎛⎭⎫π6<g ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫π6cos π6<f ⎝⎛⎭⎫π3cos π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫π6<3f ⎝⎛⎭⎫π3，④正确． 三、解答题5．设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k ＞0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．[解析] (1)由f (x )＝x 22－k ln x ，(k ＞0)得，f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx.由f ′(x )＝0解得x ＝k (负值舍去)． f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的情况如下：f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2. (2)由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k (1－ln k )2.因为f (x )存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k ≥e.当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0， 所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点． 当k ＞e 时，f (x )在区间(0，e)上单调递减， 且f (1)＝12＞0，f (e)＝e －k 2＜0，所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间( 1，e]上仅有一个零点.6．已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方．[解析] (1)由于函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x ，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1(舍去)，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在(0,1)上单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增， 则x ＝1是f (x )的极小值点，所以f (x )在x ＝1处取得极小值为f (1)＝12.(2)证明：设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则f ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝－2x 3＋x 2＋1x＝－(x －1)(2x 2＋x ＋1)x ，当x >1时，f ′(x )<0，故f (x )在区间[1，＋∞)上单调递减， 又F (1)＝－16<0，∴在区间[1，＋∞)上，F (x )<0恒成立， 即f (x )<g (x )恒成立．因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )图象的下方．。
高中数学人教A选修2-2导数及其应用一测试题(可编辑修改word版)
⎩ ⎭ 《数学选修 2-2》导数及其应用(一)第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是最符合题目要求的.)1、若函数 y = f (x ) 在区间 (a , b ) 内可导,且 x ∈(a , b ) 则 lim f (x 0 + h ) - f (x 0 - h )的值为( )A. f '( x 0 )B. 2 f '( x 0 )C. -2 f '( x 0 )D. 0h →0 h 2、一个物体的运动方程为 s = 1 - t + t 2 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在3 秒末的瞬时速度是( )A. 7 米/秒B. 6 米/秒C. 5 米/秒D. 8 米/秒 3、曲线 y = x 3 - 4x 在点(1, -3) 处的切线倾斜角为()3πππA. πB.C.D.42 4 64、曲线 f (x ) = () x 3 + x - 2 在 p 0 处的切线平行于直线 y = 4x - 1,则 p 0 点的坐标为A. (1, 0)B. (2,8)C. (2,8) 和(-1, -4)D. (1, 0) 和(-1, -4)5、若 f (x ) = sin- cos x ,则 f '() 等于()A. cosB. sinC. sin+ c os D. 2 s in 6、若曲线 y = x 4 的一条切线l 与直线 x + 4 y - 8 = 0 垂直,则l 的方程为( ) A. 4x - y - 3 = 0 B. x + 4 y - 5 = 0 C. 4x - y + 3 = 0 D. x + 4 y + 3 = 07、对正整数 n ,设曲线 y = x n(1 - x ) 在 x = 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则 数列⎧ a n ⎫ 的前 n 项和的公式是( )⎨ n +1⎬ A. 2nB. 2n - 2C. 2n +1D. 2n +1 - 28、已知 f (x ) = ax 3 + 9x 2 + 6x - 7, 若 f '(-1) = 4 ,则 a 的值等于()19 16 10 13 A.B.C.D.33339、二次函数 y = f (x ) 的图象过原点,且它的导函数 y = f '(x ) 的图象过第一、二、三象限的一条直线,则函数 y = f (x ) 的图象的顶点所在象限是()A. 第一B.第二C.第三D.第四10、已知函数 y = f (x ) 的图象在点 M (1,f (1))处的切线方程是 y = 1x +2,则 f (1) + f '(1) 的2 值等于()⎪ 5 A.1 B.C.3D.0211、下列式子不正确的是()2'⎛1 ⎫' 12A. (3x + x c os x )= 6x + cos x - x sin xB. ln x - 2 ⎪ =-⎝x ⎭ x x '⎛ sin x ⎫'cos x - sin xC. (sin 2x ) = 2 cos 2xD. x = x 212、设 a ∈ R ,函数 ⎝ ⎭ f (x ) = e x + a ⋅ e -x 的导函数是 f '(x ) ,且 f '(x ) 是奇函数.若曲线y = f (x ) 的一条切线的斜率是 3,则切点的横坐标为( ) 2A. ln 2B. -ln 2ln 2 C. D. 2ln 2 2第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上.)13、已知函数 f (x ) = -x 2 + x 的图象上的一点 A (-1, - 2) 及临近一点B (-1 + ∆x , - 2 + ∆y ) 则 ∆y= .∆x14、曲线 y = x 3 - 2x 2 - 4x + 2 在点(1,一3)处的切线方程是15、在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线C : y = x 3 -10x + 3 上,且在第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为.16、已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) = 0 , 等式 f ( x ) > 0 的解集是.xf '(x ) - f (x )x 2> 0 ( x > 0) ,则不三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12 分)已知函数 f (x ) = ax 2 + 2 ln(2 - x )(a ∈ R ) ,设曲线 y = l ,若l 与圆C : x 2 + y 2 = 1相切,求 a 的值.4f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线为-318、(12 分)设函数f (x) = cos( 3x +)(0 <<),且f (x) +f '(x) 为奇函数. (1)求的值;(2)求f ( x) +f '( x) 的最值.19、(12 分)已知a ∈R ,函数 f (x) =x2 (x -a) ,若 f '(1) = 1 .(1)求a 的值并求曲线 y =f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程 y =g( x) ;(2)设h( x) =f '( x) +g( x) ,求h( x) 在[0,1] 上的最大值与最小值.20、(12 分)设函数 f (x) =ax3+bx +c (a ≠ 0) 为奇函数,其图象在点(1, f (1)) 处的切线与直线x + 18 y - 7 = 0 垂直,导函数f '(x) 的最小值为12 .(1)求a , b , c 的值;f ( x)(2)设g( x)x2,当x > 0 时,求g( x) 的最小值.21、(12 分)设函数 f (x) =ax -bx,曲线 y =f (x) 在点(2, f (2)) 处的切线方程为7x - 4 y -12 = 0 .(1)求f (x) 的解析式;(2)证明:曲线y =f (x) 上任一点处的切线与直线x = 0 和直线y =x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值.=0 x =2 ( ) ⎩ ⎭22、(14 分) 已知关于 x 的方程大依次为 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 .sin x = k (k ∈(0,1)) 在(-3π, 0) (0, 3π) 内有且仅有 4 个根,从小到x(1) 求证: x 4 = tan x 4 ;(2) 是否存在常数 k ,使得 x 2 , x 3 , x 4 成等差数列?若存在求出 k 的值,否则说明理由.1.Blimf (x 0 + h ) - f (x 0 - h ) 参考答案= lim 2[ f (x 0 + h ) - f (x 0 - h )]h →0hh →0 2h= 2 lim f ( x 0 + h ) - f ( x 0 - h ) = 2 f '( x ) .h →0 2h2.C s '(t ) = 2t - 1, s '(3) = 2 ⨯ 3 - 1 = 5 .3.A y ' = 3x 2- 4, k = y ' | = -1, tan = -1,= 3π . 44.D 设切点为 P (a , b ) , f '( x ) = 3x 2+1, k = f '(a ) = 3a 2 + 1 = 4, a = ±1,把 a = -1 ,代 入 到 f (x ) = x 3 + x - 2 得 b = -4 ;把 a = 1 ,代 入 到 f (x ) = x 3 + x - 2 得 b = 0 ,所 以P 0 (1, 0) 和(-1, -4) .5.Bf '( x ) = sin x , f '() = sin .6.A 与直线 x + 4 y - 8 = 0 垂直的直线l 为4x - y + m = 0 ,即 y = x 4 在某一点的导数为4 ,而y ' = 4x 3 ,所以 y = x 4 在(1,1) 处导数为4 ,此点的切线为4x - y - 3 = 0 .7.Dy ' = -2n -1 (n + 2),切线方程为: y + 2n = -2n -1 (n + 2)( x - 2) ,令 x = 0 ,求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y = (n +1)2n ,所以 a n= 2n ,则数列⎧ a n ⎫的前 n 项和 S n 02 1- 2n == 2n +1 - 2 1- 2n +1⎨n +1⎬x =12a ⎝ ⎭x =1 x =1 8.B f '(x ) = 3ax 2 +18x + 6 ,由 f '(-1) = 4, 得3a - 18 + 6 = 4 ,即a =16 .39.C 设 f (x ) = ax 2 + bx , f '(x ) = 2ax + b , f '(x ) 的图象是过第一、二、三象限的一条直线,⎛b ⎫2b 2 ⎛ b b 2 ⎫ 故2a > 0, b > 0 ,又 f (x ) = a x + ⎪ ⎝ ⎭ - 4a ,即项点 - 2a , - 4a ⎪ 在第三象限.10.C 由已知切点在切线上,所以 f (1)= 1 + 2 = 5 ,切点处的导数为切线斜率,所以 f '(1)＝ 1,所以 f (1) + f '(1)＝⎛ sin x ⎫' 2 2 2 3x cos x - sin x11.D x ⎪ = x 2⎝ ⎭12.Af '( x ) = e x - ae -x , f '(x ) 是奇函数 f '(0) = 1 - a = 0 ,∴ a = 1 ,有 f '( x ) = e x - e -x ,x - x 3 x x 1 设切点为( x 0 , y 0 ) ,则 f '( x 0 ) = e 0 - e 0 = ,得e 0 = 2 或e 0= - 2 2(舍去),∴ x 0 = ln 2 .13. 3 - ∆x -2 + ∆y = -(-1+ ∆x )2 + (-1+ ∆x )∴ ∆y = ∆x - (-1 + ∆x )2 + (-1 + ∆x ) - 2 ∆x= 3 - ∆x 14. 5x + y - 2 = 0易 判 断 点 (1,-3)在 曲 线 y = x 3 - 2x 2 - 4x + 2 上 ,故 切 线 的 斜 率k = y ' | = (3x 2 - 4x - 4) | = -5,∴切线方程为 y + 3 = -5( x -1) ,即5x + y - 2 = 015.( - 2,15) y ' = 3x 2 -10 = 2 ⇒ x = ±2 ,又点 P 在第二象限内,∴ x = -2 ,得点 P 的坐标为(- 2,15)f ( x ) 16. (-1,0) (1,+∞) 可得 f '( x ) >,由导数的定义得,当0 < x < 1 时,xf ( x ) - f (1) >x - 1 ,又 f (1) = 0 , xf ( x ) < ( x - 1) f ( x ) ,∴ f ( x ) < 0 ;当 x > 1时,x同理得 f ( x ) < 0 .又 f (x ) 是奇函数,画出它的图象得 f ( x ) > 0 ⇒ x ∈(-1, 0) (1, +∞) .17.解:依题意有: f (1) = a , f '(x ) = 2ax +∴ l 的方程为2(a - 1)x - y + 2 - a = 02x - 2(x < 2) ,| 2 - a |l 与圆相切,∴= 4(a - 1)2 + 1 1 ⇒ a =11 28 ∴ a 的值为11 .818.解:(1) f ( x ) + f '( x ) = cos( 3x +) -3 sin( 3x +)f ( x )6 6 ) 1 13 ⎨ 3 3= 2 sin( 3x ++5 ,6又0 << π , f ( x ) + f '( x ) 是奇函数,∴= . 6(2)由(1)得 f ( x ) + f '( x ) = 2 sin( 3x + π) = -2 sin 3x .∴ f ( x ) + f '( x ) 的最大值为 2,最小值为-2 .19、解:(1) f '(x ) = 3x 2 - 2ax ,由 f '(1) = 1 得3 - 2a = 1 ,所以a = 1 ;当a = 1 时, f ( x ) = x 3 - x 2 , f (1) = 0 ,又 f '(1) = 1 ,所以曲线 y = f (x ) 在(1, f (1)) 处的切线方程为 y - 0 = 1⨯ ( x - 1) ,即 g ( x ) = x - 1 ;(2)由(1)得h ( x ) = 3x 2 - x - 1 = 3( x - 1)2 -13,6 12又h (0) = -1 , h (1) = 1, h ( ) = -, 6 1213∴ h ( x ) 在[0,1] 上有最大值 1,有最小值.1220.解:(1)∵ f (x ) 为奇函数,∴ f (-x ) = - f (x ) ,即-ax 3 - bx + c = -ax 3 - bx - c ,∴ c = 0 ,又∵ f '(x ) = 3ax 2 + b 的最小值为12 ,∴ b = 12 ;1又直线 x + 18 y - 7 = 0 的斜率为- 18∴ a = 2 , b = 12 , c = 0 为所求.,因此, f '(1) = 3a + b = 18 , ∴ a = 2 ,(2)由(1)得 f ( x ) = 2x 3 + 12x ,∴当 x > 0 时, g ( x ) =f ( x ) = 2( x + 6) ≥ 2 ⋅ 2 = 4 ,x 2 x∴ g ( x ) 的最小值为4 .721.解:(1)方程7x - 4 y -12 = 0 可化为 y = x - 3 .4当 x = 2 时, y = 1 . 又 f '(x ) = a + b,2 x 2⎧2a - b = 1 ⎪ 于是⎨ ⎧a = 1 解得 b 7 b = 3 , 故 f (x ) = x - . x ⎪a + = ， ⎩ ⎩⎪ 4 4(2)设 P ( x 0 , y 0 ) 为曲线上任一点,由 y ' = 1+x 2知曲线在点 P (x 0，y 0 ) 处的切线方程为 x ⋅ 6 x2 21 2 3 3 y - y = ⎛1+ 3 ⎫ (x - x ) ,即 y - ⎛x- 3 ⎫ = ⎛1+3 ⎫(x - x ) .0 x 2 ⎪ 0 0 x ⎪ x 2 ⎪ 0 ⎝ 0 ⎭6 ⎝ 0 ⎭ ⎝ 0 ⎭⎛ 6 ⎫ 令 x = 0 得 y = - x ,从而得切线与直线 x = 0 的交点坐标为 0，- x ⎪ . 0 ⎝ 0 ⎭令 y = x 得 y = x = 2x 0 ,从而得切线与直线 y = x 的交点坐标为(2x 0，2x 0 ) .所以点 P ( x 0 , y 0 ) 处的切线与直线 x = 0 , y = x 所围成的三角形面积为 -2x 0 = 6 .故曲线 y = 此定值为6 .f (x ) 上任一点处的切线与直线 x = 0 , y = x 所围成的三角形的面积为定值,22.解:(1)由原方程得sin x = kx (x ≠ 0) ,设函数 f (x ) = sin x , g (x ) = kx (x ≠ 0) ,它们的图象如图所示:方程得sin x = kx (x ≠ 0) 在(-3π, 0) (0, 3π) 内有且仅有 4 个根, x 4 必是函数 g (x ) = kx 与 f (x ) = sin x 在(2π,5π) 内相切时切点的横坐标,即切点为(x , sin x ) , g (x ) = kx 是 f (x ) = sin x 的切线.24 4由 f '( x ) = cos x ,∴ k = cos x 4 ,又∵ sin x 4 = kx 4 ,于是 x 4 = tan x 4 .1(2)由题设知 x 2 = -x 3 ,又 x 2 , x 3 , x 4 成等差数列,得2x 3 = x 2 + x 4 ,∴ x 3 = 3x 4 .1 1 1由sin x 3 = kx 3 ,得sin 3 x 4 = 3 kx 4 ,即sin x 4 = 3sin 3 x 4 .由题设 x ∈(2π, 5π) ,得 x 4 ∈( 2π , 5π) ,42 ∴ sin x 4 ∈ 13 3 6x 4 3 3( , ) ,有3sin 3 ∈( , ) ,即sin x 4 ∈( , ) ,与sin x 4 < 1 矛盾!故不存在常数 k 使得 x 2 , x 3 , x 4 成等差数列yxO2 36x3 3 3 2 2 3 2 2 2 2。
[精品]新人教A版选修2-2高中数学第一章 导数及其应用 综合检测和答案
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第一章导数及其应用综合检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1[答案] A[解析] y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.2．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为( ) A．v＝2sin t＋2t cos t＋1B．v＝2sin t＋2t cos tC．v＝2sin tD．v＝2sin t＋2cos t＋1[答案] A[解析] 因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sin t＋2t cos t＋1，故选A.3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是( )A．4B．5C ．6D ．7 [答案] D[解析] 由导数的几何意义知，曲线y ＝x 2＋3x 在点A (2,10)处的切线的斜率就是函数y ＝x 2＋3x 在x ＝2时的导数，y ′|x ＝2＝7，故选D.4．函数y ＝x |x (x －3)|＋1( ) A ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝1 B ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (3)＝1 C ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝f (3)＝1 D ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (3)＝1，f (－1)＝－3 [答案] B[解析] y ＝x |x (x －3)|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x 2＋1 (x <0或x >3)－x 3＋3x 2＋1 (0≤x ≤3)∴y ′＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－6x (x <0或x >3)－3x 2＋6x (0≤x ≤3)x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：极大极小故应选B.5．(2009·安徽理，9)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是( ) A．y＝2x－1B．y＝xC．y＝3x－2D．y＝－2x＋3[答案] A[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式．∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，∴f(2－x)＝2f(x)－x2－4x＋4，∴f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，切线方程为y －1＝2(x－1)，∴y＝2x－1.6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于( )A．2B．3C．4D．5[答案] D[解析] f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3时取得极值，∴x＝－3是方程3x2＋2ax＋3＝0的根，∴a＝5，故选D.7．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)[答案] D[解析] 令F(x)＝f(x)·g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知f(0)＝0，∴F(0)＝0.又由g(－3)＝0，知g(3)＝0∴F(－3)＝0，进而F(3)＝0于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示∴F(x)＝f(x)·g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D.8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ [答案] B[解析] ③不正确；导函数过原点，但三次函数在x ＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B.9．(2010·湖南理，5)⎠⎜⎛241xd x 等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2 [答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x，所以 ⎠⎜⎛241x dx ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2. 10．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确 [答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7)＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.11．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( )A ．有最大值152B ．有最大值－152C ．有最小值152D ．有最小值－152[答案] B[解析] 由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在[－1,2]上，f ′(x )≤0恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0f ′(2)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c －3≥04b ＋c ＋12≤0令b ＋c ＝z ，b ＝－c ＋z ，如图过A ⎝⎛⎭⎪⎫－6，－32得z 最大，最大值为b ＋c ＝－6－32＝－152.故应选B.12．设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (x ) [答案] C[解析] 令F (x )＝f (x )g (x )则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0 f (x )、g (x )是定义域为R 恒大于零的实数∴F (x )在R 上为递减函数，当x ∈(a ，b )时，f (x )g (x )>f (b )g (b )∴f (x )g (b )>f (b )g (x )．故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13.⎠⎜⎛－2－1d x(11＋5x )3＝________. [答案]772[解析] 取F (x )＝－110(5x ＋11)2，从而F ′(x )＝1(11＋5x )3则⎠⎜⎛－2－1d x(11＋5x )3＝F (－1)－F (－2)＝－110×62＋110×12＝110－1360＝772.14．若函数f (x )＝ax 2－1x的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫ax －1x ′＝a ＋1x 2，由题意得，a ＋1x2≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥－1x2，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.15．(2009·陕西理，16)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线l ：y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，x ＝nn ＋1，∴a n ＝lgnn ＋1，∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg 12×23×…×99100＝lg 1100＝－2.16．如图阴影部分是由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成，则其面积为________．[答案] 23＋ln2[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x得交点B ⎝⎛⎭⎪⎫2，12.故所求面积S ＝⎠⎜⎛01x d x ＋⎠⎜⎛121x d x ＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)．(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)求曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x得x 1＝0，x 2＝2.由图可知，所求图形的面积为S ＝⎠⎜⎛02(2x －x 2)d x ＋|⎠⎜⎛02(2x 2－4x )d x |＝⎠⎜⎛02(2x －x 2)d x －⎠⎜⎛02(2x 2－4x )d x . 因为⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3′＝2x －x 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2′＝2x 2－4x ， 所以S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪⎪2－⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2⎪⎪⎪⎪2＝4.19．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)． (1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值点．[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想．[解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )没有极值点．当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． 20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[解析] (1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝x ＋1x，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． (2)设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围． [分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题．[解析] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立．所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时f ′(x )>0.所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52.22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋1(a ∈R )．(1)若函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上递减，求a 的值；(2)当x ∈[0,1]时，设函数y ＝f (x )图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求θ的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数m ，使得函数g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象与函数y ＝f (x )的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m 的值；若不存在，试说明理由．[解析] (1)依题意f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，由f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，得－3⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ·23＝0，即a ＝1.(2)当x ∈[0,1]时，tan θ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a23.由a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，得a 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.①当a 3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3时，f ′(x )max ＝a 23，f (x )min ＝f ′(0)＝0.此时0≤tan θ≤a 23.②当a3∈(1，＋∞)，即a ∈(3，＋∞)时，f ′(x )max ＝f ′(1)＝2a－3，f ′(x )min ＝f ′(0)＝0，此时，0≤tan θ≤2a －3.又∵θ∈[0，π)，∴当32<a ≤3时，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，arctan a 23，当a >3时，θ∈[0，arctan(2a －3)]．(3)函数y ＝f (x )与g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象恰有3个交点，等价于方程－x 3＋x 2＋1＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1恰有3个不等实根，∴x 4－4x 3＋(1－m )x 2＝0，显然x ＝0是其中一个根(二重根)，方程x 2－4x ＋(1－m )＝0有两个非零不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16－4(1－m )>01－m ≠0∴m >－3且m ≠1故当m >－3且m ≠1时，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象恰有3个交点．。
人教新课标版数学高二人教A版选修2-2测评 第一章 导数及其应用(A卷)
单元测评(一) 导数及其应用(A 卷)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分． 1．下列各式正确的是( ) A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数) B ．(cos x )′＝sin x C ．(sin x )′＝cos x D ．(x －5)′＝－15x －6解析：由导数公式知选项A 中(sin a )′＝0；选项B 中(cos x )′＝－sin x ；选项D 中(x －5)′＝－5x －6.只有C 正确．答案：C2．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2， ∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案：A3．已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )．且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0解析：f(x)为奇函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递增，f′(x)>0；g(x)为偶函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递减，g′(x)<0.答案：B4．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝()A．2B．3 C．4D．5解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f′(－3)＝0.∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a＝5.答案：D5．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点．答案：A6．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列结论正确的是()A ．在区间(－2,1)内f (x )是增函数B ．在区间(1,3)内f (x )是减函数C ．在区间(4,5)内f (x )是增函数D ．在x ＝2时，f (x )取极小值解析：由图象可知，当x ∈(4,5)时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(4,5)内为增函数． 答案：C7．若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )A ．－5B ．7C ．10D ．－19解析：∵y ′＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x ＋1)(x －3)， ∴函数在[－2，－1]内单调递减， 最大值为f (－2)＝2＋a ＝2.∴a ＝0，最小值为f (－1)＝a －5＝－5. 答案：A8．曲线y ＝x 2－1与x 轴围成图形的面积等于( ) A.13B.23C ．1D.43解析：函数y ＝x 2－1与x 轴的交点为(－1,0)，(1,0)，且函数图象关于y 轴对称，故所求面积为S ＝2⎠⎛1(1－x 2)d x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 3|10＝2×23＝43.答案：D9．设f(x)＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e ]，则⎠⎛0e f(x)d x 等于( )A .43B .54C .65D .76解析：⎠⎛0e f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1x d x＝13x 3|10＋ln x |e1＝43. 答案：A10．若函数f(x)在R 上可导，且f (x )>f ′(x )，则当a >b 时，下列不等式成立的是( )A ．e a f (a )>e b f (b )B ．e b f (a )>e a f (b )C ．e b f (b )>e a f (a )D ．e a f (b )>e b f (a ) 解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )e x ′＝e x f ′(x )－e x f (x )(e x )2＝e x [f ′(x )－f (x )](e x )2<0，∴y ＝f (x )e x 单调递减，又a >b ， ∴f (a )e a <f (b )e b ， ∴e a f (b )>e b f (a )． 答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．如果函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在区间(0,1)内存在与x 轴平行的切线，则实数b 的取值范围是________．解析：存在与x 轴平行的切线，即f ′(x )＝3x 2－6b ＝0有解． 又∵x ∈(0,1)，∴b ＝x 22∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1212．函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ＝________. 解析：∵y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，∴⎩⎨⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，⇒⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3时，y ′＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，函数无极值，故a ＝4，b ＝－11.答案：413．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为________．解析：设圆柱的高为h ，底面半径为R ，根据条件4R ＋2h ＝4，得h ＝2－2R,0<R <1.∴V ＝πR 2h ＝πR 2(2－2R )＝2πR 2－2πR 3，由V ′＝4πR －6πR 2＝0得R ＝23，且当R ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23时，函数V 递增；R ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1时，函数V 递减，故R ＝23时，V 取最大值827π. 答案：827π14．一动点P 从原点出发，沿x 轴运动，其速度v (t )＝2－t (速度的正方向与x 轴的正方向一致)，则t ＝3时，动点P 移动的路程为________．解析：由v (t )＝2－t ≥0得0≤t ≤2， ∴t ＝3时，点P 移动的路程为 s ＝⎠⎛02(2－t)d t －⎠⎛23(2－t)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t 2|20－⎝⎛⎭⎪⎫2t －12t 2|32＝52.答案：52三、解答题：本大题共4小题，满分50分． 15．(12分)已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在x ＝2处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 解：(1)∵y ′＝x 2，∴在点P(2,4)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. 又x ＝2时y ＝4，∴在点P(2,4)处的切线方程：4x －y －4＝0.4分(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.8分∵点P(2,4)在切线上，∴x 30－3x 20＋4＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1，x 0＝2.故所求的切线方程为y ＝x ＋2或y ＝4x －4，即4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.12分16．(12分)设函数f(x)＝a e x＋1a e x ＋b(a>0)．(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b的值．解：(1)f ′(x)＝a e x－1a e x ，当f ′(x)>0，即x>－ln a 时，f(x)在(－ln a ，＋∞)上递增； 当f ′(x)<0，即x<－ln a 时，f(x)在(－∞，－ln a)上递减． ①当0<a<1时，－ln a>0，f(x)在(0，－ln a)上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(－ln a)＝2＋b ；②当a ≥1时，－ln a ≤0，f(x)在[0，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(0)＝a ＋1a ＋b.6分(2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32，解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)．所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12. 故a ＝2e 2，b ＝12.12分17．(12分)若函数f(x)＝ax 2＋2x －43ln x 在x ＝1处取得极值． (1)求a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间及极值． 解：(1)f ′(x)＝2ax ＋2－43x ， 由f ′(1)＝2a ＋23＝0，得a ＝－13.4分 (2)f(x)＝－13x 2＋2x －43ln x(x>0)．f ′(x)＝－23x ＋2－43x ＝－2(x －1)(x －2)3x 由f ′(x)＝0，得x ＝1或x ＝2.8分 ①当f ′(x)>0时1<x<2； ②当f ′(x)<0时0<x<1或x>2.当x 变化时f ′(x)，f(x)的变化情况如下：↘↘∞)．函数的极小值为f(1)＝53，极大值为f(2)＝83－43ln 2.12分 18．(14分)已知两个函数f(x)＝7x 2－28x －c ，g(x)＝2x 3＋4x 2－40x.(1)若对任意x ∈[－3,3]，都有f(x)≤g(x)成立，求实数c 的取值范围；(2)若对任意x 1∈[－3,3]，x 2∈[－3,3]，都有f(x 1)≤g(x 2)成立，求实数c 的取值范围．解：(1)∵f(x)≤g(x)恒成立， ∴c ≥(－2x 3＋3x 2＋12x)max .令F(x)＝－2x 3＋3x 2＋12x ，x ∈[－3,3]， ∴F ′(x)＝－6x 2＋6x ＋12，x ∈[－3,3]，令F′(x)＝0得x＝－1或x＝2.∴当x∈[－1,2]，f′(x)≥0，f(x)单调递增，当x∈[－3，－1)或x∈(2,3]，f′(x)<0，f(x)单调递减，4分又∵F(2)＝20，F(－3)＝45，∴F(x)max＝F(－3)＝45，∴c≥45.7分(2)∵f(x1)＝7(x1－2)2－28－c，x1∈[－3,3]，∴f(x1)max＝f(－3)＝147－c，∵g(x)＝2x3＋4x2－40x，∴g′(x)＝6x2＋8x－40.∵x∈[－3,3]，∴当x∈[－3,2]时，g′(x)≤0，g(x)单调递减；x∈(2,3)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．∴x2∈[－3,3]时，g(x2)min＝g(2)＝－48.10分又∵f(x1)≤g(x2)对任意x1，x2∈[－3,3]都成立，∴147－c≤－48，即c≥195，即实数c的取值范围为[195，＋∞).14分。
人教A版选修2-2第一章导数及其应用单元测试试卷(导数的应用,定积分,微积分基本定理)含答案
高二数学第一章单元测试试题（满分150分 时间 120分钟） （导数的应用，定积分，微积分基本定理）一、选择题(每小题5分)1．()220310x k dx +=⎰，则k =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知()60cos 1x t dx π-=⎰，则常数t 的值为（）A ．3π-B ．1π-C ．32π-D ．52π-3．下列关于积分的结论中不正确的是（ ） A ．11cos d 0x x x -=⎰B ．111sin d 2sin d x x x x x x -=⎰⎰C ．若()f x 在区间[],a b 上恒正，则()d 0ba f x x >⎰D ．若()d 0ba f x x >⎰，则()f x 在区间[],ab 上恒正4．若220a x dx =⎰，230b x dx =⎰，2sin c xdx =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．a c b <<5．设[](]2,0,1,(){1,1,e x x f x x x∈=∈（其中为自然对数的底数），则0()ef x dx ⎰的值为（ ）A ．43B ．54C ．65D ．6．函数()3234f x x x =+-的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量()0390x x ≤≤的关系是()3400900x R x x =-+，0390x ≤≤，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是（ ）A ．150B ．200C ．250D ．3008．已知,由抛物线2y x =、x 轴以及直线1x =所围成的曲边区域的面积为S.如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S.所谓“分之弥细,所失弥少”,这就是高中课本中的数列极限的思想.由此可以求出S 的值为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．259．用S 表示图中阴影部分的面积，若有6个对面积S 的表示，如图所示，()caS f x dx =⎰①；()caS f x dx =⎰②；()c a S f x dx =⎰③；()()b ca bS f x dx f x dx =-⎰⎰④；()()c b baS f x dx f x dx =-⎰⎰⑤；()()b cabS f x dx f x dx =-⎰⎰⑥.则其中对面积S 的表示正确序号的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．函数f （x ）1lnxx =+的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．11．已知函数()22f x ax x a =-+，对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],0-∞B ．4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],1-∞D ．[]1,0-12．设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题(每小题5分)13．1||-1x e dx ⎰值为______．14．已知实数x ，y 满足不等式组2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，且z =2x -y 的最大值为a ，则1e a dxx⎰=______．15．已知函数()()32,f x x ax bx a b R =++∈的图象如图所示，它与直线0y =在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为274，则a 的值为_________16．若()f x 在R 上可导, 2()2(2)3f x x f x ='++,则3()=f x dx ⎰____________.三、解答题(17题10分，其他每小题12分)17．已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()12f -=，()00f '=，10()2f x dx =-⎰，求a 、b 、c 的值．18．设()x f 连续，且()x f =⎰+10)(2dt t f x ,求)(x f .19.设函数f(x)=a x 3+bx+c(a>0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f'(x)的最小值是-12,求a,b,c 的值.20．已知函数()32f x x ax bx c =+++在1x =处有极值,其导函数()f x ¢的图象关于直线13x =对称.（1）说明()f x 的单调性；（2）若函数()f x 的图象与()22g x x x =-的图象有且仅有三个公共点,求c 的取值范围．21.已知函数f (x )=x 3-ax 2+bx+c(a,b,c ∈R),(1)若函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,试求a,b 的值;(2)在(1)的条件下,当x ∈[-2,6]时,f(x)<2|c|恒成立,求c 的取值范围. 22.已知函数f(x)=ln x −ax .(1)当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性; (2)若f(x)在区间[1,e]上的最小值为32,求a 的值;(3)设g(x)=ln x-a,若g(x)<x 2在区间(0,e]上恒成立,求a 的取值范围.参考答案1．∵()223x k dx +⎰()332|220x kx k =+=+． 由题意得：32210k +=， ∵1k =．2．因为()60cos 1x t dx π-=⎰，所以()60sin |1x tx π-=，所以3t π=-3．对于A ，函数cos y x x =是R 上的奇函数,11cos d 0x x x -=⎰正确；对于B ，因为函数sin y x x =是R 上的偶函数，所以1110sin d 2sin d x x x x x x -=⎰⎰正确；对于C ，因为()f x 在区间[],a b 上恒正，所以()f x 图象都在x 轴上方，故()d 0ba f x x >⎰正确； 对于D ，若()d 0ba f x x >⎰，可知()f x 的图象在区间[],ab 上，在x 轴上方的面积大于下方的面积，故选项D 不正确.4．由题得22320018|33a x dx x ===⎰，2342001|44b x dx x ===⎰，2200sin cos |cos 21c xdx x ==-=-+⎰，则23,3,12a b c <<<，所以c a b <<，故A ．5．0()ef x dx⎰.6．由()()32234'36f x x x f x x x =+-⇒=+，令()'0f x =得0x =或2x =-，当()(),2,0,x ∈-∞-+∞时，()f x 单调递增，当()2,0x ∈-时，函数单调递减，()()20,04f f -==-，画出函数图像，如图所示：故函数图像有两个零点,故C7．设总利润为334001002000030020000900900()x x x x x P x -+--=-+-=（0390x ≤≤） ，2'()300300x P x =-+（0390x ≤≤），令'()0P x =，可得300x =， 当0300x ≤≤时，'()0P x >,当300390x <≤时，'()0P x <，当300x =时，()P x 取得最大值.8．由题意有2311111=(10)00333S x dx x ⎰==⨯-=，即由抛物线2y x =、x 轴、直线1x =所围成的曲边区域的面积为13，故B. 9．由定积分的几何意义知，区域内的面积为：()+()cbbaf x dx f x dx ⎰⎰，又当[],x a b ∈时，()0f x ≤，当[],x b c ∈时，()0f x ≥， 所以()+()=()()()()cb c bbbabaacbf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，或者()()()()|()||()|=|()|cb c b c b cbababaaf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以∵，∵，∵是正确的.故B.10．由f (x )1lnxx =+,得f ′(x )211(0)(1)lnx x x x +-=>+, 令g (x )＝11lnx x +-,则g ′(x )22111xx x x+=--=-＜0,所以g (x )在(0,+∞)上单调递减,又g (e )1e=＞0,g (e 2)2221111lne e e =+-=-＜0,∴存在x 0∵(e ,e 2),使得g (x 0)＝0,∴当x ∵(0,x 0)时,g (x )＞0,f ′(x )＞0; 当x ∵(x 0,+∞)时,g (x )＜0,f ′(x )＜0,∴f (x )在(0,x 0)上单调递增,在(x 0,+∞)上单调递减.故C .11．函数()22f x ax x a =-+,对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤,当[]1,2x ∈时,()0f x ≤即220ax x a -+≤,即为()221a x x +≤,可化为()212x a x ≤+ 令()22()1x g x x +=,则()()22'22221)22((12(212))x x x x g x x x -++-++== 当[]1,2x ∈时,'()0g x <,单调递减. ∴()min 2224()(2)152g x g ⨯==+=∴min 4()5a g x ≤=故实数a 的取值范围是4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故B12设()()e 21x g x x =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当21x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.∴函数()y g x =的最小值为11222g e ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.又()01g =-，()10g e =>.直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ，故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故D.13．22e -.因为||x y e =是偶函数，11||110-122|2()2(1)x x x e dx e dx e e e e ∴===-=-⎰⎰， 14．6作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z =2x -y 得y =2x -z ，平移直线y =2x -z ，由图象可知当直线y =2x -z 经过点B 时，直线y =2x -z 的截距最小，此时z 最大．由220y x y =⎧⎨--=⎩，得(4,2)B ，即a =z max =2×4-2=6，则1e a dx x ⎰=16e dx x ⎰=6lnx 1|e =6．15．-3．2'()32f x x ax b =++，由题意'(0)0f b ==，32()f x x ax =+，()00f x x x a =⇒==-或，易知0a <，3243401127()()|043124aa a x ax dx x x a --+=+=-=-⎰，所以3a =-．16．-18()()'22'2f x x f =+，令2x =，则()'24f =-，∴()283f x x x =-+，()()3320083f x dx x x dx =-+⎰⎰323043|183x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，故填18-.17． ∵()12f -=，∵2a b c -+=．∵ 又∵()2f x ax b '=+，∵()00f b '==．∵ 而()1120()f x dx ax bx c dx =++⎰⎰，取3211()32F x ax bx cx =++，则()2F x ax bx c '=++，∵1011()(1)(0)232f x dx F F a b c =-=++=-⎰.∵ 解∵∵∵得6a =，0b =，4c =-． 18．记10()a f t dt =⎰,则()2f x x a =+两端积分得111()(2)22f x dx x a dx a =+=+⎰⎰, 122a a =+,12a =-. ∴()1f x x =-19.解:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即-ax 3-bx+c=-ax 3-bx-c,∴c=0. ∵f'(x)=3ax 2+b 的最小值为-12,且a>0,∴b=-12.又f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直. ∴f'(1)=3a+b=-6,∴a=2. 综上可得,a=2,b=-12,c=0.20． （1）()232f x x ax b '=++,由已知得()10133f a ⎧=⎪⎨-='⎪⎩，即3201a b a ++=⎧⎨=-⎩，解得:11a b =-⎧⎨=-⎩，()()()2321311x x x x f x --=+'-= 由()0f x ¢>，得()1,31,x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝∞⎭+U ， 由()0f x ¢<，得1,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴()f x 在区间1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+?上单调递增，1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； （2）由（1）知()32f x x x x c =--+,()()322f x g x x x x c -=-++, 设()322F x x x x c -=++,则()()()2341311F x x x x x '=-+=--,令()0F x '=,得1x =或1x =,列表：两个图象有且仅有三个公共点,只需()12703410F c F c ⎧⎛⎫=+>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=<⎩,解得4027c -<<.∵c 的取值范围是4,027⎛⎫- ⎪⎝⎭. 21解:(1)f'(x)=3x 2-2ax+b.∵函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值, ∴-1,3是方程3x 2-2ax+b=0的两根.∴{-1+3=2a3,-1×3=b3,∴{a =3,b =-9. (2)由(1)知f(x)=x 3-3x 2-9x+c, f'(x)=3x 2-6x-9.∴当x ∈[-2,6]时,f(x)的最大值为c+54, 要使f(x)<2|c|恒成立,只要c+54<2|c|即可, 当c≥0时,c+54<2c,∴c>54; 当c<0时,c+54<-2c,∴c<-18, ∴c ∈(-∞,-18)∪(54,+∞).故c 的取值范围为(-∞,-18)∪(54,+∞).22.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x )=1x +ax =x+a x .因为a>0,x>0,所以f'(x)>0,因此f(x)在区间(0,+∞)内是增函数. (2)由(1)知f'(x )=x+a x .①若a≥-1,则x+a≥0,从而f'(x)≥0(只有当a=-1,x=1时,f'(x)=0),即f'(x)≥0在区间[1,e]上恒成立,此时f(x)在区间[1,e]上为增函数.所以f(x)的最小值为f(1)=-a =32,即a=−32,不符合题意,舍去. ②若a≤-e,则x+a≤0,从而f'(x)≤0(只有当a=-e,x=e 时,f'(x)=0),即f'(x)≤0在区间[1,e]上恒成立,此时f(x)在区间[1,e]上为减函数.所以f(x)的最小值为f(e)=1−ae =32,即a=−e2,不符合题意,舍去. ③若-e<a<-1,由f'(x)=0,得x=-a,当1<x<-a 时,f'(x)<0,即f(x)在区间(1,-a)内为减函数;当-a<x<e 时,f'(x)>0,即f(x)在区间(-a,e)内为增函数,所以x=-a 是函数f(x)在区间(1,e)内的极小值点,也就是它的最小值点,因此f(x)的最小值为f(-a)=ln(-a)+1=32,即a=−√e.综上,a=−√e.(3)g(x)<x2即ln x-a<x2,所以a>ln x-x2,故g(x)<x2在区间(0,e]上恒成立,也就是a>ln x-x2在(0,e]上恒成立.令h(x)=ln x-x2,则h'(x)=1x −2x=1-2x2x,由h'(x)=0及0<x≤e,得x=√22.当0<x<√22时,h'(x)>0;当√22<x≤e时,h'(x)<0,即h(x)在区间(0,√22)内为增函数,在区间(√22,e]上为减函数,所以当x=√22时,h(x)取得最大值为ℎ(√22)=ln√22−12.所以当g(x)<x2在区间(0,e]上恒成立时,a的取值范围为(ln√22-12,+∞).。
【高中数学选修2-2：第一章-导数及其应用-单元测试题
【高中数学选修2-2：第一章-导数及其应用-单元测试题数学选修2-2第一章单元测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝2x ＋1x 2在同一点处取得相同的最小值，那么f (x )在[12，2]上的最大值是( )A.134 B.54 C ．8D ．43．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A ．[0，π2]B ．[0，π2]∪[34π，π)x＝1的对称点B也在函数f(x)的图像上．19．(12分)设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求常数a，b；(2)试判断x＝－2，x＝4是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12分)已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．21．(12分)(2010·重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．22．(12分)已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋1－x1＋x，x≥0，其中a>0.(1)若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围．参考答案 1.答案 A解析 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1、x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A解析 因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272.不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.5.答案 A解析 f (x )＝cos 2x －cos x －1，∴f ′(x )＝－2sin x ·cos x ＋sin x ＝sin x ·(1－2cos x )． 令f ′(x )>0，结合选项，选A. 6.答案 D 7.答案 D 8.答案 A 9.答案 B解析 设f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，当x∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )在(0,2)上为减函数，又f (0)f (2)＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫83－4a ＋1＝113－4a <0， f (x )＝0在(0,2)上恰好有一个根，故选B. 10.答案 D 11.答案 C解析 数形结合，如图．⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x)d x ＝ ⎪⎪⎪13x 310⎪⎪⎪＋(2x －12x 2)21＝13＋(4－2－2＋12) ＝56，故选C . 12.答案 A解析 f ′(x)＝x cos x －sin xx 2，令g(x)＝x cos x －sin x ，则g ′(x)＝－x sin x ＋cos x －cos x ＝－x sin x.∵0<x<1，∴g ′(x)<0，即函数g(x)在(0,1)上是减函数，得g(x)<g(0)＝0，故f ′(x)<0，函数f(x)在(0,1)上是减函数，得a>b ，故选A .13.答案 23解析 f ′(x)＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23.14.答案 c<a<b解析 f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，因为f ′(x)＝1＋cos x ≥0，故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，∵π2>π－2>1>π－3>0，∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c<a<b.15.答案 f(x)＝23x ＋83解析 设函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)，因为函数f(x)的图像过点(2,4)，所以有b ＝4－2a.∴⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01 (ax ＋4－2a)d x＝[12ax 2＋(4－2a)x] |10＝12a ＋4－2a ＝1.∴a ＝23.∴b ＝83.∴f(x)＝23x ＋83.16.答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.17.解析 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 3310＝12－13＝16. 又⎩⎨⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标x 3＝0，x 4＝1－k ，所以S2＝⎠⎛01-k (x －x 2－kx)d x ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－k 2x 2－x 331－k 0＝16(1－k)3. 又S ＝16，所以(1－k)3＝12，∴k ＝1－342.18.解析 (1)由函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]单调递增，在区间[1,2)单调递减，∴x ＝1时，取得极大值，∴f ′(1)＝0. 又f ′(x)＝4x3－12x2＋2ax ， ∴4－12＋2a ＝0⇒a ＝4.(2)点A(x0，f(x0))关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(2－x0，f(x0))，f(2－x0)＝(2－x0)4－4(2－x0)3＋4(2－x0)2－1 ＝(2－x0)2[(2－x0)－2]2－1 ＝x40－4x30＋ax20－1＝f(x0)，∴A 关于直线x ＝1的对称点B 也在函数f(x)的图像上． 19.解析 f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b. (1)由极值点的必要条件可知：f ′(－2)＝f ′(4)＝0，即⎩⎨⎧12－4a ＋b ＝0，48＋8a ＋b ＝0，解得a ＝－3，b ＝－24.或f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b ＝3(x ＋2)(x －4) ＝3x2－6x －24， 也可得a ＝－3，b ＝－24. (2)由f ′(x)＝3(x ＋2)(x －4)．当x ＜－2时，f ′(x)＞0，当－2＜x ＜4时，f ′(x)＜0. ∴x ＝－2是极大值点，而当x ＞4时，f ′(x)＞0， ∴x ＝4是极小值点．20.解析 a ≠0(否则f(x)＝b 与题设矛盾)，由f′(x)＝3ax2－12ax＝0及x∈[－1,2]，得x＝0.(1)当a＞0时，列表：x (－1,0) 0 (0,2)f′(x) ＋0 －f(x) 增极大值b 减由上表知，f(x)在[－1,0]上是增函数，f(x)在[0,2]上是减函数．则当x＝0时，f(x)有最大值，从而b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，∵a＞0，∴f(－1)＞f(2)．从而f(2)＝－16a＋3＝－29，得a＝2.(2)当a＜0时，用类似的方法可判断当x＝0时f(x)有最小值．当x＝2时，f(x)有最大值．从而f(0)＝b＝－29, f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－2.综上，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.21.解析(1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b.因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的解析式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2.令 g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数；当－2<x <2时， g ′(x )>0，从而g (x )在[－2，2]上是增函数．由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43. 22.分析 解答本题，应先正确求出函数f (x )的导数f ′(x )，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．解析 (1)f ′(x )＝aax ＋1－2(1＋x )2＝ax 2＋a －2(ax ＋1)(1＋x )2， ∵f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝0，即a ·12＋a －2＝0，解得a ＝1. (2)f ′(x )＝ax 2＋a －2(ax ＋1)(1＋x )2，∵x≥0，a>0，∴ax＋1>0.①当a≥2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)>0，∴f(x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当0<a<2时，由f′(x)>0，解得x> 2－a a.由f′(x)<0，解得x< 2－a a.∴f(x)的单调减区间为(0, 2－aa)，单调增区间为(2－aa，＋∞)．(3)当a≥2时，由(2)①知，f(x)的最小值为f(0)＝1；当0<a<2，由(2)②知，f(x)在x＝2－aa处取得最小值，且f(2－aa)<f(0)＝1.综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是[2，＋∞)．。
数学人教A版选修2-2章末测试：第一章导数及其应用A pdf版含解析
B．在 x＝0 处取极小值
C．在(4，＋∞)上为减函数
D．在 x＝2 处取极大值
8．已知函数 f(x)的导数 f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，且 f(x)在 x＝a 处取得极大值，则实数 a
的取值范围是( )
A．a＞－1
B．－1＜a＜0ห้องสมุดไป่ตู้
C．0＜a＜1
D．a＞1
9．如果圆柱的轴截面的周长 l 为定值，则体积的最大值为( )
13．函数 f(x)＝(x2－3)ex 在[0,2]上的最大值为__________．
14．若 f(x)＝Error!则
1 1
f(x)dx＝__________.
15．函数 f(x)＝x3－3ax＋b(a＞0)的极大值为 6，极小值为 2，则 f(x)的减区间是
__________．
三、解答题(本大题共 4 小题，共 25 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
1－2ln e 1
∴f′(e)＝ e3 ＝－e3.
答案：D
2．解析：f′(x)＝1＋ex，k＝f′(1)＝1＋e.
∵f(1)＝1＋e，
∴切线方程为 y－(1＋e)＝(1＋e)(x－1)，
即(1＋e)x－y＝0.
答案：A a
3．解析：f′(x)＝x＋1，令 f′(x)＝0，得 x＝－a，
所以函数 f(x)在 x＝－a 处取得极值，
( )l
A． 6 3π
( )l
B． 3 3π
( )l
C． 4 3π
( )1 l
D．4 4 3π
1 10．若 f(x)＝－2x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数 b 的取值范围是( )
A．[－1，＋∞)
高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.1知识点总结含同步练习及答案
导数的几何意义当点趋近于点时，割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
)．
．
．
．
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解析：图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度．
答案：解析：4. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数 的图象大致为
．
A ．
B ．
C
．D ．
A
导函数 为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时，面积率由 开始，逐渐增多，当一个角
都出完了，则面积率一下由最大开始减小，当出最后两个角时，面积率会先增加，然后减小到 ．
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。
高中数学人教A选修2-2导数及其应用一测试题
高中数学人教A选修2-2导数及其应用一测试题《数学选修2-2》导数及其应用(一)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1、若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导,且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+-- 的值为( )A.0()f x ' B.02()f x ' C.02()f x '- D.0 2、一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒 D.8米/秒3、曲线xxy 43-=在点(1,3)-处的切线倾斜角为( )A.34πB.2πC.4π D.6π 4、曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-,则0p 点的坐标为( )A.(1,0)B.(2,8)C.(2,8)和(1,4)--D.(1,0)和(1,4)--5、若()sin cos f x x α=-,则()f α'等于( ) A.cos α B .sin α C.sin cos αα+ D.2sin α6、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( )A.430x y --=B.450x y +-=C.430x y -+=D.430x y ++=7、对正整数n ,设曲线)1(x x y n-=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为na ,则 数列1na n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是( ) A.2nB.22n- C.12n +D.122n +-8、已知32()967,f x ax x x =++-若(1)4f '-=,则a 的值等于( )A.193B.163C.103D.1339、二次函数()y f x =的图象过原点,且它的导函数()y f x '=的图象过第一、二、三象限的一条直线,则函数()y f x =的图象的顶点所在象限是( )A.第一B.第二C.第三D.第四10、已知函数)(x f y =的图象在点M (1,f (1))处的切线方程是x y 21=+2,则(1)(1)f f '+的值等于( ) A.1 B.52C.3D.011、下列式子不．正确的是( ) A.()23cos 6cos sin xx x x x x x'+=+-B.23112ln x x x x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C. ()sin 22cos2x x '=D.2sin cos sin x x xx x '-⎛⎫=⎪⎝⎭12、设a ∈R ,函数()ee xxf x a -=+⋅的导函数是()f x ',且()f x '是奇函数.若曲线()y f x =的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为 ( ) A.ln 2 B.ln 2- C.ln 22 D.ln 22-第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)13、已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆xy. 14、曲线32242y xx x =--+在点(1,一3)处的切线方程是___________15、在平面直角坐标系xoy 中,点P 在曲线3:103C y x x =-+上,且在第二象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,则点P 的坐标为 .16、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,0)1(=f ,0)()(2>-'x x f x f x (0)x >,则不等式()0f x >的解集是 .三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12分) 已知函数))(2ln(2)(2R a x axx f ∈-+=,设曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线为l ,若l 与圆41:22=+y x C 相切,求a的值.18、(12分) 设函数()cos(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<,且()()f x f x '+为奇函数.(1)求ϕ的值; (2)求()'()f x f x +的最值.19、(12分)已知a ∈R ,函数2()()f x x x a =-,若(1)1f '=.(1)求a 的值并求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程()y g x =;(2)设()()()h x f x g x '=+,求()h x 在[0,1]上的最大值与最小值.20、(12分) 设函数3()f x axbx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线1870x y +-=垂直,导函数'()f x 的最小值为12. (1)求a ,b ,c 的值; (2)设2()()f x g x x =,当0x >时,求()g x 的最小值.21、(12分)设函数()b f x ax x=-,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=.(1)求()f x 的解析式;(2)证明:曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值,并求此定值.22、(14分)已知关于x 的方程sin ((0,1))xk k x=∈在(3,0)(0,3)-ππU 内有且仅有4个根,从小到大依次为1234,,,x x x x .(1)求证:44tan xx =;(2)是否存在常数k ,使得234,,x x x 成等差数列?若存在求出k 的值,否则说明理由.参考答案1.B 000000()()()()lim lim 2[]2h h f xh f x h f x h f x h h h→→+--+--=0000()()2lim2()2h f x h f x h f x h→+--'==.2.C ()21,(3)2315s t t s ''=-=⨯-=.3.A 21334,|1,tan 1,4x y xk y αα=''=-==-=-=π.4.D 设切点为0(,)P a b ,22()31,()314,1f x xk f a a a ''=+==+==±,把1a =-, 代入到3()2f x x x =+-得4b =-;把1a =,代入到3()2f x x x =+-得0b =,所以0(1,0)P 和(1,4)--.5.B ()sin ,()sin f x x f αα''==.6.A 与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=,即4y x =在某一点的导数为4,而34y x '=,所以4y x =在(1,1)处导数为4,此点的切线为430x y --=. 7.D ()()11222,:222(2)n n n x y n y n x --='=-++=-+-切线方程为,令0x =,求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012ny n =+,所以21nna n =+,则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和()12122212nn nS +-==--8.B 2()3186f x axx '=++Q ,由(1)4,f '-=得31864a -+=,即163a =. 9.C 设2(),()2f x axbx f x ax b'=+=+,()f x 'Q 的图象是过第一、二、三象限的一条直线,故20,0a b >>,又22()24b b f x a x a a ⎛⎫=+-⎪⎝⎭,即项点2,24b b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第三象限.10.C 由已知切点在切线上,所以f (1)=25221=+,切点处的导数为切线斜率,所以1(1)2f '＝,所以(1)(1)f f '+＝311.D2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭12.A '()xxf x e ae -=-,()f x '是奇函数'(0)10f a =-=,∴1a =,有'()xxf x ee -=-,设切点为00(,)x y ,则0003'()2x x f x e e -=-=,得02x e =或012x e =-(舍去),∴0ln 2x=.13.3x -∆ 22(1)(1)y x x -+∆=--+∆+-+∆Q∴x x x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(214.520x y +-= 易判断点(1,-3)在曲线32242y x x x =--+上,故切线的斜率()211|344|5x x k y x x =='==--=-,∴切线方程为()351y x +=--,即520x y +-=15.(-2,15) 231022y xx '=-=⇒=±,又点P 在第二象限内,∴2x =-,得点P 的坐标为(-2,15) 16.),1()0,1(+∞-Y 可得()'()f x f x x>,由导数的定义得,当01x <<时,()(1)()1f x f f x x x->-,又0)1(=f ,()(1)()xf x x f x <-,∴()0f x <;当1x >时,同理得()0f x <.又)(x f 是奇函数,画出它的图象得()0f x >⇒(1,0)(1,)x ∈-+∞U .17.解:依题意有:)2(222)(,)1(<-+='=x x ax x f a f , l∴的方程为02)1(2=-+--a y x a l Θ与圆相切,811211)1(4|2|2=⇒=+--∴a a a∴a 的值为118. 18.解:(1)()'()f x f x +3)33)x x ϕϕ=+-+52sin(3)6x πϕ=++,又0ϕ<<π,()'()f x f x +是奇函数,∴=ϕ6π. (2)由(1)得()'()f x f x +3)3x x=+π=-.∴()'()f x f x +的最大值为2,最小值为2-.19、解:(1)2()32f x x ax'=-,由(1)1f '=得321a -=,所以1a =;当1a =时,32()f x x x =-,(1)0f =,又(1)1f '=,所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为01(1)y x -=⨯-,即()1g x x =-; (2)由(1)得22113()313()612h x xx x =--=--,又(0)1h =-,(1)1h =,113()612h =-, ∴()h x 在[0,1]上有最大值1,有最小值1312.20.解:(1)∵()f x 为奇函数,∴()()f x f x -=-,即33ax bx c ax bx c--+=---,∴0c =,又∵2'()3f x axb=+的最小值为12,∴12b =;又直线1870x y +-=的斜率为118- ,因此,'(1)318f a b =+=,∴2a =,∴2a =,12b =,0c =为所求. (2)由(1)得3()212f x x x=+,∴当x >时,2()()f x g x x =662()246x x x x =+≥⋅⋅=,∴()g x 的最小值为6.21.解:(1)方程74120x y --=可化为734y x =-. 当2x =时,12y =. 又2()bf x a x'=+, 于是1222744b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得13a b =⎧⎨=⎩,故3()f x x x =-. (2)设0(,)P x y 为曲线上任一点,由231y x '=+知曲线在点0()P x y ，处的切线方程为002031()y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭,即00200331()y xx x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.xyOπ2π3π令0x =得06y x =-,从而得切线与直线0x =的交点坐标为060x⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 令y x =得02y x x ==,从而得切线与直线y x =的交点坐标为0(22)x x ，. 所以点0(,)P x y 处的切线与直线0x =,y x =所围成的三角形面积为016262x x-=.故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线x =,y x =所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.22.解:(1)由原方程得sin (0)x kx x =≠,设函数()sin f x x=,()g x kx =(0)x ≠,它们的图象如图所示:方程得sin (0)x kx x =≠在(3,0)(0,3)-ππU 内有且仅有4个根,4x 必是函数()g x kx =与()sin f x x =在5(2,)2ππ内相切时切点的横坐标,即切点为44(,sin )x x ,()g x kx =是()sin f x x =的切线.由'()cos f x x =,∴4cos k x =,又∵44sin x kx =,于是44tan xx =.(2)由题设知23x x =-,又234,,x x x 成等差数列,得3242x x x =+,∴3413xx =.由33sin xkx =,得4411sin 33xkx =,即441sin 3sin 3xx =.由题设45(2,)2x π∈π,得425(,)336x ππ∈,∴413sin(,322x ∈,有43333sin(,322x ∈,即4333sin (,22x ∈,与4sin 1x <矛盾!故不存在常数k 使得234,,x x x 成等差数列。
最新人教A版高中数学选修2-2 第一章 导数及其应用 综合检测习题(含答案解析)
第一章导数及其应用综合检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1[答案] A[解析] y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.2．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为( )A．v＝2sin t＋2t cos t＋1B．v＝2sin t＋2t cos tC．v＝2sin tD．v＝2sin t＋2cos t＋1[答案] A[解析] 因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sin t＋2t cos t＋1，故选A.3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是( )A．4B．5C．6D．7[答案] D[解析] 由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x ＝2时的导数，y′|x＝2＝7，故选D.4．函数y＝x|x(x－3)|＋1( )A．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝1B．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1C．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝f(3)＝1D．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1，f(－1)＝－3[答案] B[解析] y ＝x |x (x －3)|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x 2＋1 (x <0或x >3)－x 3＋3x 2＋1 (0≤x ≤3) ∴y ′＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－6x (x <0或x >3)－3x 2＋6x (0≤x ≤3)x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋＋－＋f (x )无极值极大值5极小值1极大极小故应选B.5．(2009·安徽理，9)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3 [答案] A[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式． ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8， ∴f (2－x )＝2f (x )－x 2－4x ＋4， ∴f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，切线方程为y －1＝2(x －1)，∴y ＝2x －1. 6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3， ∵f (x )在x ＝－3时取得极值， ∴x ＝－3是方程3x 2＋2ax ＋3＝0的根， ∴a ＝5，故选D.7．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)[答案] D[解析] 令F(x)＝f(x)·g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知f(0)＝0，∴F(0)＝0.又由g(－3)＝0，知g(3)＝0∴F(－3)＝0，进而F(3)＝0于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示∴F(x)＝f(x)·g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D.8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )A．①②B．③④C．①③D．①④[答案] B[解析] ③不正确；导函数过原点，但三次函数在x＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B.9．(2010·湖南理，5)⎠⎛241xd x 等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2 [答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x，所以 ⎠⎛241xdx ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.10．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确 [答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.11．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( ) A ．有最大值152B ．有最大值－152C ．有最小值152D ．有最小值－152[答案] B[解析] 由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在[－1,2]上，f ′(x )≤0恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0f ′(2)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c －3≥04b ＋c ＋12≤0令b ＋c ＝z ，b ＝－c ＋z ，如图 过A ⎝⎛⎭⎪⎫－6，－32得z 最大， 最大值为b ＋c ＝－6－32＝－152.故应选B.12．设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (x ) [答案] C [解析] 令F (x )＝f (x )g (x )则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0f (x )、g (x )是定义域为R 恒大于零的实数∴F (x )在R 上为递减函数， 当x ∈(a ，b )时，f (x )g (x )>f (b )g (b )∴f (x )g (b )>f (b )g (x )．故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13.⎠⎛－2－1d x(11＋5x )3＝________.[答案]772[解析] 取F (x )＝－110(5x ＋11)2，从而F ′(x )＝1(11＋5x )3则⎠⎛－2－1d x(11＋5x )3＝F (－1)－F (－2) ＝－110×62＋110×12＝110－1360＝772.14．若函数f (x )＝ax 2－1x的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x ′＝a ＋1x2，由题意得，a ＋1x2≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥－1x2，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.15．(2009·陕西理，16)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线l ：y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，x ＝n n ＋1，∴a n ＝lg nn ＋1， ∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg 12×23×…×99100＝lg 1100＝－2.16．如图阴影部分是由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成，则其面积为________．[答案] 23＋ln2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12.故所求面积S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛121xd x＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)求曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 得x 1＝0，x 2＝2.由图可知，所求图形的面积为S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＋|⎠⎛02(2x 2－4x )d x |＝⎠⎛02(2x －x 2)d x －⎠⎛02(2x 2－4x )d x .因为⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3′＝2x －x 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2′＝2x 2－4x ，所以S ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20－⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2⎪⎪⎪2＝4.19．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )没有极值点． 当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． 20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[解析] (1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝x ＋1x，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． (2)设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值；(2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．[分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立． 所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时f ′(x )>0. 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52.22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋1(a ∈R )．(1)若函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上递减，求a 的值； (2)当x ∈[0,1]时，设函数y ＝f (x )图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求θ的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数m ，使得函数g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象与函数y ＝f (x )的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m 的值；若不存在，试说明理由．[解析] (1)依题意f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，由f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，得－3⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ·23＝0，即a ＝1.(2)当x ∈[0,1]时，tan θ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a23.由a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，得a 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. ①当a 3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3时，f ′(x )max ＝a 23，f (x )min ＝f ′(0)＝0.此时0≤tan θ≤a 23. ②当a3∈(1，＋∞)，即a ∈(3，＋∞)时，f ′(x )max ＝f ′(1)＝2a －3，f ′(x )min ＝f ′(0)＝0，此时，0≤tan θ≤2a －3.又∵θ∈[0，π)，∴当32<a ≤3时，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，arctan a 23， 当a >3时，θ∈[0，arctan(2a －3)]．(3)函数y ＝f (x )与g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象恰有3个交点，等价于方程－x 3＋x 2＋1＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1恰有3个不等实根，∴x 4－4x 3＋(1－m )x 2＝0，显然x ＝0是其中一个根(二重根)，方程x 2－4x ＋(1－m )＝0有两个非零不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16－4(1－m )>01－m ≠0∴m >－3且m ≠1故当m >－3且m ≠1时，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象恰有3个交点．。
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21. 解 :(1) 方程 7 x 4 y 12 0 可化为 y
当x
2时 , y
1
.
又 f ( x)
2
a
b x2 ,
7 x 3.
4
2a
于是
b 2
1， 2 解得
a
1 , 故 f ( x)
x
3
.
b a
7，b3x源自443 (2) 设 P ( x0 , y0 ) 为曲线上任一点 , 由 y 1 x2 知曲线在点 P (x0， y0) 处的切线方程为
数列 an 的前 n 项和的公式是 ( ) n1
A. 2n B. 2n 2
C.
2n 1
D.
2n 1 2
8、已知 f (x) ax3 9x2 6x 7, 若 f ( 1) 4 , 则 a 的值等于 ( )
A. 19
B.
16
C.
10
D.
13
3
3
3
3
9、二次函数 y f (x) 的图象过原点 , 且它的导函数 y f (x) 的图象过第一、 二、三象
n1
n1
的前 n 项和 Sn
2 1 2n 12
2n 1 2
Q f ( x)
3ax2
18x
6 , 由 f ( 1)
4, 得 3a
18
6
4,即 a
16
.
3
设 f ( x) ax2 bx, f (x) 2ax b , Q f (x) 的图象是过第一、二、三象限的一条直线
,
故 2a 0, b 0 , 又 f ( x) a x
4
x 在某一点的导数为
4,而
y 4 x3 , 所以 y x4 在 (1,1)处导数为 4 , 此点的切线为 4x y 3 0 .
y x 2 2n 1 n 2 , 切线方程为 : y 2n 2n 1 n 2 ( x 2) ,
令 x 0 , 求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y0
n 1 2n , 所以 an 2 n , 则数列 an
21、 (12 分 )
设 函 数 f ( x)
ax
b , 曲线 y
x
f ( x) 在 点 (2, f (2)) 处 的 切 线 方 程 为
7x 4 y 12 0 .
(1) 求 f (x) 的解析式 ;
(2) 证明 : 曲线 y f (x) 上任一点处的切线与直线
面积为定值 , 并求此定值 .
x 0 和直线 y x 所围成的三角形
参考答案
lim f ( x0
h)
f ( x0
h)
lim 2[ f (x0
h)
f (x0
h) ]
h0
h
h0
2h
2lim f ( x0 h0
h) f ( x0 h) 2h
2 f ( x0) .
s (t) 2t 1,s (3) 2 3 1 5 .
y 3x2 4,k y |x 1 1,tan
1,
3
.
4
设切点为 P0(a,b) , f ( x) 3x2 1,k f ( a) 3a2 1 4, a 1 , 把 a 1 ,
17. 解 : 依题意有 : f (1) a, f ( x) 2ax 2 ( x 2) , x2
l 的方程为 2(a 1) x y 2 a 0
l 与圆相切 ,
|2 a|
1
11
a
4(a 1) 2 1 2
8
∴ a 的值为 11 . 8
18. 解 :(1) f (x) f '(x) cos( 3x ) 3 sin( 3x )
f '(0)
1a
0 , ∴ a 1 , 有 f '( x)
ex
e
x
,
设切点为 ( x0, y0) , 则 f '( x0 )
ex0 e x0
3 , 得 ex0 2
13. 3 x Q 2 y ( 1 x) 2 ( 1 x)
∴y x
( 1 x) 2 ( 1 x) 2 3 x x
2 或 ex0
1 ( 舍去 ), ∴ x0 ln 2 .
y y0
1
3 x02
(x
x0 ) , 即 y
x0 3 x0
1
3 x02
(x
x0) .
令 x 0得 y
6 , 从而得切线与直线 x 0 的交点坐标为
0， 6 .
x0
x0
令 y x 得 y x 2x0 , 从而得切线与直线 y x 的交点坐标为 (2 x0，2x0) .
所以点 P (x0, y0) 处的切线与直线 x 0 , y x 所围成的三角形面积为
20、 (12 分 )
设函数 f ( x)
3
ax
bx
c (a
0) 为奇函数 , 其图象在点
(1, f (1)) 处的切线与直线
x 18 y 7 0 垂直 , 导函数 f '( x) 的最小值为 12 .
(1) 求 a , b , c 的值 ;
f ( x)
(2) 设 g( x)
x2 , 当 x 0 时 , 求 g( x) 的最小值 .
代入到 f ( x) = x3 + x - 2 得 b 4 ; 把 a 1 , 代入到 f ( x) = x3 + x - 2 得 b 0 , 所以
P0 (1,0) 和 ( 1, 4) . f (x) sin x, f ( ) sin .
与直线 x 4 y 8 0 垂直的直线 l 为 4x
ym
0, 即 y
1
6 2 x0
6.
2x
故曲线 y f ( x) 上任一点处的切线与直线 x 0 , y x 所围成的三角形的面积为定值 ,
等式 f ( x) 0 的解集是
.
0 , xf ( x) f (x) x2
0 (x
0) , 则不
三、解答题 ( 本大题共 6 小题 , 共 74 分 , 解答应写出必要的文字说明、证明过程 及演算步骤 .)
17、 (12 分 )
已知函数 f ( x) ax 2 2ln( 2 x)( a R) , 设曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线为
限的一条直线 , 则函数 y f ( x) 的图象的顶点所在象限是 ( )
A. 第一 B. 第二 C. 第三 D. 第四
10、已知函数 y f (x) 的图象在点 M(1, f (1)) 处的切线方程是 y 1 x +2, 则 f (1) f (1)
2 的值等于 ( )
5
B.
2
11、下列式子不．正确的是 ( )
22、 (14 分 )
已知关于 x 的方程 sin x k( k (0,1)) 在 ( 3 ,0) U (0,3 ) 内有且仅有 4 个根 , 从小到 x
大依次为 x1, x2 , x3, x4 .
(1) 求证 : x4 tan x4 ;
(2) 是否存在常数 k , 使得 x2, x3, x4 成等差数列 ?若存在求出 k 的值 , 否则说明理由 .
13
,
6 12
∴ h( x) 在 [0,1] 上有最大值
1, 有最小值
13
.
12
20. 解 :(1) ∵ f (x) 为奇函数 , ∴ f ( x) f ( x) , 即 ax3 bx c
ax3 bx c ,
∴ c 0 , 又∵ f '( x) 3ax 2 b 的最小值为 12 , ∴ b 12 ;
2
b
b2
, 即项点
2a 4a
b b2
,
在第三象限 .
2a 4a
由已知切点在切线上 , 所以 f (1)= 1 2
5
, 切点处的导数为切线斜率
1 , 所以 f (1)＝ , 所
2
2
2
以 f (1) f (1)＝ 3
sin x x
x cos x sin x x2
f '( x)
ex
ae
x
,
f (x) 是奇函数
2sin( 3x
5 ), 6
又0
, f ( x) f '( x) 是奇函数 , ∴
.
6
(2) 由 (1) 得 f ( x) f '( x) 2sin( 3x ) 2sin 3x .
∴ f (x) f '(x) 的最大值为 2, 最小值为 2 .
19、解 :(1), 由 f (1) 1 得 3 2a 1 , 所以 a 1 ;
当 a 1 时 , f ( x) x3 x2 , f (1) 0 , 又 f (1) 1 ,
所以曲线在 (1, f (1)) 处的切线方程为 y 0 1 ( x 1) , 即 g( x) x 1;
(2) 由 (1) 得 h(x)
3x2
x1
3(x
1)2
13
,
6 12
又 h(0)
1 , h(1) 1, h( 1)
A. cos
B. sin C. sin cos
D. 2sin
6、若曲线 y x4 的一条切线 l 与直线 x 4 y 8 0 垂直 , 则 l 的方程为 ( )
A. 4x y 3 0 B. x 4 y 5 0 C. 4x y 3 0 D. x 4 y 3 0
7、对正整数 n , 设曲线 y x n (1 x) 在 x 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n , 则
16. ( 1,0) (1,
) 可得 f '( x)
f (x)
, 由导数的定义得
,当0
x
1时,