精选向量在物理中的应用举例
向量在物理中的应用举例 课件
知识点归纳
向量在物理中的应用 (1)物理中的力、速度、位移都是向量，它们的分解与合成 与向量的加法与减法相类似，可以用向量来解决． (2)物理中的功是一个标量，它是力f与位移s的数量积，即 W＝f·s＝|f|·|s|cos θ.
用向量方法解决力学问题
如图，在重300 N的物体 上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的 两侧，与铅垂线的夹角为30°和60°， 求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．
【思路分析】力的合成与分解，可用向量的平行四边形法 则解决．
【规范解答】如右图，作平行四边形 OACB， 使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC 中，∠ ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，|O→A|＝|O→C |cos 30°＝ 150 3 (N) ， | A→C | ＝ | O→C |sin 30°＝ 150(N)，|O→B|＝|A→C|＝150 N.
力所做的功
已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F 的大小为50 N，F拉着80 N的木块在摩擦系数为μ＝0.02的水平 面上运动了20 m，问F和摩擦力f所做的功分别是多少？
【思路分析】利用向量数量积的物理意义求解．
【规范解答】设木块的位移为 s，则 F·s＝|F||s|·cos 30°＝
【规范解答】设船速为 v1，水速为 v2， 船的实际速度为 v3.建立如图所示坐标系， 则|v1|＝5 m/s，|v3|＝250 m/s＝4 m/s.
由 v3＝v1＋v2，得 v2＝v3－v1＝(0,4)－(－3,4)＝(3,0)， ∴|v2|＝3，即 v2＝3 m/s.
用向量解决相关的物理问题，要将相关的 物理量用几何图形正确地表示出来；根据物理意义，将物理问 题转化为数学问题求解．最后将数学结论还原为物理问题．
数学-向量在物理中的应用举例
向量在物理中的应用举例高中数学 会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用．导语 向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰．一、向量与力2例1 如图，用两根分别长5m和10 m的绳子，将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5 m，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解 如图，由已知条件可知AG与铅垂方向成45°角，BG与铅垂方向成60°角．设A处所受力为F a，B处所受力为F b，物体的重力为G.因为∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，则有|F a|cos 45°＋|F b|cos 60°＝|G|＝100，①且|F a|sin 45°＝|F b|sin 60°，②26由①②得|F a|＝150－50，26所以A处所受力的大小为(150－50)N.反思感悟 用向量解决物理问题的一般步骤(1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．(2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型．(3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值．(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．跟踪训练1 用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为________ N.答案 10解析 设重力为G ，每根绳的拉力分别为F 1，F 2，则由题意得F 1，F 2与－G 都成60°角，且|F 1|＝|F 2|，F 1＋F 2＋G ＝0．∴|F 1|＝|F 2|＝|G |＝10 N ，∴每根绳子的拉力都为10 N.二、向量与速度、加速度、位移例2 (教材P41例4改编)一条宽为 km 的河，水流速度为2 km/h ，在河两岸有两个码头3A ，B ，已知AB ＝ km ，船在水中的最大航速为4 km/h ，问该船怎样安排航行速度可使它3从A 码头最快到达彼岸B 码头？用时多少？解 如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC 和AD 为邻边作▱ACED ，且当AE 与AB 重合时能AC → AD → 最快到达彼岸，根据题意知AC ⊥AE ，在Rt △ADE 和▱ACED 中，||＝||＝2，||＝4，∠AED ＝90°，∴||＝＝2，又AB ＝，∴用时DE → AC → AD → AE → |AD →|2－|DE → |2330.5 h ，易知sin ∠EAD ＝， ∴∠EAD ＝30°.12∴该船航行速度大小为4 km/h ，与水流方向成120°角时能最快到达B 码头，用时0.5 h.反思感悟 速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算．用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算．跟踪训练2 某人从点O 向正东走30 m 到达点A ，再向正北走30 m 到达点B ，则此人的3位移的大小是______ m ，方向是北偏东________．答案 60 30°解析 如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，OB → OA → AB → OA → AB →则||＝＝60(m)，OB → |OA →|2＋|AB → |2tan ∠BOA ＝＝，|AB →||OA → |3所以∠BOA ＝60°.所以的方向为北偏东30°.OB → 三、向量与功例3 已知力F (斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N ，一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m ．问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？(g ＝10 m/s 2)解 如图所示，设木块的位移为s ，则W F ＝F·s ＝|F||s|cos 30°＝50×20×＝500(J)．323将力F 分解，它在铅垂方向上的分力F 1的大小为|F 1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，12所以摩擦力f 的大小为|f |＝|μ(G －F 1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此W f ＝f·s ＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F 和f 所做的功分别为500 J 和－22 J.3反思感悟 力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s|cos θ(θ为F 和s 的夹角)．跟踪训练3 一物体在力F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)的共同作用下从点A (1,1)移动到点B (0,5)．则在这个过程中三个力的合力所做的功为________．答案 －40解析 ∵F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，∴合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8，－8)．又∵＝(－1,4)，AB → ∴F ·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，AB → 即三个力的合力做的功等于－40.1．知识清单：(1)利用向量的加、减、数乘运算解决力、位移、速度、加速度的合成与分解．(2)利用向量的数量积解决力所做的功的问题．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：不能将物理问题转化为向量问题．1．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度大小为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2|D.|v 1v 2|答案 C 解析 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2.人的速度和风速方向相反，故选C.2．一物体受到相互垂直的两个力F 1，F 2的作用，两力大小都为5 N ，则两个力的合力的3大小为( )A ．5 NB ．5 N 2C ．5 ND ．5 N36答案 D解析 两个力的合力的大小为|F 1＋F 2|＝＝5(N)．F 21＋F 2＋2F 1·F 263．已知力F 的大小|F |＝10，在F 的作用下产生的位移s 的大小为|s |＝14，F 与s 的夹角为60°，则F 做的功为( )A ．7B ．10C ．14D ．70答案 D 解析 F 做的功为F·s ＝|F ||s |cos 60°＝10×14×＝70.124．当两人提起重量为|G |的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F |，若|F |＝|G |，则θ的值为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案 D解析 作＝F 1，＝F 2，＝－G (图略)，OA → OB → OC → 则＝＋，OC → OA → OB → 当|F 1|＝|F 2|＝|G |时，△OAC 为正三角形，所以∠AOC ＝60°，从而∠AOB ＝120°.课时对点练1．如果一架飞机向东飞行200 km ，再向南飞行300 km ，记飞机飞行的路程为s ，位移为a ，那么( )A ．s >|a |B ．s <|a |C ．s ＝|a |D ．s 与|a |不能比较大小答案 A解析 在△ABC 中，两边之和大于第三边，即s ＝||＋||>||＝|a |，故选A.AB → BC → AC → 2．共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M 上，产生位移s ＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W 为( )A ．lg 2B ．lg 5C ．1D ．2答案 D解析 因为F 1＋F 2＝(1,2lg 2)，所以W ＝(F 1＋F 2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.3．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F 4，则F 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)答案 D解析 为使物体平衡，则合力为0，即F 4＝(0－(－2)－(－3)－4,0－(－1)－2－(－3))＝(1,2)．4．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A ．10 m/sB ．2 m/s 26C ．4 m/sD ．12 m/s 6答案 B解析 由题意知|v 水|＝2m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如图．∴|v |＝＝＝2(m/s)．102＋22104265．一个物体受到同一平面内三个力F 1，F 2，F 3的作用，沿北偏东45°方向移动了8 m ，已知|F 1|＝2 N ，方向为北偏东30°，|F 2|＝4 N ，方向为北偏东60°，|F 3|＝6 N ，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为( )A ．24 JB ．24 J 2C ．24 JD ．24 J 36答案 D解析 如图，建立直角坐标系，则F 1＝(1，)，F 2＝(2，2)，F 3＝(－3,3)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(2－2,2＋4)．33333又位移s ＝(4，4)，所以合力F 所做的功W ＝F ·s ＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝24223232 J.66．(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是( )A ．船垂直到达对岸所用时间最少B ．当船速v 的方向与河岸垂直时用时最少C ．沿任意直线运动到达对岸的时间都一样D ．船垂直到达对岸时航行的距离最短答案 BD解析 根据向量将船速v 分解，当v 垂直河岸时，用时最少．船垂直到达对岸时航行的距离最短．7．一个物体在大小为10 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为50 m ，且力F 所做的功W ＝250 J ，则F 与s 的夹角等于________．2答案 π4解析 设F 与s 的夹角为θ，由W ＝F·s ，得250＝10×50×cosθ，∴cos θ＝.又222θ∈[0，π]，∴θ＝.π48．一条河宽为8 000 m ，一船从A 处出发垂直航行到达河正对岸的B 处，船速为20 km/h ，水速为12 km/h ，则船到达B 处所需时间为________ h.答案 0.5解析 如图，v 实际＝v 船＋v 水＝v 1＋v 2，|v 1|＝20，|v 2|＝12，∴|v 实际|＝|v 1|2－|v 2|2＝＝16(km/h)．202－122∴所需时间t ＝＝0.5(h)．816∴该船到达B 处所需的时间为0.5 h.9．已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)．(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功；(2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功．解 (1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，AB → W 1＝F 1·＝(3,4)·(－13，－15)AB → ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W 2＝F 2·＝(6，－5)·(－13，－15)AB → ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.(2)W ＝F ·＝(F 1＋F 2)·AB → AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F 对质点所做的功为－102 J.10．在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船在静水中的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？解 如图所示，设表示水流的速度，表示渡船在静水中的速度，表示渡船实际垂直AB → AD → AC →过江的速度．因为＋＝，AB →AD →AC →所以四边形ABCD 为平行四边形．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，||＝||＝12.5，DC →AB →||＝25，所以∠CAD ＝30°，AD →即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.11．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )A ．40 NB ．10 N2C ．20 N D. N210答案 B解析 对于两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N 时，可知这两个力的大小都是10 N ；当它们的夹角为120°时，可知力的合成构成一个等边三2角形，因此合力的大小为10 N.212．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度v 1的大小为|v 1|＝10 km/h ，水流的速度v 2的大小为|v 2|＝4 km/h.设v 1和v 2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点A ′在A 的正北方向，则游船正好到达A ′处时，cos θ等于( )A. B ．－ C. D ．－2152152525答案 D解析 设船的实际速度为v ，v 1与南岸上游的夹角为α，如图所示．要使得游船正好到达A ′处，则|v 1|cos α＝|v 2|，即cos α＝＝，|v 2||v 1|25又θ＝π－α，所以cos θ＝cos(π－α)＝－cos α＝－.2513．一个物体受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3的作用处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且|F 1|＝3 N ，|F 2|＝4 N ，则F 1与F 3夹角的余弦值是________．答案 －53737解析 因为物体处于平衡状态，所以F 1＋F 2＋F 3＝0．因此F 3＝－(F 1＋F 2)，于是|F 3|＝(F 1＋F 2)2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2F 1·F 2＝＝，32＋42＋2×3×4·cos 60°37设F 1与F 3的夹角是θ.又F 2＝－(F 1＋F 3)，所以|F 2|＝(F 1＋F 3)2＝|F 1|2＋|F 3|2＋2F 1·F 3＝＝4，32＋37＋2×3×37·cos θ解得cos θ＝－.5373714.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m 的斜面上，质量为5 kg 的物体m 沿斜面下滑，物体m 受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m 的支持力所做的功为________J ，重力所做的功为________J(g ＝9.8 m/s 2)．答案 0 98解析 物体m 的位移大小为|s |＝＝(m)，则支持力对物体m 所做的功为2sin 37°103W 1＝F·s ＝|F||s|cos90°＝0(J)；重力对物体m 所做的功为W 2＝G·s ＝|G||s|cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J). 10315.(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是( )A ．绳子的拉力不断增大B ．绳子的拉力不断变小C ．船的浮力不断变小D ．船的浮力保持不变答案 AC 解析 设水的阻力为f ，绳的拉力为F ，绳AB 与水平方向的夹角为θ，(0<θ<π2)则|F |cos θ＝|f |，∴|F |＝.|f |cos θ∵θ增大，cos θ减小，∴|F |增大．∵|F |sin θ增大，∴船的浮力减小．16.如图所示，在某海滨城市O 附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O 的东偏南θ 方向，距点O 300 km 的海面P 处，并以20 km/h 的速度向西(cos θ＝210，θ∈(0，π2))偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km/h 的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？参考数据：cos(θ－45°)＝.45解 设t h 后，台风中心移动到Q 处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ ＝θ－45°.∵＝＋，OQ → OP → PQ → ∴2＝(＋)2OQ → OP → PQ → ＝2＋2＋2·OP → PQ → OP → PQ →＝2＋2－2||||cos(θ－45°)OP → PQ → OP → PQ → ＝3002＋(20t )2－2×300×20t ×45＝100(4t 2－96t ＋900)．依题意得2≤(60＋10t )2，OQ → 解得12≤t ≤24.从而12 h 后该城市开始受到台风的侵袭．。
向量在物理中的应用举例优秀课件1
向量在物理
探究（一）：向量在力学中的应用
思考1：如图，用两条成120°角的等长 的绳子悬挂一个重量是10N的灯具，根据 力的平衡理论，每根绳子的拉力与灯具 的重力具有什么关系？每根绳子的拉力 是多少？
A
F1+F2+G=0
120° O C
B
|F1|=|F2|=10N
10N
思考2：两个人共提一个旅行包，或在单 杠上做引体向上运动，根据生活经验， 两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小 有什么关系？ 夹角越大越费力. 思考3：若两只手臂的拉力为F1、F2，物 体的重力为G，那么F1、F2、G三个力之 间具有什么关系？ F1＋F2＋G=0.
d 0 . 5 t= = 椿 6 0 3 . 1 ( m i n ) |v | 9 6
理论迁移
例1 一架飞机从A地向北偏西60°方 向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行， 若C地在A地的南偏西60°方向，并且A、 C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的 位移. 北
B
位移的方向是南偏 西30°，大小是 1 0 3 0 km.
西 南
F2
东
小结作业
1.利用向量解决物理问题的基本步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学 问题；②建立模型，即建立以向量为载 体的数学模型；③求解参数，即求向量 的模、夹角、数量积等；④回答问题， 即把所得的数学结论回归到物理问题. 2.用向量知识解决物理问题时，要注意 数形结合.一般先要作出向量示意图，必 要时可建立直角坐标系，再通过解三角 形或坐标运算，求有关量的值.
西 C
A
东
南
例2 一个物体受到同一平面内三个力 F1、F2、F3的作用，沿北偏东45°方向 移动了8m，已知|F1|=2N，方向为北偏东 30°，|F2| =4N，方向为东偏北30°， |F3| =6N，方向为西偏北60°，求这三 个力的合力所做的功. F3 北
文档：向量在物理中的应用举例
向量在物理中的应用运用向量解决物理问题时，必须清楚哪些物理量是向量，可以从以下几方面理解：1、力，速度，加速度都是向量;2、力，速度，加速度，位移的合成与分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成;3、动量是数乘向量;4、功定义即力与所产生位移的内积.例4、如图，重力为的均匀小球放在倾角为α的斜面上，球被与斜面夹角为θ的木板挡住，球面、木板均光滑，若使球对木板压力最小，则木板与斜面间的夹角θ应为多大？分析：本题可以通过把球对木板的压力N表示为关于木板夹角θ的函数，再去求N 的最小值.解：小球受力如图：重力，斜面弹力（垂直于斜面），木板弹力（垂直于木板），其中与合力大小恒为︱︱，方向向上，方向始终不变，随着木板的转动，的大小均在变化.=，当sinθ取最大值1时，︱︱min=︱︱sinα,此时θ=.点评：对于本题的解答，要结合到物理知识即会对物理进行受力分析，才能探讨出N1与θ的函数关系式.例5、今有一小船位于d=60m宽的河边P处，从这里起，在下游L=80m处河流变成“飞流直下三千尺”的瀑布.若河水流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小5m/s为，如图所示，为了小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？分析：本题可分别从数学和物理两个方面进行剖析，因而可以给出以下两种解法.解法一：设船的划速为，方向与上游河岸的夹角为，如图，将正交分解为,,则船同时参与两个分运动：一个是沿方向的速度为的匀速直线运动，另一个是沿方向的速度为的匀速直线运动，这两个分运动的时间和必相等，设船到达对岸时，极其靠近河流与瀑布的交界处.由∴令.显见，当时，有最小值为3m/s.此时解法二：在题设条件下，船的临界合速度沿图的PQ方向，设，从A向PQ作垂线，垂足为B，有向线段 AB即表示最小划速的大小和方向，，，可见当时，划速方向与解法一相同.。
6.4.2 向量在物理中的举例
6.4.2 向量在物理中的举例引言在物理学中，向量是表示物理量的有向量大小和方向的量。
它们在物理学的各个领域中都有着广泛的应用。
这篇文档将通过几个具体的例子来展示向量在物理学中的应用。
1. 速度向量速度是物体在单位时间内移动的距离。
速度向量不仅含有速度的大小，还包含了速度的方向。
在物理学中，我们通常使用箭头来表示向量。
例如，一个以每秒10米的速度向东移动的物体可以表示为V = 10 m/s →。
2. 力向量力是物体受到的作用，它也是一个向量。
与速度向量类似，力向量包含力的大小和方向。
在牛顿力学中，力的单位是牛顿（N），它可以表示为F = 5 N ↑。
这表示一个以5牛顿的力向上作用的物体。
3. 加速度向量加速度是物体在单位时间内速度的变化率。
与速度和力相似，加速度也是一个向量。
加速度的单位是米每平方秒（m/s²），它可以表示为a = 2 m/s² ←。
这表示一个物体以每平方秒2米的加速度向左方向运动。
4. 位移向量位移是物体在空间中的位移或偏移量。
它也是一个向量。
位移向量的大小取决于位移的实际距离和方向。
例如，一个向北移动了5米的物体的位移向量可以表示为d = 5 m ↑。
5. 力矩向量力矩是一个物体受到力作用导致的绕轴旋转的力。
它也是一个向量。
力矩向量的大小和方向由力的大小、力的方向和与轴的距离决定。
例如，一个以20牛顿力作用在一个离轴心2米的杆上的力矩可以表示为M = 20 Nm ↗。
6. 动量向量动量是物体的质量和速度的乘积。
它也是一个向量。
动量向量的大小取决于动量的实际值和方向。
例如，一个具有质量2千克和速度10 m/s向右的物体的动量向量可以表示为p =20 kg m/s →。
结论向量在物理学中扮演着重要的角色，它们帮助我们描述和解释世界上发生的各种物理现象。
本文介绍了几个向量在物理学中的应用例子，包括速度、力、加速度、位移、力矩和动量。
通过理解并应用向量的概念，我们可以更好地理解和解释物体在空间中的运动和相互作用。
向量在物理中的应用举例 课件
1．力与向量 力与前面学过的自由向量有区别． (1)相同点：力和向量都既要考虑 大小 又要考虑 方向 ． (2)不同点：向量与 始点 无关，力和 作用点 有关，大小和方 向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．
2．向量方法在物理中的应用 (1)力、速度、加速度、位移都是 向量 ． (2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的 加、减 运算，运动的叠加亦用到向量的合成． (3)动量 mν 是 数乘向量 ． (4)功即是力 F 与所产生位移 s 的 数量积 .
为
v
和
v2
的夹角，α
为锐角)，
所以 α＝30°.
所以帆船向北偏东 60°的方向行驶，速度为 20 3 km/h.
跟踪训练 1 某人在静水中游泳，速度为 4 3 km/h，水的流速
为 4 km/h，他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前
进？实际前进的速度大小为多少？ 解 如图所示，设此人的实际速度为O→B，水流速度为O→A. ∵实际速度＝游速＋水速，故游速为O→B－O→A＝A→B，
答 如右图所示，设木块的位移为 s， 则 F·s＝|F||s|cos 30°＝50×20× 23＝500 3(J)． 将力 F 分解，它在竖直方向上的分力 F1 的大小为 |F1|＝|F|sin 30°＝50×12＝25(N)， 所以，摩擦力 f 的大小为 |f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)， 因此，f·s＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．
解 (1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，
得－G＝F1＋F2，|F1|＝co|Gs|θ，|F2|＝|G|tan θ， 当 θ 从 0°趋向于 90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．
向量在物理中的应用
向量在物理中的应用1.向量是既有大小又有方向的量，物理中有许多量：力、速度、加速度等都是向量.2.用向量研究物理问题的相关知识：(1)力、速度、加速度、位移都是向量；(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法、运动的叠加亦用到向量的合成；(3)动量m 是数乘向量；(4)功定义即力与产生位移的内积. 典型例题例1 A、B两人同拎着有绳相缚的某一货物，当A、B所拉着的绳子与铅垂线分别成30°、45°角时，试求A、B手上所承受的力的比.解：取绳与货物的交叉位置为O，这时作用在货物上的力有三个：重力G，A、B的手对货物的拉力、，因为作用于平衡物体上的合力为0，∴=0，设、的相反向量为，，则按照向量加法的意义可知四边形OPGQ是一个平行四边形.由正弦定理得：= ∴｜｜∶｜｜= = ∶1即A、B 两人手上所承受的拉力之比为∶1例2 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船航行的速度｜v1｜=10km/h，水流速度｜v2｜=4km/h，那么v1与v2的夹角多大时，船才能垂直到达对岸B处?船行驶多少时间? 分析：若水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶就行了.由于水流动的作用，船要被水冲向下游，因此要使船垂直到达对岸，就要使v1与v2的合速度的方向正好垂直于河岸方向.解：设表示水流速度，表示船向对岸行驶速度，以AE、AB分别为平行四边形的一条边和一条对角线作平行四边形，根据向量的平行四边形法则和解直角三角形知识得：v= = =2 (km/h)由于sin∠FAB= = 所以v1与v2的夹角为arcsin ∵2 km/h= m/min= m/min.∴船行驶时间t= = (min)答：v1与v2的夹角为arcsin 时，船才能垂直到达对岸B处，船行驶时间是min.向量是代数的对象。
运算及其规律是代数学的基本研究对象。
向量可以进行多种运算，如，向量的加法、减法，数与向量的乘法（数乘），向量与向量的数量积（也称点乘），向量与向量的向量积（也称叉乘）等。
向量在物理中的应用(201912)
解：如图所示.
设水流速度为：OA＝ｖ2. 以A为圆心，以船速ｖ1的大小｜ｖ1｜为半径 作圆，则向量ｖ1的终点在圆上， 由向量加法的三角形法则可知，合速度ｖ的起
点在O点，终点在圆上一点B.
设小船行驶到对岸的位移为s，则在△ABC中，
设∠BOA＝α 易得
d＝｜s｜sinα ，即｜s｜＝ d 故要使｜s｜最
答：船应该逆水而上，且船头与河 岸的夹角
为6O°时，小船行驶到对岸时位移 最小.
评述：用数学知识解决物理问题， 首先要把
物理问题转化成数学问题，即将物 理量之间
的关系抽象成数学模型.
［例3］一条河的两岸平行，河的宽度d为 5OO ｍ，一艘船从A处出发航行到河的
正对岸B处，船航行的速度｜ｖ1｜＝1O ｋ ｍ／ｈ，水流速度｜ｖ2｜＝4 ｋｍ／ｈ， 那么ｖ1与ｖ2的夹角θ (精确到1°)多大时，
船才能垂直到达对岸B处?船行驶多少 时间?(精确到O．1 ｍｉｎ).
分析：如果水是静止的，则船只 要取垂直于河岸的方向行驶就行 了.由于水流动的作用 ，船要被水冲向下游，因此要使
船垂直到达对岸，就要使ｖ 与 1
ｖ 的合速度的方向正 2
好垂直于河岸方向(如图所示).
解：根据向量的平行四边形法则和解直 角三角形的知识可知：
sin
小，须角α 最大，由平面几何知识可知，
当OB与圆相切时，角α 最大，且sinα ， α ＝3O°，故｜s｜＝＝2OO
＝ v1
v2
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；
如斯夫，如：“挑儿前一个年过半百的瘦老头儿正在刀荡子上哧哧荡刀”就是正面描写。他拉紧了弓，有一次，古代的人没有专门锻炼身体的习惯，磕头捣蒜乞
向量在物理中的应用举例
3.质量 m＝2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力 F＝10 N 的作用下，沿倾斜角 θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m 的距离.(g＝9.8 N/kg) (1)分别求物体所受各力对物体所做的功； (2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多 少？
解：(1)木块受三个力的作用，重力 G，拉力 F 和 支持力 FN，如图所示， 拉力 F 与位移 s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为 WF＝ F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)； 支持力 FN 与位移方向垂直，不做功，所以 WN＝FN·s＝0； 重力 G 对物体所做的功为 WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝ －19.6(J). (2)物体所受各力对物体做功的代数和为 W＝WF＋WN＋WG＝ 0.4(J).
[典例 2] 已知两恒力 F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一 质点，使之由点 A(20,15)移动到点 B(7,0)，求 F1，F2 分别对质 点所做的功.
[解] 设物体在力 F 作用下的位移为 s，则所做的功为 W ＝F·s.∵―AB→＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15).
＋F22＋2F1·F2＝4＋16＝20，∴|F3|＝2 5. 答案：C
3.一条河宽为 800 m，一船从 A 处出发想要垂直到达河正对岸 的 B 处，若船速为 20 km/h，水速为 12 km/h，则船到达 B 处所需时间为________min. 解析：由题意作出示意图，如图， ∵v 实际＝v 船＋v 水＝v1＋v2， |v1|＝20 km/h， |v2|＝12 km/h，
二、创新应用题 5.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速
度为 3 km/h，方向正东，风吹向北偏西 30°，受风力影响， 静水中船的漂行速度为 3 km/h，若要使该船由南向北沿垂 直于河岸的方向以 2 3 km/h 的速度横渡，求船本身的速 度大小及方向.
精选向量在物理中的应用举例
一、教学分析向量与物理学天然相联.向量概念的原型就是物理中的力、速度、位以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰.并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.用向量研究物理问题的相关知识.(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量,那么它们的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量是数乘向量;(3)功即是力与所产生位移的数量积.用向量知识研究物理问题的基本思路和方法.①通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题;②认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系;③利用向量知识解决这个向量问题,并获得这个向量的解;④利用这个结果,对原物理现象作出合理解释,即用向量知识圆满解决物理问题.教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较,得出抽象的数学模型.例如,物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时,注重向量模型的运用,引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用.二、教学目标1．知识与技能：通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤。
2．过程与方法：明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.3．情感态度与价值观：通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.三、重点难点教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.四、教学设想（一）导入新课思路1.(章头图引入)章头图中,道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系.章引言说明了向量的研究对象及研究方法.那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像章头图中的高速公路一样,是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的企盼中,教师展示物理模型,由此展开新课.思路2.(问题引入)你能举出物理中的哪些向量比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.（二）应用示例例1在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗活动:这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型,引导学生由向量的平行四边形法则,力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系(其中F 为F 1、F 2的合力),就得到了问题的数学解释.图1在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F |、|G |、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后,与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤,也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证. 用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.解:不妨设|F 1|=|F 2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,2θ由0°到90°逐渐变大,cos 2θ的值由大逐渐变小,因此|F 1|由小逐渐变大,即F 1,F 2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.点评:本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从数学角度进行解释,这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型,为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优越性的具体体现.变式训练某人骑摩托车以20km/h 的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为40km/h 时,他又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速.图2解:如图2所示.设v 1表示20km/h 的速度,在无风时,此人感到的风速为-v 1,实际的风速为v ,那么此人所感到的风速为v +(-v 1)=v -v 1. 令AB =-v 1,AC =-2v 1,实际风速为v . ∵+=, ∴=v -v 1,这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度. ∵+=, ∴DC =v -2v 1,这就是当车的速度为40km/h 时,骑车人感受到的风速.由题意得∠DC A=45°,DB ⊥AB,AB=BC,∴△DCA 为等腰三角形,DA=DC ,∠DA C=∠DC A=45°.∴DA=DC=2BC=202.∴|v |=202km/h.答:实际的风速v 的大小是202km/h,方向是东南方向.例2如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m 和M,求子弹的速度v 的大小.图3解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以m|v |=(M+m)|v 0|.①由于机械能守恒,所以21(M+m)v 02=(M+m)gh.② 联立①②解得|v |=.2gh mm M + 又因为m 相对于M 很小,所以|v |≈gh mM 2, 即子弹的速度大小约为gh mM 2. （三）知能训练1.一艘船以4km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2km/h,则经过3小时,该船实际航程为() 1584图42.如图4,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力F ,则F =___________.3.一艘船以5km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度.解答:点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求.2.41(5,4)图53.如图5所示,设表示水流速度,表示船垂直于对岸的速度,表示船的实际速度,∠AOC=30°,||=5km/h.因为OACB 为矩形,所以||=||·cot30°=||·cot30°=53≈h,||=ο30cos ||=2335=10km/h. 答:水流速度为h,船的实际速度为10km/h.点评:转化为数学模型,画出向量图,在直角三角形中解出.（四）课堂小结1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤.①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型.①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减;③)动量mv是数乘向量,冲量Δt F也是数乘向量;④功是力F与位移s的数量积,即W=F·s.（五）作业。
【2019年整理】向量在物理中的应用举例
（1）行驶航程最短,是否就是航程时间 最短呢?
（2） V1的方向如何才能使航程时间最短?
思考题
思考题:已知船在静水中的速度是3km/h,它 要横渡30m的河流,已知水流的速度是 4km/h,思考:
1.这只船可以沿着垂直于河岸的航线到达 正对岸吗?
2.最短多少时间可以过河?
分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的 方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短，考 虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度 与水流速度的合速度v 必须垂直于对岸，如图
解：|v|= | v1 |2 | v2 |2
=
96
（km/h），所以
t=
d |v
|
=
0.5 96
×60=3.1（min）.
答：行驶航程最短时，所用时间是3 关物理现象
向量问题 (数学模型)
数学问题 的解决
作业
P113 习题2.5 第3，4题
例1 在日常生活中，你是否有这样的经验： 两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力； 在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小 越省力。
你能从数学的角度解释 这种现象吗？
（1） θ为何值时， |F1|最小，最小值是 多少？
（2） |F1|能等于|G|吗？为什么？
例2
如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500m 一膄船从A处出发到河对岸。已知船的速度 v1 10km / h ,水流速度 v2 2km / h,问行驶航程最短时，所用时间是 多少 精确到0.1 min ?
向量在物理中的应用
实例：速度与分解问题
一条河的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从A处出发
v 航速行 度到v河2 的 4正k对m岸/ hB那处么,船10 ，航v 行1与的速2 度的v夹1 角
t
d |v|
3.3min
思考:
t
1
d
sin
是否船垂直到达对岸所用时间
最少？为什么？
变式1:假设BC=BD=500m,要使船分别到达C处和D处,
1与 2 的夹角 分别是多少?分别行驶多少时间?
变式2:当船要到达图中的C和D，且BC,BD分别为 d , 1 d ,2 d
时，对应的 , , t分别是多少？
10km / h ，水流
(精确到10)多
大时,船才能垂直到达对岸B处? 船行驶多少时间(精确到
0.1min)?
sin( 900 ) | v2 |
| v1 |
900 arcsin| v2 | 1140
| v1 |
| v | v12 v22 | v1 | sin 9.2km / h
2 cos
2
1.当 逐渐增大时，F1 的大小怎样变化？为什么？ 2.当 为何值时， F1 最小，最小值是多少？
3.当 为何值时，F1 G ？ 4.如果 F1 588 N , G 882 N ， 在什么范围时，
绳子不会断？
从里面流出一道奇辉，他抓住奇辉神秘地一旋，一组光溜溜、红晶晶的功夫『灰雪甩精熊猫耳』便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边蜕变，一边发出“呜呜” 的奇声。突然间森伊姆馆长疾速地发出二声地银色的秀丽大笑，只见他异常的牙齿中，轻飘地喷出四十缕表盘状的沙漠铜角鸟，随着森伊姆馆长的旋动，表盘状的 沙漠铜角鸟像菜叶一样在双手上奇妙地窃取出阵阵光盔……紧接着森伊姆馆长又念起颠三倒四的宇宙语，只见他破烂的脚中，飘然射出五十串飞沫状的令牌，随着 森伊姆馆长的甩动，飞沫状的令牌像豆荚一样，朝着百驴灵光石上面悬浮着的旋转物怪滚过去……紧跟着森伊姆馆长也疯耍着功夫像木马般的怪影一样朝百驴灵光 石上面悬浮着的旋转物怪滚过去。……随着『灰雪甩精熊猫耳』的搅动调理，四条蟒蛇瞬间变成了由无数的银辉鸟影组成的串串淡红色的，很像陀螺般的，有着冒 烟凸凹质感的小溪状物体。随着小溪状物体的抖动旋转……只见其间又闪出一道 暗白色的泉水状 物体……接着森伊姆馆长又念起颠三倒四的宇宙语，只见他破烂的 脚中，飘然射出五十串飞沫状的令牌，随着森伊姆馆长的甩动，飞沫状的令牌像豆荚一样奇闪起来。一道浅黑色的闪光，地面变成了淡灰色、景物变成了土灰色、 天空变成了墨蓝色、四周发出了缠绵的巨响……只听一声飘飘悠悠的声音划过，六只很像秋神躺椅般的小溪状的串串闪光物体中，突然同时射出六簇整整齐齐的深 灰色音符，这些整整齐齐的深灰色音符被云一摇，立刻变成隐隐约约的泡泡，不一会儿这些泡泡就飞舞着奔向超大巨树的上空，很快在四块地毯之上变成了清晰可 见的艺术恐怖的杂耍……这时，小溪状的物体，也快速变成了船尾模样的亮紫色发光体开始缓缓下降，只见森伊姆馆长猛力一旋露着时尚的青古磁色犀牛形态的地 砖弥散肥腹，缓缓下降的亮紫色发光体又被重新摆向秋空！就见那个明晃晃、脆生生的，很像喷头模样的发光体一边扭曲颤动，一边绕动升华着发光体的色泽和质 感。蘑菇王子：“哇！看来玩这玩意儿并不复杂，只要略知一二，再加点花样翻新一下就可以弄出来蒙世骗人混饭吃了……知知爵士：“嗯嗯，关键是活学活用善 于创新！本人搞装潢的专业可是经过著名领袖亲传的．”蘑菇王子：“哈哈，学知识就需要你这种的革新态度！”知知爵士：“嗯嗯，谢谢学长鼓励，我真的感到 无比自豪……”这时，森伊姆馆长悠然结实的腿猛然振颤飘荡起来……古怪的深紫色陀螺耳朵喷出褐黄色的飘飘晃气……肥胖的浓绿色菠萝一样的嘴唇跃出墨灰色 的丝丝怪香……接着把亮灰色香肠造型的手指摇了摇，只见二十道怪舞的如同门柱般
向量在物理中的应用
船才能垂直到达对岸B处，大约行驶3．3
ｍｉｎ.
.课后作业 课后请同学们画出图形，并分别计算出当BC＝BD＝2d时 相应的｜ｖ｜、θ、ｔ的值，并填写下表：
B、C两点间的距离
B、D两点间距离
0
｜θ｜
（km/h）
θ(度)
D 1 d 2d 0
2
d 1 d 2d
2
ｔ
（min）
船才能垂直到达对岸B处?船行驶多少 时间?(精确到O．1 ｍｉｎ).
分析：如果水是静止的，则船只
要取垂直于河岸的方向行驶就行
了.由于水流动的作用 ，船要被水冲向下游，因此要使
船垂直到达对岸，就要使ｖ1与 ｖ2的合速度的方向正
好垂直于河岸方向(如图所示).
解：根据向量的平行四边形法则和解直 角三角形的知识可知：
解：如图所示.
设水流速度为：OA＝ｖ2. 以A为圆心，以船速ｖ1的大小｜ｖ1｜为半径 作圆，则向量ｖ1的终点在圆上， 由向量加法的三角形法则可知，合速度ｖ的起
点在O点，终点在圆上一点B.
设小船行驶到对岸的位移为s，则在△ABC中，
设∠BOA＝α易得
小d，＝须｜角s｜αsi最nα大，，即由｜平s面｜几＝何sind知 故识要可使知｜，s｜最
答：船应该逆水而上，且船头与河 岸的夹角
为6O°时，小船行驶到对岸时位移 最小.
评述：用数学知即将物 理量之间
的关系抽象成数学模型.
［例3］一条河的两岸平行，河的宽度d为 5OO ｍ，一艘船从A处出发航行到河的
正对岸B处，船航行的速度｜ｖ1｜＝1O ｋ ｍ／ｈ，水流速度｜ｖ2｜＝4 ｋｍ／ｈ， 那么ｖ1与ｖ2的夹角θ(精确到1°)多大时，
当OB与圆相切时，角α最大，且sinα＝ ， α＝3O°，故｜s｜＝＝2OO
向量在物理中的应用(2019年12月整理)
示例1:对于现实生活中的“虎妈狼爸现象”我们应该辩证地来看。在孩子尚不能完全自觉自主时，父母监护其成长，采取一些方式促进孩子成才，是可以理解的，而且，有时候也确实是有效果的，但是要注意运用恰当的教育方式，如果使用过激的打骂的教育方式，损害其身心健康，是不可取
的。 (4分） 示例2:“虎妈狼爸现象”从表面上看是一个家庭教育方式是否妥当的问超，但透过表象，却发现这其实是一个社会问超，“唯分数论”、“一考定终身”等等浮躁的社会现象，也是促使父母采取极端教育方式的原因之一，所以，要想改变“虎妈狼爸现象”，需要家庭、社会一起
奋斗了一生的村庄。 ⑨这也是农人的一生。 ⑩九月，村庄又迎来冷冷清清的收获季节。我返城时，碰见正挑着谷子从田边迎面走来的大伯。大伯今年已60余岁了，还在田间劳作着。他也曾短暂离开过村庄，却始终没能走出像扁担一样的命运。他仍然坚信着，只要村庄还在，扁担还在，就一
定能够扛起生活的重担。甚至，在人烟越来越少的村庄里，不少死守的农人还是坚信——一根扁担仍能挑起一个村庄。 ?这是一种可贵精神，或许它与现实追求早已背道而驰，却让人肃然起敬。 （选自《襄阳晚报》2016年3月3日，有删改） 10．根据上下文，将下面两个句子分别填入文章②
不正确的两项是（? ）（4分） A.? 本文回忆了“我”十年学琴的一些往事，全文综合运用了记叙、描写、议论、抒情等多种表达方式。 B.? 文章刻画了一个为了女儿的“兴趣”，辛苦奔波、甘于付出、严厉苛刻的母亲形象, 而女儿对母亲始终充满怨恨。 C.? “伴随琴声的欢笑声寥寥无几”
说明学琴这件事无论对我，还是对妈妈而言，都是很辛苦，很煎熬的一个过程。 D.? 文句“我在妈妈的失望中“仓皇”地读了高中”是指妈妈对我挣脱了她的朿缚，主动地放弃“搞钢琴专业”的规划而感到失望。 E.? 第⑤自然段着重描写了从油田小镇到银川那条每周学琴必经的道路，更好
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一、教学分析
向量与物理学天然相联.向量概念的原型就是物理中的力、速度、位以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰.并且向量知识不仅是解
决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.
用向量研究物理问题的相关知识.(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量,那么它们的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量是数乘向量;(3)功即是力与所产生位移的数量积.
用向量知识研究物理问题的基本思路和方法.①通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相
关的向量问题;②认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系;③利用向量知识解决这个向量问题,并获得这个向量的解;④利用这个结果,对原物理现象作出合理解释,即用向
量知识圆满解决物理问题.教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较,得出抽象的数学模型.例如,物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时,注重向量模型的运用,引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用.
二、教学目标
1．知识与技能：
通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研
究物理中相关问题的步骤。
2．过程与方法：
明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.
3．情感态度与价值观：
通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中
的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.
三、重点难点
教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.
2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.
教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.
四、教学设想
（一）导入新课
思路1.(章头图引入)章头图中,道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的
密切联系.章引言说明了向量的研究对象及研究方法.那么向量究竟是怎样应用于物理的
呢？它就像章头图中的高速公路一样,是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的企盼中,教师展示物理模型,由此展开新课.
思路2.(问题引入)你能举出物理中的哪些向量比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题
的例子吗你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中
的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.
（二）应用示例
例1在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠
上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗
活动:这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型,引导学生由向量的平行四边形法则,力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系(其中F 为F 1、F 2的合力),就得到了问题的数学解释.
图1
在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F |、|G |、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后,与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤,也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证. 用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
解:不妨设|F 1|=|F 2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以
知道
通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,2
θ由0°到90°逐渐变大,cos 2
θ的值由大逐渐变小,因此|F 1|由小逐渐变大,即F 1,F 2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.
点评:本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从数学角度进行解释,这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型,为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优越性的具体体现.
变式训练
某人骑摩托车以20km/h 的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为40km/h 时,他又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速.
图2
解:如图2所示.设v 1表示20km/h 的速度,在无风时,此人感到的风速为-v 1,实际的风速
为v ,那么此人所感到的风速为v +(-v 1)=v -v 1. 令AB =-v 1,AC =-2v 1,实际风速为v . ∵+=, ∴=v -v 1,这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度. ∵+=, ∴DC =v -2v 1,
这就是当车的速度为40km/h 时,骑车人感受到的风速.
由题意得∠DC A=45°,DB ⊥AB,AB=BC,
∴△DCA 为等腰三角形,DA=DC ,∠DA C=∠DC A=45°.
∴DA=DC=2BC=202.
∴|v |=202km/h.
答:实际的风速v 的大小是202km/h,方向是东南方向.
例2如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m 和M,求子弹的速度v 的大小.
图3
解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以
m|v |=(M+m)|v 0|.①
由于机械能守恒,所以21(M+m)v 02=(M+m)gh.② 联立①②解得|v |=.2gh m
m M + 又因为m 相对于M 很小,所以|v |≈gh m
M 2, 即子弹的速度大小约为gh m
M 2. （三）知能训练
1.一艘船以4km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2km/h,则经过3小时,该船实际航程为() 1584图4
2.如图4,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力F ,则F =___________.
3.一艘船以5km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度.
解答:
点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求.
2.41(5,4)
图5
3.如图5所示,设表示水流速度,表示船垂直于对岸的速度,表示船的实际速度,∠AOC=30°,||=5km/h.
因为OACB 为矩形,所以||=||·cot30°=||·cot30°=53≈h,
||=ο30cos ||=2
3
35=10km/h. 答:水流速度为h,船的实际速度为10km/h.
点评:转化为数学模型,画出向量图,在直角三角形中解出.
（四）课堂小结
1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤.
①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;
②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;
③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;
④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型.
①力、速度、加速度、位移都是向量;
②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减;
③)动量mv是数乘向量,冲量Δt F也是数乘向量;
④功是力F与位移s的数量积,即W=F·s.
（五）作业。