数学能力专题训练分类与划分的思想

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219457521_分类讨论思想在高中数学解题中的应用

219457521_分类讨论思想在高中数学解题中的应用

分类讨论思想在高中数学解题中的应用陈燕飞(昆山陆家高级中学ꎬ江苏苏州215000)摘㊀要:分类讨论是数学学科的重要思想之一ꎬ每年高考题都会涉及到分类讨论思想的考查ꎬ是高中数学教学的重点.为提高学生的分类讨论思想能力ꎬ促进其解题能力及数学学习成绩的提升ꎬ教学实践中应采用理论讲解和习题巩固相结合的教学方法ꎬ指导学生在不同题型中的应用分类讨论思想.关键词:分类讨论思想ꎻ高中数学ꎻ解题中图分类号:G632㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀文章编号:1008-0333(2023)18-0011-03收稿日期:2023-03-25作者简介:陈燕飞(1977.9-)ꎬ男ꎬ江苏省如皋人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀分类讨论思想在高中数学解题中有着广泛的应用ꎬ不同习题分类讨论的切入点及讨论标准存在差异ꎬ因此ꎬ教学实践中应为学生做好解题示范ꎬ注意预留 空白 ꎬ要求学生认真揣摩分类讨论的标准与过程ꎬ做好方法的归纳㊁整理ꎬ以便理解与掌握分类讨论法.1解答三角函数习题三角函数题中产生分类讨论的情况主要有周期㊁相位㊁图象的不确定等ꎬ解题时应从这些不确定的对象入手ꎬ运用已知条件尽可能的将不确定对象的范围进一步精确ꎬ通过分类讨论尝试推导出矛盾ꎬ从而解决问题.例1㊀已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0ꎬωɪN∗ꎬ0<φ<π)图象上A的坐标为(π24ꎬ0)ꎬ一条对称轴为直线x=π6.当f(x)在区间(π6ꎬπ3)上单调ꎬ则φ的值为(㊀㊀).A.π6㊀㊀㊀B.π4㊀㊀㊀C.π3㊀㊀㊀D.2π3解析㊀由f(x)在区间(π6ꎬπ3)上单调ꎬ可得π3-π6=π6ɤT2ꎬ即ꎬ12ˑ2πωȡπ6ꎬ解得0<ωɤ6.因点A在函数f(x)图象上ꎬ且直线x=π6为函数f(x)图象的一条对称轴ꎬ则π6-π24=π8.当π8=T4ꎬ此时T=2πω=π2ꎬ解得ω=4满足题意ꎻ当π8=3T4ꎬ此时T=2πω=π6ꎬ解得ω=12不满足题意ꎻ综上可得f(x)=cos(4x+φ)ꎬ因直线x=π6为其一条对称轴ꎬ则4ˑπ6+φ=kπꎬkɪZꎬφ=kπ-2π3ꎬkɪZꎬ又由0<φ<πꎬ则φ=π3ꎬ选择C.11点评㊀根据函数f(x)在给定区间的单调性ꎬ确定其周期范围ꎬ再运用周期公式得出ω的范围.结合图象中的已知点㊁对称轴进行分类讨论ꎬ看计算出的ω是否在解得的范围内ꎬ得出最终结果.2解答解三角形习题解三角形常用的知识点有正弦㊁余弦定理ꎬ但在运算的过程中可能会出现多种情况ꎬ此时需进行分类讨论.分类讨论的依据有三角形的内角的分类ꎬ边的分类等.分类讨论中ꎬ若某种情况能推出矛盾ꎬ则应舍去该种情况ꎻ如不能推出矛盾ꎬ则该种情况成立.例2㊀在钝角әABC中AꎬBꎬC对应边aꎬbꎬcꎬ其中a>bꎬa=6ꎬ且满足3sinB-3sinC=cosAꎬcos2A=-79ꎬ则әABC的面积为(㊀㊀).A.4㊀㊀㊀B.8㊀㊀㊀C.42㊀㊀㊀D.82解析㊀由a=6ꎬ3cosB-3cosC=cosA以及正弦定理得到:3b-3c=a=6ꎬ则b-c=2①ꎻ又由cos2A=2cos2A-1ꎬcos2A=-79ꎬ得到cosA=ʃ13.当cosA=13时ꎬ由余弦定理得到:a2=b2+c2-2bccosAꎬ即ꎬ36=b2+c2-23bc=(b-c)2+43bc=4+43bcꎬ即ꎬbc=24②ꎻ由①②得到b=6ꎬc=4ꎬ不符合题意ꎬ舍去ꎻ当cosA=-13时ꎬcosA=1-cos2A=223ꎬ由余弦定理得到:4+83bc=36ꎬ此时bc=12ꎬ由①得到ꎬb=1+13ꎬc=-1+13ꎬ满足a>bꎬ则SәABC=12bccosA=12ˑ12ˑ223=42ꎬ选择C项.点评㊀根据题干中给出的等式ꎬ运用正弦定理进行转化得出cosA的值有两个ꎻ分别对两个值讨论ꎬ发现cosA=13不符合题意ꎬ而cosA=-13符合题意ꎬ在cosA=-13的条件下计算出әABC的面积即可.3解答导数习题导数是高中数学中最易考查分类讨论思想的知识[1].分类讨论常出现对函数求导后ꎬ因参数值的不确定性ꎬ导致函数在不同区间的单调性不同.对参数分类讨论过程中ꎬ判断得出的参数值或范围是否符合题意.例3㊀已知函数f(x)=xex+1ꎬg(x)=a(ex-1)ꎬ当x>0时ꎬ有f(x)ȡg(x)ꎬ则实数a能取到的最大整数为(㊀㊀).A.1㊀㊀㊀㊀B.2㊀㊀㊀㊀C.3㊀㊀㊀㊀D.4解析㊀令h(x)=f(x)-g(x)=xex+1-a(ex-1)=(x-a)ex+a+1ꎬ则hᶄ(x)=(x-a+1)ex.当aɤ1时ꎬhᶄ(x)>0在(0ꎬ+ɕ)上恒成立ꎬ此时ꎬh(x)单调递增ꎬ要想满足题意只需h(0)ȡ0ꎬ此时h(0)=1满足题意.当a>1时ꎬ令hᶄ(x)=0ꎬ解得x=a-1ꎬ则当0<x<a-1时hᶄ(x)<0ꎬh(x)单调递减ꎻ当x>a-1时ꎬhᶄ(x)>0ꎬh(x)单调递增ꎻh(x)min=h(a-1)=-ea-1+1+aꎬ要想满足题意只需-ea-1+1+aȡ0ꎬ即1+aȡea-1.当a=2时.3>e成立ꎻ当a=3时4>e2不成立.综上分析ꎬ实数a能取到的最大整数为2ꎬ故选择B项.点评㊀求参数a能取到的最大整数ꎬ需将问题转化为恒成立问题ꎬ而恒成立对应求函数的最值ꎬ因此ꎬ分类讨论主要围绕求函数的最值展开ꎬ期间需灵活应用导数知识.4解答数列习题数列习题中分类讨论常出现的情况有公差和公比的不确定性㊁通项公式的不确定性等ꎬ尤其对于部 21分数列需将偶数项与奇数项的通项公式分开考虑ꎬ运算时应搞清楚奇㊁偶项的内在联系ꎬ保证推理的严谨性与正确性.例4㊀已知数列{an}中a1ɪZꎬan+1+an=2n+3ꎬ前n项的和为Snꎬ若S13=amꎬ则正整数m=(㊀㊀).A.99㊀㊀㊀B.103㊀㊀㊀C.107㊀㊀㊀D.198解析㊀由an+1+an=2n+3得到an+1-(n+1)-1=-(an-n-1)ꎬ则数列{an-n-1}为公比1的等比数列ꎬ则an-n-1=(-1)n-1(a1-2)ꎬ由数列{an}前n项的和为Sn得到:S13=a1+(a2+a3)+ +(a12+a13)=a1+2(2+4+ +12)+3ˑ6=a1+102.当n为奇数时a1-2+n+1=a1+102ꎬ解得m=103ꎻ当n为偶数时ꎬ-(a1-2)+n+1=a1+102ꎬm=2a1+99由a1ɪZꎬ则m=2a1+99只能为奇数ꎬ此时无解.综上分析m=103ꎬ选择B项.点评㊀数列的的通项公式中含有(-1)n-1ꎬ导致数列的偶数项与奇数项的值不同ꎬ因此ꎬ需将其分开进行考虑ꎬ推理㊁计算出符合题意的结果.5解答圆锥曲线习题圆锥曲线是高中数学一个重难点ꎬ圆锥曲线习题中产生分类讨论的情况多种多样ꎬ尤以直线与圆锥曲线的关系不确定时为讨论的切入点ꎬ讨论过程中为减少运算量ꎬ提高运算效率ꎬ应认真观察图形ꎬ注重几何性质的应用.例5㊀已知F1ꎬF2为双曲线C:x2-y2b2=1(b>0)的左㊁右焦点ꎬ过点F2的直线和双曲线交于AꎬB两点ꎬ当әABF1为等边三角形ꎬ则b的所有取值的积为(㊀㊀).A.2㊀㊀㊀B.3㊀㊀㊀C.22㊀㊀㊀D.23解析㊀(1)当过点F2的直线和双曲线相交的情境如图1时ꎬ设|AF2|=m(m>c-1)ꎬ则由双曲线定义可得|AF1|=|AF2|+2a=m+2ꎬ由әABF1为等边三角形ꎬ可得|AF1|=|BF1|=|AB|=m+2ꎬ可得|BF2|=2ꎬ由双曲线的性质可得|BF1|-|BF2|=|AB|-|BF2|=m=2ꎬ则|AF2|=|BF2|ꎬ则ABʅF1F2ꎬ则2c=4cos30ʎ=23ꎬ则c=3ꎬb=2ꎻ图1㊀例5题解析(1)㊀㊀㊀㊀㊀图2㊀例5题解析(2) (2)当过点F2的直线和双曲线相交的情境如图2时ꎬ设|BF2|=n(n>c-1)ꎬ则|BF1|=|BF2|+2a=n+2ꎬ由әABF1为等边三角形ꎬ可得|AF1|=|BF1|=|AB|=n+2ꎬ|AF2|=2n+2ꎬ又由|AF2|-|AF1|=2n+2-(n+2)=2ꎬ解得n=2ꎬ则|AF1|=4ꎬ|AF2|=6ꎬ则әAF1F2中由余弦定理可得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|AF2||cos60ʎ=27ꎬ则c=7ꎬ此时ꎬb=6.结合以上两种情境可得b的所有取值的积为2ˑ6=23ꎬ选择D项.点评㊀对于情况一ꎬ等边әABF1位置较为特殊ꎬ可借助双曲线和等边三角形性质构建线段之间的关系求解.对于情况二ꎬ则需应用余弦定理进行运算.综上所述ꎬ应用分类讨论思想解答数学题时ꎬ应明确为何要进行分类讨论ꎬ分类讨论的依据是什么ꎬ怎样对分类讨论的结果进行合理取舍ꎬ等[2].解题教学中ꎬ为使学生掌握技巧㊁把握思路ꎬ既要展示经典例题ꎬ又要加强专题训练ꎬ启发学生的同时ꎬ帮助其积累丰富经验ꎬ增强应用能力.参考文献:[1]俞洁.高中数学问题中的分类讨论思想例谈[J].中学数学ꎬ2022(03):35-36.[2]顾宣峰.分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J].高中数理化ꎬ2021(S1):20.[责任编辑:李㊀璟]31。

2023学年浙江七年级数学上学期专题训练专题01数形思想之与线段有关的动点问题(解析版)

2023学年浙江七年级数学上学期专题训练专题01数形思想之与线段有关的动点问题(解析版)

专题01数形思想之与线段有关的动点问题专练(解析版)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、填空题1.(2021·河南)线段15AB =,点P 从点A 开始向点B 以每秒1个单位长度的速度运动,点Q 从点B 开始向点A 以每秒2个单位长度的速度运动,当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动,当2AP PQ =时,t 的值为________. 【答案】307或6 【分析】根据时间与速度可以分别表示出AP 、BQ ,结合2AP PQ =分别从相遇前和相遇后,利用线段的和差关系计算出t 的值. 【详解】解:此题可分为两种情况进行讨论: ①如图1,点P 、Q 相遇前,由题意得AP =t ,BQ =2t ,PQ =AB -AP -BQ , 当2AP PQ =时,t =2(15-t -2t), 解得t =307; ①如图2,点P 、Q 相遇后,由题意得AP =t ,BQ =2t ,PQ =AP +BQ -AB , 当2AP PQ =时,t =2(t +2t -15), 解得t =6. 综上所述:t 的值为307或6. 故答案为:307或6. 【点睛】此题考查了与线段有关的动点问题,正确理解题意,利用线段的和差关系列出方程是解题的关键.2.(2021·全国)如图1,点C在线段AB上,图中共有三条线段AB,AC和BC,若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍,则称点C是线段AB的“巧点”.(1)线段的中点__这条线段的“巧点”;(填“是”或“不是”);(2)如图2,已知AB=15cm.动点P从点A出发,以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动;点Q从点B出发,以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动,点P,Q同时出发,当其中一点到达终点时,运动停止.设移动的时间为t(s),当t=__s时,Q为A,P 的“巧点”.【答案】是7.5或45 7【分析】(1)根据“巧点”的定义即可求解;(2)设A点为数轴原点,作数轴,设运动时间为t秒;t最大=7.5,A:0,P:0+2t=2t,Q:15﹣t,分①Q为AP中点;①AQ=2PQ;①PQ=2AQ;进行讨论求解即可.【详解】解:(1)若线段中点为C点,AB=2AC,所以中点是这条线段“巧点”(2)设A点为数轴原点,作数轴,设运动时间为t秒;t最大=7.5,A:0,P:0+2t=2t,Q:15﹣t,①Q为AP中点,20152tt+-=,①t=7.5;①AQ=2PQ,AQ=15﹣t﹣0=15﹣t,PQ=2t﹣(15﹣t)=3t﹣15,①AQ=2PQ,①15﹣t=2(3t﹣15),①457t=;①PQ=2AQ,得3t﹣15=2(15﹣t),①t=9>7.5(舍去).综上所述:t=7.5或457.故答案为:(1)是;(2)7.5或457.【点睛】本题主要考查两点间的距离及一元一次方程的应用,根据题意列出方程是解题的关键.二、解答题3.(2021·江苏七年级期末)(新知理解)如图①,点M 在线段AB 上,图中共有三条线段AB 、AM 和BM ,若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍,则称点M 是线段AB 的“奇点”. (1)线段的中点______这条线段的“奇点”(填“是”或“不是”) (初步应用)(2)如图①,若18CD cm =,点N 是线段CD 的奇点,则______CN cm =; (解决问题)(3)如图①,已知15AB cm =动点P 从点A 出发,以1/cm s 速度沿AB 向点B 匀速移动:点Q 从点B 出发,以2/m s 的速度沿BA 向点A 匀速移动,点P 、Q 同时出发,当其中一点到达终点时,运动停止,设移动的时间为t ,请直接写出t 为何值时,A 、P 、Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的奇点?【答案】(1)是;(2)6或9或12;(3)3t =或307或154或458或457或6 【分析】(1)根据“奇点”的定义即可求解;(2)分①当N 为中点时, ②当N 为CD 的三等分点,且N 靠近C 点时,③当N 为CD 的三等分点,且N 靠近D 点时,进行讨论求解即可;(3)分①由题意可知A 不可能为P 、Q 两点的巧点,此情况排除;②当P 为A 、Q 的巧点时;③当Q 为A 、P 的巧点时;进行讨论求解即可. 【详解】(1)一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍,则称这个点为该线段的“奇点”, ∴线段的中点是这条线段的“奇点”,(2)18CD =,点N 是线段CD 的奇点, ∴可分三种情况,①当N 为中点时,11892CN =⨯=,②当N 为CD 的三等分点,且N 靠近C 点时,11863CN =⨯=,③当N 为CD 的三等分点,且N 靠近D 点时,218123CN =⨯=(3)15AB =,t ∴秒后,(),15207.5AP t AQ t t ==-≤≤,①由题意可知A 不可能为P 、Q 两点的巧点,此情况排除; ②当P 为A 、Q 的巧点时,有三种情况;1)点P 为AQ 中点时,则12AP AQ =,即()11522t t =-,解得:154t s = 2)点P 为AQ 三等分点,且点P 靠近点A 时,则13AP AQ =,即()11523t t =-,解得:3t s = 3)点P 为AQ 三等分点,且点P 靠近点Q 时,则23AP AQ =,即()21523t t =-,解得:307t s = ③当Q 为A 、P 的巧点时,有三种情况;1)点Q 为AP 中点时,则12AQ AP =,即1522tt -=,解得:6t s =2)点Q 为AP 三等分点,且点Q 靠近点A 时,则13AQ AP =,即1523t t -=,解得:457t s = 3)点Q 为AP 三等分点,且点Q 靠近点P 时,则23AQ AP =,即21523t t -=,解得:458t s = 【点睛】考查了两点间的距离,一元一次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程,再求解.4.(2021·河南七年级期末)(背景知识)数轴上A 、B 两点在对应的数为a ,b ,则A 、B 两点之间的距离定义为:AB b a =-.(问题情境)已知点A 、B 、O 在数轴上表示的数分别为-4、10和0,点M 、N 分别从O 、B 出发,同时向左匀速运动,点M 的速度是每秒1个单位长度,点N 的速度是每秒3个单位长度,设运动的时间为t 秒(0t >). (1)填空:①OA = OB = ;①用含t 的式子表示:AM = ;AN = ; (2)当t 为何值时,恰好有2AN AM =; (3)求410t t -++的最小值.【答案】(1)①4,10;①4t -,143t -;(2)6或225;(3)14 【分析】(1)①由题意可直接进行求解;①由题意可得点M 在数轴表示的数为-t ,点N 在数轴表示的数为10-3t ,然后根据数轴上的两点距离可求解;(2)由(1)可分点M 在点A 的右边、点M 在点A 的左边和点M 、N 都在点A 的左边,然后列方程求解即可;(3)由410t t -++可看作是t 到10-和4的距离,进而可分当10t <-时,当104t -≤≤时和当4t >时,然后进行求解比较即可. 【详解】解:(1)①由点A 、B 、O 在数轴上表示的数分别为-4、10和0,可得:404,10010OA OB =--==-=, 故答案为4,10;①由点M 、N 分别从O 、B 出发,同时向左匀速运动,点M 的速度是每秒1个单位长度,点N 的速度是每秒3个单位长度,设运动的时间为t 秒,可得点M 、N 的运动路程分别为:t ,3t ;①点M 在数轴表示的数为-t ,点N 在数轴表示的数为10-3t , ①4,143AM t AN t =-=-, 故答案为4t -,143t -;(2)由(1)可得:当点N 追上点M 时,则有()3110t -=,解得:5t =,①①当点M 在点A 的右边时,即04t <<,则有()14324t t -=-,解得:6t =(不符合题意,舍去);①当点M 在点A 的左边时,即4t >,则有()14324t t -=-,225t =>4,符合题意; ①当点N 追上点M 后,即5t >,点M 、N 都在点A 的左边,则有()31424t t -=-,解得:6t =>5,符合题意; 综上所述:当2AN AM =时,225t =或6t =; (3)由410t t -++可看作是t 到10-和4的距离,则有: 当10t <-时,41041026t t t t t -++=---=--无最小值;当104t -≤≤时,41041014t t t t -++=-++=, 当4t >时,41041026t t t t t -++=-++=+,无最小值, 综上所述:当当104t -≤≤时,有最小值,最小值为14. 【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离、一元一次方程的解法及线段的和差关系,熟练掌握数轴上的两点距离、一元一次方程的解法及线段的和差关系是解题的关键.5.(2021·湖南七年级期末)如图,直线l 上有A ,B 两点,AB =18cm ,点O 是线段AB 上的一点,OA =2OB .(1)OA = _______cm ,OB =________cm .(2)若点C 是线段AB 上一点(点C 不与A ,B 重合),且AC =CO +CB ,求CO 的长; (3)若动点P ,Q 分别从A ,B 同时出发,向右运动,点P 的速度为3cm /s ,点Q 的速度为2cm /s ,当点P 与点Q 重合时,P ,Q 两点停止运动.设运动时间为t (s),求当t 为何值时,2OP -OQ =6(cm)?【答案】(1)12,6;(2)2cm ;(3)1.5s 或9s 【分析】(1)由于AB =18cm ,点O 是线段AB 上的一点,OA =2OB ,则OA +OB =3OB =AB =18cm ,依此即可求解;(2)根据点C 是线段AB 上一点(点C 不与A ,B 重合),分两种情况:①点C 在线段OA 上时;①点C 在线段OB 上时,根据AC =CO +CB 即可求解;(3)根据题意分三种情况讨论:①点P 在AO 之间时,即0≤t <4时,①点P 在OB 之间时,即4≤t <6时,①点P 在AB 延长线上时,即6≤t ≤18时,分情况讨论求解即可. 【详解】解(1)①AB=18, OA =2OB ①2OB+OB=18, ①OB=6,OA=12 故答案为:12,6; (2)分两种情况讨论: ①如图,点C 在线段OA 上时, ①AC =CO +CB , ①AC = CO +(CO +OB ), ①AO -CO = CO +(CO +OB ) ①3CO=AO -OB , OC =()112623⨯-=;①如图,点C 在线段OB 上时, ①AC =CO +CB ,①AC = CO +(OB - CO ), 即AO +CO = CO +(OB - CO )①CO= OB -AO =-6不符合题意,舍掉, 综上所述,CO 的长是2; (3)由题意分三种情况讨论: ①点P 在AO 之间时,即0≤t <4时, 得()()2123626t t --+=,解得t =1.5; ①点P 在OB 之间时,即4≤t <6时, 得()()2312626t t --+=,解得t =9(舍去) ①点P 在AB 延长线上时,即6≤t ≤18时, 得()()2312626t t --+=,解得t =9. 综上所述,当t 为1.5s 或者9s 时,2OP -OQ =6(cm ). 【点睛】本题考查了线段和差的计算,一元一次方程的应用,直线上的动点问题,解题的关键是找出等量关系列出方程,注意分情况讨论.6.(2021·湖北七年级期末)已知:如图,在数轴上点A 表示数a ,点B 表示数b ,AB 表示A 点和B 点之间的距离,且a ,b 满足()2230a b a +++=.(1)求A ,B 两点之间的距离;(2)若在数轴上存在一点C ,且2AC BC =,求点C 表示的数;(3)一小球甲在数轴上从点A 处以1个单位/秒的速度向右运动,同时另一小球乙从点B 处以7个单位/秒的速度向左运动,当甲乙两小球开始运动时,立即在点P 和点B 处各放一块挡板,其中点P 所表示的数为1-,当球在碰到挡板后(忽略球的大小,可看作一点)以原来的速度向相反的方向运动,设运动的时间为t (秒),问:t 为何值时,甲、乙两小球之间的距离为4.【答案】(1)8;(2)点C 表示的数为103或14;(3)t 为12s 或32s 时,甲、乙两小球之间的距离为4. 【分析】(1)由()2230a b a +++=可得2,6a b =-=,进而问题可求解;(2)由题意易得点C 在点A 的右侧,可分当点C 在线段AB 上和在线段AB 外,进而根据线段的和差关系可进行列方程求解;(3)由题意得:=1V 甲个单位/秒,=7V 乙个单位/秒,则有它们相遇的时间为1s ,进而可分①当它们未碰到挡板P ,即01t <<,①当它们碰到挡板P 后,即1t >,然后根据题意列方程求解即可. 【详解】解:(1)①()2230a b a +++=, ①20,30a b a +=+=, ①2,6a b =-=,①A 、B 两点之间的距离为()628AB =--=,(2)由2AC BC =得点C 在点A 的右侧,设点C 表示的数为x ,即AC=x+2,则有: ①当点C 在线段AB 上,则BC=6-x , ①()226x x +=-,解得:103x =, ①当点C 在线段AB 外,则BC=x -6, ①()226x x +=-,解得:14x =,综上所述:当2AC BC =时,点C 表示的数为103或14;(3)由题意得:=1V 甲个单位/秒,=7V 乙个单位/秒, ①它们相遇的时间为:()178t +=,解得:=1t , ①它们同时碰到挡板P ,当它们之间的距离为4时,则有: ①当它们未碰到挡板P ,即01t <<,①478t t ++=,解得:1=2t ,①当它们碰到挡板P 后,即1t >, ①1774t t -+-=,解得:32t =,综上所述:当t 为12s 或32s 时,甲、乙两小球之间的距离为4.【点睛】本题主要考查数轴上两点的距离、一元一次方程的应用及线段的和差关系,熟练掌握数轴上两点的距离、一元一次方程的应用及线段的和差关系是解题的关键.7.(2021·河南七年级期末)如图1,M ,N 是直线l 上的两个点,且10MN =.线段AB (A 在B 的左侧)可以在直线l 上左右移动.已知5AB =,点C 是AN 的中点.(1)如图2,当B 与N 重合时,AM = ,BC = ;(2)在图2的基础上,将线段AB 沿直线MN 向左移动(05)a a <<个单位长度得到图3.①若3a =,求AM 和BC 的长; ①若2BC =,则a 的值是 .(3)在图2的基础上,将线段AB 沿直线MN 向右移动0b b >()个单位长度.请直接写出AM 与BC 之间的数量关系 .【答案】(1)5,2.5;(2)①AM =2,BC =1;①1;(3)AM=2BC . 【分析】(1)当B 与N 重合时,AM=MN -NA=5,由点C 是()AN AB 的中点.由5AB =,可得AC=BC=1AB=2.52;(2)①由线段AB 沿直线MN 向左移动(05)a a <<个单位长度,可得BN=3a =可求AM =MN -AN =2,由点C 是AN 的中点.NC=AC=1AN=42,可求BC ;①由2BC =,()1522BC CN BN a a =-=+-=解方程即可; (3)又线段AB 沿直线MN 向由移动0b b >()个单位长度,BN=b ,可得AN= 5-b ,可求AM =MN -AN=5+b ,由点C 是AN 的中点.可求NC=AC=()15-2b ,可求BC =CN+BN=()15+2b 即可. 【详解】解:(1)当B 与N 重合时,AM=MN -NA=MN -BA=10-5=5, ①点C 是AN 的中点. ①点C 是AB 的中点, ①5AB =,①AC=BC=11AB=5=2.522⨯,故答案为:5,2.5;(2)①①线段AB 沿直线MN 向左移动(05)a a <<个单位长度, ①3a =, ①BN=3a =,①AN=AB+BN=5+a =8,①AM =MN -AN=MN -(AB+BN )=10-(5+3)=2, ①点C 是AN 的中点.①NC=AC=11AN=8=422⨯,BC =CN -BN=4-3=1;①①2BC =,()115222BC CN BN AN BN a a =-=-=+-=, 即()1522a a +-=, 524a a +-=,a =1,故答案为:1;(3)①线段AB 沿直线MN 向由移动0b b >()个单位长度, ①BN=b ,①AN=AB -BN=5-b ,①AM =MN -AN= 10-(5-b )=5+b , ①点C 是AN 的中点. ①NC=AC=()11AN=5-22b ,①BC =CN+BN=()()1155+22b b b -+=, ①AM=2BC .故答案为:AM=2BC .【点睛】本题考查与线段有关的动点与动线问题,掌握线段的中点定义,会根据线段和差列方程,理解线段和差是解题关键.8.(2021·贵州)如图,在数轴上点A ,点B ,点C 表示的数分别为2,1,6.-(1)线段AB 的长度为 个单位长度,线段AC 的长度为 个单位长度.(2)点P 是数轴上的一个动点,从A 点出发,以每秒1个单位长度的速度,沿数轴的正方向运动,运动时间为t 秒(018)≤≤. 用含t 的代数式表示:点P 在数轴上表示的数为 线段BP 的长为 个单位长度;(3)点M ,点N 都是数轴上的动点,点M 从A 点出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动,点N 从点C 出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动.设点,M N 同时出发,运动时间为x 秒当点,M N 两点间的距离为13个单位长度时,求x 的值,并直接写出此时点M 在数轴上表示的数.【答案】(1)3;8;(2)-2+t ;(3-t )或(t -3);(3)10.【分析】(1)根据两点间的距离公式可求线段AB的长度,线段AC的长度;(2)由题意,先求出点P表示的数,再根据路程=速度×时间求出点P运动的路程,再分点P在点B的左边和右边两种情况求解;(3)根据等量关系点M、N两点间的距离为3个单位长度列出方程求解即可.【详解】解:(1)线段AB的长度为1-(-2)=3个单位长度,线段AC的长度为6-(-2)=8个单位长度;(2)根据题意,点P在数轴上表示的数为:-2+t;线段BP的长为:当t≤3时,BP=3-t;当t>3时,BP=t-3,(3)依题意有:4x+3x-8=13,解得:x=3.此时点M在数轴上表示的数是:-2+4×3=10.故答案为:(1)3;8;(2)-2+t;(3-t)或(t-3).【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,数轴,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程,再求解.9.(2021·广东七年级期末)如图,已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6(1)求线段AB的长;(2)已知点P为数轴上点A左侧的一个动点,且M为PA的中点,N为PB的中点.请你画出图形,并探究MN的长度是否发生改变?若不变,求出线段MN的长;若改变,请说明理由.【答案】(1)8;(2)见解析;MN的长度不会发生改变,线段MN=4.【分析】(1)数轴上两点之间的距离等于较大数与较小数的差;(2)根据中点的意义,利用线段的和差可得出答案.【详解】解:(1)AB=|﹣2﹣6|=8,答:AB的长为8;(2)MN的长度不会发生改变,线段MN=4,理由如下:如图,因为M为PA的中点,N为PB的中点,所以MA=MP=12PA,NP=NB=12PB,所以MN=NP﹣MP=12PB﹣12PA=12(PB﹣PA)=12AB=12×8=4.【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离,数轴上线段中点的意义,熟练掌握两点间距离计算方法,灵活运用中点的意义是解题的关键.10.(2021·全国)如图,射线OM上有A、B、C三点,满足OA=40cm,AB=30cm,BC=20cm.点P从点O出发,沿OM方向以2cm/秒的速度匀速运动,点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动,两点同时出发,当点Q运动到点O时,点P,Q停止运动.(1)当点P与点Q都同时运动到线段AB的中点时,求点Q的运动速度;(2)当P A=2PB时,点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点,求点Q的运动速度;(3)自点P运动到线段AB上时,分别取OP和AB的中点E、F,求OB APEF的值.【答案】(1)点Q的运动速度为1411cm/s;(2)点Q的运动速度为1110cm/s或116cm/s;(3)2【分析】(1)设经过ts,点P与点Q都同时运动到线段AB的中点,根据线段中点的定义得到BQ=15cm,求得CQ=35cm,于是得到结论;(2)设Q的速度为v,经过ts后,点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点,点O对应数轴上的0,点A 对应数轴上的40,点B 对应数轴上的70,点C 对应数轴上的90,点P 对应数轴上的2t ,点Q 对应数轴上的90﹣vt ,根据题意列出方程即可求出v 的值; (3)设经过ts 时,点P 在AB 之间,点O 对应数轴上的0,点A 对应数轴上的40,点B 对应数轴上的70,点C 对应数轴上的90,点P 对应数轴上的2t ,由于OP 和AB 的中点E ,F ,所以点E 对应数轴上的t ,点F 对应数轴上的55,从而可知EF =55﹣t ,AP =2t ﹣40,OB =70,代入原式即可求出答案. 【详解】解:(1)①AB =30cm ,1152AP BQ AB cm ∴===, ①CQ =BC +BQ =35cm ,设经过ts ,点P 与点Q 都同时运动到线段AB 的中点, ①OP =OA +P A =40+15=55(cm ), ①t =552(s ), ①点Q 的运动速度=35÷552=1411(cm /s ); 答:点Q 的运动速度为1411cm /s ; (2)设Q 的速度为v ,经过ts 后,点Q 运动到的位置恰好是线段OB 的中点,点O 对应数轴上的0,点A 对应数轴上的40,点B 对应数轴上的70,点C 对应数轴上的90, ①点P 对应数轴上的2t ,点Q 对应数轴上的90﹣vt , ①点Q 运动到的位置恰好是线段OB 的中点, ①702=90﹣vt , ①vt =55, ①2PB =P A ,①2|2t ﹣70|=|2t ﹣40|, ①解得:t =50或t =30, 当t =50s 时, 此时v =1110, 而点Q 到达O 点所需要时间为90011s >50s , 当t =30时, 此时v =116,而点Q 到达O 点所需要的时间为54011>30s , 综上所述,当v =1110或v =116cm /s ; (3)设经过ts 时,点P 在AB 之间,点O 对应数轴上的0,点A 对应数轴上的40,点B 对应数轴上的70,点C 对应数轴上的90,①点P 对应数轴上的2t , ①OP 和AB 的中点E ,F ,①点E 对应数轴上的t ,点F 对应数轴上的55, ①EF =55﹣t ,AP =2t ﹣40,OB =70, ①原式=70(240)55t t---=2.【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用,数形结合列出方程是解题的关键.11.(2021·全国七年级专题练习)A ,B 两地相距a 千米,C 地在AB 的延长线上,且3BC a =千米,D 是A 、C 两地的中点.(1)求AD 长(结果用含a 的代数式表示). (2)若90BD =千米,求a 的值.(3)甲、乙两车分别从A 、D 两地同时出发,都沿着直线AC 匀速去C 地,经4小时甲追上乙.当甲追上乙后甲马上原路返回,甲返回行驶1小时时发现甲车距D 地50千米,已知600a =千米,求乙车行驶的平均速度【答案】(1)2=3AD a 千米;(2)270a =千米;(3)乙车平均速度为50km/h 或503km/h 【分析】(1)由题意易得43AC a =千米,进而根据点D 是A 、C 的中点可求解; (2)由(1)23AD a =千米,则有2133BD a a a =-=千米,然后由BD=90千米可求解;(3)由题意易得22600=40033AD a ==⨯km ,11600=20033BC a ==⨯km ,进而可得1小时内甲比乙多行驶100km ,设乙速度为xkm/h ,则甲速度为(x +100)km/h ,然后可得甲距离A 为()()()41001003300x x x +-+=+km ,则可分①甲在D 地左50km ,①甲在D 地右50km ,最后列方程进行求解即可. 【详解】解:(1)AB a =千米,3BC a=千米,43AC a ∴=千米,D 是A 、C 两地的中点,1223AD AC a ∴==千米; (2)由(1)23AD a =千米,BD AB AD =-, 2133BD a a a ∴=-=千米,90BD =千米, 1=903a ∴ =270a ∴(3)600a =,22600=40033AD a ∴==⨯km ,11600=20033BC a ==⨯km ,由题甲、乙之间相距400km ,4小时后甲追上乙,∴1小时内甲比乙多行驶100km ,∴设乙速度为xkm/h ,则甲速度为(x +100)km/h ,由题知,甲返回行驶了1h ,∴甲距离A 为()()()41001003300x x x +-+=+km ,甲车距D 地50km ,∴甲可能在D 地左50km 或右50km ,①甲在D 地左50km ,此时甲距离A 为5040050=350AD -=-,3300350x +=,解得:503x =, ①甲在D 地右50km ,此时甲距离A 为5040050=450AD +=+,3300450x +=,解得:50x =,综上所述:乙车平均速度为50km/h 或503km/h . 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用及线段的和差关系,熟练掌握一元一次方程的应用及线段的和差关系是解题的关键.12.(2021·石家庄市第二十八中学)已知A,B是数轴上两点,点A在原点左侧且距原点20个单位,点B在原点右侧且距原点100个单位.(1)点A表示的数是:;点B表示的数是:.(2)A,B两点间的距离是个单位,线段AB中点表示的数是.(3)现有一只电子蚂蚁P从点B出发以6个单位/秒的速度向左运动,同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发以4个单位/秒的速度向右运动.设两只电子蚂蚁在数轴上的点C处相遇,求点C表示的数.【答案】(1)-20,100.(2)120,40;(3)28.【分析】(1)根据点的位置确定符号和值即可;(2)用两个点表示的数相减即可,求出中点到A的距离,再求中点表示的数;(3)求出相遇的时间,再求出C点与A的距离,即可求出C点表示的数.【详解】解:(1)①点A在原点左侧且距原点20个单位,点B在原点右侧且距原点100个单位,①点A表示的数是:-20;点B表示的数是:100.故答案为:-20,100.(2)A,B两点间的距离是100-(-20)=120;线段AB中点到A的距离是120÷2=60,线段AB中点表示的数为-20+60=40;故答案为:120,40;(3)两只电子蚂蚁在数轴上相遇的时间为120÷(4+6)=12(秒)点C距A的距离为12×4=48,点C表示的数为-20+48=28.【点睛】本题考查了数轴上的动点问题,解题关键是理解数轴上点表示的数的意义,会求两点间的距离.13.(2021·江苏七年级期末)如图1,线段AB=20cm.(1)点P沿线段AB自A点向B点以2cm/s的速度运动,同时点Q沿线段BA自B点向A点以3cm/s的速度运动,几秒后,P,Q两点相遇?(2)如图2,AO=PO=2cm,①POQ=60°,现点P绕着点O以30°/s的速度顺时针旋转一周后停止,同时点Q沿直线BA自B点向A点运动,若点P,Q两点也能相遇,求点Q运动的速度.【答案】(1)4秒;(2)8cm/s或52cm/s【分析】(1)根据点P,Q的运动路程之和为20建立方程求解即可得出结论;(2)要点P,Q相遇,只能点P运动到线段AB上,判断出点P旋转的角度,进而求出点P的运动时间,即可得出结论.【详解】解:(1)设t秒后,P,Q两点相遇,根据题意知,(2+3)t=20,解得,t=4秒,答:4秒后,P,Q两点相遇.(2)①①POQ=60°,①点P绕着点O旋转60°或240°刚好在线段AB,当点P绕着点O旋转60°时,点P和点Q相遇,①点P的旋转了60°÷30°=2秒,则(20﹣4)÷2=8cm/s,当点P绕着点O旋转240°时,点P和点Q相遇,①点P的旋转了240°÷30°=8秒,则20÷8=52cm/s,即:点Q的速度为8cm/s或52cm/s.【点睛】本题主要考查角的和差关系及一元一次方程的应用,熟练掌握角的和差关系及一元一次方程的应用是解题的关键.14.(2021·陕西七年级期末)如图,已知线段24AB=,动点P从A出发,以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动,运动时间为t秒(0t>),点M为AP的中点.(1)当3t =时,求线段MB 的长度; (2)当t 为何值时,点P 恰好是MB 的中点? (3)当t 为何值时,2AM PB =?【答案】(1)当3t =时,21MB =;(2)当8t =;点P 恰好是MB 的中点;(3)485t =或16t =,2AM PB =. 【分析】(1)如图:当t =3时,先求出AP ,然后再求出AM ,最后根据MB =AB -AM 求解即可; (2)先求出AM =MP =t ,再说明MP PB t ==,然后由3324AB AM t ===即可求得t ; (3)分P 在线段AB 上和P 在线段AB 延长线上两种情况解答即可. 【详解】解:(1)当3t =时,326AP =⨯=. ①点M 为AP 的中点,①116322AM AP ==⨯=, ①24321MB AB AM =-=-=. (2)①点M 为AP 的中点, ①11222AM MP AP t t ===⨯=. ①点P 是MB 的中点, ①MP PB t ==, ①3324AB AM t ===, ①8t =;(3)当点P 在线段AB 上时,AM t =,242PB AB AP t =-=-,①()2242t t =-, 解得485t =. 当P 在线段AB 的延长线上时,AM t =,224PB AP AB t =-=-,①()2224t t =-, 解得16t =. ①485t =或16t =. 【点睛】本题属于直线上的动点问题,主要考查了中点的定义、线段的和差等知识点,正确画出图形并表示出相应线段的长以及掌握分类讨论思想成为解答本题的关键.15.(2021·福建七年级期末)(1)如图:若点C 在线段AB 上,线段AC =10cm ,BC =6cm ,点M ,N 分别是AC ,BC 的中点,求线段MN 的长度;(2)若点C 在线段BA 的延长线上,点M ,N 分别是AC ,BC 的中点,设BC ﹣AC =a ,请根据题意画出图形,并求MN 的长度(用含a 的式子表示);(3)在(1)的条件下,动点P 、Q 分别从A 、B 两端同时出发,点P 以2cm /s 的速度沿AB 向右运动,终点为B ,点Q 以1cm /s 的速度沿AB 向左运动,终点为A ,当一个点到达终点,另一个点也随之停止运动,求运动多少秒时,CP :CQ =1:2?【答案】(1)线段MN 的长度是8cm ;(2)MN =12a ,理由见解析;(3)当运动143或265时,CP :CQ =1:2 【分析】(1)根据题意结合图形得出MN =12(AC +BC ),即可得出答案;(2)直接根据题意画出图形,进而利用MN =NC ﹣MC =1()2BC AC -求出即可;(3)根据动点P 、Q 的运动方向和速度用含t 的式子表示出CP 和CQ,再列方程可得结论. 【详解】解:(1)①线段AC =10cm ,BC =6cm ,点M 、N 分别是AC 、BC 的中点, ①12MC AC =,12NC BC =, ①MN 1122MC NC AC BC =+=+ =12(AC +BC )=12×16=8(cm ); 答:线段MN 的长度是8cm ; (2)如图:MN =12a .理由如下:①点M 、N 分别是AC 、BC 的中点, ①MC =12AC ,NC =12BC , ①BC ﹣AC =a ,①MN =NC ﹣MC =12BC ﹣12AC =1()2BC AC -=12a .(3)①点P 以2cm /s 的速度沿AB 向右运动,点Q 以1cm /s 的速度沿AB 向左运动, 而AC =10cm ,BC =6cm ,CP :CQ =1:2 ①2CP CQ = , 可分为三种情况讨论:当点C 在点P 右侧,点Q 的左侧时,有05t <≤ ,此时102CP t =- ,6CQ t =- ,则2(102)6t t -=- ,解得:143t = ; 当点C 在点P 、Q 的左侧时,有56t <≤ ,此时210CP t =-,6CQ t =-,则2(210)6t t -=-,解得:265t = ; 当点C 在点P 的左侧,Q 的右侧时,有68t <≤ ,此时210CP t =-,6CQ t =-,则2(210)6t t -=-,解得:143t =,舍去, 综上所述,当运动143 或265时,CP :CQ =1:2. 【点睛】本题考查线段的计算,中点的定义,利用两点之间的距离和中点的定义分情况讨论列出一元一次方程是解题的关键.16.(2021·天津七年级期末)如图,直线l上有A,B两点,AB=12cm,点O是线段AB上的一点,OA=2OB.(1)则OA=cm,OB=cm;(2)若点C是线段AB上一点(点C不与点A、B重合),且满足AC=CO+CB,求CO 的长;(3)若动点P从点A出发,动点Q从点B同时出发,都向右运动,点P的速度为2cm/s.点Q的速度为1cm/s,设运动时间为t(s)(其中t≥0).①若把直线l看作以O为原点,向右为正方向的一条数轴,则t(s)后,P点所到的点表示的数为;此时,Q点所到的点表示的数为.(用含t的代数式表示)①求当t为何值时,2OP﹣OQ=4(cm).【答案】(1)8,4;(2)43cm;(3)①﹣8+2t,4+t;①1.6或8.【分析】(1)由于AB=12cm,点O是线段AB上的一点,OA=2OB,则OA+OB=3OB=AB=12cm,依此即可求解;(2)根据图形可知,点C是线段AO上的一点,可设C点所表示的实数为x,分两种情况:①点C在线段OA上时;①点C在线段OB上时,根据AC=CO+CB,列出方程求解即可;(3)①根据路程=速度×时间即可求解;①分两种情况:0<t<4(P在O的左侧);4≤t≤12(P在O的右侧);进行讨论求解即可.【详解】解:(1)①AB=12cm,OA=2OB,①OA+OB=3OB=AB=12(cm),解得OB=4,OA=2OB=8(cm).故答案为:8,4;(2)设C点所表示的实数为x,分两种情况:①点C在线段OA上时,①AC=CO+CB,①8+x=﹣x+4﹣x,3x =﹣4,解得x =﹣43;①点C 在线段OB 上时, ①AC =CO +CB , ①8+x =4,解得x =﹣4(不符合题意,舍).故CO 的长是43cm ;(3)①t (s )后,P 点所到的点表示的数为﹣8+2t ;此时,Q 点所到的点表示的数为4+t . 故答案为:﹣8+2t ,4+t ; ①0<t <4(P 在O 的左侧),OP =0﹣(﹣8+2t )=8﹣2t ,OQ =4+t ,2OP ﹣OQ =4,则 2(8﹣2t )﹣(4+t )=4, 解得t =1.6;4≤t ≤12(P 在O 的右侧),OP =﹣8+2t ﹣0=﹣8+2t ,OQ =4+t ,2OP ﹣OQ =4,则 2(2t ﹣8)﹣(4+t )=4, 解得t =8.综上所述,t =1.6或8时,2OP ﹣OQ =4cm . 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用,数轴上两点的距离,数轴上点的表示,比较复杂,要认真理清题意,并注意数轴上的点,原点左边表示负数,右边表示正数,在数轴上,两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值.17.(2021·辽宁七年级期末)如图,数轴上点A 在原点左侧,点B 在原点右侧,且2OA OB =,动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发,都向右运动,点P 的速度为每秒2个单位长度,点Q 的速度为每秒1个单位长度,当点P 与点Q 重合时,P ,Q 两点停止运动.设运动时间为t 秒.(1)若点A 表示的数为12-,则点B 表示的数为________,线段AB 中点表示的数为___________;(2)在(1)的条件下,若122OP OQ AB -=,求t 的值; (3)当点P 在线段AO 上运动时,若AP BP OP -=,请探究线段OP 与线段AB 之间的数量关系,并说明理由.【答案】(1)6;-3;(2)95或13;(3)3AB OP =或9AB OP =,见解析【分析】(1)由点A 表示的数为12-,AO =2OB 可知,可求出OB ,AB 长,从而得出结论; (2)分两种情况:点P 在原点的左侧和右侧时,OP 表示的代数式不同,OQ =6+t ,分别代入2OP ﹣OQ =9列式即可求出t 的值;(3))设线段OB 的长为b ,则2,3OA b AB b == ,分两种情况去绝对值,求出t 的值,即可解决问题. 【详解】(1)①点A 表示的数为12-,AO =2OB , ①AO =12,OB =6, ①AB =18,①线段AB 中点表示的数为3. 故答案是:6;﹣3;(2)当P 、Q 相遇时,()()1262118t =+÷-=(秒),①1118,18922t AB ≤=⨯=.当点P 在AO 上时,122,6OP t OQ t =-=+,①29OP OQ -=,①()()2122169t --+=,95t =,符合; 当点P 在原点O 右侧时,212,6OP t OQ t =-=+, ①29OP OQ -=,()()221269t t --+=, 13t =,符合.综上所述,若29OP OQ -=,t 的值为95或13.(3)设线段OB 的长为b ,则2,3OA b AB b ==. ①点P 在线段AO 上运动,①2,22AP t OP b t ==-.32BP AB AP b t =-=-. 若AP BP <,则AP BP BP AP -=-, ①BP AP OP -=,①()32222b t t b t --=-,解得12t b =.①222OP b t b b b =-=-=, 又①3AB b =, ①3AB OP =;若AP BP >,则AP BP AP BP -=-, ①AP BP OP -=, ①()23222t b t b t --=-,解得56t b =.①5122233OP b t b b b =-=-=.①3AB b =. ①9AB OP =.综上所述,线段OP 与线段AB 之间的数量关系为3AB OP =或9AB OP =. 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用,比较复杂,要认真理清题意,并注意数轴上的点,原点左边表示负数,右边表示正数,在数轴上,两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值.18.(2021·安徽七年级期末)如图,点,A B 在数轴上分别表示有理数,a b ,且,a b 满足2|2|(5)0a b ++-=.(1)点A 表示的数是___________,点B 表示的数是____________.(2)若动点P 从点A 出发以每秒3个单位长度向右运动,动点Q 从点B 出发以每秒1个单位长度向点A 运动,到达A 点即停止运动,P Q 两点同时出发,且Q 点停止运动时,P 也随之停止运动,求经过多少秒时,,P Q 第一次相距3个单位长度?(3)在(2)的条件下整个运动过程中,设运动时间为t 秒,若AP 的中点为,M BQ 的中点为N ,当t 为何值时,3BM AN PB +=? 【答案】(1)﹣2,5;(2)1秒;(3)1秒或3511秒. 【分析】。

中学数学教学中数学思想和方法的渗透

中学数学教学中数学思想和方法的渗透

中学数学教学中数学思想和方法的渗透【摘要】数学思想方法是学生学好数学的基础条件,它对学生在数学学习过程中遇到的困难有指导意义,同时可培养学生的数学学习习惯和能力。

数学概念是构成数学知识体系的基石,是数学思想与方法的载体。

因此,在中学数学教学中,老师必须重视数学思想和方法的渗透教育。

【关键词】数学思想方法;教学;解题要学好数学,首先要具备学习数学的思想和方法,老师通过数学思想教育对学生进行指导,提高学生学习数学的能力,并帮助学生养成科学学习的素养,树立终身学习的理念。

数学概念是了解和掌握数学知识的基础,也是数学思想和方法的载体。

因此,完善数学思想和方法的教学,是提高数学教学质量的重要手段。

一、中学数学中的数学思想方法数学思想方法是数学基础知识的表现形式,它揭示了数学知识的概念、本质,也是提高学生基础能力的关键。

中学数学教学中关于方法教学的内容很多,换元法、消元法、待定系数法、数形结合法、分类讨论法、转化与化归法、函数与方程法等。

老师需在教学中不断渗透数学思想,激发学生的数学热情,学会体验数学真谛,以及欣赏数学之美,并在这样一种思想基础上提高教学效率,增强学生解决问题的能力。

二、数学思想方法的内容1通过对数学对象本质属性中相同点和异同点的分类,根据某一属性将数学对象区分为不同种类的思想方法,就叫做分类思想方法。

分类教学是一种重要的思想方法,也是一种教学手段。

通过分类,可以让原本抽象、复杂的内容变得具体、清晰,帮助学生理清数学知识,促进数学思维发展,并避免思维混乱。

从中学数学教材内容来看,大量的知识方法和概念内容都需要通过分类思想方法进行教学,以便提供一个更加有效的教材体系。

例如,课本中对有理数是这样介绍的——“整数和分数统称有理数”,它说出了有理数的外延,在大范围中也没有出现遗漏,这就是分类思想方法的体现,因此,在教学中对于分类的思想方法应予以辅导。

2比较是重在研究事物对象的个性与不同,比较思想也是增强学生数学理解能力、提高知识掌握程度的主要手段之一。

高中数学专题训练教学目标(最新完整版)

高中数学专题训练教学目标(最新完整版)

高中数学专题训练教学目标(最新完整版)高中数学专题训练教学目标高中数学专题训练的教学目标主要包括以下几个方面:1.提高学生的数学基础:专题训练的目的是针对学生在数学学习中的薄弱环节进行有针对性的训练,因此,通过高中数学专题训练,学生能够更好地掌握数学基础知识,提高数学基础水平。

2.培养学生的数学思维:数学是一门需要思维的学科,通过高中数学专题训练,学生能够学习到更多的数学思维方式和方法,如分析、综合、归纳、演绎等,从而提高学生的数学思维能力。

3.提高学生的解题能力:高中数学专题训练的另一个目标是提高学生的解题能力。

通过专题训练,学生能够掌握更多的解题技巧和方法,提高解题速度和准确性。

4.培养学生的自主学习能力:高中数学专题训练需要学生在课前进行预习,课堂上积极参与讨论,课后进行自我总结和复习。

这些过程都能够培养学生的自主学习能力,让学生学会独立思考和解决问题。

5.提高学生的自信心:通过高中数学专题训练,学生能够逐渐克服数学学习中遇到的困难和挑战,提高学习自信心和学习动力。

总之,高中数学专题训练的目标是提高学生的数学基础、数学思维、解题能力、自主学习能力和学习自信心。

高中数学的教学目标高中数学的教学目标主要有以下几点:1.掌握数学的基础知识:高中数学的教学目标首先是让学生掌握基本的数学知识,包括整数、分数、小数、比例、幂、根、对数、指数、百分数、百分数点、根号、小数点、分数线、绝对值、复数等等。

2.培养学生的逻辑思维能力:高中数学不仅是基础知识的教学,更重要的是要培养学生的逻辑思维能力,让他们学会思考和分析问题。

3.培养解决问题的能力:高中数学教学不仅仅是让学生掌握基础知识,更重要的是要培养他们解决问题的能力,让他们学会在面对实际问题时,能够运用数学知识来分析和解决。

4.培养学生的创新意识和创造力:高中数学教学应该注重培养学生的创新意识和创造力,让他们能够用不同的思路和方法来解决问题,并且能够创造新的知识和技术。

“综合与实践”专题分布特征及功能探究——基于小学数学教材解读

“综合与实践”专题分布特征及功能探究——基于小学数学教材解读

[摘要]苏教版教材在每一单元后都会安排相应的“综合与实践”专题活动,文章从苏教版新旧教材的“综合与实践”专题数量与内容安排的对比出发,分析新版教材“综合与实践”专题的类型分布特征,并探讨了“综合与实践”专题的功能,以期指导教师解读教材“综合与实践”课题、设计综合实践活动课,从而更好地落实数学课程标准。

[关键词]综合与实践;教材分析;功能探究;苏教版教材[中图分类号]G 623.5[文献标识码]A[文章编号]1007-9068(2021)32-0016-03目前中小学教学课程改革的方向主要从教师的教学方式和学生的学习方式两方面入手,而数学课程改革的主要目的之一是培养学生学习知识并且能够将所学知识在生活中应用和实践的能力。

基于这一点,苏教版新教材的一至六年级一共编排了34个“综合与实践”活动课题。

这些课题通过现实的、开放的教学设计,引导学生参与含有数学问题的实践活动,并通过设置问题和障碍,让学生在有趣的实践活动中自主探索,结合自身所学知识积极思考解决对策,并学会与同学合作,共同解决问题。

“综合与实践”贴近生活,设置的问题都是生活中能遇到的,因此,学生可以从生活出发,发现生活与数学的内在联系,学会用数学解决生活中的实际问题,形成应用和实践数学知识的能力。

一、苏教版新旧教材“综合与实践”的对比如图1,从数量上看,新版教材中“综合与实践”专题的数量比旧版教材的减少了13个(新版教材有34个专题,而旧版教材有47个专题),且大致呈现每册书少一个课题的趋势。

从“综合与实践”课题数量在各年级分布特点来看,旧版教材的分布比较杂乱,没有明显的层次性,而新版教材的分布特点更加鲜明,其中1~2年级每年设置4个专题,3~4年级每年设置6个专题,5~6年级每年设置7个专题。

为什么在课程改革强调培养学生综合与实践能力的情况下,“综合与实践”的课题数量反而减少了?“综合与实践”专题分布特征及功能探究——基于小学数学教材解读江苏南京师范大学附属中学新城小学南校区(210019)魏媛媛图1新旧教材“综合与实践”课程内容安排对比程度深浅(2001)教材教材研析Copyright©博看网. All Rights Reserved.对此,一些一线教师给出了如下原因:课时紧张,要保证课程精简,迎合课程标准的新要求。

初中数学《有理数与数轴》单元教学设计以及思维导图

初中数学《有理数与数轴》单元教学设计以及思维导图

有理数与数轴适用年七年级数学级所需时7课时间主题单元学习概述(说明:简述主题单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况,单元的学习重点和难点、解释专题的划分和专题之间的关系,单元的主要的学习方式和预期的学习成果,字数300-500) 本章是第三学段教科书的第一章,既承接前两个学段的内容,又为进一步学习打下基础。

本章主要内容是有理数的有关概念及其运算。

首先,从实例出发引入负数,接着引进关于有理数的一些概念,在此基础上,介绍有理数的加减法运算。

本主题单元,将分成三个专题来组织学习活动。

专题一:认识正、负数及有理数的分类。

专题二:数轴与有理数。

数轴与相反数。

数轴与绝对值。

专题三:数轴与有理数加法。

这三个专题都源于教材,其覆盖了教材的全部要求,又不拘泥于教材,适当进行了拓展和延伸,充分体现了学科服务于生活的理念。

学习本章的一个关键,就是利用数轴的直观性,帮助学生理解相反数与绝对值的概念,掌握比较有理数大小的方法,认识有理数的运算法则。

利用数轴分析物体运动的实例,可以非常直观地获得物体两次运动的结果,从而引出有理数加法的运算法则。

主题单元规划思维导图主题单元学习目标(说明:依据新课程标准要求描述学生在本主题单元学习中所要达到的主要目标)知识与技能:1、通过生活实例,了解有理数等知识是生活的需要.2、理解并掌握数轴、相反数、绝对值、有理数等有关概念.3、通过本单元的学习,掌握有理数的加法。

过程与方法:通过本单元的学习,培养学生应用数学知识的意识,训练和增强学生运用新知识解决实际问题的能力情感态度与价值观:1、过本单元知识的学习,通过生活实例的引入,通过教师、学生双边的教学活动,激励学生学习数学的兴趣,让学生真正体验到数学知识来源于生活并服务于生活.2、通过本单元知识的学习,给学生渗透辩证唯物主义思想。

3、让学生通过观察、思考、探究、讨论、归纳,主动地进行学习。

对应课标(说明:学科课程标准对本单元学习的要求)1、通过实际例子,感受引入负数的必要性。

数学分类讨论思想专题训练

数学分类讨论思想专题训练
分类讨论思想专
题 训 练 B R A N D
PLANING
分类思想是根据数学本 质属性的相同点和不同 点,将数学研究对象分 为不同种类的一种数学 思想。分类以比较为基 础,比较是分类的前提, 分类是比较的结果。
分类必须有一定的标准, 标准不同分类的结果也 就不同。分类要做到不 遗漏,不重复。分类后, 对每个类进行研究,使 问题在各种不同的情况 下,分别得到各种结论, 这就是讨论。
函数值的取值范围是-5≤y≤-2 ,则这个函数的解析式

.
二.函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点,求a的值与交 点坐标 .
二.图形位置的分类 D
O
1如图,线段OD的一个端
点O在直线a上,以OD为
一边画等腰三角形,并且
使另一个顶点在直线a上,
这样的等腰三角形能画多
a 少个?
4
▪ 2在下图三角形的边上找出一点,使得该点 与三角形的两顶点构成腰三角形! 6
求A、B、C三点的坐标;
在直线x=m(m>1) ○ 上有一点P(点P在第一象限), ○ 使得以P、D、B为顶点的三角 ○ 形与以B、C、O为顶点的三角 ○ 形相似,求点P的坐标。
y
o AB
C
Dx
x=m
3. 在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠C=900 ,BC=16, DC=12,AD=21。动点P从点D出发,沿射线DA的 方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q从点C出发, 在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,点P, Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P 随之停止运动。设运动的时间为t(秒).
(1)设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式.
(2)当线段PQ与线段AB相交于点O,且BO=2AO时, 求∠BQP的正切值.

九年级数学培优辅差计划

九年级数学培优辅差计划

九年级数学培优辅差计划九年级数学培优辅差计划篇1一、指导思想:提高优生的自主和自觉学习能力,进一步巩固并提高中等生的学习成绩,帮助”潜能生”取得适当进步,让”潜能生”在教师的辅导和优生的帮助下,逐步提高学习成绩,并培养较好的学习习惯,形成基本能力。

培化计划要落到实处,发掘并培养一批尖子,挖掘他们的潜能,从培养能力入手,训练良好学习习惯,从而形成较扎实基础,并能协助老师进行辅差活动,提高整个班级的素养和成绩二、学生情况分析从上学期的学习情况及知识技能掌握情况看,3(9)和3(10)班大部分学生学习积极性高,学习目的明确,上课认真,作业能按时按量完成,且质量较好,但也有少部分学生,基础知识薄弱,学习态度欠端正,书写较潦草,作业有时不能及时完成,因此本学期除在教学过程中要注重学生的个体差异外,我准备在提高学生学习兴趣上下功夫,通过培优辅潜的'方式使优秀学生得到更好的发展,潜能生得到较大进步。

三、具体措施1、认真备好每一次培优辅潜教案,努力做好学习过程的趣味性和知识性相结合。

2、加强交流,了解潜能生、优异生的家庭、学习的具体情况,尽量排除学习上遇到的困难。

3、做好家访工作,及时了解学生家庭情况,交流并听取建议。

4、沟通思想,切实解决潜能生在学习上的困难。

5、坚持辅潜工作,每周不少于一次。

6、根据学生的个体差异,安排不同的作业。

7.采用一优生带一”潜能生”的一帮一行动。

8.请优生介绍学习经验,”潜能生”加以学习。

9.课堂上创造机会,用优生学习思维、方法来影响”潜能生”。

对”潜能生”实施多做多练措施。

优生适当增加题目难度,不断提高做题能力。

10.采用激励机制,对”潜能生”的每一点进步都给予肯定,并鼓励其继续进取,在优生中树立榜样,给机会表现,调动他们的学习积极性和成功感。

充分了解”潜能生”现行学习方法,给予正确引导,朝正确方向发展,保证”潜能生”改善目前学习差的状况,提高学习成绩。

九年级数学培优辅差计划篇2一、第一轮复习1、第一轮复习的形式第一轮复习的目的是要“过三关”:(1)过记忆关。

高中数学“分类与整合思想”专题及专项训练

高中数学“分类与整合思想”专题及专项训练

“分类与整合思想”专题及专项训练一、大纲解读分类与整合思想是数学中的一种重要思想,是历年高考考查的重点之一,此类试题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点,在考试中的难度属中高档.高考对分类与整合思想的考查,主要有四个方面:一是考查有没有分类意识,遇到应该分类的情况,是否想到要分类,什么样的问题需要分类;二是如何分类,即要科学地分类,分类标准要统一,不重不漏;三是分类之后解题如何展开;四是如何整合.纵观近几年高考试题,通常是由参数的变化及变化过程需要一些条件限制而引起的分类讨论.归纳起来引起分类讨论的原因大致有五种:一是涉及的数学概念是分类定义的;二是运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的;三是求解的数学问题的结论有多种可能性;四是数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值会导致不同的结果;五是对较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决.二、高考预测预计2009年高考对分类与整合思想的考查可能会呈现以下趋势:试题将会在求解函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、排列组合、概率等数学问题中出现,在解决含参数问题、绝对值问题、导数问题、最值问题上运用较多,在高考中所占的比重较大,且对理科要求较高,而对文科在这方面的要求可能相对较低.三、重点剖析重点1 对等比数列公比q 的分类讨论;对n 奇偶性的讨论;解分式不等式时分类讨论各因式的符号;运用比较法时对式子符号的讨论等等.例1 设等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和),2,1( 0 =>n S n .(Ⅰ)求q 的取值范围;(Ⅱ)设1223++-=n n n a a b ,记{}n b 的前n 项和为n T ,试比较n S 与n T 的大小. 分析:由于涉及等比数列的前n 项和公式的应用,须分1q =和1q ≠讨论.欲比较n S 与n T 的大小,只须求出n S 与n T 后,再用作差法比较.解:(Ⅰ)因为}{n a 是等比数列,.0,0,011≠>=>q S a S n 可得 当;0,11>==na S q n 时1(1)11,0,0,(1,2,)11n nn a q q q S n q q--≠=>>=--当时即上式等价于不等式组:),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧<-<-n q q n① 或),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧>->-n q q n② 解①式得q >1;解②,由于n 可为奇数、可为偶数,得-1<q <1. 综上,q 的取值范围是).,0()0,1(+∞⋃-(Ⅱ)由2132n a n b a a ++=-得.)23(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-=于是)123(2--=-q q S S T n n n ).2)(21(-+=q q S n又∵n S >0且-1<q <0或q >0.①当112q -<<-或2q >时0n n T S ->即n n T S >; ②当122q -<<且q ≠0时,0n n T S -<即n n T S <; ③当12q =-或q =2时,0n n T S -=即n n T S =.点评:该例中在使用等比数列的前n 项和公式n S ,须分1q =和1q ≠讨论,不要忽视1q =的情况.在第二小问中,抓住2132n a n b a a ++=-,利用等比数列的通项公式,巧妙的把n b 转化成.)23(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-=最后,作差比较n S 与n T ,即)123(2--=-q q S S T n n n ).2)(21(-+=q q S n ,为确定差的符号,故对q 进行分类讨论.重点2 指数函数(01)xy a a a =>≠且和对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且的单调性研究时对底数进行分类讨论例2如果函数22()(31)(01)x x f x a a a a a =-+>≠且在区间[)0+,∞上是增函数,那么实数a 的取值范围是( )A.203⎛⎤ ⎥⎝⎦,B.1⎫⎪⎪⎣⎭C.(D.32⎡⎫+⎪⎢⎣⎭,∞ 分析:本题在用复合函数单调性判断时,需要对底数a 进行分类讨论. 解:令xu a =,则外层函数为22(31)y u a u =-+.①若a >1,则内层函数xu a =在[)0+,∞上是增函数,其值域是{|1}u u ≥,要使函数22()(31)x x f x a a a =-+在区间[)0+,∞上是增函数,所以需要外层函数22(31)y u a u =-+在[1,)u ∈+∞上是增函数,所以对称轴23112a u +=≤,213a ∴≤,这与a >1矛盾;②若0<a <1,则xu a =在[)0+,∞上是减函数,其值域是{|01}u u <≤.要使函数22()(31)x x f x a a a =-+在区间[)0+,∞上是增函数,所以需要外层函数22(31)y u a u =-+在(0,1]u ∈上是减函数,所以对称轴23112a u +=≥,∴213a ≥,∴实数a 的取值范围是,选B . 点拔:复合函数单调性判断要注意四点:①内层函数xu a =的值域是外层函数22(31)y u a u =-+的定义域.②内层函数xu a =与复合函数22()(31)x x f x a a a =-+定义域相同,都是[)0+,∞;③分类与整合的思想方法的运用;④一元二次函数单调性要依其图象对称轴的位置来判断.重点3 对于含有参数函数问题,在研究导函数时往往要运用分类与整合的思想例3求函数323()(1)3(1)2f x ax a x x a x R =+-->-∈,取极小值时x 的值. 分析:首先确定2'()33(1)3f x ax a x =+--是否为二次函数,故分0a =和0a ≠讨论,若0a ≠时,求f ′(x )=0的实根,进而划分其单调区间,确定极小值.解:2'()33(1)3f x ax a x =+--.(1)当0a =时,'()f x = 33x --.令'()f x =0,得1x =-,下面列出x ,'()f x ,()f x 的对应值表如下:(2)当0a ≠时,'()f x = 13(1)(1)3()(1)ax x a x x a-+=-+, 令'()f x =0,得1x a=或1x =-,则 ①当a >0时,11>-,下面列出x ,'()f x ,f (x )的对应值表如下: 所以,函数f (x )在x a =处取得极小值()f a . ②当1-<a <0时,因11(1)0a a a+--=>,所以1< —1,则下面列出x ,'()f x ,f (x )的对应值表如下:此时,函数f (x )在x a =处取得极小值()f a. 综上所述:当a >0或1-<a <0时,函数f (x )在1x a=处取得极小值. 点拔:结合函数、导数内容考查分类与整合思想是近几年高考热点.本题首先弄清导函数是否为二次函数,分0a =与0a ≠讨论,做第一层面讨论;当0a ≠时,f ′(x )为二次函数,其图象为抛物线,但开口方向不确定,所以做第二层面的讨论;为了划分单调区间,应该比较'()f x =0的两根的大小.重点4 整体观察,化繁为简例4 (08年高考四川卷理11)设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=,若()12f =,则()99f =( )(A)13 (B)2 (C)132 (D)213解析:∵函数()f x 满()()213f x f x ⋅+=, ∴ ()()1342=+⋅+x f x f , ∴()()()()1313242=+⋅+⋅+x f x f x f x f ,∴()()x f x f =+4, ∴函数()x f 为周期是4的周期函数.∴()()()21244197==⨯+=f f f , ∴()()139799=⋅f f ,故()21399=f . 点评:该题主要考察学生的整体观察能力,即不要()()213f x f x ⋅+=将割裂来求,否则加大了运算难度.如: ∵()()213f x f x ⋅+=且()12f =,∴()12f =,()()1313312f f ==,()()13523f f ==,()()1313752f f ==,()()13925f f ==,,∴()221132n f n n ⎧⎪-=⎨⎪⎩为奇数为偶数 ,∴()()1399210012f f =⨯-= ,故选C. 重点5 整体构造(式或形),化难为易例5(07年高考陕西卷理5)已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和,且14,23==n n S S ,则n S 4=( ).A.80B.30C.26D.16解析:此题若考虑用求和公式,不仅计算量较大,而且对公比q 还要考虑1,1≠=q q 进行分类讨论,若注意到n S ,n S 2,n S 3,n S 4依次相差n 项,以此构造四个整体:n n n n n S S S S S 232,,--,n n S S 34-通过分析可知这三个数构成等比数列。

初三数学中考复习方法研讨会发言稿(用)

初三数学中考复习方法研讨会发言稿(用)

中考数学复习策略研讨会发言稿各位老师大家上午好:我非常荣幸能在这里与各位同行进行交流,中考在即,如何在有限的时间里达到最好的复习效果,进而取得令人满意的成绩,相信这是我们每一位老师和同学都在思考的问题。

在此,结合上一届我们拜城二中九年级集体备课组的复习经验和我们这一届初三学生的实际情况,跟大家交流一下我们的具体计划和做法,希望大家能够提出宝贵的建议,同时也为大家提供一点参考。

一、近几年中考题的特点及变化趋势通过做近几年的新疆中考试卷,感受近几年新疆中考试题的特点及其变化。

当时做完的第一感觉就是这不像是我们想象中的中考题,整套试题题目简单一点也不复杂,其中《圆》、《二次函数》这两章的内容占得比例很少;其次,感觉中考复习的方向不好把握,若不当,考完后就会觉得中考的复习没多大作用。

(ppt2):初中数学总复习是完成初中三年数学任务之后的一个系统、完善、深化所学内容的关键环节。

重视并认真完成这个阶段的任务,不仅有利于初三学生巩固、消化、归纳数学基础知识,提高分析、解决问题的能力,而且有利于学生将来的实际运用。

同时是对学习基础较差学生达到查缺补漏,掌握教材内容的再学习。

经过分析发现近几年的中考题的总体变化趋势:......是不再过分注重知识掌握的偏向,而是更偏重于学生在今后的学习中所必备的数学基础知识、基本技能、基本思想方法和综合运用能力的考查,更加强化了我们学数学是为了用数学的意识,体现了数学来源于实际生活又服务于实际生活的特点。

中考试题的特点:(PPT3)1、试题比较灵活,题型新但不难,有一定梯度,所涉及的基础知识与基本技能都以《数学课程标准》为依据,试题源于教材。

2、注重联系实际,创设问题情境,体现了数学来源于生活,并且服务于生活的特色。

大部分试题紧密联系实际,试题背景来源于现实生活,这类问题关键在于认真审题,理解题意,能将实际问题进行提炼,进一步转化为数学问题来解决,要具备较高的分析能力和解题能力,考查了学生的综合学习能力。

小学数学专题讲座

小学数学专题讲座

小学数学专题讲座一、开场语尊敬的各位听众,大家好!今天,我们聚集在这里,共同探讨小学语文教学的诸多方面。

我非常荣幸能在这里与大家分享我的一些想法和经验。

二、主题介绍小学语文教学,无疑是教育领域中至关重要的一环。

它承载着为学生打下语言基础,培养阅读理解能力,激发写作兴趣的重要任务。

在这个阶段,孩子们不仅需要掌握基本的语言技能,更需要通过不断的探索和实践,培养出独立思考、创新思维的能力。

三、教学内容和方法在教学内容上,除了基础的字词教学,我们还应该学生的阅读和写作能力。

阅读是获取知识的重要途径,而写作则是表达自我、沟通交流的重要手段。

在教学过程中,我们应该注重培养学生的阅读兴趣,引导他们通过阅读来开阔视野,提高理解能力。

同时,写作训练也不可忽视,我们可以从简单的日记开始,逐步提高学生的写作技巧。

教学方法上,我们应尽可能地多样化。

对于小学生来说,兴趣是学习的最好动力。

因此,我们可以采用故事、游戏、音乐等多种形式来激发学生的学习热情。

我们还应注重实践教学,让学生在实际操作中掌握知识,提高技能。

四、学生个体差异每个学生都是独一无二的个体,他们在学习上有着不同的特点和需求。

因此,我们应该学生的个体差异,因材施教。

对于那些在学习上遇到困难的学生,我们应给予更多的关心和帮助;对于那些学有余力的学生,我们则应提供更多的挑战和机会。

五、结语小学语文教学是一项充满挑战和机遇的任务。

作为教师,我们应该始终保持热情和耐心,用科学的方法引导孩子们在知识的海洋中探索和成长。

我们还应学生的心理健康和情感需求,帮助他们建立正确的价值观和世界观。

我相信,只要我们用心去教,用心去听,我们就能为孩子们创造一个愉快且富有成效的学习环境。

再次感谢大家的参与!标题:小学数学专题讲座——小学数学计算能力的培养“精编版”一、引言在当今社会,数学计算能力的重要性不言而喻。

无论是在日常生活,还是在工作学习中,计算能力都是每个人必备的基本技能。

尤其在小学数学教育中,计算能力的培养是重中之重。

分类讨论思想在高中数学教学中的应用探究

分类讨论思想在高中数学教学中的应用探究

㊀㊀㊀㊀㊀116㊀分类讨论思想在高中数学教学中的应用探究分类讨论思想在高中数学教学中的应用探究Һ祁㊀飞㊀(静宁县第二中学,甘肃㊀静宁㊀743400)㊀㊀ʌ摘要ɔ数学思想展现了数学学科的本质,而在高中数学课程教学中渗透数学思想则是促进学生数学知识学习㊁学习能力培养㊁提升思维品质的基本要求.分类讨论思想是高中阶段最重要的数学思想之一,学生在日常解题中时常用到.因此,教师应结合高中课程教学对分类讨论思想进行渗透.本文从分类讨论思想的含义出发,结合教学案例分析分类讨论思想的应用策略,以及其中应注意的问题,希望对提高学生的数学学习能力提供借鉴.ʌ关键词ɔ分类讨论思想;高中数学教学;实践及应用策略引㊀言分类讨论是一种常见的解决问题的逻辑方法,也是一种数学思想.我们在解决数学问题的时候,如果题目中所给的对象无法按现有条件进行统一研究,就需要对研究对象按某个标准进行分类,然后按照这些分类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到对原问题的整个解答.在核心素养理念指导下,促进学生的思维发展是高中数学教学的重要任务,在学生学习探究中融入分类讨论思想有利于帮助其简化研究对象,提升其逻辑思维能力.在高中数学教学日常实践中,教师可以结合当前所教课程内容㊁学生的学情现状和发展需要进行分类讨论思想的渗透.一㊁分类讨论思想基本概述在高中数学中,结合不同题目的特点以及不同类型题目之间的关联点,将数学题以及数学概念划分成不同的种类,并且进行归纳,这种思想就称为分类讨论思想.分类和讨论之间是有联系的,讨论的前提是学生对数学概念和数学问题进行分类.面对同一类题目,学生需要找出它们之间的共同点与联系之处,做到不同题目有着相同的解法,以此提高解决高中数学题目的效率和速度.讨论就是要让学生对归纳和总结的题目进行讨论,找出这些题目之间有关联的地方,最后再做出总结.所以教师在引领学生利用分类讨论思想解题时,一定要让学生先掌握这类解题方法的内涵和实际应用意义,再进行严谨和周密的训练和讨论,最后得出正确的结论.学生在做题的时候很容易遗漏某些知识点,最终对解题结果造成影响,因此教师必须给予其正确的引导,使他们在学习和训练的阶段就养成良好的学习习惯,培养分类讨论的思想和意识.二㊁在高中数学中分类讨论思想的重要意义如果用普通的方式无法解决问题,或者问题本身存在较多的解决办法和答案,这时可能就需要利用讨论的方式找到正确的问题结论.高中数学教师在教学过程当中高效应用分类讨论思想,可以有效强化学生的综合素养,帮助学生提升数学思维能力.教师在教学工作中渗透分类讨论思想,可以培养学生的综合能力,有助于他们在实际的解题过程中拓宽思路,建立完整的数学体系,从而理解课堂教学当中的相关知识点,进一步强化思维逻辑.三㊁应用分类讨论思想的原则高中数学教师在实际的教学过程中引导学生运用分类讨论思想,在帮助学生分析问题和解决问题的过程中非常重要.据此,学生可以科学㊁有逻辑地划分那些复杂的数学问题,然后结合不同的条件进行分析,从而制造更好的机会进行后续的解题.高中数学教师在应用分类讨论思想的过程中,一定要重视层次性㊁统一性和相对性.层次性是指学生在完成分类之后能够进一步讨论子项,这样才能呈现得更加清晰,将分类讨论思想的作用充分发挥出来.统一性是指在实际的教学过程中要对分类标准进行统一.相对性则是指在完成数学分类之后,要保证子项和母项之间保持相对统一.高中数学教师若是想借助分类讨论思想对教学效果和质量进行有效的提升,就要在实践教学中总结方法并合理运用,遵循一定的原则,分析数学问题.四㊁分类讨论思想在高中数学教学中的应用策略(一)充分把握教材内容,精准挖掘分类讨论思想分类讨论思想是对数学具体知识的进一步提炼概括,是以数学具体知识为载体的对数学具体知识的本质认识,是一种隐性的知识.因此,教师在教学研究中需要深入分析教材,从隐性知识中挖掘能够体现分类讨论思想方法的内容,抓住思想渗透的关键点,并通过课程整合潜移默化地展开教学.例如,讲解集合知识时,集合按照元素可以划分为有限集㊁无限集㊁空集三种形式,教师可以据此设计题目,启发㊀㊀㊀117㊀㊀学生思考不同集合限制的解的范围.同时,教师可以结合集合之间的关系引导学生讨论不同情况下集合包含的元素等,并结合不同条件下集合包含的元素强化学生对分类讨论的认识.再如,教师在课堂讲解中可以设计例题,要求学生到讲台进行解答,有的学生会出现遗漏讨论条件的情况,此时教师可以要求其他学生给出不同看法,从而引导学生在认知的碰撞中不断细化分类讨论过程.这样的教学设计可以让学生对分类思想有一个初步的认识,使他们以后做题时也能够有意识地考虑多种情况,为分类讨论思想的运用奠定基础.(二)高度重视知识生成,加强并持续强化分类讨论训练分类讨论思想的渗透过程也是学生知识生成的过程,因此,教师应围绕学生的思想互动,引导其逐渐探索,并设计训练强化的机会,促使学生逐渐发现问题,恰当运用方法,精细地探究分类讨论思想的本质.在教学训练中,高中数学教师应注意以下两点:第一,灌输性思维不利于学生的思想发展.在利用分类讨论思想时,教师应该在教学过程中不断向学生提供丰富的㊁典型的㊁正确的并且是更为直观的背景材料,引导学生对感性材料进行分析㊁综合㊁比较㊁分类㊁抽象㊁概括㊁系统化㊁具体化,在培养学生理性思维的同时,促使学生逐渐认识到分类讨论存在的重要性.例如,在讲解分段函数概念时,教师并不直接给出定义,而是结合生活中出租车计价问题启发学生主动发现问题,通过分析路程与费用的变化情况更加直观地理解分段函数的含义.第二,强化学生的问题意识,引导学生能够对相关结论进行质疑.教师要提醒学生不要过早下结论,而要经历探索㊁发现㊁推导的过程,在严密的逻辑下得出结论,这样才能保证学生准确运用分类讨论方法,提高教学训练效果.(三)悉心引导总结归纳,促使学生提炼分类讨论思想的精华分类讨论思想渗透于高中数学教材各章节中,比较分散,学生在学习的过程中难以形成系统的总结与提炼.针对此,教师在教学实践中应利用单元小结或复习的时间,为学生进行集中讲解,帮助学生梳理知识,强化对分类讨论思想的认识.例如,在围绕 函数的单调性 而进行的分类讨论思想的教学指导中,教师可针对分类讨论的顺序引导学生结合不同题目思考按照层级讨论㊁按照平移顺序讨论的不同,并进行集中总结,使学生有针对性地理解在函数单调性的知识学习中分类讨论的原则㊁分类讨论的方法以及一般步骤等.此外,教师还可以结合知识点,引导学生整理引起分类讨论的原因,启发学生思考简化分类讨论甚至避免讨论的相关策略.这样,学生在学习分类讨论思想的过程中,一方面可以集中探究,提升学习与应用的效果,构建分类讨论的知识体系,另一方面还能够促使学生优化学习过程,提高知识运用的灵活度.(四)审视错题解析,指导学生突破分类讨论思想的难点错题是一种重要的学习资源,教师要引导学生充分利用错题资源.在利用分类讨论思想解题的过程中,学生经常会出错,如在讨论有关等比数列前n项和的计算问题的时候,往往会漏掉q=1的情况;在讨论ɑx2+2x+1=0的解集的时候,往往会漏掉a=0的情况等.针对这些错误,教师应要求学生利用错题本进行收集整理,并主动反思,避免以后发生类似错误.在错题反思中,学生首先要思考 为什么会做错 ,是根本没有想到需要讨论,还是讨论的条件划分不清,抑或是讨论的方法不对等.在回答了这些问题后,学生才能 对症下药 ,主动纠错.接下来,学生需要思考 怎么才能不出错 的问题.例如错题是不是由于审题不清造成的,如果是,题目中的 陷阱 在哪里,以后在解题中应该重点关注哪些词语㊁条件等,这样才能做好提前预防,防止再次犯错.最后,学生应该及时改错,不应拖延㊁推脱,而是第一时间改错,并做好解析,给出正解,梳理总结,逐个突破分类讨论学习中遇到的问题.(五)师生充分联动,在互动中巩固学生对分类讨论思想的掌握在高中数学中,一些复杂的题目往往需要运用多种方法配合解答.教师可以引导学生利用分类讨论思想,打破思维的局限性,实现不同知识㊁方法之间的联动,从而提升学生对数学知识的掌握效果.例如,数形结合是高中阶段学生需要掌握的另一种思想方法,在分类讨论思想教学中渗透数形结合可以让分类更加细化,降低学生思考的难度.例如题目:已知函数:f(x)=13x3-12(a+1)x2+ax-1(aɪR),讨论函数f(x)在[0,+ɕ)上的单调性.在解答此题时,教师可以指导学生根据a=1,a<1,a>1三种情况进行讨论,并绘制相应的二次函数图像,通过观察图像直观分析函数在不同区间的单调性.这样可以提高学生分类讨论的效果,也能够帮助学生强化对数学思想的体会.(六)培养学生对分类讨论思想的兴趣兴趣是学生最好的老师,教师在高中数学的教学实践㊀㊀㊀㊀㊀118㊀中,除了要教授基础知识之外,还要培养学生对数学这门学科的兴趣,从培养学生分类讨论思想的方法出发,让学生能够积极主动地参与到课堂学习当中.当前阶段学生面临的学习压力很大,同样教师的教学任务也比较艰巨,但是因为种种原因,有一部分学生在课堂中往往会感觉到枯燥乏味,这些不良因素的干扰,导致学生的学习效率低下.因此,教师可以利用分类讨论思想培养学生的学习兴趣.这样不但可以完成相关的教学目标,而且能够丰富课堂教学模式,进而提高数学教学效率.在教学实践中,教师要培养学生随时运用分类讨论思想进行学习,并且在学习和复习的各个阶段将分类讨论思想融会贯通.例如,在讲解指数函数和对数函数时,为了让学生能够画出指数函数和对数函数的图像,教师可以利用分类讨论思想引导学生对指数函数以及对数函数相关的问题进行讨论,从而将复杂的问题简单化,将抽象的问题具体化.因此,高效利用分类讨论思想,可以有效强化学生的学习兴趣,提高课堂学习效率,从根本意义上提高学生的数学成绩.(七)不同题目采取不同的分类讨论形式分类讨论思想是一种相对来说比较先进,并且在教学中具有一定效果的㊁成熟的教学思想,其能够将学生的思维模式和思考方式充分激发出来,帮助学生对他们的视野和思维进行有效的拓展.在实际的教学过程当中,教师需要考虑学生的个体差异性,重视学生之间不同的学习能力以及不同数学题目的不同难度,而不是进行盲目的讨论.尤其是面对不同类型的题目,高中数学教师在利用分类讨论思想时一定要使用不同的方式引导学生.例如,高中数学教师在实际的教学过程中为了能够照顾数学水平不同的学生,让他们都能够体会到分类讨论思想带来的意义和作用,就可以将相同类型㊁不同难度的题目进行分类,利用这种方式帮助学习能力不同的学生找到适合他们的问题,在最大的限度内将学生的潜能充分发挥出来,开展针对性教学.五㊁在高中数学教学中应用分类讨论思想应注意的问题在高中数学教学实践中,教师要想引导学生准确把握分类讨论思想,并在实践中灵活运用,需要注意以下几点:第一,既要直接讲解又要重视数学思想的渗透.在日常练习中,学生时常会遇到需要分类讨论进行解答的题目,教师可以针对题目引导学生集中分析分类讨论的运用技巧.此外,教师还应注重日常教学的渗透,即将分类讨论思想潜移默化地融入概念㊁性质㊁法则㊁公式㊁公理㊁定理等数学知识中来,不直接点明分类讨论思想,却潜移默化地引导学生体验㊁领会.第二,注重教学的渐进性,引导学生由浅入深逐渐掌握分类讨论的方法.分类讨论思想的渗透需要学生经历感性到理性㊁从领会到形成㊁从巩固到应用的发展过程.一些教师在实践中倾向于围绕某一题目展开分类讨论,对学生分类讨论的运用技巧进行指导,忽视了学生认知渐进发展的过程,从而影响了教学效果.针对此,教师应注意从发展的角度出发,引导学生在感知概念㊁定理㊁公式㊁法则等知识的过程中产生分类讨论的意识,并结合具体题目领悟方法运用的技巧,最后在活化运用中独立思考,实现对分类讨论的深入掌握.第三,注重教学指导的系统性.在指导学生学习分类讨论思想的过程中,教师应有意识地引导学生建立学习系统,建立数学知识结构,掌握数学思想方法内在的逻辑性.在教学指导中,教师应依托数学知识,引导学生认识到分类讨论思想产生的必然性,通过结合不同题目促使学生进行梳理总结㊁分类掌握,提高教学指导效果.第四,强调学生的自我建构过程.学生掌握分类讨论思想的过程也是一种认知的自我建构过程.在教学实践中,教师应时刻强调学生的自主性,促使学生有计划㊁有步骤地建构学习活动,形成对数学思想的个性化体验,这样才能促使其在知识运用中打破机械套用的局限,提高分类讨论思想运用的灵活性.结束语总之,在当前课程改革背景下,教师不仅要指导学生掌握数学知识,学习解题技巧,还应把握数学思想,提升数学核心素养.在分类讨论思想的渗透中,教师应坚持循序渐进地渗透,结合例题引导学生明确分类标准,进行合理分类以及归纳总结,这样才能让学生逐渐理解分类讨论思想,提升解决问题的能力.ʌ参考文献ɔ[1]王秋华.高中数学课堂教学中分类讨论思想的应用初探[J].中国新通信,2020,22(11).[2]石苍松.试论分类讨论思想在高中数学教学中的应用策略[J].才智,2020(9).[3]袁思宇.分类讨论的思想在高中数学解题中的应用[J].才智,2018(36).[4]石记红.高中数学教学中分类讨论思想的应用分析[J].科学咨询(教育科研),2018(12).。

高考数学二轮总复习专题训练二十六 分类讨论思想 理

高考数学二轮总复习专题训练二十六 分类讨论思想 理

高考专题训练二十六 分类讨论思想班级_______ 姓名________时间:45分钟 分值:75分 总得分_______一、选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项填在答题卡上.1.已知数列{a n }满足:a 1=m (m 为正整数),a n +1=⎩⎪⎨⎪⎧a n 2, 当a n 为偶数时,3a n +1, 当a n 为奇数时.)若a 6=1,则m 所有可能的取值为( )A .4或5B .4或32C .5或32D .4,5或32解析:若a 5为偶数,则a 6=a 52=1,即a 5=2.若a 4为偶数,则a 5=a 42=2,∴a 4=4;若a 4为奇数,则有a 4=13舍).若a 3为偶数,则有a 3=8;若a 3为奇数,则a 3=1. 若a 2为偶数,则a 2=16或2;若a 2为奇数,则a 2=0(舍)或a 2=73舍).若a 1为偶数,则a 1=32或4; 若a 1为奇数,有a 1=5或a 1=13(舍).若a 5为奇数,有1=3a 5+1;所以a 5=0,不成立. 综上可知a 1=4或5或32. 答案:D点评:本题考查了分类讨论的应用,要注意数列中的条件是a n 为奇数或偶数,而不是n 为奇数或偶数.2.已知二次函数f (x )=ax 2+2ax +1在区间[-3,2]上的最大值为4,则a 等于( ) A .-3B .-38C .3 D.38或-3解析:当a <0时,在x ∈[-3,2]上,当x =-1时取得最大值,得a =-3; 当a >0时,在x ∈[-3,2]上,当x =2时取得最大值,得a =38答案:D3.对一切实数,不等式x 2+a |x |+1≥0恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,-2) B .[-2,+∞)C .[-2,2]D .[0,+∞)解析:本题是不等式恒成立问题,可以构造函数,把函数转化为y =x +ax型,通过求解函数的最值得到结论.由不等式x 2+a |x |+1≥0对一切实数恒成立.①当x =0时,则1≥0,显然成立;②当x ≠0时,可得不等式a ≥-|x |-1|x |对x ≠0的一切实数成立.令f (x )=-|x |-1|x |=-⎝⎛⎭⎫|x |+1|x |≤-2.当且仅当|x |=1时,“=”成立. ∴f (x )max =-2,故a ≥f (x )max =-2. 答案:B4.0<b <1+a ,若关于x 的不等式(x -b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个,则( ) A .-1<a <0B .0<a <1C .1<a <3D .3<a <6解析:(x -b )2-(ax )2>0,(x -b -ax )(x -b +ax )>0. 即[(1-a )x -b ][(1+a )x -b ]>0. ①令x 1=b 1-a x 2=b1+a .∵0<b <1+a ,则0<b1+a<1,即0<x 2<1.当1-a >0时,若0<a <1,则不等式①的解集为⎝⎛⎭⎫-∞,b 1+a ∪⎝⎛⎭⎫b1-a ,+∞,不符合题意.若-1<a <0,不等式的解集为⎝⎛⎭⎫-∞,b 1-a ∪⎝⎛⎭⎫b1+a ,+∞,不符合题意. 当1-a <0时,即a >1时,需x 1=b1-a <-2,a +1>b >-2(1-a ),∴a <3. 综上,1<a <3.故选C. 答案:C5.已知a =(-1,-2),b =(1,λ).若a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫-∞,-12B.⎝⎛⎭⎫-12,+∞ C.⎝⎛⎭⎫-12,2∪(2,+∞) D .(2,+∞) 解析:∵〈a ,b 〉为钝角,∴a ²b <0,即有λ>-12.又当λ=2时,a 与b 反向.故选C.答案:C6.对任意两实数a ,b 定义运算“*”如下,a *b =⎩⎪⎨⎪⎧a a ≤b ,b a >b ,)则函数f (x )=log 12(3x -2)*log 2x 的值域为( )A .(-∞,0]B .[log 223,0]C .[log 223,+∞) D .R解析:根据题目给出的情境,得f (x )=log 12 (3x -2)*log 2x =log 2⎝⎛⎭⎫13x -2*log 2x =⎩⎪⎨⎪⎧log 213x -2 x ≥1,log 2x 0<x <1.)由于y =log 2x 的图象在定义域上为增函数,可得f (x )的值域为(-∞,0].故选A.答案:A二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上. 7.若函数f (x )=4x +a ²2x +a +1在(-∞,+∞)上存在零点,则实数a 的取值范围为________.解析:设2x =t (t >0),则函数可化为g (t )=t 2+at +a +1,t ∈(0,+∞),函数f (x )在(-∞,+∞)上存在零点,等价于函数g (t )在(0,+∞)上有零点.(1)当函数g (t )在(0,+∞)上存在两个零点时,实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ=a 2-4a +1≥0,-a 2>0,g 0=a +1>0,解得-1<a ≤2-2 2.(2)当函数g (t )在(0,+∞)上存在一个零点,另一个零点在(-∞,0)时,实数a 应满足g (0)=a +1<0,解得a <-1.(3)当函数g (t )的一个零点是0时,g (0)=a +1,a =-1,此时可求得函数g (t )的另一个零点是1,符合题目要求.综合(1)(2)(3)知a 的取值范围是a ≤2-2 2.答案:a ≤2-2 28.连掷两次骰子得到的点数为m 和n ,记向量a =(m ,n ),与向量b =(1,-1)的夹角为θ,则θ∈(0,π2]的概率是________.解析:∵m >0,n >0,∴a =(m ,n )与b =(1,-1)不可能同向. ∴夹角θ≠0.∴θ∈(0,π2]⇔a ²b ≥0,∴m ≥n . 当m =6时,n =6,5,4,3,2,1; 当m =5时,n =5,4,3,2,1; 当m =4时,n =4,3,2,1; 当m =3时,n =3,2,1; 当m =2时,n =2,1; 当m =1时,n =1; ∴概率是6+5+4+3+2+16³6=712.答案:7129.当点M (x ,y )在如图所示的△ABC 内(含边界)运动时,目标函数z =kx +y 取得最大值的一个最优解为(1,2).则实数k 的取值范围是________.解析:如图,延长BC 交y 轴于点D ,目标函数z =kx +y 中z 的几何意义是直线kx +y -z =0在y 轴上的截距,由题意得当此直线经过点C (1,2)时,z 取得最大值,显然此时直线kx +y -z =0与y 轴的交点应该在点A 和点D 之间,而k AC =2-11-0=1,k BD =k BC =2-01-3=-1,直线kx +y -z =0的斜率为-k ,所以-1≤-k ≤1,解得k ∈[-1,1].答案:[-1,1]10.设F 1、F 2为椭圆x 29+y 24=1的两个焦点,P 为椭圆上一点.已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF 1|>|PF 2|,则|PF 1||PF 2|的值为________.解析:若∠PF 2F 1=90°, 则|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2. ∵|PF 1|+|PF 2|=6,|F 1F 2|=2 5. 解得|PF 1|=143,|PF 2|=43.∴|PF 1||PF 2|=72若∠F 1PF 2=90°,则|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2=|PF 1|2+(6-|PF 1|)2. 解得|PF 1|=4,|PF 2|=2.∴|PF 1||PF 2|=2.综上,|PF 1||PF 2|=72或2.答案:72或2三、解答题:本大题共2小题,共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.11.(12分)已知a >0,且a ≠1,数列{a n }的前n 项和为S n ,它满足条件a n -1S n =1-1a数列{b n }中,b n =a n ²lg a n .(1)求数列{b n }的前n 项和T n ;(2)若对一切n ∈N *,都有b n <b n +1,求a 的取值范围.分析:(1)本题从a n -1S n =1-1a可以得出S n ,进而由a n 和S n 的关系a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n =1,S n -S n -1 n ≥2.)可求出数列{a n }的通项,也就求出了{b n }的通项公式.(2)应注意分a >1和0<a <1讨论.解:(1)a n -1S n =1-1a ,∴S n =a a n -1a -1.当n =1时,a 1=S 1=a a 1-1a -1=a ;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=a a n -1a -1-a a n -1-1a -1=a n.∴a n =a n (n ∈N *).此时,b n =a n ²lg a n =n ²a nlg a . ∴T n =b 1+b 2+…+b n =lg a (a +2a 2+3a 3+…+na n ).设u n =a +2a 2+3a 3+…+na n ,∴(1-a )u n =a +a 2+a 3+…+a n -nan +1=a a n -1a -1-nan+1.∴u n =na n +1a -1-a a n -1a -12.∴T n =lg a [n ²a n +1a -1-a a n -1a -12].(2)由b n <b n +1⇒na n lg a <(n +1)a n +1lg a . ①当a >1时,由lg a >0,可得a >nn +1.∵n n +1<1(n ∈N *),a >1,∴a >n n +1对一切n ∈N *都成立,此时a 的范围为a >1.②当0<a <1时,由lg a <0可得n >(n +1)a ,即a <nn +1,即a <⎝⎛⎭n n +1min .∵nn +1≥12,∴a <12时,对一切n ∈N *,a <n n +1都成立,此时,a 的范围为0<a <12. 由①②知:对一切n ∈N *,都有b n <b n +1的a 的范围是0<a <12或a >1.12.(13分)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)上两点.已知m =⎝⎛⎭⎫x 1b ,y 1a ,n =⎝⎛⎭⎫x 2b ,y 2a ,若m ²n =0且椭圆的离心率e =32,短轴长为2,O 为坐标原点. (1)求椭圆的方程;(2)若直线AB 过椭圆的焦点F (0,c )(c 为半焦距),求直线AB 的斜率k ;(3)试问△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. 分析:(1)由e =ca =32及b =1可求a .(2)设出AB 的直线方程,代入椭圆方程,结合根与系数的关系及条件m ²n =0,解出k 值.(3)应分k AB 不存在及k AB 存在两种情况讨论求解.解:(1)∵2b =2,∴b =1,∴e =c a =a 2-b 2a =32.∴a =2,c = 3.椭圆的方程为y 24+x 2=1. (2)由题意,设AB 的方程为y =kx +3,由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +3,y 24+x 2=1,整理得(k 2+4)x 2+23kx -1=0.∴x 1+x 2=-23k k 2+4x 1x 2=-1k 2+4.由已知m ²n =0得:x 1x 2b 2+y 1y 2a 2=x 1x 2+14(kx 1+3)(kx 2+3) =⎝⎛⎭⎫1+k 24x 1x 2+34k (x 1+x 2)+34=k 2+44⎝⎭⎫-1k 2+4+34k ²-23k k 2+4+34=0.解得k =± 2.(3)①当直线AB 斜率不存在时,即x 1=x 2,y 1=-y 2,由m ²n =0得x 21-y 214=0⇒y 21=4x 21.又A (x 1,y 1)在椭圆上,所以x 21+4x 214=1,∴|x 1|=22,|y 1|=2,S =12|x 1||y 1-y 2|=1=12|x 1|²2|y 1|=1,所以三角形面积为定值.②当直线AB 斜率存在时,设AB 的方程为y =kx +b ,代入y 24+x 2=1,得:(k 2+4)x 2+2kbx +b 2-4=0.所以x 1+x 2=-2kb k 2+4,x 1x 2=b 2-4k 2+4,x 1x 2+y 1y 24=0⇔x 1x 2+kx 1+b kx 2+b 4=0,代入整理得2b 2-k 2=4,∴S =12²|b |1+k 2|AB |=12|b |x 1+x 22-4x 1x 2=|b |4k 2-4b 2+16k 2+4=4b 22|b |=1.所以△ABC 的面积为定值.点评:本题是平面向量与解析几何的交汇题,综合考查了椭圆方程,离心率,定值等知识与方法,当直线位置不确定时,应注意分斜率存在与斜率不存在讨论.。

中考总复习数学专题优化训练:分类讨论思想

中考总复习数学专题优化训练:分类讨论思想

热点专题二 常用的数学思想和方法专题训练四 分类讨论思想一、选择题1.一等腰三角形的两边长分别为5和10,则此等腰三角形的周长为A.20或25B.20C.25D.以上都不对 2.设a 、b 为实数,则下列四个命题中正确的有______________个.①若a+b=0,则|a|=|b| ②若|a|+|b|=0,则a=b=0 ③若a 2+b 2=0,则a=b=0 ④若|a+b|=0,则a=b=0A.1B.2C.3D.43.直线y=x-1与坐标轴交于A 、B 两点,点C 在x 轴上,且△ABC 为等腰三角形,则满足条件的点C 最多有_____________个.A.4B.3C.2D.1 4.⊙O 中,∠AOB=84°,则弦AB 所对的圆周角是A.42°B.138°C.84°D.42°或138° .5.如图2-1,已知△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=90°,直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点,两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ,给出以下四个结论: ①AE=AF ;②△EPF 是等腰直角三角形;③S 四边形AEPF =21S △ABC ;④EF=AP. 当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合),上述结论中始终正确的有图2-1A.1个B.2个C.3个D.4个 二、填空题6.已知|x|=3,|y|=2,且x ²y<0,则x+y 的值等于_________________.7.当式子545||2---x x x 的值为零时,x 的值是________________. 8.已知两圆的半径分别是5 cm 和6 cm ,且两圆相切,则圆心距是________________.9.已知⊙O 的直径为14 cm ,弦AB=10 cm ,点P 为AB 上一点,OP=5 cm ,则AP 的长为_______________ cm.10.用16 cm 长的铁丝弯成一个矩形,用18 cm 长的铁丝弯成一个有一条边长为5 cm 的等腰三角形,如果矩形的面积与等腰三角形的面积相等,则矩形的边长为___________________. 三、解答题11.由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图(如图2-2).图2-2(1)请你画出这个几何体的一种左视图;(2)若组成这个几何体的小正方体的块数为n,请你写出n的所有可能值.12.某水果品公司急需汽车,但又无力购买.公司经理想租一辆,一出租公司的出租条件为:每百千米租费110元;一个体出租司机的条件为:每月租800元工资,另外每百千米付10元油费.那么该水果品公司租哪家合算?13.某农机租赁公司共有50台联合收割机,其中甲型20台,乙型30台.现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦,其中30台派往A地区,20台派往B地区.两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表:求y与x间的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79 600元,说明有多少种分派方案,并将各种方案设计出来;(3)如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高,请你为该农机租赁公司提出一条合理建议.14.在一次国际象棋比赛中,每个选手都要与其他选手比赛一局.评分规则是:每局赢者记2分,输者记0分,如果平局,每个选手每人各记1分.现在恰好有四个同学统计了比赛中全部选手得分总和,他们的结果分别是:1 979、1 980、1 984、1 985,经核实确定有一位同学统计无误.通过以上数据,你能计算出这次比赛中共有多少名选手参加吗?请试试看!一、选择题1答案:C提示:腰可能是5,也可能为10,但又要考虑三角形的构成条件.2答案:C提示:根据绝对值的性质. 3答案:A提示:分四种情况.如下图.4答案:D提示:弦所对的圆周角有两种情况 5答案:B提示:由旋转可知. 二、填空题 6答案:1或-1提示:|x|=3,|y|=2,所以x=±3,y=±2,再由x ²y<0确定x+y. 7答案:-5 提示:545||2---x x x 的值为零时,分子为0,所以x=±5,但分母不能为0. 8答案:11 cm 或1 cm提示:两圆相切,包括外切和内切. 9答案:4或6提示:点P 为AB 上一点,P 可能靠近A ,也可能靠近B. 10答案:3,5或2,6提示:若以5 cm 的边为底边时,则等腰三角形的面积为15 cm 2.若以5 cm 的边为腰时,则等腰三角形的面积为12 cm 2. 设矩形的一边长为x cm , 则另一边为(8-x) cm,根据题意,得x(8-x)=15或x(8-x)=12, 解方程x(8-x)=15,得x 1=3,x 2=5. 解方程x(8-x)=12,得x 3=2,x 4=6.∴当矩形面积为15 cm 2时,一边为3 cm ,另一边为5 cm ; 当矩形面积为12 cm 2时,一边为2 cm ,另一边为6 cm. 11解:(1)左视图有以下5种情形(只要画出一种即可).(2)n=8,9,10,11. 12答案:(1)当行驶里程为8百千米时,两家公司一样合算; (2)当行驶里程大于8百千米时,个体公司合算; (3)当行驶里程小于8百千米时,出租公司合算.提示:根据题意,列出两家公司的费用与行驶里程之间的函数关系式,然后再根据不等关系比较两家公司的费用大小.13答案:(1)y=200x+74 000(10≤x≤30,x为正整数);(2)三种方案:一、A地区甲型2台,乙型28台;B地区甲型18台,乙型2台.二、A地区甲型1台,乙型29台;B地区甲型19台,乙型1台.三、A地区甲型0台,乙型30台;B地区甲型20台,乙型0台.(3)派往A地区乙型30台;B地区甲型20台.提示:设派往A地区x台乙型联合收割机,根据题意列出y与x间的函数关系式,并写出x 的取值范围,然后再根据x的取值范围,确定方案.14答案:有45名选手.提示:设有n名选手,则得分总数必为偶数.2²2)1(-nn=1 984无整数解.由2²2)1(-nn=1 980,解得n1=45,n2=-44(舍去).。

2012年初中数学知识点分章节总结

2012年初中数学知识点分章节总结

2012初中数学总复习知识点总结一、第一轮复习1、第一轮复习的形式:“梳理知识脉络,构建知识体系”----理解为主,做题为辅(1)目的:过三关①过记忆关必须做到:在准确理解的基础上,牢记所有的基本概念(定义)、公式、定理,推论(性质,法则)等。

②过基本方法关需要做到:以基本题型为纲,理解并掌握中学数学中的基本解题方法,例如:配方法,因式分解法,换元法,判别式法(韦达定理),待定系数法,构造法,反证法等。

③过基本技能关。

应该做到:无论是对典型题、基本题,还是对综合题,应该很清楚地知道该题目所要考查的知识点,并能找到相应的解题方法。

(2)宗旨:知识系统化在这一阶段的教学把书中的内容进行归纳整理、组块,使之形成结构。

①数与代数分为3个大单元:数与式、方程与不等式、函数。

②空间和图形分为3个大单元:几何基本概念(线与角),平面图形,立体图形③统计与概率分为2个大单元:统计与概率2、第一轮复习应注意的问题(1)必须扎扎实实夯实基础中考试题按难:中:易=1:2:7的比例,基础分占总分的70%,因此必须对基础数学知识做到“准确理解”和“熟练掌握”,在应用基础知识时能做到熟练、正确和迅速。

(2)必须深钻教材,不能脱离课本按中考试卷的设计原则,基础题都是送分的题,有不少基础题都是课本上的原题或改造。

(3)掌握基础知识,一定要从理解角度出发数学知识的学习,必须要建立逻辑思维能力,基础知识只有理解透了,才可以举一反三、触类旁通。

相对而言,“题海战术”在这个阶段是不适用的。

二、第二轮复习1、第二轮复习的形式:“突出重点,综合提高”----练习专题化,专题规律化(1)目的:融会贯通考纲上的所有知识点①进行专题化训练将所有考纲上要求的知识点分为为多个专题,按专题进行复习,进行有针对性的、典型性、层次性、切中要害的强化练习。

②突出重点,难点和热点的内容在专题训练的基础上,要突出重点,抓住热点,突破难点。

按照中考的出题规律,每年的重点、难点和热点内容都大同小异,。

2024年北师大初三数学的教学计划(三篇)

2024年北师大初三数学的教学计划(三篇)

2024年北师大初三数学的教学计划1、第二轮复习的形式:专题复习第二轮专题复习的主要目的是为了将第一轮复习知识点、线结合,交织成知识网,注重与现实的联系,以达到能力的培养和提高。

在进行这些专题复习时,应据历年中考试卷命题的特点,精心选择一些新颖的、有代表性的题型进行专题训练,并将近几年中考题按以上专题进行归类、分析和研究,真正把握其命题方向和规律,然后制定应试对策。

初步形成应试技巧,为下一步的“强化训练”复习打下坚实基础。

2、注重数学思想方法的训练第二阶段就是第一阶段复习的延伸和提高,应侧重培养学生的数学能力。

对初中数学教学过程中所提及的函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想、整体处理思想等思想方法,在复习时要系统化和专题化。

3、第二轮复习应该注意的几个问题(1)第二轮复习不再以节、章、单元为单位,而是以专题为单位,专题的划分要合理,选择要准,有代表性,切忌面面俱到;要有针对性,重要处要狠下功夫,不惜“浪费”时间,舍得投入精力(2)注重解题后的反思。

解题之后要反思,从六个方面进行①思因果:思考在解题过程中运用了哪些知识点、已知条件及它们之间的联系,还有哪些条件没有用过,结果与题意或实际生活是否相符等。

②思规律:思考所运用的方法,总结规律,达到举一反三的目的,提高迁移能力。

③思多解:思考多种解法,从中比较孰繁孰简,孰优孰劣,久而久之,就具备了对每一道题在最短时间内找到最优方法的能力。

④思变通:对于一道题不局限于就题论题,而要进行适当变化引申,一题变多题,拓宽思路,提高应变能力,防止思维定势的负面影响。

⑤思归类:回忆与该题同类的习题,进行对比,找到解这一类题的技巧和方法,从而达到触类旁通的目的。

⑥思错误:思考题中易混易错的地方,找出错误原因和解决办法,提高辨析错误的能力。

(3)以题代知识,由于第二轮复习的特殊性,学生在某种程度上远离了基础知识,会造成程度不同的知识遗忘现象,解决这个问题的最好办法就是以题代知识。

高三数学第二轮复习策略

高三数学第二轮复习策略

高三数学第二轮复习策略(一)1.继续强化对基础知识的理解,掌握抓住重点知识抓住薄弱的环节和知识的缺陷,全面搞好基础知识全面搞好基础知识的复习。

(备考指南与知识点总结)中学数学的重点知识包括:(1)集合、函数与导数。

此专题函数和导数、应用导数知识解决函数问题是重点,特别要注重交汇问题的训练。

(2)三角函数、平面向量和解三角形。

此专题中平面向量和三角函数的图像与性质,恒等变换是重点。

(3)数列。

此专题中数列是重点,同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。

(4)立体几何。

此专题注重点线面的关系,用空间向量解决点线面的问题是重点。

(5)解析几何。

此专题中解析几何是重点,以基本性质、基本运算为目标。

突出直线和圆、圆锥曲线的交点、弦长、轨迹等。

(6)概率与统计、算法初步、复数。

此专题中概率统计是重点,以摸球、射击问题为背景理解概率问题。

(7)不等式、推理与证明。

此专题中不等式是重点,注重不等式与其他知识的整合。

2、对基础知识的复习应突出抓好两点:(1)深入理解数学概念,正确揭示数学概念的本质,属性和相互间的内在联系,发挥数学概念在分析问题和解决问题中的作用。

(2)对数学公式、法则、定理、定律务必弄清其来龙去脉,掌握它们的推导过程,使用范围,使用方法(正用逆用、变用)熟练运用它们进行推理,证明和运算。

3、系统地对数学知识进行整理、归纳、沟通知识间的内在联系,形成纵向、横向知识链,构造知识网络,从知识的联系和整体上把握基础知识。

例如以函数为主线的知识链。

又如直线与平面的位置关系中“平行”与“垂直”的知识链。

4、认真领悟数学思想,熟练掌握数学方法,正确应用它们分析问题和解决问题。

数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行,在平时的做题中必须提炼出其中的数学思想方法,并以之指导自己的解题。

数学思想数学在高考中涉及的数学思想有以下四种:(1)分类讨论思想:分类讨论思想是以概念的划分,集合的分类为基础的解题思想,是一种逻辑划分的思想方法。

人教版八年级数学上册专题训练(四) 等腰三角形问题中的分类讨论思想

人教版八年级数学上册专题训练(四) 等腰三角形问题中的分类讨论思想

第十三章 轴对称
专题训练(四) 等腰三角形 问题中的分类讨论思想
专题训练(四) 等腰三角形问题中的分类讨论思想
类型一 当顶角或底角不确定时,分类讨论
1.已知等腰三角形的一个内角为50°,则这个等腰三角形的顶角为
( )C
A.50°
B.80°
C.50°或80° D.40°或65°
2.一个等腰三角形的一个外角等于110°,则这个三角形的三个角应
∴∠B=∠C=21∠DAB=25°
8.等腰三角形底边长为5 cm,一腰上的中线把其周长分为差为3 cm的 两部分,求腰长.
解:设腰长为2x,一腰的中线为y,则(2x+x)-(5+x)=3或(5+x)- (2x+x)=3,解得:x=4或x=1,∴2x=8或2,①三角形ABC三边长为8, 8,5,符合三角形三边关系定理;②三角形ABC三边是2,2,5,2+2 <5,不符合三角形三边关系定理;故腰长为8 cm
该为
70°,55°,5西州)一个等腰三角形一边长为 4 cm,另一边长为 5 cm, 那么这个等腰三角形的周长是( C )
A.13 cm B.14 cm C.13 cm 或 14cm D.以上都不对
4.(2016·安顺)实数 x,y 满足|x-4|+ y-8=0,则以 x,y 的值为两 边长的等腰三角形的周长是( B )
9.在直角坐标系中,O为坐标原点,已知A(2,2),在x轴上确定点P, 使△AOP为等腰三角形,则符合条件的点P的个数共有( ) A
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,在直线BC或 AC上取一点P,使得△PAB为等腰三角形,这样的点P的个数为( )B A.5个 B.6个 C.4个 D.3个

数学能力专题训练待定系数法

数学能力专题训练待定系数法

数学能力专题训练(待定系数法)要点:待定系数法:确实是把具有某种确信形式的数学问题,通过引进一些待定的系数,转化为方程组来解决问题的方式。

一,选择题。

1, 设f(x)是一次函数,且其在概念域内是增函数,又f -1[f -1(x)]=4x -12,则f(x)的表达式为 ( ) A 、f(x)=x +2 B 、f(x)=21x +2 C 、f(x)=x +1 D 、f(x)=2x +1 2, 若函数y=sin2x +acos2x 的图象关于直线x=-8π对称,那么a 的值为 ( ) A 、2 B 、-2 C 、1 D 、-13,二次不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x|-21<x<31},则a +b 的值为 ( ) A 、10 B 、-10 C 、14 D 、-144,已知f(x)=log a (2-ax)在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是 ( )A 、(0,1)B 、(1,2)C 、(0,2)D 、[2,+∞) 5,若函数y=5sin 2x +3sinxcosx +6cos 2x +m 能表示成y=Asin(ωx +θ)的形式(0≤θ<π),则实数m 的值为 ( )A 、5B 、211C 、-211 D 、-5 6,已知集合M={(x ,y)|13+-x y =1},N={(x ,y)|y=kx +2},且M N=Φ,则实数k 的值 为 ( ) A 、±1 B 、-1 C 、1 D 、不存在 7,已知一个多边形的内角成公差为5︒的等差数列,它的最小内角为120︒,则其边数为( )A 、8B 、9C 、16D 、9或16 8,已知函数y=Asin(ωx +ϕ)在一个周期内,当x=12π时取最大值2,当x=127π时取最小 值-2,那么此函数的解析式是 ( )A 、y=21sin(x +3π)B 、y=2sin(2x +3π)C 、y=2sin(2x +6π)D 、y=2sin(2x -6π) 9, 在直角坐标系内有两点A(-1,m)、B(-1,3),点A 在抛物线x 2=2py 上,F 为抛物线的核心,若|AB|+|AF|=27,则m 的值为 ( ) A 、-21 B 、21 C 、1 D 、不能确信 10,不等式0≤x 2-2x +q ≤4最多有一解,则q 的取值范围是 ( )A 、q ≥5B 、q ≤4C 、q ≥-4D 、q ≤-5 11,若方程2x 2+mxy +3y 2-5y -2=0的图象是两条直线,则m 为 ( )A 、±24B 、24C 、-7D 、±712,点A(2,1)、B(1,1)所在直线与直线x +ay +a 2=0交于点P ,设PB AP =λ,当a 转变时,λ的取值范围是 ( )A 、λ>0B 、-λ≤37<-1C 、λ≤-37 D 、-1<λ<0 二,填空题。

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数学能力专题训练(分类与划分的思想)
要点:1.分类与划分的思想:就是解题中对于那些结论必须以分段形式叙述, 所研究的对象的全体不宜用同一方法处理的问题,采用化整为零,各个击破的方法使问题获解.
2.分类的原则:①不重复,②不遗漏.
3.分类的标准: ①根据概念进行分类.如90年高考试题:解方程:z 2 +2z =a (a ≥0) (z ∈c)就是由复数定义,对z 分类讨论.②根据运算分类.如2000年高考第19题:设f(x)=
-ax (a>0). ⑴解
不等式f (x)≤1, ⑵a 的取值范围,使函数f (x)在[)+∞,0上是单调函数.③根据性质分类.④根据图形形状及位置分类,如99年高考试题中的压轴题. 能力训练: 一、 选择题:
1. 若a>0,且a≠1,p=log a (a 3+a+1),q=log a (a 2
+a+1) 则p 与q 的大小关系是( ) (A)p<q (B)p=q (C)p>q (D)a>1时,p>q;0<a<1时,p<q 2.在等比数列{a n }中,a 1=1,公比为q,前n 项和S n ,若S=lim q
q
211--S n , 则S 的范围是 ( )
(A) (-1,31) (B)(-∞,-1)∪(31,+∞)
(C) (-1,0)∪(0,31) (D) 以上都不对
3.若f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则 {x∣f(x)·x<0}等于( ) (A)(-3,0)∪(3,+∞) (B) (-∞,-3)∪(0,3)
(C) (-∞,-3)∪(3,+∞) (D) (-3,0)∪(0,3) 4.在平面直角坐标系中,由六个点O(0,0)、A(1,2)、B(-1,-2)、C(2,4)、 D(-2,-1)、E(2,1)可以确定不同的三角形共有 ( ) (A)14个 (B)15个 (C)16个 (D)20个 5.已知z∈C,方程z 2-3z +2=0的解的个数是 ( )
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 6.不等式(k 2-1)x 2+2(k+1)x+1>0对x∈R 恒成立,则实数k 的取值范围为( ) (A)(-∞,-1) (B)(-∞,-1) (C)[-1,+∞] (D)(-1,1) 7.若θ∈(0,
),则θ
θθ
θn n n n n sin cos sin cos lim +-∞→的值为 ( )
(A)-1或1 (B)0或-1 (C)0或1 (D)0或-1或1
8.A 、B 两点相距4cm,且A 、B 与平面α的距离分别为3cm 和1cm,则AB 与平面α所 成的角是 ( )
(A)30º (B)90º (C)30º或90º (D)30º或90º或150º
9.与圆C(x-2)2+(y-2)2=2相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有( ) (A)2条 (B)3条 (C)4条 (D)6条
10.过双曲线x 2
-2
y 2
=1的右焦点的直线L 交双曲线于A 、B 两点,当线段AB 的长为
4时,直线L 的条数是 ( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
11.己知A={x|x 2+(p+2)x+1=0,x∈R},且A∩R +
=Φ,则实数p 的取值范围是( )
(A)p≥-2 (B)p≤-2 (C)p>2 (D)p>-4
12.点M(5,3)到抛物线y=ax 2的准线的距离等于6,那么抛物线的方程是( ) (A)y=12x 2 (B)y=121x 2或y=-36
1
x 2
(C)y=-36x 2 (D)y=12x 2
或y=-36x 2
13.与X 轴相切且与圆x 2+y 2=1相外切的动圆圆心的轨迹方程是 ( )
(A)x 2=2y +1 (B)x 2=2y+1 (C)x 2=-2y+1 (D)x 2=2y-1
14.以正五棱柱的顶点为顶点的四面体的个数是 ( ) (A)210 (B)200 (C)190 (D)180
二、填空题 15.若32
log 3+b <1,则a 的取值范围是___________________ .
16.己知f(x)=lg(a+2)+sinx·lg(a -2)的最大值为2,则a=______________.
17.设圆经过椭圆25
162
2y x +=1的长轴的一个端点和一个焦点,圆心在椭圆上,则
圆心到椭圆中心的距离是__________________. 18.关于x 的不等式a 2x
+a<a x +3+a x -2,(a>0且a≠1)的解集为________________.
三、解答题
19.解关于x 的不等式(a+3)x 2+2ax+a-2>0 (a∈R)
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20.设a>0且a≠1,t>0,试比较M=
2
1log a t 与N=log a 21
(t+1)的大小.
21.经过抛物线y 2=2p(x+2p) (p>0)的顶点A 作互相垂直的两条直线分别交抛物线于 B 、C 两点,⑴求线段BC 中点M 的轨迹方程, ⑵在点M 的轨迹上求一点N,使点N 到直线 x-y+1=0的距离最小,并求出这个最小值.
22.设f(x)=-21x 2+x+a (a 为实常数且a≤2
5
),是否存在实数m 、n (m<n),当
f(x)的定义域为[m,n]时,f(x)的值域恰好为[3m,3n]? 说明理由.
23.己知f(x)=log a 1
1--x mx
是奇函数,(a>0且a≠1)
⑴求出m 的值.
⑵由⑴的结果判断f(x)在(1,+∞)上的单调性,并加以证明. ⑶x∈(1,+∞),求a 与r 的值.。

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