第二章 逻辑函数及逻辑门

L ABC ABC ABC ABC
反之，由函数表达式也可以转换成真值表。
例2 列出下列函数的真值表：
解：该函数有两个变量， 有4种取值的可能组合， 将他们按顺序排列起来 即得真值表。
真值表
AB L
00 1 01 0 10 0 11 1
000 0 001 0 010 0 011 1 100 0 101 1 110 1 111 1
AB(1 C) AC(1 B) AB AC 等式右边
由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包 含同一因子的原变量和反变量，而两项的剩余因子 包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的
公式可推广： AB AC BCDE AB AC
证明方法
利用真值表
例6：用真值表证明反演律
A B AB A+ B A• B A+B
最小项 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111
十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7
编号
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
最小项的性质： • 任意一组变量取值，只有一个最小 项
的值为1，其它最小项的值均为0
ABC…=A+B+C+… A+B+C+…=A B C …
2）A+AB=B+BA=A+B 证明： A+AB
= A(B+B)+AB =AB+AB+AB
= AB+AB+AB +AB =A+B
*逻辑规则
1）代入规则： 指在一个逻辑等式中，如将其中某个变量，都代之 以另一个逻辑函数，则该等式依然成立 在摩根律AB=A+B中用BC代替B，得：
m5
m6
m7
2n-1
F mi
ABC ABC ABC
i0
00 0
1
00 0
1
00 0
1
00 0
1
00 0
1
10 0
1
01 0
1
00 1
1
• 最大项
最大项：n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量 的和项（每个变量必须而且只能以原变量
或反变量的形式出现一次）
n个变量有2n个最大项，记作i
最大项 二进制数 十进制数 编号
1
0
四、逻辑函数的简化
函数的简化依据
• 逻辑电路所用门的数量少 • 每个门的输入端个数少 • 逻辑电路构成级数少 • 逻辑电路保证能可靠地工作
降低成本
提高电路的工作 速度和可靠性
返回
1、代数法化简函数 • 实现电路的与门少 • 下级最或简门式输的入标端准个数少
• 与或表达式的简化
与• 门首的先输是入式端中个乘数积少项最少
Y=f(X1，X2，X3，…，Xk)
=X1f(0，X2，…，Xk)+X1f(1, X2，…，Xk)
=[X1+f(0，X2，…，Xk)][X1 + f(1, X2，…，Xk)]
三、逻辑函数的表示方法
1．真值表——将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的 函数值排列在一起而组成的表格。
2．函数表达式——由逻辑变量和“与”、“或”、“非” 三种运算
3）反演规则 将某逻辑函数Y中的“与”与“或”对换，0 和1
对换，原变量和反变量也同时对换，这样对
换后的新函数，便是原函数Y的反函数Y。
Y=Y的反演 Y=AB+(A+B+C) Y=(A+B).ABC
与或互换、0和1互换 ，变量和反变量互换。
4）展开规则 一个多变量函数Y=f(X1，X2，X3，…，Xk), 可以将其中任意一个变量，例如X1分离出 来，并展开成：
由函数表达式可以画出逻辑图。
例3 画出函数
的逻辑图：
解：可用两个非门、两个与门 和一个或门组成。
A
由逻辑图也可以写出表达式。
B
&
1
≥1 L
&
1
例4 写出如图所示
A
B
逻辑图的函数表达式。
C
解： L AB BC AC
&
&
≥1 L
&
利用基本定律
例5：证明包含律AB AC BC AB AC成立
AB AC BC AB AC (A A)BC
不亮
L
不闭合
亮
1
A
L=A
非逻辑表达式：
非逻辑真值表
A
L
0
1
1
0
LA
非逻辑——某事情发生与否，仅取决于一个条件，而 且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条 件不具备时事情才发生。
2、其他常用逻辑运算
1）与非 —— 由与运算 和 非运算组合而 成。
“与非”真值
表 输入
输出
A
B
L
A
0
0
1
0
1百度文库
1
B
一、逻辑运算
1、基本逻辑运算
A
B
1)与运算
V 设：开关闭合=“1”
L
开关不闭合=“0”
灯亮，L=1
A
B
灯L
灯不亮，L=0
不闭合 不闭合 不亮
不闭合 闭合 不亮
与 逻 辑 表 达 式 ： 闭合 不闭合 不亮
L A B
闭合
闭合
亮
A
&
L=A·B
B
与逻辑真值表
输入
输出
A
B
L
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
与逻辑——只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这 件事情才会发生。
AB(C C) A BC ABC ABC A BC
m3 m2 m1 m(1、2、3)
例10：已知函数的真值表，写出该函数的标准积之和表达式
解: • 从真值表找出F为1
的对应最小项
A B C mi Mi F
• 然后将这些项逻辑加
000 0 0 0 001 1 1 0
F(A、B、C)
00 1
1
01 1
1
10 1
1
11 0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
A• B= A+B A+ B=AB
例7、试用真值表证明 AB AB AB AB
A B AB AB AB AB AB+AB AB+AB AB+AB
001 0 0 0 0
1
0
010 1 0 0 1
0
1
100 0 1 0 1
0
1
110 0 0 1 0
• 乘积项中含的变量少
方法：
• 并项： 利用 AB AB A 将两项并为一项，
且消去一个变量B • 消项： 利用A + AB = A消去多余的项AB
• 消元：利用 A AB A B 消去多余变量A
• 配项：利用 AB AC BC AB AC 和互补律、 重叠律先增添项，再消去多余项BC
2）或运算
A
B
V
L
A
≥1
L=A+B
B
或逻辑表达式：
L＝A+B
A
不闭合 不闭合
闭合 闭合
B
不闭合 闭合 不闭合 闭合
灯L
不亮 亮 亮 亮
或逻辑真值表
输入
输出
A
B
L
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
或逻辑——当决定一件事情的几个条件中，只要有一个 或一个以上条件具备，这件事情就发生。
3）非运算
R
V
A
A
灯L
闭合
的对应最大项
• 然后将这些项逻辑乘
F(A、B、C)
A B C mi Mi F
000 0 001 1 010 2 011 3 100 4 101 5 110 6 111 7
00 10 20 31 40 51 61 71
( A B C)( A B C)( A B C)( A B C)
M 0M1M 2M 4 M (0,1,2,4)
010 2 2 0 011 3 3 1
100 4 4 0
ABC ABC ABC ABC 1 0 1 5 5 1
m3 m5 m6 m7
110 6 6 1 111 7 7 1
m(3、5、6、7)
• 最大项（标准和）之积表达式
例11：已知函数的真值表，写出该函数的最大项之积表达式
解: • 从真值表找出F为0
三人表决电路真值表
ABC F
000 0 001 0 010 0
对于函数F设：
011 1
事情通过为逻辑“1”， 没通过为逻辑“0”。
100 0 101 1 110 1
第三步：根据题义及上述规定
111 1
列出函数的真值表。
由真值表可以转换为函数表达式。
三人表决电路真值表
由“三人表决”函数的真值表可写出逻辑表达式：A B C F
即:
mi = Mi Mi = mi
• 若干个最小项之和表示的表达式F，其反函数F可 用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。
例： F m1 m3 m5 m7
F m1 m3 m5 m7
= m1• m3 • m5 • m7 = M1 • M3 • M5 • M7
2）、逻辑函数的标准形式 式中的每一个乘
符所构成的表达式。
3．逻辑图——由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。
C合，A、B中 均
有一断个，合F，灭F亮 C开，F灭 A B C F 断“0” 0 0 0 0 00 1 0
合“1” 0 1 0
0
01 1 亮“1” 1 0 0
1 0
10 1 1
灭“0” 1 1 0
0
11 1 1
输入变量取值为1用原变量表
逻辑函数式
• 挑出函数值为1的项
示;反之，则用反变量表示 ABC、ABC、ABC
• 每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项
• 这些乘积项作逻辑加 F= ABC+ABC+ABC
例1. 三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的
原则
决定，试建立该逻辑函数。
解：第一步：设置自变量和因变量。 第二步：状态赋值。 对于变量A、B、C设： 同意为逻辑“1”， 不同意为逻辑“0”。
1
0
1
1
1
0
& L=A·B
2）或非 —— 由或运算和 非运算组合 而成。
“或非”真值
表 输入
输出
A
B
L
A
≥1
0
0
1
0
1
0
B
1
0
0
1
1
0
L=A+B
3）异或
异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时， 逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。
异或的逻辑表达式为： L A B
“异或”真值
表 输入
输出
A
B
L
A
=1
0
0
0
0
1
1
B
1
0
1
1
1
0
L=A + B
4）同或（异或非）
AB F 00 1 01 0 10 0 11 1
“⊙”同或逻辑
逻辑表达式 运算符 F=A B= AB
逻辑符号
A
=1
F
B
二、逻辑函数的运算定律及规则
常用公式： 1）摩根公式：
AB=A+B A+B=A B
推广：ABC=ABC=A+B+C A+B+C=A+B+C=A B C
• 同一组变量取值任意两个不同最小项
三变量的最小项
的乘积为0。即mimj=0 (i≠j)
• 全部最小项之和为1，即
2n 1
mi 1
i0
ABC
000 001 010 011 100 101 110 111
m0
m1 m2 m3
m4
ABC ABC ABC ABC ABC
1 00 0 0 0 10 0 0 0 01 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0
• 或与表达式的简化
2、用卡诺乘积图项化简和项函数
1）、 最小项和最大项
最小项： n个变量的逻辑函数中，包最括小全项部编n号个i变-各量输入变 的乘积项（每个变量必须量而取且值只看能成以二原进变制数， 量或反变量的形式出现一次）对应的十进制数
n个变量有2n个最小项，记作mi 3个变量有23（8）个最小项
2
M2
3
M3
4
M4
5
M5
6
M6
7
M7
最大项的性质：
• 任意一组变量取值，只有一个最大 项 的值为0，其它最大项的值均为1
• 同一组变量取值任意两个不同最大项 的和为1。即Mi+Mj=1 (i≠j) 2n 1
• 全部最大项之积为0，即 Mi 0 i0
• 最小项与最大项的关系
• 相同编号的最小项和最大项存在互补关系
A.(BC)=A+BC=A+B+C
2）对偶规则 一个逻辑函数Y，如将其中的与换成或，或 换成与，0换成1，1换成0，而变量及反变量 本身保持不变，经这样置换后的新函数Y*， 便是原函数Y的对偶函数。
Y=AB+BC(A+BC)
Y*=(A+B )[B+C+A(B+C)]
与或互换、0和1互换,变量和反变量不变,非不变。
3）、未完全描述函数的真值表及表达式
完全描述的逻辑函数：真值表中各行的输出都是明确的， 非0即1
代数法化简函数
例8：试简化函数F AC AD BD BC
利用反演律
解： F AC AD BD BC
AC配项BC加ADB (A B)
AC BC DAB消因律 AC 消B项CABAB DAB
AC BC AB D
F（或与式）求对偶式 F（与或式）简化 F
AC BC（最D简与或式）求对偶式 F（最简或与式）
• 最小项（标准积）之和表达式 积项均为最小项
F(A、B、C、D) A B C D A B CD ABCD AB C D
解:
m0 m1 m5 m8
m(0、1、5、8) 利用反演律 利用互补律，补
例9： 求函数F(A、B、C) A B A BC 的上标所准缺积变之量C
和表达式
解：F(A、B、C) A B A BC A • B A BC
A B C
000
0
M0
A B C
001
1
M1
ABC
010
2
M2
ABC
011
3
M3
ABC
100
4
M4
ABC
101
5
M5
ABC
110
6
M6
ABC
111
7
M7
最大项 二进制数 十进制数 编号
A B C
000
A B C
001
ABC
010
ABC
011
ABC
100
ABC
101
ABC
110
ABC
111
0
M0
1
M1