单调性求参数取值范围
核心考点十二含参函数在区间上具有单调性无单调性或存在单调区间求参数范围
核心考点十二含参函数在区间上具有单调性无单调性或存在单调区间求参数范围含参函数在区间上具有单调性、无单调性或存在单调区间，取决于函数的导数的正负情况。
在本篇文章中，我们将介绍含参函数单调性的概念以及如何判断参数范围。
一、含参函数的单调性含参函数的单调性指的是函数在一些区间上的值的增减趋势。
如果函数在整个区间上都递增或者递减，则称该函数在该区间上是单调的。
对于含参函数f(x)，我们可以通过求导来判断其在区间上是否单调。
如果函数在整个区间上的导数恒大于0，则函数在该区间上递增；如果函数在整个区间上的导数恒小于0，则函数在该区间上递减。
换言之，我们可以通过求解方程f'(x)>0或者f'(x)<0来判断函数的单调性。
其中，f'(x)表示函数f(x)的导数。
二、参数范围的确定确定参数范围的方法主要包括以下步骤：1.根据问题的具体内容，确定需要讨论的函数范围，并确定参数的取值范围。
例如，如果需要讨论函数在区间[a,b]上的单调性，那么参数范围可以通过分析函数在区间的特性来确定。
2.找出函数的导数表达式。
通过计算函数f(x)的导数f'(x)，可以得到函数在区间上的单调性。
如果求导的过程中出现了参数，则需要将参数的取值范围考虑进去。
3.解方程f'(x)>0或者f'(x)<0，得到函数在区间上的单调性，并得到参数的取值范围。
4.根据参数的取值范围进行验证。
将参数取值范围代入原函数带入计算，可以验证所得的结论是否正确。
举例说明：问题：求函数f(x)=ax^2+bx+c在区间[-2, 3]上的单调性。
解答：首先求出函数的导数：f'(x)=2ax+b。
接下来我们需要根据参数a的取值范围来判断函数的单调性。
当a>0时，函数f(x)的导数f'(x)=2ax+b恒大于0，说明函数f(x)在区间[-2, 3]上是递增的。
当a<0时，函数f(x)的导数f'(x)=2ax+b恒小于0，说明函数f(x)在区间[-2, 3]上是递减的。
导数的应用——利用单调性求参数的取值范围
导数的应用——利用单调性求参数的取值范围在解题中，我们首先要确定参数的取值范围是有限的，也就是参数不能无限制地取值。
然后我们利用导数的单调性来排除一些不符合要求的取值范围，从而找到参数的合理取值范围。
为了更好地理解这个方法，我们来看一个具体的例子：问题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0。
如果函数f(x)在定义域内是递增函数，求参数b的取值范围。
解答：首先，我们要明确函数f(x)是递增函数的定义：对于任意的x1<x2，有f(x1)<f(x2)。
我们可以通过求函数f(x)的导函数f'(x)来判断函数f(x)的单调性。
在本例中，函数f(x)的导函数为f'(x) = 2ax + b。
由于函数f(x)为递增函数，所以f'(x)应该大于0。
即对于任意的x，有f'(x)>0。
我们可以把f'(x) > 0看作是一个一次函数y = 2ax + b > 0的解。
这个一次函数的解为x < -b/2a。
也就是说，对于任意的x<-b/2a，有f'(x)>0。
这样一来，我们就可以得出结论，函数f(x)在x<-b/2a的区间上是递增函数。
但是我们并不能马上就得出参数b的取值范围是x<-b/2a。
因为函数f(x)的定义域可能不包含这个区间。
为了求出参数b的取值范围，我们需要进一步考虑函数f(x)的定义域。
对于函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，它的定义域是所有实数集合R。
因此，对于任意实数x，函数f(x)都有定义。
由于我们已经确定了函数f(x)在x<-b/2a的区间上是递增函数，所以我们只需要确定使得这个区间包含在定义域内的参数b的取值范围即可。
如果我们假设b/2a为一个实数k，那么我们可以得出-x>k。
即对于任意的x>-k，函数f(x)是递增的。
然而，x的取值范围是所有实数，所以我们可以把任意实数k当作是b/2a。
已知函数单调性求参数取值范围
技法点拨已知函数单调性求参数取值范围■欧阳丽丽摘要：利用导数根据函数单调性（区间）求参数的取值范围，是高考考查函数单调性的一个重要考点，下面将这类问题举例分析。
关键词：导数；单调性；参数取值范围一、转化为不等式的恒成立问题求参数取值范围若函数f (x )在(a ,b )上单调递增，则f′(x )≥0；若函数f (x )在(a ,b )上单调递减，则f′(x )≤0，将问题转化为函数最值问题求解。
一般地，分离变量后，若得到a ≥h (x )，则只需a ≥h (x )max ；若得到a ≤h (x )，则只需a ≤h (x )min 。
注意：f (x )在(a ,b )上为增函数（减函数）的充要条件是对任意的x ∈(a ,b )都有f ′(x )≥0(f′(x )≤0)且在(a ,b )内的任一非空子区间上f′(x )≠0。
例1，已知函数f (x )=ln x -12ax 2-2x (a ≠0)在[1,]4上单调递减，求a 的取值范围。
解：因为f (x )在[1,]4上单调递减，所以当x ∈[1,]4时，f′(x )=1x -ax -2≤0恒成立，即a ≥1x 2-2x 恒成立。
设h (x )=1x2-2x ,x ∈[1,]4所以只要a ≥h (x )max 。
而h′(x )=2(x +1)(x +1)x 4。
当x ∈[1,]4，h′(x )>0，所以h (x )在[1,]4上单调递增。
所以当h (x )max =h (4)=-716，所以a ≥-716，即a 的取值范围是éëêöø÷-716,+∞。
评析：由f (x )在[1,]4上单调递增，得到f′(x )≤0，进而分离参数a ，构造新的函数h (x )，本题转化为求h (x )max 。
例2，已知函数f (x )=ax +1x +2在(-2,+)∞内单调递减，求实数a 的取值范围。
利用函数的单调性求参数的取值范围(使用)
例1：已知函数f (x) x3 ax2 3x 1在[2,4]上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.
解 f '(x) 3x2 2ax 3, x [2,4]
： 则f '(x) 0在[2,4]上恒成立
即3x2 2ax 3 0,恒成立x [2,4]
方法：（分离参数）2ax 3x2 3恒成立
f '(x) ax (2a 1) 2 (ax 1)(x 2)
x
x
(1)当a 0时，f '(x) 2 x x
所以f (x)在（0,2）上递增，在（2， ）上递减。
(2)当a
0时，令f
'(x)
0,
得x1
1 a
0.x2
2
结合二次函数图象知 f (x)在（0,2）上递增；
在（2， ）递减。
(3)当a
即3x2 a 3 0,恒成立x [0,)
方法：（分离参数）
a 3x2 3恒成立
a (3x2 3)min a 3
练习 若函数f (x) x3 ax2 1在（0,2）内单调递减, 2： 求实数a的取值范围.
解析： f '(x) 3x2 2ax, x (0,2)
则f '(x) 0在（0,2）上恒成立
利用函数单调性求参数的 取值范围
复习
1 用导数判断函数单调性法则:
、
如果在(a,b)内，f
(x)＞0，则f
(x)在此区间是增函数；
如果在(a,b)内，f (x)＜0，则f (x)在此区间是减函数。
2、求函数单调区间的一般步骤 是
1、求定义 域2、求导
f'(x) 3、令f'(x)>0,求出增区间，令f'(x)<0, 求出减区间。
专题15 已知函数的单调区间求参数的范围(解析版)
专题15已知函数的单调区间求参数的范一、单选题■1.若函数/（］）=空山在区间（0,工）上单调递增，则实数。
的取值范围是（）cosx 2A.a<-\B.a<2C.a>-\D.a<\【答案】C【分析】利用导函数研究原函数的单调性，利用单调性求解实数。
的取值范围.【详解】解：函数/（1）="*COSXnJ”、cosx>cos x+sinx(sin x+a)则/M=；-----cos^xTT•••X£(0,一)上，2/.cos2x>0.要使函数/(幻=吧*在区间(0,工)上单调递增,cosx 271、、二cos2x+sin2x+asinxN0在x G(0,—)上恒成立,2T[即：asinx+120在x£(0,一)上恒成立，2TT•/xe(0,—)±,2sin XG(0,1)故选：C.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.2.已知函数/a）=Lf+s—a）x+（a-l）lnx,（a>l）,函数y=2用的图象过定点（0,1）,对于任意玉,七£（0,+8）,西>々，有/（%）一/（工2）>工2一不，则实数。
的范围为（）B.2<a<5C.2<a<5D.3<a<5【答案】A【分析】 由图象过定点可得人=0,设/(x)=〃x)+x,结合已知条件可得F(x)在(0,+8)递增，求尸(X )的导数，令g(x)=%2一(〃-1)工+。
一1,由二次函数的性质可得g 【详解】解：因为>=2'+〃的图象过定点(0,1),所以2人=1，解得6=0,所以一方+(。
-1)1仪(。
>1),因为对于任意X]，W^(0,-KO ),X]>x 2,有/(%)一/(无2)>W 一%，则/(%)+%>%+/(七)，设/(%)=f(x)+x ，即F (x)=/(%)+%=—x 2-ar+(^-l)lri¥+x=—x 2-(6f-l)x+(^-l)lri¥,所以F(x)=x-(〃-1)+0「2—令且(1)=工2—(。
利用函数的单调性求参数的取值范围
利用函数的单调性求参数的取值范围函数的单调性是指在一定范围内，函数的增减性质的统一性。
对于有单调性的函数，可以通过研究函数的导数来判断参数的取值范围。
首先，我们来回顾一下导数的定义和性质。
对于函数f(x)，其导数可以表示为f'(x)，导数表示函数在其中一点的变化率。
导数的正负号可以告诉我们函数的单调性。
1.若在[a,b]上f'(x)≥0，则函数在[a,b]上为单调递增函数。
2.若在[a,b]上f'(x)≤0，则函数在[a,b]上为单调递减函数。
3.若在[a,b]上f'(x)>0，则函数在[a,b]上为严格递增函数。
4.若在[a,b]上f'(x)<0，则函数在[a,b]上为严格递减函数。
步骤1：确定函数的定义域，即参数的取值范围。
步骤2：求出函数的导函数。
步骤3：利用导函数的性质来判断函数的单调性。
步骤4：结合定义域和单调性判断，确定参数的取值范围。
步骤5：验证参数的取值范围是否符合要求。
下面我们通过具体例子来说明求解参数取值范围的方法。
例子：求函数f(x) = ax^2 + bx + c 在定义域上的参数a、b、c的取值范围。
步骤1：确定函数的定义域。
对于二次函数，其定义域是整个实数集R。
步骤2：求出函数的导函数。
对f(x)求导得到f'(x) = 2ax + b。
步骤3：利用f'(x)的性质来判断函数的单调性。
-若2a>0，则函数在整个定义域上递增。
-若2a<0，则函数在整个定义域上递减。
步骤4：结合定义域和单调性判断，确定参数的取值范围。
-若2a>0，则函数在整个定义域上递增，所以a>0。
-若2a<0，则函数在整个定义域上递减，所以a<0。
然后，我们可以根据b和c的取值范围来进一步限定a的取值范围。
当a>0时：根据二次函数的几何性质，对于抛物线开口朝上的情况，函数的最小值出现在顶点处，顶点的x坐标为 -b/2a，对应的y坐标为 c - b^2/4a。
(完整版)2-4已知单调性求参数取值范围
【知识点4】已知单调性求参数取值范围1•思路提示：⑴对于函数在某个区间上单调递增或单调递减的问题，转化为导函数在此区间上恒为非负或非正的问题，进而转化为导数在该区间上的最值问题•⑵对于可导函数在某个区间不单调的问题，转化为导函数在此区间无实根，可结合导函数的图像给出此问题的充要条件，从而求解⑶对于只有一个极值点的导函数研究其相关问题(如在给定区间上恒为正或负以及根的分布等)，往往可以类比二次函数在区间上的最值或根的分布求解例1：已知函数f(x) 3ax42(3a 1)x22(3a 1)x24x1(I )当a 时，求f (x)的极值；6(ll )若f (x)在1,1上是增函数，求a的取值范围3 2例2：已知函数f (x) x ax x 1(a R)(I )讨论函数f (x)的单调区间；3 1(ll)设函数f(x)在区间(—，-)内是减函数，求a的取值范围2 3例3：已知函数f (x) (2ax x2)e ax，其中a为常数，且a 0.(l )若a 1,求函数f (x)的极值点；(ll )若f (x)在区间C 2,2)内单调递增，求a的取值范围•3 2例4：已知函数f(x) ax bx (x R)的图像过点P( 1,2)，且在点P处的切线恰好与直线x 3y 0垂直•(I )求函数f (x)的解析式；(ll)若函数f (x)在区间m,m 1上单调递增，求实数m的取值范围•例5：已知函数f(x) x3(1 a)x2a(a 2)x b(a,b R).(I )若函数f (x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a,b的值; (II)若函数f (x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围•e x例6：设f (x) ，其中a为正实数1 ax4(I)当a 时，求f (x)的极值点；3(n)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围xe例7：设f(x)—，其中a为正实数•2「3(I )当a —时，求f (x)的极值点；4(n )若f (x)为R上的单调函数，求a的取值范围1 3 12 例& 设f(x) x3 x22ax3 22(I)若f(x)在(-,)上存在单调递增区间，求3 a的取值范围.(II )当0 a 2时，f (x)在［1,4］的最小值为，求f(x)在该区间上的最大值.例9：已知a,b是实数，函数f (x) x3ax,g(x) x2bx, (x)和g (x)是f (x), g(x) 的导函数，若 f (x)g(x) 0在区间I上恒成立，则称 f (x)和g(x)在区间I上单调性一3(I)设a 0,若函数f (x)和g(x)在区间［1,)上单调性一致，求实数b 的取值范围; b ，若函数f (x)和g(x)在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致,求a b 的最大值. 1例10 :已知函数f X -x 3 x 2 ax b 的图像在点P(0,f 0 )处的切线方程为 y 3x 2(i )求实数a,b 的值；(n )设g(x) f x — 是［21,］上的增函数。
已知函数的单调性求参数的范围
已知函数的单调性求参数的范围若函数y =f x 在D 上单调递增，则f x ≥0在D 上恒成立若函数y =f x 在D 上单调递减，则f x ≤0在D 上恒成立 若a ≥g x 恒成立，则a ≥g x max 若a ≤g x 恒成立，则a ≤g x min 1.若函数f x =3a -1 x +1在R 上单调递增，求实数a 的取值范围解：3a -1>0⇒a >132.若函数f x =-x 2+21-m x +3在-3,+∞ 上单调递减，求实数a 的取值范围解：对称轴x =1-m ≤-3⇒m ≥43.若函数f x =2x +a 在3,+∞ 上单调递增，求实数a 的取值范围解：f x =2x +a x ≥-a 2 -2x -a x <-a 2⇒f x 在-∞,-a 2 上单调递减，在-a 2,+∞ 上单调递增所以-a 2≤3⇒a ≥-64.若函数f x =ax +1x +2在-2,+∞ 上单调递增，求实数a 的取值范围解：由f x =a x +2 +1-2a x +2=a +1-2a x +2在-2,+∞ 上递增所以反比例函数y =1-2a t在t ∈0,+∞ 上单调递增所以1-2a<0⇒a>1 25.若函数f x =x2-mx在1,+∞上单调递增，求实数m的取值范围解：函数y=x2-mx的零点为0和m所以m要和0比较大小0和m的中点为m2所以m2要和 1比较大小也即m要和0,2比较大小下面讨论①当m≤0时x≥1⇒f x =x2-mx=x2-mx 又f x 在1,+∞上单调递增所以对称轴x=m2≥1⇒m≥2,这不可能，舍去.②当0<m<2时f x =x2-mx=x2-mx x≥m-x2+mx0<x<m所以f x 在m2,m上递减因为m2<1⇒1,m⊊m2,m所以f x 在1,m上递减，矛盾，舍去③当m≥2时f x =x2-mx=x2-mx x≥m-x2+mx0<x<m所以f x 在m,+∞上递增因为m2≥1⇒1,+∞⊆m,+∞所以f x 在1,+∞ 上单调递增，合题意。
已知函数的单调性,怎样求参数的取值范围
难 点 剖 析
已 矢 啮数 的 单 调 性， 怎 样 求 参 数 的 取 值 范
一 刘朝 辉
函数的单调性是 函数的重要性质 ，在每年的高 考 中常考不衰 ，对于 函数的单调性我们除了要掌握 如何判断并证 明函数的单调性 、求 函数的单调区间 以外 ，还要会逆 向思考掌握应用 函数单调性求参数 的取值范围问题 的解题策略。处理该问题的关键是 使用转化与化归思想 ， 将未知转化为已知 ， 将 复杂转 化为简单 ，从 而建立关于参数的不 等关系使问题 得 解 。下面通过实例说 明几种基本的求解方法 。
Ｖ ３
变式 ： 如果 函数 ） ＝ ２ ｘ ２ — １ 眦在定义域 的一个 子 区间（ ｋ － １ ， ｋ ＋ １ ） 上不是单调 函数 ， 则 实数ｋ 的取值 范
围是
， （ ） 在（ Ｏ ， １ ） 上是增函数， Ｎａ 的取值范围是— —
解题关键分析 ： 由导数知识可知， ， （ ） ＞ Ｏ Ｈ － ， ｊ ， 函数
一
上恒成立 ， ￣ Ｐ ａ Ｉ３ ＞ ｘ Ｚ ： （ ｉ ４ ． （ ０ ， １ ） 上 恒成立 ， 而３ ｘ ２ ＜ ３ ， 所 以
０≥ ３。
变式： 若函数 ） － ｌ 。
， （ ， 且ｎ ≠１ ） 在（ 一 ，
０ ） 内单调递增 ， 则。 的取值范围— — 。 解： 当ａ ＞ ｌ 时， 知ｔ ＝ ， 一 似为单调递增 的 函数才能 满足题意 ， 但此 时在 （ 一 ， ０ ） 上真数小于０ ， 所 以
若已知函数 的单调区间容易求得 ，此时可先解 出单调区间 ， 然后利用所给区间是单调 区间 的子集 ， 根据集合之 间的包含关系建立不等式组解 得参 数的 取值范围即可 。 例３ 已知函娄 ） ＝ 似， 其中ｎ ∈ Ｒ， 若函数 ） 在（ ０ ， １ ） 上是增函数 ， 则。 的取值范 围是— — 。 解题关键分析 ： 此 函数是高次 函数 ， 因为导数形 式简单 ， 所 以利用导数很容易解出单调增区间 ， 即所 得结果 ， 只需（ ０ ， １ ） 是解出单调增 区间的子集 即可 。
与单调性有关的求参数取值范围的三种策略
与单调性有关的求参数取值范围的三种策略在数学和统计学中，单调性是指函数图像或数据集的一种特性，确保函数或数据的增减关系不发生变化。
在一些问题中，我们需要确定一个或多个参数的取值范围，以满足特定的单调性要求。
以下是与单调性有关的求参数取值范围的三种策略。
一、求导数法（Derivative Method）求导数法是一种常用的确定参数取值范围的方法，特别适用于连续函数。
通过求函数的导数，我们可以判断函数是否单调递增或单调递减，从而确定参数的取值范围。
具体步骤如下：1.首先，根据问题的要求，确定函数的单调性是递增还是递减。
2.然后，针对函数求导，得到导函数。
3.对导函数进行解析，确定导函数的零点。
4.根据导函数的零点，可以将参数取值范围划定为单调递增或递减的区间。
5.最后，根据导函数的取值范围，进一步确定参数的取值范围。
例如，假设我们需要确定函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的参数 a 的取值范围，以保证函数单调递增。
我们可以进行如下的推导：1. 函数 f(x) 的导数为 f'(x) = 2ax + b。
2.函数f'(x)为一次函数，为了保证f(x)单调递增，需要保证f'(x)大于零。
3. 将 f'(x) 大于零进行解析：2ax + b > 0。
4. 当 a > 0 时，对任意 x 都有 2ax + b > 0。
5.因此，确定参数a的取值范围为a>0。
二、函数图像法（Graphical Method）函数图像法是一种直观的方法，通过绘制函数的图像来确定参数的取值范围，以满足单调性要求。
具体步骤如下：1.根据问题的要求，确定函数的单调性是递增还是递减。
2.将函数表示为y=f(x)的形式，并绘制函数的图像。
3.根据图像的走向，确定函数递增或递减的区间。
4.通过观察函数图像，确定参数的取值范围，使函数在递增或递减的区间内。
例如，假设我们需要确定函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的参数 a 的取值范围，以保证函数单调递减。
题型19讨论函数单调性及已知单调性求参数的范围
题型19讨论函数单调性及已知单调性求参数的范围函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
讨论函数的单调性可以通过函数的导数、函数的定义以及题目所给出的条件来确定。
当已知函数的单调性时，我们可以通过对函数进行求导、代入等操作，进而求得参数的范围。
对于已知函数的单调性求参数的范围，我们可以通过以下的步骤来进行解析。
步骤一：理解问题首先，我们需要理解题目中所给出的函数以及已知条件。
我们要明确函数的定义域，函数的单调性以及需要求解的参数范围。
在解决问题时，我们要注意条件的正确解读，注意排除条件的矛盾性。
步骤二：函数的单调性通过题目中给出的条件，我们可以判断函数的单调性。
函数的单调性包括递增、递减、严格递增以及严格递减。
其中，递增表示函数的值随着自变量的增加而不减，递减表示函数的值随着自变量的增加而不增，严格递增和严格递减表示函数的值随着自变量的增加而严格递增或严格递减。
步骤三：求参数的范围根据函数的单调性，我们可以得到一些不等式关系。
我们可以利用这些不等式关系来求解参数的范围。
对于递增的函数，我们可以将函数的表达式进行化简，并利用不等式关系来解方程，进而求得参数的范围。
对于递减的函数，我们可以通过同样的方法来求解参数的范围。
步骤四：检查求解结果的合理性在求得参数的范围后，我们需要检查结果的合理性。
我们可以将参数代入原函数中，观察函数的性质是否与已知条件相符。
如果结果与已知条件相符，则说明我们求解的参数范围是正确的。
下面，我们通过一个例题来说明如何讨论函数单调性及求参数的范围。
例题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c (a > 0)，若f(x)为递减函数，求参数a和b的范围。
解析：首先，我们要理解题目中所给出的函数以及已知条件。
题目中给出的函数是一个二次函数，已知函数f(x)是递减函数。
我们需要求解参数a和b的范围。
其次，我们要判断函数f(x)的单调性。
由题可知，函数f(x)为递减函数，即函数的值随着自变量的增加而减小。
专题03 利用函数的单调性求参数取值范围(解析版)
专题03利用函数的单调性求参数取值范围一、单选题1．已知函数()321f x x x ax =+-+在R 上为单调递增函数，则实数a 的取值范围为（）A ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】()232f x x x a '=+-，因为()f x 在R 上为单调递增函数，故()0f x ¢³在R 上恒成立，所以4120a ∆=+≤即13a ≤-，故选：A.2．若函数ln y x a x =+在区间[)1,+∞内单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),1-∞-C ．[)2,-+∞D ．[)1,-+∞【解析】由ln 1a y x a x y x'=+⇒=+，因为函数ln y x a x =+在区间[)1,+∞内单调递增，所以有0y '≥在[)1,+∞上恒成立，即10a x +≥在[)1,+∞上恒成立，因为[)1,x ∞∈+，所以由100a x a a x x +≥⇒+≥⇒≥-，因为[)1,x ∞∈+，所以(,x -∈-∞-，于是有1a ≥-，故选：D3．若函数()cos f x ax x =+在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．（-1，1）B ．[)1,+∞C ．（-1，+∞）D ．（-1，0）【解析】()sin f x a x '=-，由题意得：()sin 0f x a x '=-≥，即sin a x ≥在(),-∞+∞上恒成立，因为[]sin 1,1y x =∈-，所以1a ≥恒成立，故实数a 的取值范围是[)1,+∞.故选：B4．若函数()2sin f x bx x =+在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦上单调递增，则实数b 的取值范围是（）A ．0b ≥B ．0b >C ．b ≥D ．b >【解析】由题意()2cos 0f x b x '=+≥在ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦上恒成立，2cos b x ≥-，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2cos y x =-是增函数，max 0y =（π2x =时取得），所以0b ≥．故选：A ．5．若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,14⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（）A ．(,2)-∞-B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．(2,)-+∞D ．(8,)-+∞【解析】由2()ln 2f x x ax =+-可得：1()2f x ax x'=+.因为函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,14⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，所以()0f x '>在1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，即212a x >-在1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解.设()21,1124,g x x x ⎛⎫∈-⎝=⎪⎭，由()30g x x -'=>在1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，所以()g x 在1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，所以()()114g g x g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.所以184a g ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭.故选：D 6．已知函数32()132x ax f x ax =+++存在三个单调区间，则实数a 的取值范围是（）A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(,0)(4,)-∞+∞ D ．(,0][4,)-∞+∞ 【解析】由题意，函数32()132x ax f x ax =+++，可得2()f x x ax a '=++，因为函数()f x 存在三个单调区间，可得()'f x 有两个不相等的实数根，则满足240a a ∆=->，解得0a <或4a >，即实数a 的取值范围是(,0)(4,)-∞+∞ .故选：C.7．若函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,a a -上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．13a <£B ．4a ≥C ．23a -≤≤D ．14a <≤【解析】函数()219ln 2f x x x =-，()0x >.则()299x f x x x x-'=-=，因为()f x 在区间[1]a a -,上单调递减，则()0f x '≤在区间[1]a a -,上恒成立，即290x -≤，所以03x <≤在区间[1]a a -,上恒成立，所以103a a ->⎧⎨≤⎩，解得13a <£，故选：A.8．已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（）A ．0a ≥B ．22a -≤≤C ．2a ≥-D ．0a ≥或2a ≤-【解析】因为函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()cos 2sin 0f x a x x '=-≥在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上恒成立，即2tan a x ≥在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上恒成立，由2tan y x =在π(,0)2-上单调递增知，max π2tan()24y =-=-，所以2a ≥-，故选：C9．若()1sin 2cos 24x f x a x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(],1-∞-C ．5,4⎛⎤-∞ ⎝⎦D ．[)1,+∞【解析】由1sin 2()()cos 24x f x a x x =--+，得1cos 2()sin 22xf x a x '=---，因为()1sin 2cos 24x f x a x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭是R 上的减函数，所以1cos 2()sin 022x f x a x '=---≤在R 上恒成立，即221cos2sin cos sin 1sin sin 22x a x x x x x ≤++=+=-+=215(sin )24x --+在R 上恒成立，由于1sin 1x -≤≤，所以215(1124a ---+=-≤．故选：B.10．若函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x =-++-+-在区间7,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A ．10,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．16,09⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,7⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(],0-∞【解析】函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x =-++-+-()()1cos 23sin cos 412x a x x a x =+-+-()()()()2'sin 23cos sin 41cos sin 3cos sin 40f x x a x x a x x a x x a ∴=-+++-=-++++≤，对7π,2π4x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈恒成立.πcos sin sin 4x x x ⎛⎫ ⎪⎝++⎭ ，∴当7π,2π4x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈时，0cos sin 1x ≤+≤.令()()23401g t t at a t =-++≤≤，欲使()0g t ≤恒成立，只需满足231t a t ≤+，当01t ≤≤时，恒成立，即2min31t a t ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭，设[]311,4t m +=∈，13m t -=，222112203199999t m m m t m m -+==+-≥=+，当199m m =时，等号成立，即0a ≤.故选：D 11．若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-，且f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,f ′(x )=−sin 2x +3a (cosx −sinx )+2a −1≤0恒成立，∵设4t cosx sinx x π=⎛⎫ ⎪⎝=-⎭-，∴当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,444x πππ-⎥∈-⎡⎤⎢⎣⎦，,t ∈[−1,1]，即−1≤cosx −sinx ≤1，令t ∈[−1,1],sin 2x =1−t 2∈[0,1]，原式等价于t 2+3at +2a −2≤0，当t ∈[−1,1]时恒成立，令g (t )=t 2+3at +2a −2，只需满足312(1)510a g a ⎧-≤-⎪⎨⎪=-≤⎩或312(1)10ag a ⎧-≥⎪⎨⎪-=--≤⎩或3112(1)510(1)10a g a g a ⎧-<-<⎪⎪=-≤⎨⎪-=--≤⎪⎩，解得∅或213a -≤≤-或2135a -<≤，综上，可得实数a 的取值范围是11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：A .二、多选题12．若函数21()9ln 2f x x x =-，在区间[]1,1m m -+上单调，则实数m 的取值范围可以是（）A ．4m =B ．2m ≤C ．12m <≤D ．03m <≤【解析】定义域为()0,∞+，299()x f x x x x'-=-=；由()0f x '≥得函数()f x 的增区间为[)3,+∞；由()0f x '≤得函数()f x 的减区间为(]0,3；因为()f x 在区间[]1,1m m -+上单调，所以1013m m ->⎧⎨+≤⎩或13m -≥解得12m <≤或4m ≥；结合选项可得A,C 正确.故选：AC.三、填空题13．若函数()313f x x ax =-+有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．【解析】()'2f x x a =-+，由于函数()313f x x ax =-+有三个单调区间，所以()'20f x x a =-+=有两个不相等的实数根，所以0a >.故答案为：()0,∞+14．已知函数322()3(1)1(0)f x kx k x k k =+--+>，若()f x 的单调递减区间是(0,4)，则实数k 的值为________.【解析】由322()3(1)1(0)f x kx k x k k =+--+>，得'2()36(1)f x kx k x =+-，因为()f x 的单调递减区间是(0,4)，所以'()0f x <的解集为(0,4)，所以4x =是方程236(1)0kx k x +-=的一个根，所以126(1)0k k +-=，解得13k =15．若函数()2sin x f x e mx x =+-在[)0,∞+单调递增，则实数m 的取值范围为________.【解析】由()2sin x f x e mx x =+-，得()'2cos xf x e mx x =+-，若函数()2sin x f x e mx x =+-在[)0,∞+单调递增，则()'2cos 0xf x e mx x =+-在[)0,∞+上恒成立，令()2cos xg x e mx x =+-，0x，则()'2sin x g x e m x =++，再令()2sin xh x e m x =++，0x，则()'cos x h x e x =+，因为0x ，所以01x e e = ，所以()'cos 0xh x e x =+在[)0,∞+上恒成立，则()h x 在[)0,∞+上单调递增，故()min ()012h x h m ==+；当120m +时，得12m - ，此时()()'0g x h x = ，则()g x 在[)0,∞+上单调递增，则()()00g x g =，此时符合()'2cos 0x f x e mx x =+- 在[)0,∞+上恒成立；当120m +<时，得12m <-，()00,x ∃∈+∞，使得0()0h x =，故[)00,x x ∈时，()0h x <，即()'0g x <，()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()'0g x >，故()g x 在[)00,x 上单调递减，则当[)00,x x ∈时，()()00g x g =，此时()'2cos 0x f x e mx x =+- ，不合题意；综上，实数m 的取值范围为12m - .16．已知函数1()2ln f x x x x=--，21()(1)2x g x x e ax =--，R a ∈.对于任意12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ≠，必有()()()()12120f x f x g x g x ->-，则a 的取值范围是___________.【解析】()f x 定义城为(0,)+∞.22212(1)()10x f x x x x-'=+-=≥.故()f x 在(1,)+∞内单调递增.对于任意12,(1,)x x ∈+∞，不妨设12x x <，则()()120f x f x -<.故()()120g x g x -<，()()12g x g x <，()g x 在(1,)+∞内单调递增.故()()0x xg x xe ax a e x '=-=-≥在(1,)+∞恒成立，即x a e ≤恒成立，可知a e ≤.∴a 的取值范围为(,]e -∞.17．已知函数32()23f x x kx x =-+-在R 上不单调，则k 的取值范围是______.【解析】22()341f x x kx '=-+，因为函数32()23f x x kx x =-+-在R 上不单调，所以223410x kx -+=必有解，当223410x kx -+=只有一个解时，22()3410f x x kx '=-+≥得出函数()f x 在R 上单调递增，与题干矛盾，故223410x kx -+=必有两个不等实根则()2044310k ∆>⇒--⨯⨯>，解得k <或k >18．若实数()0,2a ∈，()0,2b ∈，则函数()232211432f x a x b x x =+-在区间()1,+∞单调递增的概率为___________.【解析】由题意222()40f x a x b x ¢=+-³在(1,)+∞上恒成立，二次函数的对称轴是2202bx a=-<，因此()'f x 在(1,)+∞上单调递增，所以22(1)40f a b ¢=+-³，易知满足02,02a b <<<<的点(,)a b 据区域为图中正方形OABC ，面积为224⨯=，又满足2240a b +-³的(,)a b 在正方形OABC 在圆224x y +=外部的部分，面积为214244p p -´=-，所以概率为44P π-=．19．若函数()324132x a f x x x =-++在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是___________.【解析】 函数()324132x af x x x =-++，'2()4f x x ax ∴=-+，若函数()f x 在区间(1,4)上不单调，则()'240f x x ax =-+=在(1,4)上存在变号零点，由240x ax -+=得4a x x =+，令4()g x x x =+，(1,4)x ∈，'2(2)(2)()x x g x x +-=，()g x ∴在()1,2递减，在()2,4递增，而()422+42g ==，()411+51g ==，()444+54g ==，所以45a <<.故答案为：()45，.四、解答题20．已知函数()31f x x ax =--.（1）若()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，求a 的取值范围.（2）若()f x 的单调递减区间为(1,1)-，求a 的值.【解析】（1）因为()23f x x a '=-，且()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，所以()0f x '≥在(1,)+∞上恒成立，即230x a -≥在(1，+∞)上恒成立，所以23a x ≤在(1,)+∞上恒成立，所以3a ≤，即a 的取值范围是(],3-∞（2）由题意知0a >.因为()31f x x ax =--，所以()23f x x a '=-.由()0f x '<，得x <()f x 的单调递减区间为(，又已知()f x 的单调递减区间为(1,1)-，所以(=(1,1)-1=，即3a =.21．已知函数()ln af x x x=-.(1)若3a =-，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 在3,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，求a 的取值范围.【解析】(1)当3a =-时，3()ln (0)f x x x x =+>，则'22133()x f x x x x-=-=，令'()0f x =，得3x =，x ，'()f x 和()f x 的变化情况如下表x(0,3)3(3,)+∞'()f x -0+()f x 递减极小值递增所以当3x =时，()f x 取得极小值(3)ln 31f =+，无极大值(2)由()ln a f x x x =-（0x >），得()'221a x a f x x x x+=+=（0x >），当0a ≥时，'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 在3,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，当0a <时，由'()0f x =，得x a =-，x ，'()f x 和()f x 的变化情况如下表x (0,)a -a-(,)a -+∞'()f x -0+()f x 递减极小值递增因为()f x 在3,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以a e -≤，得0e a -≤<，综上，a 的取值范围为[,)e -+∞22．已知a R ∈，函数2()()e (xf x x ax x R =-+∈，e 为自然对数的底数）．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()f x 在(1,1)-上单调递增，求a 的取值范围；【解析】(1)当2a =时，2()(2)e x f x x x =-+，2()(2)e x f x x '=--令()0f x '>，得220x -<，∴x <()f x ∴的单调递增区间是(；(2)2()[(2)]e x f x x a x a '=-+-+，若()f x 在(1,1)-内单调递增，即当11x -<<时，()0f x '，即2(2)0x a x a -+-+对(1,1)x ∈-恒成立，即111a x x +-+ 对(1,1)x ∈-恒成立，令111y x x =+-+，则2110(1)y x '=+>+，111y x x ∴=+-+在(1,1)-上单调递增，1311112y ∴<+-=+，32a ∴ ，当32a =时，当且仅当0x =时，()0f x '=，a ∴的取值范围是3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．23．已知函数1()xxf x ax e +=-．(1)若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x b =+，求实数a ，b 的值；(2)若函数()f x 在区间(0,2)上存在．．单调增区间，求实数a 的取值范围；(3)若()f x 在区间(0,2)上存在极大值，求实数a 的取值范围（直接写出结果）．【解析】(1)因为1(1)()x x x xf x a a e e'-+=-=+，所以(0)f a '=，因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x b =+，所以切线斜率为1，即1a =，(0)1f b =-=，所以1,1a b ==-．(2)因为函数()f x 在区间(0,2)上存在单调增区间，所以()0x xf x a e='+>在(0,2)上有解，即只需()'f x 在(0,2)上的最大值大于0即可．令1()(),()x x x xh x f x a h x e e-==+=''，当(0,1)x ∈时，()0,()h x h x '>为增函数，当(1,2)x ∈时，()0,()h x h x '<为减函数，所以，当1x =时，()h x 取最大值1a e +，故只需10a e +>，即1a e >-．所以实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．(3)212,⎛⎫-- ⎪⎝⎭e e 24．1.已知函数()()31R f x x ax a =--∈.(1)若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若函数()f x 的单调递减区间是)-，求实数a 的值；(3)若函数()f x 在区间()1,1-上单调递减，求实数a 的取值范围.【解析】(1)易知()23f x x a '=-.因为()f x 在R 上单调递增，所以()0f x '≥恒成立，即23a x ≤恒成立，故()2min30a x≤=.经检验，当0a =时，符合题意，故实数a 的取值范围是(],0-∞.(2)由（1），得()23f x x a '=-.因为()f x 的单调递减区间是()1,1-，所以不等式230x a -<的解集为()1,1-，所以-1和1是方程230x a -=的两个实根，所以3a =.(3)由（1），得()23f x x a '=-.因为函数()f x 在区间()1,1-上单调递减，所以()0f x '≤在()1,1x ∈-上恒成立，即23a x ≥在()1,1x ∈-上恒成立.又函数23y x =在()1,1-上的值域为[)0,3，所以3a ≥.故实数a 的取值范围是[)3,+∞.25．已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈.（1）当1a =时，求函数()f x 的最值（2）若函数()f x 在区间[1,)+∞上是减函数，求实数a 的取值范围.【解析】（1）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，则()()2211121()21x x x x f x x x x x+---'=-+=-=-，当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以当1x =时，()f x 有最大值0，无最小值；（2）21()2f x a x a x-'=+，因为函数()f x 在区间[1,)+∞上是减函数，所以21()20f x a x a x=-+≤'在区间[1,)+∞上恒成立，令()212g x a x a x =-+，则()22120g x a x'=--<，所以()g x 在区间[1,)+∞上递减，所以()()2max 121g x g a a ==-++，则2210a a -++≤，即2210≥--a a ，即()()2110a a +-≥，解得12a ≤-或1a ≥，所以实数a 的取值范围1(,[1,)2-∞-⋃+∞.26．已知函数()22f x x a x x =⋅-+.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程；（2）若()22f x x a x x =⋅-+在区间[0,1]上单调递增，求实数a 的取值范围.【解析】（1）当1a =时，()22·21||()1f x x x x x x =+=--，则2()341'=-+f x x x ，所以()(252,2)f f '==，所以，所求切线方程为25(2)y x -=-，即580x y --=.（2）设()()2201g x x x a x =+≤≤-，则()2(1)0g x x '=-≤，所以()g x 在[]0,1上单调递减，从而()()()10g g x g ≤≤，即()1a g x a ≤≤-.（i ）当1a ≥时，()10g x a ≥≥-，则()22()f x x x x a -=+，则2()34f x x x a '=-+，若()f x 在[]0,1上单调递增，则2()340f x x x a '=-+≥对于任意的[]0,1x ∈恒成立，即234a x x ≥-+.因为2224343(33x x x -+=--+，所以当23x =时，2434()3max x x +=-，所以43a ≥，又1a ≥，此时a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（ii ）当0a ≤时，()0g x ≤，则()2()2f x x x x a =-+-，则2()34f x x x a '=-+-，若()f x 在[]0,1上单调递增，则2()340f x x x a '=-+-≥对于任意的[]0,1x ∈恒成立，即234a x x ≤-+.因为2224343(33x x x -+=--+，所以当0x =时，2min 340()x x +=-，所以0a ≤，此时a 的取值范围为(,0]-∞.（iii ）当01a <<时，则存在唯一的()00,1x ∈，使得()00g x =.当()100,x x ∈时，()10g x >，即存在()010,1x x ∈，且10x x <，使得()()10g x g x >，从而()()1100x g x x g x >，即()()10f x f x >，这与“()f x 在[]0,1上为增函数”矛盾，此时不合题意.综上，实数a 的取值范围(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭27．已知函数()ln f x ax x =-，()e 2ax g x x =+，其中a ∈R ．(1)当2a =时，求函数()f x 的极值；(2)若存在区间(0,)D ⊆+∞，使得()f x 与()g x 在区间D 上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围．【解析】(1)当2a =时，()2ln f x x x =-，定义域为(0,)+∞，则1()2f x x'=-，故当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．所以()f x 在12x =处取得极小值，且11ln 22f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，无极大值．(2)由题意知，1()f x a x'=-，()e 2ax g x a '=+．当0a >时，()0g x '>，即()g x 在R 上单调递增，而()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故必存在区间(0,)D ⊆+∞，使得()f x 与()g x 在区间D 上单调递增；当0a =时，1()0f x x '=-<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减，而()g x 在(0,)+∞上单调递增，故不存在满足条件的区间D ；当0a <时，1()0f x a x '=-<，即()f x 在(0,)+∞上单调递减，而()g x 在12,ln a a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，在12ln ,a a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，若存在区间(0,)D ⊆+∞，使得()f x 与()g x 在区间D 上有相同的单调性，则有12ln 0a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，解得2a <-．综上可知，a 的取值范围为(,2)(0,)-∞-+∞ ．。
与单调性有关的求参数取值范围的三种策略
当 ｏ］ ≥ ＝ 一， ， 号丢 １ 当 －０ ≤ ＝ 一 ｌ 号 丢 ， ）
令 （ ＝ ，ｇ ＝ ＋ 对 一 ｇ ）号一 则 ） ４＞ 于 切 ３ （ １３ ０
因为函数 ） 在［一１ １ 内单调递减 ， ，］ 所 以厂 （ ）＝ ｘ 一４ｘ一３ ２ ｋ ≤０对 于一 切 Ｅ［一１ ， １ 恒成立 ， ］ 所 以ｆ （ ） 在 Ｅ［ ， ］ 一１ １ 的最大值ｆ （ 一 ≤０ ） ．
２ ＋ ｋ
＾
、
Ｊ ’
式， （ ～ ≤０ 进而得 到 ｋ的取值范 围 ． ） ，
策略二 子 区 间法
因为函数 ） ［一１１ 内单调 递 减 ， 以 ［一１ 在 ，］ 所 ，
ｔ Ｃ［ ］ ， 一 ２
先解关于 的不等式ｆ （ ） ０ 得到用参数 ｋ ≤ ， 表示 的
，其 中 为任意常数） （ ，
（ 收稿 日 ： ｏｌｏ ） 期 ２ ９２３ ０
（ 上接第 ４ ９页） 解法 １ 最值法
策 略一 最 值法 得
＋￣ ≤ ｋ ＂ｋ ＋ ≤２ ４ ｒ ６
—
，
即函数， ） （ 的单 调递减 区间是 ［ 丝
，
依题意可得含有参 数 ｋ的不等式 （ ≤０对于一 ） 切 ∈［ ，］ 口 ｂ 恒成立 ， 先求 出， （ 在 ［ ， ］ 的最大值 ） ａ ｂ 上
． （ 一（ 中， （ 一是 关 于 ｋ的表达 式 ） 再解 不等 厂 ） 其 ） ，
上述三种方法 解 决 问题 ， 哪种 方法 更 优 ， 视具 体 要
问题而定 ．以下给 出两个例 题 ， 以看 出它们在题 目设 可 置上是相同的 ， 结构上是相 似 的 ， 同一种 策略 ， 在不 但 用
利用函数的单调性求参数的取值范围使用
利用函数的单调性求参数的取值范围使用在数学中，单调性指的是函数图像在定义域内的增减趋势是否保持一致。
具体而言，如果函数f(x)在一些区间上是递增的，则称它在该区间上是单调递增的；如果函数f(x)在一些区间上是递减的，则称它在该区间上是单调递减的。
假设我们面对的问题为求使函数f(x)大于等于一些给定值的参数x 的取值范围。
我们可以通过以下步骤来解决这个问题：1.首先，我们需要确定函数f(x)的单调性。
可以通过函数的导数来判断函数的增减性。
如果f'(x)大于零，那么函数f(x)在该区间上是单调递增的；如果f'(x)小于零，那么函数f(x)在该区间上是单调递减的。
2.其次，我们可以将函数f(x)大于等于给定值转化为不等式f(x)-C>=0的形式，其中C表示给定值。
例如，如果我们需要求函数f(x)大于等于0的参数x的取值范围，可以将不等式f(x)>=0转化为f(x)-0>=0。
3.接下来，我们可以利用不等式的性质来求解参数的取值范围。
对于单调递增的函数，我们可以将不等式f(x)-C>=0转化为x>=g(C)的形式，其中g(C)表示函数f(x)-C=0的解。
对于单调递减的函数，我们可以将不等式f(x)-C>=0转化为x<=g(C)的形式。
4.最后，我们可以利用函数f(x)的定义域来进一步限制参数x的取值范围。
函数f(x)的定义域表示函数f(x)的取值范围，此范围也是参数x的取值范围的一部分。
因此，我们需要将函数f(x)的定义域与参数x的取值范围进行交集运算，以得到最终的参数取值范围。
需要注意的是，在利用函数的单调性求参数的取值范围时，我们需要确保函数f(x)存在单调性。
如果函数f(x)在一些区间上既不是递增的也不是递减的，那么我们无法利用单调性来求解参数的取值范围。
举例说明：假设我们需要求函数f(x)=x^2+3x+2大于等于5的参数x的取值范围。
利用导数求参数的取值范围方法归纳
利用导数求参数的取值范围一•已知函数单调性，求参数的取值范围类型1 •参数放在函数表达式上例1. 设函数f(x) 2x3 3(a 1)x2 6ax 8其中a R •⑴若f (x)在x 3处得极值,求常数a的值.⑵若f(x)在(,0)上为增函数,求a的取值范围二.已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围类型1.参数放在不等式上2例3•已知f(x) x3ax2bx c在x 与x 1时都取得极值3(1)求a、b的值及函数f (x)的单调区间.(2)若对x [ 1,2],不等式f(x) C2恒成立，求c的取值范围.23. 已知函数f (x) x3— 2x 5,若对任意x [ 1,21都有f (x) m则实数m的取值范围是2类型2 .参数放在区间上例4 .已知三次函数f(x) ax3 5x2 cx d图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且f (x)在x=3处有极值.(1) 求f (x)的解析式•( 2)当x (0,m)时，f (x) >0恒成立，求实数m的取值范围.分析:(1) f (x) x3 5x2 3x 9' 2(2) .f (x) 3x 10x 3 (3x 1)(x 3)由f (x) 0得X1丄必 3当x (0,1)时f (x) 0, f(x)单调递增，所以f (x) f (0) 93 3当x 』,3)时f '(x) 0, f (x)单调递减，所以f (x) f(3) 03所以当m 3时f(x) 0在(0,m)内不恒成立,当且仅当m (0,3]时f (x) 0在(0,m)内恒成立所以m的取值范围为(0,3]基础训练：4. 若不等式x4 4x3 ________________________________________ 2 a对任意实数x 都成立，则实数a的取值范围是___________________________________________________ .三.知函数图象的交点情况，求参数的取值范围.例5•已知函数f(x) ax3 bx2 3x在x 1, x 1处取得极值(1)求函数f(x)的解析式.⑵若过点A(1,m)(m 2)可作曲线y= f (x)的三条切线，求实数m的取值范围略解⑴求得f (x) x3 3x⑵设切点为M(x0,x3 3x0),因为f (x) 3x2 3所以切线方程为y m (3x2 3)(x 1),又切线过点M所以x3 3x0 m (3x2 3)(x01)即2x3 3x(2 m 3 0因为过点A可作曲线的三条切线，所以关于X。
专题15 已知函数的单调区间求参数的范围(解析版)
专题15 已知函数的单调区间求参数的范围一、单选题 1．若函数sin ()cos x a f x x +=在区间(0,)2π上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤-B ．2a ≤C ．1a ≥-D ．1a ≤【答案】C 【分析】利用导函数研究原函数的单调性，利用单调性求解实数a 的取值范围． 【详解】 解：函数sin ()cos x af x x+=则2cos cos sin (sin )()x x x x a f x cos x++'=(0,)2x π∈上，2cos 0x ∴>要使函数sin ()cos x a f x x +=在区间(0,)2π上单调递增，22cos sin sin 0x x a x ∴++≥在(0,)2x π∈上恒成立，即：sin 10a x +≥在(0,)2x π∈上恒成立， (0,)2x π∈上，sin (0,1)x ∈1a ∴-故选：C ． 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2．已知函数()()()21=)1ln 2(,1+f x x a x a a b x -+->，函数2x b y +=的图象过定点0,1（），对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>，有()()1221f x f x x x ->-，则实数a 的范围为（ ）A ．15a <≤B ．25a <≤C ．25a ≤≤D ．35a <≤【答案】A 【分析】由图象过定点可得0b =，设()()F x f x x =+，结合已知条件可得()F x 在()0,∞+递增，求()F x 的导数，令()()211g x x a x a =--+-，由二次函数的性质可得102a g -⎛⎫≥⎪⎝⎭，从而可求出实数a 的范围. 【详解】解：因为2x b y +=的图象过定点0,1（），所以21b =，解得0b =，所以()()()21=1ln ,12f x x ax a x a -+->，因为对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>， 有()()1221f x f x x x ->-，则()()1122f x x x f x +>+，设()()F x f x x =+， 即()()()()()22111ln =11ln 22F x ax a x x x f x x x a x a x =+=-+-+--+-， 所以()()()21111x a x a a F x x a x x--+--'=--+=，令()()211g x x a x a =--+-， 因为1a >，则102a x -=>，所以要使()0F x '≥在()0,∞+恒成立，只需102a g -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 故()21111022a a a a --⎛⎫⎛⎫--+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得()()150a a --≤，解得15a <≤，故选:A. 【点睛】 关键点睛：本题的关键是由已知条件构造新函数()()F x f x x =+，并结合导数和二次函数的性质列出关于参数的不等式.3．已知函数()()2xf x x a e =-在区间[]1,2上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．(]3,-∞B ．(],8-∞C ．[)3,+∞D ．[)8,+∞【答案】A【分析】由函数的单调性与导数的关系得出220x x a +-≥在区间[]1,2上恒成立，将问题转化为求()2min2x x+，即可得出答案. 【详解】()()220x f x x x a e '=+-≥在区间[]1,2上恒成立，则220x x a +-≥在区间[]1,2上恒成立即()22min2123a x x≤+=+=故选：A 4．函数32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，则m 的范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞【答案】D 【分析】函数在R 上时单调函数，等价于导函数大于等于0或小于等于0恒成立，列不等式求出m 的范围即可． 【详解】 函数32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，即220y x x m '=++≥或220y x x m '=++≤(舍)在R 上恒成立440m ∴∆=-≤，解得m 1≥故选：D 【点睛】本题考查导数解决函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于基础题． 5．已知函数321()13f x x ax x =+++在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1]-∞- B ．55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．5,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．55,34⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B 【分析】求导得到2()21'=++f x x ax ，然后根据()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，由(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩求解. 【详解】 已知函数321()13f x x ax x =+++， 则2()21'=++f x x ax ，因为()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，所以(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩，即10121044109610a a a ≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪++≥⎩，解得 5534a -≤≤-， 所以实数a 的取值范围为55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.6．函数1()f x x ax=+在(,1)-∞-上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(,0)(0,1]-∞ C ．(0,1] D ．(,0)[1,)-∞⋃+∞【答案】D 【分析】 函数1()f x x ax=+在(,1)-∞-上单调递增，所以()'0f x ≥在(,1)-∞-上恒成立，求函数()f x 的导函数，参变分离求最值即可. 【详解】解：因为函数1()f x x ax=+在(,1)-∞-上单调递增，所以()'0f x ≥在(,1)-∞-上恒成立，即21'()10f x ax=-≥在(,1)-∞-上恒成立. 即2min 1()x a ≤，即11a≤，解得：1a ≥或0a <. 检验，当1a =时，()f x 不是常函数，所以1a =成立. 故选：D 【点睛】本题考查已知函数的单调性求参数的范围，属于中档题. 方法点睛：（1）已知在区间上单调递增，则导函数大于等于0恒成立； （2）分类讨论或参变分离，求出最值即可. 易错点睛：必须检验等号成立的条件，有可能取等号的时候是常函数，所以需要检验取等时是否是常函数. 7．对任意的0a b t <<<，都有ln ln b a a b <，则t 的最大值为（ ） A ．1 B ．eC ．2eD ．1e【答案】B 【分析】 令ln xy x=，问题转化为函数在(0,)t 递增，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出t 的最大值即可． 【详解】0a b t <<<，ln ln b a a b <，∴ln ln a ba b <，()a b <， 令ln x y x=，则函数在(0,)t 递增，故21ln 0xy x -'=>， 解得：0x e <<，所以(0,)t 是(0,)e 的子集， 可得0t e <≤，故t 的最大值是e ， 故选：B ． 【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间,a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ① 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围． 8．函数()()2122ln 2f x ax a x x =-++单调递增的必要不充分条件有（ ） A ．2a ≥ B ．2a =C ．1a ≥D ．2a >【答案】A 【分析】求导，把问题转化为()2220ax a x -++≥在区间()0,∞+恒成立，a 分三种情况讨论即可得出结论。
由单调性求参数范围的几种方法
由单调性求参数范围的几种方法1、定义法:①任取x1、x2∈d，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)，并适度变形(“水解因式”、配方Z917号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性。
2、导数法:设函数y＝f(x)在某区间d内可导。
如果f′(x)>0，则f(x)在区间d内为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)在区间d内为减函数。
特别注意：(补足)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间d内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间d内为减函数。
定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、（补足）单调性的有关结论1、若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为减(减至)函数。
2、若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减至(减)函数，如果同时存有f(x)>0，则为减至(减）函数，为增（减）函数3、互为反函数的两个函数存有相同的单调性。
4、y＝f[g(x)]是定义在m上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性恰好相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数。
简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点等距的.两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。
(1)谋某些函数的值域或最值。
(2)比较函数值或自变量值的大小。
(3)求解、证不等式。
(4)求参数的取值范围或值。
(5)并作函数图象。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【知识点4】已知单调性求参数取值范围
1. 思路提示：⑴对于函数在某个区间上单调递增或单调递减的问题，转化为导函数在此区
间上恒为非负或非正的问题，进而转化为导数在该区间上的最值问题.
⑵对于可导函数在某个区间不单调的问题，转化为导函数在此区间无实根，可
结合导函数的图像给出此问题的充要条件，从而求解.
⑶对于只有一个极值点的导函数研究其相关问题（如在给定区间上恒为正或负
以及根的分布等），往往可以类比二次函数在区间上的最值或根的分布求解.
例1：已知函数422()32(31)2(31)4f x ax a x a x x =-+-++
（I ）当16
a =时，求()f x 的极值; （II ）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围
例2：已知函数32()1()f x x ax x a R =+++∈
（I ）讨论函数()f x 的单调区间；
（II ）设函数()f x 在区间31(,)23
-
-内是减函数，求a 的取值范围.
例3：已知函数2()(2)ax f x ax x e =-，其中a 为常数，且0a ≥.
（I ）若1a =，求函数()f x 的极值点；
（II ）若()f x 在区间(2,2)内单调递增，求a 的取值范围.
例4：已知函数32()f x ax bx =+()x R ∈的图像过点(1,2)P -，且在点P 处的切线恰好与直线30x y -=垂直.
(Ⅰ)求函数()f x 的解析式；
（II ）若函数()f x 在区间[],1m m +上单调递增，求实数m 的取值范围.
例5：已知函数32()(1)(2)(,)f x x a x a a x b a b R =+--++∈.
(Ⅰ)若函数()f x 的图像过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围.
例6：设()1x
e f x ax
=+，其中a 为正实数 （Ⅰ）当a 43
=时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.
例7：设()2
x
e f x =，其中a 为正实数. (Ⅰ)当34
a =时，求()f x 的极值点； (Ⅱ)若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.
例8：设3211()232
f x x x ax =-++ (I)若()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围．
（II ）当02a <<时，()f x 在[1,4]的最小值为163
-
，求()f x 在该区间上的最大值．
例9：已知a ，b 是实数，函数,)(,)(23bx x x g ax x x f +=+= )(x f '和)(x g '是)(),(x g x f 的导函数，若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致
(I)设0>a ，若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围； （II ）设,0<a 且b a ≠，若函数)(x f 和)(x g 在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求a b -的最大值.
例10：已知函数()3213
f x x x ax b =-++的图像在点()0,0P f （）处的切线方程为32y x =-
(Ⅰ)求实数,a b 的值；
(Ⅱ)设()1
m g x f x x =+-（）是[21,]+∞上的增函数。
（i ）求实数m 的最大值；
(ii)当m 取最大值时，是否存在点Q ，使得过点Q 的直线若能与曲线()y g x =围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.
例11：设函数()()32
6322f x x a x ax =+++． (I)若()f x 的两个极值点为1x ，2x ，且121x x =，求实数a 的值；
（II ）是否存在实数a ，使得()f x 是(),-∞+∞上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．
例12：设定函数32()(0)3a f x x bx cx d a =
+++，且方程'()90f x x -=的两个根分别
为1,4.
（Ⅰ）当a=3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式；
（Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围。
例13：已知函数()(1)ln 15,a f x x a x a x
=++-+其中a<0,且a≠-1. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）设函数()()()33223646,1,1x x ax ax a a e x g x e f x x ⎧-++--≤⎪=⎨⋅>⎪⎩
（e 是自然数的底数）。
是否存在a ，使()g x 在[],a a -上为减函数？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由。
例14：已知函数42()32(31)4f x ax a x x =-++
（I ）当16
a =时，求()f x 的极值; （II ）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围.
例15： 已知函数()2()x
f x ax bx c e ＝＋＋在[]0,1上单调递减且满足()()0110.f f ＝，＝ (I)求a 的取值范围；
(II)设()()()g x f x f x '＝－，求()g x 在[]0,1上的最大值和最小值．
例16：已知函数2
()ln (0)f x x ax x a =-->
(I)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为2-，求a 的值以及切线方程； (II)若()f x 是单调函数，求a 的取值范围.
例17：已知函数).0(32ln )(≠+-=a ax x a x f (I)设1a =-，求函数)(x f 的极值；
(II)在(I)的条件下，若函数])(3
1)(23m x f x x x g +'+=(其中)(x f '为)(x f 的导 数)在区间(1，3)上不是单调函数，求实数m 的取值范围．。