导数学案(完整版)精心整理

选修（1-1）第三章导数及其应用

课题：§3.1 变化率与导数

学习目标：1. 了解函数的平均变化率、瞬时变化率的概念；

2. 理解导数的概念，理解、掌握导数的几何意义

3. 会利用定义求函数在某一点附近的平均变化率及导数；

4. 会利用定义求函数在某点处的切线方程.

学习过程：

一、变化率问题

[开篇思考]：阅读开篇语，了解课程目标

1. 微积分的创立与自然科学中的哪些问题的处理直接相关？

2. 导数的研究对象是什么？

[问题探究一]：气球膨胀率

吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢。从数学的角度如何

描述这种现象? 阅读教材P72并思考：

（1）问题中涉及到的两个变量分别是、，这

两个变量间的函数关系是；

（2）“气球的半径增加得越来越慢”的意思是“

”，从数学角度进行描述就是“

”，即气球的平均膨胀率就是.

（3）运用上述数学解释计算一些具体的值

当空气容量从0增加到1L时，气球半径r增加了，气球的平均膨胀率为；

当空气容量从1L增加到2L时，气球半径r增加了，气球的平均膨胀率为；

当空气容量从2L增加到2.5L时，气球半径r增加了，

气球的平均膨胀率为；

当空气容量从2.5L增加到4L时，气球半径r增加了，气球的平均

膨胀率为；

可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐.

（4）思考：当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是

[问题探究二]：高台跳水

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系10

5.6

9.4

)

(2+

+

-

=t

t

t

h如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？阅读教材P73并思考：

若用运动员在某段时间[]2

1

,t

t内的平均速度v描述其运动状态，

那么：（1）v= ；

（2）算一算：

在5.0

0≤

≤t这段时间内，v=

在2

1≤

≤t这段时间内，v=

在

49

65

0≤

≤t这段时间内，v=

[新知]：

设()

y f x

=，

1

x是数轴上的一个定点，在数轴x上另取一点

2

x，

1

x与

2

x的差记为x∆，即x∆=

或者

2

x= ，x∆就表示从

1

x到

2

x的变化量或增量；相应地，函数的变化量或增量记为y∆，即y

∆= ；如果它们的比值

y

x

∆

∆

，则上式就表示为，此比值就称为平均变化率. 平均变化率：_______________ = ______

反思：所谓平均变化率也就是的增量与的增量的比值.

[试一试]：

例：已知函数2

()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：

（1）[1，]1.1 （2）[1，]2 （3）[1，]x ∆+1

[思考]：当x ∆越来越小时，函数)(x f 在区间[1，]x ∆+1上的平均变化率有怎样的变化趋势？ [变式]： 已知函数2

()f x x x =-+的图象上一点(1-，)2-及邻近一点(x ∆+-1，)y ∆+-2，则y x

∆∆=

[学习小结]：

1. 函数()f x 的平均变化率是

2. 求函数()f x 的平均变化率的步骤：

（1）求函数值的增量 ；（2）计算平均变化率 . [作业]：形成练习P 41-42 练习21 函数的平均变化率 [再思考]：计算[问题探究二]中运动员在49

65

0≤

≤t 这段时间里的平均速度，思考以下问题： （1）运动员在这段时间内使静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 二、导数的概念

[探究]：计算[问题探究二]运动员在49

65

0≤

≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： （1）运动员在这段时间内使静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：

[知识回顾]：什么是函数)(x f y =的平均变化率？如何求平均变化率？

[想一想]：既然用平均速度不能精确描述运动员的运动状态，那该如何求运动员在某一时刻的速度呢？

回答下列问题：

1．什么是瞬时速度？

2. 当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？

3. 运动员在某一时刻0t 的瞬时速度怎样表示？

[认识与理解]：求瞬时速度

一物体的运动方程是2

3t s +=，则在2=t 时刻的瞬时速度是

[新知]：

1. 函数)(x f y =的瞬时变化率怎样表示？

2. 什么是函数)(x f y =在0x x =处的导数？如何表示？其本质是什么？

[试一试]：

例1．（1）用定义求函数2

3x y =在1=x 处的导数.

（2）求函数f (x )=x x +-2

在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

例2．阅读教材P 75例1,计算第h 3时和第h 5时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

[学习小结]：

1．瞬时速度、瞬时变化率的概念

2．函数)(x f y =在0x x =处的导数及其本质 [作业]：形成练习P 43-44练习22 导数的概念

三、导数的几何意义（阅读教材P 74-75）

[思考与探究一]：曲线的切线及切线的斜率

如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =

沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的

变化趋势是什么？

当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时，割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的 . [想一想]：

（1）割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？

（2）切线PT 的斜率k 为多少？

（3）此处切线的定义与以前学过的切线的定义有什么不同？

[新知1]：导数的几何意义：

图3.1-2