导数学案(完整版)精心整理
高等数学-导数的概念-教案(完整资料).doc
t∆很小时，其平均速度就可以近似地看作时刻的瞬时速度．且
x
x x x x ∆-∆+=→∆sin )sin(lim
0x
x x x x ∆∆⎪
⎭⎫ ⎝⎛
∆+=→∆2sin 2cos 2lim 0 x x x x x x cos 2
2sin 2cos lim 0=∆∆⎪⎭⎫ ⎝
⎛∆+=→∆， 即： x.cos (sin x)'=
类似可得：sin x. - x)'(cos = 定义 如果x x f x x f x ∆∆∆)
()(lim 000-+-
→存在，则称此极限值为f (x ) 在点 x 0 处的左导数，记作 f’(x 0)；同样，如果x x f x x f x ∆∆∆)()(lim 000-++
→存在，则称此极限值为 f (x ) 在点 x 0 处的右导数，记作 f’
+(x 0) .
显然，f (x ) 在 x 0 处可导的充要条件是 f’ -(x 0) 及 f ‘ +(x 0) 存在且相等 . 定义 如果函数 f (x ) 在区间 I 上每一点可导，则称 f (x ) 在区间 I 上可导. 如果 I 是闭区间[a , b ]，则端点处可导是指 f’+(a )、 f’-(b ) 存在 .
六、可导与连续的关系
定理 如果函数 y = f (x ) 在点 x 0 处可导, 则 f (x ) 在点 x 0 处连续，其逆不真.。
D.课堂小结
一、导数的定义
二、导数的几何意义 三、可导与连续的关系。
学案15 导数的概念(文理)
学案 导数的概念及其运算（文理）一、 目标要求1、了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义。
2、能据导数定义，求函数y=c ，x y xy x y x y x y =====,1,,,32的导数， 3、能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算求简单函数的导数。
二、知识梳理⑴ 函数在点0x x =处的导数及导函数：⑵ 函数在点0x x =处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处⑶导数的基本运算① 基本初等函数的导数公式C C (0'=为常数) '()n x = =')(sin x '(cos )x ='()x e = ；'()x a = ；'(ln )x = ；'(log )a x = ② 函数的和、差、积、商的求导法则（4）、（理）复合函数的导数：一般地，设函数()u x ϕ=在x 处有导数''()x u x ϕ=，函数y=f(u)在x 的对应点u 处有导数''()x y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且三、基础训练1、设()ln ,f x x x =若()'02fx =，则0x =（ ） A 2e B e C ln 22 D ln2 2、若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直，则l 的方程为（ ）)(A 034=--y x )(B 430x y -+= （C ）450x y +-=（D ）430x y ++=3、半径为r 的圆的面积2)(r r s π=，周长r r c π2)(=，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ππ2)('2=………………… ①①式可用自然语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长的函数.对于半径为R 的球,若将R 看作),0(+∞上的变量,请你写出类似于①的式子___________,且用自然语言叙述为____________.4、如图，函数f(x)的图像是折线段A,B,C ，其中的坐标分别为(O,4)，(2,0),(6,4),则f(f(0))= , 函数f(x)在x=1处的导数(1)f '= 四、典例精析 例 1 求下列函数的导数： ⑴ ;sin 2x x y = ⑵;ln x xy =(3)1cos x y xe -= (理) （4）y=21x + (理)例2 已知函数f(x)=x 3+x-16 ⑴ 求直线)(x f y =在点)6,2(-处的切线的方程； ⑵ 直线l 为曲线)(x f y =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； ⑶如果曲线)(x f y =的某一切线与直线341+-=x y 垂直，求切点坐标与切线的方程。
大学导数优秀教案设计
教学目标：1. 理解导数的概念，掌握导数的定义和几何意义。
2. 掌握导数的计算方法，包括求导公式和导数法则。
3. 能够运用导数解决实际问题，如函数的单调性、极值、最值等。
4. 培养学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
教学重点：1. 导数的定义和几何意义。
2. 导数的计算方法，包括求导公式和导数法则。
3. 导数的应用。
教学难点：1. 导数的定义和几何意义的理解。
2. 导数计算方法的掌握。
教学过程：一、导入1. 通过实际问题引入导数的概念，如曲线的切线斜率、瞬时速度等。
2. 引导学生思考如何求解曲线在某一点的切线斜率。
二、新课讲授1. 导数的定义：- 给出函数在某一点的导数的定义，让学生理解导数的含义。
- 通过几何意义解释导数，如曲线在某一点的切线斜率。
2. 导数的计算方法：- 介绍求导公式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数。
- 讲解导数法则，如和差法则、乘除法则、链式法则等。
3. 导数的应用：- 讲解函数的单调性、极值、最值等概念。
- 通过实例讲解如何运用导数解决实际问题。
三、课堂练习1. 学生独立完成导数计算题目，巩固所学知识。
2. 教师巡视指导，解答学生在解题过程中遇到的问题。
四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调导数的定义、计算方法和应用。
2. 引导学生总结导数在实际问题中的应用，如物理、经济、工程等领域。
五、课后作业1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 查阅资料，了解导数在其他领域的应用。
教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、回答问题的情况。
2. 作业完成情况：检查学生课后作业的完成质量。
3. 期末考试：通过试卷考察学生对导数知识的掌握程度。
高中数学(导数)学案
导数（复习01）一．导数的概念1.函数y =f (x )，如果自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量y ∆=f (x 0+Δx )－f (x 0)，比值y x ∆∆叫做函数y =f (x )在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率，即y x ∆∆=00()()f x x f x x+∆-∆。
2.如果当Δx →0时，yx∆∆有极限，我们就说函数y =f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作f’(x 0)或y’|0x x =。
即f (x 0)=0lim →∆x yx ∆∆=0lim →∆x 00()()f x x f x x+∆-∆。
说明：(1)函数f (x )在点x 0处可导，是指Δx →0时，y x ∆∆有极限。
如果yx∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
(2) Δx 是自变量x 在x 0处的改变量，Δx ≠0时，而Δy 是函数值的改变量，可以是零。
二．导数的几何意义1.函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y =f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率。
也就是说，曲线y =f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f ’(x 0)。
相应地，切线方程为y －y 0= f ’(x 0)(x －x 0)。
三．常见函数的导出公式．'0C =（C 为常数）；1()',*;n n x nx n Q -=∈ (sin )'cos ;x x = (cos )'sin ;x x =-()';x x e e = ()'ln (0,1);x x a a a a a =>≠ 1(ln )';x x=1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠. 四．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：[()()]''()'();u x v x u x v x ±=± 法则2：[()()]'()()()'();u x v x u x v x u x v x =+法则3：2()'()()()'()'(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦.五．复合函数的导数复合函数f(g(x))y =的导数和函数(x)u (u),y g f ==的导数之间的关系为'''y x u x u f ∙=，即y 对x 的导数等于)(u f 的导数与)(x u 的导数的乘积。
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选修〔 1-1〕第三章导数及其应用课题：§3.1 变化率与导数学习目标： 1. 认识函数的均匀变化率、刹时变化率的观点；2.理解导数的观点，理解、掌握导数的几何意义3.会利用定义求函数在某一点周边的均匀变化率及导数；4.会利用定义求函数在某点处的切线方程.学习过程：一、变化率问题[ 开篇思虑 ]：阅读开篇语，认识课程目标1.微积分的创办与自然科学中的哪些问题的办理直接有关？2.导数的研究对象是什么？[ 问题研究一 ]：气球膨胀率吹气球时，跟着气球内空气容量的增添，气球的半径增添得愈来愈慢。
从数学的角度如何描绘这类现象 ? 阅读教材 P72并思虑：〔 1〕问题中波及到的两个变量分别是、，这两个变量间的函数关系是；（2〕“气球的半径增添得愈来愈慢〞的意思是“〞，从数学角度进行描绘就是“适用标准文案当空气容量从 2.5 L增添到 4 L时，气球半径r 增添了，气球的均匀膨胀率为；能够看出，跟着气球体积渐渐变大，它的均匀膨胀率渐渐.〔 4〕思虑：当空气容量从V1增添到 V2时，气球的均匀膨胀率是[问题研究二 ]：高台跳水在高台跳水运动中，运发动相对于水面的高度h(单位：米 )与起跳后的时间t〔单位：秒〕存在函数关系)t2t10h t如何用运发动在某些时间段内的均匀速度大略地描绘其运动状态？(阅读教材 P73并思虑：h假定用运发动在某段时间t1 , t 2内的均匀速度v 描绘其运动状态，那么：〔 1〕v =；〔 2〕算一算：在 0t0.5 这段时间内， v =ot 在 1t 2 这段时间内， v =t1 t2在 0t65这段时间内， v =49[新知 ]：〞，即气球的均匀膨胀率就是.〔 3〕运用上述数学解说计算一些详细的值当空气容量从0 增添到 1 L时，气球半径r增添了，气球的均匀膨胀设 y f (x) ， x1是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点x2， x1与 x2的差记为x，即x =率为；或许 x2 =， x 就表示从x1到x2的变化量或增量；相应地，函数的变化量或增量记为y ，当空气容量从1L 增添到2 L 时，气球半径 r 增添了，气球的均匀膨胀率即 y =；假如它们的比值y ，那么上式就表示为，此比值就称为均匀变化率 .为；x当空气容量从2L 增添到 L 时，气球半径 r 增添了，均匀变化率： _______________ = ______气球的均匀膨胀率为；反省：所谓均匀变化率也就是的增量与的增量的比值 .出色文档适用标准文案[ 试一试 ]：[研究 ]：计算[问题研究二]运发动在0 t 65这段时间里的均匀速度，并思虑以下问题：例：函数2，分别计算 f ( x) 在以下区间上的均匀变化率：49 f ( x) x〔1〕1，〔2〕1，2〔 1〕运发动在这段时间内使静止的吗？〔 3〕1，1x〔 2〕你以为用均匀速度描绘运发动的运动状态有什么问题吗？研究过程：[知识回想 ]：什么是函数y f ( x) 的均匀变化率？如何求均匀变化率？[ 思虑 ] ：当x愈来愈小时，函数 f ( x) 在区间1， 1x 上的均匀变化率有如何的变化趋向？[想想 ]：既然用均匀速度不可以精准描绘运发动的运动状态，那该如何求运发动在某一时辰的速度呢？y =回复以下问题：[ 变式 ] ：函数 f (x)x2x 的图象上一点 1 ， 2 及周边一点 1 x ， 2y ，那么1．什么是刹时速度？x2. 当t 趋近于 0 时,均匀速度v有什么样的变化趋向？3. 运发动在某一时辰t0的刹时速度如何表示？[ 学习小结 ]：[认识与理解 ]：求刹时速度1.函数 f ( x) 的均匀变化率是一物体的运动方程是 s 3t 2，那么在 t2 时辰的刹时速度是2.求函数 f ( x) 的均匀变化率的步骤：〔 1〕求函数值的增量；〔 2〕计算均匀变化率.[ 作业 ] ：形成练习 P41-42练习 21 函数的均匀变化率[新知 ]：[再思虑 ]：计算[问题研究二]中运发动在0 t 651. 函数y f (x) 的刹时变化率如何表示？这段时间里的均匀速度，思虑以下问题：49（1〕运发动在这段时间内使静止的吗？（2〕你以为用均匀速度描绘运发动的运动状态有什么问题吗？二、导数的观点 2. 什么是函数y f ( x) 在x x0处的导数？如何表示？其实质是什么？出色文档适用标准文案[思虑与研究一]：曲线的切线及切线的斜率如图，当P n(x n, f (x n))( n1,2,3,4)沿着曲线 f (x) 趋近于点P( x0, f (x0))时，割线PP n的变化趋向是什么？[试一试 ]：例 1．〔 1〕用定义求函数y 3x2在x1处的导数.〔 2〕求函数f(x)=x 2x 在x1周边的均匀变化率，并求出在该点处的导数．图当点 P n沿着曲线无穷靠近点P 即x→ 0 时，割线PP n趋近于确立的地点，这个确立地点的直线例 2．阅读教材 P75例 1, 计算第3h时和第5h时, 原油温度的刹时变化率PT 称为曲线在点P 处的., 并说明它们的意义 .[想想 ]：〔 1〕割线PP n的斜率k n与切线 PT 的斜率k有什么关系？〔 2〕切线 PT 的斜率k为多少？[ 学习小结 ]：1．刹时速度、刹时变化率的观点〔 3〕此处切线的定义与从前学过的切线的定义有什么不一样？2．函数y f ( x) 在x x0处的导数及其实质[ 作业 ] ：形成练习P43-44练习 22 导数的观点三、导数的几何意义〔阅读教材P74-75〕[新知 1]：导数的几何意义：出色文档1.函数 y f ( x) 在x x0处的导数等于即 f (x0 )lim f ( x0x) f (x0 )xkx 02.函数 y f ( x) 在x x0处的切线方程是.3.求曲线在某点 P 处的切线方程的根本步骤:①求出点的坐标 P( x0 , f ( x0 )) ；② 求出函数在点x x0处的变化率 f (x0 ) lim0f ( x0x) f ( x0 )k ，x x获得曲线在点P( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.[新知 2]：导函数：1.什么是函数 y f (x) 的导函数？2. 函数f ( x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 、导函数f ( x) 、导数之间的差别与联系？[ 试一试 ]：例 1:〔1〕求曲线y f ( x) x21在点P(1,2)处的切线方程.例 2：在曲线y x 2上过哪一点的切线平行于直线y 4x 5？适用标准文案例 3：〔1〕试描绘函数 f ( x) 在x5, 4, 2,0,1 周边的的变化状况.〔 2〕函数 f (x) 的图象 ,试画出其导函数 f (x) 图象的大概形状.[练一练 ]：〔 1〕求函数 f ( x) 3x 2在点x1处的切线方程.〔 2〕设曲线 f ( x)x2在点 P0处的切线斜率是3，那么点P0的坐标是[学习小结 ]：1.导数的几何意义是什么？2.函数 f (x) 在点x0处的导数f ( x0)、导函数 f (x) 、导数之间的差别与联系？3. 求曲线在某点P 处的切线方程的根本步骤:[ 作业 ]：1. 形成练习 P44-45练习 23 导数的几何意义； 2.学探诊测试十一[课后思虑 ]： 1.本节知识内容有哪些？你学会了什么？ 2.你还有哪些疑惑？快快去解决 .课题：§ 导数的计算出色文档学习目标： 1．会利用导数的定义推导函数y c 、 y x 、 y x 2 、 y1 的导数公式；x2．掌握根本初等函数的求导公式及导数的运算法那么，会求简单函数的导数.学习过程：一、几个常用函数的导数[开篇语 ]：我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时辰的刹时速度．那么，对于函数y f ( x) ，如何求它的导数呢？由导数定义自己，给出了求导数的最根本的方法，但因为导数是用极限来定义的，因此求导数老是归纳到求极限， 这在运算上很麻烦， 有时甚至很困难， 为了能够较快求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下边我们先来求几个常用的函数的导数．[思虑与研究 ]：阅读教材 81-82，利用导数的定义，试试自己推导函数y c 、 y x 、y x 2 、P1 y的导数x[练一练 1] ：利用导数的定义函数y x 3 的导数适用标准文案〔 1〕y x3〔 2〕y x x〔3 〕y 1x2〔 4〕 y 2 sin x cosx〔 5〕 y1 22x例 2：〔 1〕求 y1 在点 (2, 1) 处的切线方程x 2〔 2〕求 y ln x 在 xe 2 处的切线方程〔 3〕求 y sin x 在点 A(, 1) 处的切线方程 6 2〔 4〕设曲线f ( x)2x 2在点 P 0 处的切线斜率是3，那么点 P 0 的坐标是二、根本初等函数的导数公式及导数运算法那么[记一记 1]：根本初等函数的导数公式( c)〔 5〕在曲线1. _________2. ( x )________〔为有理数〕 ( 1)_________x3. ( ex)_________(a x )_________( a 0,a 1)〔 6〕求过点 4. (ln x) __________(log a x)________( a 0, a 1) 5. (sin x)_________(cos x)_________y x 2 上过哪一点的切线平行于直线y 4x 5？P 2, 8 所作的 yx 3 的切线方程 ___________.[练一练 2]例 1：求以下函数的导数[记一记 2]：导数运算法那么： 设函数 f ( x), g (x) 是可导函数，出色文档1.( f ( x)g( x))_________________.2.( f ( x)g( x))_________________.3.( f ( x) )_________________.g( x)[练一练 3]：练 1. 求以下函数的导数：〔 1〕y1x ；〔 2〕 y log 3x〔 3〕 y 2x5 3 x2 5 x 4 ；〔4〕y练 2. 求以下函数的导数：〔 1〕 y x3log 2 x ；〔 2〕 y x n e x；cf ( x)_____________.2e x；3cos x 4sin x .x31〔 3〕ysin x适用标准文案[提升篇 ]1.〔旭日一模〕函数 f x x 2 a 2 x a ln x，此中a R ，求曲线y f x 在点2, f 2处的切线的斜率为1的值 .〔如改为切线方程〕，求 a2. 〔 2021 北京〕函数f xax2 1 a0 ， g x x3bx .假定曲线y f x 与曲线 y g x在它们的交点 1, c 处拥有公共切线，求a,b 的值.练 3.〔 1〕设曲线y x 1在点 (3, 2) 处的切线与直线 axy 1 0 垂直，那么a的值.x1〔 2〕〔2021 年江西〕假定曲线y x 1 (α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,那么α的值 .[学习小结 ]：1．对于简单的函数均可利用求导法那么与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2．对于函数求导，一般要按照先化简，再求导的根来源那么。
学案1：1.2.3 导数的四则运算法则
学习目标：
1.理解两函数的和(或差)的导数法则，会求一些函数的导数．
2.理解两函数的积（或商）的导数法则，会求一些函数的导数
3.会求一些简单复合函数的导数.
学习重点难点：
导数的四则运算
自主学习：
一．知识再现
1.导数的定义：设函数 在 处附近有定义，如果 时， 与 的比 （也叫函数的平均变化率）有极限即 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数 在 处的导数，记作 ，即
解法二：∵y＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab
∴y′＝(x2)′－[(a＋b)x]′＋(ab)′＝2x－a－b，故选D.
2．【答案】B
【解析】解法一：f′(x)＝ ′
＝ ＝ ，
∴f′(x0)＝ ＝0，得：x0＝±a.
解法二：∵f′(x)＝ ′＝ ′＝1－ ，
∴f′(x0)＝1－ ＝0，即x ＝a2，∴x0＝±a.
故选B.
3．【答案】D
【解析】y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′
＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，
∴y′|x＝1＝4.故选D.
4．【答案】A
【解析】由f′(x)＝ － ＝ 得x＝3.故选A.
5．【答案】－3
【解析】设u＝3x，则y＝sinu，
∴y′x＝cosu·(3x)′＝3cosu＝3cos3x
法则1：两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即
证明：令 ，
，
∴ ，
即 ．
法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即
导数(1)导学案
课题：导数的概念及几何意义复习【学习目标】 (1)理解导数的几何意义；熟记常见基本初等函数的导数公式和掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；（2）会求简单函数的导数．会求函数的切线方程【重点难点】会求简单函数的导数．会求函数的切线方程【使用说明及学法指导】结合课本使用导学案，复习本节课的知识点，重要的公式法则和题型所对应的解题方法规律；先独立做并记录好疑难点，在课堂上针对性的学习。
【知识链接】1、 定义：设函数)(y x f =在区间()b a ,上有定义，),,(0b a x ∈当x ∆无限趋近于0时比值 xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00无限趋近于一个常数A ，则称)(x f 在点0x x =处可导，并称该常数A 为函数)(x f 在点0x x =处的导数，记作)(0x f '。
2、 若)(x f 对于区间()b a ,内的任一点都可导，则)(x f 在各点的导数也随着自变量x 的函数，该函数称为)(x f 的导函数，记作)(x f '。
注意)(x f '与)(0x f '是不同的概念：)(0x f '是一个常数，)(x f '是一个函数；)(0x f '是)(x f '在0x x =处的函数值复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 问题：导数的物理意义是：复习2：常见函数的导数公式： 幂函数：='）（αx （α为常数） 指数函数：=')(x a （a >0，且1≠a ） 特例：=')(x e 对数函数：=')(log x a （a >0，且1≠a ） 特例：='）（x ln 正弦函数：=')(sin x 余弦函数：=')(cos x 复习3[()()]f x g x '±= [()()]f x g x '=()[]()f xg x '=【预习案】1：根据常见函数的导数公式计算下列导数（1）6y x = （2）y =（3）21y x = （4）y = 2求函数323y x x =-+的导数.3（1）32log y x x =+； （2）n xy x e =； （3）31sin x y x-=4 求下列函数的导数：（1）2log y x =； （2）2x y e =；（3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =-. 5．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)--6.函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )A. 18B. 41C. 21 D. 1 7.()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）A ．()f x =()g xB ．()f x -()g x 为常数函数C ．()f x =()0g x =D ．()f x +()g x 为常数函数8、函数()sin ln f x x x =+的导函数()f x '=9、一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____10、曲线y ＝x 3－23 x 2－3x ＋1在x ＝1处的切线的倾斜角为 11、 如图，函数f （x ）的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f （f （0））＝ ；函数f （x ）在x ＝3处的导数f ′（3）＝ .12、已知曲线x x y ln 3212-=的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为 ． 13、曲线x x x f ln )(=在点1=x 处的切线方程为 14、设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a15、曲线x x y +=331在点)34,1(处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 16、已知函数)(x f y =的图像在点))1(,1(f 处的切线方程是012=+-y x ，则)1(2)1(f f '+的值是 17、在曲线106323-++=x x x y 的切线中，斜率最小的切线方程为【探究案】例1．下列函数的导数：①2(1)(231)y x x x =++- ②y ③()(cos sin )x f x e x x =⋅+例2． 如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程．变题：已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0. 求a ，b 的值；拓展1已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P （1,2），且在点P 处有公切线，试求a,b,c 值。
导数学案(有答案)
3、1、1平均变化率课时目标1、理解并掌握平均变化率得概念、2、会求函数在指定区间上得平均变化率、3、能利用平均变化率解决或说明生活中得实际问题．1．函数f(x)在区间[x1，x2]上得平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx瞧作就是相对于x1得一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)得平均变化率可以表示为________．2．函数y＝f(x)得平均变化率ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1得几何意义就是：表示连接函数y＝f(x)图象上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))得割线得________．一、填空题1．当自变量从x0变到x1时，函数值得增量与相应自变量得增量之比就是函数________．(填序号)①在[x0，x1]上得平均变化率；②在x0处得变化率；③在x1处得变化率；④以上都不对．2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数得增量Δy＝______________、3．已知函数f(x)＝2x2－1得图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝________、4．某物体做运动规律就是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内得平均速度就是______________．5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间得平均变化率就是________．6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0、1时，Δy得值为________．7．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)得割线得斜率为______．8．若一质点M 按规律s(t)＝8＋t 2运动，则该质点在一小段时间[2,2、1]内相应得平均速度就是________． 二、解答题9．已知函数f(x)＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上得平均变化率． 10．过曲线y ＝f(x)＝x 3上两点P(1,1)与Q(1＋Δx ，1＋Δy)作曲线得割线，求出当Δx ＝0、1时割线得斜率．能力提升 11、甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快？ 12．函数f(x)＝x 2＋2x 在[0，a]上得平均变化率就是函数g(x)＝2x －3在[2,3]上得平均变化率得2倍，求a 得值．1．做直线运动得物体，它得运动规律可以用函数s ＝s(t)描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体得位移(即位置)改变量就是Δs ＝s(t 0＋Δt)－s(t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 得比就就是这段时间内物体得平均速度v ，即v ＝ΔsΔt＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 、2．求函数f(x)得平均变化率得步骤：(1)求函数值得增量Δy ＝f(x 2)－f(x 1)；(2)计算平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1、3、1、2 瞬时变化率——导数(二)课时目标 1、知道导数得几何意义、2、用导数得定义求曲线得切线方程．1．导数得几何意义函数y ＝f(x)在点x 0处得导数f ′(x 0)得几何意义就是：________________________________、2．利用导数得几何意义求曲线得切线方程得步骤： (1)求出函数y ＝f(x)在点x 0处得导数f ′(x 0)；(2)根据直线得点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．一、填空题1．曲线y ＝1x在点P(1,1)处得切线方程就是________．2．已知曲线y ＝2x 3上一点A(1,2)，则A 处得切线斜率为________． 3．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处得切线方程就是____________．4．若曲线y ＝x 4得一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 得方程为______________． 5．曲线y ＝2x －x 3在点(1,1)处得切线方程为________．6．设函数y ＝f(x)在点x 0处可导，且f ′(x 0)>0，则曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处切线得倾斜角得范围就是________．7．曲线f(x)＝x 3＋x －2在点P 处得切线平行于直线y ＝4x －1，则P 点得坐标为______________．8．已知直线x －y －1＝0与曲线y ＝ax 2相切，则a ＝________、 二、解答题9．已知曲线y ＝4x 在点P(1,4)处得切线与直线l 平行且距离为17，求直线l 得方程．10．求过点(2,0)且与曲线y ＝1x 相切得直线方程．能力提升11．已知曲线y ＝2x 2上得点(1,2)，求过该点且与过该点得切线垂直得直线方程． 12．设函数f(x)＝x 3＋ax 2－9x －1 (a<0)．若曲线y ＝f(x)得斜率最小得切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 得值．1．利用导数可以解决一些与切线方程或切线斜率有关得问题．2．利用导数求曲线得切线方程，要注意已知点就是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y －f(x 0)＝f ′(x 0) (x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f(x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．3、1、2 瞬时变化率——导数(一)课时目标 1、掌握用极限形式给出得瞬时速度及瞬时变化率得精确定义、2、会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻得瞬时速度及瞬时变化率、3、理解并掌握导数得概念，掌握求函数在一点处得导数得方法、4、理解并掌握开区间内得导数得概念，会求一个函数得导数．1．瞬时速度得概念作变速直线运动得物体在不同时刻得速度就是不同得，把物体在某一时刻得速度叫____________．用数学语言描述为：设物体运动得路程与时间得关系就是s ＝f(t)，当Δt 趋近于0时，函数f(t)在t 0到t 0＋Δt 之间得平均变化率f (t 0＋Δt )－f (t 0)Δt趋近于常数，我们这个常数称为______________． 2．导数得概念设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，当Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝____________无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在点x ＝x 0处________，并称该常数A 为______________________________，记作f ′(x 0)． 3．函数得导数若f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点得导数也随着自变量x 得变化而变化，因而也就是自变量x 得函数，该函数称为f(x)得导函数，记作f ′(x)． 4．瞬时速度就是运动物体得位移S(t)对于时间t 得导数，即v(t)＝________、 5．瞬时加速度就是运动物体得速度v(t)对于时间t 得导数，即a(t)＝________、一、填空题1．任一作直线运动得物体，其位移s 与时间t 得关系就是s ＝3t －t 2，则物体得初速度就是________．2．设f(x)在x ＝x 0处可导，则当Δx 无限趋近于0时f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx得值为________．3．一物体得运动方程就是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时得瞬时速度就是________．4．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝32处得瞬时变化率就是________．5．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处得导数就是________．6．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________、 7．曲线f(x)＝x 在点(4,2)处得瞬时变化率就是________．8．已知物体运动得速度与时间之间得关系就是：v(t)＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内得平均加速度就是________，在t ＝1时得瞬时加速度就是________． 二、解答题9．用导数得定义，求函数y ＝f(x)＝1x在x ＝1处得导数． 10、枪弹在枪筒中可以瞧作匀加速直线运动，如果它得加速度就是a ＝5×105 m /s 2，枪弹从枪口射出时所用得时间为1、6×10－3 s ．求枪弹射出枪口时得瞬时速度．能力提升11．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，求函数在x ＝2处得导数．12．以初速度v 0 (v 0>0)垂直上抛得物体，t 秒时间得高度为s(t)＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处得瞬时速度．1．利用定义求函数在一点处导数得步骤： (1)计算函数得增量：Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)． (2)计算函数得增量与自变量增量Δx 得比ΔyΔx、(3)计算上述增量得比值当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于A 、2．导数得物理意义就是物体在某一时刻得瞬时速度．3、2、1 常见函数得导数课时目标 1、理解各个公式得证明过程，进一步理解运用概念求导数得方法、2、掌握常见函数得导数公式、3、灵活运用公式求某些函数得导数．1．几个常用函数得导数： (kx ＋b)′＝______； C ′＝______ (C 为常数)； x ′＝______； (x 2)′＝______；⎝⎛⎭⎫1x ′＝________、 2．基本初等函数得导数公式：(x α)′＝________(α为常数) (a x )′＝________ (a>0，且a ≠1) (log a x)′＝1xlog a e ＝________ (a>0，且a ≠1)(e x )′＝________ (ln x)′＝________ (sin x)′＝________ (cos x)′＝________一、填空题1．下列结论不正确得就是________．(填序号) ①若y ＝3，则y ′＝0； ②若y ＝1x，则y ′＝－12x ；③若y ＝－x ，则y ′＝－12x；④若y ＝3x ，则y ′＝3、2．下列结论：①(cos x)′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则f ′(3)＝－227、其中正确得有______个．3．设f 0(x)＝sin x ，f 1(x)＝f ′0(x)，f 2(x)＝f ′1(x)，…，f n ＋1(x)＝f ′n (x)，n ∈N ，则f 2 010(x )＝________、4．已知曲线y ＝x 3在点P 处得切线斜率为k ，则当k ＝3时得P 点坐标为______________． 5．质点沿直线运动得路程s 与时间t 得关系就是s ＝5t ，则质点在t ＝4时得速度为_________．6．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________、 7．曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处得切线方程为__________________．8．曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4得点就是__________．二、解答题9．求下列函数得导数． (1)y ＝log 4x 3－log 4x 2；(2)y ＝2x 2＋1x －2x ； (3)y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫2sin 2 x 4－1、 10、已知曲线y ＝x 2上有两点A (1,1)，B (2,4)．求： (1)割线AB 得斜率k AB ； (2)在[1,1＋Δx ]内得平均变化率； (3)点A 处得切线斜率k AT ； (4)点A 处得切线方程． 能力提升11．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴得切线，则实数a 得取值范围为__________． 12．假设某国家在20年期间得年均通货膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系：p (t )＝p 0(1＋5%)t ，其中p 0为t ＝0时得物价，假定某种商品得p 0＝1，那么在第10个年头，这种商品得价格上涨得速度大约就是多少？(注ln 1、05≈0、05，精确到0、01)1．求函数得导数，可以利用导数得定义，也可以直接使用基本初等函数得导数公式． 2．对实际问题中得变化率问题可以转化为导数问题解决．§3、2 导数得运算3、2、2 函数得与、差、积、商得导数课时目标 1、理解函数得与、差、积、商得求导法则、2、理解求导法则得证明过程，能够综合运用求导公式与四则运算法则求函数得导数．1．两个函数得与(或差)得导数，等于这两个函数得导数得__________，即[f (x )±g (x )]′＝______________、2．两个函数得积得导数，等于第一个函数得导数乘第二个函数，加上________________________________________，即[f (x )·g (x )]′＝________________、特别地[Cf (x )]′＝__________(其中C 为常数)．3．两个函数得商得导数，等于分子得导数与__________减去________________与分子得积，再除以______________．即_______________________________、一、填空题1．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )＝__________、2．曲线y ＝x e x ＋1在点(0,1)处得切线方程就是____________．3．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________、 4．曲线y ＝x (x －1)(x －2)…(x －6)在原点处得切线方程为__________．5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处得切线与坐标轴所围成得三角形得面积为________． 6．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)得值为__________．7．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x ＋2在x ＝0处得切线方程为____________．8．某物体作直线运动，其运动规律就是s ＝t 2＋3t(t 得单位就是秒，s 得单位就是米)，则它在第4秒末得瞬时速度应该为________ m/s 、 二、解答题9．求下列函数得导数． (1)y ＝10x ；(2)y ＝x ＋cos x x －cos x；(3)y ＝2x cos x －3x log 2 011x ； (4)y ＝x ·tan x 、10、求曲线y ＝x 2＋sin x 在点(π，π2)处得切线方程． 能力提升11．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处得切线得倾斜角，则α得取值范围为__________．12．求抛物线y ＝x 2上得点到直线x －y －2＝0得最短距离．1．理解与掌握求导法则与公式得结构规律就是灵活进行求导运算得前提条件． 2．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数得几何意义，利用公式进行计算．3．1、1 平均变化率知识梳理1、f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 x 2－x 1 Δx ＝x 2－x 1 增量 x 1＋Δx f (x 2)－f (x 1) Δy Δx2．斜率 作业设计 1．①2．f (x 0＋Δx )－f (x 0) 3．4＋2Δx解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4＋2Δx 、 4、s (t ＋Δt )－s (t )Δt解析 由平均速度得定义可知，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内得平均速度就是其位移改变量与时间改变量得比．所以v ＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt、 5．－1 解析Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1、 6．0、41 7．1解析 由平均变化率得几何意义知k ＝2－11－0＝1、8．4、1解析 质点在区间[2,2、1]内得平均速度可由Δs Δt 求得，即v ＝Δs Δt ＝s (2、1)－s (2)0、1＝4、1、9．解 函数f (x )在[－3，－1]上得平均变化率为： f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6、函数f (x )在[2,4]上得平均变化率为： f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4、10．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )3－1 ＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3， ∴割线PQ 得斜率Δy Δx ＝(Δx )3＋3(Δx )2＋3ΔxΔx ＝(Δx )2＋3Δx ＋3、 当Δx ＝0、1时，割线PQ 得斜率为k ， 则k ＝ΔyΔx ＝(0、1)2＋3×0、1＋3＝3、31、∴当Δx ＝0、1时割线得斜率为3、31、11．解 乙跑得快．因为在相同得时间内，甲跑得路程小于乙跑得路程，即甲得平均速度比乙得平均速度小．12．解 函数f (x )在[0，a ]上得平均变化率为f (a )－f (0)a －0＝a 2＋2aa ＝a ＋2、函数g (x )在[2,3]上得平均变化率为 g (3)－g (2)3－2＝(2×3－3)－(2×2－3)1＝2、∵a ＋2＝2×2，∴a ＝2、3．1、2 瞬时变化率——导数(二)知识梳理1．曲线y ＝f (x )上过点x 0得切线得斜率 作业设计 1．x ＋y －2＝0解析 Δy Δx ＝11＋Δx－1Δx ＝－Δx 1＋Δx Δx ＝－11＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于－1，∴k ＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0、 2．6解析 ∵y ＝2x 3， ∴Δy Δx ＝2(x ＋Δx )3－2x 3Δx ＝2(Δx )3＋6x (Δx )2＋6x 2Δx Δx＝2(Δx )2＋6x Δx ＋6x 2、∴当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于6x 2，∴点A (1,2)处切线得斜率为6、 3．x －y －2＝0解析 Δy Δx ＝4(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－4x ＋x 3Δx＝4－(Δx )2－3x 2－3x (Δx )，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于4－3x 2，∴f ′(－1)＝1、所以在点(－1，－3)处得切线得斜率为k ＝1， 所以切线方程就是y ＝x －2、 4．4x －y －3＝0解析 与直线x ＋4y －8＝0垂直得直线l 为4x －y ＋m ＝0，即y ＝x 4在某一点得导数为4，而y ′＝4x 3，所以y ＝x 4在(1,1)处导数为4，此点得切线方程为4x －y －3＝0、 5．x ＋y －2＝0 解析ΔyΔx＝2－(Δx )2－3x 2－3x (Δx )， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于2－3x 2，∴y ′＝2－3x 2，∴k ＝2－3＝－1、∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0、 6、⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 k ＝f ′(x 0)>0，∴tan θ>0，∴θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2、 7．(1,0)或(－1，－4)解析 设P (x 0，y 0)，由f (x )＝x 3＋x －2， ΔyΔx＝(Δx )2＋3x 2＋3x (Δx )＋1， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于3x 2＋1、∴f ′(x )＝3x 2＋1，令f ′(x 0)＝4， 即3x 20＋1＝4，得x 0＝1或x 0＝－1， ∴P (1,0)或(－1，－4)． 8、14解析 Δy Δx ＝a (x ＋Δx )2－ax 2Δx＝2ax ＋a Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2ax ＋a Δx 无限趋近于2ax ， ∴f ′(x )＝2ax 、设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2ax 0,2ax 0＝1， 且y 0＝x 0－1＝ax 20，解得x 0＝2，a ＝14、 9．解 Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝4x ＋Δx －4xΔx＝－4Δx x Δx (x ＋Δx )＝－4x (x ＋Δx )，当Δx 无限趋近于0时，－4x (x ＋Δx )无限趋近于－4x 2，即f ′(x )＝－4x2、k ＝f ′(1)＝－4，切线方程就是y －4＝－4(x －1)， 即为4x ＋y －8＝0， 设l ：4x ＋y ＋c ＝0，则17＝|c ＋8|42＋12， ∴|c ＋8|＝17， ∴c ＝9，或c ＝－25，∴直线l 得方程为4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0、 10．解 (2,0)不在曲线y ＝1x 上，令切点为(x 0，y 0)，则有y 0＝1x 0、①又Δy Δx ＝1x ＋Δx －1x Δx ＝－1x (x ＋Δx )， 当Δx 无限趋近于0时，－1x (x ＋Δx )无限趋近于－1x 2、∴k ＝f ′(x 0)＝－1x 20、∴切线方程为y ＝－1x 20(x －2)．而y 0x 0－2＝－1x 20、②由①②可得x 0＝1， 故切线方程为x ＋y －2＝0、 11．解 Δy Δx ＝2(1＋Δx )2－2Δx＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx ，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于4，∴f ′(1)＝4、∴所求直线得斜率为k ＝－14、∴y －2＝－14(x －1)，即x ＋4y －9＝0、12．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2、 3、1、2 瞬时变化率——导数(一)课时目标 1、掌握用极限形式给出得瞬时速度及瞬时变化率得精确定义、2、会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻得瞬时速度及瞬时变化率、3、理解并掌握导数得概念，掌握求函数在一点处得导数得方法、4、理解并掌握开区间内得导数得概念，会求一个函数得导数．1．瞬时速度得概念作变速直线运动得物体在不同时刻得速度就是不同得，把物体在某一时刻得速度叫____________．用数学语言描述为：设物体运动得路程与时间得关系就是s ＝f(t)，当Δt 趋近于0时，函数f(t)在t 0到t 0＋Δt 之间得平均变化率f (t 0＋Δt )－f (t 0)Δt趋近于常数，我们这个常数称为______________． 2．导数得概念设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，当Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝____________无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在点x ＝x 0处________，并称该常数A 为______________________________，记作f ′(x 0)． 3．函数得导数若f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点得导数也随着自变量x 得变化而变化，因而也就是自变量x 得函数，该函数称为f(x)得导函数，记作f ′(x)． 4．瞬时速度就是运动物体得位移S(t)对于时间t 得导数，即v(t)＝________、 5．瞬时加速度就是运动物体得速度v(t)对于时间t 得导数，即a(t)＝________、一、填空题1．任一作直线运动得物体，其位移s 与时间t 得关系就是s ＝3t －t 2，则物体得初速度就是________．2．设f(x)在x ＝x 0处可导，则当Δx 无限趋近于0时f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx 得值为________．3．一物体得运动方程就是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时得瞬时速度就是________．4．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝32处得瞬时变化率就是________．5．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处得导数就是________．6．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________、 7．曲线f(x)＝x 在点(4,2)处得瞬时变化率就是________．8．已知物体运动得速度与时间之间得关系就是：v(t)＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内得平均加速度就是________，在t ＝1时得瞬时加速度就是________． 二、解答题9．用导数得定义，求函数y ＝f(x)＝1x在x ＝1处得导数．10、枪弹在枪筒中可以瞧作匀加速直线运动，如果它得加速度就是a ＝5×105 m /s 2，枪弹从枪口射出时所用得时间为1、6×10－3 s ．求枪弹射出枪口时得瞬时速度． 能力提升11．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，求函数在x ＝2处得导数．12．以初速度v 0 (v 0>0)垂直上抛得物体，t 秒时间得高度为s(t)＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处得瞬时速度．1．利用定义求函数在一点处导数得步骤： (1)计算函数得增量：Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)． (2)计算函数得增量与自变量增量Δx 得比ΔyΔx、(3)计算上述增量得比值当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于A 、2．导数得物理意义就是物体在某一时刻得瞬时速度．3．1、2 瞬时变化率——导数(一)知识梳理1．瞬时速度 瞬时速度2、f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 可导 函数f (x )在点x ＝x 0处得导数4．S ′(t ) 5、v ′(t ) 作业设计 1．3解析 Δs Δt ＝s (Δt )－s (0)Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt ，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于3、2．－f ′(x 0)解析 ∵f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝f (x 0)－f (x 0－Δx )－Δx＝－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx，∴当Δx 无限趋近于0时，原式无限趋近于－f ′(x 0)． 3．at 0 解析Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝12a Δt ＋at 0， 当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于at 0、4．－3 解析 ∵ΔfΔx＝f ⎝⎛⎭⎫32＋Δx －f ⎝⎛⎭⎫32Δx＝－Δx －3，当Δx 无限趋近于0时，ΔfΔx 无限趋近于－3、5．0解析 ΔyΔx ＝(1＋Δx )＋11＋Δx －2Δx＝(1＋Δx )2＋1－2(1＋Δx )Δx (1＋Δx )＝(Δx )2Δx (1＋Δx )＝Δx 1＋Δx， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于0、6．1解析 ∵f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝a (－1＋Δx )3－a (－1)3Δx＝a (Δx )2－3a Δx ＋3a 、 ∴当Δx 无限趋近于0时，ΔfΔx无限趋近于3a ， 即3a ＝3，∴a ＝1、7、14 解析Δf Δx ＝f (4＋Δx )－f (4)Δx ＝4＋Δx －2Δx＝14＋Δx ＋2，∴当Δx 无限趋近于0时，Δf Δx 无限趋近于14、 8．4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内得平均加速度为Δv Δt ＝v (1＋Δt )－v (1)Δt＝Δt ＋4，当Δt 无限趋近于0时，ΔvΔt无限趋近于4、 9．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－11＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx ·(1＋1＋Δx )∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴当Δx 无限趋近于0时， －11＋Δx ·(1＋1＋Δx )无限趋近于－12，∴f ′(1)＝－12、10．解 运动方程为s ＝12at 2、因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt 、所以当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于at 0、 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1、6×10－3s ，所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时得瞬时速度为800 m/s 、11．解 ∵Δy ＝a (2＋Δx )2＋b (2＋Δx )＋c －(4a ＋2b ＋c ) ＝4a Δx ＋a (Δx )2＋b Δx ，∴Δy Δx ＝4a Δx ＋a (Δx )2＋b Δx Δx ＝4a ＋b ＋a Δx ， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于4a ＋b 、所以函数在x ＝2处得导数为4a ＋b 、 12．解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝⎛⎭⎫v 0t 0－12gt 20 ＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt ， 当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于v 0－gt 0、故物体在时刻t 0处得瞬时速度为v 0－gt 0、3．2、1 常见函数得导数知识梳理1．k 0 1 2x －1x 22、1．②解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－1232x -＝－12x x 、2．1解析 直接利用导数公式．因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误； sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误；⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，则f ′(3)＝－227， 所以③正确． 3．－sin x解析 f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )＝cos x ， f 2(x )＝f ′1(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝sin x ，…、由此继续求导下去，发现四个一循环，从0到2 010共2 011个数，2 011＝4×502＋3，所以f 2 010(x )＝f 2(x )＝－sin x 、 4．(－1，－1)或(1,1)解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1， 则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)． 5、110523解析 s ′＝155t 4、当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523、 6．2x解析 ∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2，∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x 、7．x ＋2y －3－π6＝0 解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴k ＝－sin π6＝－12， ∴在点A 处得切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6， 即x ＋2y －3－π6＝0、 8、⎝⎛⎭⎫12，14解析 设切点坐标为(x 0，x 20)，则tan π4＝f ′(x 0)＝2x 0，∴x 0＝12、 ∴所求点为⎝⎛⎭⎫12，14、9．解 (1)∵y ＝log 4x 3－log 4x 2＝log 4x ，∴y ′＝(log 4x )′＝1x ln 4、 (2)∵y ＝2x 2＋1x －2x ＝2x 2＋1－2x 2x ＝1x、 ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2、 (3)∵y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫2sin 2 x 4－1 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2 x 4 ＝2sin x 2cos x 2＝sin x 、∴y ′＝(sin x )′＝cos x 、10．解 (1)k AB ＝4－12－1＝3、 (2)平均变化率Δy Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx 、 (3)y ′＝2x ，∴k ＝f ′(1)＝2，即点A 处得切线斜率为k AT ＝2、(4)点A 处得切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0、11．(－∞，0)解析 ∵f ′(x )＝5ax 4＋1x，x ∈(0，＋∞)， ∴由题知5ax 4＋1x＝0在(0，＋∞)上有解． 即a ＝－15x5在(0，＋∞)上有解． ∵x ∈(0，＋∞)，∴－15x5∈(－∞，0)．∴a ∈(－∞，0)． 12．解 ∵p 0＝1，∴p (t )＝(1＋5%)t ＝1、05t 、根据基本初等函数得导数公式表，有p ′(t )＝(1、05t )′＝1、05t ·ln 1、05、∴p ′(10)＝1、0510·ln 1、05≈0、08(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品得价格约以0、08元/年得速度上涨．3、2、2 函数得与、差、积、商得导数课时目标 1、理解函数得与、差、积、商得求导法则、2、理解求导法则得证明过程，能够综合运用求导公式与四则运算法则求函数得导数．1．两个函数得与(或差)得导数，等于这两个函数得导数得__________，即[f (x )±g (x )]′＝______________、2．两个函数得积得导数，等于第一个函数得导数乘第二个函数，加上________________________________________，即[f (x )·g (x )]′＝________________、特别地[Cf (x )]′＝__________(其中C 为常数)．3．两个函数得商得导数，等于分子得导数与__________减去________________与分子得积，再除以______________．即_______________________________、一、填空题1．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )＝__________、2．曲线y ＝x e x ＋1在点(0,1)处得切线方程就是____________．3．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________、4．曲线y ＝x (x －1)(x －2)…(x －6)在原点处得切线方程为__________．5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处得切线与坐标轴所围成得三角形得面积为________．6．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)得值为__________． 7．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x ＋2在x ＝0处得切线方程为____________．8．某物体作直线运动，其运动规律就是s ＝t 2＋3t(t 得单位就是秒，s 得单位就是米)，则它在第4秒末得瞬时速度应该为________ m/s 、二、解答题9．求下列函数得导数．(1)y ＝10x ；(2)y ＝x ＋cos x x －cos x； (3)y ＝2x cos x －3x log 2 011x ；(4)y ＝x ·tan x 、10、求曲线y ＝x 2＋sin x 在点(π，π2)处得切线方程．能力提升11．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处得切线得倾斜角，则α得取值范围为__________．12．求抛物线y ＝x 2上得点到直线x －y －2＝0得最短距离．1．理解与掌握求导法则与公式得结构规律就是灵活进行求导运算得前提条件．2．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数得几何意义，利用公式进行计算．3．2、2 函数得与、差、积、商得导数知识梳理1．与(或差) f ′(x )±g ′(x )2．第一个函数乘第二个函数得导数 f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x ) C ·f ′(x )3．分母得积 分母得导数 分母得平方 [f (x )g (x )]′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0) 作业设计1．3x 2＋3x ·ln 3解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13得错误． 2．x －y ＋1＝0解析 y ′＝e x ＋x e x ，当x ＝0时，导数值为1，故所求得切线方程就是y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0、3．18解析 ∵f ′(x )＝4x 3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝－13f ′(－1)＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＝－13，－4－2a －b ＝－27、∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13、 ∴a ＋b ＝5＋13＝18、 4．y ＝720x解析 y ′＝(x －1)(x －2)…(x －6)＋x [(x －1)(x －2)…(x －6)]′，所以f ′(0)＝1×2×3×4×5×6＋0＝720、故切线方程为y ＝720x 、 5、12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴在(2，e 2)处得切线斜率为e 2，∴曲线在点(2，e 2)处得切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2、当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1、∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2、 6．1解析 ∵f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，∴f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x 、∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22、 ∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝11＋2＝2－1、 故f ⎝⎛⎭⎫π4＝(2－1)×22＋22＝1、 7．2x －y ＋3＝0解析 由f (x )＝sin x ＋e x ＋2得f ′(x )＝cos x ＋e x ，从而f ′(0)＝2，又f (0)＝3，所以切线方程为y ＝2x ＋3、8、12516解析 ∵s ′＝2t －3t2， ∴当第4秒末，v ＝8－316＝12516(m/s)． 9．解 (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10、(2)y ′＝(x ＋cos x )′(x －cos x )－(x ＋cos x )(x －cos x )′(x －cos x )2＝(1－sin x )(x －cos x )－(x ＋cos x )(1＋sin x )(x －cos x )2＝－2(cos x ＋x sin x )(x －cos x )2、 (3)y ′＝(2x )′cos x ＋(cos x )′2x －3[x ′log 2 011 x ＋(log 2 011x )′x ]＝2x ln 2·cos x －sin x ·2x －3[log 2 011 x ＋⎝⎛⎭⎫1x log 2 011 e x ]＝2x ln 2·cos x －2x sin x －3log 2 011 x －3log 2 011 e 、(4)y ′＝(x tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′(cos x )2＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x (cos x )2＝sin x cos x ＋x (cos 2x ＋sin 2x )(cos x )2＝12sin 2x ＋x (cos x )2＝sin 2x ＋2x 2cos 2x 、 10．解 f ′(x )＝2x ＋cos x 、故曲线在点(π，π2)得切线斜率为2π－1， 所以切线为y －π2＝(2π－1)(x －π)， 即(2π－1)x －y －π2＋π＝0、11．[3π4，π) 解析 y ′＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋2＋1e x ， ∵e x ＋1e x ≥2，∴－1≤y ′<0，即－1≤tan α<0， ∴α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π、12．解 依题意知与直线x －y －2＝0平行得抛物线y ＝x 2得切线得切点到直线x －y －2＝0得距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12、 切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14、∴所求得最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728、。
数学高中导数整理教案
数学高中导数整理教案教学内容：
1. 导数的定义与基本性质
2. 导数的四则运算法则
3. 高阶导数与隐函数求导
4. 极值与拐点的判定
教学目标：
1. 了解导数的概念及其基本性质
2. 掌握导数的四则运算法则
3. 能够计算高阶导数及对隐函数进行求导
4. 能够判断函数的极值和拐点
教学准备：
1. 教师准备相关教学资料及案例
2. 学生准备纸笔，计算器等学习工具
教学步骤：
1.导入：导数的概念介绍及意义解释
2.讲解：导数的定义及基本性质
3.练习：导数的四则运算法则应用练习
4.教学：高阶导数及隐函数求导方法
5.练习：高阶导数及隐函数求导实例练习
6.讲解：极值与拐点的判定方法
7.练习：极值与拐点实例分析练习
8.总结：导数整理知识点总结及复习
教学反馈：
1. 每节课结束进行一次小测验
2. 收集学生问题，及时解答
教学延伸：
1. 后续可引入微分学的更复杂内容
2. 引导学生自主探究导数在实际问题中的应用
教学评估：
1. 学生课堂表现及作业完成情况
2. 学生课后解答问题准确率
教学反思：
对本节课的教学内容进行总结及反思，为下节课调整教学方法做准备。
第一章导数学案
第1课时平均变化率、瞬时速度与导数【课前自主】（预习教材P3~ P9，）回答下列问题1、平均变化率：2、瞬时速度：3、瞬时变化率：【预习检测】1．关于函数的平均变化率，下列说法错误的是( )A．可以大于零B．可以小于零C．可以等于零D．不能等于零2．函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝( ) A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0) 3．函数f(x)＝x2－1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为( ) A．2x0－1 B．2x0＋Δx C．2x0Δx＋(Δx)2D．(Δx)2－Δx＋14．设f(x)在x＝x0处可导，则limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx( )A．与x0，Δx有关B．仅与x0有关，而与Δx无关C．仅与Δx有关，而与x0无关D．与x0，Δx均无关5．在曲线y＝x2＋x上取点P(2,6)及邻近点Q(2＋Δx,6＋Δy)，那么ΔyΔx＝________.6．一物体运动的方程是s＝3＋t2，求物体在t＝2时的瞬时速度．【课堂探究】【探究一】平均变化率例1：（1）求2xy=在x到xx∆+之间的平均变化率.（2）求xy1=在x到xx∆+之间的平均变化率（0≠x）.【归纳小结】【探究二】瞬时速度例2：（1）竖直向上弹射一个小球，小球的初速度为100m/s，试求小球何时速度为0.（2）以初速度)0(>vv垂直上抛的物体，t秒时的高度为2021)(gtt vt s-=，求物体在时刻t处的瞬时速度.【归纳小结】【探究三】导数例3：（1）2)1(-=xy，求).2(),0(),(///ffxf（2）利用导数定义求y=.【归纳小结】【有效训练】1、在函数变化率的定义中，自变量的增量x ∆满足（ ） A 0<∆x B 0>∆x C 0=∆x D 0≠∆x2、在曲线y =x 2+1的图像上取一点(1，2)及附近一点(1+∆x ，2+∆y )，则xy∆∆为( ) A. ∆x +x 1∆+2 B. ∆x-x 1∆-2 C. ∆x +2 D. ∆x-x1∆+23．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t (t 的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒 B ．12516米/秒 C ．8米/秒 D ．674米/秒 4、f (x )在x =x 0处可导，则000()()limh f x h f x h→+- ( )A.与x 0、h 有关B.仅与x 0有关，而与h 无关C.仅与h 有关，而与x 0无关D.与x 0、h 均无关 5．函数y ＝x 3在x ＝1处的导数为( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－36．一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s (t )＝t 2(s 的单位：米，t 的单位：秒)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为________． 7．已知函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 8．设质点作直线运动，已知路程s 是时间t 的函数：s ＝3t 2＋2t ＋1.(1)求从t ＝2到t ＝2＋Δt 的平均速度，并求当Δt ＝1，Δt ＝0.1时的平均速度；(2)求当t ＝2时的瞬时速度．9．已知f (x )＝1x x+，求f ′(x 0)，f ′(1)．【课堂小结】【课后延伸】1、一质点运动的方程为s =5-3t 2，则在一段时间[1，1＋∆t ]内相应的平均速度为( )A. 3∆t +6B.-3 ∆t +6C. 3∆t-6D.-3 ∆t-6 2．自由落体运动的公式为s ＝s (t )＝12gt 2(g ＝10 m/s 2)，若v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ，则下列说法正确的是( )A ．v 是在0～1 s 这段时间内的速度B ．v 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．5Δt ＋10是物体在t ＝1 s 这一时刻的速度D ．5Δt ＋10是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度 3．函数在某一点的导数是（ ） A 一个函数B 一个常数，不是变数C 在该点的函数的增量与自变量的增量的比D 函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率4、已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1上一点，且f ′(x 0)＝0，则点P 的坐标为( )A ．(1,10)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(－1,10) 5．若函数f (x )在x ＝a 处的导数为m ，那么lim Δx →0f (a ＋Δx )－f (a －Δx )Δx＝________.6．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果枪弹的加速度是a ＝5×105 m/s 2，它从枪口射出所用的时间为t 1＝1.6×10－3 s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．第2课时 导数的几何意义【课前自主】（预习教材P 11~ P 12，）回答下列问题 问题：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，即0x ∆→时，割线的变化趋势是什么？1、割线的斜率：2、导数)(0/x f 的几何意义是___________________相应地，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程为____________.【预习检测】1. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ） A. 4 B. 16 C. 8 D. 22. 曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ） A ．41y x =-- B ．47y x =-- C ．41y x =- D ．47y x =+ 3、曲线2(x)=++1f x x 在点(1,3)p 处的切线方程为__4、已知曲线22+4y x x =在点p 处的切线的斜率为16，则p 点的坐标为__【课堂探究】【探究一】切线的斜率及方程例1、(1)求抛物线2x y =在点(1,1)处的切线的斜率及切线方程（2）求抛物线42x y =过点⎪⎭⎫⎝⎛474，的切线方程【步骤总结】【有效训练】1．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是 ( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)2．曲线y ＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为 ( )A ．y ＝x －2B ．y ＝xC ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2 3．已知曲线y=x 2的切线l 与直线2x-y+4=0平行，则直线l 的方程为4．求双曲线x y 1=在点A ⎪⎭⎫⎝⎛2,21处的切线斜率5．已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3,9)的切线方程．【课堂小结】【课后延伸】1、过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( )A ．2x ＋y ＋3＝0B ．3x －y ＋5＝0C ．2x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝02、函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a =（ ）111. . . .1 842A B C D3．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝_______. 4、已知曲线21y x =-在点0x x=处的切线与曲线31y x =-在点0x x =处的切线互相平行，求0x 的值第3课时 常数与幂函数的导数及导数公式表【课前自主】（预习教材P 14~ P 18，）回答下列问题 新知1：常见函数的导数公式：常函数及幂函数：=/c _______（c 为常数）=/)(u x _______（u 为有理数，且x>0） =/)1(x__________ =/)(x _________ 三角函数：=/)(sin x _________ =/)(cos x _________ 指数函数：=/)(x a _________(1,0≠>a a ) =/)(x e __________对数函数：=/)(log x a ________(1,0≠>a a ,x>0)=/)(ln x __________(x>0)【预习检测】1、 函数52-=xy 的导数为（ ）5752 .-x A 5257 .--x B 5752 .x C - 5752 .--x D2、曲线nx y =在2=x 处的导数为12，则n 等于（ ） 1 .A 2 .B 3 .C 4.D 3、设函数x x f cos )(=，则])2(['πf 等于 （ ）0 .A 1 .B 1 .-C 以上均不正确 .D 4、设函数x x f sin )(=，则)0(f '等于 （ ）1 .A 1 .-B 0 .C 以上均不正确 .D 5、试用极限的方式证明函数x 3x )x (f 3+=的导数为3x 3)x ('f 2+=【课堂探究】【探究一】利用定义求函数的导数例1 求函数1()y f x x==的导数变式： 求函数2()y f x x ==的导数小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限．【探究二】利用基本初等函数的公式求函数的导数 例2：求下列函数的导数（1）3x y = （2）x x y = （3）2x cos 2x sin 2y =（4）2x 1y = （5）2log y x =【探究三】利用导数求函数的切线方程 例2：（1）求x1y =在点)21,2(处的切线方程（2）求x ln y =在2e x =处的切线方程 （3）求x sin y =在点)21,6(A π处的切线方程【探究四】导数几何意义的综合应用 例3、抛物线xy 1=在点P 处的切线与直线4x +y ＋2＝0平行，求P 点的坐标及切线方程．变式训练：已知曲线C ：y ＝x 3.求：(1)曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？【归纳小结】【有效训练】1、在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为（ ） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)242、已知αx x f =)(，若4)1(/-=-f ，则α的值是（ ） A ． 4 B ．-4 C ． 8 D ．-53、若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直，则l 的方程为（ ）03 4 .=--y x A 054 .=-+y x B034 .=+-y x C 034 .=++y x D4、函数ln y x =与x 轴交点处的切线方程是__________5、x sin y =上切线斜率为21的点为_________ 6、求曲线43x y =在点（16，8）处的切线方程．7、已知曲线12-=x y 与13+=x y 在0x x =处的切线互相垂直，求0x 的值．8、已知函数x )x (f =,x ln a )x (g =,Ra ∈.若曲线)(x f y =与曲线)(x g y =相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值和该切线方程.【课后延伸】1、下列计算正确的是 （ ）x x A a 1)(log .=' xx B a 10ln )(log .=' x C 3)(3 .x =' 3ln 3)3( .x x D =' 2、曲线21x y =在点)41,2(-P 处的切线方程为（ ） 014 .=++y x A 034 .=+-y x B 014 .=-+y x C 034 .=--y x D3、设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－14、曲线3+11y x =在点(1,12)p 处的切线与y 轴交点的纵坐标为（ ）A ．-9B ．-3C ．9D ．155、函数13)(2-=x x f ，则)2(f '= ，])2([''f = ． 6．曲线3x y =在点（1，1）处的切线与x 轴、直线2=x 所围成三角形的面积是___________．7、过曲线21x y =上一点（2，)41的切线方程是_____________． *8、已知函数2()=-1(0)x f x a a≥的图像在=1x 处的切线为l ，求与两坐标轴围成的三角形面积的最小值。
数学高中导数整理教案人教版
数学高中导数整理教案人教版【教学目标】1. 熟悉导数的定义和性质。
2. 掌握导数的计算方法。
3. 能够运用导数解决实际问题。
【教学重点】1. 导数的定义和性质。
2. 导数的计算方法。
【教学难点】1. 对导数的概念和性质进行整理和梳理。
2. 解决实际问题时如何运用导数的知识。
【教学过程】一、导数的定义1. 导数的概念：如果函数f(x)在点x处存在极限，那么称导数f'(x)在点x处存在。
2. 导数的定义公式：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h。
二、导数的性质1. 导数存在的条件：函数f(x)在某点处导数存在的条件是函数在该点处可导。
2. 导数的性质：（1）导数的线性性：[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)，[cf(x)]' = cf'(x)。
（2）导数的乘法法则：[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
（3）导数的除法法则：[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2。
三、导数的计算方法1. 基本函数的导数：（1）常数函数导数：(c)' = 0。
（2）幂函数导数：(x^n)' = nx^(n-1)。
（3）指数函数导数：(a^x)' = a^xln(a)。
（4）对数函数导数：(log_a(x))' = 1/(xln(a))。
2. 四则运算法则：根据导数的性质和计算规则，可以求得各种函数的导数。
四、实例探究1. 实例一：求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 5在点x=1处的导数。
解：f'(x) = d/dx [3x^2 - 2x + 5] = 6x - 2。
f'(1) = 6*1 - 2 = 4。
导数导学案(共9个)人教课标版(优秀教案)
．函数的单一性与导数课型新讲课：编号时间：姓名等级主备人：高二数学组第一周第课时总第课时备课组长署名；王钦键段长署名：使用说明及方法指导：、课前达成预习教案，掌握基此题型；、仔细限时规范书写，课上小组合作商讨，答疑解惑。
、、层所有掌握，层选做。
学习目标：.认识函数的单一性与导数的关系．．能利用导数研究函数的单一性，会求不超出三次的多项式函数的单一区间和其余函数的单一区间．学习重、难点：.利用导数研究函数的单一性，求函数的单一区间． (重点).利用数形联合思想理解导函数与函数单一性之间的关系． (难点 ).常与方程、不等式等联合命题.．函数＝－的单一递加区间是，单一递减区间是．函数 ()＝的导数′ ()＝；在区间上，()单一递 (填“增”或“减” )，′ () (填“ >或” “ <”)．知新益能用函数的导数判断函数单一性的法例设函数＝ ()在区间 (，)内可导，()假如在 (， )内，′ ()>，则 ()在此区间是函数；()假如在 (， )内，′ ()<，则 ()在此区间是函数．上述结论可用图来直观理解．合作研究. 研究一：判断函数的单一性对于函数单一性的证明问题：()第一考虑函数的定义域，所有函数性质的研究一定保证在定义域内这个前提下进行；()′ ()>( 或 <)，则 () 为单一递加 (或递减 )函数．但要特别注意， () 为单一递加 (或递减 )函数，则′ ()≥ ( 或≤ ).例、证明：函数＝＋在其定义域内为单一递加函数．【思路点拨】证明函数 () 在某区间上是递加的，只需证明′() ≥.【证明】明显函数的定义域为{>} ，又′() ＝ (＋ )′＝＋，当 >时，′ ()>> ，故＝＋在其定义域内为单一递加函数【思想总结】利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单一性，本质上就是判断或证明不等式′()>( ′ ()<) 在给定区间上恒建立．一般步骤为：() 求导数′ () ；() 判断′ () 的符号；() 给出单一性结论．变式训练把本例中改为，其余条件不变，判断函数的单一性．研究二：求函数的单一区间利用导数求函数() 的单一区间的一般步骤为：() 确立函数 () 的定义域；() 求导数′ () ；() 在函数 () 的定义域内解不等式′() ＞和′ () ＜；() 依据 () 的结果确立函数() 的单一区间例求以下函数的单一区间：()()＝－；()()＝－.【思路点拨】解答此题可先确立函数的定义域，再对函数求导，而后求解不等式′ () ＞，′ () ＜，并与定义域求交集，进而获得相应的单一区间．【解】() ′ ()＝－ .令－ >，解得－ <<.所以函数 () 的单一递加区间为(－， )．令－ <，解得 <－或 >.所以函数 () 的单一递减区间为(－∞，－ )和 (，＋∞ )．)函数的定义域为(，＋∞ )，′()＝－＝·.令′ ()>，即·>，解得－ << 或 >.又∵ >，∴ >.令′ ()<，即·<，解得 <－或 <<. 又∵ >，∴ <<.∴()的单一递加区间为 (，＋∞ )，单一递减区间为 (， )．【思想总结】利用导数求出函数的单一区间后，在表示函数的单一区间时，要注意表达正确，注意逗号和并集符号“∪”的差别．比如：当一个函数有两个单一递加区间时，这两个区间之间能够用逗号分开，但不可以用并集符号“∪”连结．变式 .求以下函数的单一区间：()() ＝； ()() ＝＋ .．()＜ () ＜ () ．() ＜ ()＜ ()．设函数 () 在定义域内可导，＝()的图象如下图，则导函数＝′ ()的图象可能为研究三：已知函数单一性求参数范围由函数的单一性求参数的取值范围，这种问题一般已知() 在区间上单一递加(递减)，等价于不等式′() ≥( ′在()区≤)间上恒建立，而后可借助分别参数等方法求出参数的取值范围．例、若函数 ()＝－＋－在上单一递加，求的取值范围．解：由于’()由题意可知（）在上单一递加所以’()》在上是恒建立所以 >且≤解得≥ 1当时，1’ ()有且只有’ ().所以实33数的范围是≥变式训练.（）函数（）的单一性,∈(,π)并求出单一区间() 若函数＝(－)的单一减区间为，求的取值范围当堂检测.函数 () ＝＋－的单一递加区间是．. 函数＝－在上的单一性是．．函数＝－在下边哪个区间内是增函数()． ( π，π)．( π，π)．已知函数 ()＝＋，则有()． ()＜ () ＜()．()＜()＜()().() 求证：函数 ()在（，）内是减函数。
(完整word版)人教版高中数学《导数》全部教案
导数的背景（5月4日）教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是221gt s =（其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ∆很小时，从3秒到（3＋t ∆）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.从3秒到（3＋t ∆）秒这段时间内位移的增量：222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ∆+∆=⨯-∆+=-∆+=∆从而，t tsv ∆+=∆∆=--9.44.29. 从上式可以看出，t ∆越小，t s ∆∆越接近29.4米/秒；当t ∆无限趋近于0时，ts∆∆无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当t ∆趋向于0时，ts∆∆的极限是29.4.当t ∆趋向于0时，平均速度ts∆∆的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度.一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ∆）这段时间内的平均速度为t t s t t s t s ∆-∆+=∆∆)()(. 如果t ∆无限趋近于0时，ts∆∆无限趋近于某个常数a ，就说当t ∆趋向于0时，t s∆∆的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t的瞬时速度. 2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.析：设点Q 的横坐标为1＋x ∆，则点Q 的纵坐标为（1＋x ∆）2，点Q 对于点P的纵坐标的增量（即函数的增量）22)(21)1(x x x y ∆+∆=-∆+=∆， 所以，割线PQ 的斜率x xx x x y k PQ∆+=∆∆+∆=∆∆=2)(22. 由此可知，当点Q 沿曲线逐渐向点P 接近时，x ∆变得越来越小，PQ k 越来越接近2；当点Q 无限接近于点P 时，即x ∆无限趋近于0时，PQ k 无限趋近于2. 这表明，割线PQ 无限趋近于过点P 且斜率为2的直线. 我们把这条直线叫做曲线在点P 处的切线. 由点斜式，这条切线的方程为：12-=x y .一般地，已知函数)(x f y =的图象是曲线C ，P （00,y x ），Q （y y x x ∆+∆+00,）是曲线C 上的两点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 接近时，割线PQ 绕着点P 转动. 当点Q 沿着曲线无限接近点P ，即x ∆趋向于0时，如果割线PQ 无限趋近于一个极限位置PT ，那么直线PT 叫做曲线在点P 处的切线. 此时，割线PQ 的斜率xyk PQ ∆∆=无限趋近于切线PT 的斜率k ，也就是说，当x ∆趋向于0时，割线PQ 的斜率xyk PQ ∆∆=的极限为k.3. 边际成本 问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：222)(3300)10503(10)50(3)50()50(q q q C q C C ∆+∆=+⨯-+∆+=-∆+=∆.产量变化q ∆对成本的影响可用：q q C ∆+=∆∆3300来刻划，q ∆越小，qC∆∆越接近300；当q ∆无限趋近于0时，qC∆∆无限趋近于300，我们就说当q ∆趋向于0时，qC∆∆的极限是300. 我们把qC∆∆的极限300叫做当q ＝50时103)(2+=q q C 的边际成本.一般地，设C 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为C ＝C （q ），当产量为0q 时，产量变化q ∆对成本的影响可用增量比qq C q q C q C ∆-∆+=∆∆)()(00刻划. 如果q ∆无限趋近于0时，qC∆∆无限趋近于常数A ，经济学上称A 为边际成本. 它表明当产量为0q 时，增加单位产量需付出成本A （这是实际付出成本的一个近似值）. 二、小结瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本q C ∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度.2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本.4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度.5. 判断曲线221x y =在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.导数的概念（5月4日）教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。
高中数学导数全章详细教案
高中数学导数全章详细教案一、导数的概念与意义1.1 导数的定义导数表示一个函数在某一点处的变化率，定义如下：$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$1.2 导数的物理意义导数可以表示函数在某一点的切线斜率，也可以表示函数在某一点的速度、加速度等物理量。
1.3 导数的几何意义导数表示函数曲线在某一点的切线斜率，也可以用来描述函数曲线的凹凸性等几何特性。
二、导数的计算方法2.1 导数的基本计算法则- 常数函数的导数为零- 幂函数的导数- 指数函数的导数- 对数函数的导数- 三角函数的导数- 反三角函数的导数2.2 导数的运算法则- 和、差、积函数的导数法则- 商函数的导数法则- 复合函数的导数法则2.3 隐函数求导对含有隐函数的方程两边同时求导，然后解出导数。
2.4 参数方程求导将参数方程表示的函数关系化简为常规函数后再求导。
三、导数的应用3.1 函数的单调性与极值通过导数的符号变化可以判断函数的单调性和极值。
3.2 函数的凹凸性与拐点通过导数的变化可以判断函数的凹凸性和拐点。
3.3 弧长与曲率通过导数可以求解函数曲线的弧长和曲率。
3.4 泰勒公式用导数的信息来近似表示函数的值，通过泰勒公式可以得到较好的近似结果。
四、导数的图像4.1 函数的导数图像通过函数的导数图像可以观察函数的单调性、凹凸性、极值等性质。
4.2 函数曲线的特性通过导数的信息可以画出函数曲线的切线、凹凸性、拐点等特性。
以上是高中数学导数章节的详细教案，希望对学习导数的同学有所帮助。
(完整word版)导数学案(完整版)精心整理
图3.1-2PP趋近于确定的位置，这个确定位置的直线沿着曲线无限接近点P即Δx→0时，割线n称为曲线在点P处的.）割线PP的斜率k与切线PT的斜率k有什么关系？图象的大致形状.2xf=1(x)3x=设)(x f '是函数)(x f 的导函数,)(x f y '=的图象如右图所示，则器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水6. 设)('x f 是函数)(x f 的导函数，将)(x f y =和)('x f y =的图像画在同一个直角坐标系中，不可)(x f y '=yB ．D ．的图象是下列四个图像之一)x 的图象如右图所示3215336x x --+的单调区间. A DC B［学习小结］：1. 求可导函数f (x )的极值的步骤；2. 由导函数图象画出原函数图象；由原函数图象画导函数图象.［作业］：1.形成性练习P 52-53练习27 导数与函数的极值 2. 学探诊 测试十五 三、函数的最大（小）值与导数我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果0x 是函数()y f x =的极大（小）值点，那么在点0x 附近找不到比()0f x 更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果0x 是函数的最大（小）值，那么()0f x 不小（大）于函数()y f x =在相应区间上的所有函数值． [知识回顾]：1. 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值[问题探究]：函数的最大（小）值（阅读教材P 96-97）观察以下函数)(x f 在区间[]b a ,的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？图1中，在闭区间[]b a ,上的最大值是 ，最小值是 ；图2中，在闭区间[]b a ,上的极大值是 ，极小值是 ；最大值是 ，最小值是 . ［新知］： 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值. ［想一想1］：上图的极大值点 ，为极小值点为 ；最大值为 ，最小值为 . ［想一想2］：1. 函数的最值是 得出的； 函数的极值是 得出的．2. 函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的 条件（选填）3. 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多 个，而函数的极值可能 . ［想一想3］： 2. 求函数极值的步骤［试一试］：例1 求函数31()443f x x x =-+在[0,3]上的最大值与最小值.［练一练］：1．下列说法正确的是（ ）图1图2。
导数导学案
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．大于0或小于0
8.如果质点A按规律 运动，则在 时的瞬时速度为
9.若 ，则 等于
课后作业
1.国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理.下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？
例2日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为 时所需费用（单位：元）为 .求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
（1）90%；（2）98%.
小结：函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.
※动手试试
练1.求下列函数的导数：
新知：
试试：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数 的导数.
※典型例题
例1假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价 (单位：元)与时间 (单位：年)有如下函数关系 ，其中 为 时的物价.假定某种商品的 ，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?
变式：如果上式中某种商品的 ，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？
复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性.
对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有＝，那么函数f(x)就是区间I上的函数.
复习2： ； ； ； ； ； ； ； ；
二、新课导学
※学习探究
探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系：
问题：我们知道，曲线 的切线的斜率就是函数 的导数.从函数 的图像来观察其关系：
导数全部教案
3.1.1-2变化率问题与导数的概念（1）三维目标1、知识与技能：①理解导数的概念，②掌握用定义求导数的方法。
2、过程与方法：通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力。
3、情感态度与价值观：通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度。
（2）教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； （3）教学难点：导数的概念。
（4）教学建议：1、学生此前没接触过极限概念，现遇到了极限自然会产生疑问，为了帮助学生理解，教师就得描述、解释、举例、补充，实践说明，将函数极限知识提前上一些，淡化形式，重在极限思想的描述。
注意“适度”提出函数的极限，不去追求理论上的抽象性和严谨性。
2、对于导数定义：在定义()0'x f =xx f x x f x fx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000给出后，可以给出定义的几种变化形式：()x f'=xx x f x f xy x x ∆∆--=∆∆→∆→∆)()(limlim 000；以及()x f '=00)()(lim )(lim00x x x f x f x y x x x x --=∆∆→→；或()x f '=xx f x x f x ∆--∆-→∆-)()(lim 000；而0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-。
通过比较理解实质。
另外，在导数定义教学中要防止过量的技巧变形练习，避免造成学生过重的学习负担。
教学过程一．新课讲授 （一）问题提出问题1气球膨胀率问题：老师准备了两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情景；再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =，⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在怎样的函数关系？在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. ）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度.思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内是静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （1）让学生亲自计算和思考，展开讨论；（2）老师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；（二）平均变化率概念:引出函数平均变化率的概念．找出求函数平均变化率的步骤.1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么? （1） 师生一起讨论、分析，得出结果；（2） 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均变化率2121()()f x f x fx x x -∆=∆-. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②x2= x1+Δx ；③Δf=Δy=y2-y1；二．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴2(1)(1)23y x x x x x∆--+∆+-+∆+==-∆∆∆ 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
高中初学导数教案全套模板
一、教学目标1. 知识与技能：- 掌握导数的定义及几何意义。
- 理解导数的物理意义，并能运用导数解决实际问题。
- 学会求简单函数的导数，包括基本初等函数和复合函数的导数。
2. 过程与方法：- 通过观察、实验、归纳等方法，体会导数的概念形成过程。
- 通过小组合作、讨论等方式，培养分析问题和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：- 培养学生对数学学习的兴趣，提高学生的数学素养。
- 培养学生严谨、求实的科学态度。
二、教学重难点1. 教学重点：- 导数的定义及几何意义。
- 基本初等函数的导数。
2. 教学难点：- 导数的物理意义。
- 复合函数的求导法则。
三、教学准备1. 教学课件或黑板。
2. 多媒体教学设备。
3. 相关教学辅助材料。
四、教学过程（一）导入1. 复习极限的概念，引导学生思考极限与导数之间的关系。
2. 提出问题：如何描述函数在某一点的局部变化趋势？（二）新课讲授1. 导数的定义：- 通过直观演示，引导学生理解导数的定义。
- 举例说明导数的几何意义，即曲线上某点的切线斜率。
- 引入导数的物理意义，即运动物体在某时刻的瞬时速度。
2. 基本初等函数的导数：- 讲解基本初等函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数等。
- 通过例题讲解如何求基本初等函数的导数。
3. 复合函数的求导法则：- 介绍复合函数的概念，并讲解复合函数求导法则。
- 通过例题讲解如何求复合函数的导数。
（三）课堂练习1. 基本练习：求简单函数的导数。
2. 能力提升：求复合函数的导数。
（四）课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调重点和难点。
2. 引导学生总结导数的概念、几何意义、物理意义以及求导方法。
五、课后作业1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 查阅资料，了解导数的应用。
六、教学反思1. 教学过程中，关注学生的参与度和学习效果。
2. 根据学生的实际情况，调整教学方法和内容。
3. 注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
七、板书设计1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数的物理意义4. 基本初等函数的导数5. 复合函数的求导法则八、教学资源1. 教材2. 教学课件3. 教学视频4. 教学网站通过以上教案模板，教师可以根据实际情况进行修改和调整，以适应不同的教学环境和学生需求。
高中数学下册导数教案
高中数学下册导数教案教学内容：导数教学目标：1. 了解导数的定义和性质；2. 能够求解简单函数的导数；3. 能够运用导数解决实际问题。
教学重点：1. 导数的定义和性质；2. 求解函数的导数；3. 运用导数解决实际问题。
教学难点：1. 求解复合函数的导数；2. 运用导数解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教材、黑板、粉笔、投影仪等；2. 学生准备：笔记本、笔、教材等。
教学步骤：一、导入（5分钟）1. 复习上节课内容，导数的定义及求解方法；2. 引入本节课主题，导数的性质。
二、讲解导数的性质（15分钟）1. 导数的加法性质、乘法性质和常数倍法则；2. 导数的链式法则和微分的性质；3. 解释导数的物理意义。
三、练习导数的求解（20分钟）1. 解析法求解简单函数的导数；2. 几何法求解导数；3. 运用导数的性质求解函数的导数。
四、导数在实际问题中的应用（15分钟）1. 运用导数解决最值问题；2. 运用导数解决曲线的切线问题。
五、课堂练习与总结（10分钟）1. 学生进行导数求解练习；2. 教师进行梳理与总结，强调本节课重要知识点。
六、作业布置（5分钟）1. 布置相关导数求解习题；2. 提醒学生复习导数的性质和应用。
教学反思：本节课以导数为主题，通过讲解导数的性质和应用，激发学生对导数的兴趣，提高他们对导数的理解和运用能力。
同时，引导学生积极参与课堂练习和思考，提高他们的学习效率和学习兴趣。
在教学中注重学生的实际操作和实践，从而帮助他们更好地掌握导数的知识。
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选修（1-1）第三章导数及其应用课题：§3.1 变化率与导数学习目标：1. 了解函数的平均变化率、瞬时变化率的概念；2. 理解导数的概念，理解、掌握导数的几何意义3. 会利用定义求函数在某一点附近的平均变化率及导数；4. 会利用定义求函数在某点处的切线方程.学习过程：一、变化率问题[开篇思考]：阅读开篇语，了解课程目标1. 微积分的创立与自然科学中的哪些问题的处理直接相关？2. 导数的研究对象是什么？[问题探究一]：气球膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢。
从数学的角度如何描述这种现象? 阅读教材P72并思考：（1）问题中涉及到的两个变量分别是、，这两个变量间的函数关系是；（2）“气球的半径增加得越来越慢”的意思是“”，从数学角度进行描述就是“”，即气球的平均膨胀率就是.（3）运用上述数学解释计算一些具体的值当空气容量从0增加到1L时，气球半径r增加了，气球的平均膨胀率为；当空气容量从1L增加到2L时，气球半径r增加了，气球的平均膨胀率为；当空气容量从2L增加到2.5L时，气球半径r增加了，气球的平均膨胀率为；当空气容量从2.5L增加到4L时，气球半径r增加了，气球的平均膨胀率为；可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐.（4）思考：当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是[问题探究二]：高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系105.69.4)(2++-=ttth如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？阅读教材P73并思考：若用运动员在某段时间[]21,tt内的平均速度v描述其运动状态，那么：（1）v= ；（2）算一算：在5.00≤≤t这段时间内，v=在21≤≤t这段时间内，v=在49650≤≤t这段时间内，v=[新知]：设()y f x=，1x是数轴上的一个定点，在数轴x上另取一点2x，1x与2x的差记为x∆，即x∆=或者2x= ，x∆就表示从1x到2x的变化量或增量；相应地，函数的变化量或增量记为y∆，即y∆= ；如果它们的比值yx∆∆，则上式就表示为，此比值就称为平均变化率. 平均变化率：_______________ = ______反思：所谓平均变化率也就是的增量与的增量的比值.[试一试]：例：已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）[1，]1.1 （2）[1，]2 （3）[1，]x ∆+1[思考]：当x ∆越来越小时，函数)(x f 在区间[1，]x ∆+1上的平均变化率有怎样的变化趋势？ [变式]： 已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1-，)2-及邻近一点(x ∆+-1，)y ∆+-2，则y x∆∆=[学习小结]：1. 函数()f x 的平均变化率是2. 求函数()f x 的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量 ；（2）计算平均变化率 . [作业]：形成练习P 41-42 练习21 函数的平均变化率 [再思考]：计算[问题探究二]中运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，思考以下问题： （1）运动员在这段时间内使静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 二、导数的概念[探究]：计算[问题探究二]运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： （1）运动员在这段时间内使静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：[知识回顾]：什么是函数)(x f y =的平均变化率？如何求平均变化率？[想一想]：既然用平均速度不能精确描述运动员的运动状态，那该如何求运动员在某一时刻的速度呢？回答下列问题：1．什么是瞬时速度？2. 当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？3. 运动员在某一时刻0t 的瞬时速度怎样表示？[认识与理解]：求瞬时速度一物体的运动方程是23t s +=，则在2=t 时刻的瞬时速度是[新知]：1. 函数)(x f y =的瞬时变化率怎样表示？2. 什么是函数)(x f y =在0x x =处的导数？如何表示？其本质是什么？[试一试]：例1．（1）用定义求函数23x y =在1=x 处的导数.（2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．例2．阅读教材P 75例1,计算第h 3时和第h 5时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.[学习小结]：1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．函数)(x f y =在0x x =处的导数及其本质 [作业]：形成练习P 43-44练习22 导数的概念三、导数的几何意义（阅读教材P 74-75）[思考与探究一]：曲线的切线及切线的斜率如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时，割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的 . [想一想]：（1）割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？（2）切线PT 的斜率k 为多少？（3）此处切线的定义与以前学过的切线的定义有什么不同？[新知1]：导数的几何意义：图3.1-21. 函数)(x f y =在0x x =处的导数等于即 0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆2. 函数)(x f y =在0x x =处的切线方程是 .3. 求曲线在某点P 处的切线方程的基本步骤: ① 求出点的坐标))(,(00x f x P ；② 求出函数在点=x 0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆，得到曲线在点))(,(00x f x P 的切线的斜率； ③ 利用点斜式求切线方程. [新知2]：导函数：1. 什么是函数)(x f y =的导函数？2. 函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系？[试一试]：例1:（1）求曲线1)(2+==x x f y 在点)2,1(P 处的切线方程.例2：在曲线2x y =上过哪一点的切线平行于直线54+=x y ？例3：（1）试描述函数()f x 在1,0,2,4,5---=x 附近的的变化情况.（2）已知函数()f x 的图象,试画出其导函数()f x '图象的大致形状.[练一练]：（1）求函数23)(x x f =在点1=x 处的切线方程.（2）设曲线2)(x x f =在点0P 处的切线斜率是3，则点0P 的坐标是[学习小结]：1. 导数的几何意义是什么？2. 函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系？3. 求曲线在某点P 处的切线方程的基本步骤:[作业]：1. 形成练习P 44-45 练习23 导数的几何意义； 2. 学探诊 测试十一[课后思考]：1. 本节知识内容有哪些？你学会了什么？2. 你还有哪些困惑？快快去解决.课题： §3.2 导数的计算学习目标：1．会利用导数的定义推导函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式； 2．掌握基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，会求简单函数的导数.学习过程：一、几个常用函数的导数 [开篇语]：我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们先来求几个常用的函数的导数． [思考与探究]：阅读教材P 81-82，利用导数的定义，尝试自己推导函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数 [练一练1] ：利用导数的定义函数3x y =的导数二、基本初等函数的导数公式及导数运算法则 [记一记1]：基本初等函数的导数公式1. =')(c _________2. =')(αx ________ （α为有理数） =')1(x_________3. =')(x e _________ =')(xa _________(1,0≠>a a )4. =')(ln x __________ =')(log x a ________(1,0≠>a a )5. =')(sin x _________ =')(cos x _________ [练一练2]例1：求下列函数的导数（1）3x y = （2）x x y = （3） 21x y =（4）2cos 2sin 2xx y = （5）xy 1=例2：（1）求x y 1=在点)21,2(处的切线方程（2）求x y ln =在2e x =处的切线方程（3）求x y sin =在点)21,6(πA 处的切线方程（4）设曲线22)(x x f =在点0P 处的切线斜率是3，则点0P 的坐标是（5）在曲线2x y =上过哪一点的切线平行于直线54+=x y ？（6）求过点()8,2--P 所作的3x y =的切线方程___________.[记一记2]：导数运算法则：设函数)(),(x g x f 是可导函数，1. ='±))()((x g x f _________________.2. ='⋅))()((x g x f _________________. []=')(x cf _____________.3. ='))()((x g x f _________________. [练一练3]：练1. 求下列函数的导数： （1）x xy 3log 1+=； （2）2x y e =；（3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =-.练2. 求下列函数的导数：（1）32log y x x =+； （2）n xy x e =； （3）31sin x y x-=练3.（1）设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a 的值.（2）（2013年江西）若曲线1y x α=+(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α的值.[提高篇]1.（朝阳一模）已知函数()()x a x a x x f ln 22++-=，其中R a ∈，求曲线()x f y = 在点()()2,2f 处的切线的斜率为1，求a 的值.（如改为已知切线方程）2. （2012北京）已知函数()()012>+=a ax x f ，()bx x x g +=3.若曲线()x f y =与曲线()x g y =在它们的交点()c ,1处具有公共切线，求b a ,的值.[学习小结]：1．对于简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类 简单函数的导数.2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则。