江苏省无锡市初二数学上学期期末试卷

江苏省无锡市初二数学上学期期末试卷
一、选择题
1．若分式12
x
x -+的值为0，则x 的值为（ ）
A ．1
B ．2-
C ．1-
D ．2
2．如图，CD 是Rt△ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，点B 恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于( )
A ．25°
B ．30°
C ．45°
D ．60° 3．若等腰三角形的一个内角为92°，则它的顶角的度数为（ ）
A ．92°
B ．88°
C ．44°
D ．88°或44° 4．已知：△ABC ≌△DCB ，若BC=10cm ，AB=6cm ，AC=7cm ，则CD 为（ ）
A ．10cm
B ．7cm
C ．6cm
D ．6cm 或7cm
5．在直角坐标系中,函数y kx =与1
2
y x k =
-的图像大数是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
6．下列各组数不是勾股数的是（ ） A ．3，4，5
B ．6，8，10
C ．4，6，8
D ．5，12，13
7．如图，折叠Rt ABC ∆，使直角边AC 落在斜边AB 上，点C 落到点E 处，已知
6cm AC =，8cm BC =，则CD 的长为（ ）cm.
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
8．已知一次函数y=kx+b ，函数值y 随自变置x 的增大而减小，且kb ＜0，则函数y=kx+b
的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．某种鲸鱼的体重约为1.36×105kg ，关于这个近似数，下列说法正确的是（ ） A ．它精确到百位 B ．它精确到0.01 C ．它精确到千分位 D ．它精确到千位 10．点（2，-3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A ．（-2，3）
B ．（2，3）
C ．（-3，-2）
D ．（2，-3）
二、填空题
11．若函数y ＝2x +3﹣m 是正比例函数，则m 的值为_____．
12．下表给出的是关于某个一次函数的自变量x 及其对应的函数值y 的部分对应值， x … ﹣2 ﹣1 0 … y
…
m
2
n
…
则m +n 的值为_____． 13．9的平方根是_________．
14．已知3a b +=，2ab =，代数式32232a b a b ab ++=__________． 15．已知关于x 的方程
211
x m
x -=-的解是正数，则m 的取值范围为__________． 16．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，30A ∠=︒，DE 垂直平分斜边AC ，交AB 于
D ，
E 是垂足，连接CD ，若1BD =，则AC 的长是__________．
17．如图，已知直线y ＝ax ﹣b ，则关于x 的方程ax ﹣1＝b 的解x ＝_____．
18．比较大小：－2______－3.
19．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，交AC 于D ，DE ⊥AB 于点E ，△ABC 的面积是42cm 2，AB ＝10cm ，BC ＝14cm ，则DE ＝_____cm ．
20．如图，将一张三角形纸片折叠，使得点A 、点C 都与点B 重合，折痕分别为DE 、FG ，此时测得∠EBG ＝36°，则∠ABC ＝_____°．
三、解答题
21．目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行了调查，随机调查了m 人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
（1）根据图中信息求出m =___________，n =_____________； （2）请你帮助他们将这两个统计图补全；
（3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生种，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？
22．如图，已知一次函数2y x =-的图像与y 轴交于点A ，一次函数4y x b =+的图像与
y 轴交于点B ，且与x 轴以及一次函数2y x =-的图像分别交于点C 、D ，点D 的坐标
为()2,m -.
（1）关于x 、y 的方程组2
4y x y x b
-=-⎧⎨
-=⎩的解为______________.
（2）关于x 的不等式24x x b -≥+的解集为__________________. （3）求四边形OADC 的面积；
（4）在x 轴上是否存在点E ，使得以点C ，D ，E 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E 的坐标：若不存在，请说明理由. 23．如图，反比例函数k
y x
=
与一次函数y=x+b 的图象，都经过点A （1，2）
（1）试确定反比例函数和一次函数的解析式； （2）求一次函数图象与两坐标轴的交点坐标．
24．如图（1）所示，在A ，B 两地间有一车站C ，甲汽车从A 地出发经C 站匀速驶往B 地，乙汽车从B 地出发经C 站匀速驶往A 地，两车速度相同．如图（2）是两辆汽车行驶时离C 站的路程y (千米)与行驶时间x (小时)之间的函数关系的图象．
（1）填空：a = km ，b = h ，AB 两地的距离为 km ；
（2）求线段PM 、MN 所表示的y 与x 之间的函数表达式(自变量取值范围不用写)； （3）求行驶时间x 满足什么条件时，甲、乙两车距离车站C 的路程之和最小？ 25．计算或求值
（1）计算：（2a+3b ）（2a ﹣b ）； （2）计算：（2x+y ﹣1）2；
（3）当a ＝2，b ＝﹣8，c ＝5时，求代数式2
42b b ac
a
-+-的值；
（4）先化简，再求值：（m+252m -
-）24
3m m -⨯-，其中m ＝12
-． 四、压轴题
26．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点(),A a b ，(),B c d ，若点(),T x y 满足
3a c x +=
，3
b d
y +=那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：()1,8A -，()4,2B -，当点(),T x y 满足14
13x -+==，()8223
y +-==时，则点()1,2T 是点A ，B 的融合点．
（1）已知点()1,5A -，()7,4B ，()2,3C ，请说明其中一个点是另外两个点的融合点． （2）如图，点()4,0D ，点(),25E t t +是直线l 上任意一点，点(),T x y 是点D ，E 的融合点．
①试确定y 与x 的关系式；
②在给定的坐标系xOy 中，画出①中的函数图象；
③若直线ET 交x 轴于点H ．当DTH 为直角三角形时，直接写出点E 的坐标．
27．如图，直线l 1：y 1=﹣x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P （m ，3）为直线l 1上一点，另一直线l 2：y 2=
1
2
x +b 过点P ． （1）求点P 坐标和b 的值；
（2）若点C 是直线l 2与x 轴的交点，动点Q 从点C 开始以每秒1个单位的速度向x 轴正方向移动．设点Q 的运动时间为t 秒．
①请写出当点Q 在运动过程中，△APQ 的面积S 与t 的函数关系式； ②求出t 为多少时，△APQ 的面积小于3；
③是否存在t 的值，使△APQ 为等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
28．在平面直角坐标系中点 A （m −3，3m +3），点 B （m ，m +4）和 D （0，−5），且点 B 在第二象限．
（1）点 B 向 平移 单位，再向下平移 （用含 m 的式子表达）单位可以与点 A 重合； （2）若点 B 向下移动 3 个单位，则移动后的点 B 和点 A 的纵坐标相等，且有点 C （m −2，0）．
①则此时点 A 、B 、C 坐标分别为 、 、 ．
②将线段 AB 沿 y 轴负方向平移 n 个单位，若平移后的线段 AB 与线段 CD 有公共点，求 n 的取值范围．
③当 m <−1 式，连接 AD ，若线段 AD 沿直线 AB 方向平移得到线段 BE ，连接 DE 与直线y=−2 交于点 F ，则点 F 坐标为 ．（用含 m 的式子表达）
29．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标(3,2)-，过A 点作AB x ⊥轴，垂足为点B ，过点(2,0)C 作直线l x ⊥轴，点P 从点B 出发在x 轴上沿着轴的正方向运动．
（1）当点P 运动到点O 处，过点P 作AP 的垂线交直线l 于点D ，证明AP DP =，并求此时点D 的坐标；
（2）点Q 是直线l 上的动点，问是否存在点P ，使得以P C Q 、、为顶点的三角形和
ABP ∆全等，若存在求点P 的坐标以及此时对应的点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
30．已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，AB AC =，AD AE =，
DAE BAC ∠=∠．
（初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则
DB __________EC ．（填＞、＜或=）
（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE 绕点A 旋转，当点D 在ABC 外部，点E 在ABC 内部时，求证：DB EC =．
（深入研究）（3）如图③，ABC 和ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则CDB ∠的度数为__________；线段CE ，BD 之间的数量关系为__________．
（4）如图④，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点C 、
D 、
E 在同一直线上，AM 为ADE 中DE 边上的高，则CDB ∠的度数为__________；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为__________．
（拓展提升）（5）如图⑤，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，
AB=，BAC DAE
90
∠=∠=︒，将ADE绕点A逆时针旋转，连结BE、CD．当5
△与ADC的面积和的最大值为__________．2
AD=时，在旋转过程中，ABE
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据分式的值为0，分子等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】
根据题意得，1-x=0且x+2≠0，
解得x=1且x≠-2，
所以x=1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
先根据图形折叠的性质得出BC=CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE=AE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵△ABC沿CD折叠B与E重合，
∴BC=CE，
∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，
∴CE=BE=AE，
∴△BEC是等边三角形．
∴∠B=60°， ∴∠A=30°， 故选B ． 【点睛】
本题考查折叠的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质：折叠前后的对应边相等，对应角相等.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
已知给出了等腰三角形的一个内角的度数，但没有明确这个内角是顶角还是底角，因此要分类讨论． 【详解】
解：（1）若等腰三角形一个底角为92°，因为92°+92°=184°＞180°，所以这种情况不可能出现，舍去；
（2）等腰三角形的顶角为92°． 因此这个等腰三角形的顶角的度数为92°． 故选A. 【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质.如果已知等腰三角形的一个内角要求它的顶角，需要分该内角是顶角和这个内角是底角两种情况讨论.本题能根据92°角是钝角判断出92°只能是顶角是解题关键.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
全等图形中的对应边相等. 【详解】
根据△ABC ≌△DCB ，所以AB=CD,所以CD=6，所以答案选择C 项. 【点睛】
本题考查了全等，了解全等图形中对应边相等是解决本题的关键.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据四个选项图像可以判断y kx = 过原点且k ＜0，1
2
y x k =- ，-k ＞0 即可判断. 【详解】
解：A .y kx = 与12y x k =-图像增减相反，得到k ＜0，所以1
2
y x k =- 与y 轴交点大于0 故错误； B .y kx = 与12y x k =-图像增减相反，得到k ＜0，所以1
2y x k =- 与y 轴交点大于0 故正确； C .y kx = 与12y x k =
-图像增减相反，1
2
y x k =-为递增一次函数且不过原点，故错误； D .y kx =过原点，而图中两条直线都不过原点，故错误. 故选 B 【点睛】
此题主要考查了一次函数图像的性质，熟记k ＞0，y 随x 的增大而增大；k ＜0，y 随x 的增大而减小；常数项为0，函数过原点.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据勾股数的定义：有a 、b 、c 三个正整数，满足a 2+b 2=c 2，称为勾股数．由此判定即可． 【详解】
解：A 、32+42=52，能构成勾股数，故选项错误； B 、62+82=102，能构成勾股数，故选项错误 C 、42+62≠82，不能构成勾股数，故选项正确； D 、52+122=132，能构成勾股数，故选项错误． 故选：C ． 【点睛】
本题考查勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
在Rt ABC ∆中，根据勾股定理可求得AB 的长度，依据折叠的性质AE=AC ，DE=CD ，因此可得BE 的长度，在Rt △BDE 中根据勾股定理即可求得CD 的长度. 【详解】
解：∵在Rt ABC ∆中，6cm AC =，8cm BC =，
∴由勾股定理得，10AB cm ===．
由折叠的性质知，AE=AC=6cm ，DE=CD ，∠AED=∠C=90°．
∴BE=AB-AE=10-6=4cm ， 在Rt △BDE 中，由勾股定理得，
DE2+BE2=BD2
即CD2+42=(8-CD)2，
解得：CD=3cm．
故选：D．
【点睛】
本题考查折叠的性质，勾股定理.理解折叠的前后对应边相等，对应角相等，并能依此判断△BDE是直角三角形，并计算（或用CD表示）它的三边是解决此题的关键.
8．A
解析：A
【解析】
试题分析：根据一次函数的性质得到k＜0，而kb＜0，则b＞0，所以一次函数y=kx+b的图象经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴是方．
解：∵一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小，
∴k＜0，
∴一次函数y=kx+b的图象经过第二、四象限；
∵kb＜0，
∴b＞0，
∴图象与y轴的交点在x轴上方，
∴一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限．
故选A．
考点：一次函数的图象．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据近似数的精确度求解．
【详解】
解：1.36×105精确到千位．
故选：D．
【点睛】
本题考查了近似数：经过四舍五入得到的数为近似数．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位的说法．
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据关于原点对称点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【详解】
解：在平面直角坐标系中，关于原点对称的两点横坐标和纵坐标均满足互为相反数，∴点（2，-3）关于原点对称的点的坐标是（-2，3）．
故选A．
【点睛】
本题考查了关于原点对称点的坐标，熟练掌握坐标特征是解题的关键．
二、填空题
11．【解析】
【分析】
直接利用正比例函数的定义得出答案．
【详解】
∵函数y=2x+3﹣m是正比例函数，
∴3﹣m=0，
解得：m=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查的是正比例函数的定义，一般
解析：【解析】
【分析】
直接利用正比例函数的定义得出答案．
【详解】
∵函数y=2x+3﹣m是正比例函数，
∴3﹣m=0，
解得：m=3．
故答案为：3．
【点睛】
=（k是常数，k≠0）的函数叫做正比本题考查的是正比例函数的定义，一般地形如y kx
例函数．
12．【解析】
【分析】
设y＝kx+b，将（﹣2，m）、（﹣1，2）、（0，n）代入即可得出答案．
【详解】
设一次函数解析式为：y＝kx+b，
将（﹣2，m）、（﹣1，2）、（0，n）代入y＝kx+
解析：【解析】
【分析】
设y＝kx+b，将（﹣2，m）、（﹣1，2）、（0，n）代入即可得出答案．
【详解】
设一次函数解析式为：y＝kx+b，
将（﹣2，m）、（﹣1，2）、（0，n）代入y＝kx+b，得：﹣2k+b＝m；﹣k+b＝2；b＝n；
∴m+n＝﹣2k+b+b＝﹣2k+2b＝2（﹣k+b）＝2×2＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查一次函数的待定系数法，把m+n看作一个整体，进行计算，是解题的关键．13．±3
【解析】
分析：根据平方根的定义解答即可．
详解：∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3．
故答案为±3．
点睛：本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是
解析：±3
【解析】
分析：根据平方根的定义解答即可．
详解：∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3．
故答案为±3．
点睛：本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
14．18
【解析】
【分析】
先提取公因式ab，然后利用完全平方公式进行因式分解，最后将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】
解：
=
当，时，
原式，
故答案为：18
【点睛】
此题考查了整式的混
解析：18
【解析】
【分析】
先提取公因式ab ，然后利用完全平方公式进行因式分解，最后将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】
解：32232a b a b ab ++
=222ab a ab b 2=ab a b
当3a b +=，2ab =时，
原式2=23=18，
故答案为：18
【点睛】
此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．m ＞1且m≠2．
【解析】
【分析】
先解关于x 的分式方程，求得x 的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m 的取值范围．
【详解】
原方程整理得：2x-m=x-1
解得：x=m-1
因为x ＞0，所以
解析：m ＞1且m ≠2．
【解析】
【分析】
先解关于x 的分式方程，求得x 的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m 的取值范围．
【详解】
原方程整理得：2x-m=x-1
解得：x=m-1
因为x ＞0，所以m-1＞0，即m ＞1．①
又因为原式是分式方程，所以，x≠1，即m-1≠1，所以m≠2．②
由①②可得，则m 的取值范围为m ＞1且m≠2．
故答案为：m ＞1且m≠2．
【点睛】
考核知识点：解分式方程.去分母，分母不等于0是注意点.
16．【解析】
解：，，∴．又∵垂直平分，∴，．∵，∴，∴，，．由勾股定理可得．故答案为．
解析：【解析】
解：90B ∠=︒，30A ∠=︒，∴60ACB ∠=︒．又∵DE 垂直平分
AC ，∴CD AD =，30ACD A DCB ∠=∠=︒=∠．∵1BD =，∴2CD AD ==，∴
3AB =，30A ∠=︒，12
BC AC =．由勾股定理可得AC =故答案为 17．4
【解析】
【分析】
观察图形可直接得出答案.
【详解】
解：根据图形知，当y ＝1时，x ＝4，
即ax ﹣b ＝1时，x ＝4．
故方程ax ﹣1＝b 的解是x ＝4．
故答案为4．
【点睛】
此题考查一次函
解析：4
【解析】
【分析】
观察图形可直接得出答案.
【详解】
解：根据图形知，当y ＝1时，x ＝4，
即ax ﹣b ＝1时，x ＝4．
故方程ax ﹣1＝b 的解是x ＝4．
故答案为4．
【点睛】
此题考查一次函数与一元一次方程的联系，渗透数形结合的解题思想．
18．>
【解析】
， .
解析：>
【解析】
23
<，23
∴->- .
19．【解析】
【分析】
作DF⊥BC于F，如图，根据角平分线的性质得到DE=DF，再利用三角形面积公式得到×10×DE+×14×DF=42，则5DE+7DE=42，从而可求出DE的长．
【详解】
作D
解析：7 2
【解析】
【分析】
作DF⊥BC于F，如图，根据角平分线的性质得到DE=DF，再利用三角形面积公式得到
1 2×10×DE+
1
2
×14×DF=42，则5DE+7DE=42，从而可求出DE的长．
【详解】
作DF⊥BC于F，如图所示：
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF，
∵S△ADB+S△BCD=S△ABC，
∴1
2
×10×DE+
1
2
×14×DF=42，
∴5DE+7DE=42，
∴DE=7
2（cm）．
故答案为7
2
．
【点睛】
此题主要考查角平分线的性质，解题关键是利用三角形面积公式构建方程，即可解题. 20．【解析】
【分析】
根据折叠的性质得到∠ABE＝∠A，∠CBG＝∠C，根据三角形的内角和定理，
得到∠A+∠C＝180°﹣∠ABC，列方程即可得到结论．
【详解】
∵把一张三角形纸片折叠，使点A、点
解析：【解析】
【分析】
根据折叠的性质得到∠ABE＝∠A，∠CBG＝∠C，根据三角形的内角和定理，得到∠A+∠C ＝180°﹣∠ABC，列方程即可得到结论．
【详解】
∵把一张三角形纸片折叠，使点A、点C都与点B重合，
∴∠ABE＝∠A，∠CBG＝∠C，
∵∠A+∠C＝180°﹣∠ABC，
∵∠ABC＝∠ABE+∠CBG+∠EBG，
∴∠ABC＝∠A+∠C+36°＝180°﹣∠ABC+36°，
∴∠ABC＝108°，
故答案为：108．
【点睛】
本题主要考查三角形的内角和定理与图形折叠的性质，根据角的和差关系，列出关于
∠ABC的方程，是解题的关键．
三、解答题
21．（1）100，35；（2）详见解析；（3）800人．
【解析】
【分析】
（1）由共享单车的人数以及其所占百分比可求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值；
（2）总人数乘以网购的百分比可求得网购人数，用微信人数除以总人数求得其百分比，由此即可补全两个图形；
（3）总人数乘以样本中微信人数所占百分比即可求得答案．
【详解】
（1）抽查的总人数m=10÷10%=100，
支付宝的人数所占百分比n%=
35
100
100
%
⨯=35%，所以n=35，
故答案为：100，35；
（2）网购人数为：100×15%=15人，
微信对应的百分比为：
40
100%40% 100
⨯=，
补全图形如图所示：
（3）估算全校2000名学生种，最认可“微信”这一新生事物的人数为：2000×40%=800人．
【点睛】
本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关问题，读懂统计图，从中找到必要的信息是解题的关键．
22．（1）
2
4
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
；（2）2
x-
≤；（3）4；（4）点E坐标为(2,0)
-或(18,0)
-.
【解析】
【分析】
（1）把D（-2，m）代入y=x-2可得D的坐标．由图象可得结论；
（2）观察图象可得结论；
（3）过点D作DH⊥AB于H．根据S四边形OADC=SΔABD-SΔOBC计算即可；
（4）分三种情况讨论：①当点E为直角顶点时，过点D作DE1⊥x轴于E1，即可得出结论；
②当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E；③当点D为直角顶点时，过点D作DE2⊥CD 交x轴于点E2．设E2（t，0），利用勾股定理即可得出结论．
【详解】
（1）∵D（-2，m）在y=x-2上，
∴m=-2-2=-4，
∴D（-2，-4）．
由图象可知：关于x、y的方程组
2
4
y x
y x b
-=-
⎧
⎨
-=
⎩
的解为
2
4
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
；
（2）由图象可知：关于x的不等式x-2≥4x+b的解集为x≤-2；（3）如图1，过点D作DH⊥AB于H．
由（1）知D（-2，-4），
∴DH=2．
在y=x-2中，当x=0时，y=-2，
∴A（0，-2）．
把D（-2，-4）代入y=4x+b得：-4=4×（-2）+b，解得：b=4．
∴B （0，4），
∴直线BD 的函数表达式为y =4x +4．
∴AB =4-（-2）=6，
∴S ΔABD =12AB ⋅DH =12
×6×2=6． 在y =4x +4中，当y =0时，0=4x +4，解得：x =-1．
∴C （-1，0），
∴OC =1．
∵B （0，4），
∴OB =4，
∴S ΔOBC =12OB ⋅OC =12
×4×1=2， ∴S 四边形OADC =S ΔABD -S ΔOBC =6-2=4．
（4）如图2，①当点E 为直角顶点时，过点D 作DE 1⊥x 轴于E 1．
∵D （-2，-4），
∴E 1（-2，0）
②当点C 为直角顶点时，x 轴上不存在点E ．
③当点D 为直角顶点时，过点D 作DE 2⊥CD 交x 轴于点E 2．设E 2（t ，0）．
∵C （-1，0），E 1（-2，0），
∴CE 2=-1-t ，E 1E 2=-2-t ．
∵D （-2，-4），
∴DE 1=4，CE 1=-1-（-2）=1．
在12Rt DE E ∆中，由勾股定理得：()2
222222211242420DE DE E E t t t =+=+--=++． 在1Rt CDE ∆中，由勾股定理得：2221417CD =+=．
在2Rt CDE ∆中，由勾股定理得：22222CE DE CD =+．
∴（-1-t ）2=t 2+4t +20+17
解得：t =-18．
∴E 2 （-18，0）．
综合上所述：点E 坐标为（-2，0）或（-18，0）．
【点睛】
本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，一次函数与方程组、一次函数与不等式的解集，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
23．（1）反比例函数的解析式为
2
y
x
=，一次函数的解析式为y＝x＋1．
（2）（-1,0）与（1,0）．【解析】
【分析】
（1）将点A（1，2）分别代入
k
y
x
=与y=x+b中，运用待定系数法即可确定出反比例解析
式和一次函数解析式．
（2）对于一次函数解析式，令x=0，求出对应y的值，得到一次函数与y轴交点的纵坐标，确定出一次函数与y轴的交点坐标；令y=0，求出对应x的值，得到一次函数与x轴交点的横坐标，确定出一次函数与x轴的交点坐标．
【详解】
解：（1）∵反比例函数
k
y
x
=与一次函数y＝x＋b的图象，都经过点A（1,2），
∴将x=1，y=2代入反比例解析式得：k=1×2=2，
将x=1，y=2代入一次函数解析式得：b=2－1=1，
∴反比例函数的解析式为2
y
x
=，一次函数的解析式为y＝x＋1．
（2）对于一次函数y=x+1，
令y=0，可得x=-1；令x=0，可得y=1．
∴一次函数图象与两坐标轴的交点坐标为（-1,0）与（1,0）．
24．（1）120，2，420；（2）线段PM所表示的y与x之间的函数表达式是y=﹣
60x+300，线段MN所表示的y与x之间的函数表达式是y=60x﹣300；（3）行驶时间x满足2≤x≤5时，甲、乙两车距离车站C的路程之和最小．
【解析】
【分析】
（1）根据题意和图象中的数据，可以求得a、b的值以及AB两地之间的距离；
（2）根据（1）中的结果和函数图象中的数据，可以求得线段PM、MN所表示的y与x之间的函数表达式；
（3）根据题意，可以写出甲、乙两车距离车站C的路程之和和s之间的函数关系式，然后利用一次函数的性质即可解答本题．
【详解】
（1）两车的速度为：300÷5=60km/h，
a=60×(7﹣5)=120，
b=7﹣5=2，
AB 两地的距离是：300+120=420．
故答案为：120，2，420；
（2）设线段PM 所表示的y 与x 之间的函数表达式是y =kx +b ，
30050b k b =⎧⎨+=⎩，得60300k b =-⎧⎨=⎩
， 即线段PM 所表示的y 与x 之间的函数表达式是y =﹣60x +300；
设线段MN 所表示的y 与x 之间的函数表达式是y =mx +n ，
507120m n m n +=⎧⎨+=⎩，得60300m n =⎧⎨=-⎩
， 即线段MN 所表示的y 与x 之间的函数表达式是y =60x ﹣300；
（3）设DE 对应的函数解析式为y =cx +d ，
12020d c d =⎧⎨+=⎩，得60120c d =-⎧⎨=⎩
， 即DE 对应的函数解析式为y =﹣60x +120，
设EF 对应的函数解析式为y =ex +f ，
207300e f c f +=⎧⎨+=⎩，得60120e f =⎧⎨=-⎩
， 即EF 对应的函数解析式为y =60x ﹣120，
设甲、乙两车距离车站C 的路程之和为skm ，
当0≤x ≤2时，
s =(﹣60x +300)+(﹣60x +120)=﹣120x +420，
则当x =2时，s 取得最小值，此时s =180，
当2＜x ≤5时，
s =(﹣60x +300)+(60x ﹣120)=180，
当5≤x ≤7时，
s =(60x ﹣300)+(60x ﹣120)=120x ﹣420，
则当x =5时，s 取得最小值，此时s =180，
由上可得：
行驶时间x 满足2≤x ≤5时，甲、乙两车距离车站C 的路程之和最小．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
25．（1）4a 2+4ab ﹣3b 2；（2）4x 2+4xy+y 2﹣4x ﹣2y ﹣1；（34）﹣2m ﹣6，-5
【解析】
【分析】
（1）利用多项式乘多项式展开，然后合并即可；
（2）利用完全平方公式计算；
（3）先计算出24b ac -，然后计算代数式的值；
（4）先把括号内通分，再把分子分母因式分解后约分得到原式26m =--，然后把m 的值代入计算即可．
【详解】
解：（1）原式224263a ab ab b =-+-
22443a ab b =+-；
（2）原式2(2)2(2)1x y x y =+-+-
2244421x xy y x y =++---；
（3）224(8)42524b ac -=--⨯⨯=，
= （4）原式(2)(2)52(2)[]23m m m m m +---=
--- (3)(3)2(2)23
m m m m m +--=--- 2(3)m =-+
26m =--，
当12
m =-时，原式12()652=-⨯--=-． 【点睛】
本题考查了多项式乘法和、分式的化简求值以及代数式求值．掌握整式乘法和分式运算法则熟练运算是解题关键．
四、压轴题
26．（1）点C 是点A 、B 的融合点；（2）①2-1y x =；②见详解；③点E 的坐标为：（2，9）或（8，21）
【解析】
【分析】
（1）根据融合点的定义3a c x +=，3
b d y +=，即可求解； （2）①由题意得：分别得到x 与t 、y 与t 的关系，即可求解；
②利用①的函数关系式解答；
③分∠DTH ＝90°、∠TDH ＝90°、∠HTD ＝90°三种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）x ＝-17233a c ++==，y ＝54333
b d ++==， 故点C 是点A 、B 的融合点；
（2）①由题意得：x＝
4
33
a c t
++
=，y＝
25
33
b d t
++
=，则3-4
t x
=，
则
()
23-45
2-1
3
x
y x
+
==；
②令x＝0，y＝-1；令y＝0，x＝1
2
，图象如下：
③当∠THD＝90°时，
∵点E（t，2t＋5），点T（t，2t−1），点D（4，0），且点T（x，y）是点D，E的融合点．
∴t＝1
3
（t＋4），
∴t＝2，
∴点E（2，9）；当∠TDH＝90°时，
∵点E （t ，2t ＋5），点T （4，7），点D （4，0），且点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点．
∴4＝
13
（4＋t ） ∴t ＝8， ∴点E （8，21）；
当∠HTD ＝90°时，
由于EH 与x 轴不平行，故∠HTD 不可能为90°；
故点E 的坐标为：（2，9）或（8，21）．
【点睛】
本题是一次函数综合运用题，涉及到直角三角形的运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解．
27．（1）b=72；（2）①△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为S=﹣32t +272或S=32t ﹣27
2
；②7＜t ＜9或9＜t ＜11，③存在，当t 的值为3或9+或9﹣或6时，△APQ 为等腰三角形．
【解析】
分析：（1）把P (m ,3)的坐标代入直线1l 的解析式即可求得P 的坐标，然后根据待定系数法即可求得b ；
（2）根据直线2l 的解析式得出C 的坐标，①根据题意得出9AQ t =-，然后根据12
P S AQ y =⋅即可求得APQ 的面积S 与t 的函数关系式；②通过解不等式273322t -<或327 3.22
t -<即可求得7<t <9或9<t <11.时，APQ 的面积小于3；③分三种情况：当PQ =PA 时,则()()()2222(71)032103,t -++-=++-当AQ =PA 时,则
()()222(72)2103,t --=++-当PQ =AQ 时,则()222(71)03(72)t t -++-=--，
即可求得．
详解：解;(1)∵点P (m ,3)为直线l 1上一点，
∴3=−m +2，解得m =−1，
∴点P 的坐标为(−1,3)，
把点P 的坐标代入212y x b =
+ 得,()1312b =⨯-+， 解得72b =
； (2)∵72
b =； ∴直线l 2的解析式为y =12x +72，
∴C 点的坐标为(−7,0)，
①由直线11:2l y x =-+可知A (2,0)，
∴当Q 在A . C 之间时，AQ =2+7−t =9−t ， ∴11273(9)32222
S AQ yP t t =
⋅=⨯-⨯=-； 当Q 在A 的右边时，AQ =t −9， ∴11327(9)32222
S AQ yP t t ；=⋅=⨯-⨯=- 即△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为27322S t =
-或327.22S t =- ②∵S <3， ∴
273322t -<或327 3.22
t -< 解得7<t <9或9<t <11. ③存在；
设Q (t −7,0)，
当PQ =PA 时,则()()()222
2(71)032103,t -++-=++-
∴22(6)3t -=,解得t =3或t =9(舍去)， 当AQ =PA 时,则()()22
2(72)2103,t --=++-
∴2(9)18,t -=解得9t =+9t =- 当PQ =AQ 时,则()2
22(71)03(72)t t -++-=--，
∴22(6)9(9)t t -+=-， 解得t =6.
故当t 的值为3或9+9-6时，△APQ 为等腰三角形．
点睛：属于一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质以及三角形的面积,分类讨论是解题的关键.
28．（1）左；3；(1-2m )；（2）①（-4，0）；（-1，0）（-3，0）； ②当平移后的线段 AB 与线段 CD 有公共点时，1913n ≤≤；③ F 9(,2)12m
--． 【解析】
【分析】
(1)根据平面直角坐标系中点的平移计算方法即可得解
(2)①根据B 点向下平移后，点B 和点A 的纵坐标相等得到等量关系，可求出m 的值，从而求出A 、B 、C 三点坐标；②过 C 作 CK 垂直 x 轴交 AB 于 K 点过 B 做 BM 垂直 x 轴于 M 点，设出K 点坐标，作 KH ⊥BM 与 H 点，表示出H 点坐标，然后利用面积关系ABM AKM BKM S S S ∆∆∆=+求出距离；当 B '在线段 CD 上时，BB '交 x 轴于 M 点，过 B '做 B 'E ⊥OD ，利用S △COD = S △OB'C + S △OB'D ，求出n 的值，从而求出n 的取值范围；③通过坐标平移法用m 表示出E 点的坐标，利用D 、E 两点坐标表示出直线DE 的函数关系式，令y=﹣2，求出x 的值即可求出F 点坐标．
【详解】
解：（1）根据平移规律可得：B 向左平移；
m －（m －1）=3，所以平移3个单位；
m+4－（3m+3）=1－2m ，所以再向下平移(1-2m )个单位；
故答案为：左；3；(1-2m )
（2）①点 B 向下移动 3 个单位得：B （m ，m+1）
∵移动后的点 B 和点 A 的纵坐标相等
∴m+1=3m+3
∴m=﹣1
∴A （-4,0）；B （-1,0）；C （-3,0）；
②如图 1，过 C 作 CK 垂直 x 轴交 AB 于 K 点过 B 做 BM 垂直 x 轴于 M 点，
设 K 点坐标为（-3，a ）
M 点坐标为（-1,0）
作 KH ⊥BM 与 H 点，H 点坐标为（-1，a ）
AM=3,BM=3,KC=a,KH=2
∵ABM AKM BKM S S S ∆∆∆=+ ∴
222AM BM KC AM KH BM ⨯⨯⨯=+ ∴33323222
a ⨯⨯⨯=+ 解得：1a =，
∴当线段 AB 向下平移 1 个单位时，线段 AB 和 CD 开始有交点，
∴ n ≥ 1，
当 B'在线段 CD 上时，如图 2
BB'交 x 轴于 M 点，过 B'做 B'E⊥OD,B'M=n-3,B'E=1,OD=5,OC=3∵ S△COD = S△OB'C + S△OB'D
∴
'' 222 CO OD CO B M OD B E ⨯⨯⨯
=+
∴353(3)51 222
n
⨯⨯-⨯
=+
解得：
19
3
n=，
综上所述，当平移后的线段 AB 与线段 CD 有公共点时，
19
1
3
n
≤≤．
③∵A（m−3，3m+3）， B（m，m+4） D（0，−5）且AD 沿直线 AB 方向平移得到线段BE，
∴E点横坐标为：3
E点纵坐标为：﹣5+m+4－（3m+3）=﹣4－2m
∴E（3，﹣4－2m），
设DE：y=kx+b，把D（0，﹣5），E（3，﹣4－2m）代入y=kx+b
∴
3k+b=42m
b=5
⎧
⎨
⎩
﹣－
﹣
∴
1-2m
k=
3
b=-5
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
，
∴y=12m
x5
3
－
－，
把y=﹣2代入解析式得：﹣2=12m
x5
3
－
－，
x=
9
12m
－
，
∴F
9
(,2) 12m
-
-
．
【点睛】
本题考查平面直角坐标系中点的平移计算及一次函数解析式求法，解题关键在于理解掌握平面直角坐标系中点平移计算方法以及用待定系数法求函数解析式方法的应用．
29．（1）证明见解析；(2,3)D ；（2）存在，(0,0)P ，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或
(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q -或1(,0)2
P -，(2,2)Q -．
【解析】
【分析】
（1）通过全等三角形的判定定理ASA 证得△ABP ≌△PCD ，由全等三角形的对应边相等证得AP ＝DP ，DC ＝PB ＝3，易得点D 的坐标；
（2）设P （a ，0），Q （2，b ）．需要分类讨论：①AB ＝PC ，BP ＝CQ ；②AB ＝CQ ，BP ＝PC ．结合两点间的距离公式列出方程组，通过解方程组求得a 、b 的值，得解．
【详解】
（1）AP PD ⊥
90APB DPC ∴∠+∠=
AB x ⊥轴
90A APB ∴∠+∠=
A DPC ∴∠=∠
在ABP ∆和PCD ∆中
A DPC A
B PC
ABP PCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()ABP PCD ASA ∴∆≅∆
AP DP ∴=，3DC PB ==
(2,3)D ∴
（2）设(,0)P a ，(2,)Q b
①AB PC =，BP CQ =
223a a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩
，解得03a b =⎧⎨=±⎩或47a b =⎧⎨=±⎩ (0,0)P ∴，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q - ②AB CQ =，BP PC =，
322a a b +=-⎧⎨=⎩，解得122
a b ⎧=⎪⎨⎪=±⎩ 1(,0)2P ∴-，(2,2)Q -或1(,0)2
P -，(2,2)Q - 综上：(0,0)P ，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)
Q -或1(,0)2P -
，(2,2)Q -或1(,0)2
P -，(2,2)Q - 【点睛】 考查了三角形综合题．涉及到了全等三角形的判定与性质，两点间的距离公式，一元一次绝对值方程组的解法等知识点．解答（2）题时，由于没有指明全等三角形的对应边（角），所以需要分类讨论，以防漏解．
30．（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE ；（4）90°，AM+BD=CM ；（5）7
【解析】
【分析】
（1）由DE ∥BC ，得到
DB EC AB AC
=，结合AB=AC ，得到DB=EC ； （2）由旋转得到的结论判断出△DAB ≌△EAC ，得到DB=CE ； （3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB ≌△EAC ，根据全等三角形的性质求出结论；
（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（5）根据旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC 的AC 始终保持不变，即可．
【详解】
[初步感知]（1）∵DE ∥BC ， ∴DB EC AB AC
=， ∵AB=AC ，
∴DB=EC ，
故答案为：=，
（2）成立．
理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC ，
在△DAB 和△EAC 中
AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝，
∴△DAB ≌△EAC （SAS ），
∴DB=CE ；
[深入探究]（3）如图③，设AB ，CD 交于O ，
∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，
∴AD=AE ，AB=AC ，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠EAC ，
在△DAB 和△EAC 中
AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝，
∴△DAB ≌△EAC （SAS ），
∴DB=CE ，∠ABD=∠ACE ，
∵∠BOD=∠AOC ，
∴∠BDC=∠BAC=60°；
（4）∵△DAE 是等腰直角三角形，
∴∠AED=45°，
∴∠AEC=135°，
在△DAB 和△EAC 中
AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝，
∴△DAB ≌△EAC （SAS ），
∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE ，
∵∠ADE=45°，
∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，。