非线性振动方程多重解求解方法
非线性振动系统稳定性及分析方法综述
非线性振动系统稳定性及分析方法综述非线性振动是指系统在受到外界激励下，系统的响应不仅与激励的大小和频率有关，还与系统自身的非线性特性有关。
非线性振动在工程和科学中具有广泛的应用，然而，非线性振动系统的稳定性分析是一个复杂而重要的问题。
本文将对非线性振动系统的稳定性及分析方法进行综述。
首先，我们需要了解非线性振动系统的稳定性定义。
稳定性是指系统在扰动下具有恢复到平衡位置或围绕平衡位置进行周期性运动的能力。
在线性振动系统中，稳定性的判断相对简单，通常通过分析系统的特征方程的特征根来进行判断。
然而，在非线性振动系统中，由于存在非线性项，特征方程的解析解通常难以获得，因此需要借助其他分析方法来评估系统的稳定性。
非线性振动系统的稳定性分析方法主要有两种：解析法和数值法。
解析法基于系统的数学模型，通过对系统进行分析和求解来得到系统的稳定性判断。
数值法则是基于数值计算的方法，通过数值模拟来评估系统的稳定性。
解析法中最常用的方法是利用极限环理论进行分析。
极限环理论是利用极限环的性质来判断非线性振动系统的稳定性，主要包括判断极限环存在与否以及存在的极限环的形状和大小。
该方法适用于无阻尼非线性振动系统的稳定性判断，但对于有阻尼的系统则需要引入其他修正方法。
此外，解析法中还包括利用能量法、均衡法、周期解法等方法进行稳定性分析。
能量法是通过系统能量的变化来推导系统的稳定性判断条件，均衡法是通过判断系统的平衡位置的稳定性来得到系统的整体稳定性，周期解法则是通过求解系统的周期解来评估系统的稳定性。
另一种方法是数值法，数值法通过数值模拟计算来评估系统的稳定性。
数值法可以利用现代计算机技术进行大规模模拟计算，得到系统的响应曲线和稳定性判断结果。
数值法具有灵活性和高精度的特点，在实际工程中得到了广泛应用。
常用的数值方法包括有限元法、多体动力学法、广义谱方法等。
非线性振动系统的稳定性分析方法还可根据系统的特点分为两类：周期系统和非周期系统。
非线性振动方程的同伦摄动法求解
非线性振动方程的同伦摄动法求解
近年来，同伦摄动法已经成为一种有效的求解非线性振动方程的方法。
它具有收敛性高、速度快、容易实现的特点，可用来求解简单或复杂的振
动系统的解析解。
同伦摄动法的基本思想是，将非线性振动方程转化为一组常微分方程（ODE），使用迭代方法求解这组ODE，得到解析解。
首先，引入特征量，将原问题转化为一组ODE；其次，构造适当的迭代公式，通过迭代算法计
算特征量；最后，以特征量为基础求得解析解。
设有n个节点的同伦摄动法，其基本思想是将n个节点的非线性振动
方程，通过引入n个特征量，组成n个ODE，构造n个迭代公式，通过迭
代求解，求得节点振动方程的解析解。
对于节点振动方程，特征量可以是振动幅度或加速度，构造n个ODE 时，都以特征量为基础，求得n个ODE的解析解，便是求得节点振动方程
的解析解。
另外，同伦摄动法可以用来求解非线性振动方程的一般解，如求解常
微分方程的路径积分和求解复杂的非线性振动方程的解。
这种方法可以有
效地降低计算复杂度，大大简化计算过程。
§4-2 一维非线性振动及其微分方程的近似解法讲解
3 A2 80
2
2
3 A4 256 0
4
)
(2) 以倍数越高的谐频振动的分振动, 其振幅越小.
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
(3)不存在固有频率, 基频不仅与系统结构有关, 还 与振幅及解的精度有关.
上述的讨论结果完全适用于大幅角单摆运动：
g g 3 l 6l
2
A3 x1 (cost cos3t ) 2 32
一级解的完整形式 基频
谐频
A 2 A3 x x0 x1 (1 ) A cost cos3t 2 2 32 32
0 (1
3 A2 4 0
12 ) 0 (1 2
3 A2 80
初始条件
(3)
线性方程
x(0) A
(0) 0 x
2
由x x0 x1 x2可得
x0 (0) A
x1 (0) 0 x2 (0) 0
0 (0) 0 x
1 (0) 0 x 2 (0) 0 x
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
2 x0 x0 0
3 2 2 2 a2 x0 x0 3x0 x1
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
2 x x0 0 (1) 0
齐次方程
x 1 x1 x0 a1 x0
2 3
2 2
(2)
非齐次方程
x 2 x2 3x0 x1 a1 x1 a2 x0
§4-2
一维非线性振动及其微分方程的近似解法
2.用小参数展开方法求解非线性自由振动问题
用迭代摄动法求解含立方项强非线性振动方程
用迭代摄动法求解含立方项强非线性振动方程
迭代摄动法是求解非线性振动方程的常用方法，在求解含立方项强非线性振动
方程中同样有广泛的应用。
这种方法在许多工业领域应用非常广泛，包括汽车引擎、航空航天、航天器调节系统以及船舶引擎等。
迭代摄动法是通过迭代来求解含立方项强非线性振动方程的有效方法，它的核
心思想是通过不断迭代，对各变量进行调整和更新，从而实现求解该方程的目的。
具体而言，它采用一种采样算法，利用不同的初始输入给定条件，通过一个累加过程，实现持续的输入改变，增加累积误差，以期更新函数的参数值，从而最终接近实际的解决方案。
经过上述迭代，即可求解出该含立方项强非线性振动方程的最优解。
这种方法
的关键是快速准确的迭代过程，而其次是注重迭代的准确性。
在迭代摄动法中，应用反射原理，使每一步迭代功能变得更强，以达到快速求解及最优解的目的。
另外，迭代摄动法在求解含立方项强非线性振动方程时，还能够通过智能化衍
生（intelligent derivation）算法等方法降低参照错误，使它们更好地适应这些不同场景下的变化，进一步提高求解的精确度。
总而言之，迭代摄动法作为求解含立方项强非线性振动方程的有效工具，具有
快速更新、参照误差小等优点，因而在许多工业领域有着广泛的应用。
各类非线性方程的解法
各类非线性方程的解法非线性方程是一类数学方程，其中包含了一个或多个非线性项。
求解非线性方程是数学研究中的重要问题之一，它在科学、工程和经济等领域具有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的非线性方程的解法。
1. 试-and-错误法试-and-错误法是求解非线性方程的最简单方法之一。
它基于逐步尝试的思路，通过不断试验不同的数值来逼近方程的解。
这种方法的缺点在于需要反复试验，效率较低，但对于简单的方程或近似解的求解是有效的。
2. 迭代法迭代法是一种常用的数值计算方法，可以用来求解非线性方程的近似解。
它的基本思想是通过迭代计算逐步逼近方程的解。
不同的迭代方法包括牛顿迭代法、弦截法和割线法等。
这些方法都是基于线性近似的原理，通过不断迭代计算来逼近解。
迭代法的优点是可以得到较为精确的解，适用于多种类型的非线性方程。
3. 数值优化方法数值优化方法是一种求解非线性方程的高级方法，它将问题转化为优化问题，并通过优化算法来寻找方程的最优解。
常用的数值优化方法包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些方法通过不断迭代调整变量的取值，以最小化目标函数，从而求解非线性方程。
数值优化方法的优点是可以处理复杂的非线性方程，并且具有较高的求解精度。
4. 特殊非线性方程的解法对于特殊的非线性方程，还可以使用特定的解法进行求解。
例如，对于二次方程可以使用公式法直接求解，对于三次方程可以使用卡尔达诺法等。
这些特殊解法适用于特定类型的非线性方程，并且具有快速和精确的求解能力。
综上所述，非线性方程的解法有试-and-错误法、迭代法、数值优化方法和特殊非线性方程的解法等。
根据具体的方程类型和求解要求，选择合适的方法进行求解，可以得到满意的结果。
非线性方程的求解方法
非线性方程的求解方法一、引言在数学领域中，非线性方程是指未知量与其对自身的各次幂、指数以及任意函数相乘或相加得到的方程。
求解非线性方程是数学中一个重要而又具有挑战性的问题。
本文将介绍几种常见的非线性方程求解方法。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种经典的非线性方程求解方法，它利用方程的切线逼近根的位置。
设f(x)为非线性方程，在初始点x0附近取切线方程y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)，令切线方程的值为0，则可得到切线方程的解为x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
三、二分法二分法是一种简单而又直观的非线性方程求解方法。
它利用了连续函数的中间值定理，即若f(a)和f(b)异号，则方程f(x)=0在[a, b]之间必有根。
根据中值定理，我们可以取中点c=(a+b)/2，然后比较f(a)和f(c)的符号，若同号，则根必然在右半区间，否则在左半区间。
重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
四、割线法割线法是一种基于切线逼近的非线性方程求解方法，它与牛顿迭代法相似。
由于牛顿迭代法需要求解导数，而割线法不需要。
设f(x)为非线性方程，在两个初始点x0和x1附近取一条直线，该直线通过点(x0,f(x0))和(x1, f(x1))，它的方程为y=f(x0)+(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)*(x-x0)，令直线方程的值为0，则可得到直线方程的解为x2 = x1 - (f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0))重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
五、试位法试位法是一种迭代逼近的非线性方程求解方法。
它利用了函数值的变化率来逼近根的位置。
设f(x)为非线性方程，选取两个初始点x0和x1，然后计算f(x0)和f(x1)的乘积，如果结果为正，则根位于另一侧，否则根位于另一侧。
然后再选取一个新的点作为下一个迭代点，直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
非线性振动
非线性振动的研究包括理论分析方法和数值分析方法。
其中理论分析方法有是沿着两个方向发展，第一是定性方法，第二是定量方法，也称为解析法。
定性方法是对方程解的存在性、唯一性、周期性和稳定性等的研究；定量方法是对方程解的具体表达形式、数量大小和解的数目等的研究。
数值方法目前已广泛用于计算非线性振动系统，是一种求解非线性方程的有效方法。
本文在查询相关文献的基础上，对非线性振动理论的分析方法最新研究成果做简要概括和分析比较。
1、平均法平均法是求解非线性振动最常见和最实用的近似方法之一。
其基本思想是设待解微分方程与派生方程具有相同形式的解，只是振幅和相位随时间缓慢变化。
将振幅和相位的导数用一个周期的平均值替代，得到平均化方程，求解平均化方程，得到振幅和相位的表达式，从而求解出原方程的近似解析解。
1.1利用平均法分析多自由度非线性振动平均法主要是用在单自由度非线性振动的分析中，是一种求近似解的方法，虽然精度较低，但可避免繁琐的中间运算，具有便于应用的突出优点。
将其推广的到多自由度系统，导出了平均化方程，由此能够得到多自由度非线性振动的幅频特性。
1.2用改进平均法求解自由衰减振动用平均法求解自由衰减振动方程时，无论是线性阻尼还是平方阻尼，在阻尼常量很小的情况下，平均法解均有较高的精度。
但随阻尼常量的增加，阻尼对振动周期的影响已不能忽略，此时平均法解的结果与实际振动情况有了明显的偏离，需要改进。
改进平均法是将待解微分方程的圆频率与派生方程圆频率的差异函数表示为阻尼系数的多项式。
2、FFT多谐波平衡法分析非线性系统非线性动力系统的响应可能含有几个主导频率，且有可能与激振频率不成倍数关系。
现有的单一谐波法和多谐波法仅限于系统响应主导频率为激振频率的非线性系统，因此在某些情况下使用单一谐波法或多谐波法研究非线性系统动力学特性是不可靠的，而基于快速傅立叶变换（FFT）和主导频率的 FFT 多谐波平衡法能够依据所有的主导频率构筑多谐波平衡方程，因此其解析解精确度高，并能广泛适用于单倍周期、多倍周期、与初始条件有关的多解性及拟周期响应等典型的非线性特征响应。
机械振动第10章-非线性振动初步
2. 杜芬方程
杜芬方程
• 数学上将含有 x3三次项的二阶方程称为Duffing方程。有驱动力方程为：
d2x dt2
dx dt
x
x3
F
cos t
实验中系数 由磁铁的吸力调整。
弱磁吸力时 ，
强磁吸力时 。 0 0
例：弱非线性单摆属Duffing方程：
d2x 取： dt2
dx dt
02 sin x 得：
2.平衡点[ ]为 单0 摆倒置点（鞍点），附近相轨线双曲线；
3.从[ ]到 0[
]或 相 反 0的连线为分界线
在分界线内的轨线是闭合回线 单摆作周期振动。分界线以外 单摆能量E 超过势能曲线的极 大值，轨道就不再闭合，单摆 作向左或向右方向的旋转运动
3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
柱面上的单摆相轨线
当E >0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能
量E 相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个平面的同心圆[或椭圆]。
同一圆周[或椭圆]上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标原点是能量E =0
的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的静止平衡点为‘椭圆点’。
2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点
2. ，0原点为不动点，平面任一点都趋于原点，是整个相平面吸引子。 3. ，0原点是鞍点，坐标( x )处两不动点，是吸引子。整个相平面被分
隔成两个区域，不同区的相点分别流向这两个不动点。
0
0
3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程
非线性阻尼振子
• 小角度单摆方程
d 2
dt2
2
d
dt
02
0
阻尼项系数 2 常数。一个可变非线性阻尼的微分方程：
大学物理非线性振动讲解
f=1.35,相轨迹又呈现比较简单分布, 恢复单倍周期状态,但此 时单摆并非作来回振动,而是作单向的旋转;
f =1.45,单摆运动出现2倍的周期,作单向旋转;
f=1.47,单摆出现4倍的周期,作单向旋转; f=1.50, 又出现貌似无规则的运动,但比 f=1.15,时更为混乱.
说明鞍点是不稳定的平衡点，
因为与之相连的四条相轨迹中
两条指向它，两条背离它，而
附近相轨迹呈双曲线状．
Ep
o
d
dt
o
势能曲线、相图、鞍点
假定存在阻尼和驱动力，让摆作受迫振动．这样一来， 双曲点就成了敏感区．能量稍大，单摆就会越过势垒的 顶峰，跨到它的另一侧；能量稍小，则为势垒所阻，滑 回原来的一侧单摆向回摆动。
g 4 2 64 2
式中θm是最大角位移，即单摆振动的角摆幅。
当m 时，T→∞，T/T’随摆幅θm变化关系如图所示。
可见单摆的周期是一个向无
穷大发展的非线性变化。
T T
单摆线性振动的相图
d2 g sin
2
dt 2 L
1
两边积分得
( d
dt
)2
2
2
C1
即
(d dt)2
§8.3 非线性振动
一、非线性振动系统
由非线性微分方程所描述的振动，称其为非线性振动。
下面以单摆做自由振动为例进行分析
单摆的线性振动
d2
mL dt 2
mg sin
d 2
dt 2
g sin
L
将sinθ按泰勒级数展开可得
非线性振动方程多重解求解方法
非线性振动方程多重解求解方法钱征文;程礼;陈卫;李应红【摘要】The initial iterative value is difficult to choose when there are multiple periodic solutions in solving nonlinear vibration equations. Moreover, the simple iterative solving process of conventional approaches is inefficient to track periodic solutions under different external excitations. For these two problems, the homotopy method was employed so that the initial iterative value could be chosed easily. The solution curve varying with external excitation was tracked with the predict-correct method. Both the stable and unstable periodic solutions could be calculated by using this method. The feasibility of the method was verified through calculating a Duffing oscillator equation. It was shown that the simulation results using this method agree well with the theoretical approximate ones and the numerical ones using Rung-Kuta method.%非线性振动方程多重解的求解过程中,迭代初值难以有效确定,不稳定周期解收敛域很小,利用通常的微分方程解法无法直接求解.针对这个问题,引入同伦算法,使得初始值的选取无任何限制;同时利用预测-校正算法对外激励参数变化下的解曲线进行追踪,得到系统的多重解.该方法不但可以计算稳定的周期解,而且不稳定的周期解也可以求出.采用Duffing振子运动方程对该方法进行了计算验证,通过与理论近似解以及龙格-库塔法计算结果的对比,验证了该方法的有效性.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2011(030)010【总页数】5页(P14-18)【关键词】非线性;振动;多重解;谐波平衡法;预测-校正算法;同伦算法【作者】钱征文;程礼;陈卫;李应红【作者单位】空军工程大学工程学院,西安710038;空军工程大学工程学院,西安710038;空军工程大学工程学院,西安710038;空军工程大学工程学院,西安710038【正文语种】中文【中图分类】O322非线性振动分析中一个重要方面是研究系统的周期解及其稳定性。
机械振动第6章非线性振动
F (t ) f1 n cos(n t ) f 2 n sin(n t )
其中,
1 T /2 f1 n T / 2 F (t ) cos (n t ) d t T 1 T /2 f 2 n T / 2 F (t ) sin (n t ) d t T
n 1
2 T
d d ml 2 l mg sin F cos t dt dt
2
●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。
结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件 下，其解可能具有不可预测的随机性。
第5章 非线性振动
5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
定性分析方法讨论振动系统在奇点（平衡位置） 附近的运动稳定性，它不需要求解系统的动力学微 分方程。但定性分析方法的研究对象主要限于自治 系统，而且不能定量地计算系统运动的时间历程，
第五章 非线性系统的振动
5.1 非线性振动概述
5.2 非线性振动问题的主要特点 5.3 非线性振动问题的研究方法 5.4 分叉与混沌的概念
王卫滨
5.1 非线性振动概述
不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动。恢复力与位移不成 正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。 工程技术与自然界中的振动问题及现象，绝大多数属于非线性的，线 性振动系统往往是对非线性系统进行性 恢复力
非线性 激振力
5.2 非线性振动问题的主要特点
• (1) 非线性振动系统的频率与系统响应的振幅和初始条件有关
线性振动系统的振动周期不随振幅大小而变化
(2) 对于非线性振动系统,叠加原理不适用
• 对于线性微分方程
• 对于非线性系统
d n x1 x2 d n x1 d n x2 n n dt dt dt n
非线性振动系统的动力学建模与分析
非线性振动系统的动力学建模与分析引言：振动现象在自然界和工程领域中普遍存在，因此对振动的研究具有重要意义。
线性振动系统的动力学研究已经相对成熟，但实际中许多振动系统的运动规律无法用线性模型描述，即非线性振动系统。
本文将讨论非线性振动系统的动力学建模方法和分析技术。
一、非线性振动系统的动力学方程非线性振动系统的运动方程一般可以表达为：m \frac{{d^2x}}{{dt^2}} + c \frac{{dx}}{{dt}} + kx = F(x,\frac{{dx}}{{dt}})其中，m是系统的质量，c是阻尼系数，k是刚度系数，F(x, dx/dt)表示非线性力的函数关系。
非线性力的引入导致了系统的非线性行为，因此对非线性振动系统的分析与线性振动系统有所差异。
二、非线性振动系统的建模方法1. 数值模拟法：对于复杂的非线性振动系统，可以使用数值模拟方法求解。
通过离散化系统的运动方程，利用数值算法（如Runge-Kutta 法）进行求解，可以得到系统的时间-位移曲线和相图等信息。
数值模拟方法适用于复杂的非线性系统，但需要考虑计算复杂度和收敛性等问题。
2. 经验计算法：一些简单的非线性振动系统可以使用经验计算法进行建模和分析。
例如，对于像弹簧质量系统一样的简单非线性振动系统，可以通过适当的近似和经验公式来求解系统的运动方程和稳定解。
经验计算法的优势在于简单直观，但适用范围有限。
三、非线性振动系统的分析技术1. 频域分析：频域分析是非线性振动系统研究中常用的一种方法。
通过将非线性运动方程转化为频域表达，可以得到系统的频率响应和频谱分析等信息。
常见的频域分析方法有Fourier变换和功率谱密度分析等。
2. 相空间分析：相空间分析是非线性动力学研究的重要工具。
通过将系统的状态变量表示为相空间中的点，可以直观地观察系统的轨迹和稳定解。
相空间分析方法包括Poincaré映射、Lyapunov指数等。
3. 非线性模态分析：非线性振动系统的模态分析是对系统振动特征的研究。
非线性方程组的解法精选全文
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非线性方程组的解法
非线性方程组的解法包括：
（1）近似法。
近似法是根据所给非线性方程组，使用一定的数值方法，建立非线性方程组结果的拟合曲线，以此求解非线性方程组的常用方法，目前有贝塔、拉格朗日近似法和微分近似法等。
（2）多元分割法。
多元分割法根据非线性方程组的参数和变量空间，
将整个运算范围分割成多余小区间，利用各区间中只含有一个未知变
量的简单方程组，将非线性方程组转换成多个一元方程组，再用一次法、弦截法和二分法等算法求解，最终得出整个非线性方程组的解。
（3）迭代映射法。
迭代映射法是通过给定一个初始值，然后利用迭代，反复运算，最终达到收敛点的一种方法，主要包括牛顿法、收敛法、
弦截法、松弛法和隐函数法等。
（4）最小二乘法。
最小二乘法是将非线性方程组表示为残差函数，然
后求解残差函数最小值，获得未知变量的最优解，常用于数值分析中。
（5）特征法。
特征法是采用将非线性方程组表示为线性方程组特征值
和它们关于某一特征量的关系式，利用梯度下降法，最小化残差函数，求解非线性方程组的方法。
以上是非线性方程组的解法的简单综述，它们在一定程度上增加了解
决非线性方程组的效率，但并非所有情况都能使用以上求解方法。
正
确使用相应的求解方法就可以有效的求解非线性方程组，以便更好的
解决实际问题。
解非线性方程
解非线性方程解非线性方程是数学中的一个常见问题，它的解决方法涵盖了多种数值和符号计算技术。
本文将讨论几种常见的解非线性方程的方法，并对其优缺点进行评估。
同时，还将给出一些实际问题，并通过求解相关的非线性方程来解决它们。
在数学中，非线性方程是指未知数的幂或次幂的函数与未知数的线性变换之和（或差）相等的方程。
它的求解相对于线性方程来说更加困难，因为非线性方程通常没有解析解。
所以我们需要使用一些数值计算方法来近似求解这类方程。
一、数值方法常见的数值方法包括二分法、牛顿法和割线法。
1. 二分法二分法是一种迭代逼近方法，适用于单峰函数的求解。
它的基本思想是通过计算方程在一个区间内的函数值的正负来确定方程在该区间内是否存在根，并将区间不断地缩小，直到得到满足精度要求的根。
2. 牛顿法牛顿法是一种迭代逼近方法，适用于光滑函数的求解。
它的基本思想是通过利用函数的局部线性近似来逼近方程的根。
具体步骤是：选择一个初始近似解，计算该近似解处的斜率（导数），然后使用切线与坐标轴的交点作为新的近似解，并不断迭代，直到满足精度要求。
3. 割线法割线法是一种迭代逼近方法，它是对牛顿法的改进。
与牛顿法使用切线逼近方程的根不同，割线法使用两个近似解之间的直线来逼近方程的根。
具体步骤是：选择两个初始近似解，计算这两个近似解处函数值，然后利用割线与坐标轴的交点作为新的近似解，并不断迭代，直到满足精度要求。
二、符号计算方法符号计算方法主要包括代数解法和近似解法。
1. 代数解法代数解法是通过对方程进行变形和化简，利用代数运算和等式的性质来求解方程。
它适用于存在特定形式解的方程，例如二次方程和三次方程。
通过代数解法求解，可以得到方程的解析解。
2. 近似解法近似解法是通过对方程进行近似处理，将非线性方程转化为线性方程或更简单的非线性方程，然后利用线性方程或简单非线性方程的解法来求解。
近似解法常用的方法有级数展开法、迭代法和离散化方法等。
通过上述的数值和符号计算方法，我们可以解决各种非线性方程的求解问题。
非线性方程解法
运动,
+ g θ = g θ 3 θ l 6l
2 取 x = θ , ω 0 = g l , ε = g 6l 即 可 , 所以 本 节 的 结果
完全 适 用 于大幅 角 单 摆 运 动 , 可 用 来研究其 周 期 与幅角的近似关系.
由于 ε 是小量, 上式右端各项为不同量级的项, 分别称零级项、 一级项、 二级项，……后一级比 前 一级小很 多 , 这 样 我们可 以逐 级求近似 , 求解 可 精 确 到任 一级 , 这种求解方法 称 为微 扰 法 ( 或 摄动法). 微扰法是非线性物理中常用的近似方法, 它适用于弱非线性情况. 其次, 假设振动频率也需要在固有频率 ω 基础 上逐级修正 (表为小量 ε 的级数形式)
( x1 + x 2 ) 2 = x1 ⋅ x1 + 2 x1 ⋅ x 2 + x 2 ⋅ x 2
等号右 端第 二项不可 能由 原来的 运 动 叠加得 出 , 它表征由两个解相互作用产生的新的现象. 二、用小参数展开方法求解非线性自由振动问题 非线性 自由 振动是指 质点 不 受 阻尼力和驱动 力的 作用 , 仅受 非线性恢复力 作用 产生 的振动 , 例 如 , 弹簧 振 子 在振动幅 度 较大时 需要 考虑弹 性 力展开中三次方项, 此时振动方程为
εA 2 ε 2 A4 x = (1 + − ) A cos ω t 32 ω 2 1024 ω 4
εA 2 ε 2 A4 −( ) A cos 3ω t + ( ) A cos 5ω t 2 4 32 ω 1024 ω
ω ≈ ω 0 (1 − ε
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2
+ε
2
3A4 256ω 0
4
用IHBT法进行非线性振动方程的参数研究
用IHBT法进行非线性振动方程的参数研究
詹胜;刘世龄
【期刊名称】《振动工程学报》
【年(卷),期】1997(010)003
【摘要】用ＩＨＢＴ法研究了耦合Ｖａｎｄｅｒｐｏｌ振子和Ｌｉｅｎａｒｄ微分方程的参数，取得了很好的结果，包括解图、分叉点、时程曲线及极限环等。
【总页数】8页(P321-328)
【作者】詹胜;刘世龄
【作者单位】中山大学应用力学与工程系;香港理工大学土木结构工程系
【正文语种】中文
【中图分类】O322
【相关文献】
1.应用麦夸特法进行非线性拟合二室模型参数时阻尼因子对结果的影响 [J], 丁汀
2.求解强非线性振动方程的加权余量递推法 [J], 刘延彬;姜媛媛
3.无小参数非线性振动方程的近似方法 [J], 何吉欢
4.非线性振动IHBT法的新算法 [J], 刘世龄;詹胜
5.一种改进的KBM法求解非线性振动方程 [J], 王磊佳;张鹄志;胡辉;祝明桥
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控制系统中的非线性振动分析与控制
控制系统中的非线性振动分析与控制在控制系统中，振动分析和控制是研究重要的领域。
随着科学技术的不断发展，非线性振动的存在和影响越来越被人们所重视。
非线性振动在工程和自然界中都普遍存在，如结构工程中的桥梁震动、电力设备中的振动、飞行器中的摆动等。
因此，了解非线性振动的特性，并能控制和减小其产生的影响具有重要意义。
1. 振动的基本概念振动是物体在时间和空间上周期性地来回摆动或波动的运动形式。
通常，振动可以分为线性和非线性振动。
1.1 线性振动线性振动是指物体在受到恢复力作用下，运动状态可由简谐运动方程描述的振动。
线性振动的特点是具有周期性、均匀性和超叠加性。
1.2 非线性振动非线性振动是由于振动系统的非线性特性而产生的振动。
与线性振动不同，非线性振动的振幅和频率不再呈现简单的周期性规律，而是可能存在多个频率分量和不同的周期。
2. 非线性振动的分析方法非线性振动的分析方法主要包括数值方法和解析方法。
2.1 数值方法数值方法是通过计算机模拟和数值计算来分析非线性振动。
常见的数值方法有有限元法、辛方法和降阶方法等。
这些方法能够有效地求解非线性振动的方程，并通过模拟振动系统的行为来研究和分析非线性振动的特性。
2.2 解析方法解析方法是通过数学分析来求解非线性振动的方程。
常用的解析方法有多尺度方法、Poincaré-Birkhoff定理和近似解析法等。
这些方法通过将非线性振动转化为一系列简单的线性振动问题进行分析，从而得到非线性振动的解析解。
3. 非线性振动控制的方法非线性振动控制旨在减小或消除非线性振动的不良影响。
常见的非线性振动控制方法包括被动控制和主动控制。
3.1 被动控制被动控制是指通过结构设计和材料选择等方法来减小非线性振动的影响。
常用的被动控制手段有阻尼器、隔振器和刚度调节器等。
这些控制手段能够通过改变结构的动力特性来减小非线性振动的幅值和频率。
3.2 主动控制主动控制是指通过激励和反馈控制等方法主动干预非线性振动系统，以实现对振动的控制。
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非线 性振 动分 析 中一个 重 要 方 面是 研 究 系 统 的周
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证 了该 方 法 的有 效 性 。 ‘ 文 献 标 识 码 ：Ａ
关键词 ：非线性 ； 振动 ； 多重解 ； 谐波平衡法 ； 预测 一 正算 法 ； 校 同伦算法
中 图分 类号 ：０ ２ ３２
Ａ ｅ ｓ ｌ ｉ ｅ ｈ ｄ ｆ ｒ ｍ ｕ ｔｐ ｅ ｓ ｌ ｉ ｎ ｏ ｎｏ ｌｎ ａ ｉ ａ ｉ ｎ ｅ ｕａ ｉ ｎ ｎ ｗ ｏ ｖ ｎｇ ｍ ｔ ｏ ｏ ｌｉ ｌ ｏ ｕｔｏ ｓ ｔ ｎ ｉ ｅ ｒ ｖ ｂｒ ｔｏ ｑ ｔｏ ｓ
振
动
与
冲
击
第３ ０卷第 ｌ Ｏ期
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＶＩ ＢＲＡＴ ＯＮ ＡＮＤ ＨＯＣ Ｉ Ｓ Ｋ
非 线 性 振 动 方 程 多 重 解 求 解 方 法
钱 征文 ，程 礼 ，陈 卫 ，李应红
７０３ ） １０ ８
（ 军工 程大学 工程学 院， 空 西安
摘 要 ：非线性振动方程多重解的求解过程中， 迭代初值难以有效确定， 不稳定周期解收敛域很小， 利用通常的微
分方程解法无法直接求解 。针对这个 问题 ， 引入 同伦算法 ， 使得 初始值的选取无任何限制 ； 同时利用 预测 一校正算法对外 激励参数变 化下 的解 曲线 进行 追踪 ， 得到 系统 的多重解 。该方 法不但可 以计算稳定 的周期解 ， 而且不稳 定 的周期 解也可
以求 出。采用 Ｄ ｆｎ ｕｆ ｇ振子运 动方程对 该方法进行 了计算验证 ， ｉ 通过 与理论近似解以及龙格 一库塔法计算 结果 的对 比， 验