直线与平面所成的角(课堂PPT)
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人教A版必修第二册直线与平面所成的角、直线与平面垂直的性质定理 课件(42张)
所以点 A 到平面 PBC 的距离为31313.
栏目 导引
第八章 立体几何初步
从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是 这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出 时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距 离的点作垂线，然后计算，也可以利用等换法转换求解．
栏目 导引
解析：(1)由已知知∠A1BA 为 A1B 与平面 ABCD 所成的角，∠A1BA＝45°. (2)连接 A1D，AD1，BC1，交点为 O，则易证 A1D⊥平面 ABC1D1，所以 A1B 在平面 ABC1D1 内的射影为 OB， 所以 A1B 与平面 ABC1D1 所成的角为∠A1BO， 因为 A1O＝12A1B，所以∠A1BO＝30°.
栏目 导引
第八章 立体几何初步
在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， (1)直线 A1B 与平面 ABCD 所成的角是________； (2)直线 A1B 与平面 ABC1D1 所成的角是________； (3)直线 A1B 与平面 AB1C1D 所成的角是________．
栏目 导引
第八章 立体几何初步
线面垂直的性质定理解决有
关的垂直问题
第八章 立体几何初步
问题导学 预习教材 P151－P155 的内容，思考以下问题： 1．直线与平面所成的角的定义是什么？ 2．直线与平面所成的角的范围是什么？ 3．直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？ 4．如何求直线到平面的距离？ 5．如何求两个平行平面间的距离？
在这个平面上的__射__影____．平面的一条斜线和它在平面上的射 影所成的____角____，叫做这条直线和这个平面所成的角．
栏目 导引第八章 立体几何初步(2)规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是 90°；一条直线 和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是 0°. (3)范围：直线与平面所成的角 θ 的取值范围是__0_°__≤__θ_≤__9_0_°____．
《线面角以及面面垂直的判定定理》PPT
M
A
B
1 点 D 为线段 AB 上一点,且 AD DB ,点 C 为圆 O 上一点, 3
且 BC 3 AC .点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D, PD DB (1)求证:CD⊥平面 PAB; (2)求直线 PC 与平面 PAB 所成的角.
平面与平面垂直的判定
自主学习
• 预习P69 • 面面垂直的判定定理 • 关键是什么？ • 如何转化面面垂直问题？
• 1、直线与平面所成角 • 2、面面垂直的判定定理
l
复习
m
P
m , l m l
la l b a l b a b P
• 线面垂直定义 • 线面垂直的判定定理
线线垂直
判定定理 定义
线面垂直
问题提出
前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直 线与平面不垂直时情况怎么样呢？
[0,90 ]
0
例1 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. （1）求直线 A1B 和平面ABCD所成的角；
（2）求直线 A1B 和平面A1B1CD所成的角.
D1 C1
B1
线面角问题， A1 关键是找面 的垂线。 转化成线面 垂直问题！
O
C
D B
A
例 2（P27 例 3) 如图所示 ,已知 AB 为圆 O 的直径 ,且 AB=4,
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 垂线，则这两个平面垂直．
a a
β
a
α
A
证明面面垂直的关键是什么？ 即证明线面垂直。 要证线面垂直， 由线面垂直的判定定理知， 只需证线线垂直！
线线垂直 线面垂直 面面垂直
例
A
B
1 点 D 为线段 AB 上一点,且 AD DB ,点 C 为圆 O 上一点, 3
且 BC 3 AC .点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D, PD DB (1)求证:CD⊥平面 PAB; (2)求直线 PC 与平面 PAB 所成的角.
平面与平面垂直的判定
自主学习
• 预习P69 • 面面垂直的判定定理 • 关键是什么？ • 如何转化面面垂直问题？
• 1、直线与平面所成角 • 2、面面垂直的判定定理
l
复习
m
P
m , l m l
la l b a l b a b P
• 线面垂直定义 • 线面垂直的判定定理
线线垂直
判定定理 定义
线面垂直
问题提出
前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直 线与平面不垂直时情况怎么样呢？
[0,90 ]
0
例1 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. （1）求直线 A1B 和平面ABCD所成的角；
（2）求直线 A1B 和平面A1B1CD所成的角.
D1 C1
B1
线面角问题， A1 关键是找面 的垂线。 转化成线面 垂直问题！
O
C
D B
A
例 2（P27 例 3) 如图所示 ,已知 AB 为圆 O 的直径 ,且 AB=4,
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 垂线，则这两个平面垂直．
a a
β
a
α
A
证明面面垂直的关键是什么？ 即证明线面垂直。 要证线面垂直， 由线面垂直的判定定理知， 只需证线线垂直！
线线垂直 线面垂直 面面垂直
例
线面角的三种求法课堂ppt课件
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
直接法
平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的 角即为直线与平面所成的角。通常是解由 斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所 组成的直角三角形，垂线段是其中最重要 的元素，它可以起到联系各线段的作用。
利用公式sinθ=h／ι
其中θ是斜线与平面所成的角， h是 垂线段 的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的 长（即斜线上的点到面的距离）既是关键 又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来 求垂线段的长。
3
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
例3. 已知直线OA,OB,OC 两两 所成的角为60°, 求直线OA 与 面OBC 所成的角的余弦值。来自ABα
O
D
C
解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知
∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC ∴cos60° =cos∠AOD·cos30°∴ cos∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC所成的角的余弦值为√3／3。
sinθ=h／AB=4／5
∴AB与面AB1C1D 所成的角为arcsin 4／5
4
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2
若 OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面α内的 射影，OC为面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的
直接法
平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的 角即为直线与平面所成的角。通常是解由 斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所 组成的直角三角形，垂线段是其中最重要 的元素，它可以起到联系各线段的作用。
利用公式sinθ=h／ι
其中θ是斜线与平面所成的角， h是 垂线段 的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的 长（即斜线上的点到面的距离）既是关键 又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来 求垂线段的长。
3
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
例3. 已知直线OA,OB,OC 两两 所成的角为60°, 求直线OA 与 面OBC 所成的角的余弦值。来自ABα
O
D
C
解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知
∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC ∴cos60° =cos∠AOD·cos30°∴ cos∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC所成的角的余弦值为√3／3。
sinθ=h／AB=4／5
∴AB与面AB1C1D 所成的角为arcsin 4／5
4
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2
若 OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面α内的 射影，OC为面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的
语文版(2021)中职数学拓展模块一《直线与平面所成的角》课件
∵ DD'⟂面ABCD,
A
∴ 连接DB，则DB是D'B' 在底面ABCD的射影，DD'⟂DB.
在直角△BDD'中,
’ ’
2
tan∠DBD'= =
= .
2’ 2
C
D
B
巩固练习
1.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影;
（2）AB1在面A1B1CD中的射影;
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
90o
D1
C1
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
A1
B1
D
A
C
B
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角
D1
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
第
六
单元 立体几何
6.3.2 直线与平面所成的角
直线与平面所成的角
1
情景引入
2 新知探究
直线与平面
3 典型例题
所成的角
4 归纳小结
5 布置作业
情景引入
在如图所示的足球门中，
三条直线DA, DC, GF与
水平地面的倾斜程度是有
区别的.为了准确地刻画
直线与平面倾斜程度的大
小，我们引入直线与平面
所成的角的概念.
A1
o
45
C1
B1
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
C
B
归纳小结
1.本节课你学习了哪些内容？
A
∴ 连接DB，则DB是D'B' 在底面ABCD的射影，DD'⟂DB.
在直角△BDD'中,
’ ’
2
tan∠DBD'= =
= .
2’ 2
C
D
B
巩固练习
1.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影;
（2）AB1在面A1B1CD中的射影;
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
90o
D1
C1
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
A1
B1
D
A
C
B
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角
D1
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
第
六
单元 立体几何
6.3.2 直线与平面所成的角
直线与平面所成的角
1
情景引入
2 新知探究
直线与平面
3 典型例题
所成的角
4 归纳小结
5 布置作业
情景引入
在如图所示的足球门中，
三条直线DA, DC, GF与
水平地面的倾斜程度是有
区别的.为了准确地刻画
直线与平面倾斜程度的大
小，我们引入直线与平面
所成的角的概念.
A1
o
45
C1
B1
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
C
B
归纳小结
1.本节课你学习了哪些内容？
《直线与平面的夹角》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教】
知识梳理
题型一 用定义求线面角
【例1】在正四面体ABCD中，E为棱AD中点，连CE，求CE和平面BCD所成角 的正弦值． [思路探索] 可作出线面角，在三角形中解出．
解 如图，过A、E分别作AO⊥平面BCD， EG⊥平面BCD，O、G为垂足． ∴AO＝2GE，AO、GE确定平面AOD，连结 GC，则∠ECG为CE和平面BCD所成的角．
知识梳理
【例 3】(12 分)如图所示，正三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面边长为 a，侧棱 长为 2a，求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成角的正弦值．
审题指导 建立坐标系，用 sin θ＝|cosφ|＝求线面角．
知识梳理
【题后反思】 (1)用向量法可避开找角的困难，但计算繁琐，所以注意 计算上不要失误． (2)在求已知平面的法向量时，若图中有垂直于平面的直线时，可直接 确定法向量；当图中没有垂直于平面的直线时，可设出平面法向量的 坐标，用解不定方程组的方法来确定法向量．
知识梳理
公式cos θ＝cos θ 1 ·cos θ 2的理解 由0≤cos θ 2 ≤1，∴cos θ≤cos θ 1 ，从而θ1≤θ.在公式中，令θ 2 ＝90°，则cos θ＝cos θ 1 ·cos 90°＝0. ∴θ＝90°，即当AC⊥BC时，AC⊥AO. 此即三垂线定理，反之若θ＝90°，可知θ2＝90°，即为三垂线定理的逆 定理，即三垂线定理及逆定理可看成此公式的特例．
知识梳理
∵M 为 DC 的中点，∴CM＝12a
∴BM＝
a42＋a2＝
5 2a
又 ME＝12PD＝12a，∴BE＝ 54a2＋14a2＝ 26a
知识梳理
∴在 Rt△BME 中
cos∠MBE＝BBME ＝
直线与平面的夹角ppt课件
| CD n |
| a |
1
，又
| CD || n |
2a 2 2 2
)
ABC
6.（多选）已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E，F 分别为 A1 D1 ，CC1 的中点，则(
A.直线 BE 与 B1 F 所成角为 90
B.直线 B1C 与 C1 D 所成角为 60
即
′
′
′
′
′
与平面
′
′
′
=2
′
，
中，sin ∠
′
′
=
是一个锐角，所以 ∠
′
′
1
2
′
′
所成角的大小为
=
，
π
6
π
6
，
.
1.在空间直角坐标系中，直线 l 的一个方向向量为 m (1, 0,3) ，平面 的一个
A)
法向量为 n (1, 5, 2) ，则直线 l 与平面 所成的角为(
A.
π
2
2
2ay 0,
n CA 0 ， n AP 0 ， a
可取 n (1, 0,1) .设直线 CD 与平面
a
2 x ay 2 z 0,
PAC 的夹角为 ，则 sin | cosCD, n |
0 90 ， 30 .故选 C.
.
设平面
则
′
⋅
′
⋅
′
′
=
′
的一个法向量为
− = 0,
=−
′
′
= 1，可得
=
(0,1,1)
.
= 0,
高教版中职数学(基础模块)下册9.3《直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角》ppt课件1
动脑思考 探索新知
如图所示，PA ，线段PA叫做垂线段，垂足A叫做点P在平面 内的射影．
直线PB与平面 相交但不垂直，则称直线PB与平面 斜交，直线PB叫做 平面 的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．点P与斜足B之间的线段叫做点P
到这个平面的斜线段． 过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影．
如果在直线AB上任选点P，那么过点P分别作直线 BC1与直线AD 的平行线，它们所成的角是否与 CBC1相等？
9．3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角
动脑思考 探索新知
两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角． 经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交 直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．
.
9．3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角
自我反思 目标检测
在正方体 AC1中，求平面 ABC1D1与平面 ABCD 所成的二面角的大小．
45．
9．3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角
继续探索 活动探究
读书部分：阅读教材相关章节
作业
书面作业：教材习题9.2 A组（必做）
教材习题9.2 B组（选做）
如图所示，直线AB是斜线PB在平面 内的射影．
从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段， 垂线段最短．因此，将从平面外一点P到平面 的 垂线段的长叫做点P到平面 的距离．
9．3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角
创设情境 兴趣导入
如图所示，炮兵在发射炮弹时，为了击中目标，需要调整好 炮筒与地面的角度．
9．3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角
运用知识 强化练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，求二面角 A DD1 B 的大小.
8-6-2直线与平面所成角(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第二册
当堂体验训练
思考题3 (1)判断下列说法是否正确：①斜 线与平面所成角的范围是[0°，90°]；(
)②×两条斜线与同一平面所成的角相等，则两
斜线平行；( )③直线与平面内两条直线
都垂直，则此×直线垂直于该平面；( )④
当直线与平面无公共点时，直线与平面所成
的角是0°.( ) ×
√
当堂体验训练
(2)若l是平面α的斜线，n是平面α的垂线，
D A
C1 B1
C B
质疑展示点津
直线和平面所成的角： [0,90 ]
1) l 或l // 0
2) l
90
3) l 是平面的一斜线 (0 ,90 )
即l与它在平面内的射影的夹角
关键在于作线面垂直找射影
当堂体验训练
【多选题】下列命题中正确的是( ACD)A．已知一 条直线与一个平面所成的角为90°,则这条直线与这 个平面内的所有直线所成的角都是90°B．已知一 条直线与一个平面所成的角为0°,则这条直线与这 个平面内的所有直线所成的角都是0°C．已知一条 直线是一个平面的斜线，则这条直线与这个平面内 不过斜足的所有直线所成的角中最大的角是90°的 角D．已知一条直线与一个平面内的所有直线所成 的角中最小的一个是30°,则这一直线与这个平面所 成的角是30°
8.6.2 直线与平面所成角
复习回顾
线面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号语言：
l
m
nmn lm ຫໍສະໝຸດ npl线线垂直
n
m
P
线面垂直
自主建构学习 直线和平面所成角
1.斜线: 和平面相交，但不垂直的直线叫做 平面的斜线。
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• (1)求证： AF ⊥平面CDE
• (2)求证： AF ∥平面BCE E
• (3)求直线BF和平面BCE所
• 成角的正切值。
B
A
C
F
D
15
• 练习2、已知BA ⊥平面ACD, ED⊥平面 ACD ，△ACD为等边三角形， AD=DE=2AB, F为CD中点，
• (1)求证： AF ⊥平面CDE
3.两条异面直线在同一个平面内的射影可能 是哪些图形？
两条平行直线或两条相交直线 或一条直线和线外一点
12
• 练习1、三棱锥P-ABC中， PA⊥底面 ABC ，PA=AB，∠ABC=60°, ∠BCA=90°,D为PB中点 ，
• （1）求证：BC ⊥平面PAC
• （2）求直线AD与平面PAC所成角的正弦
B
• 所成角的正切值。
G
A
C
F
D
17
• 练习2、已知BA ⊥平面ACD, ED⊥平面 ACD ，△ACD为等边三角形， AD=DE=2AB, F为CD中点，(1)求证： AF ⊥平面CDE
• (2)求证： AF ∥平面BCE E
• (3)求直线BF和平面BCE
• 所成角的正切值。
B
G A
C
F
D
18
D1 A1
C1 B1
O
C D
A
B
21
• (2)求证： AF ∥平面BCE
• (3)求直线BF和平面BCE所成角 E
的正切值。
B
A
16
C
F
D
• 练习2、已知BA ⊥平面ACD, ED⊥平面 ACD ，△ACD为等边三角形， AD=DE=2AB, F为CD中点，
• (1)求证： AF ⊥平面CDE
• (2)求证： AF ∥平面BCE
E
• (3)求直线BF和平面BCE
P
P
D’
D
C
D
C
A
BA
B
10
思考1
两条平行直线与同一个平面所成的角的 大小关系如何？反之成立吗？一条直线与 两个平行平面所成的角的大小关系如何？
11
思考2
1.两条平行直线在同一个平面内的射影可能
是哪些图形？ 两条平行线或一条直线或两个点
2.两条相交直线在同一个平面内的射影可能
是哪些图形？ 两条相交直线或一条直线
值。
P
D
A
B
C
13
• 练习1、三棱锥P-ABC中， PA⊥底面 ABC ，PA=AB，∠ABC=60°, ∠BCA=90°,D为PB中点 ，
• （1）求证：BC ⊥平面PAC
• （2）求直线AD与平面PAC所成角的正弦
值。
P
D
D’
A
B
C
14
• 练习2、已知BA ⊥平面ACD, ED⊥平面 ACD ，△ACD为等边三角形， AD=DE=2AB, F为CD中点，
8
例2 如图，AB为平面的一条斜线，B为斜足， AO⊥平面，垂足为O，直线BC在平面内，已知 ∠ABC=60°，OBC=45°，求斜线AB和平面α所 成的角.
A
B
O
D
α
C
9
• 例3、在底面为正方形的四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥ BC,三角形PCD为等边三角形
• (1)求证：BC⊥平面PCD • (2)求直线BD与平面PBC所成角的余弦值
直线与平面垂直的判定 --------第2课时
1
复习回顾： 直线和平面有哪几种位置关系？
直线在平面内 直线与平面平行
想 直线与平面相交 一 想
2
直线与平面相交
l
l
α
直线与平面垂直
α
斜交
直线与平面相交但 不垂直
3
线面角相关概念
平面的斜线
平面的垂线
斜足A
P
l
垂足B
αA B
斜线PA在平面内的射影
斜线PA与平面所成的角为PAB
45°
D' A'
C' B'
D A
C B
6
例1 正方体ABCD-A’B’C’D’中，
（2）直线A’B与平面ADD’A’所成角的大小
为 45°
D'
C'
A'
B'
D A
C B
7
例1 正方体ABCD-A’B’C’D’中，
（3）直线A’B与平面A’B’CD所成角的大小为
30°
D' A'
C' B'
O
D A
C B
小结
• 1、斜线与平面所成角的范围： 0o,90o
• 2、直线与平面所成角的范围： 0o,9o0
• 3、求线面角的步骤：
一找垂线 二找射影
三找角
四求角
19
作业
P67页练习第1题,P74页B组2题
20
在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求直线A1B和平面ABCD所成的角； （2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
4
直线与平面所成的角
1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的
射影所成的角 (0,900 )
2.平面的垂线与平面所成的角为直角 90 0
3. 一条直线与平面平行或在平面内，则这 条直线与平面所成的角为00角
一条直线与平面所成的角的取值范围是 [00,900]
5
例1 正方体ABCD-A’B’C’D’中， （1）直线A’B与平面ABCD所成角的大小为