Robin型非重叠区域分解法的收敛性-LSEC
服从OldroydB型微分模型的粘弹性流体问题的数值解法
一ｎ ｒ ｌ ｒｏ ｏ ｎ ｒ ｒ ｅ
Ｎｏ — ｏ ｅｌ ｐ ｉｇ Ｄｏ ｉ ｃ ｍｐ ｓｔ ｎ Ｐ ｏ ｅ ｕ ｎ ｖ ｒａ ｐ ｎ ｍａｎ Ｄｅ ｏ ｏ ｉ ｏ ｒ ｃ ｄ ｒ ｉ ｅ
Ｍｉｅ ｎｔ ｅ ｎ ｘ ｄ Ｆｉｉ Ｅｌｍｅ ｔ ｅ
１ 引言
７ ４
数学理论与应用
片多项式去逼近 ， 并且对于附加应力张量的对流项使用了 Ｌｓｉ — ａｉ ｔ ｅ ｎ Ｒ ｖ ｒ方法［ ，］ ａｔ ａ ４５ ．
本 文考虑 服从 ＯｄｏｄＢ型微分 模型 的粘 弹性 问题． ｌｒｙ 其模 型 的一般 形式 （ ｌｒｙ Ｏｄｏｄ问题 ） 为
‘ ｆ
，
从 上面 的定 义可 知 ， 限元 空 间 有
≤Ｋ ｌＩ ｌｌ≤Ｋ ～ｌｌ Ｖ Ｍ ． ｈ ｌ ｌ ｈ ｌｌ ∈．ｙ ， 。 ｘ，
中的 函数 在 厂上 有一 个 良定 义 的跳跃 ［ ］：
［］ ）＝ ）一 （ 一 ，Ｖｘ∈Ｆ， （ （ ｖｘ ）
其 中 ｖｘ ）ｉ ｉ （ （ ｌ ｍｖ ｘ＋Ａ，） ｔ１． ，
其 中 是 Ｒ 中边 界为 ａ 的开 区域 ， 有分段 一致 光滑 Ｌｐｃｉ 边界 ．模 型 （ ．） 关 于 区域 力 具 ｉｓｈｔ ｚ １ １是
一
周期的． １ １ 中， 在（ ． ） 是流速矢量 ， ， 是给定的已知函数 ； 。 × ＋ 是双线性 ｔ ） ｇ： Ｒ 一
映射： 。 ）＝ （）一∞ 一ａｄｕｔ ｇ（ ， （） （（） ｒ＋ａ （） — ｔ ｕ＋ ｄｕ ）＋ 三 ｒ （ Ｖ
第３ ２卷 第 ３期 ２１ ０ ２年 ９月
数 学 理 论 与 应 用
ＭＡＴ ＨＥＭＡＴ Ｃ Ｉ ＡＬ ＴＨＥ０ＲＹ ＡＮＤ ＰＵＣＡ１ ＯＮＳ ＡＰ １
第五节收敛准则
第五节收敛准则一、收敛准则我们希望，当单元的划分逐渐加密的时候，位移、应变和应力能收敛到精确值，而且收敛得越快越好。
这样就要求所选择的位移模式满足某些条件：1. 位移模式必须包含单元的刚体位移和单元的常应变。
——该条件是收敛准则的必要条件，称为完备条件。
满足该条件的单元称为完备单元。
当节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内不会有应变。
这样，位移模式就不但要具有描述单元本身形变的能力，而且还要具有描述由于其它单元形变而通过节点位移引起单元刚体位移的能力。
每个单元的应变一般总是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的（即所谓各点的变应变）；另一部分是与位置坐标无关的，即所谓的常应变。
从物理意义上看，当单元尺寸无限缩小时，每个单元中的应变应趋于常数。
除非我们的位移模式包含着这些常应变，否则就没有可能收敛与正确解。
例题6 试证明3节点三角形单元是完备单元。
证明：3节点三角形单元的位移模式123546u x y v x y αααααα⎧⎪⎨⎪⎩=++=++ （3-1）1. 单元刚体运动时，有 0x y x y εεγ=== ，即0,0,0du dv du dv dx dy dy dx==+= 代入式（3-1），得i 图3.18 52630,0,0αααα==+= 则有55533313115342222u y y y y v x ααααααααααααα⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩-+-=+=-+=--=+ （a ）设三角形单元沿x 轴的刚体平移u 0和y 轴的刚体平移v 0，三角形单元绕z 轴作刚体转动w 0角度。
由于w 0引起单元内任意点A(x,y)的位移0000:sin :cos x u r y y v r xωθωωθω=-=-'==' 则A(x,y)点的总位移为000000u u u u y v v v v x ωω⎧⎪⎨⎪⎩=+=-'=+=+' （b ）比较（a ）式和（b ）式，得5310400,,2u v ααααω-===这说明位移模式包含单元的刚体位移。
有序Banach空间分数阶Robin边值问题的正解
有序Banach空间分数阶Robin边值问题的正解李小龙;张丽丽【摘要】讨论了有序Banach空间E中Riemann-Liouville分数阶Robin边值问题:-Dα0+u(t) =f(t,u(t)),0≤t≤ 1,u(0) =u'(1) =θ正解的存在性,其中1＜α≤2,f:[0,1]×P→P连续,P为E中的正元锥.利用非紧性测度的估计技巧及凝聚映射的不动点指数理论获得了该边值问题正解的存在性结果.【期刊名称】《宁夏大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(040)002【总页数】5页(P111-115)【关键词】分数阶微分方程;Robin边值问题;正解;凝聚映射;不动点指数【作者】李小龙;张丽丽【作者单位】陇东学院数学与统计学院,甘肃庆阳 745000;陇东学院数学与统计学院,甘肃庆阳 745000【正文语种】中文【中图分类】O175.15分数阶微分方程在流体力学、流变学、生物系统的电传导、各种回路、黏弹性力学、分数控制系统与分数控制器、电分析化学、神经的分数模型以及分数回归模型等领域有广泛应用,特别是在与分形维有关的物理与工程问题中.近年来许多学者应用相关的不动点定理与上下解的单调迭代技巧研究了分数阶边值问题的正解及其多个正解的存在性[1—5],但在一般的无穷维Banach空间中对该类问题的研究还比较少,并且讨论的是分数阶Dirichlet边值问题解的存在性,本文研究了分数阶Robin边值问题正解的存在性.在研究无穷维Banach空间中分数阶微分方程边值问题时,非线性项f的连续性保证不了解的存在性,为了对相应的积分算子应用凝聚映射的拓扑度理论及相关的不动点定理,需要给f附加以下条件:紧型条件或者是耗散型条件,而耗散型条件适用于特殊情形;又Banach空间的微分方程与普通微分方程的最大差异是把微分方程转换为与之等价的积分方程后,相应的积分算子不再具有紧性.为了对该积分算子应用凝聚映射的不动点定理,通常需要给非线性项f附加一些非紧性测度条件.本文使用了下列非紧性测度条件:(H0) 对任意R>0,f(I×PR)有界,且存在常数使得对任意t∈I,D⊂PR,有α(f(t,D))≤Lα(D),其中在研究Banach空间中微分方程的正解时,很多文献(如文献[6])都要求f在有界集上一致连续.文中所利用的新的非紧性测度估计技巧[7]只需要f连续.本文将在一般的有序Banach空间E中讨论非线性分数阶Robin边值问题:(1)正解的存在性,其中是标准的Riemann-Liouville分数阶导数,f:[0,1]×P→P连续,P 为E中的正元锥.1 预备知识设E为有序Banach空间,其正元锥P为正规锥,正规常数为N,记I=[0,1].设C(I,E)为定义于I取值于E的全体连续函数按范数构成的Banach空间.记C(I,P)={u∈C(I,E)|u(t)∈P,t∈I},则C(I,P)为C(I,E)中的正规锥.正规常数亦为N,以下使用的C(I,E)中的半序“≤”由C(I,P)引出.定义1[1] 设α>0,函数f:(0,+∞)→R的α阶Riemann-Liouville积分为其中Γ(·)为Gamma函数.定义2[1] 设α>0,函数f:(0,+∞)→R的α阶Riemann-Liouville导数为其中Γ(·)为Gamma函数,n=[α]+1.由Riemann-Liouville型微分的定义可得下列结论.引理1[1] 设α>0,u∈C(0,1)∩L(0,1)是分数阶微分方程的解,则u(t)具有形式u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…+cNtα-N,ci∈R, i=1,2,…,N,其中N是大于或等于α的最小正整数.引理2[1] 假设u∈C(0,1)∩L(0,1)有α(α>0)阶导数属于C(0,1)∩L(0,1),则ci∈R, i=1,2,…,N,其中N是大于或等于α的最小正整数.引理3 设1<α≤2,则对任意h∈C(I,E),Banach空间E中的线性分数阶边值问题(2)存在唯一解u(t)=G(t,s)h(s)dsTh(t),(3)其中证明由文献[1]知的解为再由u(0)=u′(1)=θ,可得于是下面证明唯一性.设u1,u2∈C(I,E)为方程(2)的两个解,则对任意φ∈E*,r(t)=φ(u1(t)-u2(t))为纯量线性方程的解,由文献[3]知r(t)=0,由φ∈E*的任意性知u1(t)-u2(t)≡θ,即u1(t)≡u2(t)于I,因此方程(2)的解唯一.引理4 由(3)式知算子T:C(I,E)→C(I,E)满足证明由(3)式知故从而显然算子T:C(I,E)→C(I,E)为正的线性连续算子,T有相应于第一特征值λ1的正特征函数u*,即λ1Tu*=u*.文中E与C(I,E)中有界集的Kuratiwski非紧性测度均由α(·)表示.对B⊂C(I,E), 记B(t)={u(t)|u∈B}⊂E,t∈I.引理5[8] 设B⊂C(I,E)为等度连续的有界函数族,则α(B(t))在I上连续,且引理6[9] 设B={un}⊂C(I,E)为可列集,若存在ψ∈L1(I)使得则α(B(t))在I上可积,且引理7[7] 设D⊂E有界, 则存在D的可列子集D0,使得α(D)≤2α(D0).定义算子Q:C(I,P)→C(I,P)如下:(Qu)(t)=G(t,s)f(s,u(s))ds,(4)则Q:C(I,P)→C(I,P)连续,且方程(1)的解等价于积分算子Q的不动点.引理8 设f:I×P→P满足假设(H0),则由(4)式定义的算子Q:C(I,P)→C(I,P)为凝聚映射.证明由(4)式易证Q把C(I,P)中的有界集映为有界的等度连续集.任取非相对紧的有界集B⊂C(I,P),下面证明α(Q(B))<α(B). 令则对∀t∈I,B(t)⊂PR,设为假设(H0)中的非紧性测度系数. 由引理7知,存在可列集B1={un}⊂B,使得α(Q(B))≤2α(Q(B1)).故对任意t∈I,由引理6及假设(H0)可得α(Q(B1(t)))=2α({G(t,s)f(s,un(s))|n=1,2,…})ds=2G(t,s)α(f(s,B1(s)))ds≤2LG(t,s)α(B1(s))ds≤2LG(t,s)dsα(B1)≤因为Q(B1)等度连续,由引理5知α(Q(B1))=于是有α(Q(B))≤2α(Q(B1))≤因此Q:C(I,P)→C(I,P)为凝聚映射.取C(I,P)的子锥:K={u∈C(I,P)|u(t)≥θ,∀t∈I},容易证明Q(C(I,P))⊂K,从而当f:I×P→P时, Q:K→K为凝聚映射,方程(1)的正解等价于Q在K中的不动点.本文将用凝聚映射的不动点指数理论寻找Q的不动点.引理9[10] 设E为Banach空间, K为E中的锥, Ω⊂E为有界开集,为凝聚映射.若Q 满足u≠λQu,∀u∈K∩∂Ω,0<λ≤1,则不动点指数i(Q,K∩Ω,K)=1.引理10[11] 设E为Banach空间, K为E中的锥, Ω⊂E为有界开集,为凝聚映射.若存在v0∈K,v0≠θ,使得Q满足u-Qu≠μv0,∀u∈K∩∂Ω,μ≥0,则不动点指数i(Q,K∩Ω,K)=0.2 主要结果及其证明定理1 设E为有序Banach空间,其正元锥P为正规锥,f:I×P→P连续,满足条件(H0).若f满足下列条件之一:(H1) ① 存在ε∈(0,(α-1)Γ(α+1))及δ>0,使得当x∈Pδ时f(t,x)≤εx;② 存在η>λ1及h0∈C(I,P),使得当x∈P时f(t,x)≥ηx-h0(t).(H2) ① 存在ε>λ1及δ>0,使得当x∈Pδ时f(t,x)≥εx;② 存在η∈(0,(α-1)Γ(α+1))及h0∈C(I,P),使得当x∈P时f(t,x)≤ηx+h0(t).则边值问题(1)至少存在一个正解.证明由上面的论述知,只需证明由(4)式定义的凝聚映射Q:K→K存在非零的不动点.取0<r<R<∞,记以下分2种情形分别证明当r充分小R充分大时Q在上存在不动点.情形1 f满足假设(H1). 取0<r<δ,其中δ为假设(H1)中的常数, 证明Q满足引理9中的条件:u≠λQu, ∀u∈K∩∂Ωr, 0<λ≤1.(5)反设(5)式不成立,则存在u0∈K∩∂Ωr及0<λ0≤1,使得u0=λ0Qu0.根据Q的定义及条件(H1)中① 得u0(t)=λ0Qu0(t)≤G(t,s)f(s,u0(s))ds≤εG(t,s)u0(s)ds=εTu0(t).累次使用上式,可得u0(t)≤εTu0(t)≤…≤εnTnu0(t),∀t∈I,n∈N.由锥K的正规性和引理4知其中N为正规常数,故这与矛盾.于是(5)式成立,再由引理9知i(Q,K∩Ωr,K)=1.(6)下面证明当R充分大时u-Qu≠τu*，∀u∈K∩∂ΩR, τ≥0.(7)反设(7)式不成立，则存在u0∈K∩∂ΩR及τ0≥0,使得u0-Qu0=τ0u*,则u0=Qu0+τ0u*,根据算子Q的定义及条件(H1)中② 得u0=Qu0+τ0u*=G(t,s)f(s,u0(s))ds+τ0u*≥ηG(t,s)u0(s)ds-G(t,s)h0(s)ds+τ0u*=ηTu0-G(t,s)h0(s)ds+τ0u*.从而有(ηT-I)u0≤G(t,s)h0(s)ds-τ0u*≤G(t,s)h0(s)ds.又由η>λ1知(ηT-I)为正算子,故逆算子(ηT-I)-1存在, 由锥K的正规性得(8)取则(7)式成立,由引理10知i(Q,K∩ΩR,K)=0,从而根据不动点指数理论的区域可加性,由该式结合(6)式可得i(Q,K∩ΩR,K)-i(Q,K∩Ωr,K)=-1.由可解性知Q在中至少存在一个不动点,该不动点即为方程(1)的正解.情形2 f满足假设(H2). 取0<r<δ,证明u-Qu≠τu*, ∀u∈K∩∂Ωr, τ≥0.(9)反设(9)式不成立,则存在u0∈K∩∂Ωr及τ0≥0,使得u0-Qu0=τ0u*,从而u0=Qu0+τ0u*.令τ*=sup{τ|u0≥τu*},即0<τ0<τ*<+∞,且u0≥τ*u*.又由T的正性知λ1Tu0≥τ*λ1Tu*=τ*u*.由条件(H2)中① 可得u0=Qu0+τ0u*=G(t,s)f(s,u0(s))ds+τ0u*≥εG(t,s)u0(s)ds+τ0u*=εTu0+τ0u*≥λ1Tu0+τ0u*≥(τ*+τ0)u*.这与τ*的定义矛盾.故根据引理10知i(Q,K∩Ωr,K)=0.(10)再证当R充分大时u≠λQu, ∀u∈K∩∂ΩR, 0<λ≤1.(11)假设存在u0∈K及0<λ0≤1,使得u0=λ0Qu0.从而由条件(H2)中② 得u0=λ0Qu0≤G(t,s)f(s,u0(s))ds≤G(t,s)(ηu0(s)+h0(s))ds=ηTu0+G(t,s)h0(s)ds，即(I-ηT)u0≤G(t,s)h0(s)ds,又所以由微扰定理知I-ηT存在有界逆算子(I-ηT)-1,且从而由锥K的正规性得取ε0>0,使得η+ε0<(α-1)Γ(α+1),则有而收敛,即级数收敛,令则有取则(11)式成立,由引理9知i(Q,K∩ΩR,K)=1.于是,由该式结合(10)式可得i(Q,K∩ΩR,K)-i(Q,K∩Ωr,K)=1.由可解性知Q在中至少存在一个不动点,该不动点即为方程(1)的正解. 参考文献：【相关文献】[1] BAI Zhanbing, LÜ Haishen.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractionl differential equation[J].J Math Anal Appl,2005,311(2):495-505.[2] BAI Zhanbing.On positive solutions of a nonlocal fractional boundary valueproblem[J].Nonlinear Anal,2010,72(2):916-924.[3] JIANG Daqing, YUAN Chengjun.The positive properties of the Green function for Dirichlet-type boundary value problems of nonlinear fractional differential equations and its application[J].Nonlinear Anal,2010,72(2):710-719.[4] WANG Yingqing, LIU Lishan, WU Yonghong. Positive solutions for a nonlocal fractional differential equation[J].Nonlinear Anal,2011,74(11):3599-3605.[5] LIN Legang, LIU Xiping, FANG Haiqin.Method of upper and lower solutions for fractional differential equations[J].Electronic J Differential Equations,2012,100:1-13. [6] 王永庆,刘永山.Banach空间中分数阶微分方程m点边值问题的正解[J].数学物理学:A,2012,32(1):246-256.[7] 李永祥.抽象半线性发展方程初值问题解的存在性[J].数学学报,2005,48(6):1103-1108.[8] 郭大钧,孙经先.抽象空间常微分方程[M].济南:山东科学技术出版社,1989:188-222.[9] HEINZ H R. On the behaviour of measure of noncompactness with respect to differentiation and integration of vector-valued functions[J].NonlinearAnal,1983,7(12):1351-1371.[10] 郭大钧.非线性泛函分析[M].济南:山东科学技术出版社,1985:234-353.[11] 余庆余.半序Banach空间中凝聚映射及其正不动点[J].兰州大学学报:自然科学版,1979,15(3):1-5.。
并行矢量有限元法分析新型波导侧面馈电天线
并行矢量有限元法分析新型波导侧面馈电天线彭文峰;宛汀;郭继承【摘要】采用并行矢量有限元区域分解法对一种新型波导侧面馈电天线进行有效的分析。
计算中采用矢量棱边元消除传统节点有限元存在的伪解问题。
当所分析的天线规模较大时，在普通单台计算机上采用传统有限元方法分析会面临着内存不足和效率不高的问题，引入一种非重叠型矢量有限元区域分解法有效地克服了这一问题。
该方法将原始大型求解区域划分成一系列小的子区域单独求解，具有很高的可并行性，从而大大缓解了内存需求，提高了计算效率。
通过对一种新型波导侧面馈电天线的分析，验证了这种方法的精确性和有效性。
%A parallel vector finite element domain decomposition method is employed to analyze a new-style antenna with waveguide side feed. In this method, edge-based vector elements are employed to avoid the spurious solutions in traditional method of node-based elements. However, on single personal computer, the finite element solution of large-scale problems faces the problems of low operating efficiency and insufficient physical memory. A non-overlapping domain decomposition method is introduced to overcome these problems. The original large domain is divided into a series of small sub-domains, which can be analyzed independently. Hence, this method can easily be parallel implemented to improve efficiency and relieve memory requirement. Numerical experiments of new-style antenna with waveguide side feed demonstrate the accuracy and efficiency of this method.【期刊名称】《电波科学学报》【年(卷),期】2012(027)006【总页数】7页(P1110-1115,1128)【关键词】矢量有限元;非重叠型区域分解法;并行技术;波导侧面馈电天线【作者】彭文峰;宛汀;郭继承【作者单位】南京理工大学通信工程系,江苏南京210094;南京理工大学通信工程系,江苏南京210094;南京理工大学通信工程系,江苏南京210094【正文语种】中文【中图分类】TN925引言天线在现代通信领域中具有广阔的应用前景，因此，天线的分析与设计引起了越来越多的关注。
《概率论四种收敛性》PPT课件
第三章 3.1四种收敛性
1
主要内容
车贝晓夫不等式 几乎处处收敛 依概率收敛 依分布收敛 r-阶收敛
X
E(X)
2)
D(X)
2
2 22
1 2
23
证明：已知Xi (i 1, 2, , n)相互独立，且方差有限
证明lim
P
n
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E( Xi )
1
证明：设随机变量Z
X
1 n
n i 1
Xi ,
1 n
1
n
1n
E(Z)
E(X )
E( n
i 1
Xi )
n
E(
的期望的偏差不小于 的概率的估计式 .
如取 3
P{|
X
E( X ) |
3 }
2 9 2
0.111
可见，对任给的分布，只要期望和方差 2存在，
则 r.v X取值偏离E(X)超过 3 的概率小于0.111 .
6
车贝晓夫不等式的用途：
（1）证明大数定律；（2）估计事件的概率。
车贝晓夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就可对的 概率分布进行估计。
( x E( X ))2dF( x)
xE( X )
2dF( x) xE( X )
2P X E(X)
从而P(
X
E( X )
)
D( X )
关于奇摄动robin边值问题的几个定理
关于奇摄动robin边值问题的几个定理随着科学技术的发展，奇摄动robin边值问题也受到了广泛的关注，并成为研究者们需要解决的一个重要问题。
该问题涉及了一些重要的数学定理，其中主要涉及到几个定理，其中最为重要的有Liouville定理，Caccioppoli定理和Rellich-Kondrachov定理，它们在解决奇摄动robin边值问题中均扮演重要角色。
首先，我们介绍Liouville定理，又称Liouville-Neumann定理。
它是一个把有限区域外部源的能量从内部传至外部的关系，其主要的表达式为：V(x)*u(x) = S(x)其中V(x)是robin边值中的一个常数，S(x)表示区域内部的源，u(x)表示u(x)的梯度；此外，当V(x)=0时，公式约化为：u(x) = 0这个定理可以有效地处理奇摄动robin边值问题，它实质上是在一个紧张的区域内求解某些不定方程的问题。
其次，我们来讨论Caccioppoli定理。
它的核心概念是利用一个所谓的Caccioppoli方程来描述传热方程的解，即：α2u2 +2u2 +2u2 = 0其中α，β，γ都是常数，其中α表示温度梯度，β表示声速梯度，γ表示吸收率。
由于Caccioppoli定理可以非常有效地求解不定方程，因此它被广泛用于奇摄动robin边值问题。
最后，我们来谈谈Rellich-Kondrachov定理。
它是一种利用函数间隙和函数梯度来描述某一单元的解的定理。
其主要表达式为：u(x) =u(x)其中λ是一个常数，它表示某一单元内的解的空间变形系数。
通过利用Rellich-Kondrachov定理，人们可以更有效地求解奇摄动robin边值问题。
综上所述，Liouville定理，Caccioppoli定理和Rellich-Kondrachov定理是研究奇摄动robin边值问题的重要理论基础，在解决问题时可以极大地提高计算效率，有助于我们进一步了解该问题。
解带Robin边界条件的变分不等式的区域分解算法
解带Robin边界条件的变分不等式的区域分解算法
曾金平;陈高洁
【期刊名称】《系统仿真学报》
【年(卷),期】2007(19)17
【摘要】针对一类带Robin边界条件的椭圆型变分不等式问题,构造基于Robin 内边界传输条件的非重叠加性区域分解算法,并建立了算法的收敛性。
这类区域分解算法广泛应用于求解偏微分方程边值问题并取得了一系列收敛性结果。
数值结果表明,基于Robin边界传输条件的区域分解法可通过调节内边界传输条件中的Robin参数,来加快算法的收敛速度。
【总页数】3页(P3949-3950)
【关键词】Robin条件;区域分解算法;变分不等式;收敛性
【作者】曾金平;陈高洁
【作者单位】东莞理工学院软件学院;湖南大学数学与计量经济学院
【正文语种】中文
【中图分类】O211
【相关文献】
1.大地电磁非重叠型区域分解算法子域边界条件比较 [J], 李丹
2.解Stokes问题的区域分解算法 [J], 顾金生;胡显承
3.解四阶椭圆问题的区域分解算法——多子域重叠情形 [J],
4.解椭圆变分不等式问题的区域分裂与异步并行算法 [J], 芮洪兴
5.带约束广义变分不等式问题的一般分解算法的收敛性分析(英文) [J], 鲁其辉;朱道立
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有限元边界积分结合撕裂对接法分析电磁散射
（３）
根据变分原理可知，内部区域中电场的泛函满足
ｔ？Ｆ（Ｅ）＝Ｏ，其中
舢，＝壶Ⅲ，吉ｃＶ㈣·（Ｖ Ｘ Ｅ）ｄｖ～
Ⅲ，砍ｒＥ．ＥｄＶ＋。Ｅ矗ｄＳ
（４）
式中，Ｊ。＝蠢×Ｈ＝痞×槲，将Ｅ和Ｊ。分别用四面体棱边基 函数以及表面ＲＷＧ（Ｒａｏ－Ｗｉｈｏｎ－Ｇｌｉｓｓｏｎ）基函数来展开
Ｅ一∑Ｗ。Ｅ。，Ｊｓ＝∑Ｊ。厂。
了硬件资源不足的问题．提高了求解问题的效率。该方法在处理内部未知量大和内部材料复杂的电大尺寸问题
方面具有较大优势。给出的数值算例充分证明了该方法的可行性和有效性。
关键词：有限元边界积分；有限元撕裂对接法；并行技术；电磁散射
中图分类号：ＴＭ １５
文献标志码：Ａ
ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１—５０６Ｘ．２０１０．０９．１５
万方数据
第９期
宛汀等：有限元边界积分结合撕裂对接法分析电磁散射
的产生口…。其中边界积分部分还能引入多层快速多极子 技术来提高其求解效率。目前，有限元边界积分方法已经 被广泛地应用于电磁散射、辐射、传输以及电磁兼容等问题 的分析中，是一种功能强大的数值分析方法。
计算电磁学领域分析问题的效率不仅取决于好的数值 分析方法，还受到硬件资源的限制。随着科技进步和工程 应用要求的提高，计算电磁学领域分析问题的电尺寸越来 越大，求解问题规模的增大给计算机的运行速度和内存容 量带来了巨大挑战。单台ＰＣ机已经不能满足大规模计算 的需求，ＦＥＢＩ方法也同样面临着这个问题。采用多机并联 的并行机群来扩展计算机的内存并提高计算效率，是解决 这一问题的有效方法［７］。区域分解法（ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉ－ ｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ，ＤＤＭ）是一种极其适合于进行大规模数值分 析及并行计算的方法。它采用“分而治之”的思想．把原始 的待求区域划分成一系列较小的子区域来求解，缩减了计 算规模，降低了内存需求。同时该方法具有很高的并行度， 这一特性使得人们可以很方便地将并行算法引入其 中¨１…。本文将有限元区域分解法中的撕裂对接法（ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｔｅａｒｉｎｇ ａｎｄ ｉｎｔｅｒｃｏｎｎｅｃｔｉｎｇ，ＦＥＴＩ）引入到ＦＥＢＩ方 法的求解中，对于ＦＥＭ部分的处理采用ＦＥＴＩ方法，极易 在并行平台上实现；对于ＢＩ部分的处理采用并行多层快速 多极子技术（ｍｕｌｔｉｌｅｖｅｌ ｆａｓｔ ｍｕｈｉｐｏｌｅ ｍｅｔｈｏｄ，ＭＩ。ＦＭＭ）。 整套算法的高度并行性使得这种方法能够分析电大尺寸问 题，尤其适合于分析内部未知量大且材料复杂的问题。文 中给出的算例的数值分析结果充分证明了该方法的正确性 和有效性。
热传导方程有限差分法的MATLAB实现
万方数据万方数据万方数据万方数据热传导方程有限差分法的MATLAB实现作者：史策作者单位：西安建筑科技大学,理学院,陕西,西安,710055刊名：咸阳师范学院学报英文刊名：JOURNAL OF XIANYANG NORMAL UNIVERSITY年，卷(期)：2009，24(4)被引用次数：0次1.曹钢,王桂珍,任晓荣.一维热传导方程的基本解[J].山东轻工业学院学报,2005,19(4):76-80.2.万正苏,方春华,张再云.关于热传导方程有限差分区域分解并行算法精度的注记[J].湖南理工学院学报(自然科学版),2007,20(3):12-14.3.StephenJ.Chapman.MATLAB编程[M].邢树军,郑碧波,译.北京:科学出版社,2008.4.田兵.用MATLAB解偏微分方程[J].阴山学刊,2006,20(4):12-13.5.王飞,裴永祥.有限差分方法的MATLAB编程[J].新疆师范大学学报(自然科学版),2003,22(4):21-27.6.王宝红.热传导方程的可视化探讨[J].忻州师范学院学报,2008,24(2):31-36.7.李先枝.热传导方程差分解法的最佳网格[J].河南大学学报(自然科学版),2004,34(3):16-18.8.赵德奎,刘勇.MATLAB在有限差分数值计算中的应用[J].四川理工学院学报,2005,18(4):61-64.9.谢焕田,吴艳.拉普拉斯有限差分法的MATLAB实现[J].四川理工学院学报,2008,21(3):1-2.10.南京大学数学系计算数学专业.偏微分方程数值解法[M].北京:科学出版社,1979.1.学位论文申卫东热传导方程有限差分区域分解算法研究2003区域分解算法是在并行机上求解偏微分方程数值解的一种较自然的方法.该方法先将偏微分方程求解区域划分为若干个子区域,然后在各个子区域并行求解.全文共五章.第一章为引言,简要介绍了热传导方程并行算法的概况及该文所讨论的基本内容.在第二章,我们在内边界点为等距分划的多子区域条件下,得到Dawson等人关于求解热传导方程区域分解算法差分解的误差估计.在第三章,我们以Saul'yev非对称格式作内边界处理,发展了新的区域分解算法,得到了差分解的先验误差估计,并与Dawson等人的算法作了比较.给出了关于算法计算精度的数值结果.在第四章,我们发展了一些新技术,在子区域的边界处采用小时间步长古典显式格式求解,构造了新的区域分解算法,得到了差分解的先验误差估计.给出了关于算法计算精度的数值结果.在第五章,我们在二维热传导方程求解上扩充了Dawson等人的区域分解算法.给出了关于算法计算精度的数值结果.第六章为该研究工作的主要结论.2.期刊论文张守慧.王文洽.ZHANG Shou-hui.WANG Wen-qia热传导方程有限差分逼近的数学Stencil及其新型迭代格式-山东大学学报（理学版）2006,41(6)将Stencil应用于偏微分方程有限元差分逼近过程,以两类差分格式为基础建立了求解热传导方程的两种新型迭代算法.此两种算法与经典的Jacobi方法同样具有并行的性质,但比Jacobi方法收敛快.给出的算例说明方法的适用性.3.期刊论文吕桂霞.马富明.Lü Guixia.Ma Fuming二维热传导方程有限差分区域分解算法-数值计算与计算机应用2006,27(2)本文讨论了一类数值求解二维热传导方程的并行差分格式.在这个算法中,通过引进内界点将求解区域分裂成若干子区域.在子区域间内界点上采用非对称格式计算,一旦这些点的值被计算出来,各子区域间的计算可完全并行.本文得到了稳定性条件和最大模误差估计.它表明我们的格式有令人满意的稳定性,并且有着较高的收敛阶.4.学位论文田源地下煤火三维数理模型正演数值模拟2006本文首先给出了几个地下煤火随空间、温度变化的动态和稳态热数学物理模型及其简化模型。
偏微分方程的Robin型非重叠区域分解方法的开题报告
偏微分方程的Robin型非重叠区域分解方法的开题报告一、研究背景及意义偏微分方程是自然界中许多现象的数学描述，如物理过程，化学反应，经济变化等。
由于其广泛应用，使得人们对数值解法的求解效率提出了更高的要求。
而分块法作为一种分治法，具有分解区域的优点，能够有效提高数值解的计算速度。
在偏微分方程的求解中，非重叠区域分解方法是一种常用的分块法，并且该方法在计算过程中考虑了边界条件的影响，使得其求解结果更加准确。
因此，深入研究非重叠区域分解方法在偏微分方程求解中的应用，对于提高数值解的计算速度和精度有着重要的意义。
本文将研究偏微分方程的Robin型非重叠区域分解方法及其在数值求解中的应用。
Robin型边界条件常常出现在物理过程中，如热传导，扩散，传感器等问题，因此研究该问题对于物理学，化学和工程学领域有着重要的意义。
二、研究内容及方法本文将探究偏微分方程的Robin型非重叠区域分解方法，该方法采用分解区域来提高计算效率和准确性。
具体研究内容包括：1. 研究偏微分方程Robin型边界条件的特点及其在数值求解中的应用。
2. 探讨非重叠区域分解方法在偏微分方程数值求解中的基本原理。
3. 针对Robin型偏微分方程，建立相应的非重叠区域分解方法数值模型，并对不同情况下的Robin型边界条件进行数值求解。
4. 对数值求解结果进行分析和比较，在典型问题中验证非重叠区域分解方法在Robin型偏微分方程求解中的有效性和优越性。
本文将采用数学理论分析和程序实现相结合的方法，运用计算机编程语言和数学仿真软件进行偏微分方程Robin型非重叠区域分解方法的求解和结果分析，以期达到深入研究该问题的目的。
三、预期成果及意义通过对偏微分方程Robin型非重叠区域分解方法的研究，我们可以得到以下预期成果：1. 研究分析偏微分方程的Robin型边界条件及其在物理问题中的应用特点，为相关学科领域提供理论支持。
2. 建立基于Matlab等编程语言的非重叠区域分解方法数值模型，提高数值计算求解效率和精度。
非共形区域分解法分析电磁散射问题
非共形区域分解法分析电磁散射问题盛亦军;贾会亮;陈如山【摘要】非共形区域分解法允许相邻子域在分界面上具有不一致的网格剖分,对所形成的方程组的求解类似于Jacobi迭代.通过对子域分界面上混合边界条件的修正,以及使用修正后的Galerkin测试基函数,可以很大程度上加速迭代收敛.同时,将各向异性完全匹配层(perfectly matched layer, PML)引入非共形区域分解法,也极大地减少了未知量.另外,还对多种加速求解的方法做了深入研究,对非共形分界面上实现数据交换做了详细的阐明.最后通过算例验证了该算法的准确性和高效性.【期刊名称】《系统工程与电子技术》【年(卷),期】2010(032)010【总页数】5页(P2111-2115)【关键词】非共形区域分解法;有限元;完全匹配层;混合边界条件【作者】盛亦军;贾会亮;陈如山【作者单位】南京理工大学通信工程系,江苏,南京,210094;南京理工大学通信工程系,江苏,南京,210094;南京理工大学通信工程系,江苏,南京,210094【正文语种】中文【中图分类】TN0110 引言作为计算电磁学领域的一个重要分支,有限元方法不仅在建模上对各种复杂电磁结构具有很好的拟合性,而且在分析和处理含有复杂媒质的电磁问题时,也具有不可替代的优势。
但是在使用有限元法时,需要对全部计算空间进行网格离散,在计算电大目标的问题时,未知量会急剧增加。
受到电脑硬件等方面的限制,未知量越多,其内存消耗越大,求解方程组的速度越慢,甚至有可能无法求解。
区域分解法(domain decomposition method,DDM)的使用可以有效降低对计算机内存的消耗。
区域分解的思想最早在19世纪70年代被德国数学家Schwarz H A提出[1]。
它把所要求解的区域分解成若干个子区域,然后通过相邻子区域的边界连续性条件,将原问题的求解转化为各子域的求解,进而得到整个区域的解。
由于减小了计算区域,从而相应地减少了未知量的个数,节省了计算机的存储空间,因此区域分解法特别适用于电大尺寸或具有周期结构的电磁场问题的计算。
Rosenbrock耦合积分方法及其收敛性分析_贾传果
Ｒ ｏ ｓ ｅ ｎ ｂ ｒ ｏ ｃ ｋ 耦合积分方法及其收敛性分析
贾传果 ， 李英民 ， 刘立平 ， 夏洪流
（ ） 重庆大学 ａ 重庆 ４ ．土木工程学院 ； ｂ ．山地城镇建设与技术教育部重点试验室 ， ０ ０ ０ ４ ５
摘 要： 做为一种集计算机模拟和现场试验为一体的混合试验方法 ， 实时子结构试验的关键在 于如何保 证 数 值 子 结 构 和 试 验 子 结 构 的 实 时 耦 联 ， 这 就 需 要 高 效 的 数 值 积 分 方 法。 文 中 在 提出了一种具有完 全 并 行 计 算 格 式 的 耦 合 积 分 方 法 。 基 于 单 Ｒ ｏ ｓ ｅ ｎ ｂ ｒ ｏ ｃ ｋ 实时积分方法的基础上 ， 自由度分离质量模型 ， 对该耦合积 分 方 法 的 稳 定 性 和 精 度 进 行 了 理 论 分 析 。 然 后 通 过 三 自 由 度 分 离质量模型的模拟 ， 验证了该方法的收敛性和其他算法性能 。 理论分析和数值模拟结果表明 ， 该方 法具有良好的稳定性和二阶精度 ， 与直接积分方法相比更适合用于复杂结构的实时子结构试验及 类似的并行模拟 。 关键词 ： 耦合积分方法 ； 实时子结构试验 ； 并行计算 ； 稳定性分析 ； 谱分析 ＴＵ ３ １ １． ４ １ 中图分类号 ： 文献标志码 ： Ａ
第３ ６ 卷第 ２ 期 ２ ０ １ ３年２月
重 庆 大 学 学 报 Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｃ ｈ ｏ ｎ ｉ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｇ ｑ ｇ ｙ
Ｖ ｏ ｌ ． ３ ６Ｎ ｏ ． ２ Ｆ ｅ ｂ ． ２ ０ １ ３
） １ ０ ０ ０ ５ ８ ２ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ０ ２ １ ２ ７ ０ ７ 文章编号 ： － － －
分试验中物理子结构和数值子结构的耦联只通过单 个作动器实现 ； 而数值模型也很简单 ， 多为一个或 几 个自由度的线性模型 。 实时子结构试验需要以实际 荷载速率进行 加 载 ， 这意味着每一个加载过程必须 在几个毫秒内 完 成 ， 这就要求数值子结构的计算在 非常短且固定的时间内完成 。 而对复杂结构进行实 数值子结构大都有几十个到上千 时子结构试验 时 ， 个自由度 ， 有时 还 需 要 考 虑 非 线 性 的 数 值 子 结 构 模 型 。 现有的积分 方 法 很 难 实 现 ， 大多是通过自由度
基于Engl极小化原则确定Robin系数的数值求解
考虑带有如下边界条件的 Laplace 方程：
ì -∆u = 0 u ∈ Ω
ïï í
∂u ∂n
=
q
u ∈ Γc
îïï∂∂nu + γu = γua u ∈ Γi
其中 Ω ⊂ Rd(d = 2,3) 为开有界集且边界 Γ 光滑．函数 q 及 ua 已知，在热力学中分别指代热通量及外部 温度．边界 Γ 包括两个不相交的部分： Γ = Γc ⋃ Γi ，分别表示实验中可以及不可以接触的部分．该模 型可以描述众多物理过程：稳态热传导、腐蚀探测、金属氧化硅晶体管的无损探测．所有的应用导致
·6·
由于 TV 正则化泛函在 0 点不可导，所以其数值算法的设计是很大的挑战．考虑到 Tikhonov 正则化 方法和 TV 正则化方法的优缺点，我们给出一种自适应的 TV 方法，将 Tikhonov 正则化方法和 TV 正则 化方法的优点结合起来．数值实验表明，该方法对分段常数的 Robin 反问题的恢复有较好的效果．
t
2
τ
)
+
h(t,
τ),
t
≠
τ
，
其中
h
为解析核．由中值定理，
lti→mτ h(t,τ) =
-
基于自然边界归化的椭圆外区域各向异性问题的重叠型区域分解算法
＋ ， 则存在正 常数 ｃ 使 ０
＋
“ ＝ Ｏ，
ｌ 『 ≤Ｃ（Ｉ ｖ ｌ ＋ Ｉ ｌ ） Ｖ 关 ｌＩ ｏ Ｉ ｌｌ ； ｌ ， ｖ∈ Ｐ Ｐ ；
（Ｏ １）
＝ １ｎｌ １ ＋ ． ２
，
：
／／ ｎ ２ ￣ ２＋ ／
＿
一
２ 棚
ｕ
Ｄ ｒ÷ ｒ （一 ）
（Ｆ ４２页 ） ］转 ５
４２ ５
佳 木 斯 大 学 学 年 ０ ２．
界条件 ， 它们是被极值解 自动满足的 ， 无须作为定 解 条件 列 出． 因此 ， 这 类 边 界 条件 为 自然 边 界条 称
’
柯朗 ・ 希尔伯 特． 学物理 方法 ［ ． 数 Ｍ］ 北京 ： 高等教 育 出版
Ｒｉｈ ｒ ｂ ｒ ｎ Ｅ ｅ ｎａｙ Ａｐ ｌ ｄ Ｐ ｒｉｌＤｉ ｅｅ ｔ ｃ ａｄ Ｈａ ｅ ｍａ ． ｌｍｅ ｔｒ ｐｉ ａｔ ｆ ｒｎｉ Ｅ－ ｅ ａ ｌ ａ
ｑ ａｏｓ（ ｉ ｏｒ ｒＳｒ ｓａｄ Ｂ ｕ ｄｒ ａ ｅＰｏｌｍ ） ｕｔ ｎ ｗｔ Ｆｕｉ ｅｉ ｎ ｏｎ ａｙＶ ｕ ｒ ｅ ｓ ｉ ｈ ｅ ｅ ｌ ｂ
＝
２ ＋２ ｎ
内
：
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：
｛ 【
，
，
内
， ｕ
‘
【 ” ， 内 ’
， 臾ｕ
，
ｚ
∈
旷 （。且Ｙ ＝ ， 厂） ｏ 这里 ３ 是迹算子 ， ３ ＝ ／ ｏ 即 Ｊ ｏ
ｕ ¨ 应 用 Ｆｕｉ ｌ ｏ ｒ ｒ级数 展 开 函数 ｕ ｒ０ ， 到 ｅ （ ，） 得
以转化为 ＋
ｄ＂
方程为例研究了一类椭圆边界各 向异性外问题 的 自 然边界元方法． 文献 ［ ］ 出了基于 自然边界归 ６提 化原理的一种重叠型区域分解算法． 本文基于文献 ［ ］［］ ５ ，６ 在坐标变换及 圆外区域上 Ｈ ｌｈｌ 边值 ｅ ｏｚ ｍ ｔ 问题的 自 然边界归化的基础上 ， 提出了一种求解椭 圆外 区域 上一类 各 向异性 常 系数 Ｈ ｌ ｏｚ ｅ ｍｈｌ 边值 问 ｔ 题的区域分解算法．
无界区域各向异性椭圆边值问题的一种Schwarz交替法_郑权; 董俊雨; 白荣霞;
工
程
数
学
学
报
CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS
Vol. 26 No. 3 June 2009
文章编号:1005-3085(2009)03-0489-10
无界区域各向异性椭圆边值问题的 一种 Schwarz 交替法∗
郑 权, 董俊雨, 白荣霞
(5)
(6)
如果 u 是问题 (2) 的解，设 PVi : V → Vi (i = 1, 2) 表示 V 到 Vi 按能量泛函 Di (·, ·) 的正交投 影，则 (5) 和 (6) 式可写为 D1 u1 − u2
(k ) (k ) (k−1)
, v1 = D1 u − u2 , v1 ,
(k )
(k ) u1 (k−1)
(k )
k = 1, 2, 3, · · · .
(7)
= u − u1 + u1 − u2
(k ) u2
(k )
(k )
(k−1)
,
u 1 − u2
(k )
(k−1)
∈ V1 ,
(k )
所以 u − ∈ V1⊥ 。类似有 u − 引理 1 空间 V, V1 , V2 满足：V = 引理 2 存在正常数 C0 ，使得对所有 v ∈ V 满足 v 其中 ·
2
Schwarz 交 替 算法 及 其 收 敛 性
考虑如下各向异性椭圆型方程 Dirichlet 外边值问题 2 2 a ∂ u + b ∂ u = 0, 在 Ω 内, 2 ∂x ∂y 2 u=u , 在 Γ 上,
0 0
∗ 基金项目:
空间长条型无界区域的非重叠区域分解算法
空间长条型无界区域的非重叠区域分解算法冯曼【摘要】本文主要研究了空间上一种长条型边界曲面外的区域分解算法,在空间自然边界归化的基础上,以三维Helmholtz方程外问题为例进行D-N交替算法,给出了该算法与Richardson迭代法的等价性,并分析了算法的离散化和收敛性,得到收敛速度与网格参数h无关.【期刊名称】《安庆师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(023)001【总页数】3页(P33-35)【关键词】偏微分方程;长条型无界区域;区域分解算法;D-N交替算法【作者】冯曼【作者单位】宿州学院数学与统计学院,安徽宿州 234000【正文语种】中文【中图分类】O241.82区域分解算法是20世纪80年代兴起的一种求解偏微分方程的新技术[1]，许多科学和工程计算问题都属于偏微分方程边值问题，而对于求解无界区域的边值问题，最优的是采取边界元与有限元耦合的边界归化法[2-5]。
随后，人们又提出了基于自然边界归化的一类重叠和非重叠型的区域分解算法[3]。
该算法，首先对所求解的区域选择合适的人工边界进行划分，通常情况下，平面上选取圆周，空间上选取球面，从而将区域划分成两个规则的可求解的有界和无界区域。
然而，在选取人工边界时，对于一些特殊的区域，这样的选取未必是最佳的，增加计算量且达不到想要的结果。
例如，对于求解内边界为长条型的无界区域时，便可选择人工边界为椭圆或者椭球面，通过求解，缩小了计算量，而且理论分析表明该方法是有效的[6-7]。
本文以三维Helmholtz方程外问题为例，对长条型边界曲面外区域进行求解，选取人工边界为椭球面，将区域划分成规则的有界区域和以椭圆为内边界的无界区域，然后对这两个区域使用D-N交替算法交替求解，并给出该算法与Richardson迭代法的等价性，分析算法的离散化和收敛性。
设Γ0是空间的长条型闭曲面，Ω是Γ0外部的无界区域，下面考虑三维Helmholtz方程外问题[7-8]：其中，波数，当波在均匀的介质中传播时，C0为传播速度，ω为频率，v是区域Ω的边界Γ0的外法线向量，其方向是指向Γ0包围的内部区域是Γ0上的已知函数，i为虚数单位，设（r，θ，φ）是椭球柱面坐标，以坐标原点为圆心，选取大的R为极轴半径，包围Γ0的椭球Γ1，且该椭球面为人工边界Σ，dis（tΓ0，Σ）＞0，则求解区域Ω被分成两个子区域，一个是内部有界区域Ω1和一个无界区域Ω2：现对于问题（1）构造如下的D-N交替算法：步骤1取λ0∈（Σ），n∶=0；步骤2在Ω2上求解外问题：步骤3在Ω1上求解问题：步骤4计算或输入松弛因子θn，置步骤5 置n∶=n+1，转至步骤2继续求解。
一种求解分段常数Robin系数的数值方法
一种求解分段常数Robin系数的数值方法马衍波【摘要】In this paper, we consider a numerical method for reconstructing piecewise constant Robin co-efficients. A novel adaptive Total Varition functional is proposed based on the Tikhonov functional and Total Varition functional. The numerical expriments are presented to illustrate its distinct features.%考虑分段常数的Robin反问题的数值求解，由于TV正则化泛函在0点不可导，其数值算法的设计是很大的挑战。
文章给出一种自适应的TV泛函，该泛函综合了Tikhonov正则化方法和TV正则化方法的优点。
数值实验表明，该方法对分段常数的Robin反问题的恢复有较好的效果。
【期刊名称】《韩山师范学院学报》【年(卷),期】2016(037)003【总页数】6页(P23-28)【关键词】Robin系数;Tikhonov正则化;反问题【作者】马衍波【作者单位】韩山师范学院数学与统计学院，广东潮州 521041【正文语种】中文【中图分类】O241.82考虑Laplace方程的Robin边界问题其中，v为Γ外单位法向量，p为Robin系数且其支集满足sup（p）⊂Γ1⊂Γ，g是给定的函数.一般地，当p已知，求u时，该问题为正问题.带有Robin边界条件的Laplace方程可用来刻画众多实际应用，如对稳态热传导建模或在半导体研究中模拟金属硅之间的导电性.关于其理论及数值研究已吸引众多学者关注［1，2］.相对于正问题，若已知u在部分边界上的值u0=u|Γ，其中Γ0⊂Γ，且Γ0⋂Γ1=Φ.重构恢复Robin系数p的过程就构成0了一个反问题，称为Robin反问题.该反问题来源于半导体装置［3，4］、各种无伤检测［5-7］.Robin反问题是一个不适定问题，即使观测数据的微小变化，也会造成恢复数据的巨大变化，即解不连续依赖于给定数据.由于其不适定性，该问题的研究充满了挑战性，几十年来对其理论研究和数值算法已取得了众多成果［8-14］.而针对非光滑的Robin系数，基于全变差的非线性反问题的数值方法得到了很多学者的重视［15-18］.由于TV正则化泛函在0点不可导，所以其数值算法的设计是很大的挑战.考虑到Tikhonov正则化方法和TV正则化方法的优缺点，给出一种自适应的TV方法，将Tikhonov正则化方法和TV正则化方法的优点结合起来.数值实验表明，该方法对分段常数的Robin反问题的恢复有较好的效果.首先，引入令ϕ=ϕ（x,y）为二维Laplace方程的基本解，由格林公式，得到如下积分方程该积分方程含有dΓ（x）是定义在边角上的指标函数，满足定义假定平面域的边界Γ为光滑的，即设Γ=｛z（t）：t∈［0,1］｝,其中，z：R→R2为2π周期光滑函数，且z为定义［0，1］上的单射函数，满足z'（t）≠0,∀t∈［0,1］.令可得到参数化的积分算子及其中，对向量a=（a1,a2），有a⊥=（a2,-a1）.用中点积分公式对积分进行离散并用中心差分商对导数进行近似.让积分区间［0，1］被分为N等份［（i- 1）h,ih］,i=1,2,…N，离散步长为h=1/N，则离散点为ti=（i-1/2）h,？i=1,2,…,N.假设记u和p分别是Γ上的函数u（t），Γ1上的函数p（t）的离散形式，它们分别为记离散数据为用中点积分公式进行离散，分别记积分核函数Kd和Ks的离散矩阵为D和S.故而算子方程式的离散形式为上式中，其中为N维向量，且，而其他元素为0.令， f=Sg，若p已知求u，该问题是适应性问题，该问题的解唯一.反之，若已知部分边界上的数据u0=uΓ0求p，则问题是反问题.反问题是不适定问题，当数据u0被扰其中注意：这里的pi是p（ti）的近似值，且p0=0，pm4-m3+1=0.令则有这里Ei表示矩阵E的第i行.引进向量e（p）=R0A（p）-1f-u0，上述泛函（1）可以简写为残差项和正则项之和该正则泛函充分考虑了ROF模型和l2模型的优势：当|pi+1-pi|≫β，说明函数在该点处梯度变化较大，可能存在断点，相应的正则分量接近|pi+1-pi|，可以充分利用TV正则的优势处理断点的恢复；而|pi+1-pi|≪β说明函数在该点处梯度变化不大，此时相应的正则分量接近||pi+1-pi||2/β，故此时可以充分利用l2范数模型的优势，使得近似解具有一定的光滑性.利用高斯牛顿法讨论椭圆域上的Robin反问题的数值恢复.在本实验中，设其具有标准参数表示实验中固定a=1，b=0.2.分别给定Γ0及Γ1为函数g（t）为在本实验中，选择有两个断点和三个断点的分段常数的Robin参数分别为p1（t）和p2（t）.具体如下考虑不同噪声级数下的恢复情况，各实验中正则参数α的选取由偏差原理给出.给出了不同噪声水平下的系数恢复情况.当所给噪声级别δ=5%时不同情形下的恢复效果见图1，其中对左图的恢复经过55次迭代，相对误差为1.3%，而对右图经过70次迭代，相对误差为1.6%.当所给噪声级别δ=10%时不同情形下的恢复效果见图2，其中对左图的恢复经过86次迭代，相对误差为2.1%，而对右图经过90次迭代，相对误差为3%.当所给噪声级别δ=15%时不同情形下的恢复效果见图3，其中对左图的恢复经过100次迭代，相对误差为4.3%，而对右图经过113次迭代，相对误差为5.2%.自适应的TV泛函充分考虑了TV模型和l2模型的优势，在可能存在断点的地方，充分利用TV正则的优势处理断点的恢复；而在不是断点的地方，可以充分利用l2范数模型的优势，使得近似解具有一定的光滑性.数值实验也说明了这一点.【相关文献】［1］BUSENBERG S,FANG W.Identification of semiconductor contact resistivity［J］.QAppl Math，1991，49（4）：639-649.［2］LOH W，SWIRHUN S，SCHREYER T.Modeling and measurement of contactresistances［J］.Electron Devices，IEEE，1987，114（3）：512-524.［3］FANG W，ZENG X.A direct solution of the Robin inverse problem［J］.J Inte Equa App，2009，4（21）：545-557.［4］JIN B，ZOU J.Inversion of Robin coefficient by a spectral stochastic finite element approach［J］.J Comp Physl，2008，227 （6）：3282-3306.［5］KABANIKHIN S，KARCHEVSKY A.Optimizational method for solving the Cauchy problems for an elliptic equation［J］.J Inv Ill-Posed Problems，1995，3（3）：21-46. ［6］KAUP PG，SANTOSA F.Nondestructive evaluation of corrosion damage using electrostatic measurements［J］.J Nondestruct Eval，1995，14（14）：127-136.［7］FANG W，ZENG X.Recover of an interface from boundary measurement in an elliptic differential equation［J］.Adv Com Math，2012，36（2）：201-220.［8］FANG W，ZENG X.Numerical recovery of Robin boundary from boundary measurements for the Laplace equation［J］.J Comp App Math，2009，24（24）：573-580.［9］ITO K，JIN B.A new approach to nonlinear constrained Tikhonov regularization ［J］.Inverse Problems，2011，27（10）：977-994.［10］JIN B.Conjugate gradient method for the Robin inverse problem associated with the Laplace equation［J］.Int J Numer Math Engng，2007，71（4）：433-453.［11］JIN B，LU X.Numerical identification of a Robin coefficient in parabolic problems ［J］.Math Comp，2012，81（279）：1369-1398.［12］VOGELIUS M，XU J.A nonlinear elliptic boundary value problem related to corrosion modeling［J］.Q Appl Math，1998，56：479-505.［13］YANG F，YAN L，WEI T.The identification of a Robin coefficient by a conjugate gradient method［J］.Int J Numer Math Engng，2005，78（7）：800-816.［14］LIN F，FANG W.A linear integral equation approach to the Robin inverse problem ［J］.Inverse Problems，2005，21（5）：1757-1772.［15］JIN B，ZOU J.Numerical estimation of piecewise constant Robin coefficient ［J］.SIAM J Control Optim，2009，48（3）：1997-2002.［16］JIN B，MAASS P J.Sparsity regularization for parameter identification problems ［J］.Inverse Problems，2014，28（12）：1-70.［17］RAINER K，WILLIAM R.Nonlinear integral equation and iterative solution for an inverse boundary value problem［J］.Inverse Problems，2009，27（2）：1207-1223. ［18］SANTOSA F，VOGELIUS M，XU J.An effective nonlinear boundary condition for corroding surface identification of damage based on steady state electricdata［J］.Z Angew Math Phys，2009，49（4）：656-679.。
一类含Robin边界条件对流扩散方程的LDG方法的收敛性
一类含Robin边界条件对流扩散方程的LDG方法的收敛性郑亚敏;魏美华【摘要】针对一维常系数对流扩散模型方程,利用有限元基本理论分析,讨论了当含有Robin边界条件时,局部间断有限元方法(LDG方法)的收敛性.证明了当边界条件为Robin边界条件时,LDG方法的误差能量模收敛阶仍可达到k阶.%A local discontinuous Galerkin finite element method (LDG mehod) was presented for one-dimensional convection diffusion equations with Robin boundary conditions of constant coefficients.It is proved that the LDG method was convergence in the energy norm of the error at a rate of hk for convection diffusion equations with Robin boundary conditions of constant coefficients.【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2018(036)001【总页数】5页(P1-5)【关键词】LDG方法;Robin边界条件;收敛性;Gronwall引理【作者】郑亚敏;魏美华【作者单位】榆林学院数学与统计学院,陕西榆林719000;榆林学院数学与统计学院,陕西榆林719000【正文语种】中文【中图分类】O172局部间断有限元方法（Local Discontinuous Galerkin finite element method，简写为LDG）是针对一般形式的对流扩散方程RKDG方法的扩展.在以往的文献［1-3］中，更多的是考虑周期性边界条件来进行稳定性分析，在文献［4-5］中证明了对流扩散问题的间断有限元法解的唯一性，文献［6-8］中对于含有一般边界条件时的误差做出数值模拟，近年来，国内的学者在非线性对流扩散方程［9-14］方面的研究取得很大的进展，但以往文献均未从理论上证明讨论解的收敛性，因此本文针对含有Robin边界条件的对流扩散问题，建立LDG方法的模型，并从理论上证明该方法的收敛性.利用局部间断有限元方法研究含有Robin边界条件的对流扩散问题具有重要的实际意义，例如在我国存在很多采空区，其煤体自燃所造成的安全隐患以及人员伤亡是影响煤矿安全的重要因素，建立在风流场、氧浓度场和温度场作用下煤自燃过程的数学模型即为含有边界条件的对流扩散方程［15-21］，利用局部间断有限元方法进行数值分析，模拟煤自燃的动态过程，并对所建立的模型进行求解，进而揭示温度场、风流场以及氧浓度场对煤自燃的影响，为煤自燃的防控防治给予数值预测和提供理论依据.1 LDG方法介绍在一维情形下，考虑对流扩散问题：其中：未知量u为标量，假定速度c>0，扩散系数d>0，c,d均为常数.设变量，引入流通量函数设Γ为区间(a,b)的任意一个划分，定义网格区间设为方程的近似解，w=(u,v)T为方程的真解，定义有限元空间为：设检验函数vu,vq,vi∈Vh，且用数值流通量代替流量函数h在节点xj处的值，则原方程变为，对任意的，在每个小区间下列式子成立：定义函数u在点xj处的跳跃值[u]和平均值uˉ，一般选择如下数值流通量，在下面定理证明中可以看到c11、c12的选取对于方法的收敛性有很大影响.当边界条件为第三类边界条件时，即，则qh(b+)满足在a,b两端点数值流通量函数分别为：2 收敛性证明定理设问题（1）具有Robin边界条件，真解w为充分光滑的，wh为近似解，设e=w-wh，则误差e的能量模收敛于hk，即满足证明当问题含Robin边界条件时，利用两端点a,b处所定义的边界数值流通量把式（2）从0到T积分，并把每个小区间相加，得到双线性形式其中为检验函数. 双线性形式如下：设e=(eu,eq)=w-wh，考虑线性形式Bh(e,e)，但由于w,wh不在同一空间，e不在有限元空间Vh中，因此定义插值算子为误差e到有限元空间Vh×Vh的L2投影，转为考虑的估计.又因对Bh(phe,phe)的估计转变为对Bh(phw-w,phe)的估计.因为phe∈Vh，由双线性形式Bh(wh,v)，得同样，有利用文献［9］中的理论分析技巧，对Φ1至Φ6做出估计，则有特别说明公式中C,D,M,E等均为常数，它们为C1k,C2k之类的最大值，选择与c,d数值有关.将上述估计式移向加和，选择恰当的c11,c12，使，则结合上述不等式得由Gronwall引理［1］，可知则误差e的能量模有收敛性得证，其收敛阶仍可达到k阶.3 结论本文利用局部间断有限元的基本理论，证明了含有Robin边界条件的常系数对流扩散问题的LDG方法的收敛性.类似地可以推广证明变系数的对流扩散方程的收敛性.在定理证明过程中可以发现，选择合适的数值流通量，可以保证LDG方法稳定性和收敛阶，因此在数值计算中，选择合适的数值流通量至关重要.对流扩散方程是在实际问题中应用最为广泛的一类方程，例如在采空区煤自燃问题中，建立对流扩散方程模型，在本文的理论基础上，利用间断有限元方法对采空区煤自燃的过程进行数值模拟，可以为煤自燃的防控防治给予帮助和指导.【相关文献】［1］COCKBURN B，SHU C W.The local discontinuous Galerkin finite element method for convection-diffusion systems［J］.Society for Industrial and Applied Mathematics Journal on Numerical Analysis，1998，35（6）：2440-2463.［2］COCKBURN B，SHU C W.The Runge-Kutta discontinuous Galerkin finite element method for conservation laws V：multidimensional systems［J］.Journal of Computational Physics，1998，141（2）：199-224.［3］PCASTILLO P，COCKBURN B.Optimal a priori error estimates for the hp-version of the local discontinuous Galerkin method for convection-diffusion problems［J］.Mathematics of Computation，2001，71（1）：455-478.［4］ZHANG Z Z，XIE Z Q，TAO X.A roubust discontinuous Galerkin method for solving convection-diffusion problems［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2008，24（3）：483-496.［5］张宏伟，廖丙林.关于不定常对流扩散问题的间断有限元（DG）法［J］.湖南文理学院学报（自然科学版），2010，22（1）：1-3.［6］杨继明.对流占优对流扩散方程的间断有限元（DG）解法［J］.湖南工程学院学报，2006，16（1）：67-69.［7］张作政.对流扩散方程间断有限元的后验误差估计［J］.长沙大学学报，2012，26（2）：1-2.［8］李臻臻，李宏.对流扩散方程的时空间断有限元方法［J］.高校应用数学学报（A辑），2012，27（3）：283-292.［9］秦树杰，孙澈.一类非定常线性对流占优扩散问题的间断有限元分析［J］.南开大学学报，2001，34（1）：70-77.［10］王焕清.非线性微分积分方程的间断时空有限元方法的误差估计［J］.高等学校计算数学学报，2013，35（2）：128-138.［11］刘金存，李宏.半线性分数阶扩散方程的时空间断有限元方法［J］.应用数学，2013，24（4）：853-862.［12］张强.对流扩散方程的间断Galerkin自适应方法［J］.数值计算与计算机应用，2008，29（1）：56-64.［13］江小燕，王建国.非线性动力方程的精细时空有限元方法［J］.工程力学，2014，31（1）：23-28.［14］周琴，潘雪琴，冯民富.对流占优的Sobolov方程的投影稳定化有限元方法［J］.计算数学，2014，36（1）：99-102.［15］李宗翔.采空区自燃火灾气体钻孔导流的数值模拟研究［J］.中国安全科学学报，2004，14（4）：107-111.［16］张瑞林，杨运良.自燃采空区风流场、温度场及热力风压场的计算机模拟［J］.焦作工学院学报，1998，17（4）：253-257.［17］李宗翔，韦涌清，孙世军.非均质采空区气-固耦合温度场迎风有限元求解［J］.昆明理工大学学报，2004，29（2）：5-9.［18］何启林，王德明.综放面采空区遗煤自然发火过程动态数值模拟［J］.中国矿业大学学报，2004，33（1）：11-14.［19］李宗翔，吴志君，王振祥.采空区遗煤自燃升温过程的数值模型及其应用［J］.安全与环境学报，2004，4（6）：58-62.［20］郑亚敏.含Neumann边界条件的局部间断有限元方法的收敛性分析［J］.江苏师范大学学报（自然科学版），2013，31（3）：4-7.［21］郑亚敏.含Dirichlet边界条件的局部间断有限元方法的收敛性分析［J］.河南科学，2013，31（10）：1587-1591.。
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Robin型非重叠区域分解法的收敛性
秦理真
摘要
本文对Robin型非重叠区域分解法的收敛性作了系统的研究与总结.此方法在本文中被用来求解二阶线性椭圆方程.
自H.A.Schwarz提出以来,区域分解方法方法得到了极大的发展,现已成为偏微分方程求解的最有效的方法之一.本文所研究的Robin型非重叠区域分解法最初由P.L.Lions首次提出.作为一种非重叠型区域分解法,此方法以Robin条件为交界面传递条件,因此被称为Robin型方法.近年来,此方法已被推广而应用到其它类型的方程上去.
Robin型方法在子区域之间传递的是Robin条件.它由迭代解在子区域交界面上的迹及关于交界面的外法向导数线性组合而得.此组合含有一个松弛参数λ.大量数值分析表明,Robin型方法的收敛率对于λ十分敏感.自Lions提出此方法以来,此方法的收敛率及最优参数的选取一直是令人关注的问题.本文将对此问题作系统的研究,并用数值实验来验证理论分析的结果.
对于连续问题的Robin型方法,本文遵循Deng的方法给出一个与Deng略有不同的证明.且本文还将给出两子区域情形的反例,来证明连续问题的Robin型方法在任何范数下都不可能几何收敛.
对于有限元离散问题的Robin型方法,本文改进了以往文献中的收敛率分析.当方程中低阶项系数b∈[O(H−2),O(h−2)]时,取λ=O(h−1/2b1/4),收敛率为1−O(h1/2b1/4).当b≥O(h−2)时,取λ=O(bh),收敛率为1−δ,其中δ为不依赖于h, H和b的常数.当环绕数N=1,且b∈[0,O(H−2)]时,取λ=O(h−1/2H−1/2),收敛率为1−O(h1/2H−1/2).根据我们对两子区域情形所作的细致的理论分析,可知以上结果不可改进.另外,当N>1,且b∈[0,O(H−2)]时,我们给出了此方法的两个上界1−O(h1/2H1/2b1/2)和1−O((C0)N h1/2H−1/2).以上h为有限元网格尺寸,H 为子区域尺寸,N为区域分解的环绕数,本文将给出它们的定义.需要指出的是,当N>1,且b=0时,Robin型方法的收敛率分析很困难.本文所给的此情形下的收敛率估计是这方面的第一个结果.
为了对收敛率的下界进行估计,本文系统地对D－N算子和离散D－N算子的作了谱分析.与以前这方面的工作相比,本文的工作更为细致而又不失一般性.
本文系统地介绍了Robin型方法的收敛性分析所采取的三种常用方法:直接求解法,能量估计法和改进的能量估计法.此三种方法的特点将在适当的应用中得以体现.
关键词:有限元,Robin型区域分解法,二阶椭圆问题,几何收敛,收敛率。