2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案

在本题中，
当 时，
当 时，
因此函数 仅在 处间断，故选（B）.
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设函数 具有二阶连续偏导数， ，则 .
【答案】
【考点】多元函数的偏导数
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
利用复合函数的链式求导法则求多元函数的偏导数的方法。
在本题中，
，
（10）若二阶常系数线性齐次微分方程 的通解为 ，则非齐次方程 满足条件 的解为 .
【答案】
【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
线性微分方程的解的性质即叠加原理，线性微分方程通解的结构为齐次方程的通解加上特解。
在本题中，
由通解表达式 该二阶线性常系数齐次方程的特征值为 ，于是特征方程为
，
而在 上， 有连续的一阶偏导数且 ，于是
（在 ： 上用高斯公式）
（20）（本题满分11分）
设 ， .
（Ⅰ）求满足 的 . 的所有向量 , .
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量 , 证明 , , 线性无关.
【考点】向量组的线性无关，非齐次线性方程组的通解
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
非齐次线性微分方程的解的性质即叠加原理，非齐次线性微分方程通解的结构为齐次方程的通解加上特解。
收敛级数的和的概念， 称为无穷级数 的前n项的部分和。若部分和数列 的极限存在，即 ，则称级数 收敛。当级数收敛时，其和 。
在本题中，
（Ⅰ）先求 .易求得 与 的交点为 ， ，于是曲线 与 所围成区域的面积为
（Ⅱ）按定义求
（Ⅲ）求 .
其中用到了
（收敛级数的结合律）
（17）（本题满分11分）
椭球面 是椭圆 绕 轴旋转而成，圆锥面 是由过点 且与椭圆 相切的直线绕 轴旋转而成。
在本题中，
的定义域是： ， .
先求驻点.解方程组 得 的唯一驻点：
再判断驻点是否是极值点.求出
， ， ，
而在 处，因 ， ， ，
故 在 取极小值 .
（16）（本题满分9分）
设 为曲线 与 所围成区域的面积，记 ， ，求 与 的值.
【考点】收敛级数的和的概念
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（15）（本题满分9分）
求二元函数 的极值.
【考点】多元函数的极值
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
若 有连续的二阶偏导数，则可按如下步骤求它的极值点：
第一步，解方程组 求得所有的驻点。
第二步，对每个驻点求出二阶偏导数的值
第三步，定出 的符号，按照定理判定 是否取得极值，是极大值还是极小值。
方法二：用球坐标变换. 的球坐标表示是 ， ， ，于是
方法三：根据变量轮换对称性得
所以，
.
（13）若3维列向量 满足 ，其中 为 的转置，则矩阵 的非零特征值
为.
【答案】2
【考点】矩阵的特征值的概念、性质
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
设 是 阶矩阵，若 ，则 的 个特征值是 ， .
特征值的性质：特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，即 .
个 维向量线性无关 .
在本题中，
（Ⅰ）对增广矩阵 作初等行变换，有
，
得 的基础解系为 和 的特解为
故 或 ，其中 为任意常数.
因为 ，对增广矩阵 作初等行变换，有
，
得 的基础解系为 ， .又 有特解 ，故
或 ，其中 为任意常数.
（Ⅱ）因为
，
所以 必线性无关.
（21）（本题满分11分）
设二次型
（Ⅰ）求二次型 的矩阵的所有特征值；
在本题中，
因为矩阵 的秩为1，所以矩阵 的特征值是 ，0，0.
而本题 就是 ，故 的非零特征值为2.
(14)设 为来自二项分布总体 的简单随机样本， 和 分别为样本均值和样本方差。若 为 的无偏估计量，则 .
【答案】
【考点】估计量的评选标准
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
如果 服从二项分布 ，则期望 ，方差 ；
在本题中，
直接代公式化第一类曲线积分为定积分得
（12）设 ，则 .
【答案】
【考点】三重积分的性质、计算
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
利用直角坐标、球坐标、轮换对称性计算三重积分的方法。
在本题中，
方法一：被积函数只与 有关，与 轴垂直的 的截面区域 （ ： ）的面积 已知，故选用先二后一（ ）的公式化三重积分为定积分得
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
答案速查：
一、选择题
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
A
A
D
C
A
B
C
B
二、填空题
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
2
-1
三、解答题
（15）极小值
（16） ，
（17）（Ⅰ） 的方程为 ， 的方程为 ；（Ⅱ）
（18）略
（19）
（20）（Ⅰ） ，其中 为任意常数； ，其中 为任意常数（Ⅱ）略
（A） .（B） .
（C） （D）
【答案】（A）
【考点】无穷小量的比较
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
常用无穷小的等价替换，洛必达法则的应用。
在本题中，
当 时，有 .
（否则 ）
.故选（A）.
（2）如图，正方形 被其对角线划分为
四个区域 ， ，
则 （ ）
（A） .（B） .（C） .（D） .
【答案】（A）
【考点】二重积分的性质、计算
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
利用二重积分区域的对称性和被积函数的奇偶性来简化二重积分的计算。
在本题中，
两区域关于 轴对称，而 ，即被积函数是关于 的奇函数，所以 ；
两区域关于 轴对称，而 ，即被积函数是
关于 的偶函数，所以 ， .故选（A）.
在本题中，
（Ⅰ）作辅助函数 ，则 在 连续，在 可导，又 ，由罗尔定理得知， 使得 ，即 .
（Ⅱ）按右导数定义，只需考察 .
，在 上由拉格朗日中值定理得， ，
当 时 ，于是
.
（19）（本题满分10分）
计算曲面积分 ，其中 是曲面 的外侧.
【考点】第二类曲面积分的计算，高斯公式
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
【详解】本题涉及到的主要知识点：
分块矩阵的运பைடு நூலகம்法则：
； ； .
伴随矩阵运算规律
在本题中，
由 ，知矩阵 可逆，那么
.故选（B）.
（7）设随机变量 的分布函数为 ，其中 为标准正
态分布函数，则 （ ）
（A） .（B） .（C） .（D） .
【答案】（C）
【考点】随机变量的数学期望
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
在本题中，
在 有界，只有两个间断点（ ） 在 可积
在 连续，且 （C）（ ），（B）（ 在 不连续）被排除；（A）与（D）中的 在 上不相同，由 （ ）可知，应选（D）.
（4）设有两个数列 ，若 ，则（ ）
（A）当 收敛时， 收敛.（B）当 发散时， 发散.
（C）当 收敛时， 收敛.（D）当 发散时， 发散.
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数 在 上连续，在 内可导，则存
，使得 .
（Ⅱ）证明：若函数 在 处连续，在 内可导，且 ，
则 存在，且 .
【考点】微分中值定理
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用。
罗尔定理：设 在 上连续，在 内可导，又 ，则存在 使得 .
， ，即 ， 分别为总体 ， 的无偏估计量；
设 为 的估计量，若 ，则称 为
的无偏估计.
在本题中，
设总体为 ，依题意， ， .因 是总体方差的无偏估计量，所以 ， .若 为 的无偏估计量，即
，则有 .
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（Ⅱ）若二次型 的规范形为 ，求 的值.
【考点】矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，二次型的标准形和规范形，惯性定理
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
设 是 阶矩阵， 称为矩阵 的特征方程， 是特征值.
由规范形的形式可知二次型的正负惯性指数.
在本题中，
（Ⅰ）二次型矩阵 ，由特征多项式
，
可知二次型 的3个特征值为：
（3）设函数 在区间 上的图形为：
则函数 的图形为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（D）
【考点】积分上限的函数，定积分的应用
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
积分上限的函数的性质，函数与原函数的关系、以及图像间的关系，函数 表示被积函数在积分区域范围内与x轴、y轴围成的图形的面积。
（Ⅱ）若二次型的规范形为 ，说明正惯性指数 ，负惯性指数 .那么二次型矩阵 的特征值中应当有2个特征值为正，1个特征值为0，所以必有 .
（22）（本题满分11分）
袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。
基变换公式与过渡矩阵的定义，若 ，则 称为基
到 的过渡矩阵。
在本题中，
由基 到 的过渡矩阵 满足
，
所以此题选（A）.
（6）设 均为2阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ， ，则分
块矩阵 的伴随矩阵为（ ）
（A） .（B） .
（C） .（D） .
【答案】（B）
【考点】分块矩阵及其运算，伴随矩阵
【难易度】★★★
用高斯公式求曲面积分：在 所围的区域中挖去某个区域后再用高斯公式，即挖洞法.
在本题中，
将积分记为 ，
椭球面 （ ）围成的区域记为 ，它含原点 ，而 在
无定义，因而不能直接使用高斯公式.
作以原点为心， 为半径的小球面 ， 充分小使 位于 所围的椭球内.记 与 所围的区域为 ， 取 的内法向.在 上用高斯公式得
令 ， ，得相应的切点 ： ， ，
即 ， .（只需考虑 ），于是得切线 的方程
相应的圆锥面 的方程是 .
（II）设 与 之间的区域 的体积为 ，它由锥体的一部分 除去椭球体的一部分 组成.
由曲线 （ ）绕 轴旋转而成，于是 的体积为
按锥体的体积公式，得 的体积 ，因此
与 之间的立体体积 .
（18）（本题满分11分）
（Ⅰ）求 及 的方程；
（Ⅱ）求 与 之间的立体体积.
【考点】旋转曲面，定积分的应用
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
旋转曲面方程的计算，求解旋转体体积的方法。
在本题中，
（I）椭圆 ： 绕 轴旋转而成的椭球面 的方程是
（ ）
为求 的方程.先求 的过点 的切线
上 点 的切线斜率是 ，相应的切线方程是
设 ， ，则 ， 发散，但 收敛，（D）不对.
对于C项，由 有界，由 收敛 有界
（ 为某常数）.再由 收敛及比较原理
收敛.选（C）.
（5）设 是3维向量空间 的一组基，则由基 到基
的过渡矩阵为（ ）
（A） .（B） .
（C） .（D） .
【答案】（A）
【考点】过渡矩阵
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
断点个数为（ ）
（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.
【答案】（B）
【考点】随机变量分布函数的概念及其性质
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
利用随机变量分布函数的定义与性质求未知量的随机变量的分布函数，应用全概率公式讨论一个离散型与一个非离散型随机变量问题的方法，即对离散型随机变量的各种可能取值用全概率公式把他们展开，不论是计算概率还是求随机变量的分布，都是这样的思路。
【答案】（C）
【考点】正项级数收敛性的判别法
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
正项级数及其收敛的基本定理，常用的正项级数判别方法：比较判别法和比值判别法。
在本题中，
举例说明（A），（B），（D）不正确.
设 ， ，则 ， 收敛，但 发散.（A）不正确.
设 ， ，则 ， 发散，但 收敛.（B）不正确.
该齐次方程为 （即 ， ）
又非齐次方程 （*）
有特解 ，代入（*）式得
因此（*）有通解
再由初始条件 ，
因此所求的解为 .
（11）已知曲线 ，则 .
【答案】
【考点】第一类曲线积分的计算
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
曲线积分化为定积分：设 在曲线 上连续，若曲线 的表达式为 ，
，则 ，其中 在 有连续的导数.
随机变量数学期望的定义及计算方法：设 为连续型随机变量，其概率密度为 ,若反常积分 绝对收敛，则称反常积分 的值为随机变量 的数学期望。记为 或 ，即 。
在本题中，
依题意， 的概率密度 为
，
于是 （令 ）
故应选（C）.
（8）设随机变量 与 相互独立，且 服从标准正态分布 ， 的概率分布为
，记 为随机变量 的分布函数，则函数 的间
（21）（Ⅰ） ；（Ⅱ）
（22）（Ⅰ） ；
（Ⅱ）二维随机变量 概率分布为
X
Y
0
1
2
0
1/4
1/6
1/36
1
1/3
1/9
0
2
1/9
0
0
（23）(Ⅰ) ；（Ⅱ）
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）当 时， 与 等价无穷小，则（ ）