空间直线的方程

称为直线的两点式方程.
z
l
o
M r r2
M2
r1
M1
y
3.直线的一般式方程
空间直线可以看作两平面的交线，因此 空间直线的方程可以由通过它的两个平面的 方程所组成的方程组来表示。
z
1
2
o x
l
y
设通过直线l的两个相异平面为
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
设通过直线l分别平行或通过Oz轴, Ox轴, Oy轴,也就是分别垂直于坐标面xOy, yOz , zOx 的三个平面的方程为 a1 x b1 y c1 0 a2 y b2 z c2 0 a3 x b3 z c3 0 则上述平面分别称为直线l 对坐标面xOy, yOz , zOx的射影平面.
小结
各式直线方程的互化
1.参数方程与标准方程的互化 2.标准方程与一般式方程的互化 3.一般式方程与射影式方程的互化 4.其它各式方程的互化
作业
P120 3(1)(2)，4(1)，5
华中科技大学关于此图的数学解释 勤学如初起之苗，不见其增，日有所长; 辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.
“难”也是如此，面对悬崖峭壁， 一百年也看不出一条缝来，但用斧凿， 能进一寸进一寸，得进一尺进一尺， 不断积累，飞跃必来，突破随之。
即上述直线方程所表示的直线l的一个方向向量为 B1 v n1 n2 B2 A1 A1 , A2 A2
2 x y z 1 0 例3. 已知直线l0: , 求通过原点 x z 1 0 且与直线l0 平行的直线l的标准方程.
4.直线的射影式方程
——华罗庚
x x 0 z z0 X Z y y0 z z0 Y Z
经过整理得下列形式
x az c, y bz c, X Y X Y 其中 a , b , c x z , d y z , 0 Z 0 0 Z 0 Z Z
注: 当方向向量的某个坐标为零时，比如 X 0,Y 0,Z 0时，方程仍然写为 x x0 y y0 z z0 , 0 Y Z x x0 0 此时理解为二平面的交线 y y0 z z0 Y Z
当方向向量的某两个坐标为零时，比如 X 0,Y 0,Z 0时，方程也仍然写为 x x0 y y0 z z0 , 0 0 Z x x0 0 理解为交线 (考虑其几何意义) y y0 0
x x0 Xt y y0 Yt z z Zt 0
消去参数t即可得直线l的标准方程: x x0 y y0 z z0 X Y Z 反过来,令标准方程中的公比为t,即可
改写成参数方程.
例5. 化直线l的标准方程: x 1 y 2 z 1 2 1 0 为参数方程.
直线的一组方向数
在直角坐标系下，直线的方向向量常常取单位向量
v 0 {cos , cos , cos },
这时直线的参数方程为
r r0 t v0
坐标式参数方程
x x0 t cos y y0 t cos z z t cos 0
二、直线方程各种形式的互化
§3.4 空间直线的方程
一、直线方程的各种形式
1.直线的参数方程
在空间给定一点P0与一个非零向量v,则通过 点P0且与向量v平行的直线l就唯一确定.与直线 l平行的任意一个非零向量都称为直线的方向 向量,简称为方向矢.
已知直线l通过点P0 x0 , y0 , z0 ,方向向量为 v X , Y , Z , 下面我们来推导直线l的方程:
特别地当 v 1时, 正好等于直线l上参数t 对应 的点P到定点P0的距离 t r r0 P0 P .
例2. 求通过两点P 1 x1 , y1 , z1 和P 2 x2 , y2 , z2 的 直线l的方程. x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1
《解析几何》 －Chapter 3
§3.4 空间直线及其方程
复习
§3.2 平面与点的相关位置
1.平面与点的相关位置 2. 点到平面的距离
§3.3 两平面的相关位置
1.两平面的相关位置 2. 两平面的交角(垂直)
Contents
一、直线方程的各种形式
1、空间直线的参数方程 2、空间直线的标准方程 3、空间直线的两点式方程 4、空间直线的一般方程 5、空间直线的射影式方程
称为直线l的坐标式参数方程.
例1. 已知直线l通过点P0 1, 2,1 ,且垂直于平 面:2 x y 2 z 1 0,求直线l的参数方程与 方向余弦.
2.直线的标准方程
对于由点P0 x0 , y0 , z0 与方向向量v= X , Y , Z 确定的直线l , 点P x, y, z 在直线l上的充要条件 是 P0 P v,即 x x0 y y0 z z0 X Y Z 称为直线的标准方程, 或称为对称式方程.
例7 用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 1 0 . 2 x y 3z 4 0
解 １、找一点
在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
y0 z 0 2 0 取 x0 1 , y0 3 z 0 6 0
解得 y0 0,
由以上几例可见，求直线方程的思路、步骤：
两定——定点、定向
例10. 化直线l的一般式方程: 2 x+y z 5 0 2 x +y 3z -1 0 化为标准方程.
关于直线方程的四种形式即参数式、标准 式、一般式、射影式之间的互化，掌握上述三 对形式的互化方法以后，其它三对形式的之间 可以通过某中间形式过渡转化，或是灵活运用 上述思想方法直接互化。
直线的射影式方程是一般式方程的特殊形 式, 射影式方程的特点是方程中关于变数x, y, z 缺少其中一个或两个变数.
例4. 已知直线l的标准方程为 x 1 y 2 z 1 1 0 2 求直线l 对三个坐标面的射影平面的方程.
二.各种直线方程的互化
1).参数方程与标准方程的互化
直线l的参数方程:
2
y
x
例 8 一直线过点 A( 2,3,4)，且和 y 轴垂直相 交，求其方程.
解
因为直线和y 轴垂直相交,
所以交点为 B(0,3, 0), 取 s BA {2, 0, 4},
x2 y3 z4 所求直线方程 . 2 0 4
例9. 将直线l的一般式方程: x 2 y 3z 4 0 x 2y z 0 化为标准方程.
v
z
l
o
P0
P
r
y
r0
x
r r0 tv 或 r r0 tv 称为直线l的向量式参数方程,其中t为参数.
用向量的坐标可以将上式表示成
x, y, z x0 , y0 , z0 t X , Y , Z
即 x x0 Xt y y0 Yt z z Zt 0
2).一般式方程与射影式方程的互化
射影式方程本身就是特殊形式的一般式方程。
反过来,因直线l的方向向量v的三个坐标不全 为零,不防设v的第三个坐标即一般方程中x, y的 系数行列式A1 B2 A2 B1 0, 则可由一般式方程分 别消去x和y即可得到两个射影平面的方程,将它 们联立即得直线l的射影式方程为:
则直线l的方程可表示成 A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C2 z D2 0 其中A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2 此方程称为空间直线l的一般式方程.
由于平面 1与 2相交成直线l , 因此在直角坐标系下， 它们的法向量 n1 A1 , B1 , C1 , n2 A2 , B2 , C2 不共线,即 又因为 n1 n2 0, l n1 n2 , B1 B2 l n1 , l n2 ,所以 C1 C1 , C2 C2
x x0 y y 0 z z 0 cos cos cos
直线的对称式方程为
说明:(1)方向数 直线l的方向向量v的坐标 X , Y , Z 称为直线l的方向数,且X 2 Y 2 Z 2 0,
常用X : Y : Z 或与它成比例的一组数l,m,n来 表示直线的方向数;
显然这是一种特殊形式的一般方程。
反过来,要将直线l的一般式方程:
A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C2 z D2 0
化为标准方程,只要应用直线方向向量公式求出 直线l的方向向量v,再任取一般式方程的一个特 解 x0 , y0 , z0 ,即取得直线l上一点P0 x0 , y0 , z0 ,从 而便可得到直线l的标准方程为: x x0 y y0 z z0 B1 C1 C1 A1 A1 B1 B2 C2 C2 A2 A2 B2
z0 2
点坐标 (1,0,2),
２、找方向向量 因所求直线与两平面的法向量都垂直 取
s n1 n2 {4,1,3},
1
x 1 y 0 z 2 z 对称式方程 , 4 1 3 x 1 4t . 参数方程 y t L z 2 3 t o
因为直线l的一般式方程可由通过l的任意 两个平面的方程联立组成,因此直线l的方程 也可由它的三个射影平面的方程中任取两个 不同的方程联立组成,例如 a1 x b1 y c1 0 (不重合) a2 y b2 z c2 0 这种由直线的两射影平面的方程联立组成的 直线方程称为直线的射影式方程.
a1 y b1 z c1 0 a2 x b2 z c2 0
例6. 将直线l的一般式方程: x 2 y 2z 1 0 x 2y z 4 0 化为射影式方程.
3).标准方程与一般式方程的互化
对于直线l的标准方程,因其中分母即直线的方向数X , Y , Z 不全 为零,不防设Z 0, 则由标准方程可改写得直线l的射影式方程:
(2)方向角与方向余弦
直线l的来自百度文库向向量v的
方向角 , , 与方向余弦 cos , cos , cos 分 别称为直线的方向角与方向余弦; 那么显然方向余弦与方向数之间的关系？
(3) t 的几何意义 参数t 对应的点P到定点P0 的距离与方向向量v的长度的比值, t r r0 v P0 P v