第3节 差商及Newton插值多项式

由 ω3 ( x) = ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 )
′ 得到 ω3 ( x) = ( x − x1 )( x − x2 ) + ( x − x0 )( x − x2 ) + ( x − x0 )( x − x1 )
′ ω3 ( x0 ) = ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) ω3 (x1) = (x1 − x0 )(x1 − x2 ) ′
f [ x, x0 , x1 ] − f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x, x0 , x1 , x2 ] = x −x2
依次类推得到： 依次类推得到：
f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f [ x0 , x1 ] + ( x − x0 )( x − x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ] +L + ( x − x0 )( x − x1 )L( x − xn−1 ) f [ x0 , x1 ,L, xn ] + ( x − x0 )( x − x1 )L( x − xn ) f [ x, x0 , x1 ,L, xn ]
3.差商的计算 3.差商的计算 为构造 Newton 插值多项式方便起见，计算差商时， 插值多项式方便起见，计算差商时， 采用列表的方式进行。 采用列表的方式进行。
xi x0
x1
yi y0
y1
f [ xi , xi+1 ]
f [ xi , xi+1, xi +2 ]
f [ xi , xi +1 , xi +2 , xi+3 ]
f ( x0 ) − f ( x1 ) = f ( x1 ) − f ( x0 ) = f [ x , x ] 1 0 f [ x0 , x1 ] = x1 − x0 x0 − x1
以k=2为例 k=2
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) + + f [ x0 , x1 , x2 ]= ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) ( x2 − x0 )( x2 − x1 )
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) = + + ′ ′ ′ ω3 ( x0 ) ω3 ( x1 ) ω3 ( x2 )
f ( xj ) =∑ ′ j =0 ω3 ( x j )
2
性质2:差商具有对称性 性质2:差商具有对称性,即k阶差商 f[x0 , x1 , … , xk-1 , 差商具有对称性, xk ]中，任意调换 xi , xj 的次序，其值不变。 的次序，其值不变。 中 证明：以k=1 为例 证明： k=1
令： N ( x) f ( x ) ( x x ) f [ x , x ] = − 0 n 0 + 0 1
+ ( x − x0 )( x − x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ] +L + ( x − x0 )( x − x1 )L( x − xn−1 ) f [ x0 , x1 ,L, xn ]
解：列差商表计算
x 1 2 4 5 6
y 0 2 12 20 70
一阶差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
2 5 8 50 1 1 21 0 5 1
二、Newton 插值多项式 对于区间[a,b] 对于区间[a,b]内的离散点 x, x0 , x1 , L, xn及相应的 计算如下差商： 函数值 f ( x), f ( x0 ), f ( x1 ), L, f ( xn ) ，计算如下差商：
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f [x1, x0 , x2 ]= + + ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) ( x2 − x0 )( x2 − x1 )
所以
f [ x0 , x1 , x2 ] = f [x1, x0 , x2 ]
f [ xi , x j ] − f [ x j , xk ]
一般地，称k-1 阶差商的一阶差商 一般地， f [ x0 , x1,L, xk−1] − f [x1, x2 ,L, xk ] f [x0 , x1,L, xk−1, xk ] = x0 − xk 为f(x)关于点 x0 , x1 ,L, xk 的 k 阶差商。 例如，已知f 例如，已知f(x)在 x0 = 0.1, x1 = 0.3, x2 = 0.5 的函数值为： 的函数值为：
′ ω3 ( x2 ) = ( x2 − x0 )( x2 − x1 )
从而
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f [ x0 , x1, x2 ] = ( x x )( x x ) + ( x x )( x xLeabharlann Baidu) + ( x x )( x x ) 0− 1 0− 2 1− 0 1− 2 2− 0 2− 1
得到
f [ x0 , x1 , x2 ] =
f [ x0 , x1 ] − f [ x1 , x2 ] x0 − x2 f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) = + + ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) ( x2 − x0 )( x2 − x1 )
f [ x, x0 ] = f ( x) − f ( x0 ) x −x0
f [ x, x0 ] − f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ] = x −x1 f [ x, x0 , x1 ] − f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x, x0 , x1 , x2 ] = x −x2 L L L L L L L L L L L L L L L L L L f [ x, x0 ,L, xn−1 ] − f [ x0 , x1 ,L, xn ] f [ x, x0 , x1 ,L, xn ] = x −xn
为n次Newton插值多项式。 Newton插值多项式 插值多项式。 如果 f(x) ≈ Nn(x),则误差为： 则误差为：
Rn ( x) = ( x − x0 )( x − x1 )L( x − xn ) f [ x, x0 , x1 ,L, xn ]
☆
验证
Nn ( xi ) = f ( xi ), i = 0,1,L, n
2.差商的性质 2.差商的性质 性质1 性质1：k 阶差商 f [ x0 , x1 ,L, xk−1, xk ] 是由函数值
f ( x0 ), f ( x1 ), L, f ( xk ) 的线性组合而成，即 的线性组合而成，
f ( xj ) f [ x0 , x1 ,L, xk−1 , xk ] = ∑ ′ j =0 ωk +1 ( x j )
性质3 性质3：若f(x)为n 次多项式，则f [x,x0]为关于x 的n次多项式， 为关于x 1次多项式。 次多项式。 证明： 证明：已知
f [ x, x0 ] = f ( x) − f ( x0 ) pn ( x) − pn ( x0 ) = x − x0 x − x0
由于 x0 是 pn ( x) − pn ( x0 ) = 0 的根，所以 的根，
f ( x0 ), f ( x1 ), L, f ( xn )
则称 f [ xi , x j ] = 称
f ( xi ) − f ( x j ) xi − x j
为f(x)关于点 xi,xj 的一阶差商。 的一阶差商。
xi − xk 的二阶差商。 为f(x)关于点 xi,xj ,xk 的二阶差商。
f [ xi , x j , xk ] =
验证
因此 Nn(x) 满足插值条件，是一个 n 次插值多项式。 满足插值条件， 次插值多项式。 并称
Nn ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f [ x0 , x1 ] + ( x − x0 )( x − x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ] +L + ( x − x0 )( x − x1 )L( x − xn−1 ) f [ x0 , x1 ,L, xn ]
f ( x0 ) = 2, f ( x1 ) = 3.2, f ( x2 ) = 4
2 − 3.2 1.2 = =6 0.1− 0.3 0.2
可以求得
f [ x0 , x1] =
f [ x1 , x2 ] =
3.2 − 4 0.8 = =4 0.3 − 0.5 0.2
f [ x0 , x1 ] − f [ x1 , x2 ] 6 − 4 2 f [ x0 , x1 , x2 ] = = = − = −5 x0 − x2 0.1− 0.5 0.4
f [ x0 , x1 ]
x2
x3
y2
y3
f [x1, x2 ]
f [ x2 , x3 ]
f [x0 , x1, x2 ]
f [ x1 , x2 , x3 ]
f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]
例 2.2 已知函数 y=f(x) 的如下离散数据(1,0)、(2,2)、 的如下离散数据(1,0)、(2,2)、 (4,12)、 (5,20)、(6,70)，试求其各阶差商. (4,12)、 (5,20)、(6,70)，试求其各阶差商.
可以求得： 可以求得：
f [ x, x0 ] − f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ] = x −x1
f ( x) − f ( x0 ) f [ x, x0 ] = x −x0
f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f [ x, x0 ]
f [ x, x0 ] = f [ x0 , x1 ] + ( x − x1 ) f [ x, x0 , x1 ]
§3 差商及Newton插值多项式 差商及Newton插值多项式
Lagrange 插值多项式的优点是格式整齐规范，但其 插值多项式的优点是格式整齐规范， 缺点是：当需要增加节点时，其基函数都要发生变化， 缺点是：当需要增加节点时，其基函数都要发生变化， 需要重新计算，这在实际计算中会影响效率。 需要重新计算，这在实际计算中会影响效率。下面介绍 Newton插值法会弥补这一不足 插值法会弥补这一不足。 的Newton插值法会弥补这一不足。 一、差商及其性质 1.差商的定义 1.差商的定义 处的函数值为： 设y=f(x)在n+1个互异点 x0 , x1 , … , xn 处的函数值为： 在 个互异点
k
其中 ωk+1( x) = ( x − x0 )( x − x1 )L( x − xk ) 证明：以k=2进行证明。由 证明： k=2进行证明。
f ( x0 ) − f ( x1 ) f [ x0 , x1 ] = x0 − x1 f ( x1 ) − f ( x2 ) f [ x1 , x2 ] = x1 − x2
f (x) = f (x0 ) + (x − x0 ) f [x0 , x1] + (x − x0 )(x − x1) f [x, x0 , x1]
f [ x, x0 , x1 ] = f [ x0 , x1 , x2 ] + ( x − x2 ) f [ x, x0 , x1 , x2 ]
f (x) = f (x0 ) + (x − x0 ) f [x0 , x1] + (x − x0 )(x − x1) f [x0 , x1, x2 ] + (x − x0 )(x − x1)(x − x2 ) f [x, x0 , x1, x2 ]
Rn ( x) = ( x − x0 )( x − x1 )L( x − xn ) f [ x, x0 , x1 ,L, xn ]
则可以将函数 f(x) 表示成： 表示成：
f ( x) = Nn ( x) + Rn ( x)
容易验证
Nn ( xi ) = f ( xi ), i = 0,1,L, n
pn ( x) − pn ( x0 ) = ( x − x0 )qn−1( x)
故
f ( x) − f ( x0 ) pn ( x) − pn ( x0 ) f [ x, x0 ] = = = qn−1( x) x − x0 x − x0
类似的可以得到： 类似的可以得到： f [x, x0 , x1] = qn−2 ( x) − 也就是说，对多项式求一次差商，次数降低一次。 也就是说，对多项式求一次差商，次数降低一次。