第3节 差商及Newton插值多项式
第3讲 牛顿插值公式
第8讲 牛顿插值公式§1.4 差商与差分及其性质 1 差商的概念:称10110)()(],[x x x f x f x x f --=为函数f (x )的一阶差商；称21021210],[],[],,[x x x x f x x f x x x f --=为函数f (x )的二阶差商；一般地，称010110],...,[],...,[],...,,[x x x x f x x f x x x f n n n n --=-为函数f (x )的n 阶差商；特别地，定义)(][00x f x f =为函数f (x )关于x o 的零阶差商。
由此可知，高阶差商总是由比它低一阶的的两个差商组合而成。
2（a ）n 阶差商可以表示成n +1个函数值01,,,n y y y 的线性组合,即∑-----==+-ki n i i i i i i i i k x x x x x x x x x x x f x x f 011100)())(())(()(],...,[该性质说明：k 阶差商],...,,[10n x x x f 计算是由函数值f (x 0),f (x 1),…f (x k )线性组合而。
如:],,[],,[],,[012201210x x x f x x x f x x x f ==；011100010110)()()()(],[x x x f x x x f x x x f x f x x f -+-=--=))(()())(()())(()()()()()()()()()()()(],[],[],,[120222101120100021221210111000111000201011212021021210x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x x x f x f x x x f x f x x x x f x x f x x x f --+--+--=--+------=-+-=------=--=对称性): 差商与节点的顺序无关。
§2.4 差商与Newton插值公式
称为函数f (x)在x0、x1 、xk 点的二阶差商.
© 2009, Henan Polytechnic University §4 差商与Newton插值公式
6 6
第二章 插值法
一般地，k-1阶差商的差商
f [ x0 ,, xk 2 , xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] f [ x0 , x1 ,, xk ] x k x k 1
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1010
第二章 插值法
性质3 若f(x)在[a,b]上存在n阶导数, 且节点x0 , x1 ,…,
xn∈[a,b] ,则至少存在一点 [a, b] 满足下式
f ( n ) ( ) f [ x0 , x1 ,, xn ] n!
f ( x 3 ) f ( x0 ) 1 1 a3 a a 1 2 x x x3 x2 x x 3 0 3 1
© 2009, Henan Polytechnic University §4 差商与Newton插值公式
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1212
第二章 插值法
2.4.2 牛顿插值公式 N n ( x) a0 a1 ( x x0 ) an ( x x0 )( x xn1 )
a0 f ( x0 )
1616
第二章 插值法
f ( x ) f ( x0 ) f [ x, x0 ]( x x0 )
f [ x , x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x , x0 , x1 ]( x x1 )
第3讲 牛顿插值多项式
2,利用差商表的最外一行,构造插值多项式
N n ( x) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x x0 ) + L + f [ x0 ,L , xn ]( x x0 ) L ( x xn 1 )
例子
2点Newton型插值
f ( x1 ) f ( x 0 ) N 1 ( x ) = f ( x0 ) + ( x x0 ) x1 x 0
n
性质2
数 学 系 Sichuan Agricultural University
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
f n+1 (ξ ) 同样 Nn ( x) 的误差为 Rn ( x) = ( x x0 )L( x xn ) (n + 1)!
另一方面 设 {xi }in=0 Newton插值为Nn ( x) 则有 {xi }in=0 U {a}为Nn+1 (t ) = Nn (t ) + f [ x0 ,L, xn , a](t x0 )L(t xn ) Nn+1 (a) = f (a) ∴ f (a) Nn (a) = f [ x0 ,L, xn , a](a x0 )L(a xn )
f ( x1 ) f ( x0 ) a1 = = f [ x0 , x1 ] x1 x0
1 f ( x2 ) f ( x0 ) a2 = a1 x2 x1 x2 x0 1 ( f [ x2 , x0 ] f [ x1 , x0 ]) = f [ x2 , x1 , x0 ] = x2 x1
i 0 , L , i k 是 0 , L , k 的任意排列
数 学 系 Sichuan Agricultural University
第三章 差分
二阶差商
三阶差商
19 − 4 =5 3−0
125 − 27 = 49 5−3
49 − 19 = 10 5−2
10 − 5 =1 5−0
太原科技大学 数值分析
2 牛顿插值多项式的推导
x f ( x)
x0 f ( x0 )
x1 L f ( x1 ) L
xn f ( xn )
f [x, x0 ,L, xn−1 ] = f [x0 , x1 ,L, xn ] + f [ x, x0 ,L, xn ]( x − xn ) (d )
LL
将（b）式代入（a）式得： ）式代入（ ）式得：
f ( x ) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x − x0 ) + f [ x , x0 , x1 ]( x − x0 )( x − x1 )
f [ x0 , x1 ,L, x4 ] = 1
N 4 ( x) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x − x0 ) + f [ x0 , x1 , x2 ]( x − x0 )( x − x1 ) + f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 ) + f [ x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ]( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) = 0 + 2( x − 1) + ( x − 1)( x − 2) + 0( x − 1)( x − 2)( x − 4) + ( x − 1)( x − 2)( x − 4)( x − 5)
差商及其性质
f
x0 , x1
f (x1 ) f (x0 ) x1 x0
(1)可用归纳法证明。(2)利用(1)很容易得到。只证(1)
证明：（1）当k =1时, f x0 , x1
假设当k n时成立，即有
f
(x1 )
f
(
x0
)
f (x0 )
f (x1 )
x1 x0
x0 x1 x1 x0
f [x0，x1，xn]
的线性组合，即
f
x0 , x1,, xk
k j0
(xj
x0 )(x j
x1)( x j
f (xj) x j1 )(x j
x j1 )( x j
xk )
k
j0
k
f (xj)
k
f (xj)
( x j xi ) j0 k 1 ( x j )
i0
（2）k
阶差商
f
x0
,
x1
i j
,, xk
关于节点
x0
,
x1
,,
xk
是对称的，或说
均差与节点顺序无关，即
f x0, x1,, xk f x1, x0,, xk f xk , xk1,, x0
例如：f xi , x j , xk f xi , xk , x j , f x j , xi , xk f x j , xk , xi
f (xj) xj1)(x j
x j1)( x j
xn )
f
[ x1，x2， xn1 ]
n1 j 1
(
xj
x1)( x j
f (xj) xj1)(xj
x j1)(
xj
xn1 )
差商法牛顿多项式插值
二、差商法牛顿多项式插值2.1 问题描述使用差商法构建牛顿多项式插值，首先给出牛顿插值多项式：()[][]()[]()()[]()()001001201010n n n N x f x f x ,x x x f x ,x ,x x x x x f x ,x ,,x x x x x =+-+--++-- (2.1)上式中的系数可由差商表得到：][01n f x ,x ,,x []()()111i i i i i if x f x f x ,x x x +++-=- (2.2)[][][]111111i i k i k i i i k i i i k i k i k if x ,,x ,x f x ,x ,,x f x ,x ,,x ,x x x ++-+++-++-++-=- (2.3)使用上述二式构建差商表，进而求出差商的结果。
2.2 代码代码为FORTRAN 语言，使用VS2010在win10环境下写成的，使用FORTRAN95格式，使用安装在VS2010上的IVF2011编译器生成并运行成功。
PROGRAM CHASHANG IMPLICIT NONEINTEGER :: N,I,J !N 是样本个数REAL*8 :: X(20), Y(20) !作为样本的x 值和y 值 REAL :: F(20,20) !数组，用于盛放差商表REAL :: INPUT,OUTPUT,INPUTL(20) !input 是要求的插值点，output 是input 点对应的y 值!读取离散数据OPEN(unit=11,file='INPUT.txt') READ(11,*) N,INPUT READ(11,*) X(1:N+1) READ(11,*) Y(1:N+1)!构建差商表F(1:N+1,1:N+1)=0 DO I=1,N+2F(I,1)=Y(I) !C0第一列 ENDDODO I=2,N+2,1 DO J=2,I,1F(I,J)=(F(I,J-1)-F(I-1,J-1))/(X(I)-X(I-J+1)) ENDDO ENDDO!输出差商表 DO I=1,N+2 DO J=1,N+1WRITE(*,*)F(I,J) ENDDO ENDDO!构建累乘表INPUTL INPUTL(1:N+1)=1 DO I=2,N+1INPUTL(I)=INPUTL(I-1)*(INPUT-X(I-1)) !分别求出公式2.1中的各项并存储在INPUTL(I)中，累乘n 次 ENDDO!计算结果OUTPUT=F(1,1)*INPUTL(1) DO I=2,N+2OUTPUT=OUTPUT+F(I,I)*INPUTL(I) !累加得到公式2.1中的N(x)值ENDDOOPEN(unit=22,file='OUTPUT.txt') WRITE(22,*) OUTPUTENDPROGRAM2.3 验证使用了沈艳等人《高等数值计算》(清华大学出版社出版的)一书中例6.1(P100)中的样本值开展了验证，将题目中的6π，4π，3π写为小数形式： 0.5235 0.7854 1.0472同样，其对应的函数值也写为小数形式：0.5 0.7071 0.8660 输入插值点518π，即0.8727，程序执行之后，得到该插值点对应的y 值： 0.765433667340945输入文件格式：—————————————— 2 0.872660.5236 0.7854 1.0472 0.5 0.7071 0.866得到的输出文件：——————————————0.7654179 ——————————————。
差商与牛顿插值多项式
⇒ f [x, x0 ,⋯, xn−1 ] = f [x0 , x1 ,⋯, xn ] + f [ x, x0 ,⋯, xn ]( x − xn ) (d )
f x x x ] x − xx f [ x,, x00]]= f [ x0 , x1 ] + f [x,, x00,,x11(]( x − 1 )1 ) (b) x
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x1 ) − f ( x0 ) f [ x0，x1 ] = + =1时 当k =1时, ⇐ f [x0 , x1 ] = x0 − x1 x1 − x0 x1 − x0 利用(1)很容易得到。 (1)可用归纳法证明。(2)利用(1)很容易得到。只证(1) )可用归纳法证明。(2)利用(1)很容易得到 只证(1) f ( x1 ) − f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x1 ) （ =1时 = + 证明： ） 证明： 1）当k =1时, f [x0 , x1 ] = x1 − x0 x0 − x1 x1 − x0
f [x2 , x3 ] f [x1, x2 , x3 ] f [x3 , x4 ] f [x2 , x3 , x4 ]
⋮ ⋮ f [xk−1, xk ] f [xk−2 , xk−1, xk ]
f [x0 , x1, x2 , x3 ] f [x1, x2 , x3 , x4 ]
⋮ ⋱
f ( x4 )
f [x0 , x1 ,⋯, xk ] = ∑
k j =0
f (xj )
( x j − x0 )(x j − x1 )⋯( x j − x j−1 )(x j − x j+1 )⋯( x j − xk ) k k f (xj) f (x j ) =∑ k =∑ j =0 ′ Π ( x j − x i ) j = 0 ω k +1 ( x j )
newton插值多项式
三阶差商
Newton公式 Newton优点
四阶差商
f [ x0 , x1 ]
x 2 f ( x2 ) f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ]
N k 1 ( x) N k ( x) f [ x0 ,, xk , xk 1 ]( x x0 )( x x1 )( x xk )
17
一次Newton插值多项式
N1(x)= f(x0)+f[x0,x1](x-x0)
二次Newton插值多项式
N2(x)= f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)
f [ x0 , x1 , , xn ] f
(n)
( ) n!
7
例 已知 f(x) = x7+ x4+ 3x+ 1 求 f [20, 21, … 27 ] 及 f [20, 21, … 27, 28 ] 分析：本题 f(x)是一个多项式, 故应利用差商的性
质
解: 由差商与导数之间的关系
8
差商的计算-差商表
9
例
已知
xi
f ( xi )
计算三阶差商 解：列表计算
xi
f [1, 2,4,7]
f ( xi )
f [1, 2, 4, 7] 1 / 2
10
二 Newton 插值多项式
根据差商的定义，把
f [ x, x0 ]
x 看成[a,b]上的一点，可得：
f ( x) f ( x0 ) x x0
差商与牛顿基本插值公式
可以得到 n 次牛顿插值多项式为
N n x f x0 f x0 , x1 x x0 f x0 , x1 , x2 x x0 x x1 f x0 , x1 , , xn x x0 x x1 x xn 1
定义 f x 在点 x0 , x1 ,, xm 处的 m 阶差商为
f x0 , x1 ,, xm
f x1 ,, xm x0 , x1 ,, xm1 xm x0
j 0
m
x
j
x0 x j x j 1 x j x j 1 x j xm
n 次牛顿插值多项式为
Nn x a0 a1 x x0 a2 x x0 x x1 an x x0 x x1 x xn1
定义零阶差商为
f xi f xi
定义 f x 在点 xi , x j 处的一阶差商为
f xj
通过上式可以发现差商具有对称性，即任意调换节点的次序，不会影响差商的值，例如
f x0 , x1, x2 f x1, x2 , x0 f x1, x0 , x2
通过满足插值条件 Nn xi f xi
i 0,1,2,, n ，有
return;
已知函数表
x
x
用线性插值得
100 10
121 11
144 12
169 13
115 N1 115 10.7143
用抛物线插值得
115 N 2 115 10.7228
第3节 差商及Newton插值多项式
为n次Newton插值多项式。 Newton插值多项式 插值多项式。 如果 f(x) ≈ Nn(x),则误差为： 则误差为：
Rn ( x) = ( x − x0 )( x − x1 )L( x − xn ) f [ x, x0 , x1 ,L, xn ]
☆
验证
Nn ( xi ) = f ( xi ), i = 0,1,L, n
得到
f [ x0 , x1 , x2 ] =
f [ x0 , x1 ] − f [ x1 , x2 ] x0 − x2 f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) = + + ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) ( x2 − x0 )( x2 − x1 )
f [ x, x0 ] = f ( x) − f ( x0 ) x −x0
f [ x, x0 ] − f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ] = x −x1 f [ x, x0 , x1 ] − f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x, x0 , x1 , x2 ] = x −x2 L L L L L L L L L L L L L L L L L L f [ x, x0 ,L, xn−1 ] − f [ x0 , x1 ,L, xn ] f [ x, x0 , x1 ,L, xn ] = x −xn
f ( x0 ) = 2, f ( x1 ) = 3.2, f ( x2 ) = 4
2 − 3.2 1.2 = =6 0.1− 0.3 0.2
可以求得
f [ x0 , x1] =
f [ x1 , x2 ] =
3.2 − 4 0.8 = =4 0.3 − 0.5 0.2
53第三节-Newton插值多项式
差商的计算结果要做出一个数据表格
差商表
xk 函数值 一阶差商 二阶差商
三阶差商 ...
x0 f (x0)
f [ x0 , x1]
x1 f (x1)
f [x0, x1, x2]
f [ x1 , x2]
f [x0, x1, x2 , x3] ...
x2 f (x2)
f [x1, x2, x3]
f [ x2 , x3]
一、差商的概念
1. 差商的定义
定义1
称 f [ x0 , xk ]
f ( x0 ) f ( xk ) 为函数 f (x) x0 xk
关于点x0, xk的一阶差商. 一阶差商的差商(均差)
f [ x0 , x1 , xk ]
f [ x0 , xk ] f [ x0 , x1 ] xk x1
可表示为
P2( x) P1( x) a2( x x0 )( x x1 ).
显然它满足条件P2(x0)=f(x0)及P2(x1)=f(x1). 令
P2(x2)=f(x2)，则得
f ( x2 ) f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x0 )
a2
P2( x2 ) P1( x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
x2 x0
x1 x0
x2 x1
系数a2是函数f(x)的“差商的差商”.
一般情况已知f(x)在插值点上xi(i=0,1, …,n)的值 为f(xi)(i=0,1, …,n)，要求n次插值多项式满足条件
Pn( xi ) f ( xi ), i 0,1, , n,
则Pn(x)可表示为
第三节 牛顿(Newton)插值多项式
研究生数值分析(15)---插商与牛顿(Newton)插值多项式
xk xi
为f(x)在 xi , x j , xk 处的二阶差商，记为 f [xi , x j , xk ]
即
f [xi , xj , xk ]
f [xj , xk ] f [xi , xj ] xk xi
一般地，称 m-1 阶差商的差商
f [x0 , x1,
, xm ] f [x1, x2 ,
f (k) (x) 之间有如下重要关系：
f (k ) ( )
f [x0 , x1, , xk ] k !
(min{x0, x1, , xk}, max{x0, x1, , xk})
有了差商的概念和性质后，我们就可以用差商 来表示牛顿差值多项式中的系数。
Nn(x) a0 a1(x x0) a2(x x0)(x x1) an(x x0) (x xn1)
试用牛顿线性插值与抛物线插值求 115 的近似值，并估计截断误差。
解：先构造差商表，取 x0 100, x1 121, x2 144, x3 169
x x 一阶差商 二阶差7619
121 11
-0.00009411
0.043478
0.0000003138
144 12
-0.00007246
f (n1) ( ) (n 1)!
n1
(
x)
f [x0, x1,
, xn1]n1(x)
可知近似值 N1(115) 与 N2 (115) 的截断误差分别为
R1(115) 0.01125
R2(115) 0.0017
在实际计算中，特别是在函数f(x)的高阶导数 比较复杂或 f(x) 的表达式没有给出时，由性质3， 我们可以用差商表示的余项公式
例3中，若用此方法估计截断误差，则有
差商及其性质
j
f [ x 1， x 2， x n 1 ]
(x
x 1 ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) ( x j x n 1 )
假设当 k n 时成立，即有
f [ x 0， x 1， x n ]
j0
n
f (xj) ( x j x 0 ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) ( x j x n )
( x x 0 )( x x 1 ) ( x x n 1 )
将(b)式两边同乘以,( x x 0 ) ,(c)式两边同乘以 ( x x 0 )( x x 1 )， (d)式两边同乘以 ( x x 0 )( x x 1 ) ( x x n 1 ) ,把所有式子相加,得
1 (
f x 1 , x 2 , x n 1 f x 0 , x 1 , , x n xn1 x0 f ( xn1 ) f ( x0 ) ( x 0 x 1 )( x 0 x 2 ) ( x 0 x n ) )
x n 1 x 0 ( x n 1 x 1 )( x n 1 x 2 ) ( x n 1 x n )
称为函数y=
在 x 0 , x 1 , , x n 点的n阶差商（n阶均差）。
2 基本性质 定理5（1）f ( x ) 的k阶差商 f x 0 , x 1 , , x k 是函数值 的线性组合，即
f x 0 , x1 , , x k
f ( x 0 ), f ( x 1 ), , f ( x k )
f (x0 ) x0 x1 f ( x1 ) x1 x0 f x 0 , x 1 f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0 f ( x1 ) x1 x0
数值分析--chapter3 多项式插值与样条插值
其中Ak 为待定系数。
由条件lk (xk ) = 1 可定Ak ，于是
lk=(xj)=n0=xx(k−x−k(xx−xjj−x0x)0()x(kx−−xx11))······((xxk−−xxkk−−11))((xx−k −xkx+k1+)1·)···(··x(−xkx−n)xn)
(6)
j =k
§3.2 拉格朗日(Lagrange)插值−−拉格朗日插值多项式
基函数法：由线性空间的基出发，构造满足插值条件的多项式方 法。
用基函数法求插值多项式分两步：
(1)定义n + 1个线性无关的特殊代数多项式（插值基函数）， 用ϕ0(x), · · · , ϕn(x)表示;
(2)利用插值条件，确定插值基函数的线性组合表示的n次插值多
项式
p(x) = a0ϕ0(x) + a1ϕ1(x) + · · · + anϕn(x)
− −
x0 x0
y1
(8)
用L1(x)近似代替f (x)称为线性插值，公式(8)称为线性插值多项 式或一次插值多项式。
§3.2 拉格朗日(Lagrange)插值−−拉格朗日插值多项式
当n = 2时，拉格朗日插值多项式(7)为
02-（3）差商、牛顿插值
§3 差商、牛顿插值公式拉格朗日插值公式的缺点：当增加一个节点时，不仅要增加项数，而且以前各项也必须重新全部计算，不能利用已有的结果。
为克服这一缺点，给大家介绍另一种形式——牛顿插值公式。
以抛物线插值为例：设 22102)(x a x a a x P ++=i i y x P =)(2 i = 0, 1, 2也可以将P 2 (x )写成：))(()()(1020102x x x x a x x a a x P --+-+=令x = x 0，由插值条件（2.2），有0002)(a y x P ==令x = x 1，由（2.2），有 )()()(0110121x x a y x P x f -+==解得：01011x x y y a --=最后，由 )()(222x f x P = 得20101121212010102022x x x x y y x x y y x x x x y y x x y y a ------=------=我们看到，系数表示有明显的规律性。
为了把这一规律具体化，写出牛顿插值公式，我们引进差商的概念。
1．差商的定义定义1：设有函数f (x )以及自变量的一系列互不相等的x 0, x 1,…, x n （即在i ≠ j 时，x i ≠ x j ），的值)(i x f n i ,2,1= ，称)()()(j i x x x f x f ij i j ≠--（2.12）为f (x )在点x i , x i 处的一阶差商，并记作f [x i , x j ]，例如： 010110)()(],[x x x f x f x x f --=121221)()(],[x x x f x f x x f --=又称k i x x x x f x x f x x x f ki k j j i k j i ≠--=],[],[],,[为f (x )在点x i , x j , x k 处的二阶差商，如202110210],[],[],,[x x x x f x x f x x x f --=一般，称nn n n x x x x x f x x x f x x x f --=-02111010],,[],,,[],,[ （2.13）为f (x )在点x 0, x 1,…, x n 处的n 阶差商。
4.2 差商差分及牛顿插值多项式
(3)
f (x 0 )
(2)
t ( t 1 ) ...
f (x 0 )
(n)
t ( t 1 )...( t n 1 ) R ( t )
2!
n!
( ), x 0 x n .
同样可得Newton后插公式：
在节点等距的情况下， x n， x
(k)
{ x i }i 0 [a , b ]
n
n 1
例4.4利用差分的性质证明
1
2
2
2
... n
2
n ( n 1 )( 2n 1 ) 6
插值型求导公式
设n(x)是f(x)的过点{x0 ，x1 ，x2 ，…xn } [a，b]的 n 次 插值多项式，由Laglange插值余项,有对任意给 定的x[a，b]，总存在如下关系式: 若取数值微分公式 误差为:
d dx
f
( n 1 )
( )
( n 1 )!
(x)
d dx
f
( n 1 )
( )
( n 1 )! dBiblioteka dx中 是未知的 ( )
, 其误差不能估计
, 注意到在插值
节点处 ( x i )
f
( n 1 )
( n 1 )!
0 , 此时的余项为
R n ( x i ) f ( x i ) n ( x i )
牛顿插值多项式多项式插值拉格朗日插值多项式三次多项式插值lagrange插值多项式matlab多项式插值多项式插值法牛顿插值牛顿插值公式matlab牛顿插值
§1.2
差商差分及牛顿插值多项式
差商与牛顿多项式
5
重节点差商
类似的有
f [ x0 , x1,⋯, x(1) ] − f [ x0 , x1 ,⋯, x] = d f [ x , x ,⋯, x , x] （）f [ x0 , x1,⋯, xn , x, x] ≡ lim 1 0 1 n (1) dx x ( 1) → x x −x
⇒
f ′( x0 ) ′( x0 ) = 首先,由定义 分析：(2)首先 分析：(2)首先,由定义 f [ x 0 , x0 ] = f 1! f [ x0 , x] − f [ x0 , x0 ] 下证 f [ x0 , x0 , x0 ] = lim f [ x0 , x0 , x] ≡ lim 泰勒展开式 x → x0 x → x0 x − x0 f ′′(x0 ) f (n) (x0 ) ∵ f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2 +⋯+ (x − x0 )n + o((x − x0 )n ) 2! n! (n) f (x) − f (x0 ) f ′′(x0 ) f (x0 ) (x − x0 ) +⋯+ (x − x0 )n−1 +o((x − x0 )n−1) ∴ f [x0 , x] = = f ′(x0 ) + x − x0 2! n!
§4 差商与牛顿插值多项式
n 阶差商 f [x1 , x2 ,⋯ xn ] − f [ x0 , x1 ,⋯, xn−1 ] ≡ f [ x0 , x1 ,⋯, xn ] ≡ [ x0 , x1 ,⋯, xn ] f ( x) 牛顿插值多 牛顿插值公式
x n − x0
项式系数
f ( x ) = Pn ( x ) + Rn ( x )
牛顿插值公式
k f ( x1 ) k!hk
k f ( x0 ) k!hk
k f ( x1 ) k f ( x0 )
k!hk
(k 1)h
(k 1)h
k ( f ( x1 ) f ( x0 )) (k 1)!hk1
k 1 f ( x0 ) (k 1)! hk 1
.
n
Rn( x) f [x, x0 , x1, , xn ]( x xi ) --- 牛顿插值余项 i0
乘除法次数大约为: 1 n2 3 n 较L-插值法减少了3-4倍. 22
5 重节点差商
定义5 (重节点差商)
则定义
记
f[
类似的有
x0
,
x0
]
x
lim
(1 0
)
x
0
f[
若 lim x0(1) x0
x0
,
x(1) 0
]
f ( x0(1) ) f ( x0
x0(1) x0
lim f ( x0(1) )
x0(1) x0
x0(1)
)
f (x x0
f
0
( x0 ) )
f
(
,
x
0
)
（1）f [x0, x1,
, xn, x, x]
lim
x(1) x
f [x0, x1,
m!
f
x0 , x1,
,
xm
m f ( x0 ) m!hm
5.2 牛顿向前插值，向后插值公式
1、公式
a
x0
x1
x2
xn1 xn b
4.2 差商差分及牛顿插值多项式
若以相反的节点顺序：
,..., x 0 建立 Newton 基本插值公式得：
n -1
N a (x ) f [x n ] f [x n , x ... f [ x n , x 由于： f [x n , x ] f [x n -1
n 1
]( x x n ) f [ x n , x
(n 1)
(3)
f (x 0 )
(2)
t ( t 1 ) ...
f (x 0 )
(n)
t ( t 1 )...( t n 1 ) R ( t )
2!
n!
( ), x 0 x n .
同样可得Newton后插公式：
在节点等距的情况下， x n， x
,x
n -2
] f [x
n -2
,x
,xn]
f (x n )
2
2! h
n -1
,..., x
n -r
] f [x
n -r
,..., x
n -1
,xn]
f (x n )
r
r! h
N a (x ) f (x n ) ... f (x n )
n
f (x n ) 1! h
由Newton插值公式：
N ( x ) f [ x 0 ] f [ x 0 , x 1 ]( x x 0 ) ... f [ x 0 , x 1 ,..., x n ]( x x 0 )( x x 1 )...( x x n 1 ) R ( x ) 及任意的 f[x 0 , x 1 ,..., x k ]与差分之间的关系： f (x 0 )
第三节 牛顿插值多项式
第三节 牛顿插值多项式拉格朗日插值的优点是插值多项式特别容易建立，缺点是增加节点时原有多项式不能利 用，必须重新建立，即所有基函数都要重新计算，这就造成计算量的浪费；牛顿(Newton )插值多项式是代数插值的另一种表现形式，当增加节点时它具有所谓的“承袭性”，这 要用到差商的概念。
5.3.1 差商的定义与性质定义 已知函数f(x)的n+1个插值点为),(j i y x ，i y =f(i x )，i=0,1, …,n ，ji j i x x x f x f --)()(称为f(x)在点),(j i y x 的一阶差商，记为f ［ji y x ,］，即f ［j i y x ,］=j i j i x x x f x f --)()( (5.3.1)一阶差商的差商k i k j j i x x x x f x x f ---],[][称为f(x) 在点kj i x x x ,,的二阶差商，记为f ［k j i xx x ,,］，即f ［kj i x x x ,,］=ki k j j i x x x x f x x f ---],[][(5.2.2) 一般地，k-1阶差商的差商kk k x x x x x f x x x f ---021110],...,[],...,,[称为f(x)在点k x x x ,...,,10的k 阶差商，记为f ［k x x x ,...,,10］，即f ［k x x x ,...,,10］=kk k x x x x x f x x x f ---021110],...,[],...,,[ (5.3.3)差商具有以下性质：性质1 n 阶差商可以表示成n+1个函数值)(),...,(),(10n x f x f x f 的线 性组合，即f ［k x x x ,...,,10］=∑=+-----ni n i i i i i i i x x x x x x x x x f 0110))...()()...(()( 事实上，由式(1)当n=1时，011100101010)()()()(],[x x x f x x x f x x x f x f x x f -+-=--=当n=2时，))(()())(()())(()())(()()11()())(()())()((1))()((1],[],[],[],[],,[12022210112010012022210120120100122211020111002002211010212110210x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x x x x x x f x x x x x f x x x f x x x f x x x x x f x x x f x x x x x x f x x x x f x x x x f x x f x x x f --+--+--=--+----+--=-+--+-+--=-+-=--=一般地有f ［k x x x ,...,,10］=∑=+-----ni n i i i i i i i x x x x x x x x x f 0110))...()()...(()( 性质2(对称性) 差商与节点的顺序无关，如],,[],,[],,[],[],[1202012100110x x x f x x x f x x x f x x f x x f === 这一点可以从性质1看出。
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验证
因此 Nn(x) 满足插值条件，是一个 n 次插值多项式。 满足插值条件， 次插值多项式。 并称
Nn ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f [ x0 , x1 ] + ( x − x0 )( x − x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ] +L + ( x − x0 )( x − x1 )L( x − xn−1 ) f [ x0 , x1 ,L, xn ]
f ( x0 ) − f ( x1 ) = f ( x1 ) − f ( x0 ) = f [ x , x ] 1 0 f [ x0 , x1 ] = x1 − x0 x0 − x1
以k=2为例 k=2
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) + + f [ x0 , x1 , x2 ]= ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) ( x2 − x0 )( x2 − x1 )
f ( x0 ) = 2, f ( x1 ) = 3.2, f ( x2 ) = 4
2 − 3.2 1.2 = =6 0.1− 0.3 0.2
可以求得
f [ x0 , x1] =
f [ x1 , x2 ] =
3.2 − 4 0.8 = =4 0.3 − 0.5 0.2
f [ x0 , x1 ] − f [ x1 , x2 ] 6 − 4 2 f [ x0 , x1 , x2 ] = = = − = −5 x0 − x2 0.1− 0.5 0.4
由 ω3 ( x) = ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 )
′ 得到 ω3 ( x) = ( x − x1 )( x − x2 ) + ( x − x0 )( x − x2 ) + ( x − x0 )( x − x1 )
′ ω3 ( x0 ) = ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) ω3 (x1) = (x1 − x0 )(x1 − x2 ) ′
f [ x, x0 , x1 ] − f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x, x0 , x1 , x2 ] = x −x2
依次类推得到： 依次类推得到：
f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f [ x0 , x1 ] + ( x − x0 )( x − x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ] +L + ( x − x0 )( x − x1 )L( x − xn−1 ) f [ x0 , x1 ,L, xn ] + ( x − x0 )( x − x1 )L( x − xn ) f [ x, x0 , x1 ,L, xn ]
为n次Newton插值多项式。 Newton插值多项式 插值多项式。 如果 f(x) ≈ Nn(x),则误差为： 则误差为：
Rn ( x) = ( x − x0 )( x − x1 )L( x − xn ) f [ x, x0 , x1 ,L, xn ]
☆
验证
Nn ( xi ) = f ( xi ), i = 0,1,L, n
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f [x1, x0 , x2 ]= + + ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) ( x2 − x0 )( x2 − x1 )
所以
f [ x0 , x1 , x2 ] = f [x1, x0 , x2 ]
′ ω3 ( x2 ) = ( x2 − x0 )( x2 − x1 )
从而
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f [ x0 , x1, x2 ] = ( x x )( x x ) + ( x x )( x x ) + ( x x )( x x ) 0− 1 0− 2 1− 0 1− 2 2− 0 2− 1
令： N ( x) f ( x ) ( x x ) f [ x , x ] = − 0 n 0 + 0 1
+ ( x − x0 )( x − x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ] +L + ( x − x0 )( x − x1 )L( x − xn−1 ) f [ x0 , x1 ,L, xn ]
k
其中 ωk+1( x) = ( x − x0 )( x − x1 )L( x − xk ) 证明：以k=2进行证明。由 证明： k=2进行证明。
f ( x0 ) − f ( x1 ) f [ x0 , x1 ] = x0 − x1 f ( x1 ) − f ( x2 ) f [ x1 , x2 ] = x1 − x2
解：列差商表计算
x 1 2 4 5 6
y 0 2 12 20 70
一阶差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
2 5 8 50 1 1 21 0 5 1
二、Newton 插值多项式 对于区间[a,b] 对于区间[a,b]内的离散点 x, x0 , x1 , L, xn及相应的 计算如下差商： 函数值 f ( x), f ( x0 ), f ( x1 ), L, f ( xn ) ，计算如下差商：
f ( x0 ), f ( x1 ), L, f ( xn )
则称 f [ xi , x j ] = 称
f ( xi ) − f ( x j ) xi − x j
为f(x)关于点 xi,xj 的一阶差商。 的一阶差商。
xi − xk 的二阶差商。 为f(x)关于点 xi,xj ,xk 的二阶差商。
f [ xi , x j , xk ] =
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) = + + ′ ′ ′ ω3 ( x0 ) ω3 ( x1 ) ω3 ( x2 )
f ( xj ) =∑ ′ j =0 ω3 ( x j )
2
性质2:差商具有对称性 性质2:差商具有对称性,即k阶差商 f[x0 , x1 , … , xk-1 , 差商具有对称性, xk ]中，任意调换 xi , xj 的次序，其值不变。 的次序，其值不变。 中 证明：以k=1 为例 证明： k=1
Rn ( x) = ( x − x0 )( x − x1 )L( x − xn ) f [ x, x0 , x1 ,L, xn ]
则可以将函数 f(x) 表示成： 表示成：
f ( x) = Nn ( x) + Rn ( x)
容易验证
Nn ( xi ) = f ( xi ), i = 0,1,L, n
§3 差商及Newton插值多项式 差商及Newton插值多项式
Lagrange 插值多项式的优点是格式整齐规范，但其 插值多项式的优点是格式整齐规范， 缺点是：当需要增加节点时，其基函数都要发生变化， 缺点是：当需要增加节点时，其基函数都要发生变化， 需要重新计算，这在实际计算中会影响效率。 需要重新计算，这在实际计算中会影响效率。下面介绍 Newton插值法会弥补这一不足 插值法会弥补这一不足。 的Newton插值法会弥补这一不足。 一、差商及其性质 1.差商的定义 1.差商的定义 处的函数值为： 设y=f(x)在n+1个互异点 x0 , x1 , … , xn 处的函数值为： 在 个互异点
可以求得： 可以求得：
f [ x, x0 ] − f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ] = x −x1
f ( x) − f ( x0 ) f [ x, x0 ] = x −x0
f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f [ x, x0 ]
f [ x, x0 ] = f [ x0 , x1 ] + ( x − x1 ) f [ x, x0 , x1 ]
2.差商的性质 2.差商的性质 性质1 性质1：k 阶差商 f [ x0 , x1 ,L, xk−1, xk ] 是由函数值
f ( x0 ), f ( x1 ), L, f ( xk ) 的线性组合而成，即 的线性组合而成，
f ( xj ) f [ x0 , x1 ,L, xk−1 , xk ] = ∑ ′ j =0 ωk +1 ( x j )
性质3 性质3：若f(x)为n 次多项式，则f [x,x0]为关于x 的n次多项式， 为关于x 1次多项式。 次多项式。 证明： 证明：已知
f [ x, x0 ] = f ( x) − f ( x0 ) pn ( x) − pn ( x0 ) = x − x0 x − x0
由于 x0 是 pn ( x) − pn ( x0 ) = 0 的根，所以 的根，
f [ x0 , x1 ]
x2
x3
y2
y3
f [x1, x2 ]
f [ x2 , x3 ]
f [x0 , x1, x2 ]
f [ x1 , x2 , x3 ]
f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]
例 2.2 已知函数 y=f(x) 的如下离散数据(1,0)、(2,2)、 的如下离散数据(1,0)、(2,2)、 (4,12)、 (5,20)、(6,70)，试求其各阶差商. (4,12)、 (5,20)、(6,70)，试求其各阶差商.
得到
பைடு நூலகம்
f [ x0 , x1 , x2 ] =
f [ x0 , x1 ] − f [ x1 , x2 ] x0 − x2 f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) = + + ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) ( x2 − x0 )( x2 − x1 )
pn ( x) − pn ( x0 ) = ( x − x0 )qn−1( x)