第七章共形映射复变函数论教学课件资料

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定理7.4(解析函数的保角性)
若w=f(z)在区域D内解析, 则它在导数不为零的点处是保角的。 从而在这些点各自的充分小邻域内也保角。 结合定理6.11得： 推论7.5 若w=f(z)在区域D内单叶解析，则它在D内保角。
例(P282例7.2) 证明w=eiz将相互正交的直线族Re z=C1与Im z=C2 依次变为相互正交的直线族v=utan C1与圆周族u2+v2=e-2C 2 证 直线族Re z=C1与Im z=C2是相互正交的 在变换w=eiz下，像为： u+iv =eiz =ei(C1+iC2) = e-C2 eiC1 = e-C2 (cosC1+isinC1) u= e-C2cosC1、v= e-C2sinC1 即：v=utan C1、 u2+v2=e-2C 2 而在z平面上w=ieiz ≠0 即变换w=eiz在z平面上保角， 所以v=utan C1与u2+v2=e-2C 2也相互正交
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例(P280例7.1)
试求变换w=f(z)=z2+2z在点z=-1+2i处的旋转角及伸缩率,并 说明它将z平面的那一部分放大？那一部分缩小。 解 w=f (z)=2z+2 f (-1+2i)=4i≠0 故在-1+2i处 旋转角为arg f (-1+2i)=π /2 伸缩率为|f (-1+2i)|=4 因为|f (z)|=2|z+1| 故|f (z)|>1|z-(-1)|>1/2 因此w=f(z)将以-1为心，1/2为半径的圆周 外部放大， 内部缩小。
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⑴此定理除可说明解析变换的保域性外 ,还可用于解决有关常数 的问题. 函数解析保域,则函数非常数 函数解析不保域,则函数常数 ⑵由定理,前面对最大模原理和一些例题的几何解释是合理的. ⑶此定理的在扩充复平面上的推广: w=f(z)在扩充z平面上的区域D内除极点外处处解析(亚纯函数),且 不为常数,则D的象G=f(D) 是扩充w平面上的一个区域。 ⑷非单叶解析函数在导数不为0的邻域,不能从一叶进入另一叶. ⑸单叶函数将简单曲线(周线)变为简单曲线(周线). ⑹此定理可确定像所在的区域. 区域区域. 周线周线. 当给定像和原像一条件,就可确定像所在的区域 z平面 y z 0 x
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保域定理的注解
C w=f(z)
w平面
v w 0
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Г
w u
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⒉解析变换的保角性——导数的几何意义
w0= f (z0) 设函数w=f(z)是区域D内的解析, z0D , f (z0)≠0, 过z0的一条简单光滑曲线C：z=z(t) (t0≤t≤t1) z0 =z(t0), z(t0)≠0 C在w=f(z)的像Г:w=f(z(t))=w(t) (t0≤t≤t1),w0=f(z(t0)) w (t0)=f (z0)z(t0)≠0, 记: f (z0)=Reiα 即导数非0的解析函数将简单光滑曲线变为简单光滑曲线. ⑴导数幅角的几何意义 曲线C在z=z0的切线与实轴的夹角ψ是z(t0)的幅角argz(t0) 曲线Г在w=w0的切线与实轴的夹角Ψ是w (t0)的幅角argw(t0) Г Ψ=argw(t0)=arg[ f (z0)z(t0)]=arg f (z0)+argz(t0)= α+ψ α C z平 面 y w z0 w平面 v 0 Ψ ψ w=f(z) ψ x u 0 0 因此,Г在w0处、C在z0处切线与实轴的夹角相差, α=Ψ -ψ 与曲线C及切线无关. 只与函数在z0处的导数有关。
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⒊单叶解析变换的共形性
⑴定义 定义7.2 若w=f(z)在区域D内是单叶且保角的， 则称w=f(z)在区域D内是共形的， 与区域有关 或称w=f(z)是区域D内的共形映射。 例(P282例7.2) 讨论解析函数w=zn(n:自然数)的保角性和共形性。 解 n=1时, w=1≠0, 且w=z单叶, 在z平面上处处保角和共形。 n>1时, w=nzn-1, 若z≠0, 则w≠0, 在z平面上除z=0外处处保角, 又w=zn的单叶性区域为: 顶点在原点,张度不超过2π/n的角形区域, 在这样的区域内是共形, 张度超过2π/n的角形区域不共形, 但其中各点邻域共形。 注：①若函数w=f(z)在区域D内解析, 则它在导数非零点z0处保角. 在 由连续函数的“保序性” ,z0的邻域导数非零, 保角. 另有z0的邻域构成单叶性区域, 所以w=f(z)在z0的邻域共形(局部). ②在区域D内共形(整体),必在D内处处共形(局部).反之不成立 ③若函数w=f(z)在区域D内单叶且解析， 则它在D内是保角的. 从而共形.
目标或要求：
⒈掌握单叶解析函数的映射性质； ⒉掌握分式线性变换及其映射性质； ⒋了解黎曼存在定理和边界对应定理。
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Baidu Nhomakorabea 第一节 解析变换的特性
1 解析变换的保域性
2 解析变换的保角性
—导数的几何意义
3 单叶解析变换的共形性
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⒈解析变换的保域性
定理7.1(保域定理) 设w=f(z)在区域D内解析且不恒为常数， z平面 y 则D的象 G=f(D)也是一个区域。 z0 C 证 先证G为开集即要证G的每一个点都是内点 或w0G, w0是G的内点w0 Nδ(w0)G D x w*Nδ(w0),z*D使w*=f(z*) 0 w=f(z) w*=f(z)在D内有解 f(z)- w*在D内有零点 因w0G,z0D使w0=f(z0) 即z0是f(z)-w0的一个零点 v w平面 由解析函数的零点孤立性知, C:|z-z0|=ε>0 , w0 f(C) w* N (w ) 使 且在 上w0=f(z)无异于z0的零点 δ 0 则δ>0 令 0 f(D)=G u 下证 Nδ(w0)G, w* Nδ(w0) f(z)-w*= f(z)-w0+w0-w* 当z C时，| f(z)-w0| ≥δ > | w0 – w* | 由儒歇定理 N(f(z)-w*,C)=N(f(z)-w0,C) 即f(z)-w*=0在D内有解, 从而w* G
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定义7.1
设w=f(z)在z=z0的邻域内有定义，且具有 ①伸缩率不变性； ②过z=z0的任意曲线保持其夹角的大小与方向， 则称w=f(z)在z=z0是保角的,或称w=f(z)在z=z0是处的保角变换； 若w=f(z)在区域D内处处保角， 则称w=f(z)在区域D内是保角的,或w=f(z)在区域D内是保角变换. 说明： ①保角变换为相似变换，边成比例，角相等； ②保角变换是对区域内部的，边界的保角需要另外讨论； ③保角是以同一点为前提； ④f (z)≠0处保角， f (z)=0处的保角需要另外讨论。 总结前面结论有：
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保域定理续
再证G的连通性, 即G内任两点w1=f(z1) , w2=f(z2), 可用全含于G内的折线连接起来 由于D是区域, 在D内有折线L: z=z(t) t[a,b] , z平 面 z y 2 连接z1,z2, z1=z(a) , z2=z(b) 。 L 函数w=f(z)把折线L映射成 G内连接w1,w2的逐段光滑曲线Г z1 D 由于Г为G内有界闭集， 根据有限覆盖定理, x 0 Г可被G内有限个开圆盘所覆盖, 从而在G内可作出连接 w1,w2的折线。得证！ w=f(z) 推论7.2 设w=f(z)在区域D内单叶解析, v w平面 则D的象 G=f(D)也是一个区域。 单叶非常数 定理7.3 设函数w=f(z)在z=z0解析， w2 且f (z0)≠0, 则f(z)在z0的一个邻域内单叶解析。 Г w 1 如果w=f(z)在区域D内单叶解析， u 0 则它把区域D一一变换成区域G=f(D), f(D)=G 于是f(z)有一个在G内确定的反函数。 与定理6.11互逆.同分析中的反函数存在定理.
第七章
共形映射
前面用分析的方法研究解析函数
本章从几何上研究解析函数
即解析函数构成的映射有什么几何特点 像与原像的关系 如何实现不同图形之间的变换 复杂图形如何简单化
复杂问题如何简单化
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内容：
第一节
第二节 第三节 第四节
解析变换的特性
分式线性变换 某些初等函数所构成的共形映射(略) 关于共形变换的黎曼存在定理和边界对 应定理(简介)
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导数幅角的几何意义续
单叶解析函数w=f(z)作为映射时, 曲线间夹角（即切线的夹角）的大小及方向保持不变，
这一性质称为旋转角不变性。
arg f (z0)称为变换w=f(z)在z0的旋转角, 仅与z0和函数f(z)有关， 与过z0的曲线C无关。 旋转角对曲线来说是固定不变的。
C的象曲线Г在w0=f(z0)处的切线正向
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⑶保角变换
两曲线的夹角: 设f (z0)≠0,过z0有两条简单光滑曲线:C1：z=z1(t)、 C2：z=z2(t) w=f(z)把它们映射成简单光滑曲线:Г1:w=f(z1(t))、Г2:w=f(z2(t)) C1、C2在z=z0的切线与实轴的夹角分别是argz1(t0)、argz2(t0) Г1、Г2在w=w0 =f(z0)的切线与实轴的夹角分别是 arg f (z0)+argz1(t0)、arg f (z0)+argz2(t0) 所以，在w0处Г1到Г2的夹角恰好等于在z0处C1到C2的夹角： arg f (z0)+argz2(t0)-[arg f (z0)+argz1(t0)]= argz2(t0)-argz1(t0) Г2 Ψ - Ψ C2 1 2 ψ2 -ψ1 C1 z平面 y Г1 v Ψ1 z0 w平面w 0 ψ2 w=f(z) Ψ2 ψ1 x u 0 0 因此,用导数非0的解析函数作映射时 ,曲线间夹角的大小及方向 保持不变——保角性.
可由原象曲线C在z0的切线正向旋转一个旋转角 arg f (z0) 得到。
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⑵导数模的几何意义
上面对导数的幅角所了几何解释,下面讨论导数模的几何意义. | f (z ) f (z0 ) | | f ( z ) f ( z0 ) | 由| f ' (z0 ) | lim 的极限 知| f (z0)|是比值 z z0 | z z0 | | z z0 | | f (z0)|可以近似地表示这种比值。 在映射w=f(z)下 |z-z0|、|f(z)-f(z0)|分别表示z、 w平面上向量z-z0、f(z)-f(z0)的长度 这里向量z-z0及f(z) -f(z0)的起点分别取在z0及f(z0) 。 当|z-z0|很小时,|f (z0)|近似地表示, |f(z)-f(z0)|对|z-z0|的伸缩倍数， 此倍数仅与z0和函数f(z)有关, 与过z0的曲线C、向量z-z0的方向无关 这一性质称为伸缩率不变性 |f (z0)| 称为在点z0的伸缩率。 w=f(z)还把z平面上半径充分小的圆 | z z0 | 近似地映射成w平面上圆 | w w0 || f ' ( z0 ) | (0 ), Г C z平面 y z=z0+ z z0 w平面 v w=w0+ w w0 w=f(z) | f ' (z0 ) | x u 0 0
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⑵单叶解析变换的共形性
定理7.6 设w=f(z)在区域D内单叶解析，则： ① w=f(z)将D共形映射成区域G=f(D); ②反函数z= f -1(w)在区域G内单叶解析, 且f -1 (w)=1/ f (z) (zD ,w=f(z)G) 证 ①推论7.2、7.5即得。 ②由w=f(z)在D内单叶, 故w=f(z)为D到G的一一变换, f (z) ≠0 (zD), 得z= f -1(w)在区域G内单叶 w0G、wG (w≠w0), 由w=f(z)为D到G的一一变换,所以 z= f -1(w)≠z0= f -1(w0),作 f 1 (w) f 1 (w0 ) z z0 1 w w0 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y) z z0 w w0 w w0 由w=f(z)在D内解析,故在D内有C—R条件ux=vy、uy=-vx 于是 ≠0 由分析中隐函数存在定理 得在w0的邻域内存在连续反函数 x=x(u,v)、y=y(u,v) 即z= f -1(w) 所以在 w0的邻域内有ww0时zz0故