随机过程第三章 泊松过程

(5)4 e5 4!(7)5 e7 (12)9 e12 9!
5! C94
5 12
4
1
5 12
94
.
(5) E[N(5)]=5, D N 5 5,
Cov[N(5), N(12)] D N 5 5.
记例录2下事来件,并A以的发生表形示成到强t时度刻为被的记泊录松下过来p程的事件总数.,如证果明每次事件发是{生一N时个M(t以强)(,tt概度)率为0} 能够
n!
n 0,1,2,
由条件(3)可知泊松过程有平稳增量并且在任一长度为t的区间中事件的个数服从参数(均 值)为 的泊松分布.
t
在实际过程中,条件(3)的验证存在着一定的困难,为此我们给出泊松过程另一个等价定义.
定理3.1 计数过程 如果
称{为N泊(t松),t过程0},参数为
(1) N(0) 0;
X1 X 2 X n ~ (n, )
(5)泊松过程的样本轨迹是跳跃度为1的阶梯函数.记
次与第 次事件发生的时间间隔.
n
Xn
n
为第 次事件发生的时刻,Tn是第
n 1
一. X和n 的分Tn布
定理3.2
X n服(从n参数1为) 的指数分布,且相互独立.
证 当 t时,有0
与
有相同的分布.
N (t )
N (t2 s) N (t1 s) N (t2 ) N (t1)
定义3.2(泊松过程)计数过程
称为参{数N为(t),t 0}
( 0)
的泊松过程,如果:
(1) N (0) 0;
(2) N有(独t)立增量;
(3)对任意的
,有s,t 0
P{N (t s) N (s) n} (t)n et ,
第三章 泊松过程
第一节 泊松过程的基本概念
定义3.1(计数过程)随机过程
称为计{数N过(程t),,如t 果0}
N (t) 表示t时刻为止,某一特定事件A发生的次数.
由定义,计数过程具有以下两个特点:
(1) N取(值t)为非负的整数;
s t (2)
时,
N (且s) N (t) 表示N时段(t) 内N (s) 事件A发生的次(s数,.t]
(2) 过程有平稳与独立增量;
(3) P{N(h) 1} h o(h);
(4) P{N(h) 2} o(h).
若 {N (t),是t 参 数0}为 的泊松过程,则有 E(N(t)) t
于是可以认为 是单位时间内事件发生的平均次数.
称 为泊松过程的强度、风险率或速率.
( 0),
强度为的泊松过程的数字特征：
解：(1) PN 5 4 (5)4e5 4!
(2) PN 5 4, N (7.5) 6, N (12) 9 PN 5 4, N (7.5) N (5) 2, N (12) N (7.5) 3
[(5)4 e5 4!][(2.5)2 e2.5 2!][(4.5)3 e4.5 3!]
1. E N t0,t EN t N t0 t t0 ；
2. D N t0,t D N t N t0 t t0 ， 特别地，t0 0，由假设N 0 0，可得： N t E N t t, DN t D N t t；
3. CN s,t DN mins,t mins,t， s,t 0；
(3)PN(12) 9 N(5) 4 PN(12) N(5) 5 N(5) 4
PN(12) N(5) 5 (7)5e7 5!
(4)PN (5) 4 N (12) 9
PN (5) 4, N (12) 9 PN (12) 9
PN(5) 4PN(12) N(5) 5 PN(12) 9
P{M
(t)
m
|
N
(t)
n}
n m
pm
(1
Fra Baidu bibliotek
p)nm
若
nm
由题意
P{N (t) n} (t)n et
n!
于是
P{M
(t)
m}
nm
n m
p
m
(1
p)nm
(t)n
n!
et
et pm (t)m (1 p)nm (t)nm
m!
nm
(n m)!
et pm (t)m et (1 p)
m!
(pt)m etp
{M (t),t 0}
p的泊松过程.
证 M满(足t)定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也满足第三个条件.
显然, 的M可(能t)取值为
并且由全0概,1率,2公,式,,有
P{M (t) m} P{M (t) m | N (t) n}P{N (t) n} n0
而 P{M (t) m | N(t) n} 0 若 n m
,
0,
X 则称 服从参数为
的 分布, ,记为
x0 x0
X ~ (, )
1 当
时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若
Y ~ (2 , ), 且 X与 Y 独立,则
X Y ~ (1 2, )
X ~ (1, ),
引理 设
X1,相X互2独,立且, 均X服n 从参数为 的指数分布,则有
4. RN s,t CN s,t N s N t min s,t 2st，
s,t 0。
例例112：设{N (t),t 0}服从参数为 的泊松过程，求
(1) P{N (5) 4}; (2) P{N (5) 4, N (7.5) 6, N (12) 9}; (3) P{N (12) 9 N (5) 4}; (4) P{N (5) 4 N (12) 9}; (5) E[N (5)], D[N (5)],Cov[N (5), N (12)].
m!
所以, {M (t是),t一个0强} 度为 的泊松过程. p
第二节 与泊松过程相联系的若干分布
预备知识
(1) 函数定义为:
(z) x z1ezdz
0
(2)有关 函数的几个重要公式:
(z 1) z(z)
(n 1) n!
1
2
X (3)若随机变量 的概率密度为
f
(
x)
(
)
x
e 1 x
如果在不相交的时间区间中发生的事件数是独立的,则该计数过程有独立增量.即到时刻t 已发生的事件个数必须独立于时刻t与t+s之间所发生的事件数.这就意味着, 与
N (t )
N(t s) N(t) 相互独立.
若在任一时间区间中发生的事件个数 程 有平稳增量.这就意味着此时
的分布只依赖于时N间(区t )间的长度,则称计数过