《两角差的余弦公式》教学设计1

《两角差的余弦公式》教学设计

一、教学目标

掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.

二、教学重、难点

1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；

2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.

三、学法与教学用具

1. 学法：启发式教学

2. 教学用具：多媒体

四、教学设想：

（一）导入：我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302

=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？

根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-=

（二）探讨过程：

在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）

展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索()cos αβ-与cos α、cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到c o s ()c o s c o s s i n αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结构.

思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？

提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？

2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？

展示多媒体课件

比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处.

思考：()cos ?αβ+=，()()cos cos αβαβ+=--⎡⎤⎣⎦，再利用两角差的余弦公式得出

()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦

（三）例题讲解

例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值.

解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.

()232162cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin3022224-=+=-=⨯-⨯= ()232162cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin3022224

+=-=+=⨯+⨯= 点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用.

例2、已知4sin 5α=

，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭

是第三象限角，求()cos αβ-的值. 解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得2

243cos 1sin 155αα⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭ 又因为5c o s ,13

ββ=-是第三象限角，所以22512sin 1cos 11313ββ⎛⎫=--=---=- ⎪⎝⎭

所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.

（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.

（五）作业：15012.P T T -