幂函数的概念学案

2.3.1 幂函数的概念
【学习目标】
知识与技能 通过具体实例明白幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．
过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．
情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．
【学习重点】幂函数的概念与性质.
【难点提示】幂函数的指数对幂函数性质的影响，体会图象的变化规律.
【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材7783P -结合进行自主学习（对教材中的文字、
图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；
2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.
【学习过程】 一、学习准备
在初中，我们已经学习了函数：x
y x y x y 1
,,2
=
==等函数的图像；并在前面的学习中我们研究了这些函数共同的性质，如：单调性、奇偶性等，请同学们完成下列问题：
1.用描点法在同一坐标系下画出上面函数的图像，并指出它们有什么共同特点？
2.回顾函数性质主要有哪些内容？指对函数的概念及其性质是怎样的？ 二、探究新知 1.幂函数的定义
●阅读思考 请读阅下面5个例子（教材77P （1）～（5））：
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p ＝w 元，这里p 是w 的函数；(2)如果一个正方形的边长为a ，那么正方形的面积S ＝a 2
，这里S 是a 的函数；
(3)如果一个立方体的边长为a ，那么立方体的体积V ＝a 3
，这里V 是a 的函数； (4)如果一个正方形的面积为S ，那么这个正方形的边长12
a s =，这里a 是S 的函数； (5)如果某人t 秒内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度v ＝t -1
km/s ，这里v 是t 的函数. 请思考以下问题，问题1：每个例子的自变量是什么？
问题2：每个例子中的函数关系哪些是我们已经研究过的？ 问题3：这5个实例中的函数关系有哪些共同特征？ ●归纳概括 由教材中5个例子，观察其表达式的结构特征，你能从这几个函数抽象出一个更一般的函数式，并给它取个名字吗？
幂函数的概念：
●快乐体验 判断下列函数是否是幂函数？（1）x y 2=； （2） x
y 2=；
（3）3
)1(--=x y ； （4）2
1
2x y =； （5）10
x y =
． 解：
●挖掘拓展（1）幂函数有何数量特征？（链接1）
3
(6)2y x =+
（2）你能列举一些幂函数吗？（3）幂函数与指数函数的解析式有何区别与联系？ 2.幂函数的性质 ●观察思考 在同一坐标系内做出幂函数
x
y x y x y x y x y 1
,,,,2
13
2=
====的图象（链接2），请观察其图象的变化情况（特别是在第一象限的变化情况），它们有那些相同的特征？
●归纳概括
●快乐体验 1.求下列函数的定义域和值域：(1)2
x y =； (2)3
y x -=； (3)2
3
y x
-
=．
解：
2.比较下列各组数的大小：（1）0.1
0.1
1.1,1.02； 0.30.30.2(4)0.2,0.3,0.3; （5）(2＋a 2)－1，2－1；
解：
●挖掘拓展 1.在第一象限内幂指数的变化与图像的分布、图象的变化、函数性质等有何关系？
2.归纳利用指数函数、幂函数的增减性比较两个数的大小的规律与联系（链接4）. 三、典例解析
例1函数3
22
)1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，且当()+∞∈,0x 时，)(x f 是增函数，
求)(x f 的解析式．
思路启迪 求
)(x f 的解析式就是求m 的值．关键在于①3
2
2)1()(-+--=m m x
m m x f 是幂函数
具有怎样的条件；②当x ＞0时，结合前面幂函数的性质那些函数是增函数，作为入手点，试试能否解决．
解：
●解后反思 解答该题的依据是什么？入手点、关键点、易错点在哪里？ ●变式练习 幂函数y ＝(m 2
－m －1)1
2
m x
，当x ∈(0，＋∞)时为增函数，则实数m
的值为( )．
A ． 2 ；
B ． －1 ；
C ．－1或2；
D ．
1±5
2
． 例 2.如右图，图中曲线是幂函数a
x y =在第一象限的大致图
2
25
3
(3) 4.1 5.8
和5
52
2
(2) 3 3.1
-
-
和
象．已知a 取2,2
1
,21,2-
-四个值，则相应于曲线4321,,,c c c c 的a 值依次为（ ） A ．－2，－12，12，2 ；B ．2，12，－12，－2 ；C ．－12，－2，2，12 ；D ．2，12，－2，－1
2
．
●解后反思 怎样根据幂函数的图象来确定幂指数的，还有无其它方法？
●变式练习 比较下列各组数的大小：
（1）0.52()3与0.53()5；（2）121.2、1
2
1.4、21.4；（3）125()3
-、32()3-、33()2
解：
例3.已知幂函数2
23
()m
m y f x x --+==（其中22,m m Z -<<∈）满足：
（1）是区间(0,)+∞上的增函数；（2）对任意的x R ∈，都有()()0f x f x -+=； 求同时满足（1）、（2）的幂函数()f x 的解析式，并求[0,3]x ∈时()f x 的值域.
解：
●解后反思 本题的题型怎样？解决该题的入手点、关键点、易错点在哪里？判定幂函数的单调性、奇偶性的依据与方法是什么？
●变式练习 已知函数)(x f ＝x
x 1
-
，求证：(1) )(x f 在其定义域上为增函数． (2)满足等式)(x f ＝1的实数x 的值至多只有一个． 解： 四、学习反思
1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，实现了我们的学习目标吗？如：幂函数的概念、常见的幂函数图像形状与性质有哪些?指数函数x y a =(a >0且a ≠1)与幂函数y x α=的区别与联系，你能描述一般的幂函数)(R a x y a ∈=的图像和性质吗？（链接5）
2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？
3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？
【学习评价】 1.下列函数在(－∞，0)上为减函数的是( )．
A ． 3
1
x y =； B ． y ＝x 2 ； C ． y ＝x 3 ； D ． y ＝x －2
．
2.幂函数)(x f 的图象过点(4，1
2)，那么)8(f 的值为( )．
A ． 26；
B ． 64；
C ；
24； D ． 164
． 3.下列命题中，不正确的是( )． A ． 幂函数y ＝x
－1
是奇函数； B ．幂函数y ＝x 2
是偶函数；
C ．幂函数y ＝x 既是奇函数，又是偶函数；
D ．y ＝12
x 既不是奇函数又不是偶函数． 4.幂函数y ＝x n
的图象一定经过(0，0)，(1，1)，(－1，1)，(－1，－1)中的( )．
A ．一点；
B ． 两点；
C ．三点 ；
D ．四点．
5.当x ∈(1，＋∞)时，幂函数y ＝x α
的图象在直线y ＝x 下方，则a 的取值范围是
( )．
A ．(0，1)；
B ． (－∞，0)；
C ．(－∞，1)；
D ．不确定．
6. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=)
0()
0(3)21()(2
1x x x x f x
，且)(a f ＞1，求实数a 的取值范围．
解：
7.已知x 2
＜2
1x ，则x 的取值范围是________．
8.教材79页习题2.3的第3题.
◆承前启后 到现在为止，我们学习了哪些基本函数及其性质？这些函数在实际生活中还有哪些应用呢？
【学习链接】
链接 1.幂函数的数量特征有三点：一是均是底数为自变量的指数幂的运算的函数，二是幂指数是常数（可以是任意实数），三是幂的系数为1．
链接2.几个特殊的幂函数的图象（如右图）
链接4.. (1) 若能化为同指数，则用幂函数的单调性比较两个数的大小； (2) 若能化为同底数，则用指数函数的单调性比较两个数的大小；
(3)当不能直接进行比较时，可在两个数中间插入一个中间数，间接比较上述两个数的大小.
链接5. (1) 所有的幂函数在(0,＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1)； (2) 如果a ＞0，则幂函数图象过原点，并且在区间[0,＋∞)上是增函数；
(3) 如果a＜0，则幂函数图象在区间(0,＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右侧无限地逼近y轴，当x趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴；
(4) 当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数．。