2019-2020年人教版高中数学必修二教案：2-1-1 平面
高中数学必修二教案：2.1.1+平面
格一课堂教学方案章节：2.1.1 1 课时：备课人：二次备课人：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
2019-2020学年度最新高中数学必修二人教A版课件：2.1.1 平面-优质PPT课件
A∈l .
点A在直线l外
A∉l .
点A在平面α 内
A∈α .
点 A 在平面α 外 直线 l 在平面α 内 直线 l 在平面α 外
平面α ,β 相交于 l
A∉α l⊂α l⊄α
α ∩β =l
3.平面的基本性质
文字语言
公 理1
如果一条直线上的两点 在
一个平面内,那么这条直线 在此平面内
公 过 不在一条直线上 的三
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
本章概览 一、地位作用 在本章学生通过对实际模型的认识,学会将自然语言转化为图形语言和符 号语言,以具体的几何体的点、线、面关系作为载体,使学生在直观感知 的基础上,认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系;通过对图形的 观察、试验和说理,使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判 定方法,学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系,并能解决一 些简单的推理论证及应用问题.在历年高考中突出了对逻辑思维及空间想 象能力的考查.
二、内容标准 点、线、面之间的位置关系 ①借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础 上,抽象出空间线、面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公 理和定理. 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该 点的公共直线. 公理4:平行于同一条直线的两条直线平行. 定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
5.(点、线、面的位置关系)如果直线a⊂平面α ,直线b⊂平面α ,M∈a,N∈
b,M∈l,N∈l,则( A )
(A)l⊂α
高中数学必修二(2.1.1平面)示范教案新人教A版必修2
②平面的画法与表示方法 ;
③如何描述点与直线、平面的位置关系？
④直线与平面有一个公共点， 直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直
线在平面内？
⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？
⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示
;
⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？
其交线一定过这个公共点 . 也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外
图2
图3
平面的表示法有如下几种： （ 1）在一个希腊字母 α 、 β 、 γ 的前面加“平面”二字，
如平面 α、平面 β 、平面 γ 等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内
( 图 4) ；（ 2）用
平行四边形的四个字母表示，如平面 ABCD（图 5）；（ 3）用表示平行四边形的两个相对顶点
的字母来表示，如平面 AC（图 5） .
什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上
.
这说明，如果两个平面有一个ห้องสมุดไป่ตู้共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线
.
此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理
3. 如图（图 9），用符号语言
表示为： P∈ α , 且 P∈β α ∩ β =l, 且 P∈l.
图9
公理 3 告诉我们， 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么这两个平面一定相交， 且
. 公理 1 也可以用符号
语言表示： 若 A∈a,B∈a, 且 A∈ α ,B ∈ α , 则 a α .
2
图6
图7
请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交
.
若 A∈a,B∈a, 且 A α ,B ∈ α , 则 a α . 如图（图 7）.
高中数学 (2.1.1 平面)示范教案 新人教A版必修2.doc
第二章点、直线、平面之间的位置关系本章教材分析本章将在前一章整体观察、认识空间几何体的基础上，以长方体为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中点、直线、平面之间的位置关系；通过大量图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，初步体验公理化思想，培养逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题.本章主要内容：2.1点、直线、平面之间的位置关系，2.2直线、平面平行的判定及其性质，2.3直线、平面垂直的判定及其性质.2.1节的核心是空间中直线和平面间的位置关系.从知识结构上看，在平面基本性质的基础上，由易到难顺序研究直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系.本章在培养学生的辩证唯物主义观点、公理化的思想、空间想象力和思维能力方面，都具有重要的作用.2.2和2.3节内容的编写是以“平行”和“垂直”的判定及其性质为主线展开，依次讨论直线和平面平行、平面和平面平行的判定和性质；直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定和性质.“平行”和“垂直”在定义和描述直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系中起着重要作用.在本章它集中体现在：空间中平行关系之间的转化、空间中垂直关系之间的转化以及空间中垂直与平行关系之间的转化.本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面整体设计教学分析平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换.三维目标1.正确理解平面的几何概念,掌握平面的基本性质.2.熟练掌握三种数学语言的转换与翻译,结合三个公理的应用会证明共点、共线、共面问题.3.通过三种语言的学习让学生感知数学语言的美,培养学生学习数学的兴趣.重点难点三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面.思路2.(事例导入)观察长方体（图1），你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？图1长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题.推进新课新知探究提出问题①怎样理解平面这一最基本的几何概念;②平面的画法与表示方法;③如何描述点与直线、平面的位置关系？④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示;⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？⑧自己总结三个公理的有关内容.活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.②我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.④确定一条直线需要几个点？⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.⑥两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性.⑦文字语言、图形语言、符号语言.⑧平面的基本性质小结.讨论结果：①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2.平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3.图2 图3平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图5）.图4 图5③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内.公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述.空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α.图6 图7请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.若A∈a,B∈a,且A∉α,B∈α,则a⊄α.如图（图7）.⑤在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.如图（图8）.图8公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征.现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）.问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上.这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理 3.如图（图9），用符号语言表示为：P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.图9公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线.由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.⑧“平面的基本性质”小结：应用示例思路1例1 如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.图10活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价.解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在（2）中，α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.变式训练1.画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A∈α,B∉α,A∈l,B∈l;(2)a⊂α,b⊂β,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.解：如图11.图112.根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l，直线AB⊂α，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F，F∉l;（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:A∈a，B∈α，B∉a，C∈β，C∉a.答案：如图12.图12点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面.图13证明：如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B，b上取一点C，根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α，因为A、B在平面α内，根据公理1，直线a在平面α内,同理直线b在平面α内，即平面α是经过直线a和直线b的平面.又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C.于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.变式训练求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.证明：如图14，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F,图14∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α，即a,b⊂α.∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d,∴c、d⊂α,即a、b、c、d在同一平面内.点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.思路2例1 如图15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交，在图中分别画出平面ABC与α、β的交线.图15活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 解：如图16所示，连接CB ， ∵C∈β,B∈β,∴直线CB ⊂β.图16∵直线CB ⊂平面ABC ，∴β∩平面ABC=直线CB. 设直线CB 与直线EF 交于D,∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC. ∵A∈α,A∈平面ABC ， ∴α∩平面ABC=直线AD. 变式训练1.如图17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C ，请画出直线DE 与平面α的交点P ，并指出点P 与直线BC 的位置关系.图17解：AD 和AC 是相交直线，它们确定一个平面ABC ， 它与平面α的交线为直线BC ，DE ⊂平面ABC ， ∴DE 与α的交点P 在直线BC 上.2.如图18，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，图18(1)画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线. (2)设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.解：(1)设M 、N 、P 三点确定的平面为α，则α与平面AA 1B 1B 的交线为直线MP ，设MP∩A 1B 1=R ，则RN 是α与平面A 1B 1C 1D 1的交线，设RN∩B 1C 1=Q ，连接PQ ，则PQ 是所要画的平面α与平面BB 1C 1C 的交线.如图18.(2)正方体棱长为8 cm ，B 1R=BM=4 cm ，又A 1N=4 cm ，B 1Q=31A 1N,∴B 1Q=31×4=34（cm ）.在△PB 1Q 中，B 1P=4 cm ，B 1Q=34cm ， ∴PQ=10342121=+Q B P B cm.点评：公理3给出了两个平面相交的依据，我们经常利用公理3找两平面的交点和交线. 例2 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线. 解：如图19,∵A、B 、C 是不在同一直线上的三点,图19∴过A 、B 、C 有一个平面β. 又∵AB∩α=P ，且AB ⊂β,∴点P 既在β内又在α内.设α∩β=l,则P ∈l, 同理可证：Q ∈l,R ∈l, ∴P、Q 、R 三点共线. 变式训练三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点. 已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l 1、l 2、l 3，且l 1、l 2、l 3不平行. 求证：l 1、l 2、l 3相交于一点.证明：如图20，α∩β=l 1，β∩γ=l 2，α∩γ=l 3，图20∵l 1⊂β，l 2⊂β，且l 1、l 2不平行, ∴l 1与l 2必相交.设l 1∩l 2=P ， 则P ∈l 1⊂α,P ∈l 2⊂γ, ∴P∈α∩γ=l 3.∴l 1、l 2、l 3相交于一点P.点评：共点、共线问题是本节的重点，在高考中也经常考查，其理论依据是公理3. 知能训练画一个正方体ABCD —A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由. 解：如图21,图21∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′. ∵E∈AC ，∴E∈平面ACD′.∵E∈BD，∴E∈平面BDC′.∵F∈DC′，∴F∈平面DC′B.∴EF为所求.拓展提升O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C 的交点P一定在AO1上.解：如图22,连接A1C1、AC，图22因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，故P在两平面的交线上，即P∈AO1.点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上.课堂小结1.平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性.2.通过三个公理介绍了平面的基本性质，及作用.3.利用三个公理证明共面、共线、共点问题.作业课本习题2.1 A组5、6.设计感想本节的引入精彩独特，用如来佛的手掌形象地刻画了平面的基本特征；本节设计了较多的语言转换题目，反复训练学生的读图、作图能力，以及用符号语言表达数学问题的能力，因为这是学好立体几何的基础，是本节的重点；本节的难点是利用三个公理证明共面、共线、共点问题，本节设计了大量题目来突破这一难点，每个题目都精彩活泼难度适中，我相信这是一节值得期待的精彩课例.。
2019-2020学年人教A版数学必修2学案：2.1.1平面
第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面学习目标1.利用生活中的实物对平面进行描述;2.掌握平面的表示法及水平放置的直观图;3.掌握平面的基本性质及作用;4.培养学生的空间想象能力.合作学习一、设计问题,创设情境请你从适当的角度和距离观察桌面、黑板或者门的表面,它们呈现出怎样的形象?二、自主探索,尝试解决问题1:以上实物都给我们以平面的印象,那么,平面的含义是什么呢?三、信息交流,揭示规律根据学生讨论结果,教师引导,得出平面的含义:1.平面含义问题2:在平面几何中,怎样画平面?2.平面的画法问题3:清楚了平面的含义,会画水平放置的平面,那么平面如何表示呢?3.平面的表示问题4:如果直线l与平面α有一个公共点P,直线l是否在平面α内?问题5:如果直线l与平面α有两个公共点呢?问题6:生活中,我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等……自行车要放稳需几个点?问题7:把一个三角板的一个角立在课桌上,三角板所在的平面与桌面所在的平面是否只相交于一点B,为什么?四、运用规律,解决问题【例1】用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系.【例2】不共面的四点可以确定几个平面?共点的三条直线可以确定几个平面?【例3】点A∉平面BCD,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,若EH与FG交于点P(这样的四边形ABCD就叫做空间四边形).求证:P在直线BD上.五、变式演练,深化提高1.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打“×”.(1)可画一个平面,使它的长为4cm,宽为2cm.()(2)一条直线把它所在的平面分成两部分,一个平面把空间分成两部分.()(3)一个平面的面积为20cm2.()(4)经过面内任意两点的直线,若直线上各点都在这个面内,那么这个面是平面.()2.(1)一条直线与一个平面会有几种位置关系?.(2)如图所示,两个平面α,β,若相交于一点,则会发生什么现象?(3)几位同学的一次野炊活动,带去一张折叠方桌,不小心弄坏了桌脚,有一同学提议可将几根一样长的木棍在等高处用绳捆扎一下作桌脚(如图所示),问至少要几根木棍才可能使桌面稳定?六、反思小结,观点提炼请同学们总结一下本节课所学习内容:1.平面的概念;2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法;3.点、直线、平面间基本关系的文字语言、图形语言和符号语言之间关系的转换;4.平面的基本性质.七、作业精选,巩固提高试用集合符号表示下列各语句,并画出图形:(1)点A在平面α内,但不在平面β内;(2)直线a经过不属于平面α的点A,且a不在平面α内;(3)平面α与平面β相交于直线l,且l经过点P;(4)直线l经过平面α外一点P,且与平面α相交于点M.参考答案二、问题1:几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的.但是,几何里的平面是无限延展的.平面的两个特征:①无限延展;②平的(没有厚度).问题2:(1)一个平面画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,平行四边形的锐角通常画成45°,且横边长等于邻边长的2倍(如图).(2)直线与平面相交,如图(2)(3);(3)两个相交平面:画两个相交平面时,若一个平面的一部分被另一个平面遮住,应把被遮挡部分的线段画成虚线或不画(如图).问题3:(1)平面通常用希腊字母α,β,γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点,或者相对的两个顶点的大写英文字母来表示,如平面ABCD、平面AC 等.(2)空间图形的基本元素是点、直线、平面,从运动的观点看,点动成线,线动成面,从而可以把直线、平面看成是点的集合,因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外,还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示,点用一个大写的英文字母表示,而平面则用一个小写的希腊字母表示.问题4:学生思考容易发现,直线l不一定在平面α内.问题5:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.问题6:自行车放稳需要3个点.引导学生得到公理2.公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.问题7:两个平面不是只相交于一点B,而是交于过B点的一条直线.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.四、【例1】解:图1中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.图2中,α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.【例2】解:不共面的四点可以确定4个平面(如三棱锥);共点的三条直线可以确定1个或3个平面.【例3】证明:∵EH∩FG=P,∴P∈EH,P∈FG,∵E,H分别属于直线AB,AD,∴EH⊂平面ABD,∴P∈平面ABD,同理:P∈平面CBD,又∵平面ABD∩平面CBD=BD,所以,P在直线BD上.五、1.(1)×(2)√(3)×(4)√2.(1)3种(2)相交于经过这个点的一条直线(3)至少3根。
2019-2020年高中数学必修二教案：2-1《平面》
2019-2020年高中数学必修二教案：2-1《平面》教学目的1、正确理解平面的几何概念，掌握平面的基本性质；2、熟练掌握三种数学语言的转换与翻译，熟练点线面关系符号语言的书写，会解决一些简单的几何问题.3、培养学生空间想象能力，以及有根有据、实事求是的科学态度和品质.教学重难点重点：1．掌握点-直线-平面间的相互关系，并会用文字-图形-符号语言正确表示理解平面的无限延展性．2．平面基本性质的三条公理及其作用．难点：1．理解平面的无限延展性；2．集合概念的符号语言的正确使用教学过程一、复习引入高中新课程立体几何课程是在初中平面几何学习的基础上开设的，它以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法通过立体几何的教学，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础平面，是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念，但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用在初中，我们主要学习了平面图形的性质．平面图形就是由同一平面内的点、线所构成的图形．平面图形以及我们学过的长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形，空间图形就是由空间的点、线、面所构成的图形．因此，“立体几何”作为一门学生刚开始学习的学科，其内容对学生来说基本上是完全陌生的，应以“讲授法’的主，引导学生观察和想象，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，初步培养空间想象力当我们把研究的范围由平面扩大到空间后，一些平面图形的基本性质，在空间仍然成立例如三角形全等、相似的充要条件，平行线的传递性等．有些性质在研究范围扩大到空间后，是否仍然成立呢？例如，过直线外一点作直线的垂线是否仅有一条？到两定点距离相等的点的集合是否仅是连结两定点的线段的一条垂直平分线？在上一个章节，我们主要认识了几何体的外部结构特征，侧重研究几何的三视图与平面直观图，以及几何体的表面积与体积，这样的研究尚无法深入认识一个几何体的几何性质，要更好地认识一个几何体的性质，必须深入到几何体的内部，这就好比认识一个人，仅仅看到一个人的外表，是不能看到一个人的真正内涵，要认清一个人，必须观察他的思想行为．二、讲解新课1．平面的两个特征：①无限延展；②平的(没有厚度)平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分2．平面的画法：通常画平行四边形来表示平面 (1)一个平面：水平放置和直立；当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的2倍长，如图1(1)．(2)直线与平面相交，如图1(2)、(3)； (3)两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画(如图2)．3平面的画法及其表示方法：(1)在立体几何中，常用平行四边形表示平面．当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画．(2)一般用一个希腊字母α、β、γ、……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α，平面AC 等．4．空间图形是由点、线、面组成的：空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示．规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示．图1lAα（1） （2） laβα（3）a βαB AβBAαβBA ααβa图 2点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A =α⊂α=∅ A α=l β= 注意：集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言．(平面α外的直线a )表示α⊄a (平面α外的直线a )表示aα=∅或a A α=．5、平面的基本性质立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．逻辑的三个规律以及公理化思想最初是由著名的博学家亚里士多德提出的，介绍1苏格拉底2柏拉图3亚里士多德4欧几里德5几何原本6徐光启7李善兰等.公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭．或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．①判定直线在平面内；②判定点在平面内模式：a A A aαα⊂⎧⇒∈⎨∈⎩．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭如图示：或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上．公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．指出:今后所说的两个平面(或两条直线)，如无特殊说明，均指不同的平面(直线)． 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合．或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈． 应用：①确定平面；②证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．实例:(1)门:两个合页，一把锁；(2)摄像机的三角支架；(3)自行车的撑脚．公理3及其下一节要学习的三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．三、课堂练习：1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”(1)可画一个平面，使它的长为4cm ，宽为2cm ． ( ) (2)一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分．( ) (3)一个平面的面积为20 cm 2． ( )(4)经过面内任意两点的直线，若直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面． ( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．如图所示，用符号表示以下各概念： ①点A 、B 在直线a 上；②直线a 在平面内；点C 在平面内； ③点O 不在平面内；直线b 不在平面内．答案：①,A a B a ∈∈ ②,a C αα⊂∈ ③,O b αα∉⊄ 3．①一条直线与一个平面会有几种位置关系． ②如图所示，两个平面、，若相交于一点，则会发生什么现象.③几位同学的一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，有一生提议可将几根一样长的木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚(如图所示)，问至少要几根木棍，才可能使桌面稳定？答案：①3种 ②相交于经过这个点的一条直线 ③至少3根 4．点A ∉平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若EH 与FG 交于P (这样的四边形ABCD 就叫做空间四边形)求证：P 在直线BD 上 证明：∵EHFG P =，∴P EH ∈，P FG ∈，∵,E H 分别属于直线,AB AD ， ∴EH ⊂平面ABD ，∴P ∈平面ABD ， 同理：P ∈平面CBD ， 又∵平面ABD平面CBD BD =，所以，P 在直线BD 上． 四、课堂小结： 1．平面的概念；2．平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法；3．点、直线、平面间基本关系的文字语言，图形语言和符号语言之间关系的转换 4．平面的基本性质三条公理中公理1用于判定直线是否在平面内，公理2用于判定两平面相交，公理3是确定平面的依据．“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是同义词．“有”即“存在”，“只有一个”即“唯一”．所以证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证两方面——存在性和唯一性．证明的方法是反证法和同一法．五、课后作业：教材第51页习题2.1A组第1、2、5题；。
高中数学 2.1.1平面教案 新人教A版必修2
四、课堂小结
1.平面的概念及表示；2.平面基本性质.
归纳概括,升华知识
学生回顾反思、归纳知识
总结教学,帮助学生建立知识结构.
五、作业布置
课本51页 1、2题，《红对勾》第9课时.
学生独立完成
巩固所学知识
2.1.1 平面
3.在对公理的简单应用中促进学生对公理的
理解与掌握.
公理2
1.空间中,经过一条直线可以作多少个平面?经过
两点可以作多少个平面?经过三点可以作多少个平面?
2.公理2的作用及三种语言形式；
3.牛刀小试(公理2的三个推论及简单应用).
1.引导学生演示操作,得出公理2；
2.引导学生用三种语言形式表述公理2；
教学重点
平面的基本性质
教学难点
三个公理的简单应用及文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言形式的相互转化.
教 学 过 程
一、提出问题，引入新课
1.空间几何里平面的概念是什么?平面有哪些几何性质?
2.空间中,点、直线、平面之间有哪些基本位置关系?
教师活动
学生活动
设计意图
从长方体模型出发,提出问题,引入本章内容,明确本节学习任务.
教学目标
知识与技能
1.学生掌握平面的画法和表示以及平面的三个公理；2.学生初步建立图形、文字、符号这三种数学语言的联系．
过程与方法
1.学生从实际生活感性经验出发,通过观察、讨论和思考,得出平面的三个公理；2.在练习过程中,学生初步体会平面三个公理的应用及三种语言的转化.
情感态度与价值观
1.从感性经验出发,通过演示、观察、讨论和抽象,形成知识,激发学生的学习兴趣；2.通过数学符号的应用感受数学的简洁美.
高一数学人教版必修二2.1.1平面
高一数学必修二教案课题§2.1.1平面课型新课教学目标（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力.教学过程教学内容备注一、自主学习二、质疑提问思考1:生活中有许多物体通常呈平面形，你能列举一些实例吗？思考2:将一条线段向两端无限伸展得到的图形是什么？将课桌面、平静的水面、田径场地面向四周无限伸展得到的图形是什么？三、问题探究思考1:直线是否有长短、粗细之分？平面是否有大小、厚薄之别？思考2:我们不可能把一条直线或一个平面全部画在纸上，在作图时通常用一条线段表示直线，你认为用一个什么图形表示平面比较合适？思考3:我们常常用平行四边形表示平面，当平面水平放置时，平行四边形的锐角通常画成45o，且横边长等于其邻边长的2倍.下列平行四边形表示的平面的大致位置如何？思考4:当两个平面相交时，你认为下列哪个图形的立体感强？你能指出其画法要点吗？(1)画出交线；(2)被遮挡部分画虚线.说明:为了表示和区分平面，我们可以用适当的字母作为平面的名称，如思考5:直线和平面都可以看成点的集合.那么“点P在直线l上”,“点A 在平面α内”，用集合符号可怎样表示？“点P在直线l外”,“点A在平面α外”用集合符号可怎样表示？思考6:如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l，否则，就说直线l在平面α外. 那么“直线l在平面α内”，“直线l在平面α外”，用集合符号可怎样表示？思考1:如果直线l与平面α有一个公共点P，那么直线l是否在平面α内?思考2:如图，设直线l与平面α有一个公共点A，点B为直线l上另一个点，当点B逐渐与平面α靠近时，直线l上其余各点与平面α的位置关系如何变化？思考3:如图，当点A、B落在平面α内时，直线l上其余各点与平面α的位置关系如何？由此可得什么结论？公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.思考4：公理1如何用符号语言表述？它有什么理论作用？且,,,A lB l A B l思考1:空间中，经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线，那么两点能否确定一个平面？经过三点、四点可以作多少个平面？思考2:照相机，测量仪等器材的支架为何要做成三脚架？思考3:经过任意三点都能确定一个平面吗？由此可得什么结论？公理 2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.思考4:公理2可简述为“不共线的三点确定一个平面”，它有什么理论作用？思考5:由公理2你能推出些什么结论？推论１：经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面.推论2：经过两条相交直线可以确定一个平面.推论3：经过两条平行直线可以确定一个平面.思考1:如图，把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在的平面与桌面所在的平面是否只相交于一点B？为什么？思考2:如果两条不重合的直线有公共点，则其公共点只有一个.如果两个不重合的平面有公共点，其公共点有多少个？这些公共点的位置关系如何？思考3:根据上述分析可得什么结论？公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.思考4:若两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线.平面α与平面β相交于直线l ，可记作l ，那么公理3用符号语言可怎样表述?思考5:你能说一说公理3有哪些理论作用吗？确定两平面相交的依据，判断多点共线的依据.例1 ：如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，判断下列命题是否正确，并说明理由.（1）直线AC 1在平面A 1B 1C 1D 1内；（2）设正方体上、下底面中心分别为 O 、O1，则平面AA1C 1C 与平面BB 1D 1D 的交线为OO 1；（3）由点A ，O ，C 可以确定一个平面；（4）平面AB 1C 1与平面AC1D 重合. ,,P l Pl且P 且例2: 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.四、课堂检测五、小结评价（1）平面的概念、画法、表示方法；（2）文字语言、符号语言、图形语言描述点、直线、平面之间的位置关系，描述三个公理；（3）逐步培养空间想象能力.。
2019_2020学年高中数学第2章2.1.1平面学案新人教A版必修2
2.1.1 平面学习目标核心素养1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(难点) 2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点)3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(难点、易错点) 1.通过对平面有关概念的学习，培养直观想象的数学素养．2．通过平面基本性质的应用，培养逻辑推理、直观想象的数学素养.1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．思考：一个平面能否把空间分成两部分？[提示]因为平面是无限延展的，一个平面把空间分成两部分．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①．(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②．①②3．平面的表示法上图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面B D．4．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α公理2 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，P∈β?α∩β＝l且P∈l思考：经过空间任意三点能确定一个平面吗？[提示]不一定，只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面．1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是( )A．A∈l，lαB．A∈l，l?αC．A?l，l?αD．A?l，lα[答案]B2．如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为( )A．平面MN B．平面NQPC．平面αD．平面MNPQA[表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP，选A.]3．任意三点可确定平面的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．1或无数个D[当这三点共线时，可确定无数个平面；当这三点不共线时，可确定一个平面．]立体几何三种语言的相互转化【例1】用符号表示下列语句，并画出图形．(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．[解](1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图．三种语言的转换方法：(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)要注意符号语言的意义. 如点与直线的位置关系只能用“∈”或“”，直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”．(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．1．用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.[解](1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图①．(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图②．点线共面问题【例2】如图，已知：a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ?α.[证明]∵PQ∥a，∴PQ与a确定一个平面β.∴直线a?β，点P∈β.∵P∈b，b?α，∴P∈α.又∵a?α，∴α与β重合．∴PQ?α.解决点线共面问题的基本方法：2．求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．[解]已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C.求证：直线AB，BC，AC共面．证明：法一：因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α.因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故B C?α.因此直线AB，BC，AC都在平面α内，所以直线AB，BC，AC共面．法二：因为A不在直线BC上，所以点A和直线BC可确定一个平面α.因为B∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB?α.同理AC?α，故直线AB，BC，AC共面．法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，所以A，B，C三点可以确定一个平面α.因为A∈α，B∈α，所以AB?α，同理BC?α，AC?α，故直线AB，BC，AC共面．点共线、线共点问题[探究问题]1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？[提示]如图，连接BD1，∵A1C∩平面ABC1D1＝E，∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.∵A1C?平面A1BCD1，∴E∈平面A1BCD1.2．上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？[提示]由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据公理3可知B，E，D1三点共线．【例3】如图，已知平面α，β，且α∩β＝l. 设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点).思路探究：梯形的两腰→找交点→探求交点与面α，β的位置关系→得结论[证明]因为梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰.所以AB，CD必定相交于一点.设AB∩CD＝M.又因为AB?α，CD?β，所以M∈α，M∈β.所以M∈α∩β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.即AB，CD，l共点(相交于一点).本例变为：如图所示，在空间四边形各边AD、AB、BC、CD上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．[证明]若EF、GH交于一点P，则E，F，G，H四点共面，又因为EF?平面ABD，GH?平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，由公理3可得P∈BD.1．证明三点共线的方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知，这些点都在两个平面的交线上．(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．2．证明三线共点的步骤(1)首先说明两条直线共面且交于一点；(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．1．立体几何的三种语言图形语言、符号语言、文字语言是立体几何的三大语言，要准确实现这三种语言的相互转换．2．三个公理的作用：公理1——判定直线在平面内的依据；公理2——判定点共面、线共面的依据；公理3——判定点共线、线共点的依据．3．证明几点共线的方法：首先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点. 或先由某两点作一条直线，再证明其他点也在这条直线上．1．有以下结论：①平面是处处平的面；②平面是无限延展的；③平面的形状是平行四边形；④一个平面的厚度可以是0.001 cm.其中正确的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4B[平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，①②两种说法是正确的；③④两种说法是错误的．故选 B.]2．下列空间图形画法错误的是( )A B C DD[遮挡部分应画成虚线．故D错，选 D.]3．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为( ) A．A?a，a?α，B∈αB．A∈a，a?α，B∈αC．A?a，a∈α，B?αD．A∈a，a∈α，B∈αB[点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a?α，B∈α.]4．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上．[证明]因为P∈AB，AB?平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.。
教案高一数学人教版必修二 2.1.1平面
双峰一中高一数学必修二教案
）利用生活中的实物对平面进行描述；（
的直观图（（
思考3:我们常常用平行四边形表示平面，当平面水平放置时，平行四边形的锐角通常画成45º，且横边长等于其邻边长的
思考4:当两个平面相交时，你认为下列哪个图形的立体感强？你能指出其画法要点吗？
(1)画出交线；(2)被遮挡部分画虚线.
说明:为了表示和区分平面，我们可以用适当的字母作为平面的名称，如
思考1:如果直线l与平面α有一个公共点P，那么直线l是否在平面α内?
思考3:如图，当点A、B落在平面α内时，直线
置关系如何？由此可得什么结论？
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
思考3:经过任意三点都能确定一个平面吗？由此可得什么结论？
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
思考4:公理2可简述为“不共线的三点确定一个平面”，它有什么理论作用？
思考1:如图，把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在的平面与桌面所
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
l β= ，
有哪些理论作用吗？确定两平面相交的依据，判断多点共线的依据,l P αβ=且
（1）平面的概念、画法、表示方法；
（2）文字语言、符号语言、图形语言描述点、直线、平面之间的位置关。
人教A版高中数学必修2教学案2.1.1平面
2. 1.1 平面【教学目标】1.使学生掌握平面的表示法，点、直线与平面的关系，有关平面的三个公理，2.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的关系。
【教学重难点】教学重点：三个公理的教学是重点。
教学难点：公理的理解与运用是难点。
【教学过程】1．提问：在长方体中，顶点、棱所在的直线、侧面、底面之间的关系应该怎么说呢？2．新课（1）、生活中的平面生活中的一些物体通常呈平面形，如课桌面、黑板面、海面都是平面，几何里说的平面（plane ）是从这样的一些物体中抽象出来的，但是几何里的平面限延展的。
（2）、平面的画法与表示法常常把水平的平面画成一个平行四边形，锐角通常画成45°，且横边等于其邻边长的2倍平面表示：平面通常用α、β、γ写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β、平面γ，也可以用平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点的大写英文字母来表示，如平面ABCD ，或平面AC 或平面B D 。
如果一个平面被另一个平面遮住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如右图。
平面内有无数个点，平面可以看成是点的集合，点P 在平面α内，记作P ∈α，点Q 在平面α外，记作Q ∉α。
（3）、公理1公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
此公理可以判断直线是否在平面内。
点动成线、线动成面。
直线、平面都可以看成点的集合。
点P 在直线l 上，记作P ∈l ，点P 在直线l 外，记作P ∉l 。
如果直线l 上的所有点都在平面α内，就说直线l 在平面α内，或者说平面α经过直线l ，记作l ⊂α；否则，就说直线l 在平面α外，记作l ⊄α。
公理1也可以表示：A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l ⊂α（4）、公理2三脚架可以声支撑照相机或测量用的平板仪或电子琴，自行车前后轮胎及支架。
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
（补充3个推论）：推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面。
高中数学 必修二(2.1.1 平面)示范教案 新人教A版必修2
第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面教学过程导入新课思路1.(情境导入)大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面.思路2.(事例导入)观察长方体（图1），你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？图1长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题.推进新课新知探究提出问题①怎样理解平面这一最基本的几何概念;②平面的画法与表示方法;③如何描述点与直线、平面的位置关系？④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示;⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？⑧自己总结三个公理的有关内容.活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.②我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.④确定一条直线需要几个点？⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.⑥两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性.⑦文字语言、图形语言、符号语言.⑧平面的基本性质小结.讨论结果：①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2.平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3.图2 图3平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD （图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC （图5）.图4 图5 ③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：点A 在直线a 上（或直线a 经过点A ）A∈a 元素与集合间的关系点A 在直线a 外（或直线a 不经过点A ）A ∉a 点A 在平面α内（或平面α经过点A ） A∈α 点A 在平面α外（或平面α不经过点A ）A ∉α④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内.公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述.空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a ⊂α.图6 图7请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.若A∈a,B∈a,且A∉α,B∈α,则a⊄α.如图（图7）.⑤在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.如图（图8）.图8公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征.现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）.问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上.这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图（图9），用符号语言表示为：P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.图9公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线.由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.⑧“平面的基本性质”小结：名称作用公理1 判定直线在平面内的依据公理2 确定一个平面的依据公理3 两平面相交的依据应用示例思路1例1 如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.图10活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价.解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在（2）中，α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.变式训练1.画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A∈α,B∉α,A∈l,B∈l;(2)a⊂α,b⊂β,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.解：如图11.图112.根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l，直线AB⊂α，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F，F∉l;（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:A∈a，B∈α，B∉a，C∈β，C∉a. 答案：如图12.图12点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面.图13证明：如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B，b上取一点C，根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α，因为A、B在平面α内，根据公理1，直线a在平面α内,同理直线b在平面α内，即平面α是经过直线a和直线b的平面.又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C. 于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.变式训练求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.证明：如图14，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F,图14∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α，即a,b⊂α.∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d,∴c、d⊂α,即a、b、c、d在同一平面内.点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.思路2例1 如图15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交，在图中分别画出平面ABC 与α、β的交线.图15活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路.解：如图16所示，连接CB，∵C∈β,B∈β,∴直线CB⊂β.图16∵直线CB⊂平面ABC，∴β∩平面ABC=直线CB.设直线CB与直线EF交于D,∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC.∵A∈α,A∈平面ABC，∴α∩平面ABC=直线AD.变式训练1.如图17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C ，请画出直线DE 与平面α的交点P ，并指出点P 与直线BC 的位置关系.图17解：AD 和AC 是相交直线，它们确定一个平面ABC ，它与平面α的交线为直线BC ，DE ⊂平面ABC ，∴DE 与α的交点P 在直线BC 上.2.如图18，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，图18(1)画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线.(2)设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.解：(1)设M 、N 、P 三点确定的平面为α，则α与平面AA 1B 1B 的交线为直线MP ，设MP∩A 1B 1=R ，则RN 是α与平面A 1B 1C 1D 1的交线，设RN∩B 1C 1=Q ，连接PQ ，则PQ 是所要画的平面α与平面BB 1C 1C 的交线.如图18.(2)正方体棱长为8 cm ，B 1R=BM=4 cm ，又A 1N=4 cm ，B 1Q=31A 1N, ∴B 1Q=31×4=34（cm ）.在△PB 1Q 中，B 1P=4 cm ，B 1Q=34cm ， ∴PQ=10342121=+Q B P B cm. 点评：公理3给出了两个平面相交的依据，我们经常利用公理3找两平面的交点和交线. 例2 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线. 解：如图19,∵A、B 、C 是不在同一直线上的三点,图19∴过A 、B 、C 有一个平面β.又∵AB∩α=P ，且AB ⊂β,∴点P 既在β内又在α内.设α∩β=l,则P ∈l,同理可证：Q ∈l,R ∈l,∴P、Q、R三点共线.变式训练三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点.已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.求证：l1、l2、l3相交于一点.证明：如图20，α∩β=l1，β∩γ=l2，α∩γ=l3，图20∵l1⊂β，l2⊂β，且l1、l2不平行,∴l1与l2必相交.设l1∩l2=P，则P∈l1⊂α,P∈l2⊂γ,∴P∈α∩γ=l3.∴l1、l2、l3相交于一点P.点评：共点、共线问题是本节的重点，在高考中也经常考查，其理论依据是公理3.知能训练画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.解：如图21,图21∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.∵E∈AC，∴E∈平面ACD′.∵E∈BD，∴E∈平面BDC′.∵F∈DC′，∴F∈平面DC′B.∴EF为所求.拓展提升O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上.解：如图22,连接A1C1、AC，图22因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，故P在两平面的交线上，即P∈AO1.点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上.。
教案高一数学人教版必修二 2.1.1平面
双峰一中高一数学必修二教案
）利用生活中的实物对平面进行描述；（
的直观图（（
思考3:我们常常用平行四边形表示平面，当平面水平放置时，
锐角通常画成45º，且横边长等于其邻边长的
思考4:当两个平面相交时，你认为下列哪个图形的立体感强？你能指出其画法要点吗？
(1)画出交线；(2)被遮挡部分画虚线.
说明:为了表示和区分平面，我们可以用适当的字母作为平面的名称，如
思考1:如果直线l与平面α有一个公共点P，那么直线l是否在平面α内?
思考3:如图，当点A、B落在平面α内时，直线
置关系如何？由此可得什么结论？
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内
思考3:经过任意三点都能确定一个平面吗？由此可得什么结论？
公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
思考4:公理2可简述为“不共线的三点确定一个平面”，它有什么理论作用？
思考1:如图，把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在的平面与桌面所
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
l β= ，
有哪些理论作用吗？确定两平面相交的依据，判断多点共线的依据,l P αβ=且
（1）平面的概念、画法、表示方法；
（2）文字语言、符号语言、图形语言描述点、直线、平面之间的位置关。
2019年最新-人教版高中数学必修二2.1.1_《平面》教学教案
作用： ①判断两个平面相交的依据．
②判断点在直线上．
l P
典型例题
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
a
B
A l
a
l
P
b
（1）
（2）
解：在（1）中，
l,a A ,a B .
在（2）中，
l , a , b , a l P , b l P .
l
A B
在生产、生活中，人们经过 长期观察与实践，总结出关于平 面的一些基本性质，我们把它作 为公理．这些公理是进一步推理 的基础．
A l ,B l ,A ,B l
作用： 判定直线是否在平面内．
图形、文字、符号
l
A
点A在直线l上．
Al
l
A
直线l在平面 外 ．
l
l A
点A在直线l外．
D
A
C B
记作： 平面
平面ABCD 平面AC或平面BD
D
F
C
A
E
B
记作： 平面 平面
点与平面的位置关系
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点在平面内和点在平面 外都可以用元素与集合的属于、不属于关系来表示．
B
A
点A在平面 内 ，
记作 A．
读作
点B在平面 外 ， 记作 B ．
读作
平面公理
B 提示：歌中唱出了哪些内容？你想 和小燕 子说什 么？
C 听歌曲《小燕子》分小组编创动作 。
D 随着复听歌曲的录音，分组表演。
三 结束部分：小结。结束全课。
课题：表演《春天》 课时：１——２
教学目标：１，通过演唱《小雨沙沙 》，引 导学生 细心地 观察事 物，启 迪学生 热爱大 自然。
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2019-2020年人教版高中数学必修二教案：2-1-1 平面
图1
长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成
图2 图3
图4 图5 ③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：
在直线a上（或直线
图6 图7 请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.
如图（图7）.
图8
图9
告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个
图10
学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价
图11
根据下列条件，画出图形.
∩平面β=l，直线AB⊂α，AB∥l，E∈AB，直线
图12
图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：
根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来
图14
b=A,∴直线a和直线b确定平面设为。