有限元基础(各种单元的比较与选择)

总体应力磨平
构造一个改进的应力解，此改进解在全域上是连 续的，改进解与有限元计算的应力解应满足加权最小 二乘的原则
单元应力磨平
为减少改进应力结果的工作量，可以采用单元应 力的局部磨平。 采用单元应力局部磨平的方法，对于同一结点， 由不同相邻单元求得的应力改进值通常是不相同的。 可把相关单元求得的改进结点值再取平均作为最后结 点的应力值。
单元形态与单元布置
单元形状对应变的影响
结点3的雅克比矩阵行列式为：
θ
2
J = a ctg
2
θ → 180 Biblioteka Baiductg
o
θ
2
→0
此时雅克比矩阵无法求逆，无法 求出结点 3 处的应变。在它附近的应 变，即使可以求出，计算误差也是很 大的。因此，各单元的顶角不能接近 180o，一般应尽量保持在90o左右。
各种单元的比较与选择
各 种 单 元 的 比 较 与 选 择
各种单元的比较与选择
为了达到同样的精度，高次单元的数目可以减少，自由度 总数随之减少。因此，信息准备的工作量较少，求解方程组的 机器时间也较少。 除了每个结点有 6 个参数的单元外，高次单元的带宽较 大，对于同样的自由度，需要较大的存储容量。高次单元最重 要的缺点是单元刚度矩阵比较复杂，在形成刚度矩阵时要消耗 较多的机器时间，尤其是等参数单元，其刚度矩阵必须通过数 值积分才能算出，形成刚度矩阵所需机器时间更多。 但在多数情况下，这些缺点能为自由度的减少所弥补。
子结构分析
子结构分析
⎡ K bb ⎢ K ib ⎣ K bi ⎤ ⎡δ b ⎤ ⎡ Pb ⎤ ⎥ ⎢δ i ⎥ = ⎢ Pi ⎥ K ii ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
−1
{δ i } = [K ii ] ({Pi }− [K ib ]{δ b })
[K ] = [K ] − [K ][K ] [K ]⎫ ⎪ ⎬ {P }= {P }− [K ][K ] {P } ⎪ ⎭
杆件与块体的连接
方法一：杆件部分与块体部分都采用块体单元 由于杆件中应力梯度较大，必须采用比较密集的 计算网格，将大大增加计算量。 方法二：杆件部分采用杆件单元，块体部分采用块体 单元 由于杆件单元的结点自由度除了线应变外，还有 角应变，而块体单元的结点自由度只有线位移，所以 在杆件与块体之间的接触面上，存在着两种单元的自 由度匹配问题，需要采用连接单元。
各种单元的比较与选择
δ = 4.030 ×10 −3
δ = 3.806 ×10 −3
δ = 1.152 ×10 −3
各种单元的比较与选择
B A
B’
A’
各种单元的比较与选择
以上计算成果表明：对于以弯曲为主的单薄结构， 如土基中的混凝土防渗墙、隧洞衬砌等等，不宜采用等 应变三角形单元，因为这类构件比较薄，在厚度方向要 布置5排以上的单元比较困难，而单元在4排以下时，计 算误差比较大，最好采用8结点的等参数单元或高次三角 形单元。 同时，对于拱坝等空间结构，不要采用常应变四面 体单元，最好采用20结点等参数单元，或高次四面体单 元。
子结构分析
子结构分析
在分析大型复杂结构时，由于单元数量多，方程组往往十 分庞大，以至超出了计算机的存储容量。 这时可以把原结构分为几个区域，每一个区域称为一个子 结构，这些子结构在它们的公共边界上互相连结起来。 先分析子结构，通过静力凝聚消去子结构的内部自由度， 然后进行整体分析。这时只要考虑结构约束边界及相邻子结构 公共边界上的自由度，问题的规模比原结构当然要小得多了。
棱边结点间距对应变的影响
如果同一条边上的结点间距相差过大，对计算结 果会产生影响。例如，当二次等参数单元的棱边中点 从正常位置移到¼边长处时，在角点1处的应变将趋于 无穷大。
因此，边中点应布置在中间 1/3区间内，尽量靠近边中点。
等参单元的加密
在结构内的应力是不均匀的，在应力梯度小的区 域，单元可以稀一些；在应力梯度大的区域，应该密 集一些。
各种单元的比较与选择 （空间单元）
各种单元的比较与选择
六面体单元，形状规则，难以适应工程结构的复杂外形， 目前应用很少。 四面体12自由度单元，由于其刚度矩阵简单，也能适应复 杂的几何外形；单元内部应变是常量，必须采用大量的密 集的单元，才能取得较好的应力效果。 四面体48自由度单元，单元应变是二次函数，计算精度较 高；它适应复杂几何形状的能力优于六面体单元，但不如 等参数曲面单元。 等参数单元既有较高的计算精度，又能适应复杂的几何形 状，应用日渐广泛。
各种单元的比较与选择 （平面单元）
单元的选择与计算精度、计算时间及准备工作等有关。
各种单元的比较与选择
按位移法（最小势能原理）求出的位移近似解，其值将小 于精确解，这种位移解称为下限解。 按位移法求解时，必须先假定单元位移函数。这些位移函 数是连续的，却是近似的。从物体中取出的一个单元，作为连 续介质的一部分，本来具有无限个自由度，在采用位移函数以 后，只有以结点位移表示的有限个自由度。位移函数对单元的 变形能力有所限制，使单元的刚度增加了，物体的整体刚度也 随之增加了，因此计算的位移近似解将小于精确解。
应力计算结果的处理
应力近似解的性质
应变近似解和应力近似解在精确解上下振荡，并 在某些点上，近似解正好等于精确解。
等参元的最佳应力点
在等参元中，高斯积分点上的应变或应力近似解 比其他部位具有较高的精度，这些积分点称为最佳应 力点。
应力平均
取相邻单元的应力平均值 算术平均值 面积加权平均值 取围绕结点各单元应力的平均值
各种单元的比较与选择
各种单元的比较与选择
各种单元的比较与选择
等参数单元I60对于两种结构的计算精度都很高； 等参数单元I24对于悬臂梁的计算精度还算满意，对于薄板 的计算精度就比较差； 由5个或6个常应变单元组合的单元5T12和6T12，对两种结构 的计算精度都很差； 由5个线性应变单元组合的单元5T30的计算精度是比较好 的，但它的表面是平面，无法贴合结构的复杂外形； 等参数单元的刚度矩阵是各向同性，而5T30的单元刚度矩阵 却在三个方向略有差别。
各种单元的比较与选择
长悬臂梁
I60
等参数单元 I60计算效果好。
I24 (m, n) 网格型式
各种单元的比较与选择
深悬臂梁
I60 I24 (m, n) 网格型式
等参数单元 I24计算效果好。
各种单元的比较与选择
对于空间问题，20结点等参数单元可以很好地反映板弯曲 作用，在厚度方向只要取一层单元就可以计算弯曲作用比较显 著的结构。 对于内部剪应力较显著的大体积结构，8结点等参数单元 可能更为有效。 当存在应力集中现象时，四面体单元因可采用密集的网格 以适应急剧变化的应力场，仍是值得考虑的一种形式。 当结构非常单薄时，采用空间单元计算，可能出现病态方 程，对于这类结构，最好采用薄板或薄壳单元计算。
杆件与块体的连接
连接单元ijm 在 j 点，刚臂与块体固结； 在m点，刚臂与块体之间用滚轮连接 因此，刚臂不承受轴力，只承受 弯矩和剪力，以保证杆件与块体在接 触处角变形的连续。
杆件与块体的连接
在杆件单元 ij 的下面连接 2 支刚 臂，刚臂jm正交插入块体，用以保证 角变位Φyj、Φzj的连续；刚臂 njp， 平行于块体表面，用以保证扭转角变 位Φxj的连续。
* b −1 bb bi ii ib * b −1 b bi ii i
[K ]{δ } = {P }
* b b * b
子结构分析
杆件与块体的连接
杆件与块体的连接
在用有限单元法计算实际工程结构时，经常会遇 到不同结构构件的连接问题，如杆件结构与块体结构 的连接问题。 如何将杆件单元与块体单元连接起来？