量子力学矩阵形式和表象变换

§4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换

态和力学量算符的不同表示形式称为表象。

态有时称为态矢量。力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。

1、量子态的不同表象 幺正变换

（1）直角坐标系中的类比

取平面直角坐标系21X OX 其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e

,见图

其标积可写成下面的形式

)2,1,(),(==j i e e ij

j i δ

我们将其称之为基矢的正交归一关系。

平面上的任一矢量A

可以写为

2211e A e A A +=

其中),(11A e A =，),(22A e A

=称为投影分量。 而),(21A A A = 称为A

在坐标系21X OX 中的表示。

现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度，则单位基矢变为','21e e

，且同样有

)2,1,()','(==j i e e ij

j i δ

而平面上的任一矢量A

此时可以写为 ''''2211e A e A A +=

其中投影分量是),'('11A e A =，),'('22A e A

=。 而)','(21A A A = 称为A

在坐标系'X 'OX 21中的表示。

现在的问题是：这两个表示有何关系？

显然，22112211''''e A e A e A e A A

+=+=。

用'1e 、'2e

分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有

),'(),'('2121111e e A e e A A

+= ),'(),'('2221212e e A e e A A

+=

表成矩阵的形式为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A

由于'1e 、1e 及'2e 、2e

的夹角为θ，显然有

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ

或记为

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121)(''A A R A A θ 其中

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-=θθ

θθθcos sin sin cos )(R 是把A

在两坐标中的表示⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''21A A 和⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛21A A 联系起来的变换矩阵。

变换矩阵的矩阵元正是两坐标系基矢间的标积，它表示基矢之间的关系。故R 给定，任何矢量在两坐标系间的关系也确定。

很容易证明，R 具有下述性质：

I R R R R ==~

~

由于1)(det )~

det(2

==R R R ,

其中 321321)1()det(p p p t

R R R R -∑=， 故称这种矩阵为正交矩阵。

但1det =R （对应于真转动（proper rotation ））且R R =*

（实矩阵）

1*~

-+===∴R R R R

I R R RR ==∴++

我们把满足上述条件的矩阵叫幺正矩阵。 到现在为止，我们介绍了三种矩阵： 厄米矩阵：*~

R R R ==+ 正交矩阵：I R R R R ==~

~ 幺正矩阵：I R R RR ==++

这三种矩阵在以后的学习中经常涉及到，请注意掌握。 （2）量子力学中的表象

形式上与上述类似，在量子力学中，按照态的叠加原理，任何一个态ψ可以看成Hilbert 空间的一个“矢量”。

体系的力学量 F 完全集的共同本征函数系k ψ（k 代表一组完备量子数）构成一组正交归一完备基矢。这组基矢构成的“坐标系”称为F 表象。

同样

kj j k δψψ=),(

对于任意态矢量ψ，有

∑=k

k k a ψψ

其中

),(ψψk k a =

这一组系数）（ ,,21a a 就是态（矢）在F 表象中的表示，它们分别是与各基矢的内积。

与代数不同的是：

①这里的“矢量”（量子态）是复数； ②空间维数可以是无穷的，甚至不可数的。

现在考虑同一个态ψ在另一组力学量完全集'F (表象'F )中的表示。 设本征态为'αψ，满足正交归一，即

αββαδψψ=)','(

态ψ用这组态矢展开，即

''αα

αψψ∑=a

其展开系数为),'('ψψαα=a ，则这一组系数）（ ,','21a a 就是态ψ在'F 表象中的表

示。

那么）（）（ ,',',,2121a a a a ↔ ？

方法同前述。 因为显然k

k

k a a ψψψαα

α∑∑==

''，对后一等式用'*

α

ψ

作内积，有

∑∑==k

k k k

k k a S a a αααψψ），（''

其中），（k k S ψψαα'=是'F 表象基矢与F 表象基矢的内积。

上式也可以写成矩阵的形式：

⎪

⎪

⎪⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛

k a a a S S S S a a a 212221121121'''α 简记为Sa a ='

通过S 矩阵相联系，且I S S SS ==+

+，

即S 矩阵是幺正矩阵（下面将予以证明）。它实际上是联系两个基矢的变换矩阵。 例 试证明： S 矩阵是幺正矩阵

[分析]只要证明S S +

的矩阵元是kj δ即可。 在F 表象中，有

∑∑==++α

αααααj k j k kj S S S S S S *

)(

根据S 矩阵元的定义，上式为

)

'()()(')'(''d d )

'()'(''d )()('d )(**

3

3

*

3*3r r r r r r r r r r r r S S j k j k kj

ψψψψψψψψα

αααα

α⎰⎰∑⎰∑⎰=⨯=+

利用前面的介绍，δ函数可以用任何一组正交归一完备函数组来构成，即