量子力学矩阵形式和表象变换
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§4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换
态和力学量算符的不同表示形式称为表象。
态有时称为态矢量。力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换,因此可与代数中线性变换进行类比。
1、量子态的不同表象 幺正变换
(1)直角坐标系中的类比
取平面直角坐标系21X OX 其基矢(我们过去称之为单位矢)可表示为21,e e
,见图
其标积可写成下面的形式
)2,1,(),(==j i e e ij
j i δ
我们将其称之为基矢的正交归一关系。
平面上的任一矢量A
可以写为
2211e A e A A +=
其中),(11A e A =,),(22A e A
=称为投影分量。 而),(21A A A = 称为A
在坐标系21X OX 中的表示。
现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度,则单位基矢变为','21e e
,且同样有
)2,1,()','(==j i e e ij
j i δ
而平面上的任一矢量A
此时可以写为 ''''2211e A e A A +=
其中投影分量是),'('11A e A =,),'('22A e A
=。 而)','(21A A A = 称为A
在坐标系'X 'OX 21中的表示。
现在的问题是:这两个表示有何关系?
显然,22112211''''e A e A e A e A A
+=+=。
用'1e 、'2e
分别与上式中的后一等式点积(即作标积),有
),'(),'('2121111e e A e e A A
+= ),'(),'('2221212e e A e e A A
+=
表成矩阵的形式为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A
由于'1e 、1e 及'2e 、2e
的夹角为θ,显然有
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ
或记为
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121)(''A A R A A θ 其中
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=θθ
θθθcos sin sin cos )(R 是把A
在两坐标中的表示⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''21A A 和⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛21A A 联系起来的变换矩阵。
变换矩阵的矩阵元正是两坐标系基矢间的标积,它表示基矢之间的关系。故R 给定,任何矢量在两坐标系间的关系也确定。
很容易证明,R 具有下述性质:
I R R R R ==~
~
由于1)(det )~
det(2
==R R R ,
其中 321321)1()det(p p p t
R R R R -∑=, 故称这种矩阵为正交矩阵。
但1det =R (对应于真转动(proper rotation ))且R R =*
(实矩阵)
1*~
-+===∴R R R R
I R R RR ==∴++
我们把满足上述条件的矩阵叫幺正矩阵。 到现在为止,我们介绍了三种矩阵: 厄米矩阵:*~
R R R ==+ 正交矩阵:I R R R R ==~
~ 幺正矩阵:I R R RR ==++
这三种矩阵在以后的学习中经常涉及到,请注意掌握。 (2)量子力学中的表象
形式上与上述类似,在量子力学中,按照态的叠加原理,任何一个态ψ可以看成Hilbert 空间的一个“矢量”。
体系的力学量 F 完全集的共同本征函数系k ψ(k 代表一组完备量子数)构成一组正交归一完备基矢。这组基矢构成的“坐标系”称为F 表象。
同样
kj j k δψψ=),(
对于任意态矢量ψ,有
∑=k
k k a ψψ
其中
),(ψψk k a =
这一组系数)( ,,21a a 就是态(矢)在F 表象中的表示,它们分别是与各基矢的内积。
与代数不同的是:
①这里的“矢量”(量子态)是复数; ②空间维数可以是无穷的,甚至不可数的。
现在考虑同一个态ψ在另一组力学量完全集'F (表象'F )中的表示。 设本征态为'αψ,满足正交归一,即
αββαδψψ=)','(
态ψ用这组态矢展开,即
''αα
αψψ∑=a
其展开系数为),'('ψψαα=a ,则这一组系数)( ,','21a a 就是态ψ在'F 表象中的表
示。
那么)()( ,',',,2121a a a a ↔ ?
方法同前述。 因为显然k
k
k a a ψψψαα
α∑∑==
'',对后一等式用'*
α
ψ
作内积,有
∑∑==k
k k k
k k a S a a αααψψ),(''
其中),(k k S ψψαα'=是'F 表象基矢与F 表象基矢的内积。
上式也可以写成矩阵的形式:
⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
k a a a S S S S a a a 212221121121'''α 简记为Sa a ='
通过S 矩阵相联系,且I S S SS ==+
+,
即S 矩阵是幺正矩阵(下面将予以证明)。它实际上是联系两个基矢的变换矩阵。 例 试证明: S 矩阵是幺正矩阵
[分析]只要证明S S +
的矩阵元是kj δ即可。 在F 表象中,有
∑∑==++α
αααααj k j k kj S S S S S S *
)(
根据S 矩阵元的定义,上式为
)
'()()(')'(''d d )
'()'(''d )()('d )(**
3
3
*
3*3r r r r r r r r r r r r S S j k j k kj
ψψψψψψψψα
αααα
α⎰⎰∑⎰∑⎰=⨯=+
利用前面的介绍,δ函数可以用任何一组正交归一完备函数组来构成,即