函数方程不等式以及它们的图像
第二章 一元二次函数、方程和不等式复习与小结)课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册)
常量(如1)替换，变量替换(消元)
返回
6.二次函数与一元二次方程、不等式的关系：
(1)形式上
二次函数 y=ax2+bx+c
(2)数值上 二次函数函数 y=ax2+bx+c的零点
一元二次方程 ax2+bx+c=0
右边化为0， 左边设为y
一元二次不等式 ax2+bx+c<0(或>0)
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
a b a b 0; 2.两个实数大小关系的基本事实： a b a b 0;
a b a b 0.
利用这个事实可以采取作差法可以对一些代数式的大小进 行了比较也可以证明不等式：
(1)作差； (2)变形；
目的：便于判定差的符号 常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等 (3)定号； 当差的符号不确定时，一般需要分类讨论 (4)作结论。 根据当差的正负与实数大小关系的基本事实作出结论 返回
1
1
ab
返回
4.基本不等式及其推导
对任意的a 0，b 0，有 ab a b 2
当且仅当a b时，等号成立
(1)基本不等式的常见变形：
① a+b≥2 ab ;
② ab≤( a+b )2 2
代数特征： 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当且仅 当这两个正数相等时，二者相等. 几何解释： 圆O的半弦CD不大于圆的半径OD，当且仅当C与圆心O 重合时，二者相等。 (2)基本不等式的推导和证明： ①利用两个实数大小关系的基本事实用作差法得出；
求a b的最小值以及此时a的值。
解: 方法1
a0 , b0
由a b ab - 3得 a b ab - 3 ( a b )2 3
一元二次不等式(图像法)
1.X轴上的点的坐标具有的形式是：
(x,0)
2.二次函数f(x)=x2_x-2与x轴的交点坐标
0=x2-x-2
y
x1=-1或x2=2
x1 o
x2 x
所以f(x)=x2_x-2与x轴的交点坐标为
（-1，0）和（2，0）
预备知
识
a>0
一元二次方程ax2+bx+c=0的解情况
当⊿＞0时，方程有两
y>0 x<-1或x>2,
-1 o
2
x
y<0 -1<x<2
例.解不等式x2-x-6 >0.
y
解：x2-x-6=0的两个根
是x1=-2，x2=3。 函数y=x2-x-6
的图像如图，
x2-x-6>0
x<-2或x>3是 (, 2) (3, ).
不等的实根x1，x2.
一元二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 y
x1 o
x2 x
当⊿＝0 时，方程有两相
等的实根 X1=X2=X0
当⊿＜0 时，方程无实根
y
o x0
x
y
o
x
观察
y=x2-x-2图像上的点M的坐标(x,y)具有什么性
质
y
y=0, y>0, y<0
y=0 x=-1或x=2,
解不等式x2-x-6 <0.
解: x2-x-6=0的两个根
y
是x1=-2，x2=3。函数
y=x2-x-6 的图像如图
x2-x-6>0 -2<x<3
-2 o
函数、方程、不等式以及它们图像_课件 共90页
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解：（2）
已知f(x)图像关于x=1对称（ xR，都有 2x x 1 ）
2 xR有 f(2x)f(x)
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解： 又f(x)是R上的偶函数 f(x)f(x) f[2(x) ]f(x) f(2x)f(x)
f(2x)f(x) 即f(x)是以2为周期的周期函数
函数、方程、不等式 以及它们的图像
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1
函数是中学数学的一个重要概念。函数 的思想，就是用运动变化的观点，分析和 研究具体问题中的数量关系，建立函数关 系，运用函数的知识，使问题得到解决。
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2
和函数有必然联系的是方程，方程
f(x) 0的解就是函数 yf(x) 的图像 与x轴的交点的横坐标，函数 yf(x)
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解：（2）
由题意可知方程组
y
a
x
有解
ax x
y x
显然 x 0 不是方程 ax x 的解，所以存在非零常数T，使得 aT T
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解：
对于 f(x) ax ，有
f( x T ) a x T a T a x T a x T ( x )f f(x)axM
f ( x ) 在 (1,1) 上是奇函数；
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证明（2）：
f(x1)
f(1)1 2
f(xn1)f(12xxnn2) f(1x nx nx x nn)f(xn)f(xn)
2f(xn)
f (xn1) 2 f (xn )
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证明（2）：
y x的图像有公共点，证明： f(x) ax M；（3）若函数
二次函数与一元二次方程、不等式 课件(2)
实根
没有实数根
b
(a>0)的根
x1,x2
2a
(x1<x2)
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x<x
_______1
或x>x2} {x|x≠x
_________
__________
________
1} {x|x∈R}
{x|x1
_______
______
数. （若二次项系数带参数，考虑参数等于零、不等于零）
2、解决恒成立问题，一定要搞清谁是主元，谁是参数，一
般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参
数.
[跟踪训练二]
1.
已知不等式 x 2 x a 0 的解集为 x|x 3 或 x 2 ，
则实数 a __________.
次不等式之间的联系；
2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；
3.数学运算：解一元二次不等式；
4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；
5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二
次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联
系。
自主预习，回答问题
• 阅读课本50-52页，思考并完成以下问题
• 1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.
（3） − 2 + 4 − 4 < 0
1
（4） 2 − + 4 ≤ 0
答案：（1） | < −, 或 >
（3） | ≠
（2） | ≤ −, 或 ≥
全国硕士研究生统一招生考试-管理综合-数学-第三章 函数、方程、不等式
第三章函数、方程、不等式考情分析应该说，函数、方程和不等式是整个联考的核心，要作为一个密不可分的整体来进行复习，要求考生掌握常见的图形和性质的规律，能够迅速求解一简单方程或不等式，以及由方程和不等式的解的特性研究其参数，包括会利用方程和不等式的思想解决实际应用问题。
此类题每年考试一般有4题。
第一节函数大纲要求本节主要考查一次函数、分段函数、二次函数、均值函数（不等式）、指数函数与对数函数的图像与性质，以及它们的实际运用等。
函数的性质比较重要的有最值的性质、单调性等。
核心指点一般求解函数的最值问题时，可以利用二次函数、均值函数这样的工具进行求解，也可以利用图形等相关方法求解。
考点精讲一、集合1.集合的概念集合：将能够确切指定的一些对象看成一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。
元素：集合中各个对象叫做这个集合的元素。
2.常用数集及记法非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N。
N或+Z。
正整数集：非负整数集内除0的集合，记作*整数集：全体整数的集合，记作Z 。
有理数集：全体有理数的集合，记作Q 。
实数集：全体实数的集合，记作R 。
【注】（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。
（2）非负整数集内排除0的集，记作*N ，,,Q R Z 等其它数集内排除0的集，也是这样的表示，例如，整数集内排除0的集，表示成*Z 。
3.集合的分类有限集：含有有限个元素的集合。
无限集：含有无限个元素的集合。
规定：空集是不含任何元素的集合。
4.元素与集合的关系属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈； 不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉； 5.集合中元素的特性确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里或者不在，不能模棱两可； 互异性：集合中的元素没有重复；无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）；【注】（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如,,,,A B C P Q 等，元素通常用小写的拉丁字母表示，如,,,,a b c p q 等；（2）""∈的开口方向，不能把a A ∈颠倒过来写。
高三一轮复习-二次函数与一元二次方程、不等式课件
考点一 二次函数图像性质
例1(1)(202X•泸县校级模拟)设m∈R,则“m≤2”是“函数f(x)
=x2-mx在[1，+∞)上单调递增”的( )
A．充分不必要条件 B也不必要条件
a2－a>0，解得a<0或a>1.
3.(202X·河南郑州联考改编)已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集 是(－1，3)，则b＝________；若对于任意x∈[－1，0]，不等式f(x)＋t≤4 恒成立，则实数t的取值范围是________.
2＝b，
b＝4，
由题可知－1和3是方程－2x2＋bx＋c＝0的根，即
˂
sin2θ
˂
3 2
θ∈[-
π 4
,
3π 4
]，
2θ∈[-
π 2
,
3π 2
]，
-
π 6
˂2θ˂
π 3
或
2π 3
˂2θ˂
7π 6
θ∈(-
1π2,
π 6
)∪(
π 3
,
7π 12
)
考点一 一元二次不等式的解法
例2(1)(202X•江西模拟)已知集合A={x|(2a-x)(x-a)˂0},若2∈ A，
则的取值范围为( )
A.(-∞,1)∪(2,+∞)
B. [1,2)
C.(1,2)
D.[1,2]
因为2∈A，(2a-2)(2-a)0，(2a-2)(a-2)≤0， 1≤ a≤ 2
(2)(202X•岳阳二模)已知关于x的不等式ax2+2bx+4˂0的解集为
一元二次不等式的解法
（1）如果相应的一元二次方程分别有
两个实根、唯一实根、无实根的话， 其相应的二次函数的图像与轴的位置 关系如何？ （2）请观察表中的二次函数的图像， 并写出相应的一元二次不等式的解集.
∆＝b2-4ac
∆>0
y
● ●
∆=0
y y
∆<0
二次函数 y=ax2+bx+c x1 o 的图像 ax2+bx+c=0 x1,2 = 的根 ax2+bx+c>0 的解集
x2 x
o
●
x
o
b b± Δ x1 = x 2 = 2a 2a
φ
R
x
{x | x 或x >
ax2+bx+c<0 {x | x1 < x < x2 } 的解集
{ x | x ∈ R , < x1 b x2 } x ≠- 2a }
φ
φ
这张表是我们今后求解一 元二次不等式的主要工具， 必须熟练掌握，其关键是抓 住相应的二次函数的图像。
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哽咽着„„耿英起身拿来一条毛巾塞在娘的手里„„郭氏哭了好一会儿，终于慢慢缓过点儿劲儿了，这才拿起毛巾擦把泪拉起尚武的双手感激地 说：“武儿啊，多亏了你和哥哥姐姐，还有你们的爹娘啊，要不，你爹他，他就不可能回来了啊，娘和你的兰妹妹，还有你这几个哥哥姐姐，就 再也见不到他了哇！”尚武眼含热泪说：“娘，爹不但是我的救命恩人，他还教会了我和哥哥姐姐读书写字算账和许多做人的道理呢！而且啊， 在已经完全想起了所有的事情后，为了培养哥哥成为家里的顶梁柱，又在我们家待了四年多。这前前后后的，出了多大的力，有多么不容易啊， 是我们家的大恩人哩！”郭氏点着头连声说：“好好好，咱不说这个了，咱们两家这不成了一家人了嘛！”说着话，她再拿毛巾擦把泪，掉转头 对耿英说：“英子啊，告诉娘，没有了爹，你们三个是怎么去了景德镇，又怎么在那里立足的？”耿英哽咽着说：“俺们遇到了特别好的人！出 事的当天，望山寨小饭店的大哥大嫂留俺们在他们的饭店里凑乎住了一夜，不但没有收取一文钱，第二天临走的时候还给俺们带了干粮，鼓励俺 们要坚强！”接着，耿英又将前述中没有说到的部分经历，简单扼要地补充述说一些，但并没有提起在“盛元酒店”无奈献艺的事情。郭氏说： “那这个，你们说的，什么‘寿喜’是怎么回事啊？”耿正说：“俺们一直不知道爹还活在世上，想着连爹的„„也带不回来，没有办法向娘交 代啊！英子就想了这样子回来。当然，也是为了路途安全。俺们带着那么多细软，这千里迢迢的„„”郭氏吃惊地一下子瞪大了双眼，结结巴巴 地说：“怎么，你们，你们不是说什么也没有被贼偷走吗？”耿英说：“俺哥说为了保险起见，昨儿个去舅舅饭铺吃团圆面之前，俺们就已经把 所有值钱的东西全部挪走了！”尚武由衷地说：“哥哥姐姐真正了不起！”耿正说：“有备无患总是好的！你们可能都没有注意到，昨儿个咱们 快走到家门口的时候，俺就觉得从后面超过的那三个人有点儿可疑呢！他们不但走过去了以后，又返回头来死死盯着俺们那挂车上的那个蒙得严 严实实的大家伙看了几眼，而且咱们把骡车停在门前后，他们还又在前面的路上站住了，一起朝咱们这边儿望了几眼，这才快步往镇里走去的。 俺当时就觉得，恐怕会是三个歹人呢！”耿老爹说：“看来你的这一直觉是对的，他们就是昨儿个晚上来行窃的贼娃子！”耿英说：“那二狗和 大头说的也应该就是他们了！”耿正说：“当然就是了！咱们吃饭的时候，他们就坐在旁边的桌子上。咱还没有吃完，他们就结算饭钱走人了。” 耿兰说：“大哥啊，你明明知道他们有可能是贼娃子，看他们走了，你还能安心吃饭？”耿正说：“他们来了也是白忙活啊！再说了，大白天的， 他们
函数、方程、不等式之间的关系
函数、方程和不等式的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。
实际上，他们之间的联系非常紧密。
如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。
★函数与方程之间的关系。
先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。
对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。
如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。
我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。
所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。
这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。
这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。
举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示： 该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数 解析式23y x =-中，令0y =即可。
令0y =也 就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元 一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交 点的横坐标是相同的。
接下来推广到二次函数：例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示： 很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标 正是方程22520x x -+=的解。
如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。
在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准。
有时候只需要作出大致图像即可。
既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间 的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制 对应的函数图象呢？函数2252y x x =-+对应的方程是22520x x -+=，先求出这个方程的两个解。
很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为12和2。
初中数学代数知识点的归纳
初中数学代数知识点的归纳代数是数学中的一个重要分支，它研究的是未知数以及它们之间的关系。
初中阶段的代数知识点主要包括方程与不等式、函数与图像、整式与分式等内容。
以下将对这些知识点进行归纳和总结，帮助学生更好地理解和掌握代数的基本概念和方法。
一、方程与不等式1. 一元一次方程：形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知数，x是未知数。
解一元一次方程的常用方法有逆运算法、消元法和等式法。
2. 一元二次方程：形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是已知数，x是未知数。
解一元二次方程的方法主要有配方法和公式法。
3. 一元一次不等式：形如ax + b < c的不等式，其中a、b和c是已知数，x是未知数。
解一元一次不等式的方法有逆运算法和图像法。
4. 一元二次不等式：形如ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b和c是已知数，x是未知数。
解一元二次不等式的方法主要有图像法和解各个因子的符号法。
二、函数与图像1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，每个定义域元素与唯一一个值域元素相对应。
函数可以用符号关系、数据表或图像来表示。
2. 常见函数类型：包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
每种函数都有其特定的图像和性质。
3. 函数的运算：函数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
例如，两个函数的和差仍然是一个函数，两个函数的乘积和商也是一个函数。
4. 函数的图像：通过了解函数的定义域、值域、增减性和奇偶性等属性，可以画出函数的图像并分析其性质。
三、整式与分式1. 整式的定义：整式是由常数、未知数及其乘积、商、幂的和与差组成的代数式。
常见的整式有一元多项式和二元多项式等。
2. 整式的运算：整式可以进行加法、减法、乘法和乘方运算。
其中乘法运算可采用分配律和合并同类项的法则。
3. 分式的定义：分式是由整式的形式化倒数、含未知数的代数式与分母不为零的有理数的商所构成的对象。
一元二次不等式、方程和函数的关系
一元二次函数、方程和不等式一、定义1、等式的定义等式是数学中表示两个量或两个表达式之间相等关系的式子。
它由等号（=）连接，等号两边的数值或表达式在特定条件下是相等的。
换句话说，如果两个量或两个表达式用等号连接，那么这两个量或表达式就构成了等式。
2、不等式的定义不等式是数学中表示两个量或两个表达式之间大小关系的式子。
它不使用等号（=）连接，而是使用大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）或不等号（≠）这样的关系符号来连接两边的数值或表达式。
二、性质1、等式的性质：性质1：如果a=b ，那么b=a性质2：如果a=b ，b=c ，那么a=c性质3：如果a=b ，那么a±c=b±c性质4：如果a=b ，那么ac=bc 。
性质5：如果a=b ，c ≠0，那么c b c a =2、不等式的性质：性质1：如果a ＞b ，那么b ＜a;如果b ＜a ，那么a ＞b ．即：a ＞b ⇔b ＜a 。
性质2：如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c 。
即：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ．性质3：如果a ＞b ，那么cb c a ++＞性质4：如果a ＞b ，c>0，那么ac ＞bc ；如果a>b ，c<0，那么ac<bc性质5：如果d c b a ＞，＞，那么db c a ++＞性质6：如果0d c 0b a ＞＞，＞＞，那么bdac >性质7：如果a ＞b ＞0，那么），（＞2n n b a nn ≥∈N三、基本不等式对于∀a ＞0，b ＞0，ab 2b a ≥+变形为2b a ab +≤①当且仅当a=b 时，等号成立．通常我们称不等式①为基本不等式。
其中2b a +叫做正数a ，b 的算术平方根，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、用分析法证明基本不等式分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止要证明2b a ab +≤，只要证明b a ab 2+≤，要证明b a ab 2+≤，只要证明0b a ab 2≤--，要证明0b a ab 2≤--，只要证明0b a 2≤--）（，要证明0b a 2≤--）（，只要证明0b a 2≥-）（，很显然，平方恒大于等于0，0b a 2≥-）（成立，当且仅当a=b 时，0b a 2≥-）（中的等号成立。
二次函数与一元二次方程、不等式_课件
对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先 移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为 零，然后再用上述方法求解.
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
∴原不等式的解集 为
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
(3){x|x≠2}
2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0?大于0?小于 0? （1）y=3x²-6x+2;（2）y=25-x²; （3）y=x²＋6x+10;（4）y=-3x²＋12x-12.
(2) 令25-x²=0，则z=±5，又由y=25-x²图象的开口方向朝下，故z=±5 时 ，函数的值等于0，当-5 (3)令x²＋6z＋10=0，则方程无解，又由y=x²＋6x＋10 图象的开口方向上， 故无论x须何值，函数值均大于0; (4)x=2时，函数的值等于0；当x≠2时，函数值小于 0.
∴原不等式的解集 为
知识拓展
简单高次不等式的解 法
知识拓展 [解析]原不等式等价于x(x+2)(x3)<0. 结合数轴穿针法（如图）可知
[答案]A
拓展练习 变式训练3：解不等式：x(x-1)²(x+1)³(x-2)>0.
∴原不等式的解集 为
1.求下列不等式的解集∶ (1)(x+2)(x-3)>0;(2)3x²-7x≤10; (3)-x²+4x-4<0;(4)x²-x+<0; (5)-2x²+x≤-3;(6)x²-3x+4>0; 答案（1）{x|x<-2,或x>3} (4)不等式的解集为
程
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识汇总笔记(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识汇总笔记单选题1、已知a >0，b >0，若a +4b =4ab ，则a +b 的最小值是（ ） A ．2B ．√2+1C ．94D ．52答案：C分析：将a +4b =4ab ，转化为1b +4a =4，由a +b =14(a +b )(1b +4a )=14(5+ab +4b a)，利用基本不等式求解.因为a +4b =4ab ， 所以1b+4a =4，所以a +b =14(a +b )(1b +4a )=14(5+a b +4b a)，≥14(5+2√ab ⋅4b a )=94，当且仅当{1b +4a =4a b=4b a，即{a =32b =34时，等号成立，故选：C2、若对任意实数x >0,y >0，不等式x +√xy ≤a(x +y)恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．√2−12B ．√2−1C ．√2+1D ．√2+12答案：D分析：分离变量将问题转化为a ≥x+√xy x+y对于任意实数x >0,y >0恒成立，进而求出x+√xy x+y的最大值，设√yx =t(t >0)及1+t =m(m >1)，然后通过基本不等式求得答案.由题意可得，a ≥x+√xy x+y对于任意实数x >0,y >0恒成立，则只需求x+√xy x+y的最大值即可，x+√xy x+y=1+√yx 1+y x，设√yx =t(t >0)，则1+√y x 1+y x=1+t1+t 2，再设1+t =m(m >1)，则1+√y x 1+y x=1+t 1+t 2=m 1+(m−1)2=m m 2−2m+2=1m+2m−2≤2√m⋅m−2=2√2−2=√2+12，当且仅当m =2m ⇒√yx =√2−1时取得“=”.所以a ≥√2+12，即实数a 的最小值为√2+12. 故选：D.3、下列说法正确的为（ ） A ．x +1x ≥2B ．函数y =2√x 2+3的最小值为4C ．若x >0,则x(2−x)最大值为1D ．已知时，a +4a−3≥2√a ⋅4a−3，当且仅当a =4a−3即a =4时，a +4a−3取得最小值8答案：C分析：利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.对于选项A ,只有当x >0时，才满足基本不等式的使用条件，则A 不正确； 对于选项B ,y =2√x 2+3=2√x 2+3=2√x 2+3√x 2+3√x 2+3=t(t ≥√3)，即y =2t +2t (t ≥√3)在[√3,+∞)上单调递增，则最小值为y min =2√3+√3=8√33, 则B 不正确；对于选项C ,x(2−x)=−(x 2−2x +1)+1=−(x −1)2+1≤1，则C 正确；对于选项D ,当时，a +4a−3=a −3+4a−3+3≥2√(a −3)⋅4a−3+3=7，当且仅当 a −3=4a−3时，即a =5，等号成立，则D 不正确.故选：C .4、已知a >b >c >0，则（ ） A ．2a <b +c B ．a (b −c )>b (a −c ) C ．1a−c >1b−c D ．(a −c )3>(b −c )3 答案：D分析：由不等式的性质判断ACD ；取特殊值判断B.解：对于A ，因为a >b >c >0，所以a +a >b +a >b +c ，即2a >b +c ，故错误；3a >3a >对于B，取a=3>b=2>c=1>0，则a(b−c)=3<b(a−c)=4，故错误；对于C，由a>b>c>0，得a−c>b−c>0，所以1a−c <1b−c，故错误；对于D，由a>b>c>0，得a−c>b−c>0，所以(a−c)3>(b−c)3，故正确.故选：D.5、《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的无字证明为（）A．a+b2≥√ab(a>0,b>0)B．a2+b2≥2√ab(a>0,b>0)C．2aba+b ≤√ab(a>0,b>0)D．a+b2≤√a2+b22(a>0,b>0)答案：D分析：根据图形，求出圆的半径以及OC .再利用勾股定理求得FC ,结合直角三角形的直角边长小于斜边长，可得答案.设AC=a,BC=b，可得圆O的半径为r=OF=12AB=a+b2，又由OC=OB−BC=a+b2−b=a−b2，在直角△OCF中，可得FC2=OC2+OF2=(a−b2)2+(a+b2)2=a2+b22，因为FO≤FC，所以a+b2≤√a2+b22，当且仅当a=b时取等号．故选：D.6、前后两个不等式解集相同的有（）①x+52x−1≥0与(2x−1)(x+5)≥0②x+52x−1>0与(2x−1)(x+5)＞0③x2(2x−1)(x+5)≥0与(2x−1)(x+5)≥0④x2(2x−1)(x+5)＞0与(2x−1)(x+5)＞0A．①②B．②④C．①③D．③④答案：B分析：由不含参的一元二次不等式，分式不等式、高次不等式的解法解出各个不等式，对选项一一判断即可得出答案.对于①，由x+52x−1≥0可得{2x−1≠0(x+5)(2x−1)≥0，解得：x>12或x≤−5.(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x≥12或x≤−5}，故①不正确；对于②，由x+52x−1>0可得{2x−1≠0(x+5)(2x−1)>0，解得：x>12或x<−5.(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x>12或x<−5}，故②正确；对于③，x2(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x=0或x≤−5或x≥12}，(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x≥12或x≤−5}，故③不正确；对于④，x2(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x<−5或x>12}，(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x>12或x<−5}，故④正确；故选：B.7、设M I表示函数f(x)=|x2−4x+2|在闭区间I上的最大值．若正实数．．．a满足M[0,a]≥2M[a,2a]，则正实数a 的取值范围是（）A．[2−√3,12]B．[2−√3,1]C．[2,2+√3]D．[2+√3,4]答案：A分析：作图分析函数f(x)的特点，再分类讨论.函数f(x)的图像如下：f (x )的对称轴为x =2，f (2)=2，f (0)=f (4)=2；分类讨论如下：①当a >4时，M [0,a ]=f (a ),M [a,2a ]=f (2a )， 依题意，f (a )≥f (2a )，而函数在x ≥2+√2时是增函数，a <2a ， f (a )<f (2a )，故不可能；②当a ≤4时，M [0,a ]=2，依题意，2≥M [a,2a ]，即M [a,2a ]≤1， 令f (x )=1，解得：x 1=2−√3，x 2=1，x 3=2+√3，x 4=3，如图； 则有：a ≥2−√3并且2a ≤1，解得：2−√3≤a ≤12； 或者a ≥3并且2a ≤2+√3，无解； 故选：A.8、已知x >0，y >0，，则1x+1y的最小值为（ ）A ．3+2√2B ．12C ．8+4√3D ．6 答案：A分析：根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果. 因为x >0，y >0，， 所以(1x +1y )(x +2y )=3+2y x+xy ≥3+2√2，当且仅当2yx =xy ，即x =√2−1,y =2−√22时，等号成立.故选：A. 多选题21x y +=21x y +=9、设a>0,b>0，且2a +3b=1，则下列不等式成立的是（）A．b>3 B．ab≤24C．4a2+9b2≥12D．2a+b≤7+4√3答案：AC分析：对于选项A，利用已知求出a的关系式，然后由a>0即可求出b的范围；对于选项BCD，利用基本不等式以及“1”的代换即可求解，判断是否正确．对于选项A，因为a>0,b>0，且2a +3b=1，则a=21−3b，由a>0，则21−3b >0，即1−3b>0，解得b>3，故A正确，对于选项B，因为a>0,b>0，所以2a +3b=1≥2√2a⋅3b，当且仅当2a=3b=12时取等号，此时√6ab≤12，解得ab≥24，故B错误；对于选项C，a>0,b>0，且2a +3b=1，则4a2+9b2+12ab=1，即4a2+9b2=1−12ab，由选项B可得：4a2+9b2=1−12ab ≥1−1224=1−12=12，当且仅当2a=3b=12时取等号，故C正确；选项D：因为2a+b=(2a+b)(2a +3b)=7+2ba+6ab≥7+2√2ba⋅6ab=7+4√3，当且仅当2ba=6ab时取等号，故D错误.故选：AC．10、已知x>0，y>0，且x+y+xy−3=0，则（）A．xy的取值范围是[1,9]B．x+y的取值范围是[2,3)C．x+4y的最小值是3D．x+2y的最小值是4√2−3答案：BD分析：根据基本不等式可求得0<xy≤1，判断A;将x+y+xy−3=0变形为3−(x+y)=xy≤(x+y2)2结合基本不等式，判断B；由x+y+xy−3=0整理得到x=−1+4y+1结合基本不等式可判断C,D. 对于A，因为x>0，y>0，所以x+y≥2√xy，当且仅当x=y时取等号，即3−xy≥2√xy，解得0<√xy≤1，即0<xy≤1，A错误；对于B, 由x>0，y>0,3−(x+y)=xy≤(x+y2)2，当且仅当x=y时取等号，得(x+y)2+4(x+y)−12≥0，所以x+y≥2, 又3−(x+y)=xy>0，所以x+y<3，B正确；对于C, 由x>0，y>0，x+y+xy−3=0，得x=−y+3y+1=−1+4y+1，则x+4y=−1+4y+1+4y=4y+1+4(y+1)−5≥2√4y+1⋅4(y+1)−5=3，当且仅当4y+1=4(y+1)，即y=0时等号成立,但y>0，所以x+4y>3．（等号取不到）,故C错误；对于D，由C的分析知：x>0，y>0,x=−1+4y+1,x+2y=−1+4y+1+2y=4y+1+2(y+1)−3≥4√2−3，当且仅当4y+1=2(y+1)，即y=√2−1时等号成立，D正确，故选：BD11、已知1a <1b<0，则下列不等关系中正确的是（）A．ab>a−b B．ab<−a−b C．ba +ab>2D．ba>ab答案：CD分析：根据不等式的性质，特值法以及基本不等式即可判断各关系式的真假．对A，由1a <1b<0，得b<a<0，当a=−12，b=−2时，A错误；对B，当a=−2，b=−3时，B错误；对C，由1a <1b<0，得b<a<0，根据基本不等式知，C正确：对D ，由1a <1b <0，得b <a <0，所以b 2>a 2，因为b a −ab =b 2−a 2ab>0，所以D 正确．故选：CD ．12、已知函数f(x)=x 2−2x +2，关于f(x)的最大（小）值有如下结论，其中正确的是（ ） A ．f(x)在区间[−1,0]上的最小值为1B ．f(x)在区间[−1,2]上既有最小值，又有最大值C ．f(x)在区间[2,3]上有最小值2，最大值5D ．当0<a <1时f(x)在区间[0,a ]上的最小值为f(a)；当a >1时f(x)在区间[0,a ]上的最小值为1 答案：BCD分析：根据二次函数的图象和性质判断.函数f(x)=x 2−2x +2=(x −1)2+1的图象开口向上，对称轴为直线x =1.对于A 选项，因为f(x)在区间[−1,0]上单调递减，所以f(x)在区间[−1,0]上的最小值为f(0)=2，所以错误； 对于B 选项，因为f(x)在区间[−1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以f(x)在区间[−1,2]上的最小值为f (1)=1，又因为f(−1)=5,f(2)=2,f(−1)>f(2)，所以f(x)在区间[−1,2]上的最大值为f(−1)=5，所以此选项正确； 对于C 选项，因为f(x)在区间[2,3]上单调递增，所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)=2，最大值为f(3)=5，所以C 正确；对于D 选项，当0<a <1时，f(x)在区间[0,a ]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(a)， 当a >1时，因为f(x)在区间上单调递减，在[1,a ]上单调递增，所以f(x)在区间[0,a ]上的最小值为f(1)=1，所以D 正确. 故选：BCD13、若方程x 2+2x +λ=0在区间(−1,0)上有实数根，则实数λ的取值可以是（ ） A ．−3B ．18C ．14D ．1答案：BC解析：分离参数得λ=−x 2−2x ，求出−x 2−2x 在(−1,0)内的值域即可判断． 由题意λ=−x 2−2x 在(−1,0)上有解．[]0,1∵x ∈(−1,0)，∴λ=−x 2−2x =−(x +1)2+1∈(0,1)， 故选：BC ． 填空题14、已知−1<x +y <4,2<x −y <4，则3x +2y 的取值范围是_____． 答案：(−32,12)解析：利用换元法，结合不等式的性质进行求解即可. 设x +y =m,x −y =n ，因此得：x =m+n 2,y =m−n 2，−1<m <4,2<n <4，3x +2y =3⋅m+n 2+2⋅m−n 2=5m 2+n2，因为−1<m <4,2<n <4，所以−52<5m 2<10,1<n 2<2，因此−32<5m 2+n2<12，所以−32<3x +2y <12. 所以答案是： (−32,12)15、已知∀a ∈[0,2]时，不等式ax 2+(a +1)x +1−32a <0恒成立，则x 的取值范围为__________． 答案：(−2,−1)分析：由题意构造函数关于a 的函数f (a )=(x 2+x −32)a +x +1，则可得{f(0)<0f(2)<0，从而可求出x 的取值范围.由题意，因为当a ∈[0,2]，不等式ax 2+(a +1)x +1−32a <0恒成立，可转化为关于a 的函数f (a )=(x 2+x −32)a +x +1，则f (a )<0对任意a ∈[0,2]恒成立， 则满足{f(0)=x +1<0f(2)=2x 2+2x −3+x +1<0，解得−2<x <−1，即x 的取值范围为(−2,−1)． 所以答案是：(−2,−1)16、用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为______m ． 答案：32##1.5分析：首先设框架的宽为x ，再表示框架的面积，利用基本不等式求最值，即可求框架的宽. 设框架的宽为x ，则其高为6−2x ，要使这个窗户通过的阳光最充足，只要窗户的面积S 最大，S =x (6−2x )=2x (3−x )≤2×[x+(3−x )2]2=92，当且仅当x =3−x ，即x =32时等号成立，故框架的宽为32m ．所以答案是：32解答题17、已知a ＞0，b ＞0，且a +b ＝1． （1）求1a+2b 的最小值；（2）证明：ab+2b a 2+b 2+1＜√52．答案：（1）3+2√2；（2）证明见解析. 分析：（1）利用基本不等式即可求得最小值； （2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证． （1）1a +2b =(a +b)(1a +2b )=3+2a b+b a z3+2√2a b ⋅ba =3+2√2，当且仅当“b =√2a ”时取等号， 故1a+2b 的最小值为3+2√2；（2）证明：ab+2ba 2+b 2+1=ab+2b a 2+b 25+4b 25+1⩽2√a 2⋅25+2√25⋅1=ab+2b2√5(ab+2b )=√52， 当且仅当a =12,b =√52时取等号，此时a +b ≠1．故ab+2ba 2+b 2+1＜√52．小提示：本题主要考查利用基本不等式求和的最小值，以及利用基本不等式证明不等式，属基础题. 18、已知二次函数y =x 2−2tx +t 2−1(t ∈R ).(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式x2−2tx+t2−1≥0；(2)若关于x的方程x2−2tx+t2−1=0的两个实根均大于−2且小于4，求实数t的取值范围．答案：(1){x|x≥1或x≤−1}(2){t|−1<t<3}分析：（1）设二次函数y=x2−2tx+t2−1(t∈R)的两个零点分别为x1，x2，由x1+x2=0求出t，直接解得；（2）由根的分布情况列不等式组，求出实数t的取值范围．（1）设二次函数y=x2−2tx+t2−1(t∈R)的两个零点分别为x1，x2，由已知得x1+x2=0，而x1+x2=2t，所以2t=0，故t=0，不等式x2−2tx+t2−1≥0即x2−1≥0，解得x≥1或x≤−1，故不等式的解集为{x|x≥1或x≤−1}.（2）因为方程x2−2tx+t2−1=0的两个实根均大于−2且小于4，所以{Δ=(−2t)2−4(t2−1)≥0−2<t<4(−2)2−2t×(−2)+t2−1>0 42−2t×4+t2−1>0，即{4≥0−2<t<4 t2+4t+3>0t2−8t+15>0，解得：−1<t<3，即实数t的取值范围为{t|−1<t<3}.。
人教版八年级数学下册 第十九章 19.2.3 一次函数与方程、不等式 第一课时 课件 (共26张PPT)
（1）途中乙发生了什么事，
P
（2）他们是相遇还是追击； 12
（3）他们几时相遇。
10
8
D E
AB
0
0.5
1 1.2
t
1.右图中的两直线l1 、l2 的交点坐标可以看作
y 2x 1
y 4
l1
3
2
l2 1
-1 0 -1
1 2 3 4x
x 2y 2 2.解方程组 2x y 2
问 经过多长时间两人相遇 ?
你明白他的想法吗？
设同时出发后t 时相遇, 则 20 t 30 t 150
用他的方法做一做，看 看和你的结果一致吗？
t=3
求出s与t之间的关系式，联立解方程组
A、B 两地相距150千米，甲、
对于乙，s 是t
乙两人骑自行车分别从A、B 两地相
的一次函数，
向而行。假设他们都保持匀速行驶， 则他们各自到A 地的距离s (千米) 都
120千米,即乙的
B 两地同时相向而行。假设他 小彬 速度是 30千米/时,
们都保持匀速行驶，则他们各
自到A地的距离s(千米)都是骑 车时间t(时)的一次函数.
1 时后乙距A地120千米, 2 时后甲距A地 40千米.
2 时后甲距A 地 40千米, 故甲的速度是 20千米/时,
由此可求出甲、乙两人的 速度, 以及 ……
2
4
6
所以方程
x 2 y 2 2x y 2
-6
的解是 x 2 。
y
2
一、二元一次方程的解与相应的一次函数图象上点 对应。
以方程 x+y=3 的解为坐标的所有点组成的图形
就是 一次函数 y=3－x 的图象.
2021年新教材人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式 教学课件
B
)
3.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(
A.6
B.4 2
C.2 6
D.8
解析 ∵a＋b＝3，
＋
∴2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a b＝2 8＝4 2，
3
当且仅当 a＝b＝2时，“＝”成立.
答案 B
)
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形
的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费
C.a2－b2<0
D.a＋b<0
解析
)
本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，
排除A，B，C，故选D.
答案 D
3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(
A.M＞N
B.M＝N
C.M＜N
D.与x有关
12 3
解析 M－N＝x ＋x＋1＝(x＋ ) ＋ ＞0.
知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建
应用基本不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求
最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的
p
结果往往是错误的，这时通常可以借助函数 y＝x＋x(p>0)的单
调性求得函数的最值.
4.求解应用题的方法与步骤：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质
2.2基本不等式 P24
2.3二次函数与一元二次方程、不等式 P53
学习目标
1.理解不等式的概念.
2.了解不等式（组）的实际背景.
3.掌握不等式的性质.
函数与方程不等式之间的关系函数课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
计算区间[a，b]的中点a＋2 b对应的函数值，若 地理课件：/kejian/dili/
历史课件：/kejian/lish i/
fa＋2 b＝0，
取 x1＝a＋2 b，计算结束；若 fa＋2 b≠0，转到第三步．
第三步
若
f(a)f
a＋b
2
＜
0
，
将
a＋b 2
1.掌握函数零点的存在性定理，并
1
核心素养
会判断函数零点的个数. (重点) 1.通过存在性定理的学习，培养逻
2．了解二分法是求方程近似解的 辑推理的素养．
常用方法，掌握二分法是求函数零 2．通过二分法的学习，提升数据
点近似解的步骤．(难点)
分析，数学建模的学科素养．
3．理解函数与方程之间的联系， 3．理解函数与方程之间的联系，
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的
值
赋
给
b用a＋2 b→b表示，下同，回到第一步；若 fa＋2 bf(b)＜0，将a＋2 b的值
赋给 a，回到第一步．
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利用二次函数图像解一元二次不等式
一元二次不等式及其解法知识点：1、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．同步练习：1、不等式2654x x +<的解集为（ ） A ．41,,32⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．41,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．14,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．14,23⎛⎫- ⎪⎝⎭3、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（ ） A ．RB ．()2,2-C ．()(),22,-∞-+∞D ．[]2,2-4、设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则ab 的值是（ ）A ．6-B ．5-C ．6D ．55、不等式()221200x ax a a --<<的解集是（ ）A ．()3,4a a -B ．()4,3a a -C ．()3,4-D ．()2,6a a 6、不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b -=（ ） A ．14- B ．14 C ．10- D ．107、不等式222693191122x x x x -+++⎛⎫⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集是（ ）A ．[]1,10-B ．()[),110,-∞-+∞C ．RD ．(][),110,-∞-+∞ 8、不等式()()120x x --≥的解集是（ ）A ．{}12x x ≤≤B ．{}12x x x ≥≤或C ．{}12x x <<D ．{}12x x x ><或 9、不等式()20ax bx c a ++<≠的解集为∅，那么（ ）A ．0a <，0∆>B ．0a <，0∆≤C ．0a >，0∆≤D ．0a >，0∆≥11、若01a <<，则不等式()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解是（ ） A ．1a x a<<B ．1x a a<< C ．x a <或1x a>D ．1x a<或x a >12、不等式()130x x ->的解集是（ ） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()1,00,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭13、二次函数()2y ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表：则不等式20ax bx c ++>的解集是____________________________．14、若0a b >>，则()()0a bx ax b --≤的解集是_____________________________．15、不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，则不等式20ax bx c -+>的解集是________________________．16、不等式2230x x -->的解集是___________________________． 17、不等式2560x x -++≥的解集是______________________________． 18、()21680k x x --+<的解集是425x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则k =_________． 19、已知不等式20x px q ++<的解集是{}32x x -<<，则p q +=________． 20、求下列不等式的解集：⑴ ()()410x x +--<； ⑵ 232x x -+>； ⑶ 24410x x -+>．22、已知不等式220ax bx ++>的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 、b 的值．23、已知集合{}290x x A =-≤，{}2430x x x B =-+>，求A B ，A B ．。
不等式与绝对值的图像关系
不等式与绝对值的图像关系在数学中，不等式和绝对值是常见的概念，它们在图像上也有着特殊的关系。
本文将探讨不等式与绝对值的图像关系，并通过具体的例子来说明。
一、不等式的图像关系不等式是数学中常见的表示大小关系的方式。
我们可以通过图像来表示不等式的解集，从而更直观地理解不等式之间的关系。
1. 线性不等式线性不等式是指形如ax + b > 0或ax + b < 0的不等式，其中a和b为实数，x为未知数。
我们可以通过画出方程y = ax + b的图像，并标出y > 0或y < 0的部分，来表示线性不等式的解集。
例如，考虑不等式2x - 3 > 0。
我们可以画出方程y = 2x - 3的图像，并标出y > 0的部分。
这个图像是一条直线，斜率为2，截距为-3。
我们可以看到，不等式2x- 3 > 0的解集是直线上方的部分。
2. 二次不等式二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b 和c为实数，x为未知数。
我们可以通过画出方程y = ax^2 + bx + c的图像，并标出y > 0或y < 0的部分，来表示二次不等式的解集。
例如，考虑不等式x^2 - 4x + 3 < 0。
我们可以画出方程y = x^2 - 4x + 3的图像，并标出y < 0的部分。
这个图像是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为(2, -1)。
我们可以看到，不等式x^2 - 4x + 3 < 0的解集是抛物线下方的部分。
二、绝对值的图像关系绝对值是指一个数的非负值。
我们可以通过画出方程y = |x|的图像，来表示绝对值的图像关系。
1. 一次函数的绝对值对于形如y = |ax + b|的函数，我们可以分两种情况来讨论。
当a > 0时，函数的图像是一条V字形的折线。
折线的斜率为a，截距为b/a。
在x轴左侧的区域内，函数的值为-(ax + b)；在x轴右侧的区域内，函数的值为ax + b。
19.2.3一次函数与方程不等式课件人教版八年级数学下册
解:画函数y=5x-3与y=3x+1 的图象。
从图中看出，当x>2时，
·y y=3x+1
7
直线y=5x-3上的点在直线 y=3x+1上相应点的上方，即 5x-3>3x+1，所以不等式的
y=5x-3
o2
x
解集为x>2。
4、已知直线y=2x+k与直线y=kx-2的交点横坐标
为2，求k的值和交点纵坐标。
K=6
(2,10)
y
5. 已知直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2
3
相交于点P（-2，3）。如图所示，当
y1＞y2时，x的取值范围是 x＜-2
。y1
-2 O
y2
x
数（y=ax +b）值为k 时对应的
自变量的值．
2x
2x +1=0 的解 1
+1=-1-2的解-1
O -1
2x +1=3 的解 1 2 3x
归纳总结
一次函数与一元一次方程的关系
求一元一次方程 kx+b=0的解．
从“函数值”看
一次函数y= kx+b
中y=0时x的值．
求一元一次方程 kx+b=0的解． 从“函数图象”看
的取值范围是（ D）
A．y>0 B．y<0 C．-2<y<0 D．y<-2
3.已知直线 y 2x k与x轴的交点为（-2，0），则关于x的不等式 2x k 0
C 的解集是（ ）
A.x 2
B.x 2
C.x 2
D.x 2
4.对于函数y=-x+4，当x>-2时，y的取值范围是（ D）
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k 2m
k (2m 1) m Z
由①②可知，实数k的取值范围是
{k k m, m Z}
例题5、函数 f ( x ) 在 (1,1) 上有定义，
1 f ( ) 1 且满足 x, y (1,1) 时，有 2 xy f ( x ) f ( y) f 1 xy 。（1）证明：
x轴有两个交点且都在 (c,) 内，
又图像开口向上
解：
y
o
c
x
解：
(c 1) 2 4(c 2 c) 0 1 c c 2 2 f ( c ) 3 c 2 c 0
解：
1 c0 3
4 8 1 1 c , 1 c2 1 3 9 4 8 2 2 a b (1, ) , a b ( ,1) 3 9
x 3 。 例题7、已知函数 f (x) logm x 3 （1）若 f ( x ) 的定义域为 [, ] (0 ) ，
判断 f ( x ) 在定义域上的增减性，并用定 义证明；（2）当 0 m 1 时，使 f ( x )
的值域为 [logm m( 1), logm m( 1)]
解： 又f(x)是R上的偶函数 f ( x ) f (x )
f [2 (x )] f (x ) f (2 x) f (x)
f (2 x ) f ( x )
即f(x)是以2为周期的周期函数
解：（3）
由（2）知2n也是f(x)的周期
1 1 f (2n ) f ( ) 2n 2n 1 1 1 1 2n f (1) f ( ) [f ( )] 2n 2n 2n 2n 1 （把1分为2n个 的和） 2n
的定义区间 [, ] (0 ) 是否存在？ 请说明理由。
解（1）：
x 3 0 x 3 或 x 3 ，又 x 3
f ( x ) 的定义域为 [, ] (0 ) ，
则 3
解（1）：
x 1 x 2
二、典型习题
a b c ， 1 例题1、已知实数 a b c，
2 2 a b a b c 1，求 与a b
2
2
2
的范围。
解：
a b c 1 a b 1 c
a b c 1
2 2 2
(a b) 2ab c 1 0
2 2
(1 c) 2ab c 1 0
2 2
ab c c ，且 a b 1 c
2
解： 即a,b是一元二次方程
x 2 (1 c)x c 2 c 0 的两个不相等
的根，且两根都大于c，令 f (x) x 2 (1 c)x c 2 c，则图像与
f (x n1 ) 2f (x n ) 2 f (x n )
证明（2）：
{f ( x n )} 是以 1 为首项，2为
公比的等比数列
f (x n ) (1) 2
n 1
证明（3）：由（2）
1 1 n 1 1 1 2 (1 2 n 1 ) 1 2 2 2 1 2
f ( x ) 在 (1,1) 上是奇函数；
1 （2）对于数列 {x n } ，若 x 1 ， 2 2x n x n 1 f (x n )； 2 ，试求： 1 x n
（3）求证： 1 1 1 2n 5 f (x 1 ) 。 f (x 2 ) f (x n ) n2
方程思想在解题中的应用主要表现在： 从问题的数量关系入手，运用数学语言将 问题中的条件转化为数学模型（方程、不 等式，或方程与不等式的混合组），然后 通过解方程（组）或不等式（组）来使问 题获解。有时，还实现函数函数与方程的 互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
图像将使上述的思想具体化、形象化。 它从几何的角度描述问题的本质、变化 的规律，使数学问题更具有生命力。
1 解： f ( ) a 2n
1 2n
1 1 1 ln(a n ) ln f (2n ) ln f ( ) ln a 2n 2n 2n 1 lim ln(a n ) lim ln a 0 n n 2n
例题4、已知集合M是满足下列性质的 f ( x )的全体：存在非零常数T，对任意 x R，有 f ( x T) Tf ( x ) 成立。 （1）函数 f (x) x是否属于集合M？说明理由； （2）设函数 f (x) a x (a 0, a 1) 的图像与 y x 的图像有公共点，证明： x f (x) a M ；（3）若函数 f (x ) sin kx M，求实数k的取值范围。
例题2、已知 x xy y 1，求函数
2 2
u x 2 y 2的最大值和最小值。
解： 建立方程组
x xy y 1 2 2 u x y 2 2 (u 1)x uxy (u 1)y 0
2 2
（两式相乘并相减） 由题意x，y不能同时为零，不妨设 y 0
当 k 0 时，已知 f (x) sin kx M
存在非零常数T，对于任意 x R
即 有 f (x T) T f( x) 成立， sin k( x T) sin(kx kT) T sin kx 对于任意 x R 恒成立
解： 由于x的任意性，则只有当 T 1 的时候可能恒成立
也可以看作二元方程 f ( x ) y 0，通过 方程进行研究。
不等式是函数与方程关系的一个更为 广泛的补充。函数y=f(x)图像在x轴上方是 f ( x ) ，在 0 x轴下方则是 f ( x ) 0。不等式 的作用还可以使动态的y=f(x)的图像上、 下、左、右的移动。
函数思想在解题中的应用主要体现在两 个方面：一是借助有关初等函数的性质， 解有关求值、解（证）不等式、解方程以 及讨论参数的取值范围等问题；二是在问 题的研究中，通过建立函数关系式或构造 中间函数，把所研究的问题转化为讨论函 数的有关性质，达到化难为易，化繁为简 的目的。
显然 x 0 不是方程 a x
x
的解，所以存在非零常数T，使得 a T
T
解： 对于 f (x) a ，有
x
f (x T) a
x T
a a T a Tf(x)
T x x x
f (x) a M
解：（3）
f ( x ) 0，显然 f (x) 0 M 当 k 0 时，
证明（1）：令 x y 0
00 f (0) f (0) f f (0) f (0) 0 1 0
令 y x
xx f ( x ) f ( x ) f f (0) 0 1 x x
证明（1）：
函数 y x x 2c 在R上的最小值是2c 1 1 令 2c 1 c ，即Q c 2 2
解：
1 若P正确且Q不正确 P Q {c 0 c } 2
若P不正确且Q正确 P Q {c c 1}
1 c 的取值范围是 (0, 2 ] [1,) 。
1 2 n 1 2 2 2n 5 1 2 2 n2 n2
证明（3）：
1 1 1 2n 5 f (x1 ) f (x 2 ) f (x n ) n2
证毕。
例题6、已知 c 0，设P：函数 y c 在R上
x
单调递减，Q：不等式 x x 2c 1 的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确， 求c的取值范围。
x 2 x y 2 ( u 1)( ) u ( u 1)( ) 0 解： y y x x 即为关于 R 的一元二次方程，有实根 y
u 4(u 1)(u 1) 0 2 u2 3 2 u max 2, u min 3
2
1 其图像关于x=1对称，对任意的 x 1 , x 2 [0, ] 2 都有 f (x 1 x 2 ) f (x 1 ) f (x 2 )，且 f (1) a 0 1 1 （1）求 f ( ) 及 f ( ) ；（2）证明f(x)是 4 2 1 周期函数；（3）已知 a n f (2n ) 2n 求 lim ln(a n )。 n
解： P：函数 y c 在R上单调递减 0 c 1
x
Q：不等式 x x 2c 1 的解集为R
函数 y x x 2c 在R上恒大于1
解：
2x 2c x 2c y x x 2c ， 2c x 2c
又当 x 2c 2x 2c 2c
例题3、设f(x)是定义在R上的偶函数，
解：（1） 1 对任意的 x 1 , x 2 [0, ] ，都有 2 f (x 1 x 2 ) f (x 1 ) f (x 2 )
1 1 1 1 1 f (1) f ( ) f ( ) f ( ) a f ( ) a 2 2 2 2 2
函数、方程、不等式 以及它们的图像
函数是中学数学的一个重要概念。函数 的思想，就是用运动变化的观点，分析和 研究具体问题中的数量关系，建立函数关 系，运用函数的知识，使问题得到解决。ຫໍສະໝຸດ 和函数有必然联系的是方程，方程
f ( x ) 0 的解就是函数 y f ( x ) 的图像 与x轴的交点的横坐标，函数 y f ( x )
f ( x) f (x)
f ( x ) 在 (1,1)
上是奇函数；
1 证明（2）： f (x1 ) f ( ) 1 2 2x n f (x n1 ) f ( ) 2 1 xn xn xn f( ) f (x n ) f (x n ) 1 xn xn