高三数学理科模拟试题及答案

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2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(全解全析)

2024年高考第三次模拟考试数学（理科）·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,6【答案】A【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由260x x -≥，即()60x x -≥，解得6x ≥或0x ≤，所以{}(][)260,06,B x x x ∞∞=-≥=-⋃+，又{}24A x x =-≤≤，所以[]2,0A B ⋂=-.故选：A 2．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】C【分析】运用复数代数运算及两复数相等的性质求解即可.【详解】由题意知，22231(i)i=i2422z a a=+=-+，所以23142a⎧-=⎪⎪=，解得12a=.故选：C.3．如图，已知AM是ABC的边BC上的中线，若AB a=，AC b=，则AM等于（）A．()12a b-B．()12a b--C．()12a b+D．()12a b-+【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】因为AM是ABC的边BC上的中线，所以12CM CB=，所以12AM AC CM AC CB=+=+()()()111222AC A CB A AC aBA b=+-=+=+.故选：C4．已知函数()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x=是()f x图象的一条对称轴，则()f x的单调递减区间为（）A．()π5π2π,2πZ66k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦B．()5π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦C．()4ππ2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦D．()π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦【答案】B【分析】根据()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期确定ω的值，根据函数的对称轴求出ϕ，结合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.【详解】由于()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象是将()tan y x ωϕ=+的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，且()tan y x ωϕ=+π0,02ωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭仅有单调递增区间，故()()tan f x x ωϕ=+和()tan y x ωϕ=+的最小正周期相同，均为2π，则π12π,2ωω=∴=，即()1tan 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则1π1π,Z 232k k ϕ⋅+=∈，即1ππ,Z 26k k ϕ=-∈，结合π02ϕ<<，得π3ϕ=，故()1πtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π1πππ,Z 223k x k k -<+≤∈，则5π2π2π2π,Z 33k x k k -<≤-∈，即()f x 的单调递减区间为()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦，故选：B5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分性、必要性的定义，结合直线的斜率是否存在进行判断即可.【详解】当直线的斜率等于0时，直线的方程为1y =，代入方程224x y +=中，得x =，显然CD =；当直线的不存在斜率时，直线的方程为1x =，代入方程224x y +=中，得y =CD =因此是必要而不充分条件，故选：A6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种【答案】B【分析】根据题意，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，丙丁都没有得到冠军，而丁不是最后一名，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，即丁有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有1863=⨯种名次排列情况；②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，有23A 6=种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有6636⨯=种名次排列情况；则一共有361854+=种不同的名次情况，故选：B ．7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．【答案】C【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，排除BD ，再求出特殊点的函数值，得到答案.【详解】()πln sin ln cos 2x x x x f x x x⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭==定义域为()(),00,∞-+∞U ，且()()()ln cos ln cos x x x x f x f x x x-⋅-⋅-==-=--，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B 、D ．又()ln 2cos 2202f ⋅=<，故A 错误.故选：C ．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A ．3π24R B ．3π24R C ．3π12R D ．3π12R 【答案】C 【分析】分别求得面α截圆锥时所得小圆锥的体积和平面α与圆柱下底面之间的部分的体积，结合祖暅原理可求得结果.【详解】平面α截圆柱所得截面圆半径2r =，∴平面α截圆锥时所得小圆锥的体积2311ππ3212V r R R =⋅=，又平面α与圆柱下底面之间的部分的体积为232πV R R R =根据祖暅原理可知：平面α与半球底面之间的几何体体积33321πππ21212V V V R R R =-=-=.故选：C.9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】B【分析】用定义证明函数()f x 的奇偶性及在()0,1上的单调性，利用函数()f x 的奇偶性及单调性，对数函数ln y x =的性质及对数运算可得结果.【详解】因为函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，又()()ln ln f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，当01x <<时，任取12x x >，()()12121221ln ln ln ln ln ln 0f x f x x x x x x x -=-=-=-<，即()()12f x f x <，所以()f x 在()0,1上为减函数，因为31ln2ln02>>>，所以()()()113ln ln2ln2ln2ln 22a f f f f f c-⎛⎫⎛⎫===-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c <，设3401,1x x <<<，则()4444ln ln ln f x x x x ===，()3333ln ln ln f x x x x ===-，若()()34f x f x =，则34ln ln x x -=，所以341x x =，因为2e ln 2ln212=->，所以22e 11ln e 22ln2ln 2b f f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，又()21ln21ln202ln22ln2--=>--，即11ln202ln2>>>-，所以()1ln22ln2f f ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，即b a <，故选：B.10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a=，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个【答案】B 【分析】由81a=，利用递推关系，分类讨论逆推出1a 的不同取值，进而可得答案.【详解】若81a =，又1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，根据上述运算法进行逆推，可得72a =，64a =，所以58a =或51a =；若58a =，则4316,32a a ==或35a =；当332a =时，2164,128a a ==或121a =；若35a =时，2110,20a a ==或13a =；当51a =，则4322,4,8a a a ===或21a =；当28a =时，116a =；当21a =时，12a =，故81a=时，1a 的所有可能的取值集合{}2,3,16,20,21,128M =即集合M 中含有6个元素．故选：B11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为C 的离心率是（）AB ．32CD ．3【答案】B【分析】根据斜率及双曲线的对称性得12BF F △为等边三角形，再根据同角间关系求解三角函数值，进而用正弦定理求出121410,33AF c AF c ==，由双曲线定义可得423c a =，从而得到离心率.【详解】由题意，直线1BF12π3BF F ∴∠=，又12BF BF =，所以12BF F △为等边三角形，故12122BF BF F F c ===，2112π2π,33BF F F F A ∠=∠=，在12AF F △中，21tan 0F F A ∠>，则21F F A ∠为锐角，则212111sin 14F F A F F A ∠=∠=，212πsin sin 3A F F A ⎛⎫=+∠= ⎪⎝⎭由正弦定理，12121221sin sin sin F F AF AF AF F AF F A==∠∠，=∴121410,33AF c AF c ==,由122AF AF a -=，得423c a =，32c e a ∴==.故答案选：B .12．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断()f x 很可能是周期函数，结合()()()(),f x g y g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令1y =-和1y =时可构建出两个式子，两式相加即可得出()()()11f x f x f x ++-=-，进一步得出()f x 是周期函数，从而可求()20231n f n =∑的值.【详解】解：对于A ，令0x y ==，代入已知等式得()()()()()000000f f g g f =-=，得()00f =，故A错误；对于B ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==，满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-及()()210f f -=≠，因为()3cos 2π10g ==≠，所以()g x 的图象不关于点()3,0对称，所以函数()21g x +的图象不关于点()1,0对称，故B 错误；对于C ，令0y =，1x =，代入已知等式得()()()()()11010f f g g f =-，可得()()()()110100f g g f ⎡⎤-=-=⎣⎦，结合()10f ≠得()100g -=，()01g =，再令0x =，代入已知等式得()()()()()00f y f g y g f y -=-，将()00f =，()01g =代入上式，得()()f y f y -=-，所以函数()f x 为奇函数.令1x =，1y =-，代入已知等式，得()()()()()21111f f g g f =---，因为()()11f f -=-，所以()()()()2111f f g g =-+⎡⎤⎣⎦，又因为()()()221f f f =--=-，所以()()()()1111f f g g -=-+⎡⎤⎣⎦，因为()10f ≠，所以()()111g g +-=-，故C 错误；对于D ，分别令1y =-和1y =，代入已知等式，得以下两个等式：()()()()()111f x f x g g x f +=---，()()()()()111f x f x g g x f -=-，两式相加易得()()()11f x f x f x ++-=-，所以有()()()21f x f x f x ++=-+，即：()()()12f x f x f x =-+-+，有：()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x -+=++--+-+=，即：()()12f x f x -=+，所以()f x 为周期函数，且周期为3，因为()11f =，所以()21f -=，所以()()221f f =--=-，()()300f f ==，所以()()()1230f f f ++=，所以()()()()()()()2023111232023202311n f n f f f f f f ===++++===∑ ，故D 正确.故选：D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.【答案】3【分析】根据n S 求得n a ，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果.【详解】因为2n S n n =+，则当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=，又当1n =时，112a S ==，满足2n a n =，故2n a n =；则9n n S a +29191222n n n n n ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，又9y x x=+在()1,3单调递减，在()3,+∞单调递增；故当3n =时，9n n+取得最小值，也即3n =时，9n n S a +取得最小值.故答案为：3.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.【答案】9542ω≤≤【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数()f x ，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】依题意，函数π()2sin(13f x x ω=+-，由()0f x =，得π1sin()32x ω+=，则ππ2π36x k ω+=+或π5π2π,Z 36x k k ω+=+∈，由[0,2π]x ∈，得πππ[,2π333x ωω+∈+，由()f x 在[0,2π]上恰有5个零点，得29ππ37π2π636ω≤+<，解得935412ω≤<，由3ππ22πx ω+≤-≤，得5ππ66x ωω-≤≤，即函数()f x 在5ππ[,66ωω-上单调递增，因此5ππ[,]ππ[,]41566ωω-⊆-，即45π6πω≤--，且π6π15ω≥，解得502ω<≤，所以正实数ω的取值范围为9542ω≤≤.故答案为：9542ω≤≤15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）【答案】15【分析】根据条件，两边求导得到12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，再取=1x -，即可求出结果.【详解】因为52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，两边求导可得12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，令=1x -，得到23454115(23)2345a a a a a -=-+-+，即12345234515a a a a a -+-+=，故答案为：15.16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数②(0,),()0x f x ∃∈+∞>③41(1)e f >④0x ∀>时，41()e xf x <【答案】②③【分析】根据构造函数的规律由令()()4e xg x f x =，再结合奇函数的性质可得①，求导分析单调性和极值可得②③④.【详解】令()()4e x g x f x =，则()()()()()4444e e e 4x x x g x f x f x f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，取0x =时，即()00f =，但(01f =），故①错误；因为4e 0,(0,)x x >∈+∞恒成立，且()4()0f x f x '+>，所以()0g x '>恒成立，()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以()()()()()44110e 101e g g f f f >⇒>⇒>，故②正确；由②可知，③正确；因为()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以当0x >时有()()()()0,001g x g g f >==，所以()()441e 1e x xf x f x >⇒>，故④错误；故答案为：②③三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC 的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．【答案】(1)35；(2)4.【详解】（1）由()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =-- 垂直，得0m n ⋅=，...............1分即sin (5sin 6sin )(5sin 5sin )(sin sin )0B B C A C C A -++-=，整理得2226sin sin sin sin sin 5B C A B C +-=，...............2分在ABC 中，由正弦定理得22265b c a bc +-=，...............3分由余弦定理得2223cos 25b c a A bc +-==，所以cos A 的大小为35................5分（2）由（1）知，在ABC 中，3cos 5A =，则4sin 5A ==，...............6分由22265b c a bc +-=，得22266482555a b c bc bc bc bc ==+-≥-=，即10bc ≤，...................................................................................................8分当且仅当b c =时取等号，...................................................................................................9分因此ABC 的面积12sin 425ABC S bc A bc ==≤ ，..........................................................11分所以ABC 的面积的最大值是4.....................................................12分18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828【答案】(1)列联表见解析，有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”；(2)35【详解】（1）依题意，关注流行语居民人数为81410638+++=，不关注流行语居民人数为81422+=，...................................................................................................2分所以22⨯列联表如下：男女合计关注流行语30838不关注流行语101222合计4020602K 的观测值2260(3012108)7.03 6.63540203822K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，................................................................4分所以有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”...................5分（2）依题意，男居民选出406660⨯=（人），.......................................6分记为a b c d ,,,，女居民选出2人，记为,E F ，从6人中任选3人的样本空间{,,,,,,,,,,abc abd abE abF acd acE acF adE adF aEF Ω=,,,,,,,,,}bcd bcE bcF bdE bdF bEF cdE cdF cEF dEF ，共20个，.................................9分选出的3人为2男1女的事件{,,,,,,,,,,,}A abE abF acE acF adE adF bcE bcF bdE bdF cdE cdF =，共12个，...........11分所以选出的3人为2男1女的概率123()205P A ==......................................12分19．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；4AP =-【详解】（1）证明：如图，设,M N 分别为,EF AB 边的中点，连接,,MN DM CN ，..1分因为⊥AE 平面,,5,4,3ABC AE CD BF AE CD BF ===∥∥，所以42AE BFMN CD +===，//MN BF ,进而MN CD ∥，即四边形CNMD 为平行四边形，可得MD CN ∥，......................................3分在底面正三角形ABC 中，N 为AB 边的中点，则CN AB ⊥，......................................4分又⊥AE 平面ABC ，且CN ⊂平面ABC ，所以AE CN ⊥．由于⋂=AE AB A ，且AE AB ⊂、平面ABFE ，所以CN ⊥平面ABFE ．.....................5分因为,MD CN CN ⊥∥平面ABFE ，则MD ⊥平面ABFE ，又MD ⊂平面DEF ，则平面DEF ⊥平面AEFB ．......................................6分（2）如图，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()())0,0,5,0,2,4,E D F ．设点()0,0,P t，则)()()1,1,0,2,1,0,2,4DF DE DP t =--=-=--．.................8分设平面PDF 的法向量为()1111,,n x y z = ，平面EDF 的法向量为()2222,,n x y z =．由题意知110,0,n DF n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()111110,240,y z y t z --=-+-=⎪⎩令12z =，则114,y t x =-=14,2n t ⎫=-⎪⎭ ，......................................9分220,0,n DF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222220,20,y z y z --=-+=⎪⎩取22z =，则)22n = ，...............................10分由121212π1cos ,cos 32n n n n n n ⋅===，28290t t +-=，解得：4t =±-，由于点P 为线段AE 上一点，故05t ≤≤，所以4t =-，......................................11分当4t =-时，二面角P DF E --所成角为锐角，即存在点P 满足，此时4AP =．......................................12分20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．【答案】(1)22143x y +=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）4【详解】（1）点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴，则有()1,0F 设椭圆C 的焦距为()20c c >，则1c =，.......................................................................1分点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，有()222219191441a b a a +=+=-，解得2a =，则222413b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=...................................................................................3分（2）（ⅰ）设直线l 的方程为y kx m =+，由22143y y k x x m =+⎧⎪⎨⎪+⎩=，消去y ，整理得()2223484120kxkmx m +++-=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()22Δ48430k m =-+>，设()()1122,,,A x y B x y ，所以21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++， (5)分因为直线AF 和直线BF 关于PF 对称，所以()()()()12121212121212220111111AF BF kx x m k x x my y kx m kx m k k x x x x x x +-+-+++=+=+==------所以()()()21212224128222203434m kmkx x m k x x m k m k m k k --+-+-=⨯+-⨯-=++所以222282488860km k km k m mk m --+--=解得4m k =-................................................................................................................7分所以直线l 的方程为()44y kx k k x =-=-，所以直线l 过定点()4,0................................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.......8分（ⅱ）设直线l 的方程为4x ny =+，由224143x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得()223424360n y ny +++=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()()()222Δ241443414440n n n =-+=->，解得24n >，........................................................................................................9分1212222436,3434n y y y y n n +=-=++，所以12y y -=所以121331822ABFS y y =⨯-=⨯⨯ .............................10分令()24,0n t t -=>则18184ABC S ==≤，当且仅当163t =时取等号，所以ABF △面积的最大值为4......................................................................12分21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；极大值21(1)f e =，极小值(0)0f =；(2)(]0,2e 【详解】（1）当2a =时，()22=exx f x ()()2222222e e 22(1)=e e x x xxx x x x f x ⋅-⋅⋅--'=......................................2分令()=0f x '，解得0x =或1x =，......................................3分所以()()x f x f x '、、的关系如下表：x(,0)-∞0(0,1)1(1,)+∞()f x '-+-()f x 单调递减0单调递增21e 单调递减所以函数()f x 的单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；......................................4分极大值21(1)f e=，极小值(0)0f =；......................................5分（2）[]222()cos ln ()ln 4cos ln 2ln 4e eaa x xx x f x f x a x x a x x ⎛⎫-≥-⇔-≥- ⎪⎝⎭ln 2e 2(ln 2)cos(ln 2)0a x x a x x a x x -⇔----≥......................................6分令()e 2cos t g t t t =--，其中ln 2a x x t -=，设l (2)n a x x F x =-，0a >2()2a a x x xF x --='=令()0F x '>，解得：02ax <<，......................................8分所以函数()F x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，max ()ln 22a a F x F a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，且当0x +→时，()F x →-∞，所以函数()F x 的值域为,ln 2a a a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；......................................9分又()e 2sin t g t t '=-+，设()e 2sin t h t t =-+，,ln 2a t a a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则()e cos t h t t '=+，当0t ≤时，e 1,sin 1t t ≤≤，且等号不同时成立，即()0g t '<恒成立；当0t >时，e 1,cos 1t t >≥-，即()0h t '>恒成立，所以()h t 在(0,)+∞上单调递增，又(0)1g '=-，(1)e 2sin10g '=-+>，所以存在0(0,1)t ∈，使得0()0g t '=，当00t t <<时，()0g t '<，当0t t >时，()0g t '>，所以函数()g t 在0(,)t -∞上单调递减，在0(,)t +∞上单调递增，且(0)0g =......................................11分当ln 02aa a -≤即02e a <≤时，()0g t ≥恒成立，符合题意；当ln02a a a ->即2e a >时，取10min ln ,2a t a a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，必有1()0g t <，不符合题意.综上所述：a 的取值范围为(]0,2e ......................................12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C 与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.【答案】(1)C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=.(2)存在，坐标为33,,4444⎛⎛--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】（1）由题设曲线C 的参数方程，消参得()2214x y -+=，............................2分由cos ,sin x y ρθρθ==，且)πsin sin cos 4ρθρθρθ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭y =30x y -+=，......................................4分∴C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=...............................5分（2）当0y =时，()33,0x A =-⇒-，易知()12cos ,2sin B a a +，设(),M x y ，可得()()3,,2cos 1,2sin AM x y MB a x a y =+=-+-，......................................6分32cos 1cos 1,2sin sin x a x x a AM MB y a y y a +=-+=-⎧⎧=⇒⎨⎨=-=⎩⎩（a 是参数），消参得方程为()2211,x y ++=......................................8分且1,2,1,3E C C E C E r r r r r r ==-=+=，则圆心距离2,d ==得C E C E r r d r r -<<+，则两圆相交，故两圆存在公共点，联立方程组()()22221114x y x y ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，解得34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故坐标为33,,44⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭......................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】(1)113x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或(2)证明见解析【详解】（1）()2122f x x x x =-+-+，当0x <时，532x -+≥，解得0x <，......................................1分当102x ≤<时，332x -+≥，解得103x ≤≤，......................................2分当112x ≤<时，12x +≥，解得x ∈∅，......................................3分当1x ≥时，532x -≥，解得1x ≥，......................................4分综上所述，()2f x ≥的解集为13x x ⎧≤⎨⎩或}1≥x .......................................5分（3）由已知可得()5301330211<12531x x x x f x x x x x -+<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪+≤⎪⎪->⎩，所以当12x =时，()f x 的最小值为32...............................................................................................6分1a b ∴+=，211,24a b a b ab +⎛⎫+=∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==取等,......................................8分令t ab =，则104t <≤，211()212225224a b ab a b ab ab t a b ab ab ab t +-⎛⎫⎛⎫++=++=+-=+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当14t =取等，此时12a b ==.......................................10分。

高三数学模拟试卷10套精编(理科)含答案及解析

5.若定义在上的函数满足：对任意有则下列说法一定正确的是
A. 为奇函数B. 为偶函数C. 为奇函数D. 为偶函数
【答案】C
【解析】
【详解】x1=x2=0，则，，
令x1=x，x2=-x，
则，
所以，
即，为奇函数，故选C.
6.在中，“ ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
【答案】C
【解析】
因为向量，且a∥b,
∴ .
本题选择C选项.
3.已知，且，那么
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用同角三角函数基本关系求出结果．
【详解】因为， >0，故
即，
又，
解得：
故选：B
【点睛】本题考查的知识要点：同角三角函数基本关系,主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
【详解】作函数，，，的大致图象，如图所示，由三个等式可知，三个交点的横坐标从左向右依次为、、，所以．
故选A．
【点睛】本题考查方程根的大小比较，利用数形结合思想转化为函数交点横坐标的大小关系是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
8.设函数 =sin（）( ＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
10.已知函数，若将其图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则的最小值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数的解析式化简为，并求出平移后的函数解析式，利用所得函数图象过原点，求出的表达式，即可得出正数的最小值.
【详解】，
将其图象向右平移个单位长度后所得的图象的函数解析式为，

高三数学理及答案模拟试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 若函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 2 $ 在区间 $[1,2]$ 上存在极值，则$ f'(x) $ 在区间 $[1,2]$ 上的零点个数为：A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个2. 下列函数中，其定义域为实数集 $ \mathbb{R} $ 的是：A. $ y = \sqrt{x^2 - 1} $B. $ y = \frac{1}{x} $C. $ y = \log_2(x-1) $D. $ y = x^2 + 1 $3. 已知 $ \sin A + \sin B = \sin C $，则 $ \triangle ABC $ 为：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 梯形4. 设 $ \alpha $ 是锐角，若 $ \tan \alpha = 2 $，则 $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha $ 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 45. 若 $ \overrightarrow{a} $ 和 $ \overrightarrow{b} $ 是两个非零向量，且 $ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 $，则$ \overrightarrow{a} $ 和 $ \overrightarrow{b} $ 的夹角为：A. 0°B. 90°C. 180°D. 360°6. 已知 $ a > 0 $，函数 $ f(x) = ax^2 + 2x + 1 $ 在 $ x = -1 $ 处取得极小值，则 $ a $ 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 47. 下列不等式中，正确的是：A. $ 2x + 1 > x - 1 $B. $ 2x + 1 < x - 1 $C. $ 2x + 1 = x - 1 $D. $ 2x + 1 \leq x - 1 $8. 已知 $ \log_2 x + \log_4 x = 3 $，则 $ x $ 的值为：A. 2B. 4C. 8D. 169. 若 $ \sin \alpha = \frac{1}{2} $，$ \cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} $，则 $ \sin(\alpha + \beta) $ 的值为：A. $ \frac{1}{2} $B. $ \frac{\sqrt{3}}{2} $C. $ \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} $D. $ \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} $10. 已知 $ \triangle ABC $ 的内角 $ A, B, C $ 满足 $ A + B + C = 180° $，则 $ \sin A + \sin B + \sin C $ 的值为：A. 0B. 1C. $ \sqrt{3} $D. $ 2\sqrt{3} $11. 若 $ \log_3 (2x - 1) = \log_3 (3x + 1) $，则 $ x $ 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 412. 设 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1 $，若 $ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处取得极值，则 $ f'(1) $ 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。

高三数学(理科)模拟试题及答案

高三数学（理科）模拟试题及答案姓名：班级：座位号：分数：一、选择题：（每题分，总计分，把答案填在答题卡上。

）1、 10i2-i =A 、 -2+4iB 、 -2-4iC 、 2+4iD 、 2-4i 答案：解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i==-+、故选A 、2、设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = A 、 ∅ B 、 ()3,4 C 、()2,1- D 、 ()4.+∞ 答案：解：{}{}1|0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -⎧⎫=<=--<=<<⎨⎬-⎩⎭、(3,4)A B ∴=、故选B 、3、已知ABC ∆中，12cot 5A =-，则cos A =A 、 1213B 、513C 、513-D 、 1213-答案：解：已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈、12cos 13A ===-故选D 、4、曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为A 、 20x y --=B 、 20x y +-=C 、450x y +-=D 、 450x y --= 答案：解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---,故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-=故选B 、5、已知正四棱柱1111ABCD A BCD -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为A 、B 、 15C 、D 、 35答案：解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B与BE 所成的角。

在1A BE ∆中由余弦定理易得1cos 10A BE ∠=。

故选C6、已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=，则||b =A 、B 、C 、5D 、 25解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++||5b ∴=。

2023年高中数学理科高考模拟试题4(附答案)

2023年高中数学理科高考模拟试题（附答案）姓名班级学号得分说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分100分。

考试时间90分钟。

２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。

考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）1.如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A、5；B、6；C、7；D、82.已知x，y为正数，且xy＝1，则的最小值为()A．4；B．6；C．2；D．3.已知为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中含项的系数是（）A.48；B.72；C.-120；D.-1924.已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点且线段的中点为，则直线的斜率为（）A．；B．； C.；D．5.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如下图所示，则函数在开区间内有极小值点()A.1个B.0个C.2个D.3个6.三名同学到五个社区参加社会实践活动，要求每个社区有且只有一名同学，每名同学至多去两个社区，则不同的派法共有（）A．90种B．60种C．45种D．30种7.在正三棱柱中，，点E是的中点，点F是上靠近点B的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A．B．C．D．8.已知复数，在复平面内对应点分别为，，则（）A．1B．C．2D．39.已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为（）A.2B．C．D．110.已知为锐角，若，则（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二、填空题（每题5分，共25题）11.已知向量满足，且对于任意x，不等式恒成立，设的夹角为，则___________12.已知圆C1：与C2：，若C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a的值为___________.13.已知函数，其中，若在区间(，)上恰有2个零点，则的取值范围是____________.14.设，使不等式取等号的的取值范围__________.15.在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．评卷人得分三、综合题（每题15分，共75分）16.中内角的对边分别为，向量且（Ⅰ）求锐角的大小，（Ⅱ）如果，求的面积的最大值17.如图，在四棱柱中，底面是正方形，侧棱与底面垂直，点是正方形对角线的交点，，点，分别在和上，且．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）若，求的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角的余弦值．18.已知数列的前项和，是等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）令求数列的前项和.19.已知椭圆的离心率，短轴长为.（1）求椭圆方程；（2）若椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，经过点且斜率k的直线与椭圆交于不同的两点、．是否存在常数，使得向量20.已知函数（1）讨论当a>0时，函数的单调性；（2）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题第1题第2题第3题第4题第5题D A D AA二、填空题第11题：第12题:6，或-6；第13题:或，第14题:第15题:三、解答题第16题:（1）即：第6题第7题第8题第9题第10题ABBCA为锐角（2）代入上式，得到，（当且仅当a=c=2时成立）（当且仅当a=c=2时成立）第17题：（I）证明：取，连结和,因为,EE1‖BC,BC=AD,BC‖AD，所以EE1=AD,EE1‖AD，所以四边形为平行四边形；所以AE1‖DE，在矩形中，A1F=BE1，所以四边形为平行四边形，所以B1F‖AE1，B1F‖DE,因为DE⊂平面BDE，B1F⊄BDE所以B1F‖平面BDE（2)连接，在四棱柱中，平面，因为，，所以平面，所以，已知得，平面，所以，，在△与△中，，，所以△∽△，所以，即。

高考数学(理科)模拟考试卷(附参考答案与解析)

高考数学（理科）模拟考试卷(附参考答案与解析)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若复数z满足iz=4+3i，则复数z在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合A={(x,y)|x2+y2=1}和B={(x,y)|y=x}，则A∩B中元素的个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 03. 已知向量a⃗，b⃗⃗满足|a⃗|=1，|b⃗⃗|=√ 3和|a⃗⃗−2b⃗⃗|=3，则a⃗⃗⋅(a⃗⃗+b⃗⃗)=( )A. −2B. −1C. 1D. 24. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如16=3+13.在不超过16的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是( )A. 15B. 215C. 115D. 255. 的展开式中x3y3的系数为40，则实数a的值为( )A. 4B. 2C. 1D. 126. 设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率为√ 22，P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为2，则a=( )A. 1B. 2C. √ 2D. 47. 在△ABC中cosC=23，AC=4和BC=3则cos A2=( )A. √ 306B. √ 33C. 13D. 568. 如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB//ED和AB=ED=2FB=2，则三棱锥F−ACE 的体积为( )A. 23B. 43C. 2D. √ 39. 在正方体AC1中，点M为平面ABB1A1内的一动点，d1是点M到平面ADD1A1的距离，d2是点M到直线BC的距离，且d1=λd2(λ>0)(λ为常数)，则点M的轨迹不可能是( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线10. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称.若f(1)=3，则f(2)+f(3)+⋯+f(50)=( )A. 3B. 2C. 0D. 5011. 设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，AB=AC=2√ 3和BC=6，则三棱锥D−ABC 体积的最大值为( )A. 3√ 3B. 6√ 3C. 12√ 3D. 18√ 312. 已知a∈R，设函数若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立则a 的取值范围为( )A. [0,e2] B. [0,2] C. [0,1] D. [0,e]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等差数列{a n}前9项的和为27，且a10=8，则a15=______ ．14.15. 在直线l：y=−2上取一点D作抛物线C：x2=4y的切线，切点分别为A，B，直线AB与圆E：x2+ y2−4x−2018=0交于M，N两点，当|MN|最小时，则D的横坐标是______ ．16. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，下述四个结论：①若φ=π5，且f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，则f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②若φ=π4，且f(x)在[0,2π]有且仅有4个零点，则f(x)在[0,2π]有且仅有2个极大值点； ③若φ=π5，且f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，则f(x)在(0,π10)上单调递增； ④若φ=π3，且f(x)在(0,π)有且仅有2个零点和3个极值点，则ω的范围是(136,83)．其中所有正确结论的编号是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。

高三数学(理科)模拟试卷及答案3套

高三数学（理科）模拟试卷及答案3套模拟试卷一一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的第Ⅰ卷（选择题共60分） 1、设集合}03|{2<-=x x x A ，}41|{<<=x x B ，则=B A I .A )4,0( .B ），（41 .C ），（43 .D )3,1( 2、若复数z 满足i iiz 311--+=（其中i 为虚数单位），则=z .A 2 .B 3 .C 10 .D 43、已知n m ,是两条不同的直线，γβα，,是三个不同的平面，则下列命题正确的是 .A 若αα//,//n m ，则n m // .B 若γβγα⊥⊥,，则βα//.C 若αα//,//n m ，且ββ⊂⊂n m ,，则βα// .D 若βα⊥⊥n m ,，且βα⊥，则n m ⊥4、设6.02=a ，6.0log 3.0=b ，6.0log 3=c ，则有.A a b c << .B c b a << .C a c b << .D b a c <<5、已知向量b a ρρ，满足3,2==b a ρρ，且a ρ与b ρ的夹角为3π，则=-+)2)(2(b a b a ρρρρ.A 3- .B 1- .C 1 .D 36、已知双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的左、右焦点分别为21,F F ，B 为虚轴的一个端点，且︒=∠12021BF F ，则双曲线的离心率为.A 2 .B 3 .C23.D 267、执行如右图所示的程序框图，则输出的=n.A 3 .B 4 .C 5 .D 68、从1，2，3，4，5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为 .A 51 .B 52 .C 53 .D 54 9、等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且321,2,4a a a 成等差数列，若11=a ，则=5S .A 15 .B 16 .C 31 .D 32 10、将奇函数)2cos(2sin 3)(ϕϕ+-+=x x x f ）（（πϕ<<0）的图象向右平移ϕ个单位长度后得到函数)(x g y =的图象，则下列关于)(x g 的一个单调递减区间是.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-125,12ππ .B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12,125ππ .C ⎪⎭⎫ ⎝⎛127,12ππ .D ⎪⎭⎫⎝⎛1211,125ππ 11、已知抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点F ，点⎪⎭⎫⎝⎛>2)66,(00p x x M 是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若75sin =∠MFA ，则抛物线C 的方程为 .A x y 42= .B x y 82= .C x y 122= .D x y 162=12、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-=22)(x x x f 0<≥x x ，，，若对任意]32,2[+∈m m x ，都有)(3)(x f m x f ≥+，则实数m 的取值范围是.A ),4[+∞ .B ),32[+∞ .C ),3[+∞ .D ),22[+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13、若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≤--001022y y x y x ，则y x z 23+=的最大值为_______14、已知543cos -=⎪⎭⎫⎝⎛+πα，α为锐角，则=αsin _______ 15、已知数列}{n a 满足：⎩⎨⎧+=+221n n n a a a 11a a a a n n <≥，，（*N n ∈），若33=a ，则=1a ____16.如图，已知在长方体1111D C B A ABCD -中，AB =3,AD =4,AA 1=5，点E 为CC 1上的一个动点，平面BED 1与棱AA 1交于点F ，给出下列命题： ①四棱锥B 1-BED 1F 的体积为20；②存在唯一的点E ，使截面四边形BED 1F 的周长取得最小值742； ③当E 点不与C ，C 1重合时，在棱AD 上均存在点G ，使得CG//平面BED 1 ④存在唯一一点E ，使得B 1D ⊥平面BED 1，且561=CE 其中正确的命题是_____________（填写所有正确的序号）三、解答题：第17~21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过计算步骤17、△ABC 的内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且ba Ab Cc B A ++=+sin 3sin sin sin（Ⅰ）求∠C 的值（Ⅱ）若2=c ，求△ABC 面积的最大值；18、如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD//BC ，∠BAD=90°，AD=2BC ，M 为PD 的中点（Ⅰ）证明：CM//平面PAB（Ⅱ）若△PBD 是等边三角形，求二面角A-PB-M 的余弦值19、“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，下表是2013-2017年全国快递业务量（x 亿件：精确到0.1）及其增长速度（y %）的数据（Ⅰ）试计算2012年的快递业务量；（Ⅱ）分别将2013年，2014年，…，2017年记成年的序号t ：1，2，3，4，5；现已知y 与t 具有线性相关关系，试建立y 关于t 的回归直线方程a x b yˆˆˆ+=；（Ⅲ）根据（Ⅱ）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：∑∑==--=ni ini ii x n xy x n yx b1221ˆ，x b y aˆˆ-=20、已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 过点()22，，左焦点F )0,2(-（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作于x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线4-=x 上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标0x 是否为定值?若是，请求出定值；若不是，请说明理由21、已知函数)(ln 12)(2R a x a xx x f ∈--= （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若方程x x f 2)(=有两个不相等的实数根，求证：2)(2+<eaa f 选考题：共10分，二选一22、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：0422=-+x y x ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos t y t x （t 为参数），其中⎪⎭⎫⎝⎛∈6,0πα，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系。

高三模拟数学试卷理科答案

1. 答案：D解析：根据三角函数的性质，sin(π - α) = sin α，cos(π - α) = -cos α，tan(π - α) = -tan α。

因此，选项D正确。

2. 答案：A解析：函数f(x) = |x - 2|在x = 2处取得最小值0，故A正确。

3. 答案：B解析：根据指数函数的性质，若a > 1，则a^x在x递增；若0 < a < 1，则a^x在x递减。

故B正确。

4. 答案：C解析：根据数列的性质，数列{an}是等差数列，且an > 0。

则an + 1 = an +d > 0，故C正确。

5. 答案：A解析：根据立体几何的性质，若AB垂直于平面PQ，则AB垂直于PQ上的任意一条直线。

故A正确。

二、填空题6. 答案：π/2解析：由题意知，△ABC为直角三角形，∠BAC = π/2，故∠ABC = π/2 -∠ACB = π/2。

7. 答案：-1/2解析：根据等比数列的性质，an = a1 r^(n-1)，则a5 = a1 r^4，a6 = a1 r^5。

由题意知a5/a6 = -1/2，代入an的表达式得r = -1/2。

8. 答案：2解析：由题意知，直线l的方程为2x - 3y + 4 = 0。

设点P的坐标为(x, y)，则P到直线l的距离d = |2x - 3y + 4| / √(2^2 + 3^2) = |2x - 3y + 4| / 5。

由题意知d = 2，代入得|2x - 3y + 4| = 10。

解得x = 3，y = 2。

9. 答案：（1）f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2（2）f'(x) = 6x^2 - 6x（3）当x = 0时，f(x)取得极小值f(0) = 2；当x = 1时，f(x)取得极大值f(1) = 1。

10. 答案：（1）设圆心为O，则圆O的方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。

高三数学(理科)模拟试卷及答案3套

高三数学（理科）模拟试卷及答案3套模拟试卷一一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|2,}xA y y x ==∈R ，{|lg(2)}B x y x ==-，则A B =I （） A ．(0,2)B ．(,2]-∞C ．(,2)-∞D ．(0,2]2．若复数z 满足(i 1)2i z -=（i 为虚数单位），则z 为（） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3．AQI 即空气质量指数，AQI 越小，表明空气质量越好，当AQI 不大于100时称空气质量为“优良”，如图是某市3月1日到12日AQI 的统计数据，则下列叙述正确的是（）A ．这12天的AQI 的中位数是90B ．12天中超过7天空气质量为“优良”C ．从3月4日到9日，空气质量越来越好D ．这12天的AQI 的平均值为1004．已知平面向量(2,3)=a ，(,4)x =b ，若()⊥-a a b ，则x =（） A ．1B ．12C ．2D ．35．某围棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加围棋比赛，则选出的2人中有女队员的概率为（） A ．103 B ．35C ．45D ．7106．已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（） A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若m α⊥，n α⊥，则m n ∥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m α∥，m n ⊥，则n α⊥7．函数π()3sin(2)(||)2f x x ϕϕ=+<的图象向左平移π6个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则ϕ等于（） A ．π6B ．π6-C ．π3D ．π3-8．下图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的表面积为（）A ．662π+B ．664π+C ．662π-D ．664π-9．函数2()ln(1)f x x x =+-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 折叠，使点B 与点C 3，则四面体ABCD 外接球的表面积为（） A ．6πB ．7πC ．8πD ．9π11．有如下命题：①函数sin y x =与y x =的图象恰有三个交点；②函数sin y x =与y x =一个交点；③函数sin y x =与2y x =的图象恰有两个交点；④函数sin y x =与3y x =的图象恰有三个交点，其中真命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．412．若函数2(1)()f x x x ax b =-++（）的图象关于点(2,0)-对称，1x ，2x 分别是()f x 的极大值点与极小值点，则21x x -=（） A ．3- B ．23C ．23-D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在ABC △中，若13AB =，3BC =，120C ∠=︒，则AC =_____．14．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ⋅=u u u r u u u r_____．15．在4(1)x x ++的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）． 16．定义在正实数上的函数(){{}}f x x x =⋅，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{0.2}1=，{1.6}2=，当(0,]x n ∈，n ∈*N 时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则n a =________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）如图，在平面四边形ABCD 中，23AB =，2AC =，90ADC CAB ∠=∠=︒，设DAC θ∠=．（1）若60θ=︒，求BD 的长度；（2）若30ADB ∠=︒，求tan θ．18．（12分）为了解全市统考情况，从所有参加考试的考生中抽取4000名考生的成绩，频率分布直方图如下图所示．（1）求这4000名考生的平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点值作代表）；（2）由直方图可认为考生考试成绩z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么抽取的4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况，现从全市考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤．（精确到0.001）附：①2204.75s =，204.7514.31≈；②2~(,)z N μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501≈．19．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，111160B A A C A A ∠=∠=︒，14AA AC ==，2AB =，P ，Q 分别为棱1AA ，AC 的中点．（1）在BC 上确定点M ，使AM ∥平面1PQB ，并说明理由；（2）若侧面11ACC A ⊥侧面11ABB A ，求直线11C A 与平面1PQB 所成角的正弦值．20．（12分）已知两直线方程1:l y x =与2:2l y x =-，点A 在1l 上运动，点B 在2l 上运动，且线段AB 的长为定值．（1）求线段AB 的中点C 的轨迹方程；（2）设直线:l y kx m =+与点C 的轨迹相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若54OM ON k k ⋅=，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．21．（12分）已知函数2(1)211()()22x f x e x e f x -'=-+⋅．（1）求()f x 的单调区间；（2）若存在1x ，212()x x x <，使得12()()1f x f x +=，求证：122x x +<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），直线2C 的方程为y x =，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若直线2C 与曲线1C 交于P ，Q 两点，求||||OP OQ ⋅的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()|||22|(0)f x x m x m m =--+>．（1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）若x ∀∈R ，t ∃∈R ，使得()|1||1|f x t t +-<+，求实数m 的取值范围．答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】B9．【答案】B10．【答案】B11．【答案】C12．【答案】C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】114．【答案】215．【答案】1916．【答案】(1)2n n+三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）19；（2）233．【解析】（1）由题意可知，1AD=，在ABD△中，150DAB∠=︒，23AB=，1AD=，由余弦定理可知，2223(23)12231()19BD=+-⨯⨯⨯-=，19BD=．（2）由题意可知，2cosADθ=，60ABDθ∠=︒-，在ABD△中，由正弦定理可知，sin sinAD ABABD ADB=∠∠，∴2cos43sin(60)θθ=-，∴2tan33θ=．18．【答案】（1）70.5x=分；（2）约635人；（3）0.499．【解析】（1）由题意知：∴450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∴4000名考生的竞赛平均成绩x为70.5分．（2）依题意z服从正态分布2(,)Nμσ，其中70.5xμ==，2204.75Dσξ==，14.31σ≈，∴z服从正态分布22(,)(70.5,14.31)N Nμσ=，而()(56.1984.81)0.6826P z P zμσμσ-<<+=<<=，∴10.6826(84.81)0.15872P z -≥==． ∴竞赛成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计为0.158********.8⨯=人635≈人．（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=．而(4,0.8413)B ξ~，∴444(3)1(4)1C 0.841310.5010.499P P ξξ≤=-==-⋅≈-=．19．【答案】（1）详见解析；（2．【解析】（1）取1BB 中点E ，连结AE ，BQ ，在1BB Q △中，取H 为BQ 中点，连接,EH AH ，则1EH B Q ∥，延长AH 与BC 交于点M ，则M 即为所求点，11ABB A 为平行四边形，点E ，P 为中点，则1AE PB ∥，由线面平行的判定定理可得AE ∥平面1PQB ，同理可得，EH ∥平面1PQB ，又AE EH E =I ，111B P B Q B =I ，据此可得平面AME ∥平面1PQB ，故AM ∥平面1PQB ．（2）作QO ⊥平面11ABB A ，与1A A 延长线交于O ，则1AO =，QO =1OB ==1QB =，∵12B P =，PQ =1cos QPB ∠==，∴1sin QPB ∠=，∴112242PQB S ⨯==⨯△．作11PN C A ∥，则直线11AC 与平面1PQB 所成角即直线PN 与平面1PQB 所成角，∵142PQN S =⨯=△1123B PQN V -=⨯=．设N 到平面1PQB 的距离为h ，则1232h ⨯=，∴h =，∴直线11A C 与平面1PQB 所成角的正弦值为39413h =．20．【答案】（1）2214x y +=；（2）214[0,7．【解析】（1）∵点A 在12:2l y x =上运动，点B 在22:2l y x =-上运动， ∴设112()A x x ，222(,)B x x ，线段AB 的中点(,)C x y ，则有122x x x +=，1222222x x y =，∴122x x x +=，1222x x -=， ∵线段AB 的长为定值2222121222()()822x x x x -++=，即22(22)2)8x +=，化简得2214x y +=， ∴线段AB 的中点C 的轨迹方程为2214x y +=．（2）设33(,)M x y ，44(,)N x y ，联立2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(41)8440k x kmx m +++-=，222(8)4(41)(44)0Δkm k m =-+->，化简得2241m k <+①，则342841kmx x k +=-+，23424441m x x k -=+， 2234343434()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，若54OM ON k k ⋅=，则343454y y x x =，即343445y y x x =，所以2234343444()45k x x km x x m x x +++=，即22222448(45)4()404141m km k km m k k --+-+=++，化简得2254m k +=②，由①②得2605m ≤<，215204k <≤，因为O 到直线l的距离d =，所以2222225941114(1)km d k k k -===-++++，又因为215204k <≤，所以2807d ≤<，所以O 到直线l的距离的取值范围是[0,7． 21．【答案】（1）函数()f x 在R 上单调递增；（2）证明见解析．【解析】（1）2(1)1()2()2x f x e x e f -''=-+⋅，令12x =，则111()1()22f e f e ''=-+⋅，解得11()2f e'=，∴2(1)()21x f x ex -'=-+，令2(1)()21x h x ex -=-+，2(1)11()222(1)(1)x x x h x e e e ---'=-=+-，∴1x =时，函数()f x '取得极小值即最小值，∴()(1)0f x f ''≥=， ∴函数()f x 在R 上单调递增．（2）由（1）可得：函数2(1)21()2x f x e x x -=-+在R 上单调递增．要证明：12121222()(2)x x x x f x f x +<⇔<-⇔<-，又12()()1f x f x +=，因此1222()(2)1()(2)f x f x f x f x <-⇔-<-，即22()(2)10f x f x +-->，11(1)1122f =-+=，则121x x <<，令2(1)22(1)211()(2)()1(2)2122x x g x f x f x e x x e x x --=-+-=--+-+-+-2(1)2(1)21124322x x e e x x --=+-+-， 1x >，(1)0g =，2(1)2(1)()44x x g x e e x --'=-+-+，令2(1)2(1)()44x x x ee x ϕ--'=-+-+，2(1)2(1)()2240x x x e e ϕ--'=+-≥，∴()g x '在(1,)+∞上单调递增．∴()(1)0g x g ''>=，∴函数()g x 在(1,)+∞上单调递增． ∴()(1)0g x g >=，因此结论122x x +<成立．22．【答案】（1）2cos 4sin 30ρθρθ--+=；（2）3．【解析】（1）曲线1C的普通方程为22((2)4x y +-=，则1C的极坐标方程为2cos 4sin 30ρθρθ--+=．（2）设1(,)P ρθ，2(,)Q ρθ，将π6θ=代入2cos 4sin 30ρθρθ--+=，得2530ρρ-+=，所以123ρρ=，所以||||3OP OQ ⋅=． 23．【答案】（1）2[2,]3--；（2）01m <<．【解析】（1）当1m =时，1|1||22|131x x x x ≤-⎧--+≥⇔⎨+≥⎩或11311x x -<<⎧⎨--≥⎩或131x x ≥⎧⎨--≥⎩，解得223x -≤≤-，所以原不等式的解集为2[2,]3--．（2）()|1||1|()|1||1|f x t t f x t t +-<+⇔<+--对任意x ∈R 恒成立，对实数t 有解．∵3,()3,3,x m x m f x x m m x m x m x m +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩，根据分段函数的单调性可知：x m =-时，()f x 取得最大值()2f m m -=， ∵||1||1|||(1)(1)|2t t t t +--≤+--=，∴2|1||1|2t t -≤+--≤，即|1||1|t t +--的最大值为2，所以问题转化为22m <，解得01m <<．模拟试卷二考试时量：120分钟试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合{}{}22|log (2),|320A x y x B x x x ==-=-+<，则A C B =A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞2. 设i 为虚数单位，若()2a iz a R i-=∈+是纯虚数，则a = A ．12 B ． 12- C ．1 D ．1- 3. 已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是A ．该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高B ．该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2019年1~6月份的总收益低于2019年7~12月份的总收益D ．该超市2019年7~12月份的总收益比2019年1~6月份的总收益增长了90万元 4．已知3sin()32πα-=2020cos()3πα+= A 23．23．12D ．12-5. 已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln x e x -=，则A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<6. 函数2()1sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是A B C D7.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米，……所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为A ．410190-米B ．5101900-米C ．510990-米D ．4109900-米8.已知函数()2sin()(0,0),()2,()082f x x f f ππωϕωϕπ=+><<==，且()f x 在(0,)π上单调.则下列说法正确的是 A ．12ω=B ．62()82f π-= C ．函数()f x 在[,]2ππ--上单调递增 D ．函数()f x 的图象关于点3(,0)4π对称 9.在AOB ∆中，OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，，满足||2a b a b ⋅=-=r r r r，则AOB ∆的面积的最大值为3 B. 2C. 232210．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，12,F F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点，若点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则C 的离心率是 A 2 B 3．2 D ．311. 在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为1AD ，1B C 上的动点，且满足1AP B Q =，则下列4个命题中： ①存在P ，Q某一位置，使AB PQ ∥； ②BPQ V 的面积为定值；③当0PA >时，直线1PB 与直线AQ 一定异面；④无论P ，Q 运动到何位置，均有BC PQ ⊥. 其中所有正确命题的序号是A. ①②④B. ①③④C. ①③D. ②④12．若函数12()2log (0)x x f x ex a a -=+->在区间(0,2)内有两个不同的零点，则实数a的取值范围是A. 22)e B. (0,2]C. 222)e + D. 3424(2,2)e +二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上） 13．若25(ax 的展开式中5x 的系数为80-，则实数a =__ __． 14．在菱形ABCD 中，060DAB ∠=，将这个菱形沿对角线BD 折起，使得平面DAB ⊥平面BDC ，若此时三棱锥A BCD -的外接球的表面积为5π，则AB 的长为． 15.已知数列{}n a 满足11a =，135n n a a n ++=+，*n N ∈，则(1)21n a -= ， (2)2111(1)i i ni i a a +=+-=∑ .16．如图，衡阳市有相交于点O 的一条东西走向的公路l 与一条南北走向的公路m ，有一商城A 的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位:千米). 根据市民建议，欲新建一条公路PQ ，点,P Q 分别在公路,l m 上，且要求PQ 与椭圆形商城A 相切，当公路PQ 长最短时，OQ 的长为________千米.Q三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题：60分．17．(本小题满分12分) 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan(sin 2cos )cos 2222A C A C a b a+=．（1）求角B 的值；（2）若△ABC 的面积为D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．18．(本小题满分12分) 已知正方形ABCD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，使△ACD 为等边三角形，如图所示，记二面角A-DE-C 的大小为(0)θθπ<<.（1）证明：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上；（2）求角θ的正弦值.EE19．(本小题满分12分) 如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴12A A 长为4，过椭圆的右焦点为F 作斜率为(0)k k ¹的直线交椭圆于B ，C 两点，直线12,BA BA 的斜率之积为34-.1）求椭圆C 的方程；2）已知直线:4l x =，直线11,A B A C 分别与l 相交于,N 两点，设E 为线段MN 的中点，求证：BC EF ^20．(本小题满分12分)已知函数()e sin )(2()2xf x x a R ax π=--∈+．（1）当1a =时，求函数()f x 在区间[,]ππ-上的值域；（2）对于任意120x x π<<<，都有2121()()22x x f x f x a e e π->---，求实数a 的取值范围.21. (本小题满分12分) 随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x =1”表示2015年，“x =2”表示2016年，依次类推；y 表示人数)：(1)300万人； (2)该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。

高三理科数学模拟试卷答案

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 若函数f(x) = 2x - 3在区间[1, 4]上单调递增，则f(x)的值域为（）A. [-1, 5]B. [2, 7]C. [5, 9]D. [1, 7]答案：D解析：由于f(x) = 2x - 3是一次函数，其斜率为正，因此在整个定义域上单调递增。

在区间[1, 4]上，f(1) = -1，f(4) = 5，所以值域为[1, 5]。

2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，公差d = 2，则S10为（）A. 110B. 120C. 130D. 140答案：B解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 (2a1 + (n - 1)d)。

代入a1 = 3，d = 2，n = 10，得S10 = 10/2 (23 + (10 - 1)2) = 120。

3. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的轨迹是（）A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 双曲线的一支答案：A解析：|z - 1| = |z + 1|表示复数z到点(1, 0)和点(-1, 0)的距离相等，因此z在复平面上位于这两点连线的垂直平分线上，即直线x = 0。

4. 若函数f(x) = x^3 - 3x在区间[0, 2]上单调递减，则f(x)的极值点为（）A. x = 0B. x = 1C. x = 2D. 无极值点答案：B解析：f'(x) = 3x^2 - 3。

令f'(x) = 0，得x = 1。

由于f''(x) = 6x，f''(1) = 6 > 0，所以x = 1是f(x)的极小值点。

5. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, 6)，则向量a与向量b的夹角余弦值为（）A. 1/2B. 1/4C. 1/3D. 3/4答案：A解析：向量a与向量b的夹角余弦值为cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)。

高三模考理科数学试卷答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. $\sqrt{4}$B. $\sqrt{3}$C. $\pi$D. $\frac{1}{2}$答案：B2. 函数$f(x)=2x+1$的图像与直线$y=3$的交点坐标是（）A. $(1,3)$B. $(2,3)$C. $(1,2)$D. $(2,2)$答案：B3. 已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$a_5=13$，则公差$d$为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A4. 若$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^{-1}$为（）A. $\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$B. $\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$C. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$D. $\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$答案：A5. 在平面直角坐标系中，点$P(2,3)$关于直线$y=x$的对称点坐标是（）A. $(2,3)$B. $(3,2)$C. $(3,-2)$D. $(-2,3)$答案：B6. 若$|a|=3$，$|b|=5$，则$|a+b|$的最大值为（）A. 8B. 10C. 12D. 15答案：B7. 函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在$x=1$处的导数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C8. 已知$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$|A|$的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：D9. 在$\triangle ABC$中，若$A=60^\circ$，$a=8$，$b=10$，则$c$的值为（）A. $6\sqrt{3}$B. $4\sqrt{3}$C. $3\sqrt{3}$D. $2\sqrt{3}$答案：A10. 若$y=2^x$，则$\frac{dy}{dx}$为（）A. $2^x\ln 2$B. $2^x$C. $2^x\ln 10$D. $2^x\ln e$答案：A二、填空题（每题5分，共50分）11. 若$f(x)=ax^2+bx+c$，且$f(1)=2$，$f(-1)=0$，$f(2)=6$，则$a+b+c=$______。

高三数学(理工类)模拟检测试题(附答案)

高三数学（理工类）模拟检测试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式[])sin()sin(21cos sin β-α+β+α=β⋅α [])cos()cos(21cos cos β-α+β+α=β⋅α [])sin()sin(21sin cos β-α-β+α=β⋅α [])cos()cos(21sin sin β-α-β+α-=β⋅α 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。

1．已知集合}6 4 3{P ，，⊂，P 中至多有一个偶数，则这样的集合P 共有 A ．2个 B ．4个 C ．5个 D ．6个2．用α表示一个平面，m 表示一条直线，则α内至少有一条直线与mA ．平行B ．相交C ．垂直D ．异面3．直线2y 3x =-被圆⎪⎩⎪⎨⎧θ+-=θ+=sin 23y cos 21x （θ∈R ）所截的弦长为 A ．32 B ．2 C ．3 D ．14．与正弦曲线y=sinx 关于直线43x π=对称的曲线是 A ．y=sinx B ．y=cosx C ．y=-sinx D ．y=-cosx5．如图，在正三棱台111C B A ABC -中，AC 21CC C A 111==，D 在边BC 上，且11AC //D B 平面，则异面直线A A D B 11与所成角的余弦值为A ．23B ．21C ．41D ．436．在1，2，3，4，5，6这六个数的排列中，1，3，5从左到右是递增的，并且2，4，6从左到右是递减的排列有A ．360种B ．120种C ．40种D ．20种7．在等差数列}a {n 中，n S 是数列}a {n 的前n 项和，已知n m S S =（m ≠n ），则=+n m SA ．0B ．n m S S +C ．)S S (21n m + D ．-m-n 8．在△ABC 中，AB=3，内切动圆切AB 于D ，且AD=2DB ，则顶点C 的轨迹是A ．双曲线B ．双曲线的一部分C ．抛物线D ．抛物线的一部分9．某工厂产值第二年增长率为p ，第三年增长率为q ，第四年增长率为r ，设这三年平均增长率为x ，则A ．3r q p x ++=B ．3r q p x ++< C ．3r q p x ++≥ D ．3r q p x ++≤ 10．圆锥的轴截面顶角为32π，过顶点的截面面积最大值为4，则其侧面积是 A ．24π B ．8π C ．π32 D ．π3411．下列命题①若z ∈C ，则R z z |z |22∈⇔=。

高三数学理科模拟试题及答案

一、选择题：10i 1.2-iA. -2+4iB.-2-4iC.2+4iD.2-4i10i(2+i) 2 4i.应选 A.解：原式(2-i)(2+i)2. 设会合Ax | x3 , Bx 1 B =x |，则AIx4A.B.3,4C.2,1D.4.解：Bx 1 x | ( x 1)( x 4) 0x |1 x 4.A IB (3,4) x |x 43. 已知ABC中，cot A12，则 cosA5A.1255 12 13B.C.D.131313ABC中，cot A12 ( , ) .解：已知， A52.应选 B.1112 cos A131 tan2 A1 5 ) 2(12应选 D.x在点 1,1 处的切线方程为4. 曲线 y1 2xA. x y 20 B. x y 2 0 C. x 4 y 5 0 D. x 4 y 5 02x 1 2x[12 ]| x 11, 解：y |x 12 |x 1(2 x 1)(2 x 1)故切线方程为 y 1 ( x 1), 即 x y2 0应选 B.5. 已知正四棱柱 ABCD A 1 B 1C 1D 1 中， AA 1 2 AB ，E 为 AA 1 中点，则异面直线 BE 与 CD 1 所成的角的余弦值为A.10 B.1 C.310 D.3105105解：令AB 1则AA 12 ,连 A 1BQ C 1D ∥ A 1B 异面直线 BE 与 CD 1 所成的角即 A 1B与 BE 所成的角。

在A 1BE 中由余弦定理易得 cos A 1BE3 1010 。

应选 C6. 已知向量 a2,1 ,a b10,| a b | 5 2 ，则 |b |A.5B.10C. 5D. 25r r rr r rr r 解：Q 50 | a b |2 | a |22agb | b |2 5 20 | b |2 | b | 5 。

应选 C7. 设alog 3 , b log 2 3, c log 3 2 ，则A. a b cB. a c bC. b a cD. b c a解：Q log 32 log 2 2 log 23 b clog 2 3 log 2 2 log 3 3 log 3 a b a bc . 应选 A.8. 若将函数ytanx的图像向右平移个单位长度后，与函数46y tan x6 的图像重合，则的最小值为A ．1B.1 C.1D.16432向右平移个单位解： ytanx6ytan[ ( x)] tanx464646k6 6k1( k Z) ， 2又Q1min.应选 D29. 已知直线 y k x2 k 0 与抛物线 C : y 28x 相交于A 、B 两点， F 为C 的焦点，若 | FA | 2 | FB |，则 kA.1 B.2 C.2 D.2 23333解：设抛物线C : y 28x的准线为 l : x 2 直线y k x 2 k 0 恒过定点 P 2,0 . 如图过 A 、B 分别作 AM l 于 M , 于 N ,由|FA| 2|FB|,则|AM | 2|BN|,点 B 为 AP 的中点. 连接OB ,则|OB| 1|AF|,2|OB| |BF|B1B(1,2 2)2 2 02 2 , 应选 D点的横坐标为故点的坐标为 k,1 ( 2)310. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。

理科数学-2024届新高三开学摸底考试卷(全国通用)(解析版)

2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）理科数学本试卷共22题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目1．已知全集{}{}1,2,3,4,5,6,1,4,5,6U A ==,{}1,2,3,5B =,则5∉（）A ．()U AB ðB ．()U B AðC ．A BD ．A B【答案】A【解析】由题设{4,6}U B =ð,故(){4,6}U B A =I ð,(){1,4,5,6}U B A =U ð,{1,2,3,4,5,6}A B = ,{1,5}A B = ,所以5∉()U A B ð,故选A.2．复数2i1ia z -+=+在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】B 【解析】()()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 22a a a a z -+--+-+===+++-,因为复数z 对应点在虚轴上,所以202a -=,解得2a =.故选B.3．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元,为本季度农村居民人均可支配收入的76%,本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的是（）A ．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%B ．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%C ．经营净收入比转移净收入大约多659元D ．财产净收入约为173元【答案】D【解析】由题知,农村居民人均可支配收入为43910.765778÷≈,工资性收入占农村居民人均可支配收入的2543577844%÷≈,财产净收入占农村居民人均可支配收入的百分比为10.440.320.213%---≈,故A 错、B 错；经营净收入与转移净收入差为()57780.320.21636⨯-≈元,故C 错误；财产净收入为57780.03173⨯≈元,故D 正确.故选D.4．已知a b ，是平面内两个非零向量,那么“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若a b ∥,则存在唯一的实数0μ≠,使得a b μ= ,故a b b b b λμλμλ+ =+=+,而()||||||||a b b b b λμλλμ++ ==+,存在λ使得λμλμ+=+成立,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的充分条件,若0λ≠且||||||a b a b λλ+=+ ,则a 与b λ 方向相同,故此时a b ∥,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的必要条件,故“a b ∥”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+”的充要条件,故选C.5．已知3sin 375︒≈,）A ．34B ．43C．4D．3【答案】B【解析】因为3sin 375︒≈,所以4cos375︒=≈,sin 82︒︒+=()()sin 53sin cos 53cos 53sin sin 4545454535︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-cos 45cos sin 53cos 5345︒︒︒︒=()()4sin 9037cos37453cos 9037sin 3735-==︒︒︒-︒≈=︒︒.故选B.6．某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（）A ．21cos 41x xy x =+B ．22sin 1x y x =+C ．22(e e )1x x y x -+=+D ．32sin 1x xy x -+=+【答案】B【解析】4个选项中的函数定义域均为R,设该函数为()f x ,对于A,()()()()2211cos cos 44,,11x x x xf x f x f x f x x x -=-==--++,故21cos 41x x y x =+为奇函数,且()40f >,对于B,()()()222sin 2sin ,,11x x f x f x f x x x -=-==-++故()f x 为奇函数,()2sin 44017f =<,对于C,()()()()222(e e )2(e e ),,11x x x x f x f x f x f x x x --++=-==-++,故()f x 为偶函数,对于D,()()()3322sin sin ,11x x x x f x f x f x x x -+-=-==-++，故()f x 为奇函数,()64sin44117f -+=<-,由图知函数为奇函数,故排除C ；由()40f <,排除A,由()41f >-,排除D,故选B ．7．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45︒之后,表面积增加了（）A ．54B．54-C．108-D．81-【答案】C【解析】如图,转动了45︒后,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角三角形,设直角边x ,,则有23x =,得到32x =-,由几何关系得：阴影部分的面积为21127(324S ==所以增加的面积为1271616(1084S S ===-故选C.8．设M 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点,P 是C 上的一个动点．当P 运动到下顶点时,||PM 取得最大值,则C 的离心率的取值范围是（）A．2⎫⎪⎪⎣⎭B．0,2⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎝⎦【答案】B【解析】设()00,P x y ,()0,M b ,因为2200221x y a b+=,222a b c =+,所以()()2223422222220000022221y c b b PMx y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0b y b -≤≤,由题意知当0y b=-时,2PM 取得最大值,所以32b b c -≤-,可得222a c ≥,即212e <,则0e <≤．故选B ．9．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ,4AB AC ==,点(1,3)B -,点(4,2)C -,且其“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切.则圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6【答案】A【解析】点D 为BC 中点,在ABC 中,4AB AC ==,所以BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一,则ABC 的“欧拉线”为AD ,因为点()1,3B -,点()4,2C -,所以31,22D ⎛⎫⎪⎝⎭,因为直线BC 的斜率为32114+=---,所以AD 斜率为1,方程为1322y x -=-,即10x y --=,因为“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切所以圆心(,3)a a -到“欧拉线”,r r ==圆心(,3)a a -到直线30x y -+=的距离为=所以圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为=故选A.10.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为正方形,12,1AA AB ==,P 为1CC 的中点,过,,A B P 三点作平面α,则该四棱柱的外接球被平面α截得的截面圆的周长为（）A B C ．2πD ．2【答案】D【解析】由题意知直四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的半径122R ==如图,取1DD 的中点E ,连接,,AE PE BP ,易知四边形ABPE 为矩形,且平面α即为平面ABPE ,分别取11,AA BB 的中点,M N ,连接,,MN NP ME ,则易得四边形MNPE 为正方形,由四棱柱的对称性可知,其外接球的球心O 即为正方形MNPE 的中心,取ME 的中点1O ,连接1O O ,则11//,O O EP O O ⊄平面ABPE ,EP ⊂平面ABPE ,所以1//O O 平面ABPE ,故球心O 到平面APE 的距离与1O 到平面APE 的距离相等,过点1O 作1O H AE ⊥,垂足为H ,易知AB ⊥面11AA D D ,1O H ⊂面11AA D D ,故1AB O H ⊥,又AB ⋂,,AE A AB AE =⊂平面ABPE ,所以1O H ⊥平面ABPE ,又1O H =1sin 454O E ︒=,所以球心O 到平面APE 的距离为4,由球的性质知,截面圆的半径r =4==,所以截面圆的周长为2ππ2r =.故选D.11.若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切,则12k k 的值为（）A ．12B ．1C ．e D ．2e 【答案】B【解析】设直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切于点()11,e xx ,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切于点()22,ln x x ,则11e x k =,且111e 11x k x +=+,所以11e 1xx =,221k x =,且222ln 11x k x +=+,所以22ln 1x x =,令()ln f x x x =,()1ln f x x '=+,当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时,()0f x '<,()f x 单调递减,当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x ¢>,()f x 单调递增,且()10f =,()0,0x f x →→,所以当()0,1x ∈时,()0f x <,因为()222ln 1f x x x ==,()111e e 1x xf x ==,即()()12e 10x f x f ==>,所以()()121,,e 1,x x ∞∞∈+∈+,所以12=e x x ,故11221e 1xk k x =⋅=,故选B.12．已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ,(1)f x +为偶函数,且1(3)()f x g x -+=,1()(1)f x g x --=,则下面判断错误的是()A ．()f x 的图象关于点(2,1)中心对称B ．()f x 与()g x 均为周期为4的周期函数C ．20221()2022i f i ==∑D ．2023()0i g i ==∑【答案】C【解析】因为()1f x +为偶函数,所以()()11f x f x +=-+①,所以()f x 的图象关于直线1x =轴对称,因为()()11f x g x --=等价于()()11f x g x --=②,又()()31f x g x -+=③,②+③得()()132f x f x -+-=④,即()()132f x f x +++=,即()()22f x f x +=-,所以()()()422f x f x f x +=-+=,故()f x 的周期为4,又()()13g x f x =--,所以()g x 的周期也为4,故选项B 正确,①代入④得()()132f x f x ++-=,故()f x 的图象关于点()2,1中心对称,且()21f =,故选项A 正确,由()()22f x f x +=-,()21f =可得()()01,41f f ==,且()()132f f +=,故()()()()12344f f f f +++=,故20221()5054(1)(2)2021(1)i f i f f f ==⨯++=+∑,因为()1f 与()3f 值不确定,故选项C 错误,因为()()31f x g x -+=,所以()()()()()()10,30,013,211g g g f g f ===-=-,所以()()()()022130g g f f ⎡⎤+=-+=⎣⎦,故()()()()01230g g g g +++=,故20230()50600i g i ==⨯=∑,所以选项D 正确,故选C .二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．53x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是__________.【答案】-15【解析】5555213C (3)C rr rr r rr T xxx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令523-=r 得1r =,所以3x 的系数为511(3)C 15-=-.14．某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片,带动当地旅游业的发展,帮助当地居民提升经济收入.若统计发现在某一时段内,200部宣传片的浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,则该时段内这200部宣传片中浏览量在(]0.9,1.8万次的个数约为______.（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈,(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈）【答案】164【解析】因为浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,所以浏览量X （万次）的均值 1.5μ=,方差20.09σ=,0.3σ=,故()(1.2 1.8)0.6827P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,(22)(0.9 2.1)0.9545P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,故[]1(0.9 1.8)(1.2 1.8)(0.9 2.1)(1.2 1.8)0.81862P X P X P X P X <≤=<≤+<≤-<≤≈.故浏览量在(]0.9,1.8万次的作品个数约为2000.8186164⨯≈.15．如图,四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,AC 平分DAB ∠,π3ABC ∠=,33AB BC ==,则sin DAB ∠的值_______.【答案】14【解析】在ABC 中,π,3,13ABC AB BC ∠===,由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⨯⨯2213123172=+-⨯⨯⨯=,所以AC .由正弦定理得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠,sinsin14BC ABCBACAC∠∠⋅==.即cos BAC∠=.又因为AC平分DAB∠,所以sin2sin cos14DAB BAC BAC∠∠∠==.16．已知抛物线24y x=的焦点为F,点,P Q在抛物线上,且满足π3PFQ∠=,设弦PQ的中点M到y轴的距离为d,则1PQd+的最小值为__________．【答案】1【解析】由抛物线24y x=可得准线方程为=1x-,设|||,0,,|(0)PF a QF b a b==>>,由余弦定理可得22222||||||2||||cosPQ PF QF PF QF PFQ a b ab=+-⋅∠=+-,由抛物线定义可得P到准线的距离等于PF,Q到准线的距离等于||QF,M为PQ的中点,由梯形的中位线定理可得M到准线=1x-的距离为11(||||)()22PF QF a b+=+,则弦PQ的中点M到y轴的距离1()12d a b=+-,故2222222||()344(1)()()PQ a b ab a b abd a b a b+-+-=⨯=⨯+++,又2()0,20,4,a b a ba b ab++>>≤∴≤,则222223()()||441(1)()a ba bPQd a b++-≥⨯=++,当且仅当a b=时,等号成立,所以1PQd+的最小值为1.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）．如图,四棱锥-P ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB CD∥,12AD DC AB==,且平面PAD⊥平面ABCD,PD AD⊥.(1)求证：BD PA ⊥；(2)PB 与平面ABCD 所成的角为30 ,求二面角--A PB C 的正弦值.【解析】（1）证明：取AB 的中点E ,连接CE ,则由题意知BCE 为正三角形,所以60ABC ∠= ,由等腰梯形知120BCD ∠= ,设2AD CD BC ===,则4AB =,23BD =,故222AD BD AB +=,即得90ADB ∠=o ,所以AD BD ⊥,因为平面PAD ⊥平面ABCD ,PD AD ⊥,平面PAD ⋂平面ABCD AD =,PD ⊂平面PAD ,所以PD ⊥平面ABCD ,又BD ⊂平面ABCD ,所以PD BD ⊥,因为AD PD D =I ,AD ,PD ⊂平面PAD ,所以BD ⊥平面PAD ,因为PA ⊂平面PAD ,所以BD PA ⊥.（2）由（1）得DA ,DB ,DP 两两垂直,以D 为坐标原点,DA ,DB ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,因为PD ⊥平面ABCD ,所以PB 平面ABCD 所成的角为30PBD ∠= ,设2AD CD BC ===,则23DB =2PD =,则()2,0,0A ,()002P ,,,()0,23,0B ,()3,0C -,则()2,0,2PA =-,()0,23,2PB =- ,()3,2PC =--,设平面PAB 的法向量为(),,m x y z=,则00PA m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即220320x z z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩,取3z =,则3,1,3m = ,设平面PBC 的法向量为(),,n a b c = ,则00PC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020a c c ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,取c =则(n =,所以1cos ,7m n m n m n ⋅==,所以二面角A PB C --7=.18.（12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)能否从{}n a 中选出以1a 为首项,以原次序组成的等比数列()121,,,,1m k k k a a a k = .若能,请找出公比最小的一组,写出此等比数列的通项公式,并求出数列{}n k 的前n 项和n T ；若不能,请说明理由.【解析】（1）1n a +2428n n n S a a =+-当1n =时,211114284S a a a =+-=,即()21112800a a a --=>,得14a =或12a =-（舍去）.由2428n n n S a a =+-,……①得()21114282n n n S a a n ---=+-≥,……②-①②得：2211422n n n n n a a a a a --=-+-,化简得()()1120n n n n a a a a ----+=.因为0n a >,所以120n n a a ---=,()122n n a a n -=+≥,即数列{}n a 是以4为首项,2为公差的等差数列,所以()22n a n n *=+∈N .（2）存在.当114k a a ==,238k a a ==时,会得到数列{}n a 中原次序的一列等比数列()121,,,,,1m k k k a a a k = ,此时的公比2q =,是最小的,此时该等比数列的项均为偶数,均在数列{}n a 中；下面证明此时的公比最小：114k a a ==,假若2k a 取26a =,公比为6342=,则323492k a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭为奇数,不可能在数列{}n a 中.所以11422m m m k a -+=⋅=.又1222m m k m a k +=+=,所以21mm k =-,即{}n k 的通项公式为()12n n k n -=∈*N ,故()1212122121 (212212)n nn n T n n +-=-+-++-=-=---.19.（12分）人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司成立了,A B 两个研究性小组,分别设计和开发不同的AI 软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的AI 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为12,P P .为测试AI 软件的识别能力,计划采取两种测试方案.方案一：将100首音乐随机分配给,A B 两个小组识别,每首音乐只被一个AI 软件识别一次,并记录结果；方案二：对同一首歌,,A B 两组分别识别两次,如果识别的正确次数之和不少于三次,则称该次测试通过.(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中,A 组占23；在错误识别的音乐数中,B 组占12.（i ）请根据以上数据填写下面的22⨯列联表,并通过独立性检验分析,是否有95%的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？正确识别错误识别合计A 组软件B 组软件合计100（ii ）利用（i ）中的数据,视频率为概率,求方案二在一次测试中获得通过的概率；(2)研究性小组为了验证AI 软件的有效性,需多次执行方案二,假设1243P P +=,问该测试至少要进行多少次,才能使通过次数的期望值为16？并求此时12,P P 的值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d K -=++++,其中n a b c d =+++.()20P K x ≥0.1000.0500.0100.0050.0010x 2.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）（i ）依题意得22⨯列联表如下：正确识别错误识别合计A 组软件402060B 组软件202040合计6040100因为22100(40202020)25 2.778 3.841604060409K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯,且()2 3.8410.05P K ≥=,所以没有95%的把握认为软件类型和是否正确识别有关；（ii ）由（i ）得1221,32P P ==,故方案二在一次测试中通过的概率为2222122122222222221211214C 1C C C 1C C 332322329P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）方案二每次测试通过的概率为()()()()()()222212212221122212222122C 1C C C 1C C P P P P P P P P P =⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅1212833PP PP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21212833PP PP =-+2124163927PP ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,所以当1249PP =时,P 取到到最大值1627,又1243P P +=,此时1223P P ==,因为每次测试都是独立事件,故n 次实验测试通过的次数(),X B n P ,期望值()16E X nP ==,因为1627p ≤,所以1627162716n p =≥⨯=所以测试至少27次,此时1223P P ==.20.（12分）已知双曲线:C ()22210y x b b-=>的左、右焦点分别为1F ,2F ,A 是C 的左顶点,C 的离心率为2．设过2F 的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点,其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线12x =于M 、N 两点,证明：22MF NF ⋅ 为定值；(3)是否存在常数λ,使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在,求出λ的值；否则,说明理由．【解析】（1）由题可得1,2c a a ==,故可得2c =,则222413b c a =-=-=,故C 的标准方程为2213y x -=.（2）由（1）中所求可得点A ,2F 的坐标分别为()()1,0,2,0-,又双曲线渐近线为y =,显然直线PQ 的斜率不为零,故设其方程为2x my =+,m ⎛≠ ⎝⎭,联立双曲线方程2213y x -=可得：()22311290m y my -++=,设点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,则121222129,3131m y y y y m m +=-=--,()121224431x x m y y m +=++=--,()221212122342431m x x m y y m y y m --=+++=-；又直线AP 方程为：()1111y y x x =++,令12x =,则11321y y x =⋅+,故点M 的坐标为1113,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；直线AQ 方程为：()2211y y x x =++,令12x =,则22321y y x =⋅+,故点N 的坐标为2213,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；则22MF NF ⋅ 12123333,,221221y y x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭212212122299999313444414413131y y m m x x x x m m -=+⋅=+⋅--+++-+--9990449=+⋅=-故22MF NF ⋅ 为定值0.（3）当直线PQ 斜率不存在时,对曲线22:13y C x -=,令2x =,解得3y =±,故点P 的坐标为()2,3,此时290PF A ∠=︒,在三角形2PF A 中,223,3AF PF ==,故可得245PAF ∠=︒,则存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；当直线PQ 斜率存在时,不妨设点P 的坐标为(),x y ,2x ≠,直线2PF 的倾斜角为α,直线PA 的倾斜角为β,则2PF A πα∠=-,2PAF β∠=,假设存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立,即2παβ-=,则一定有()22tan tan tan tan 21tan βπααββ-=-==-,也即2221PA PF PA k k k -=-；又22PF y k x -=--；()()()22222221211111PA PA yy x k x y k x y x ++==-+--+；又点P 的坐标满足2213y x -=,则2233y x =-,故()()()()222222*********PA PA y x y x k k x y x x ++==-+-+-+()()()()221212242212y x y x yx x x x x ++===--++--+-2PF k =-；故假设成立,存在实数常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；综上所述,存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠恒成立.21.（12分）已知函数()()2111ln 22f x x a x b x x x ⎛⎫=----+ ⎪⎝⎭,其中,R a b ∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 存在三个零点123,,x x x （其中123x x x <<）.（i ）若1a >,函数()1ln 2g x x x =+,证明：()102b g a a a<-<-；（ii ）若01a <<,证明：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()()()310,,x x a f x x ∞--+='-.①若1a >时,01x <<11x a <<a x a >()f x '-0+0-()f x 极小值极大值②若1a =时,()0f x '≤恒成立,()f x 单调递减,③若01a <<时0x a<<a 1<<a x 11x >()f x '-0+0-()f x 极小值极大值 ④若0a ≤时,()0,1x ∈时,()()0,f x f x '<单调递减；()1,x ∈+∞时,()()0,f x f x '>单调递增.综上所述,当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减；当1a =时,()()0,,x f x ∞∈+单调递减；当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,(),1x a ∈,()f x 单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减；当0a ≤时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x f x ∞∈+单调递增.（2）（i ）由（1）知当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减.所以()f x 存在三个零点,只需()0f a >和()10f <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭,整理得()1ln 2b a g a a >+=且12b a <.此时,()11111ln ln 22222b g a a a a a a a a a a --+<--+-=--,令()1ln 2h a a a =--,易知()h a 在()1,+∞上单调递减有()()1102h a h <=-<,所以()102b g a a a <-<-.（ii ）由（1）知,当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,()(),1,x a f x ∈单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减所以12301x a x x <<<<<.若()f x 存在三个零点,只需()10f >和()0f a <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭,整理得11ln 22a b a a<<+,因为()2111ln 22a a f x x b x x x +=-+--+,设1t x =,则方程2111ln 022x a x b x x x +-+--+=,即为()2111ln 022a a t t x t b -+++-+=记123123111,,t t t x x x ===,则123,,t t t 为方程()2111ln 022a a t t t t b -+++-+=三个不同的根,设313111x t k t x a==>>.要证：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭,即证：()()21313221138112381a a t t t t a a a a ++⎛⎫++--< ⎪++⎝⎭,即证：()()21321321138112381a a t t a a a a t t +++--<+++,而()21111111ln 022a a t t t t b -+++-+=且()23333111ln 022a a t t t t b -+++-+=,所以()()()22131313ln ln 102a t t t t a t t -+--+-=,所以131313ln ln 222t t t t a a t t -+--=-⨯-,即证：()()21321313ln ln 2113811381t t a a a t t a a a t t -++-⨯<-+++,即证：()()11323213ln1138110681t t t t a a t t a a ++++>-++,即证：()()221ln 11381101681k ka a k a a ++++>-++,记()()1ln ,11k k k k k ψ+=>-,则()2112ln 0(1)k k k k k ψ'⎛⎫=--> ⎪-⎝⎭,所以()k ψ在()1,+∞为增函数,所以()()k a ψψ>所以()()()()22221ln 1ln 113811113811011681681k ka aa a a a k a a a a a +++++++>+>--++++,设()()()()()221113811ln ,016181a a a a a a a a a ω-++=+<<+++,则()()6543222301412561413010(1)81a a a a a a a a a a a ω'++++++=>+++,所以()a ω在()0,1上是增函数,所以()()10a ωω<=所以()()()()221113811ln 06181a a a a a a a -+++<+++,即()()221ln 1138111681a aa a a a a ++++>-++所以若12301,a x x x <<<<,则()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为2240x y x +-=．曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数）．以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；(2)若射线θα=（0ρ≥,π02α<<）交曲线1C 于点P ,直线()π2θαρ=+∈R 与曲线1C 和曲线2C 分别交于点M 、N ,且点P 、M 、N 均异于点O ,求MPN △面积的最大值．【解析】（1）把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入2240x y x +-=,得曲线1C 的极坐标方程为24cos ρρθ=,即4cos ρθ=．将cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩中的参数消去,得曲线2C 的普通方程为2220x y y +-=,把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入,得曲线2C 的极坐标方程为22sin ρρθ=,即2sin ρθ=．（2）由题得4cos OP α=,3π4cos 4sin 2OM αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,π2sin 2cos 2ON αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,4sin 2cos NM OM ON αα=+=+,因为OP MN ⊥,所以()()2114sin 2cos 4cos 24sin cos 2cos 22MPN S MN OP αααααα=⨯=+⋅=+△()()22sin 2cos 21222αααϕ=++=++≤,其中1tan 2ϕ=,π02ϕ<<,当π22αϕ+=,即π42ϕα=-时,MPN △的面积取得最大值2．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()1g x x =-的最小值为m ,()()f x g x x =+的最小值为n ．实数a ,b ,c 满足a b c m ++=,abc n =,a b ¹,0c >．(1)求m 和n ；(2)证明：a b +<【解析】（1）函数()1g x x =-的最小值为0m =,此时1x =,当1x >时,()121f x x x x =-+=-,当01x ≤≤时,()11f x x x =-+=,当0x <时,()121f x x x x =--=-+,函数()21,111,0112,0x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+=≤≤⎨⎪-<⎩,函数在(,0]-∞上单调递减,在[1,)+∞上单调递增,当01x ≤≤时,()1f x =,所以函数()f x 的最小值为1n =,故0,1m n ==.（2）由（1）知0a b c ++=,1abc =,因为0a b c +=-<,10ab c=>,所以a<0,0b <,0a ->,0b ->,1()()a b c ab-+-==,又因为2()()()2a b ab a b a b --⎛⎫=--<≠ ⎪⎝⎭,所以212ab a b ⎛⎫> ⎪--⎝⎭,又1()()a b ab -+-=,所以3[()()]4a b -+->,所以()()a b -+->a b +<。

高三数学(理科)模拟试卷及答案3套

高三数学（理科）模拟试卷及答案3套模拟试卷一时间：120分钟分值：150分―、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数312z i=-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =（） A.3655i + B. 3655i - C. 1255i - D. 1255i +2．（错题再现）下列命题正确的是( )A ．123x x +--≥B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若|a ＋b |＝|a －b |，则a ·b ＝0D ．2213x x ++-≤3.函数()=sin 3f x x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A. 3B.2C. 4D. 54.从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是（） A.25B.15C. 103D. 355.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（）A. 213log 32+ B. 2log 3C. 2D. 36.若x ，y 满足不等式组1010330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则232z x y =-+的最小值为（）A. -5B. -4C. -3D. -27.已知函数22,1()log ,1a x ax x f x x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A. 13a <≤B. 2a ≥C. 23a ≤≤D. 02a <≤或3a ≥8.设P ，Q 分别为22(6)2x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是（） A. 52B. 246+C. 27+D. 269.已知() f x 为定义在R 上的奇函数, ()()g x f x x =-,且当(],0x ∈-∞时, ()g x 单调递增,则不等式()()2123f x f x x --+≥-的解集为( )A. ()3,+∞B. [)3,+∞C. (,3]-∞D. (,3)-∞ 10.已知球O 的半径为4，矩形ABCD 的顶点都在球O 的球面上，球心O 到平面ABCD 的距离为2，则此矩形的最大面积为（） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 11.已知正数,a b 满足221a b ab +=+，则()312a b -+的最大值为（）A. 22B. 2C. 2D. 112.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，11n n n a S S ++=-，则使22110n nnS S +取得最大值时n 的值为（） A. 2 B. 5 C. 4 D. 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上。

江苏省高三下学期模拟考试(理科)数学试卷-附带答案解析

江苏省高三下学期模拟考试(理科)数学试卷-附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}22,0,1,2,3A x x x B =-≥=，则()RBA =（）A ．{0}B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,22．设复数z 的共轭复数为z ，若()()1i i z z -=∈C ，则z 对应的点位于复平面内的（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．在ABC ∆中点N 满足2AN NC =，记BN a =，NC b =那么BA =（） A ．2a b -B ．2a b +C ．a b -D ．a b +4．将正弦曲线向右平移π4个单位长度，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到下列哪个函数的图象（） A ．π2sin()4x + B ．π2sin()4y x =- C ．1πsin()24y x =+D ．1πsin()24y x =-5．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，若28793a a a --=，则158S a -的值为（）A ．3B ．14C ．28D ．426．如图，一个底面半径为2a 的圆锥，其内部有一个底面半径为a 的内接圆柱，3a ，则该圆锥的体积为（）.A 3a B 3a C ．3a D ．3a7．已知函数f (x )满足f (2x )＝log 2x ，则f (16)＝（） A ．﹣1 B ．1C ．2D ．48．记i A d 为点i A 到平面α的距离，给定四面体1234A A A A -，则满足()122,3,4i A A d d i ==的平面α的个数为（） A ．1B ．2C ．5D ．8二、多选题9．已知正四棱锥的侧面积为）A B ．侧棱与底面所成的角为60︒ C ．棱锥的每一个侧面都是等边三角形D ．棱锥的内切球的表面积为(8π- 10．已知,,0x y x y ∈<<R 且，则（） A ．sin sin x y <B <C ．21x y -<D ．11x y x y <++ 11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，左，右焦点分别为1F 和2F ，P 为椭圆上一点（异于左，右顶点），且12PF F △的周长为6，则下列结论正确的是（）A ．椭圆C 的焦距为1B ．椭圆C 的短轴长为C ．12PF F △D ．椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=12．以下命题正确的是（）A ．设()f x 与()g x 是定义在R 上的两个函数，若()()()()1212f x f x g x g x +≥+恒成立，且()f x 为奇函数，则()g x 也是奇函数B ．若对任意1x ，2x ∈R 都有()()()()1212f x f x g x g x ->-成立，且函数()f x 在R 上单调递增，则()()f xg x +在R 上也单调递增C ．已知0a >，1a ≠函数(),1,,1,x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩若函数()f x 在[]0,2上的最大值比最小值多52，则实数a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭三、填空题13．若(6x 的展开式中4x 的系数为30，则=a ______.14．点P 为抛物线y 2＝x 上的动点，过点P 作圆M ：(x －3) 2＋y 2＝1的一条切线，切点为A ，则PA ·PM 的最小值为________．15．若直线y x m =+与曲线2y ax =和ln y x =均相切，则=a __________.16．设点O 是面积为4的ABC 内部一点，且有340OA OB OC ++=，则BOC 的面积为__________.四、解答题17．在凸四边形ABCD 中(1)若=45ABC ∠︒，求CD ；(2)若BCD ∠的角平分线交对角线BD 于点E ，求BC CE CD ++的最大值． 18．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中(1)求证：平面1A BC ⊥平面11ABB A ； (2)若AC 与平面1A BC 所成的角为π6，点E 为线段1A C 的中点，求平面AEB 与平面CEB 夹角的大小． 19．古人云:“腹有诗书气自华.”现在校园读书活动热潮正在兴起，某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取200名学生，获得了他们一周课外读书时间（单位:h ）的数据如表所示:(1)求,a b 的值;如果按读书时间0,6],6,12],1(((2,18]分组，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取20人，再从这20人中随机选取3人，求恰有2人一周课外读书时间在(12,18]内的概率.(2)若将样本频率视为概率，从该校学生中随机选取3人，记X 为一周课外读书时间在(12,18]内的人数，求X 的分布列和数学期望，并估计该校一周人均课外读书的时间. 20．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n b a a +=-，其中*N n ∈.(1)若12a =和2nn b =.①求证：{}n a 为等比数列； ②试求数列{}n n a ⋅的前n 项和.(2)若2n n b a +=，数列{}n a 的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？ 21．已知点A 是抛物线x 2＝2py （p ＞0）上的动点，过点M （－1，2）的直线AM 与抛物线交于另一点B ． (1)当A 的坐标为（－2，1）时，求点B 的坐标；(2)已知点P （0，2），若M 为线段AB 的中点，求PAB 面积的最大值．22．记()f x '，()g x '分别为函数()f x ，()g x 的导函数．若存在0x R ∈，满足()()00f x g x =，且()()00f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．已知()ln f x x ax =+和()2g x bx =．(1)若1b =，()f x 和()g x 存在“S 点”，求a 的值；(2)对任意0a >，是否存在实数0b >，使得()ln f x x ax =+，()2g x bx =存在“S 点”？请说明理由．参考答案与解析1．B【分析】求出A 及其补集，通过交集运算求得结果.【详解】集合{}{221A x x x x x =-≥=≤-或2}x ≥R {|12}A x x ∴=-<<又{}0,1,2,3B = 所以()RBA ={}0,1故选：B ． 2．C【分析】利用复数除法运算求得z ，从而求得z ，进而确定正确答案. 【详解】依题意()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z +-+====-+--+ 所以11i 22z =--，对应点为11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在第三象限.故选：C 3．A【分析】根据向量的线性运算将BA 分解为BA BN NA =+，再转化为a ，b 表示即可. 【详解】22BA BN NA BN NC a b =+=-=-. 故选：A. 4．B【解析】左右平移变换是横坐标x 改变，原则简记为 “左加右减”；伸缩变换是相应变量乘以对应倍数即可.【详解】sin y x =向右平移π4个单位长度得sin(4)πy x =-，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得π2sin()4y x =-. 故选：B.【点睛】本题考查图象的平移和伸缩变化，要牢记每一种变换对解析式系数的影响，方可解决此类题. 5．D【分析】根据等差数列的性质得7982a a a +=，则可由已知等式求8a 的值，从而利用求和公式和等差数列性质求158S a -得值.【详解】解：正项等差数列{}n a ，则0n a >若28793a a a --=，则28798323a a a a =++=+，解得83a =或81a =-（舍）则()115815888815215144222a a a S a aa a +⨯⨯-=-=-==. 故选：D. 6．B【分析】作出该几何体的轴截面，求出内接圆柱的高，利用三角形相似求出圆锥的高，即可求的其体积. 【详解】作出该几何体的轴截面如图示：AB 为圆锥的高设内接圆柱的高为h ，而2,BC a BD r a ===3a ，即23πa h a =则h =由于AB ED ∥,故CAB CED △∽△，则h DCAB BC=即22a aa-=，故AB =所以圆锥体积为231π(2)3V a a =⨯⨯=故选：B 7．C【分析】根据16＝24，代入求解即可．【详解】∵函数f (x )满足f (2x )＝log 2x ，且f (16)＝f (24) ∴f (16)＝f (24)＝log 24＝2 故选：C ． 8．D【分析】分类讨论，当平面α与平面234A A A 平行时，分析可得2个，当平面α经过234A A A △的中位线时分析可得6个，从而得解．【详解】到点23,A A 和4A 的距离相等的平面α有两种类型，与平面234A A A 平行或者经过234A A A △的某一条中位线．当平面α与平面234A A A 平行时，如下图1设121314,,A A A A A A 的三等分点分别为234,B B B ,（靠近1A ）对于平面234B B B ，利用三角形相似可知1212222A A d A B d A B ==，平面234B B B 符合题意．在线段1i A A 的延长线上取i C 使得()12,3,4i i i A A AC i == 对于平面234C C C ，利用三角形相似可知1212222A A d AC d A C ==，平面234C C C 符合题意即平面α与平面234A A A 平行时，满足条件的平面有2个；设232434,,A A A A A A 的中点分别为,,E F G 当平面α经过234A A A △的中位线EF 时如下图2：对于平面2B EF ，2B 在线段12A A 上且12222A B A B =利用三角形相似可知1212222AAd A Bd A B==又34//EF A A，EF⊂平面2B EF，34A A⊄平面2B EF，可得34A A//平面2B EF且E、F分别为2324,A A A A的中点则到平面2B EF的距离相等因此平面2B EF符合题意．如下图3：对于平面34B B FE，3B在线段13A A上，4B在线段41A A上且131433442A B A BA B A B==，利用三角形相似可知1313332AAd A Bd A B==又34//EF A A，EF⊂平面34B B FE，34A A⊄平面34B B FE，可得34A A∥平面34B B FE且E、F分别为2324,A A A A的中点则到平面34B B FE的距离相等因此平面34B B FE符合题意．对于中位线EG GF、，也有类似结论,即平面α经过234A A A△的某条中位线时，满足条件的平面有6个综上所述，符合题意的平面共有8个．故选：D ．【点睛】难点点睛：本题判断满足条件的平面的个数时，难点在于要发挥空间想象能力，明确满足条件的平面的位置，作图分析，说明平面所处的位置是怎样的，加以说明，解决问题. 9．ACD【分析】设底面边长为2a ，侧棱长为b ，求出棱锥体积，通过构造函数，求导可知当1a =，及2b =时棱锥体积最大，然后再逐项判断即可.【详解】设底面边长为2a ，侧棱长为b ，则14242a S =⨯⨯=侧面即=而21(2)3V a =⨯=故243a V ==设26()3(0f a a a a =-<<，则()()()542666161(1)()'1a a a a a f a a a a =-=-=++-易知函数()f a 在()0,1单调递增，在单调递减∴当1a =时，()f a 取得最大值，此时棱锥的体积最大，且2b = ∴底面边长为2，侧棱长为A 正确；侧棱与底面所成的角为PBO ∠，而sin OP PBO PB ∠=45PBO ∠=︒，选项B 错误；由于底面边长与侧棱长均为2，故侧面为等边三角形，选项C 正确；设内切球的半径为r ，由于P ABCD V -=1442242S ⎛=+⨯⨯⨯=+ ⎝⎭表∴3V r S ===表∴4(8S ππ==-内，选项D 正确.故选：ACD .10．BCD【分析】取特殊值可说明A 错；根据指数函数以及幂函数的单调性，可判断B,C 的对错；利用作差法可判断D 的对错.【详解】对于A ，取2,33x y ππ==满足,,0x y x y ∈<<R 且，但sin sin x y =，故A 错；对于B ，12y x =是定义域上的增函数，故,,0x y x y ∈<<R 且B 正确；对于C, 0x y -<,故0221x y -<=，故C 正确；对于D ，011(1)(1)x y x y x y x y --=<++++故11x y x y <++，故D 正确故选：BCD. 11．BC 【分析】根据12e =，226a c +=解得,,a b c 可判断AB ；设()00,P x y ，由1212012PF F S F F y =知当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C ；假设椭圆C 上存在点P ，设12,PF m PF n ==，求出m n +、mn ，,m n 可看作方程2460x x -+=，求出判别式∆可判断D. 【详解】由已知得12c e a ==，226a c +=解得2,1a c == 2223b a c =-= 对于A ，椭圆C 的焦距为22c =，故A 错误；对于B ，椭圆C 的短轴长为2b =B 正确；对于C ，设()00,P x y ，12120012==PF F SF F y c y 当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时0==y b 12PF F △C 正确；对于D ，假设椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=，设12,PF m PF n == 所以24m n a +==，22216244m n mn c +=-==和6mn =所以,m n 是方程2460x x -+=，其判别式16240∆=-<，所以方程无解，故假设不成立，故D 错误. 故选：BC. 12．ABD【分析】A 选项，利用赋值法及()f x 的奇偶性推导出()g x 的奇偶性；B 选项，利用定义法和()f x 在R 上单调递增证明出结论；C 选项，对a 分类讨论，由单调性求出最值，列出方程，求出a 的值；D 选项，由函数的对称性求解.【详解】令21x x =-，则()()()()1111f x f x g x g x +-≥+-，因为()f x 为奇函数，所以()()()()1111f x f x g x g x -≥+-恒成立，即()()110g x g x ≥+-，所以()()110g x g x +-=，即()()11g x g x -=-，所以则()g x 也是奇函数，A 正确；设12x x <，因为()f x 在R 上单调递增，所以()()12f x f x <，因为()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，所以()()()()()()121221f x f x g x g x f x f x -<-<-，从而()()()()11220f x g x f x g x +-+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 令()()()h x f x g x =+，则()()()()()()1211220h x h x f x g x f x g x -=+--<，所以()()12h x h x <，故()()()h x f x g x =+在R 上也单调递增，B 正确；当1a >时，(),1,,1,x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩在[]0,2上的最大值为()1f a =，最小值为()01f =或()22f a =-，当512a -=时，解得：72a =此时()3212f =>，满足题意；当()522a a --=时，522=无解，舍去；当01a <<时，在[]0,1x ∈上，()xf x a =是减函数，(]1,2x ∈上，()f x x a =-+是减函数，因为()011f a =>-+，所以函数最大值为()01f =，而()()2211f a a f =-+<-+=，所以函数的最小值为()22f a =-+，因此()5122a --+=，解得：()10,12a =∈符合题意；综上：实数a 的取值集合为1,272⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C 错误；由()()2f x f x -+=可得：()f x 关于()0,1中心对称，()1x g x x+=也关于()0,1中心对称，从而()f x 与()g x 的图象的交点关于()0,1中心对称，从而1280x x x ++⋅⋅+=⋅与128248y y y ++⋅⋅⋅+=⨯=，D 正确. 故选：ABD【点睛】抽象函数的对称性有以下结论：若()()f a x f b x c -++=，则()f x 关于,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；若()()f a x f b x -=+，则()f x 关于2a bx +=对称.13．2【分析】利用二项展开式的通项公式，列式求a .【详解】二项展开式的通项公式616rr rr T C x-+=⋅⋅当2r =时，4x 的系数是2630C a ⋅=解得：2a = 故答案为：214．74【分析】求出22||||1PA PM PA PM ⋅==-，设点2(,)P y y ，化简表达式，利用二次函数的性质，求解最小值即可．【详解】解：由已知易得22||||1PA PM PA PM ⋅==-设点2(,)P y y ，则()22224222577||13158()244PM y y y y y -=-+-=-+=-+当252y =时，2||1PA PM PM ⋅=-取得最小值74．故答案为：7415．14##0.25【分析】先根据直线和ln y x =相切求出m ，再利用直线和2y ax =相切求出a . 【详解】设直线y x m =+与ln y x =相切于点()00,ln x x 1y x'= 因为直线y x m =+与ln y x =相切，所以011x =，且00ln x x m =+；解得01,1x m ==-；因为直线1y x =-与曲线2y ax =相切联立得210ax x -+=，0a ≠且140a ∆=-=，即14a =. 故答案为：1416．12##0.5【分析】根据340OA OB OC ++=确定点O 的位置，然后将面积比转化为边长比即可.【详解】340OA OB OC ++= 371747OA OB OC ∴=-+；设17OA OD -=；则：3477OD OB OC =+,即B,C,D 三点共线；所以||18||BOC ABCS OD AD S==； 11482BOCS∴=⨯=；故答案为：12 17．；．【分析】（1）运用差角公式求得sin DBC ∠，再运用正弦定理求得CD 即可.（2）运用余弦定理及基本不等式求得BC CD +的范围，由等面积法求得CE ，将问题转化为求关于BC CD +的二次型函数在区间上的最值. 【详解】（1）连接BD ，如图所以35,sin5BD ABD=∠=4cos5ABD∠=所以43sin sin(45)()55DBC ABD∠=︒-∠-BCD△中sin sinCD BDDBC DCB=∠∠；∴sinsinBDCD DBCDCB=⋅∠==∠（2）BCD△中2222cos120BD BC CD BC CD=+-⋅⋅︒∴2222()325()()()44BC CDBC CD BC CD BC CD BC CD+=+-⋅≥+-=+，当且仅当BC CD=时取等号∴2100()3BC CD+≤，即：0BC CD<+∵BCD BCE CDES S S=+△△△∴111sin120sin60sin60222BC CD BC CE CD CE⋅⋅︒=⋅⋅︒+⋅⋅︒∴BC CD BC CE CD CE⋅=⋅+⋅∴2()25BC CD BC CDCEBC CD BC CD⋅+-==++∴2()25BC CDCE CD BC BC CDBC CD+-++=+++令t BC CD=+∴225252tCE CD BC t tt t-++=+=-0t<∵252y tt=-在（上单调递增∴当t y取得最大值为2.∴BC CE CD++.18．(1)证明见解析；(2)π3.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面11ABB A ，再由面面垂直的判定定理得证；（2）利用线面角求出边长，再建立空间直角坐标系，利用向量法求夹角. 【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C 中1A A BC ⊥ 又AB BC ⊥，1A AAB A =和1,A A AB ⊂平面11ABB A所以BC ⊥平面11ABB A ，又BC ⊂平面1A BC 所以平面1A BC ⊥平面11ABB A . （2）设11A BAB M =，连接CM ，如图则1A B 中点为M ，且1AM A B ⊥∵平面1A BC ⊥平面11ABB A 且交线为1A B ，AM ⊂平面11ABB A ∴AM ⊥平面1A BC所以直线AC 与平面1A BC 所成的角为π6ACM ∠=又12AA AB ==，则2AM AC BC = 以B 为原点，1,,BA BC BB 分别为x ，y ，z 轴正方向建立坐标系则(2,0,0),(0,2,0),(1,1,1)A C E 设平面AEB 的法向量为(,,)n x y z =20n BA x n BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1y =，则0,1x z ==-，故(0,1,1)n =- 设平面CEB 的法向量为()111,,m x y z =111120m BC y m BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令11x =，则10y =，11z =-故(1,0,1)m =- 设平面AEB 与平面CEB 的夹角为θ ∴1cos 2||||n m n m θ⋅==⋅，又π02θ<≤ π3θ∴=.19．(1)1224，a b ==；读书时间在(12,18]内的概率为91190； (2)分布列见解析，()E X =3920；该校一周人均课外读书的时间为12.32h.【分析】（1）由频数÷总数=频率可得,a b 的值；由分层抽样可知20人中在]((0,6],6,12中的有7人，在(12,18]中的有13人，据此可得答案；（2）由题可得X 的可能取值为0，1，2，3，且13~3,20X B ⎛⎫⎪⎝⎭，由此可得分布列及期望；结合表格数据可估计该校一周人均课外读书的时间.【详解】（1）由频数÷总数=频率可得2000.0612,2000.1224a b =⨯==⨯=. 由题意知，从样本中抽取20人，抽取比例为110，所以从(](](]0,6,6,12,12,18三组中抽取的人数分别为2，5，13，从这20人中随机抽取3人，恰有2人一周课外读书时间在(]12,18内的概率12713320C C 91C 190P ==.（2）由题意得，总人数为200，一周课外读书时间在(]12,18内的人数为130，因此从该校任取1人，一周课外读书时间落在区间(]12,18内的概率是1320. X 的可能取值为0，1，2，3，且13~3,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以33137()C (0,1,2,3)2020kkk P X k k -⎛⎫⎛⋅⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以X 的分布列为数学期望1339()32020E X =⨯=. 该校一周人均课外读书时间的估计值为10.0230.0350.0570.0690.07110.1213⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.25150.23170.1712.32(h)+⨯+⨯=.20．(1)①证明见解析；②1(1)22+=-⋅+n n S n(2)20241849=T【分析】（1）①，利用累加法求解n a 即可；②由①得2n n a =,令2nn n c na n ==⋅，{}n c 的前n 项和为n S ,利用错位相减法求解数列的和即可；（2）推出数列{}n a 是一个周期为6的周期数列,然后求解数列{}n a 的任意连续6项之和为0，然后利用其周期和相关值求出12,a a ，则得到答案.【详解】（1）①证明：12nn n a a +-=，当2n ≥时累加得()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+1212222n n --=++++()12122212n n --=+=-11222n n n n a a ++∴== ()2n ≥ 又211212,2,4,2a a b a a ===∴=所以{}n a 为首项为2，公比为2的等比数列.②由①得2n n a =，令2nn n c na n ==⋅，{}n c 的前n 项和为n S则2311231122232(1)22n nn n n S c c c c c n n --=+++⋯++=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅，A23412122232(1)22n n n S n n +=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅，BA B -得23122222n n n S n +-=+++⋯+-⋅()211121222(1)2212n n n n n -++-=+-⋅=-⋅--1(1)22n n S n +∴=-⋅+（2）若21n n n n b a a a ++==-，则32163n n n n n n n a a a a a a a +++++=-=-⇒=-= 所以数列{}n a 是周期为6的周期数列，设1a m = 2a t =1234560a a a a a a ∴+++++=设数列{}n a 的前n 项和为n T ，则60n T =. 所以629110486332221926963T T T a a ⨯+====⇒= 7712655377T T T a ⨯+====，所以123886a a a =-=所以2024337622128869631849T T T a a ⨯+===+=+=. 21．(1)()6,9 (2)2【分析】（1）将A 的坐标代入抛物线方程可得抛物线的方程为：24x y = 再根据直线AM 的方程，联立抛物线方程可得B 的坐标；（2）设直线AB 的方程：()21y k x -=+ 联立抛物线的方程，结合韦达定理与M 为线段AB 的中点可得1pk =-再代入PAB 的面积可得S =进而根据二次函数的最值求解即可 (1)当A 的坐标为()2,1-时，则2221p =⋅，所以24p = 所以抛物线的方程为：24x y = 由题意可得直线AM 的方程为：()211212y x --=+-+，即3y x代入抛物线的方程可得24120x x --=解得2x =-（舍）或6 所以，B 的坐标为()6,9 (2)法一：设直线AB 的方程：()21y k x -=+ 即2y kx k =++设直线AB 与y 轴的交点为Q ，()11,A x y 和()22,B x y由222y kx k x py=++⎧⎨=⎩ 可得22240x pkx pk p ---=，122x x pk +=和1224x x pk p =-- 因为M 为线段AB 的中点，所以1212x x pk +==- 令0x =，2y k =+即()0,2Q k +，所以PQ k = 则PAB 的面积12111222S PQ x x k k =⋅-=⋅=⋅12k =⋅把1pk =-代入上式，S当2k =时，则max 2S =，所以PAB 的面积的最大值为2．（2）法二：222y kx k x py =++⎧⎨=⎩可得22240x pkx pk p ---=，122x x pk +=，1224x x pk p =-- 因为M 为线段AB 的中点，所以1212x x pk +==- 设点P 到直线AB 的距离为d，则d =AB ==1122S AB d k =⋅=⋅把1pk =-代入上式 S所以，当2k =时，ABC 的面积的最大值为2 22．(1)1(2)存在，理由见解析【分析】（1）设“S 点”为0x ，然后可得200000ln 12x ax x a x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，然后解出即可；（2）假设对任意0a >，存在实数0b >，使得()y f x =与()y g x =有“S 点”，设为1x ，然后可得2111ln x ax bx +=，1112a bx x +=，消去b 得1112ln 0x ax -=>，然后可得10x <消去a 得1211ln x b x -=，然后证明对任意0a >，方程1112ln x ax -=在(有解即可. 【详解】所以200000ln 12x ax x a x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去a 得200ln 1x x +=记()2ln h x x x =+，显然()h x 在()0,+∞上是增函数，而()11h =因此200ln 1x x +=只有一个解01x =，所以211a =-=．（2）假设对任意0a >，存在实数0b >，使得()y f x =与()y g x =有“S 点” 设为1x ()2g x bx '= 所以2111ln x ax bx +=①，1112a bx x +=②，由②得21112ax bx +=③ ①③消去b 得1112ln 0x ax -=>，11ln 2x <和10x < ①③消去a 得1211ln x b x -=，在10x <<1211ln 0x b x -=> 下面证明对任意0a >，方程1112ln x ax -=在(有解设()(0l 1n 2x H x ax x =--<<，函数()H x在定义域(上是减函数0x →时 ()H x →+∞0H=-<，图像连续不断，所以存在10x <使得()10H x =．综上，任意0a >，存在实数1211ln 0x b x -=>，使得()y f x =与()y g x =有“S 点”。

高三模拟试卷理科数学答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数$f(x) = \sqrt{1-x^2}$的定义域为$\{x | -1 \leq x \leq 1\}$，则函数的值域为（）A. $[0,1]$B. $[0,+\infty)$C. $[-1,1]$D. $[-1,+\infty)$答案：B解析：由函数的定义域可知，$x^2 \leq 1$，即$-1 \leq x \leq 1$，则$1-x^2 \geq 0$，所以函数的值域为$[0,+\infty)$。

2. 若$a, b$是方程$x^2 - (a+b)x + ab = 0$的两根，则$a^2 + b^2$的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B解析：由韦达定理可知，$a+b=a+b$，$ab=ab$，则$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (a+b)^2 - 2ab = 4ab$，所以$a^2 + b^2 = 4$。

3. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n = 3n^2 - n$，则第10项$a_{10}$的值为（）A. 28B. 29C. 30D. 31答案：C解析：由等差数列的前$n$项和公式$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，代入$S_n = 3n^2 - n$得$3n^2 - n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，解得$a_1 + a_n = 6n - 1$。

又因为$a_{10} = a_1 + 9d$，其中$d$为公差，由等差数列的性质得$a_{10} = a_1 + 9d = 6 \times 10 - 1 = 59$，所以$a_{10} = 30$。

4. 若复数$z = a + bi$（$a, b$为实数）满足$|z-1| = |z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹方程为（）A. $x^2 + y^2 = 2$B. $x^2 + y^2 = 1$C. $x^2 - y^2 =2$ D. $x^2 - y^2 = 1$答案：D解析：由复数的模长公式$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，代入$|z-1| = |z+1|$得$\sqrt{(a-1)^2 + b^2} = \sqrt{(a+1)^2 + b^2}$，化简得$a^2 - 2a + 1 + b^2 = a^2 + 2a + 1 + b^2$，解得$a = 0$。

高三数学(理科)模拟试卷及答案3套

高三数学（理科）模拟试卷3套模拟试卷一第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合，则中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．4 2、已知复数满足:i i z +=-1)1(2（i 为虚数单位），则z为（）A ．21B ．22C ．2D ．13、下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，且a ＞c ，则“ab 2＞cb 2”B ．命题“对任意x ∈R，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R，有x 2≤0” C ．“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件 D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β4、已知函数()()()210cos 0x x f x x x ⎧+>⎪=⎨≤⎪⎩，则下列结论正确的是（） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在(),-∞+∞上是增函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 的值域为[1,)-+∞ 5、能够把圆：的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“等分函数”，下列函数不是圆的“等分函数”的是 A ．f (x )＝3x B ．C ．D ．6、如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线3x －y ＋3＝0平行，则双曲线的离心率为 A ．3B ．2C ． 3D ． 27、已知函数f (x )＝23sin(π－x )·cos x ＋2cos 2x －1，其中x ∈R，则下列结论中正确的是A ．f (x )是最小正周期为π的奇函数;B ．f (x )的一条对称轴是x ＝π2C ．f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，π6上单调递增D ．将函数y ＝2sin 2x 的图象左移π6个单位得到函数f (x )的图象 8、已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为A ．4B ．3C ． 5D ．29、在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线A 1O ，下列说法正确的是A ．A 1O ∥D 1CB ．A 1O ⊥BCC ．A 1O ∥平面B 1CD 1D ．A 1O ⊥平面AB 1D 110、2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子： ①a 1＋c 1＝a 2＋c 2； ②a 1－c 1＝a 2－c 2； ③c 1a 2>a 1c 2. ④c 1a 1<c 2a 2其中正确式子的序号是 A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④11、已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,则球的半径为A ．B ．C ．D ．12、设 ()ln f x x =，若函数 ()()g x f x ax =-在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,2e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ln 20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．ln 21,2e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分.13、已知函数f (x )＝log a (x －2)＋4(a >0且a ≠1)，其图象过定点P ，角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P ，则sin α＋2cos αsin α－cos α＝________. 14、等差数列{}n a 中，3a ，7a 是函数f （x ）=x 2﹣4x+3的两个零点，则{}n a 的前9项和等于 .15、已知向量a ＝(x ，-1)，b ＝(y ，x 2+4)且a ⊥b ，，则实数y 的取值范围是 .16、已知椭圆192522=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2内切圆的半径为 .三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.17、(本题满分12分)已知锐角ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2cos cos a b Bc C-=. （1）求角C 的大小；（2）求函数sin sin y A B =+的值域.18.（本小题满分12分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且532a =, 6347S S a -=，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE折起到1∆A BE 的位置，如图2．（1）证明：CD ⊥平面A 1OC ；（2）若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为21，短轴的一个端点到右焦点的距离为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()01G ,作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点A 关于原点O 的对称点为D ，求ABD △ 的面积S 的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()1ln ()f x ax x a R =--∈.（1）讨论函数()f x 的极值点的个数；（2）若函数()f x 在1x =处取得极值，()(0,),2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的最大值.22、（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为θθρ222sin 4cos 312+=,直线l 的参数方程为为参数）(42222-1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t t y t x (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)求曲线C 上的点M 到直线l 的最大距离。

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一、选择题：
1.
A.
B.
C.
D.
解：原式
.故选A.
2. 设集合
，则
=
A.
B.
C.
D.
解：
.
.故选B.
3. 已知
中，
，则
A.
B.
C.
D.
解：已知
中，
，
.
故选D.
4.曲线
在点
处的切线方程为
A.
B.
C.
D.
解：
,
故切线方程为
,即
故选B.
5. 已知正四棱柱
中，
为
中点，则异面直线
与
所成的角的余弦值为
A.
B.
C.
D.
解：令
则
,连
∥
异面直线
与
所成的角即
与
所成的角。

在
中由余弦定理易得。

故选C
6. 已知向量
，则
A.
B.
C.
D.
解：。

故选C
7. 设
，则
A.
B.
C.
D.
解：
.故选A.
8. 若将函数
的图像向右平移
个单位长度后，与函数
的图像重合，则
的最小值为
A．
B.
C.
D.
解：
，
又
.故选D
9. 已知直线
与抛物线
相交于
两点，
为
的焦点，若
，则
A.
B.
C.
D.
解：设抛物线
的准线为
直线
恒过定点P
.如图过
分别作
于
,于
, 由
,则
,点B为AP的中点.连结
,则
,
点
的横坐标为
, 故点
的坐标为
, 故选D
10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。

则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
A. 6种
B. 12种
C. 30种
D. 36种
解：用间接法即可.
种. 故选C
11. 已知双曲线
的右焦点为
,过
且斜率为
的直线交
于
两点，若
,则
的离心率为
m A．
B.
C.
D.
解：设双曲线
的右准线为
,过
分别作
于
,
于
,
,由直线AB的斜率为
,知直线AB的倾斜角为
,
由双曲线的第二定义有
.
又
故选A
12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。

现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“
”的面的方位是
A. 南
B. 北
C. 西
D. 下
解：展、折问题。

易判断选B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡上。

13.
的展开式中
的系数为 6 。

解：
，只需求
展开式中的含
项的系数：
14. 设等差数列
的前
项和为
，若
则
9 .
解：
为等差数列，
15.设
是球
的半径，
是
的中点，过
且与
成45°角的平面截球
的表面得到圆。

若圆
的面积等于
，则球
的表面积等于
.
解：设球半径为
，圆
的半径为
，
因为。

由
得
.故球
的表面积等于
.
16. 已知
为圆
:
的两条相互垂直的弦，垂足为
,则四边形
的面积的最大值为。

解：设圆心
到
的距离分别为
,则
.
四边形
的面积
三、解答题： 17设
的内角
、
、
的对边长分别为
、
、
，
，
，求。

分析：由
，易想到先将
代入
得。

然后利用两角和与差的余弦公式展开得
；又由
，利用正弦定理进行边角互化，得
，进而得
.故。

大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当
时，由
，进而得
，矛盾，应舍去。

也可利用若
则
从而舍去。

不过这种方法学生不易想到。

18（本小题满分12分）
如图，直三棱柱
中，
、
、
的中点，
平面
（I）证明：
（II）设二面角
为60°，求
与平面
所成的角的大小。

（I）分析一：连结BE，
为直三棱柱，
为
的中点，。

又
平面
，
（射影相等的两条斜线段相等）而
，
（相等的斜线段的射影相等）。

分析二：取
的中点
，证四边形
为平行四边形，进而证
∥
，
，得
也可。

分析三：利用空间向量的方法。

具体解法略。

（II）分析一：求
与平面
所成的线面角，只需求点
到面
的距离即可。

作
于
，则
，
为二面角
的平面角，
.不妨设
，则
.在
中，由
，易得
.
设点
到面
的距离为
，
与平面
所成的角为。

利用
，可求得
，又可求得
即
与平面
所成的角为
分析二：作出
与平面
所成的角再行求解。

如图可证得
，所以面。

由分析一易知：四边形
为正方形，连
，并设交点为
，则
，
为
在面
内的射影。

以下略。

19（本小题满分12分）
设数列
的前
项和为
已知
（I）设
，证明数列
是等比数列
（II）求数列
的通项公式。

解：（I）由
及
，有
由
，．．．① 则当
时，有
．．．．．②
②－①得
又
，
是首项
，公比为２的等比数列．（II）由（I）可得
，
数列
是首项为
，公差为
的等比数列．
，
评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找
．
第（II）问中由（I）易得
，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：
，主要的处理手段是两边除以
．
20（本小题满分12分）
某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。

（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（III）记
表示抽取的3名工人中男工人数，求
的分布列及数学期望。

（II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。

从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率
（III）
的可能取值为0，1，2，3
，
，
，
21（本小题满分12分）
已知椭圆
的离心率为
，过右焦点F的直线
与
相交于
、
两点，当
的斜率为1时，坐标原点
到
的距离为
（I）求
，
的值；
（II）
上是否存在点P，使得当
绕F转到某一位置时，有
成立？
若存在，求出所有的P的坐标与
的方程；若不存在，说明理由。

解:(I）设
，直线
，由坐标原点
到
的距离为
则
，解得
.又
.
（II）由(I）知椭圆的方程为
.设
、
由题意知
的斜率为一定不为0，故不妨设
代入椭圆的方程中整理得
，显然。

由韦达定理有：
．．．．．．．．①
.假设存在点P，使
成立，则其充要条件为：
点
，点P在椭圆上，即。

整理得。

又
在椭圆上，即
.
故
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②将
及①代入②解得
,
=
,即
.
当
;
22.(本小题满分12分)
设函数
有两个极值点
，且
（I）求
的取值范围，并讨论
的单调性；
（II）证明：
解: （I）
令
，其对称轴为。

由题意知
是方程
的两个均大于
的不相等的实根，其充要条件为
，得
⑴当
时，
在
内为增函数；
⑵当
时，
在
内为减函数；
当
.
⑶当
时，
在
内为增函数；
（II）由（I）
，
设
，
则
⑴当
时，
在
单调递增；
⑵当
时，
，
在
单调递减。

故
．
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