总体平均值与方差的估计
两个正态总体均值差及方差比的置信区间
1,2)
均未知,
求方差比
2 1
2 2
的置信度为0.90 的置信
区间. 解 n1 Байду номын сангаас8, n2 13,
0.10,
s12 0.34(mm2 ), s22 0.29(mm2 ),
F / 2(n1 1, n2 1) F0.05(17, 12) 2.59,
F1
/ 2(17,
12)
F0.95 (17,
涉及的两总体分别为
N
(
1
,
2
)和N
(
2
,
2
),
1
,
2
,
2 1
,
2 2
均未知，两样本相互独立，
求
2 1
/
2 2
的置信水平为
0.90的置信区间。
解 现在 n1 7 , n2 8, 1 0.9, / 2 0.05,
1
1
F0.05 (6,7)
3.87 , F10.05 (6,7)
F0.05 (7,6)
2 1
2 2
的一个置信度为
1
的置信区间
S12 S22
F / 2 (n1
1 1, n2
1)
,
S12 S22
1 F1 / 2 (n1
1, n2
1) .
推导过程如下:
由于 (n1 1)S12
2 1
~ 2(n1 1),
(n2 1)S22
22
~ 2(n2 1),
且由假设知
( n1
1)S12
Y
~
N
1
2
,
2 1
n1
2 2
均值方差标准差
关于抽样分布我们要了解的:
Y 的均值是多少?
如果 E(Y ) =真实的 = .78, 则Y 是 of 的无偏
unbiased 估计量 Y 的方差是多少?
var(Y ) 如何依赖于 n (著名的 1/n 公式)
当 n 较大时 Y 是否靠近 ? 大数定律: Y 是 的相合 consistent 估计量
14
Y 的抽样分布（续）
例: 设 Y 取 0 或 1 ( Bernoulli 随机变量)，服从概率分布,
Pr[Y = 0] = .22, Pr(Y =1) = .78 则
E(Y) = p1 + (1 – p)0 = p = .78
2 Y
=
E[Y
–
E(Y)]2
=
p(1
–
p)
= .78(1–.78) = 0.1716
24
Y E(Y )
相同例子：
的抽样分布：
var(Y )
25
总结: Y 的抽样分布
当
Y1,…,Yn
i.i.d.
满足
0
<
2 Y
<
时,
Y 的精确（有限样本）分布均值为Y (“Y 是Y 的无偏估
计量”)
方差为
2 Y
/n
除了其均值和方差, Y 的精确分布非常复杂取决于 Y 的分
布 (总体分布)
协方差是 X 和 Z 线性关联程度的度量; 其单位为 X 的单位
Z 的单位
cov(X,Z) > 0 表明 X 和 Z 正相关 若 X 和 Z 独立分布, 则 cov(X,Z) = 0 (反之不成立!!)
两个总体参数的检验
三、两个总体参数的检验
一、 两个总体均值之差的检验
在研究中，往往需要比较两个总体的差异， 如甲、乙两种不同的生产方法对产品的平均产量 是否有显著性差异，新、旧药品治疗病人的平均 治愈率是否有显著性差异，等等。根据样本获得 方式的不同及方差是否已知，两个总体均值的检 验可分为方差已知和未知两种情形，同时也要参数的检验
在方差相等的情况下，独立样本T检验的结 果应看“假设方差相等”一行，相应的双尾检测概 率“Sig.(双侧)”为0.077，在显著性水平为0.05 的情况下，t统计量的概率P>0.05，故不应拒绝 原假设，因此认为两个样本的均值是相等的，在 本例中，不能认为新、旧两种施肥方案对产量有 显著性的影响。
单击“继续”按钮返回“独立样本T检验”对话框，再单击“确定 ”按钮，运行结果如图6-18和图6-19所示。
图6-18 独立样本T检验的基本描述统计量
图6-19 独立样本T检验结果
三、两个总体参数的检验
图6-18所示为独立样本T检验的基本描述统计量，包括两个 样本的均值、标准差和均值的标准误差。图6 19给出了两种T检 验的结果，分别为在样本方差相等情况下的一般T检验结果和在 样本方差不相等情况下的校正T检验结果。两种T检验结果到底应 该选择哪一个取决于图6-19中的“方差方程的Levene 检验”一 项，即方差齐性检验结果。对于齐性，这里采用的是F检验，表 中第二列是F的值，为0.108，第三列是对应的概率P值，为0.746 。如果显著性水平为0.05，由于概率P值大于0.05，因而可以认 为两个总体方差无显著性差异，即方差具备齐性。
三、两个总体参数的检验
3. 两个总体均值样本匹配的情形
检验两个总体均值之差时，有时两个样本不是独立的而是成 对的，如比较同一组工人使用两种操作方法的生产效率是否相 同，比较同一批消费者对两个不同品牌的评分有何差异，等等 。这类假设检验问题可以转化为一个样本的均值检验问题，其 方法是：先计算出每一对样本数据的差值：di=xi－ xj(i,j=1,2,…,n)；然后将这n个差值看作一个样本，把(μ1－μ2)看 作待检验的一个总体参数(成对差值的总体均值，记为d)，原来 的检验问题就转化为根据一个样本去检验d是否等于（或小于、 大于）假设值d0。为了简便，通常取d0≥0。
九年级数学上册51总体平均数与方差的估计教案(新版)湘教版
九年级数学上册51总体平均数与方差的估计教案（新版）湘教版教学目标【知识与技能】1.掌握用样本平均数估计总体平均数2.掌握用样本方差估计总体方差.【过程与方法】通过对具体事例的分析、探讨，掌握简单随机样本在大多数情况下，当样本容量足够大时，样本的平均数和方差能反应总体相应的情况.【情感态度】感受数学在生活中的应用.【教学重点】样本平均数、方差估计总体平均数、方差的综合应用.【教学难点】体会统计思想，并会用样本平均数和方差估计总体平均数和方差.教学过程一、情景导入，初步认知一所学校要从两名短跑速度较快的同学中选拔一名去参加市里的比赛，为了使选拔公平，每名同学都进行10次测试，结果两名同学测试的结果的平均数是相同的，那么，派谁去参加比赛更好呢？【教学说明】通过具体事例的引入，提高学生学习的兴趣.二、思考探究，获取新知1.我们在研究某个总体时，一般用数据表示总体中每个个体的某种数量特性，所有这些数据组成一个总体，而样本则是从总体中抽取的部分数据，因此，样本蕴含着总体的许多信息，这使我们有可能通过样本的某些特性去推断总体的相应特性.2.从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析，去推断总体的情况，这是统计的基本思想，用样本平均数，样本方差分别去估计总体平均数，总体方差就是这一思想的体现，实践和理论都表明：对于简单的随机样本，在大多数情况下，当样本容量足够大时，这种估计是合理的.3.思考：（1）如何估计某城市所有家庭一年内平均丢弃的塑料袋个数？（2）在检查甲、乙两种棉花的纤维长度时，如何估计哪种棉花的纤维长度比较整齐？【归纳结论】由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可以用简单随机样本的平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差.4.探究：某农科院在某地区选择了自然条件相同的两个试验区，用相同的管理技术试种甲、乙两个品种的水稻各100亩.如何确定哪个品种的水稻在该地区更有推广价值呢？为了选择合适的稻种，我们需要关心这两种水稻的平均产量及产量的稳定性（即方差），于是，待水稻成熟后，各自从这100亩水稻随机抽取10亩水稻，记录它们的亩产量（样本），数据如下表所示：我们可以求出这10亩甲、乙品种的水稻的平均产量.因此，我们可以用这个产量来估计这两种水稻大面积种植后的平均产量.我们还可以计算出这10亩甲、乙品种的水稻的方差，从而利用这两个方差来估计.这两种水稻大面积种植后的稳定性（即方差），从而得出哪种水稻值得推广.5.通过上面的探究，怎样用样本去估计总体，才能使估计更加合理？【归纳结论】①抽取的样本要具有随机性；②样本容量要足够大.6.如何用样本方差估计总体方差？【归纳结论】方差能够反映一组数据与其平均值的离散程度的大小.方差越大，离散程度越大，稳定性越差.用样本方差估计总体方差的具体方法为：①计算样本平均数；②计算样本方差；③用样本方差估计总体方差.【教学说明】引导学生思考，让学生讨论，合作完成.培养学生互助、协作的精神.三、运用新知，深化理解1.见教材P143例题.2.2014年宁波市初中毕业生升学体育集中测试项目包括体能(耐力)类项目和速度(跳跃、力量、技能)类项目．体能类项目从游泳和中长跑中任选一项，速度类项目从立定跳远、50米跑等6项中任选一项．某校九年级共有200名女生在速度类项目中选择了立定跳远，现从这200名女生中随机抽取10名女生进行测试，下面是她们测试结果的条形图．(另附：九年级女生立定跳远的计分标准)九年级女生立定跳远计分标准：(注：不到上限，则按下限计分，满分10分)(1)求这10名女生在本次测试中，立定跳远距离的极差，立定跳远得分的众数和平均数；(2)请你估计该校选择立定跳远的200名女生得满分的人数．解：（1）从小到大排列出距离为：174，183，189，195，197，199，200，200，201，205，得分为7，8，9，9，10，10，10，10，10，10．∴立定跳远距离的极差=205-174=31（cm）．所以立定跳远得分的众数是10（分），立定跳远的平均数=110（7+8+9+9+10+10+10+10+10+10）=9.3（cm）．（2）因为10名女生中有6名得满分，所以估计200名女生中得满分的人数是200×610=120（人）．3.某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛，抽查了两人在最近10次选拔赛中的表现，他们的成绩（单位:cm）如下：你认为该派谁参加？分析：此题可从平均数，方差两方面去分析.当平均数相差不大时，再看方差.所以应该派甲去.4.如图所示，为了了解A、B两个旅游点的游客人数变化情况，抽取了从2002年至2006年“五一”的旅游人数变化情况，制成下图.根据图中所示解答以下问题：（1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？（2）从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；分析：本题综合考查平均数、方差的计算，关键是公式应用要准确，数据不要遗漏.解：(1)B旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2005年．从2002至2006年，A、B两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人，但A 旅游点较B旅游点的旅游人数波动大．【教学说明】这组反馈练习，从多个角度考察学生掌握及运用新知的情况，在学生独立完成过程中，不仅巩固了知识，也学会多角度思考问题，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略，发散了思维，学会做数学.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题5.1”中第1、2、3题.教学反思通过本节课的学习，使学生形成一定的数学思想和方法.同时教师也了解了学生的真实情况，便于帮助学生认识自我，建立自信，也便于下一堂课作适当的调整与准备.。
《总体平均值与方差的估计》教案
《总体平均值与方差的估计》教案一、教学目标1. 让学生理解总体平均值和方差的概念，掌握它们的计算方法。
2. 培养学生运用样本数据估计总体数据的能力。
3. 引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
二、教学内容1. 总体平均值的估计：利用样本平均值估计总体平均值，了解估计误差的概念。
2. 方差的估计：利用样本方差估计总体方差，了解方差的性质和意义。
3. 估计方法的应用：解决实际问题，如产品质量检测、数据预测等。
三、教学重点与难点1. 教学重点：总体平均值和方差的估计方法，估计误差的概念。
2. 教学难点：方差的计算，利用样本数据估计总体数据的方法。
四、教学方法与手段1. 教学方法：采用讲授法、案例分析法、讨论法、实践教学法等。
2. 教学手段：多媒体课件、黑板、计算器、实际数据案例等。
五、教学过程1. 导入新课：通过一个实际案例，引发学生对总体平均值和方差的关注，激发学生的学习兴趣。
2. 知识讲解：讲解总体平均值和方差的定义，引导学生理解估计误差的概念，阐述方差的性质和意义。
3. 案例分析：分析实际案例，让学生掌握利用样本数据估计总体数据的方法。
4. 课堂练习：布置一些相关练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
5. 总结与拓展：对本节课的主要内容进行总结，提出一些拓展问题，引导学生思考。
6. 课后作业：布置一些课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问的方式，了解学生对总体平均值和方差概念的理解程度，以及对估计方法的应用能力。
2. 练习题解答：检查学生课堂练习的解答情况，评估学生对知识的掌握程度。
3. 课后作业：批改学生的课后作业，了解学生对课堂所学知识的巩固情况。
七、教学反思1. 反思教学内容：检查教学内容是否适合学生的认知水平，是否需要调整。
2. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。
3. 反思教学手段：评估教学手段的运用情况，充分利用多媒体课件等资源，提高教学质量。
九年级数学上册5.1总体平均数与方差的估计教案(新版)湘教版
《总体平均值与方差的估计》教学目标知识目标：⑴使用计算器计算样本平均数和方差；⑵掌握用样本特征数估计总体的思想方法；⑶理解样本估计总体的合理性，总体期望值对样本的代表性的要求.能力目标：⑴培养学生搜集，分析，计算和整理数据的能力；⑵培养探索研究问题的能力和应涌所学知识解决实际问题的能力.领会统计知识在实际生活中应用.教学重点用样本平均数和方差去估计总体的平均数和方差.教学难点用样本平均数和方差去估计总体的平均数和方差的合理性.教学过程一.设置情境问题一：收获季节从湖中打一网鱼，共M 条，做上记号后再放入湖里，数天后再打一网鱼共n 条，其中K 条有记号.估计湖中有鱼大约 条？问题二：选拔人才要从甲乙丙三名选手中挑选一名同学参加数学竞赛，参考5次平时成绩：甲：86 85 90 85 84乙：70 95 85 83 97丙：75 78 72 74 76请你分析数据，作出选拔决定.二.新课总体期望值的估计1.总体期望值(又称为总体平均数)描述了一个总体的平均水平；2.对于很多总体来说，它的平均值不易求得，通常用容易求得的样本平均数对它进行估计.而且常用两个样本平均数的大小去近似地比较相应两总体的平均数大小；3.样本平均数的符号表达：)(121n x x x n x +++=方差估计： 样本方差：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=样本标准差：])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-= 方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数.计算器使用：某工厂研制甲、乙两种电灯泡，从两种电灯泡中各抽取了20只进行寿命试验，得到如下数据(单位:小时)：灯泡甲：1610 1590 1540 1650 1450 1650 1570 1630 1690 1720 1580 1620 1500 1700 1530 1670 1520 1690 1600 1590灯泡乙：1670 1610 1550 1490 1430 1610 1530 1430 1410 1580 1520 1440 1500 1510 1540 1400 1420 1530 1520 1510根据上述两个样本，你准备选哪种灯泡？请说明理由！四.课堂练习1．全年级的学生的语文成绩中任意抽取了20名学生的成绩如下表(单位：分)：60 90 85 75 65 70 80 90 95 80 85 95 75 70 85 80 85 65 90 85求全年级的学生的语文考试平均成绩的估计值.2．甲乙两个总体中各抽取了一个样本：甲:900 920 900 850 910 920乙:890 960 950 850 860 890根据上述样本，哪个总体的波动较小？3．甲、乙两台机器同时制造某种零件，抽查了15天中这两台机器制造该零件的数量，结果如下：机器甲:151 150 141 143 135 131 141 142 150 142 144 137 134 140 134 机器乙:147 146 148 155 157 149 146 148 146 149 146 148 158 147 147试问：哪台机器的日均产量较高？哪台产量更稳定？比一比谁能更快得出结论！南湖渔场在2004年底投放了大量鱼苗，经过一年喂养，现在要了解湖中养殖鱼的情况，如每条鱼的平均重量，南湖中鱼的总条数？请你拟定统计方案？本课小结一个思想：“用样本估计总体”的统计思想.两种方法：平均值估计和方差估计.三个习惯：合作、探究、应用.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
7.5正态总体均值与方差的区间估计
1)
1,
即
P
X
S n t / 2 (n 1)
X
S n
t
/
2
(n
1)
1
,
于是得 的置信度为 1 的置信区间
X
S n
t
/
2
(n
1)
.
例1 有一大批糖果, 现从中随机地取16袋, 称得
重量(克)如下:
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
2
2
/
2
(n
1)
1,
即
(n 1)S 2
P
2
/
2
(
n
1)
2
(n 1)S 2
2 1
/
2
(n
1)
1 ,
于是得方差 2 的置信度为1 的置信区间
(n
2 /
1)S 2(n
2
1)
,
(n
2 1
/2
1)S 2 (n 1)
.
进一步可得:
标准差 的一个置信度为1 的置信区间
n 1S ,
只要n1和n2都很大(实用上 50即可), 则有
1 2的一个置信度为1 的近似置信区间
X
Y
z / 2
S12 n1
S22 n2
.
(3)
2 1
22
2,
但 2 为未知,
1 2的一个置信度为1 的置信区间
X Y t / 2(n1 n2 2)Sw
1 n1
1 n2
.
其中
Sw2
2. 两个总体方差比 12 的置信区间 22
两组数据平均值和方差 求总方差的公式
两组数据平均值和方差求总方差的公式一、概述统计学是一门研究数据收集、整理、分析和解释的学科。
在统计学中，平均值和方差是常用的描述性统计量，用来衡量数据集的集中趋势和离散程度。
当有两组数据时，我们常常需要求出这两组数据的总方差。
本文将介绍两组数据平均值和方差的计算方法，并推导出求总方差的公式。
二、两组数据平均值的计算方法假设有两组数据集合A和B，分别包含n个观测值。
那么，集合A 的平均值μA可以通过下式计算得出：μA = (Σxi) / n其中，Σxi表示集合A中所有观测值的总和。
同样的，集合B的平均值μB可以通过下式计算得出：μB = (Σyi) / n其中，Σyi表示集合B中所有观测值的总和。
三、两组数据方差的计算方法对于集合A的方差σ^2A，可以通过下式计算得出：σ^2A = Σ(xi - μA)^2 / n其中，(xi - μA)^2表示每个观测值与平均值的偏离平方，Σ表示求和。
对于集合B的方差σ^2B，可以通过下式计算得出：σ^2B = Σ(yi - μB)^2 / n其中，(yi - μB)^2表示每个观测值与平均值的偏离平方，Σ表示求和。
四、求总方差的公式在计算两组数据的总方差时，可以使用如下公式：σ^2 = (Σ(xi - μ)^2 + Σ(yi - μ)^2) / (n + m)其中，μ为总体均值，n为集合A的观测个数，m为集合B的观测个数。
公式中的分子部分分别表示集合A和B的偏离平方之和，分母部分表示总的观测个数。
这样计算得到的总方差能够综合反映出两组数据的整体离散程度。
五、总结通过以上推导，我们学习了两组数据平均值和方差的计算方法，以及求总方差的公式。
在实际统计分析中，根据总方差的计算公式，我们可以更全面地评估两组数据的离散程度，为数据分析和决策提供更加准确的依据。
六、参考文献1. 林慧琴. 统计学基础教程. 人民卫生出版社. 2008.2. 詹德. 量化金融分析模型及方法. 机械工业出版社. 2012.七、实际案例分析在实际的数据分析中，我们经常会碰到需要计算两组数据总方差的情况。
乐乐课堂数学总体平均数与方差的估计
乐乐课堂数学总体平均数与方差的估计随着教育技术的发展，网络教学平台逐渐成为教师和学生互动的新模式。
在这样的教学环境下，如何准确地评估教学效果，成为了教师关注的焦点。
本文将以乐乐课堂数学为例，探讨如何利用平均数和方差对教学总体进行评估。
一、了解平均数与方差的意义平均数是反映一组数据集中趋势的指标，方差则反映数据的离散程度。
在教学评估中，这两个指标能够帮助教师了解学生的整体水平和差异性。
二、乐乐课堂数学总体平均数的估计要估计乐乐课堂数学总体的平均数，首先需要收集学生的成绩数据。
然后，将所有学生的成绩相加求和，再除以学生人数，即可得到总体平均数。
此外，还可以利用统计软件进行计算，以提高准确性。
三、乐乐课堂数学总体方差的估计方差的估计需要收集每个学生的成绩数据。
首先，计算每个学生成绩与总体平均数的差值，然后将这些差值平方，求和后除以学生人数，即可得到总体方差。
同样，也可以利用统计软件进行计算。
四、应用实例：如何利用平均数和方差分析教学效果假设教师在乐乐课堂上进行了两次数学测试，分别得到了两次测试的平均分和方差。
通过比较两次测试的平均数和方差，教师可以了解到学生的整体水平是否有所提高，以及学生之间的差异是否有所减小。
如果平均分提高，说明教学效果有所提升；如果方差减小，说明学生之间的差距缩小，整体水平更为均衡。
五、总结在乐乐课堂数学教学中，平均数和方差是评估教学效果的重要工具。
通过分析这两个指标，教师可以更好地了解学生的学习状况，从而调整教学策略，提高教学质量。
同时，这两个指标也可以为教育部门提供参考，以便制定更为合理的教育政策。
基于正态分布参数无偏估计的几个结果
基于正态分布参数无偏估计的几个结果正态分布是概率论和统计学中非常重要的概率分布之一，具有很多应用。
在对正态分布进行参数估计时，常常使用无偏估计方法来估计其均值和方差。
下面将介绍基于正态分布参数无偏估计的几个结果。
1.均值的无偏估计：正态分布的均值参数μ是其平均值。
在给定一个正态分布样本集合X={x1, x2, ..., xn}的情况下，可以使用平均值x̄作为μ的无偏估计。
也就是说，x̄是所有样本观测值之和除以样本容量n的结果。
形式化地表示为：x̄ = (x1 + x2 + ... + xn)/n这是因为对于来自正态分布的样本，其样本均值的期望值E(x̄)等于真实的总体均值μ，所以x̄是μ的无偏估计。
2.方差的无偏估计：正态分布的方差参数σ²是其分散度的度量。
在给定一个正态分布样本集合X={x1, x2, ..., xn}的情况下，可以使用样本方差S²作为σ²的无偏估计。
样本方差的计算方法为：S² = [(x1-x̄)² + (x2-x̄)² + ... + (xn-x̄)²]/(n-1)这是因为在计算样本方差时，将样本均值x̄作为总体均值μ的估计。
因此，将样本方差除以n-1而不是n，可以纠正由于采样误差所引入的偏差，使其成为σ²的无偏估计。
3.标准差的无偏估计：正态分布的标准差σ是方差的正平方根。
在给定一个正态分布样本集合X={x1, x2, ..., xn}的情况下，可以使用样本标准差S作为σ的无偏估计。
样本标准差的计算方法为：S = √[(x1-x̄)² + (x2-x̄)² + ... + (xn-x̄)²]/(n-1)与样本方差类似，样本标准差也需要将样本均值x̄作为总体均值μ的估计，同时除以n-1纠正采样误差引入的偏差，使其成为σ的无偏估计。
以上是基于正态分布参数无偏估计的几个结果。
《总体平均值与方差的估计》教案
《总体平均值与方差的估计》教案第一章：引言1.1 学习目标让学生理解总体平均值与方差的概念。
让学生掌握估计总体平均值与方差的方法。
1.2 教学内容总体平均值与方差的定义。
估计总体平均值与方差的意义。
1.3 教学方法采用讲授法，讲解总体平均值与方差的概念及意义。
采用案例分析法，让学生通过实际案例理解估计方法。
第二章：总体平均值的估计2.1 学习目标让学生掌握总体平均值的估计方法。
让学生能够运用估计方法计算总体平均值的估计值。
2.2 教学内容总体平均值的估计方法。
估计值的计算。
2.3 教学方法采用讲授法，讲解总体平均值的估计方法及计算。
采用练习法，让学生通过实际练习掌握估计方法。
第三章：方差的估计3.1 学习目标让学生掌握方差的估计方法。
让学生能够运用估计方法计算方差的估计值。
3.2 教学内容方差的估计方法。
估计值的计算。
3.3 教学方法采用讲授法，讲解方差的估计方法及计算。
采用练习法，让学生通过实际练习掌握估计方法。
第四章：总体平均值与方差的估计在实际中的应用4.1 学习目标让学生能够运用总体平均值与方差的估计方法解决实际问题。
4.2 教学内容总体平均值与方差的估计在实际中的应用案例。
4.3 教学方法采用案例分析法，让学生通过实际案例理解估计方法的应用。
采用小组讨论法，让学生分组讨论并解决问题。
5.1 学习目标让学生了解总体平均值与方差的估计方法的拓展内容。
5.2 教学内容总体平均值与方差的估计方法的拓展内容。
5.3 教学方法采用讲授法，讲解总体平均值与方差的估计方法的拓展内容。
第六章：估计的准确性和可靠性6.1 学习目标让学生理解估计的准确性和可靠性的概念。
让学生能够评估估计的准确性和可靠性。
6.2 教学内容估计的准确性和可靠性的定义。
评估估计的准确性和可靠性的方法。
6.3 教学方法采用讲授法，讲解估计的准确性和可靠性的概念及评估方法。
采用案例分析法，让学生通过实际案例理解估计的准确性和可靠性的评估。
置信度 置信区间 置信水平
置信度、置信区间和置信水平一、什么是置信度？置信度是统计学中的一个概念，用以衡量对某个参数的估计结果的可靠程度。
在进行统计推断时，我们通常只能通过样本来估计总体的参数值，而无法确定真实的参数值。
因此，我们需要通过置信度来判断我们对参数的估计是否可靠。
二、什么是置信区间？置信区间是对参数估计结果的一种范围估计。
它是一个包含真实参数值的区间，通过置信度来表达对该区间的可信程度。
通常，置信区间由一个下限和上限组成，表示在一定的置信度下，参数的真实值落在这个区间内的概率。
三、置信水平置信水平是判断置信区间可靠程度的一个指标，用于衡量对参数估计的可信度。
它通常以百分比的形式给出，例如95%置信水平。
四、置信区间的计算方法计算置信区间的方法通常依赖于总体分布的已知信息以及样本的大小。
以下是几种常见的计算方法：1. 正态分布置信区间当总体分布符合正态分布时，我们可以使用正态分布的性质来计算置信区间。
对于大样本（样本量大于30）情况，可以使用标准正态分布的临界值来计算置信区间；对于小样本情况，可以使用t分布的临界值来计算置信区间。
2. 样本均值的置信区间当我们对总体均值进行估计时，可以使用样本均值的标准差来计算置信区间。
根据中心极限定理，当样本量较大时，样本均值的分布近似正态分布，因此可以使用正态分布的临界值来计算置信区间。
3. 样本比例的置信区间当我们对总体比例进行估计时，可以使用二项分布的性质来计算置信区间。
根据大样本近似法，当样本量较大时，样本比例的分布近似正态分布，因此可以使用正态分布的临界值来计算置信区间。
4. 样本方差的置信区间当我们对总体方差进行估计时，可以使用卡方分布的性质来计算置信区间。
根据卡方分布的定义，我们可以根据样本的自由度来确定临界值，并计算置信区间。
五、置信度和置信区间的应用置信度和置信区间在统计推断中起到了至关重要的作用，它们可以帮助我们判断样本估计结果的可靠程度，为决策提供依据。
第五节 正态总体均值与方差的区间估计 7-5
\ 2 的置信度为 1 - a 的置信区间为 2 2 ( n - 1)S ( n - 1)S ( 2 ) ， 2 a / 2 ( n - 1) 1 - a / 2 ( n - 1)
而 的置信度为 1 - a 的置信区间为 (
n - 1S
2 / 2 ( n - 1) a
，
n - 1S
2 1 - a / 2 ( n - 1)
2 2 1 2 的置信区间包含1, 在实际中我们认为 1 , 由于 2
2 两者没有显著差别。 2
17
全章要求
1. 了解点估计的概念， 掌握矩估计法、极大 似然估计法； 2. 了解估计量的评选标准：
无偏性、有效性、一致性。
2 1 n1 + 2 n 2 2
~ N(0,1),
即 可 得 到 1 - 2的 一 个 置 信 度 为 a的 置 信 区 间 12 ( X - Y z a / 2 1 n1 + 2 n 2 ). 2
2. 当 和 均 未 知 时求 1 - 2的 置 信 区 间 ,
2 1 2 2
1
第七章 参 数 估 计
§5.正态总体均值与方差的区间估计
一. 单个正态总体的均值与方差的区间估计: 二. 两个正态总体的区间估计:
2
一. 单个正态总体的均值与方差的区间估计:
设总体 ~ N(, ), X1 , X2 , , Xn是一个样本 X .
2
1 .当 2 已知时，求 的置信区间。 X - 选取 Z = n
本题中的置信下限大于零，实际中可认为μ1比μ2大。
13
三. 两个总体方差比的置信区间:
仅讨论总体均值 1 , 2 未知的 情况，由于
2 ( n1 - 1) S1
正态分布总体均值和方差的区间估计
2
的置信区间是
x
1.96
n
, x1.96
n
0.01时， z1 z0.995 2 的置信区间是
2.58
x
2.58
n
,
x
2.58
n
比较可知 越大,则 1 越小,置信区间越小,
落在区间内的把握也就越小。
因此,在实际应用中,要适当选取
常取 值: 0.05, 0.01, 0.10
1
2
n
s 用样本方差 2 来代替总体方差 2
x
1 n (x1 U
x2 xn )
x
~
N (0,1)
~
N(, 2
n
)
n
s 2 1
n
(x x)2
n 1 i i 1
V (n 1) s 2 ~ 2 (n 1) 2
U与V独立, 统计量
T x U ~ t(n 1)
s/ n V (n 1)
设总体 X ~ N (, 2 ), 其中 2 已知.
x , x ,, x 为来自于总体的样本。
1
2
n
x
1 n
( x1
xn )
~
N(, 2
n
)
U x ~ N (0,1) / n
对于给定的 , 可以找到一个数 z1 , 2
使 P{| U | z } 1 1 2
即
P
x
/
n
z 1 2
1
P
对于给定的 , 查t分布表可得临界值
t (n 1), 使得
1 2
P T t (n 1) 1
1 2
2
P T
t 1 2
(n
1)
《总体平均值与方差的估计》教案
《总体平均值与方差的估计》教案一、教学目标：1. 让学生理解总体平均值和方差的概念。
2. 让学生学会如何估计总体平均值和方差。
3. 让学生能够运用估计的总体平均值和方差解决实际问题。
二、教学内容：1. 总体平均值的概念和估计方法。
2. 方差的概念和估计方法。
3. 运用估计的总体平均值和方差解决实际问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：总体平均值和方差的估计方法。
2. 教学难点：如何运用估计的总体平均值和方差解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生思考和探索。
2. 使用实例和练习题，让学生加深对概念的理解和应用。
3. 进行小组讨论和合作，促进学生之间的交流和合作。
五、教学步骤：1. 引入总体平均值和方差的概念，让学生了解它们的含义和重要性。
2. 讲解总体平均值的估计方法，并通过实例进行演示和练习。
3. 讲解方差的估计方法，并通过实例进行演示和练习。
4. 让学生进行小组讨论，探讨如何运用估计的总体平均值和方差解决实际问题。
5. 提供练习题，让学生巩固所学知识和技能。
6. 对学生的练习进行评价和反馈，帮助学生提高。
8. 布置作业，让学生进一步巩固和提高。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对总体平均值和方差概念的理解程度，以及他们对方差估计方法的掌握情况。
2. 练习题：通过学生完成的练习题，评估他们对估计方法的掌握程度以及解决问题的能力。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解他们的合作能力和解决问题的能力。
七、教学资源：1. 教学PPT：提供清晰的总体平均值和方差的定义，以及估计方法的步骤和示例。
2. 实例和练习题：提供相关实例和练习题，帮助学生理解和应用估计方法。
3. 小组讨论材料：提供相关材料，促进学生之间的交流和合作。
八、教学进度安排：1. 第1周：引入总体平均值和方差的概念，讲解估计方法。
2. 第2周：通过实例和练习题，让学生巩固估计方法。
3. 第3周：进行小组讨论，探讨如何运用估计的总体平均值和方差解决实际问题。
两个正态总体均值差和方差的假设检验
方差齐性检验是检验 两个正态总体方差是 否相等的统计方法。
常用的方差齐性检验 方法有：Levene检验、 Bartlett检验和Welch 检验。
Levene检验基于方差 分析，通过比较不同 组间的方差来判断方 差是否齐性。
Bartlett检验基于 Kruskal-Wallis秩和 检验，通过比较不同 组间的中位数和四分 位距来判断方差是否 齐性。
独立样本的均值检验
1
独立样本的均值检验是用来比较两个独立正态总 体的均值是否存在显著差异的统计方法。
2
常用的独立样本均值检验方法包括t检验和z检验， 其中t检验适用于小样本和大样本，而z检验适用 于大样本。
3
在进行独立样本均值检验时，需要满足独立性、 正态性和方差齐性的假设，以确保检验结果的准 确性和可靠性。
根据研究目的和数据类型，选择合适的统计量 来描述样本数据。
确定临界值
根据统计量的分布和显著性水平，确定临界值。
计算样本统计量
根据样本数据计算所选统计量的值。
做出决策
将样本统计量的值与临界值进行比较，做出接受 或拒绝原假设的决策。
解读结果
根据决策结果解读研究问题，给出结论和建议。
Part
02
两个正态总体均值的假设检验
Part
05
结论与展望
假设检验的优缺点
理论基础坚实
假设检验基于概率论和统计学原理，具有坚实的理论基础。
操作简便
假设检验提供了清晰的步骤和标准，方便研究者进行操作。
假设检验的优缺点
• 实用性强：假设检验广泛应用于各个领域，为科学研究和实践提供了有效的工具。
假设检验的优缺点
01
对数据要求较高
假设检验对数据的分布、样本量 等有一定的要求，不符合条件的 样本可能导致检验结果不准确。
三点估算方差的计算公式
三点估算方差的计算公式方差是用来衡量一组数据的离散程度的统计量，它代表了每个数据点与数据集平均值的差异程度。
方差的计算可以通过多种方法进行，其中最常用的是三点估算方差的计算公式。
本文将介绍三点估算方差的计算公式及其应用。
三点估算方差的计算公式可以通过以下步骤得出：1. 首先，确定数据集的平均值（μ）。
计算平均值的方法是将所有数据点的值相加，然后除以数据点的总数。
这个平均值将作为计算方差的基准。
2. 接下来，计算每个数据点与平均值之间的差异（偏差）。
对于每个数据点，将其值减去平均值，得到差异值。
这些差异值将用于进一步计算。
3. 然后，计算每个差异值的平方。
将每个差异值平方的目的是为了消除差异的正负号，并突出较大的差异。
4. 最后，求所有差异值平方的和。
将每个差异值平方加在一起，得到总和。
这个总和的大小表示了数据集的离散程度。
一旦求得差异值平方的总和，就可以使用该值来计算方差。
方差的计算公式是将差异值平方的总和除以数据点的总数减去1。
这个除数中的1是由于数据集中存在一个自由度的损失。
三点估算方差的计算公式可以表示为：s^2 = Σ(x-μ)^2 / (n-1)其中，s^2表示样本方差，Σ代表求和运算符，x代表数据点的值，μ代表数据集的平均值，n代表数据点的总数。
三点估算方差的计算公式应用广泛。
它在实践中常用于描述数据的分布及其离散程度。
通过计算样本方差，我们可以得出关于总体方差的估计值，并从而对数据集的特征、差异性进行分析。
除了方差的计算，三点估算方差的计算公式还可以进一步应用到其他统计推断中，如t检验、方差分析等。
这些方法都需要对数据集的方差进行估计，以便进行假设检验、对比分析等统计推断的操作。
然而，需要注意的是，三点估算方差的计算公式基于样本数据，对于总体方差的估计会有一定的误差。
因此，在使用三点估算方差进行数据分析和统计推断时，需要注意其局限性，并考虑其他方法和技术的应用。
总结而言，三点估算方差的计算公式是一种常用的统计量，用于衡量数据集的离散程度。
方差和总体方差
方差与总体方差：概念、计算及应用一、引言在统计学中，方差和总体方差是两个核心概念，用于衡量数据的离散程度。
方差是每个数据点与总体均值之间差异的平方的平均值，而总体方差则是描述整个总体数据离散程度的统计量。
本文将详细介绍这两个概念的定义、计算方法、性质及应用场景。
二、方差1. 定义方差用于衡量一组数据中各数值与其均值之间差异的平均水平。
具体地说，方差是每个数据与全体数据平均数之差的平方值的平均数。
2. 计算方法方差的计算公式为：s²=[(x1-m)²+(x2-m)²+...+(xn-m)²]/n其中，x1, x2, ..., xn为一组数据，m为数据的均值，n为数据的个数。
方差的值越大，说明数据的波动越大；值越小，说明数据越趋于稳定。
3. 方差的性质（1）非负性：方差的值永远为非负数。
当方差为0时，表示所有数据点都相等。
（2）可加性：对于两组独立的数据，它们的方差之和等于它们合并后的方差。
（3）齐次性：当一组数据中的每个数值都乘以一个常数时，方差会乘以该常数的平方。
三、总体方差1. 定义总体方差是描述整个总体数据离散程度的统计量。
在实际情况中，总体数据往往是未知的，我们通常通过抽样来获取部分数据，并利用这部分数据来估计总体方差。
2. 计算方法总体方差的计算公式与样本方差的计算公式类似，但分母为总体的个数N，而非样本的个数n：σ²=[(x1-μ)²+(x2-μ)²+...+(xN-μ)²]/N其中，x1, x2, ..., xN为总体数据，μ为总体的均值，N为总体的个数。
在实际应用中，我们通常使用样本方差来估计总体方差。
为了进行无偏估计，样本方差的计算公式会稍作调整：S²=[(x1-m)²+(x2-m)²+...+(xn-m)²]/(n-1)其中，n为样本的个数。
这种调整可以减小由于抽样误差导致的估计偏差。
总体方差计算公式
总体方差计算公式
总体方差计算公式是统计学中常用的公式，它衡量一组数据中任意两个实例之间的差异程度。
这个公式常用于测量总体变异，以及预测变量之间的关系。
除了用于预测，这个公式还可用于解释总体变异。
总体方差计算公式的定义是：
总体方差被定义为集合中每个成员值与集合平均值之间的平方
差的总和。
该公式计算的是每个成员值与总体的平均值的差的平方的总和，其中n是总体成员的数量。
s^2=∑(Xi-X)^2/n
其中，Xi是样本点的实际值，X是该样本点所在总体的平均值，n是总体中样本点的数量。
用公式表示总体方差，可以看到它是由每个样本点与总体均值之间的差的平方之和决定的。
总体方差的计算有许多不同的方法。
最简单的是，可以使用标准的求和算法来计算每个样本点与总体均值之间的差的平方之和。
另一种更快速的方式是使用离散平均法，它将总体分成若干等份，每个部分的样本点的方差都要计算，然后将所有部分的结果求和，得到总体的方差。
总体方差的计算有很多用途。
首先，它常用于研究不同变量之间的关系。
例如，可以使用总体方差来判断一个变量是否受另一变量的影响。
其次，它可以帮助建模，从而预测未知变量。
最后，总体方差还可以用于诊断模型，以检测模型中各变量之间的相关性。
总体方差计算公式是统计学中的基本计算公式，它用于衡量变量
的变异性和相关性。
它不仅可以用于模型的预测，也可以用于诊断模型。
另外，它还可以用于分析变量之间的关系，这在研究类似性的问题中非常重要。
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《总体平均值与方差的估计》教案
教学目标
知识目标：
⑴使用计算器计算样本平均数和方差；
⑵掌握用样本特征数估计总体的思想方法；
⑶理解样本估计总体的合理性，总体期望值对样本的代表性的要求.
能力目标：⑴培养学生搜集，分析，计算和整理数据的能力；
⑵培养探索研究问题的能力和应涌所学知识解决实际问题的能力.领会统计知识在实际生活中应用.
教学重点
用样本平均数和方差去估计总体的平均数和方差.
教学难点
用样本平均数和方差去估计总体的平均数和方差的合理性.
教学过程
一.设置情境
问题一：收获季节
从湖中打一网鱼，共M 条，做上记号后再放入湖里，数天后再打一网鱼共n 条，其中K 条有记号.估计湖中有鱼大约 条？
问题二：选拔人才
要从甲乙丙三名选手中挑选一名同学参加数学竞赛，参考5次平时成绩： 甲：86 85 90 85 84
乙：70 95 85 83 97
丙：75 78 72 74 76
请你分析数据，作出选拔决定.
二.新课
总体期望值的估计
1.总体期望值(又称为总体平均数)描述了一个总体的平均水平；
2.对于很多总体来说，它的平均值不易求得，通常用容易求得的样本平均数对它进行估计.而且常用两个样本平均数的大小去近似地比较相应两总体的平均数大小；
3.样本平均数的符号表达：)(121n x x x n
x +++=
方差估计：
样本方差：])()()[(1222212x x x x x x n s n -++-+-= 样本标准差：])()()[(122221x x x x x x n
s n -++-+-= 方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数.
计算器使用：
某工厂研制甲、乙两种电灯泡，从两种电灯泡中各抽取了20只进行寿命试验，得到如下数据(单位:小时)：
灯泡甲：1610 1590 1540 1650 1450 1650 1570 1630 1690 1720 1580 1620 1500 1700 1530 1670 1520 1690 1600 1590
灯泡乙：1670 1610 1550 1490 1430 1610 1530 1430 1410 1580 1520 1440 1500 1510 1540 1400 1420 1530 1520 1510
根据上述两个样本，你准备选哪种灯泡？请说明理由！
四.课堂练习
1．全年级的学生的语文成绩中任意抽取了20名学生的成绩如下表(单位：分)： 60 90 85 75 65 70 80 90 95 80 85 95 75 70 85 80 85 65 90 85
求全年级的学生的语文考试平均成绩的估计值.
2．甲乙两个总体中各抽取了一个样本：
甲:900 920 900 850 910 920
乙:890 960 950 850 860 890
根据上述样本，哪个总体的波动较小？
3．甲、乙两台机器同时制造某种零件，抽查了15天中这两台机器制造该零件的数量，结果如下：
机器甲:151 150 141 143 135 131 141 142 150 142 144 137 134 140 134
机器乙:147146148155157149146148146149146148158147147试问：哪台机器的日均产量较高？哪台产量更稳定？比一比谁能更快得出结论！
南湖渔场在2004年底投放了大量鱼苗，经过一年喂养，现在要了解湖中养殖鱼的情况，如每条鱼的平均重量，南湖中鱼的总条数？请你拟定统计方案？
本课小结
一个思想：“用样本估计总体”的统计思想.
两种方法：平均值估计和方差估计.
三个习惯：合作、探究、应用.。