高中数学高考总复习椭圆习题及详解-

高中数学高考总复习椭圆习题及详解

一、选择题

1．设0≤α<2π，若方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )

A.⎝⎛⎭⎫0，

3π4∪⎝⎛⎭⎫7π4，2π B.⎣⎡⎭⎫π2，3π4 C.⎝⎛⎭

⎫π2，3π4 D.

⎝⎛⎭

⎫3π4，3π2

[解析] 化为

x 21

sin α

＋

y 2－

1

cos α

＝1，∴－

1

cos α>

1

sin α

>0，故选C.

2,(2010·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆x 225＋y 2

16

＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )

A ．4x ±3y ＝0

B ．3x ±4y ＝0

C ．4x ±5y ＝0

D ．5x ±4y ＝0 [解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b ＝c 2－a 2＝4，∴渐近线方程为y ＝±4

3

x ，即4x ±3y ＝0.

(理)(2010·广东中山)若椭圆x 2a 2＋

y 2

b 2

＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )

A.x 24＋y 2

2

＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 22＋y 2

4

＝1

D ．x 2＋y 2

3

＝1

[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2，

∵c 2＝a 2－b 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 2

2

＝1.

3．分别过椭圆x 2a

2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1、F 2作两条互相垂直的直线l 1、l 2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )

A ．(0,1)

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，

22 C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫22，1 D.⎝ ⎛

⎦

⎥⎤0，

22 [解析] 依题意，结合图形可知以F 1F 2为直径的圆在椭圆的内部，∴c 2c 2，即e 2＝

c 2a 2<1

2，又∵e >0，∴0

2

，故选B. 4．椭圆x 2100＋y 2

64＝1的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )

A.6433

B.9133

C.1633

D.64

3

[解析] 由余弦定理：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|F 1F 2|2.又|PF 1|＋|PF 2|＝20，代入化简得|PF 1|·|PF 2|＝256

3

， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝643

3

.

5．(2010·济南市模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的离心率为3

2，则双曲线x 2a 2－y 2b

2＝1的渐近线方程为( )

A ．y ＝±1

2

x

B ．y ＝±2x

C ．y ＝±4x

D ．y ＝±1

4

x

[解析] ∵由椭圆的离心率e ＝c a ＝

32，∴c 2a 2＝

a 2－

b 2a 2＝3

4，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±1

2

x ，选A.

6．(2010·南昌市模考)已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于( ) A.513 B.1213 C.35 D.45

[解析] 设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a 、b 、c ，则由条件知，b ＝6，a ＋c ＝9或a －c ＝9，又b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝36，

故⎩⎪⎨

⎪⎧

a ＋c ＝9a －c ＝4

，∴⎩⎨⎧

a ＝13

2

c ＝5

2

，∴e ＝c a ＝

5

13

.

(理)(2010·北京崇文区)已知点F ，A 分别是椭圆x 2a 2＋

y 2

b 2＝1(a >b >0)的左焦点、右顶点，B (0，b )满足FB →·AB →

＝0，则椭圆的离心率等于( ) A.

3＋12

B.

5－12

C.

3－1

2

D.

5＋12

[解析] ∵FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，FB →·AB →

＝0，

∴－ac ＋b 2＝0，∵b 2＝a 2－c 2， ∴a 2－ac －c 2＝0，∴e 2＋e －1＝0， ∵e >0，∴e ＝

5－1

2

. 7．(2010·浙江金华)若点P 为共焦点的椭圆C 1和双曲线C 2的一个交点，F 1、F 2分别是它们的左、右焦点．设椭圆离心率为e 1，双曲线离心率为e 2，若PF 1→·PF 2→

＝0，则1

e 1

2

＋1

e 22

＝( )A ．2 B. 2 C. 3 D ．3

[解析] 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为a ′，焦距为2c ，则由条件知||PF 1|－|PF 2||＝2a ′，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，将两式两边平方相加得： |PF 1|2＋|PF 2|2＝2(a 2＋a ′2)，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴a 2＋a ′2＝2c 2，∴

1

e 12＋

1

e 22

＝

1

⎝⎛⎭⎫c a 2＋

1

⎝⎛⎭

⎫c a ′2＝

a 2＋a ′2

c 2

＝2.

8．(2010·重庆南开中学)已知椭圆x 24＋y 2

2

＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且倾角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点，以下结论中：①△ABF 1的周长为8；②原点

到l 的距离为1；③|AB |＝8

3

；正确结论的个数为( )A ．3 B ．2 C ．1 D ．0

[解析] ∵a ＝2，∴△ABF 1的周长为|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝8，故①正确； ∵F 2(

2，0)，∴l ：y ＝x －2，原点到l 的距离d ＝|－0－2|

2

＝1，故②正确；将y ＝x －

2代入x 24＋y 2

2

＝1中得3x 2－4

2x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝

4

23

，

∴|AB |＝

1＋12⎪⎪

⎪⎪⎪⎪423－0＝83

，故③正确．

9．(文)(2010·北京西城区)已知圆(x ＋2)2＋y 2

＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线

[解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆． (理)F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋

y 2

b 2

＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

[解析] ∵PQ 平分∠F 1PA ，且PQ ⊥AF 1，∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|PA |，∴|OQ |＝12|AF 2|＝1

2

(|PA |＋|PF 2|)＝a ，∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．

10．)(2010·辽宁沈阳)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13

2，

则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫14，49 B.⎝⎛⎭⎫23，1 C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎝⎛⎭

⎫0，12 [解析] 点B 的横坐标是c ，故B 的坐标⎝

⎛⎭

⎫c ，±

b 2a ，已知k ∈

⎝⎛⎭⎫13，12，∴B ⎝⎛⎭

⎫c ，b 2a .

斜率k ＝

b 2

a

c ＋a ＝

b 2

ac ＋a

2

＝a 2－c 2

ac ＋a 2＝1－e 2e ＋1.由13

3

. (理)(2010·宁波余姚)如果AB 是椭圆x 2a 2＋

y 2

b 2

＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM 的值为( )

A ．e －1

B ．1－e

C ．e 2－1

D ．1－e 2 [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，

由点差法，x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，作差得?x 1－x 2??x 1＋x 2?a 2＝?y 2－y 1??y 2＋y 1?b 2，∴k AB ·k OM ＝

y 2－y 1x 2－x 1·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2＝c 2－a 2

a 2＝e 2－1.故选C. 二、填空题

11．(文)过椭圆C ：x 2a 2＋

y 2

b 2

＝1(a >b >0)的一个顶点作圆x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________．

[解析] 因为∠AOB ＝90°，所以∠AOF ＝45°，所以b a

＝

22

，所以e 2＝c 2a

2＝

a 2－

b 2

a 2

＝1－

b 2a 2＝1

2，即e ＝2

2

. (理)(2010·揭阳市模拟)若椭圆x 2a

2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2无公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．

[解析] 易知以半焦距c 为半径的圆在椭圆内部，故b >c ，∴b 2>c 2，即a 2>2c 2，∴c

a

<

22

. 12．(2010·南充市)已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C

sin B

＝________.