江西省抚州市2021届新高考数学一模试卷含解析

江西省抚州市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知(cos ,sin )a αα=r ，()cos(),sin()b αα=--r ，那么0a b =r r g 是()4k k Z παπ=+∈的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】 由0a b =r rg ，可得cos20α=，解出即可判断出结论．【详解】 解：因为(cos ,sin )a αα=r ，()cos(),sin()b αα=--r 且0a b =r r g22cos cos()sin sin()cos sin cos20ααααααα∴-+-=-==g g ．222k παπ∴=±，解得()4k k Z παπ=±∈．∴0a b =r r g 是()4k k Z παπ=+∈的必要不充分条件． 故选：B ．【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．8113D ．10【答案】D【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．【详解】 解：画出满足条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的平面区域，如图示：如图点坐标分别为()()()0,3,3,1,0,2A B C --，目标函数22x y +的几何意义为，可行域内点(),x y 与坐标原点()0,0的距离的平方，由图可知()3,1B -到原点的距离最大，故()()x 2222ma 0311x y++-==. 故选：D【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．3．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．A ．6B ．4C ．23D ．2【答案】A【解析】【分析】 作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.【详解】根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且2AD AB ==，4BC =， PA ⊥平面ABCD ，且2PA =， ∴22222PB =+=222222PD =+=，22CD =2242026PC PA AC =+=+= ∴这个四棱锥中最长棱的长度是26故选A ．【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题．4．斜率为1的直线l 与椭圆22x y 14+=相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为( ) A ．2B ．45C 410D 810 【答案】C【解析】【分析】设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y ，根据判别式大于0求得t 的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t 的范围求得|AB|的最大值．【详解】 解：设直线l 的方程为y ＝x+t ，代入24x +y 2＝1，消去y 得54x 2+2tx+t 2﹣1＝0， 由题意得△＝（2t ）2﹣1（t 2﹣1）＞0，即t 2＜1．弦长|AB|＝254102t -≤． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．5．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】根据直线平行的等价条件，求出m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】当m=1时，两直线方程分别为直线l 1：x+y ﹣1=0，l 2：x+y ﹣2=0满足l 1∥l 2，即充分性成立， 当m=0时，两直线方程分别为y ﹣1=0，和﹣2x ﹣2=0，不满足条件．当m≠0时，则l 1∥l 2⇒32211m m m --=≠-， 由321m m m -=得m 2﹣3m+2=0得m=1或m=2， 由211m -≠-得m≠2，则m=1， 即“m=1”是“l 1∥l 2”的充要条件，故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.6． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为ABC ．D ．【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n a q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列； （2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.7．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A．⎛ ⎝⎦B．⎫⎪⎪⎝⎭ C．⎛ ⎝⎦ D．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】【分析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.【详解】 因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y y a b+=,所以切线的斜率为2020b x a y -, 由20020021b y b x x a y +⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,解得3022b y b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<,所以3c a >. 故选：D【点睛】本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.8．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）．A．2B．3C．1 D．6【答案】B【解析】【分析】首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长．【详解】解：根据三视图还原几何体如图所示，所以，该四棱锥体的最长的棱长为222l=++=．1113故选：B．【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题．9．若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.【详解】因为，由诱导公式得，所以.故选B【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.10．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（ ） A ．65x π=- B ．3x π=- C ．6x π= D ．3x π=【答案】D【解析】【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性，得出结论．【详解】对于函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令22,3x k k Z ππ+=∈，解得,23k x k Z ππ=-∈， 当1,0,1k =-时，函数的对称轴为65x π=-，3x π=-，6x π=. 故选：D.【点睛】 本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11．设点A ，B ，C 不共线，则“()AB AC BC +⊥u u u r u u u r u u u r ”是“AB AC =u u u r u u u r ”（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】 利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】由于点A ，B ，C 不共线，则()()0AB AC BC AB AC BC +⊥⇔+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()220AB AC AC AB AC AB ⇔+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22AC AB ⇔=⇔u u u r u u u r “AB AC =u u u r u u u r ”；故“()AB AC BC +⊥u u u r u u u r u u u r ”是“AB AC =u u u r u u u r ”的充分必要条件. 故选：C.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.12．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】D【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z 的最大值．【详解】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线0l ：20x y +=在可行域内平移当过点A 时，2z x y =+取得最大值.由34100280x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩得：()2,4A ，max 10z ∴= 故选：D【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，,,A B D 为C 上互相不重合的三点，且||AF uuu r 、||BF uuu r 、||DF uuu r 成等差数列，若线段AD 的垂直平分线与x 轴交于(3,0)E ，则B 的坐标为_______.【答案】(1,2)或(1,2)-【解析】【分析】设出,,A B D 三点的坐标，结合等差数列的性质、线段垂直平分线的性质、抛物线的定义进行求解即可.【详解】抛物线2:4C y x =的准线方程为：1x =-，设112233(,),(,),(,)A x y B x y D x y ，由抛物线的定义可知：11||(1)1AF x x =--=+u u u r ，22||(1)1BF x x =--=+u u u r ，33||(1)1DF x x =--=+u u u r ，因为||AF uuu r 、||BF uuu r 、||DF uuu r 成等差数列，所以有2||BF =u u u r ||DF uuu r ||AF +u u u r ，所以1322x x x +=， 因为线段AD 的垂直平分线与x 轴交于(3,0)E ，所以EA ED =，因此有22111333964964x x x x x x =⇒-++=-++，化简整理得： 131313()(2)0x x x x x x -+-=⇒=或132x x +=.若13x x =，由1322x x x +=可知；123x x x ==，这与已知矛盾，故舍去； 若132x x +=，所以有13212x x x +==，因此2222442y x y ==⇒=±. 故答案为：(1,2)或(1,2)-【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了等差数列的性质，考查了数学运算能力.14．1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________． 【答案】1【解析】【分析】先求f （1），再根据f （1）值所在区间求f （f （1））.【详解】由题意，f （1）=log 3（11–1）=1，故f （f （1））=f （1）=1×e 1–1=1，故答案为：1． 【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.15．()41+x 的展开式中2x 的系数为________________．【答案】6【解析】【分析】在二项展开式的通项中令x 的指数为2，求出参数值，然后代入通项可得出结果.【详解】 ()41+x 的展开式的通项为414r r r T C x -+=⋅，令422r r -=⇒=，因此，()41+x 的展开式中2x 的系数为246C =.故答案为：6.【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，涉及二项展开式通项的应用，考查计算能力，属于基础题. 16．函数()121x x f x e e b x -=---在()0,1内有两个零点，则实数b 的取值范围是________.【答案】()1,1e e --U【解析】【分析】 设12t x =-，11,22t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，设()1122t t g t e e +-=-，函数为奇函数，()1122'0t t g t e e +-=+>，函数单调递增，()()'021g e =<-，画出简图，如图所示，根据()221b e <<-，解得答案.【详解】()1112122x x x x f x e e b x e e b x --=---=---，设12t x =-，11,22t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则12x t =+. 原函数等价于函数11222t t y ee b t +-=--，即11222t t e e b t +--=有两个解. 设()1122t t g t e e +-=-，则()()1122t t g t e e g t -+-=-=-，函数为奇函数.()1122'0t t g t e e +-=+>，函数单调递增，()00g =，112g e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，112g e ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 当0b =时，易知不成立；当0b >时，根据对称性，考虑0x ≥时的情况，()()'021g e =<-，画出简图，如图所示，根据图像知：故()221b e <<-1b e <<-，根据对称性知：()1,1b e e ∈--U.故答案为：()1,1e e --U .【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的转化能力和计算能力，画出图像是解题的关键.三、解答题：共70分。