上海高二数学直线方程经典例题
直线方程综合大题归类高二数学选择性必修第一册)(原卷版)
专题5直线方程综合大题归类目录一、....热点题型归纳【题型一】求直线方程 (1)【题型二】平行线距离 (2)【题型三】解三角形：求边对应的直线方程 (3)【题型四】解三角形三大线：中线对应直线 (3)【题型五】解三角形三大线：高对应直线 (4)【题型六】解三角形三大线：角平分线对应直线 (4)【题型七】最值：面积最值 (5)【题型八】最值：截距与长度 (5)【题型九】叠纸 (6)【题型十】三直线 (7)【题型十一】直线与曲线：韦达定理与求根 (7)【题型十二】直线应用题 (8)培优第一阶——基础过关练 (9)培优第二阶——能力提升练 (10)培优第三阶——培优拔尖练 (11)【题型一】求直线方程【典例分析】（2022·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD 的顶点()0,2A 和()4,6,C AB 所在直线的方程为240x y +-=.(1)求对角线BD 所在直线方程；(2)已知直线l 过点()2,1P ，与直线AB 的夹角余弦值为5，求直线l 的方程.1.（2022·湖南·长沙一中高二开学考试）已知直线1l 的方程为280x y -+=，直线2l 的方程为4310x y +-=.(1)设直线1l 与2l的交点为P ，求过点P 且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程；(2)设直线3l 的方程为10ax y ++=，若直线3l 与1l ，2l 不能构成三角形，求实数a 的取值的集合.2.（2022·全国·高二专题练习）如图，射线OA OB ，与x 轴正半轴的夹角分别为45︒和30︒，过点()10P ，的直线l 分别交OA ，OB于点A B ，．(1)当线段AB 的中点为P 时，求l 的方程；(2)当线段AB 的中点在直线2x y =上时，求l 的方程【题型二】平行线距离【典例分析】（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l 过点()2,3P ，且被平行直线1l ：3470x y +-=与2l ：3480x y ++=所截取的线段长为l 的方程．【变式训练】1.（2022·江苏·高二专题练习）两平行直线1l ，2l 分别过()1,0A ，()0,5B .(1)1l ，2l 之间的距离为5，求两直线方程；(2)若1l ，2l 之间的距离为d ，求d 的取值范围.2.（2022·全国·高二课时练习）已知直线1l 与2l 的方程分别为7890x y ++=，7830x y +-=，直线l 平行于1l ，直线l 与1l 的距离为1d ，与2l 的距离为2d ，且1212d d =，求直线l 的方程．【题型三】解三角形：求边对应的直线方程【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）在等腰Rt ABC △中，90C ∠=︒，顶点A 的坐标为()5,4，直角边BC 所在的直线方程为2360x y +-=，求边AB 和AC 所在的直线方程．1.（2022·全国·高二课时练习）已知在第一象限的ABC 中，()1,1A ，()5,1B ，60A ∠=︒，45B ∠=︒，求：(1)AB 边所在直线的方程；(2)AC 边与BC 边所在直线的方程．2.（2022·江苏·高二专题练习）已知过点(1,1)A 且斜率为(0)m m ->的直线l 与x ，y 轴分别交于P ，Q 两点，分别过点P ，Q 作直线20x y +=的垂线，垂足分别为R ，S ，求四边形PQSR 的面积的最小值．【题型四】解三角形三大线：中线对应直线【典例分析】（2021·江苏·高二专题练习）已知直线1:0l mx y m -+=，2:(1)0l x my m m +-+=，3:(1)(1)0l m x y m +-++=，记122331l l A l l B l l C ⋂=⋂=⋂=，，．（1）当2m =时，求原点关于直线1l 的对称点坐标；（2）在ABC 中，求BC 边上中线长的最小值．1.（2021·湖北·华中师大一附中高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的三个顶点(),A m n ，()2,1B ，()2,3C -.（1）求BC 边所在直线的一般方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为()20x y t t R -+=∈，且ABC 的面积为4，求点A 的坐标.2.（2021·广东·湛江二十一中高二期中）已知ABC 的顶点()0,4A ，()6,0B ，边AB 上的中线CM 的方程为10x y --=，边BC 所在直线的方程为27120x y --=(1)求边AB 所在直线的方程，化为一般式；(2)求顶点C 的坐标.【题型五】解三角形三大线：高对应直线【典例分析】（2022·江苏·高二课时练习）已知ABC 的顶点()1,3A ，AB 边上的中线所在的直线方程为10y -=，AC 边上的高所在直线的方程为210x y -+=.分别求AC ，AB 边所在直线的方程.1.（2021·湖北黄冈·高二期中）在ABC 中，()1,1A -，边AC 上的高BE 所在的直线方程为60x y +-=，边AB 上中线CM 所在的直线方程为4560x y -+=.(1)求点C 坐标：(2)求直线BC 的方程.2.（2020·安徽·合肥市第五中学高二期中（理））已知ABC 的顶点()5,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为210x y --=，AC 的边上的高BH 所在直线方程为250x y = --．(1)求顶点C 的坐标；(2)求直线BC 的方程．【题型六】解三角形三大线：角平分线对应直线【典例分析】（2021·全国·高二课时练习）已知ABC 的一个顶点()2,4A -，且B Ð，C ∠的角平分线所在直线的方程依次是20x y +-=，360x y --=，求ABC 的三边所在直线的方程.1.（2021·全国·高二专题练习）在ABC ∆中，已知(1,1)A ，(3,5)B --.(1)若直线l 过点(2,0)M ，且点A ，B 到l 的距离相等，求直线l 的方程；(2)若直线:260m x y --=为角C 的内角平分线，求直线BC 的方程.2.（2020·上海·高二课时练习）已知：ABC 的顶点(2,3)A 和(1,1),--∠B ABC 的角平分线所在直线方程为320x y --=，求边BC 所在直线方程．【题型七】最值：面积最值【典例分析】（2022·江苏南京·高二开学考试）已知直线l ：20kx y k -++=()R k ∈.(1)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(2)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB 的面积为S （O 为坐标原点），求S 的最小值和此时直线l 的方程.1.（2022·全国·高二课时练习）在直角坐标系中，已知射线:0(0)OA x y x -=≥，过点()3,1P 作直线分别交射线OA 、x 轴正半轴于点A 、B ．(1)当AB 的中点为P 时，求直线AB 的两点式方程；(2)求△OAB 面积的最小值．2.（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 的方程为()()()120R 1a x y a a a ++--=∈≠-.(1)若直线l 与两坐标轴所围成的三角形为等腰直角三角形，求直线l 的方程；(2)若1a >-，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取得最小值时直线l 的方程.【题型八】最值：截距与长度【典例分析】（2022·河南省叶县高级中学高二阶段练习）一条直线经过点()3,4P ．分别求出满足下列条件的直线方程．(1)与直线250x y -+=垂直；(2)交x 轴、y 轴的正半轴于A ，B 两点，且PA PB ⋅取得最小值．【变式训练】1.（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）在平面直角坐标系中，点()2,3A ，()1,1B ，直线:10l x y ++=.(1)在直线l 上找一点C 使得AC BC +最小，并求这个最小值和点C 的坐标；(2)在直线l 上找一点D 使得AD BD -最大，并求这个最大值和点D 的坐标.2.（2022·全国·高二课时练习）已知()2,1P -．(1)若直线l 过点P ，且原点到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．(2)是否存在直线l ，使得直线l 过点P ，且原点到直线l 的距离为6？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【题型九】叠纸【典例分析】（2022·全国·高二单元测试）如图，OAB 是一张三角形纸片，∠AOB ＝90°，OA ＝1，OB ＝2，设直线l 与边OA ，AB 分别交于点M ，N ，将△AOB 沿直线l 折叠后，点A 落在边OB 上的点A '处．(1)设OA m '=，试用m 表示点N 到OB 的距离；(2)求点N 到OB 距离的最大值．1.（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，边AB ､AD 分别在x 轴､y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合，将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上，若折痕所在直线的斜率为k ，则折痕所在的直线方程为__________.2.（2021·安徽·桐城市第八中学高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合，如图所示．将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上．（1）若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程；（2）在（1）的条件下，若108k -≤≤时，求折痕长的取值范围．【题型十】三直线【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）平面上三条直线250x y -+=，10x y ++=，0x ky -=，如果这三条直线将平面划分为六个部分，求实数k 的所有可能的取值．【变式训练】1.（2022·江苏·高二课时练习）已知三条直线12:20(0),:4210l x y a a l x y -+=>-++=和3:10l x y +-=，且1l 与2l 的距离是7510．(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使同时满足下列三个条件：①点P 是第一象限的点；②点P 到1l 的距离是点P 到2l 的距离的12；③点P 到1l 的距离与点P 到3l 25若能，求点P 的坐标；若不能，请说明理由．【题型十一】直线与曲线：韦达定理与求根【典例分析】（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中（理））已知动点P 与两个顶点(0,0)O ，(3,0)A 的距离的比值为2，点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的轨迹方程;(2)过点(0,3)B -且斜率为k 的直线l ，交曲线C 于、N 两点，若9OM ON ⋅=，求斜率k 【提分秘籍】基本规律1.直线与曲线有两个交点，则可以连立方程，消去一个变量后的一元二次方程有两个根。
高二数学直线方程试题答案及解析
高二数学直线方程试题答案及解析1.求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程.【答案】.【解析】先根据所求直线与直线垂直求出所求直线的斜率，然后设出切点，由，计算出的值，接着计算出的值，最后可写出切线的方程：，并化成一般方程即可.试题解析：因为直线的斜率为，所以垂直于直线并且与曲线相切的直线的斜率为设切点为，函数的导数为所以切线的斜率，得代入到得，即∴所求切线的方程为即.【考点】1.两直线垂直的判定与性质；2.导数的几何意义.2.已知直线,，则它们的图像可能为( )【答案】D【解析】由直线l1：ax-y+b=0，l2：bx-y-a=0，可得直线l1：y=ax+b，l2：y=bx-a．分类讨论：a＞0，b＞0；a＜0，b＞0；a＞0，b＜0；a＜0，b＜0．根据斜率和截距的意义即可得出．【考点】直线的一般方程.3.过两直线和的交点且与直线平行的直线方程为。
【答案】【解析】联立和，即可解得交点P．设过点P且与直线3x+y-1=0平行的直线方程为3x+y+m=0．把点P代入可得m即可．【考点】直线的一般方程和平行关系.4. .若<α<2π,则直线+=1必不经过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】判断出cos α>0,sinα<0,由直线方程截距式知直线过一、三、四象限.故选B.【考点】根据角的象限判断三角函数符号，直线的图像问题5.点(a，b)关于直线x+y=0对称的点的坐标是【答案】【解析】设对称点为，则有，解得，所以所求点为【考点】点关于线的对称点6.已知直线经过直线2x＋y－2＝0与x－2y+1＝0的交点，且与直线的夹角为，求直线的方程．【答案】，或【解析】属于点斜式求直线方程，先求交点即直线经过的点，在求其斜率。
由直线可知这条直线斜率为故此求这条直线的倾斜角，从而求出所求直线的倾斜角，再根据斜率的定义求斜率，最后根据点斜式写出直线方程即可。
高二数学 上学期直线的方程例题(三)
高二数学 上学期直线的方程例题〔三〕［例1］一直线l 经过点P (－4,3),分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，且使AP ：PB =5：3,求直线l 的方程.选题意图：考查直线的截距式方程.解：设直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为点(a ,0)、点B (0,b )，那么直线l 的方程是by a x +=1， ,∵P 点的坐标为(－4,3),且AP ：PB =5：3， ∴⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+-=+⨯+33513504351035b a 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=524332b a ∴直线l 的方程是524532y x +-=1, 整理化简得9x －20y +96=0,说明：此题也可用点斜式求l 的方程.［例2］一根弹簧，挂5公斤的物体时，长10cm ，挂8公斤的物体时长16cm ，弹簧长度l (cm)和所挂物体的重量W (公斤)的关系可以用直线方程来表示，用两点式表示这个方程，并且根据这个方程，求弹簧长为12cm 时所挂物体的重量.选题意图：考查直线方程的应用.解：以Ｗ为横坐标l 为纵坐标，那么由题知直线过(5，10)点和(8，16)点，由直线的两点式方程得所求直线方程为：585101610--=--W l 把l =12代入得58510161012--=--W ∴Ｗ＝6.即弹簧长为12cm 时所挂物体的重量为6公斤.说明：把应用问题“数学化〞是解决应用题的关键.［例3］求通过点(－2,2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为1的直线方程.选题意图：考查直线截距式方程的应用. 解：设所求直线方程为1=+by a x ∵点(－2,2)在直线上，且与两坐标轴围成的三角形的面积为1.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+-∴1||||21122b a b a 解之得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=12 21b a b a 或故所求直线方程为－x －2y ＝1或2x +y =1, 即2x+y +2=0或x +2y －2=0.说明：直线与坐标轴围成的三角形的面积问题常用截距式.。
直线与方程练习题高二
直线与方程练习题高二直线与方程是高二数学中的重要内容，掌握直线与方程的相关知识对于解决各种问题具有重要作用。
下面是一些直线与方程的练习题，帮助你巩固相关知识点。
题目一：已知直线L1过点A(-1, 3)和点B(5, -1)，直线L2垂直于直线L1且过点B，求L2的方程。
解析：直线L1的斜率为：m1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (-1 - 3)/(5 - (-1)) = -1直线L2的斜率为直线L1的斜率的倒数，即：m2 = -1/m1 = -1/-1 = 1直线L2通过点B(5, -1)，带入直线方程y = mx + b中，可得：-1 = 1*5 + bb = -6所以直线L2的方程为：y = x - 6题目二：已知直线L1过点C(2, 3)和点D(4, 7)，直线L2平行于直线L1且通过点D，求L2的方程。
解析：直线L1的斜率为：m1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (7 - 3)/(4 - 2) = 2直线L2为平行于直线L1，故斜率也为2，直线L2通过点D(4, 7)，带入直线方程y = mx + b中，可得：7 = 2*4 + bb = -1所以直线L2的方程为：y = 2x - 1题目三：已知直线L1经过点E(2, -1)和点F(6, 5)，直线L2与直线L1垂直且过点E，求L2的方程。
解析：直线L1的斜率为：m1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (5 - (-1))/(6 - 2) = 1直线L2的斜率为直线L1的斜率的倒数，即：m2 = -1/m1 = -1/1 = -1直线L2通过点E(2, -1)，带入直线方程y = mx + b中，可得：-1 = -2 + bb = 1所以直线L2的方程为：y = -x + 1题目四：已知直线L1经过点G(3, 2)和点H(7, 6)，直线L2与直线L1平行且通过点H，求L2的方程。
解析：直线L1的斜率为：m1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (6 - 2)/(7 - 3) = 1直线L2为平行于直线L1，故斜率也为1，直线L2通过点H(7, 6)，带入直线方程y = mx + b中，可得：6 =7 + bb = -1所以直线L2的方程为：y = x - 1通过以上练习题，可以看出掌握直线与方程的相关知识对于解题非常关键。
高二数学下11.1《直线的方程》测试(1)沪教版
直线的方程总分一二三得分阅卷人一、选择题 ( 共 52题，题分合计260 分)x y1.直线2 3＝－ 1在y轴上的截距是A.2B.3C.－2D.－32.直线 l 过点 M〔－1，0〕，并且斜率为1，那么直线 l 的方程是A. x＋y＋ 1＝ 0B. x－y＋ 1＝ 0C. x＋y－ 1＝0D. x―y― 1＝ 03.下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是A. x=3B.y=－5y=x D.x=4y－14. 直线l过 ( a,b ) 、 ( b,a ) 两点，其中a与b不相等，那么3A. l与x轴垂直B.l 与 y轴垂直C.l 过一、二、三象限D.l 的倾斜角为 4 π5.假设 ac＞0且 bc＜0，直线 ax+by+c=0不通过A. 第三象限B.第一象限C.第四象限D.第二象限6.直线的方程是指A. 直线上点的坐标都是方程的解B.以方程的解为坐标的点都在直线上C. 直线上点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都在直线上D.以上都不对7.定点 P1〔3，5〕，P2〔－1，1〕，Q〔4，0〕，点 P分有向线段P1P2所成的比为3，那么直线 PQ的方程是A. x＋ 2y－ 4＝x＋y－8＝0 C.x－2y－4＝0x－ y－8＝0用心爱心专心8.ABC 中，点A 4, 1 ,AB的中点为M3,2 ,重心为P4,2 ,那么边BC的长为9. 直线kxy13k,当k变动时，所有直线都通过定点A. 〔 0，0〕B.〔 0， 1〕C.〔3， 1〕D.〔 2， 1〕10.如果A C0 且 B C0 ，那么直线 Ax By C不通过A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.如果两直线x1m y2m,2mx 4 y16重合，那么A. m 1B.m 2C.m 1 或 2D.m2x1t cos(3)：23y2t sin()0212.直线〔其中 t 为参数，2〕的倾角为A. B. 2C.2D.213. 点A 3, 4和 B 12, 7, 点C在直线AB上 , 且AC:AB 1: 3 ,那么点 C 的坐标是A.(6,5)B.(9,6)或 (6,5)C.(0,3)或 (6,5)D.(0,3)或(9,6)14.以下各方程表示的图形是一条直线的是A. lg x lg y 1B.( x y)21C. tg (x y) 1 〔 0 <x y<〕x 2y 2D. x1y15. 直线过点( 3, 4), 且在两坐标轴上的截距之和为12, 那么直线方程为A. 4xy160或x3y90C. 4xy160或x3y90B.D.4 x y160或x3y904 x y160或x3y9016. 直线l的方程为AxBy C 0且 A B <0,B C<0,那么l通过A. 第一 ?二 ?三象限 ,B.第一 ?三 ?四象限C. 第一 ?二 ?四象限 ,D.第二 ?三 ?四象限17.一直线在 y轴上的截距为10，且原点到它的距离为8，其方程为A. 4 x-3 y-40=0B. 3x-4 y+40=0C. 4x+5y-40=0D. 5x-4 y-40=0用心爱心专心18. 对于直线9xy a 0(a0)，以下结论正确的选项是A. 恒过定点，且斜率和纵截距相等，B. 恒过定点，且横截距恒为定值，C. 恒过定点，且为不与x 轴垂直的直线，D.恒过定点，且与 x 轴平行的直线19. 以下说法中不正确的选项是A. 点斜式 yy k ( x x 1)适用于不垂直于 x 轴的任何直线1=B. 斜截式ykxb适用于不垂直于 x 轴的任何直线y y 1 x x 1C. 两点式 y 2 yx 2 x 1适用于不垂直于 x 轴和 y轴的任何直线1xy 1 D. 截距式 ab适用于不过原点的任何直线20. 假设方程 Ax +By +C =0表示直线，那么必然有A. 、 、 不全为 0B.、 不全为 0A B C A BC. 、 、C 都不为 0 D.、 都不为 0A BA B21. 如果方程 Ax +By +C =0表示的直线是 y 轴，那么系数 A 、 B 、 C 满足A. BC =0B.A ≠ 0 C. BC =0且 A ≠ 0 D.A ≠ 0且B =C =022. 直线 l 1的方程为 Ax +3y +C =0，直线 l 2的方程为 2x － 3y +4=0，假设 l 1、 l 2的交点在 y 轴上，那么C 的值为A.4B.－ 4 C. ± 4 D. 与 A 有关23. 两条直线 2x +3y － m =0和x － my +12=0的交点在 x 轴上，那么 m 的值是A.24B.6C.－ 24 D.－ 624. 直线 x +a 2y +6=0和直线 ( a － 2) x +3ay +2a =0没有公共点，那么 a 的值是A. =3B.a =0 C. a =－ 1 D.=0或－ 1aa25. 假设直线 l 1、 l 2的方程分别为 A 1x ＋ B 1y ＋ C 1＝ 0、 A 2x ＋ B 2y ＋C 2 ＝0， l 1与 l 2只有一个公共点，那么A 1A 2A 1B 1 A. 1 1－2 2＝ 0B. 1 2－2 1≠ 0C.B 1B 2D.A 2B 2A B A B A B A B26. 两条直线 2x －my +4=0和2mx +3y － 6=0的交点位于第二象限，那么 m 的取值范围是333 3A. － 2 ≤m ≤ 2B.－ 2 ＜ m ＜ 2C.－ 2 ≤ m ＜ 2 D.－ 2 ＜ m ≤ 227. 直线 3x － 2y+a =0与直线 ( a 2－ 1) x +3y +2－ 3a =0的位置关系是用心 爱心 专心A. 相交B.平行C.垂直D.相交或平行28.以下结论正确的选项是A. 直线Ax+By+C=0有横截距B.直线Ax+By+C=0有纵截距C. 直线Ax+By+C=0既有横截距又有纵截距D.以上都不正确29. 直线l的参数方程为x3t2ty68t〔 t 为参数〕，那么直线 l 的点斜式方程是A. y=4x+24B.y=4x+6C.y－6=4( x+3)D.y+6=4( x－3)30.假设方程 Ax+By+C=0表示与两条坐标轴都相交的直线，那么A0A0B0A0A. B0B.0C.D.B C CC031.直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,假设 l 过原点和二、四象限，那么CC0C0C0 0A. B. B C.0D.B 0B0AB AA032.两条直线 nx－my－mn=0与 mx－ny－mn=0( m≠0, n≠0)的图形可能是以下图中的33.过 ( x1，y1) 和 ( x2，y2) 两点的直线的方程是y y1x x1A .y1x2x1y2y B .y2C.( y2D .( x2y1x x1y1x1x2y1 )( x x1 )( x2x1 )( y y1 ) 0 x1 )( x x1 )( y2y1 )( y y1 ) 034. 直线++ =0(≠0) 在两坐标轴上的截距相等，那么a、 b、c 满足的条件是ax by c abA.a=b B.｜｜ =｜｜ C.且=0 D.c=0或≠0且a=ba b a=b c c35.直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,假设 l 过一、二、三象限，那么C C C C C C C A. A ＞0，－ B ＜0 B. A ＞0, B ＜0 C. B ＜0 D.－A＞0,－B＞0用心爱心专心36.假设直线 l 的横截距与纵截距都是负数，那么A. l的倾斜角为锐角且不过第二象限B.l 的倾斜角为钝角且不过第一象限C. l的倾斜角为锐角且不过第四象限D.l 的倾斜角为钝角且不过第三象限37.在 x轴上的截距是2，在 y轴上的截距是－2的直线的方程是x yB.x yC.x yD.x yA .121212122222 38.直线 ax+by=1( ab≠0)与两坐标轴围成的面积是1111A. 2ab B.2｜ ab｜ C.2ab D. 2 | ab |39.过点 (5 ， 2) ，且在x轴上的截距 ( 直线与x轴交点的横坐标 ) 是在y轴上的截距的 2倍的直线方程是A.2 x+y－x+y－12=0或2x－5y=0 C.x－2y－1=0 D.x+2y－9=0或2x－5y=040.集合 A=｛直线的斜截式方程｝，集合 B=｛一次函数的解析式｝，那么集合 A、 B间的关系是A. A=B B C.B A D.以上都不对41.直线 3x+2y+6=0的斜率为k，在y轴上的截距为b, 那么有3333A. k=－2 , b=3B.k=－2, b=－2C.k=－2, b=－3D.k=－2, b=－342. 直线Ax＋By－ 1＝0在y轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线3x－y＝33的倾斜角的 2倍，那么A. A＝3，B＝ 1 B.A＝－3，B＝－ 1 C.A＝3，B＝－ 1 D.A＝－3，B＝143.假设直线 Ax＋ By＋C＝0通过第二、三、四象限，那么系数 A、 B、C需满足条件A. 、、同号B.＜0，＜ 0C.＝0，＜0D.＝ 0，＜0A B C AC BC C AB A BC44.设 O为坐标原点，过点 A r cos, r sin〔其中r0〕并垂直于直线 OA的直线方程为A.x cos y sin r0B.y xtgC.x y r sin cos0D. xtg y2r sin045.当为第四象限角时，两直线x sin y 1 cos a0 和 x y 1cosb0的位置关系是A. 平行B.垂直C.相交但不垂直D.重合用心爱心专心46. 两点 A 1,3、B1,5，在直线 2x 3y 1上有一点 P ，使PAPB，那么 P点的坐标是8 , 71 , 3 2, 1 D 〕 5,0 A. 5 5B.5 5C.47. 直线 4 +6 -9=0 夹在两坐标轴之间的线段的垂直平分线是l ，那么 l 的方程是xyx -16yx -16 y x +16 y +15=0+16 -15=0x y48. 点 是直线l :2 - y -4=0 与 轴的交点，把直线 l 绕点 依逆时针方向旋转 45°，得到的直MxxM线方程是A . 3 x +y -6=0B. 3x - y +6=0C.x +y -3=0D.x -3 y -2=049. 过点 P 0( x 0,y 0 )且与直线Ax ByC垂直的直线方程为A. Bx Ay Bx 0 Ay 0 0B. Bx Ay Bx 0 Ay 0 0C.Bx Ay Bx 0 Ay 0 0D.Bx Ay Bx 0Ay 050. 过点 A (1,2) 作直线 l ，使它在 x 轴， y 轴上的截距的绝对值相等，那么满足条件的直线有 A. 一条B.两条C.三条 D.不存在51. 设 A 、 B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 2，且｜ PA ｜＝｜ PB ｜，假设直线 PA 的方程为 x － y ＋ 1＝ 0，那么直线 PB 的方程是A.2 y －x －４＝ 0x － y － 1＝ 0C.x ＋y － 5＝ x ＋ y － 7＝ 052. 直线2x 3y6关于直线x对称的直线方程为A. 2x 3y 6 0B. 2 x 3y 6 0C. 2 x 3y 6 0D. 2x 3 y 6 0得分阅卷人二、填空题 ( 共 11 题，题分合计 48 分 )1. 数轴上 P 1 P 2 1, PP 22, 那么点 P 分 P 1 P 2 所成的比是 ________.用心爱心专心2. 在原点 O 和点 A 〔 1，1〕的连线的左侧， 以OA 为一边作正三角形 OAB ，那么点 B 的坐标为________.3. 方程 xy 1 2所表示的直线而构成的图形的面积为________.4. 定点 A 〔 0，1〕，点 B 在直线 x+y=0上运动，当线段 AB 最短时，点 B 的坐标是.5. 给定三点 A (1,0) ， B (-1,0) ， C (1,2) ，那么通过点 A 并且与直线 BC 垂直的直线方程是 _______.56. 经过点 (2 ， 1) 且倾斜角的余弦值是 13 的直线方程是.7. P (3 ， m ) 在过 M (2 ，－ 1) 和 N ( －3,4) 的直线上，那么 m 的值是 .8. 纵截距为－ 4, 与两坐标轴围成三角形的面积为20的直线的一般式方程为 .9. 一根铁棒在 30℃时长，在 60℃时长，长度 l (m) 和温度 t 〔℃〕的关系可以用直线方程来表示，那么这根铁棒在 90℃时的长度为，当铁棒长为 时的温度是.10. 将直线 y =－ 3( x － 2) 绕点 (2 ， 0) 按顺时针方向旋转 30°所得直线的方程是 .11. 某房地产公司要在荒地 ABCDE (如下图 ) 上划出一块长方形地面( 不改变方位 ) 建造一幢 8 层楼公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大?并求出最大面积2( 精确到 1m).得分阅卷人三、解答题 ( 共 25 题，题分合计 204 分)31.过原点作一条直线，使它与直线 ， 围成的三角形面积为2 面积单位，求x - y +12=0 2x +y +9=0这条直线的方程 .用心 爱心 专心2.直线 l 过点 p(3,2)，且与 x轴， y轴的正半轴分别交于 A、B两点，求△ AOB面积最小时 l 的方程 .3.求经过〔 3 -4〕，且横纵截距相等的直线方程.P4.直线 L经过〔3-2 〕点，且和轴，轴正方向所围成的三角形的面积为4〔平方单位〕，M XY求 L的方程.5.求过直线 4x－2y－ 1=0与直线x－ 2y+5=0的交点且与两点P1〔 0，4〕、P2(2,0) 距离相等的直线方程 .6.求直线 x－ y－2=0关于直线3x－ y+3=0对称的直线方程.7.直线 l 在 y轴上的截距为－3,且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程 .8.直线 l 与直线3x+4y－7=0的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线 l的方程 .9.△ ABC的三个顶点为 (0 ，4)、 ( － 2,6) 、 (8 ，2) ，求此三角形各边上中线所在直线的方程.A B C10.过点 (4 ，－ 3) 的直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等，求直线l 的方程.11.直线 l 过点(1，2)和第一、二、四象限，假设直线l的横截距与纵截距之和为 6，求直线l的方程 .12.在ABC中， BC边上的高所在直线的方程为x 2 y 1 0,A的平分线所在直线的方程为y0,如果点 B的坐标为〔 1，2〕，求边长的长 .BC13.直线l : y 4x和点 P〔6，4〕，在直线l上求一点 Q，使过 PQ的直线与直线l及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小.14.直线 l 1 : x 3y10 0,l 2 : 2x y 80，定点p(0,1)，直线 l 过点p和 l1 , l 2分别交于A, B两点，且p是线段 AB 的中点，求直线l的方程 .15.△ ABC的顶点B(3,4)， AB边上的高 CE所在直线方程为2x+3y-16=0， BC边上的中线 AD所在直线方程为 2x-3 y+1=0，求AC的长 .16.使三条直线 4x+y=4, mx+y=0,2 x－ 3my=4不能围成三角形的m值最多有几个 ?17.一直线被两直线 l 1：４ x＋ y＋6＝0， l 2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程 .18.点 P( x1, y1)在直线 l : Ax+By+C=0( B＜0)的上方，求证： Ax1＋ By1＋ C＜0.19.一直线 l 经过点 P(-4,3),分别交 x轴、 y轴于 A、 B两点，且使 AP： PB=5：3,求直线 l 的方程.用心爱心专心20. 一根弹簧，挂5公斤的物体时，长10cm，挂 8公斤的物体时长16cm，弹簧长度l (cm)和所挂物体的重量W(公斤)的关系可以用直线方程来表示，用两点式表示这个方程，并且根据这个方程，求弹簧长为12cm时所挂物体的重量.21.设同在一条平面上的动点 P、 Q的坐标分别是x, y、X ,Y，并且坐标间存在关系 ,X 3x 2 y 1,Y 3x 2 y 1,当动点 P不在平行于坐标轴的直线l上移动时，动点 Q在这条直线l垂直且通过点2,1的直线上移动，求直线l的方程.22.假设 m R ，那么直线(2m1)x(m3) y(m11)0是否恒过定点，假设过请求出定点的坐标 . 假设不过，请说明理由.23. 过点P(2 ， 1〕作直线l交x，y正半轴于AB两点，当｜PA｜·｜PB｜取到最小值时，求直线l 的方程 .24.过原点 O的一条直线与函数 y＝log８ x的图象交于 A、B两点，分别过点 A、 B作 y轴的平行线与函数 y＝log2x的图象交于 C、 D两点.(1) 求证点C、D和原点O在同一条直线上 .(2) 当BC平行于x轴时，求点A的坐标 .25. 一直线l被两平行线 3x＋４y－ 7＝ 0和 3x＋４y＋８＝ 0所截线段长为 32，且l过点(2，3) ，求l的方程 .用心爱心专心直线的方程答案一、选择题 ( 共 52 题，合计 260 分 )1.B2. B3. B4. 6. C7. A8.A 9. C 10. C 11. D 12. C13. C14. C15. C16. A17. B19. D20. B21. D22. B 23. C24. D25. B26. B27. A28. D29. C31. D33. C34. D35. B38. D39. D40. B41. C43. A45. C 46. A47. B48. A49. B50. C51. C52. B二、填空题 ( 共 11 题，合计48 分 )31.21 3 , 13222.3. 8( 1 , 1)2 24.5.x y 106.12 x－ 5y－ 19=07.－ 28.2 x－5y－ 20=0或 2x+5y+20=09.10.52 ｍ； 45℃ .10.x =25011. P(5 ，3 ) ,6017 ｍ2三、解答题 ( 共 25 题，合计204 分 )y 23x或 y 1 x1.所求的直线方程为2522.直线l的方程为2x3 y12 0y 4 xx y 103.34.2x y 405.3 x－2y+1=0和4x+2y－ 15=06.7 x+y+22=037.y =±4x－38.3 x+4y±24=0.9.x +3y－14=0, x+2y－10=0, y=410.x －y－7=0或x+y－1=0或3x+4y=0.11.2 x+y-4=0 和x+y-3=0.12.4 513.Q 〔2， 8〕14.x 4y 4 0AC(5 1) 2(2 1) 21715.16.417.直线 l 的方程为 x＋6y＝0.18.见注释19.9 x-20 y+96=020.弹簧长为 12cm时所挂物体的重量为 6公斤21.3x y 12 0 或 x 2 y 18 0.22.过定点(2, 3)23.直线 l 的方程为： x＋ y－3＝024. A坐标为 (3，log ８3).25. x－7y＋ 19＝0或 7x＋y－ 17＝ 0.。
高二数学直线方程试题答案及解析
高二数学直线方程试题答案及解析1.已知直线l经过点P(-2,1)（1）若直线l的方向向量为(-2,-1)，求直线l的方程；（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求此时直线l的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或x+y+1=0【解析】（1）已知直线的方向向量利用方向向量设方程时可设为：,然后根据直线过点P(-2,1)来得直线方程.（2）可先设直线的斜率，然后表示直线方程；根据直线方程来表示直线在两坐标轴上的截距，根据截距相等列出方程即可.试题解析：（1）直线斜率为得（2）或x+y+1=0.【考点】函数及其性质的应用.2.如图，已知长方形的两条对角线的交点为，且与所在的直线方程分别为．（1）求所在的直线方程；（2）求出长方形的外接圆的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知条件推导出，设所在的直线方程为，由到的距离和到的距离相等，能求出所在的直线方程．（2）由，得，从而得到，由此能求出长方形的外接圆的方程．试题解析：（1）由于，则由于，则可设直线的方程为：，又点到与的距离相等，则，因此，，或（舍去），则直线所在的方程为．（2）由直线的方程解出点的坐标为，则即为长方形的外接圆半径. 故长方形的外接圆的方程为．【考点】圆的标准方程；直线的一般式方程．3.如图，已知长方形的两条对角线的交点为，且与所在的直线方程分别为．（1）求所在的直线方程；（2）求出长方形的外接圆的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知条件推导出，设所在的直线方程为，由到的距离和到的距离相等，能求出所在的直线方程．（2）由，得，从而得到，由此能求出长方形的外接圆的方程．试题解析：（1）由于，则由于，则可设直线的方程为：，又点到与的距离相等，则，因此，，或（舍去），则直线所在的方程为．（2）由直线的方程解出点的坐标为，则即为长方形的外接圆半径.故长方形的外接圆的方程为．【考点】圆的标准方程；直线的一般式方程．4.直线与两坐标轴围成的三角形面积等于__________.【答案】【解析】令，则，令，则，所以【考点】求直线的横纵截距5.光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射，这时反射光线恰好过点,求所在直线的方程及点的坐标．【答案】直线方程为：；.【解析】试题分析:先求出点关于轴的对称点,然后根据直线两点式方程求出的直线方程为.试题解析：点关于轴的对称点.因为点在直线上，，所以的直线方程为：.化简后得到的直线方程为：.【考点】直线方程.6.过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 .【答案】或.【解析】直线的截距式中要求截距不为0，而直线的截距相等进可以全为0，因此本题应该分类讨论，截距不为0时，设直线方程为，把点（1，2）坐标代入，解得；截距为0时，设直线方程为，把点（1，2）坐标代入，解得，∴满足题意的直线有两条：或.【考点】直线的截距及截距式方程.7.已知直线不通过第四象限，则的取值范围是 ________.【答案】【解析】∵直线不过第四象限,所以①，解之得；②，综上所述a的取值范围是.【考点】直线的一般式方程.8.已知直线过点（0，7），且与直线平行，则直线的方程为（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】根据两直线平行斜率相等，设过P与直线l平行的直线方程是 y=-4x+m把点P（0，7）代入可解得 m，从而得到所求的直线方程解：设过P与直线l平行的直线方程是y=-4x+m，把点P（0，7）代入可解得 m=7，故所求的直线方程是y=-4x+7．故选C【考点】直线方程点评：本题考查根据两直线平行和垂直的性质，利用待定系数法求直线方程的方法9.已知直线方程为,且在轴上的截距为,在轴上的截距为，则等于（）A．3B．7C．10D．5【答案】A【解析】因为直线方程为，所以令，得令，得所以【考点】本小题主要考查直线在两坐标轴上的截距的求法，考查学生的运算能力.点评：注意直线在坐标轴上的截距与距离不同，截距可正可负也可以为零.10.一束光线通过点射到轴上，再反射到圆上，求反射点在轴上的横坐标的活动范围（）A．（0，1 ）B．（1-2，0）C．（1-2，1）D．（1，2-1）【答案】C【解析】因为根据求出点关于x轴的对称点M′，利用反射光线过M′与圆心，即可求得直线方程；A的取值范围是反射后射到圆，临界状态时的取值范围．利用圆心到直线的距离等于半径，从而可求得临界状态时反射光线的方程，进而可求A的活动范围（1-2，1），选C11. .过点(2,1)且与直线平行的直线方程是_______.【答案】【解析】设所求直线3x+4y+m=0，因为此直线过点(2,1)，所以,所以所求直线方程为.12.在等腰中,,顶点为直线与轴交点且平分,若，求（1）直线的方程；（2）计算的面积.【答案】（1）；（2）【解析】第一问中利用等腰中,,，顶点为直线与轴交点且平分,可知两点关于直线对称，利用方程组很容易得到。
上海高二数学直线的点方向式方程
直线的点方向式方程一、直线的点方向式方程：已知：直线l 过点()00,y x P ，且与非零向量(d =求：直线l 上任意一点()y x Q ,满足的关系式？①，当0,0≠=v u 时，方程可化为什么形式？②，当 0,0=≠v u 时，方程可化为什么形式？○3、当0,0≠≠v u 时，方程可化为什么形式？注意：我们把___________________________叫做直线的方向向量；我们把___________________________叫做直线l 的点方向式方程思考：它能够表示所有的直线吗？形式的特点？需要哪些量？如果忘记了，怎么办？二、例题分析例题1：观察下列直线方程，并指出各直线必过的点和它的一个方向向量？② 4533+=-y x ③1=x ② ()()6744-=--y x ④2-=y例题2：已知点()()1364--，，，B A 和()54-，C ，求经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程？ （问：过点B 与AC 平行的直线）变式1：求经过点B 、C 两点的直线l 的点方向式方程？变式2：求 ABC ∆中，平行于BC 边的中位线MN 所在直线的点方向方程？直线的点方向式练习1、已知直线l 的方程是013125=+-y x ，给出点()()2,2,6,17---B A 则有（ ）(A)A 在l 上，B 不在l 上 (B) A 在l 上，B 也在l 上(C)A 不在l 上，B 在l 上 (D) A ，B 都不在l 上2、若直线l 过点（7，8）且以直线4231-=-y x 的一个方向向量的2倍为方向向量，则直线l 的方程为 （ ） (A) 4837-=-y x (B)6887-=-y x (C)8867-=-y x (D) 816641-=-y x 3、直线l 过点(-1,-2),(3,1)则方程①：3241+=+y x 方程②：3143-=-y x 方程③：37411-=-y x 方程④：6183-=-y x 中可以作为直线l 的方程是 （ ） (A)①② (B) ①②③ (C) ①②④ (D) ①②③④4、四个向量()()()()1,1,1,0,0,1,0,44321-=-=-==d d d d 中是直线01=+y 的方向向量的个数为 （ ）(A)0 (B)1 (C)2 (D)35、求过点P 且与向量d 平行的直线l 的点方向式方程：⑴()()4,3,5,3=-d P⑵()()4,3,3,0-=d P6、求经过A ，B 两点的直线l 的点方向式方程：⑴()()7,3,2,3---B A ⑵()()4,2,3,0B A7、若A （1，6），B （-1，-2），C （6，4）是三角形三个顶点，求AB 边上的中线所在直线方程。
高二直线方程练习题
高二直线方程练习题1. 梯度法直线的梯度是指直线在坐标系中上升或下降的程度，即直线的斜率。
求直线的梯度需要知道直线上两个点的坐标，并使用斜率公式来计算。
下面以两个点A(x1, y1)，B(x2, y2)为例，来求直线AB的梯度：斜率公式：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)2. 截距法直线的截距是指直线与坐标轴的交点在坐标轴上的坐标值。
通过截距可以直接求出直线的方程。
下面以直线与x轴和y轴的截距分别为a和b的情况为例，来求直线的方程：与x轴的交点为(x, 0)，而与y轴的交点为(0, y)。
直线与x轴的截距为a，即x = a，对应的点为(a, 0)。
直线与y轴的截距为b，即y = b，对应的点为(0, b)。
直线的方程为：y = mx + c，其中m为斜率，c为常数，代入直线与x轴交点的坐标可以得到c的值。
3. 向量法直线还可以用向量来表示，通过向量法可以更直观地求出直线的方程。
定义两个向量A(x1, y1)和B(x2, y2)。
直线上的任意一点P(x, y)，则向量PA为A到P的向量，向量PB为B到P的向量。
如果向量PA与向量PB共线（即方向相同或相反），则直线上的点P满足以下向量方程：PB = k * PA，其中k为一个实数。
将向量的坐标形式代入上述向量方程，得到直线的方程。
4. 解析法解析法是利用数学中的线性方程求解的方法，具体包括点斜式、两点式、一般式等。
（1）点斜式直线通过一点A(x1, y1)，且斜率为m，则直线的方程为：y - y1 =m(x - x1)（2）两点式直线通过两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则直线的方程为：(y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1)（3）一般式直线的一般式方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
通过梯度法、截距法、向量法或解析法，我们可以根据问题的具体要求和给定的条件求解直线的方程。
高二数学直线方程试题答案及解析
高二数学直线方程试题答案及解析1.已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．【答案】（1）y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0；（2）.【解析】（1）圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，再分类讨论，设出切线方程，利用直线是切线建立方程，即可得出结论；（2）先确定P的轨迹方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可.试题解析：(1)将圆C配方得：(x＋1)2＋(y－2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得：y＝(2±)x.②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.故切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)由|PO|＝|PM|，得：＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2⇒2x1－4y1＋3＝0.即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，当|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l.∴直线OP的方程为：2x＋y＝0.解方程组得P点坐标为.【考点】直线和圆的方程的应用．2.已知直线,，则它们的图像可能为( )【答案】D【解析】由直线l1：ax-y+b=0，l2：bx-y-a=0，可得直线l1：y=ax+b，l2：y=bx-a．分类讨论：a＞0，b＞0；a＜0，b＞0；a＞0，b＜0；a＜0，b＜0．根据斜率和截距的意义即可得出．【考点】直线的一般方程.3.已知的顶点，的平分线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．（1）求顶点的坐标；（2）求的面积．【答案】（1）点C的坐标为；（2）．.【解析】（1）因为直线,求出，进而求出直线AC的方程，直线AC与CD联立即可求出顶点的坐标；（2）由（1）可求出，再求出B点的坐标，由点到直线的距离公式可求出的高，进而可以求出的面积．试题解析：(1)直线,则,直线AC的方程为, 2分由所以点C的坐标．. 4分(2),所以直线BC的方程为, 5分,即．. 7分, 8分点B到直线AC:的距离为. 9分则．. 10分【考点】点到直线的距离、直线方程.4.已知的顶点A为（3，－1），AB边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，求BC边所在直线的方程．【答案】2x+9y-65=0【解析】本题考察的知识点主要是写出一个点的坐标和直线的斜率.通过点B在角平分线上，和直线AB的中线可以求出B点的坐标.再通过角平分线定理，求出直线BC的斜率.从而写出直线BC 的方程.试题解析：因为点B在直线上，设B,所以A,B两点的中点坐标为，又因为该点在AB边的中线上，解得,所以B（10,5）.设直线BC的斜率为k,,,有角平分线性质可得.，解得k=.所以.【考点】1.三角形中线的性质.2.三角形角平分线的性质.3.直线方程的求解.5.若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由直线的参数方程为得，，所以，直线的斜率为，选A。
2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习2.1 坐标平面上的直线解析版
专题2.1 坐标平面上的直线【章节复习专项训练】【考点1】 ：直线的方程例题1．（2020·上海师大附中高二期末）直线方程20x y m -+=的一个方向向量d 可以是（ ） A ．(2,1)- B ．(2,1) C ．(1,2)- D ．(1,2)【答案】D【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量. 【详解】解：依题意，()2,1-为直线的一个法向量，∴方向向量为()1,2， 故选：D .【变式1】（2021·上海市奉贤中学高二期末）如图，平面上过点P (1，2)的直线与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B .过点P 分别作直线垂直于x 轴与y 轴，垂足分别为M ，N .则满足2020PAMPBNS S-=的直线有（ ）条A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】设直线AB 为y =k (x -1)+2()0k <，分别令x =0，y =0，求得点A ，B 的坐标， 然后由2020PAMPBNSS-=求解.【详解】因为过点P (1，2)，且斜率存在， 设直线AB 为y =k (x -1)+2()0k <， 令x =0，y =2-k ； 令y =0，x =2k k- 2(,0),(0,2)k A B k k-∴-， 2,2,AM PM BN k k∴=-==-，2020PAMPBNSS-=，121()21()202022k k ∴⨯-⨯-⨯⨯-=， 即2404040k k --=，0k <，所以k 的取值只有一个， 故这样的直线有一条. 故选：B【变式2】（2021·上海高二期末）直线1123x y l -+=:的一个方向向量可以是（ ） A ．(2，3) B ．(2-，3)C ．(3，2)D ．(3-，2)【答案】A【分析】将直线方程转化为()3112y x +=-，求得斜率即可. 【详解】直线1123x y l -+=:可化为：()3112y x +=-，所以直线的斜率为32k， 所以直线的一个方向向量可以是(2,3) 故选：A【变式3】（2020·上海曹杨二中高二期末）已知直角坐标系xOy 平面上的直线1x ya b+=经过第一、第二和第四象限，则,a b 满足（ ） A ．0,0a b >> B ．0a >，0b < C ．0a <，0b < D ．0a <，0b <【答案】A【分析】求出直线与坐标轴的交点，即可得出答案. 【详解】令0x =，则y b =；令0y =，则x a = 所以(0,),(,0)b a 在直线1x ya b+=上因为直线1x ya b+=经过第一、第二和第四象限 所以0,0a b >> 故选：A【点睛】本题主要考查了由直线所过象限求参数范围，属于基础题.例题2．（2020·上海市建平中学高二期末）过点()1,2C ，且与直线20x y --=垂直的直线方程为______. 【答案】30x y +-=【分析】先由垂直关系求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程 【详解】解：因为所求直线与直线20x y --=垂直， 所以所求直线的斜率为1-， 因为所求直线过点()1,2C ，所以所求直线方程为2(1)y x -=--，即30x y +-=， 故答案为：30x y +-=【点睛】此题考查两直线的位置关系，考查直线方程的求法，属于基础题【变式1】（2020·上海曹杨二中高二期末）过点()3,2P -且与直线210x y ++=垂直的直线方程是______. 【答案】270x y --=【分析】根据直线的垂直关系，设出所求直线方程，将()3,2P -代入方程，即可求解. 【详解】所求直线与直线210x y ++=垂直， 设该直线方程为20x y c -+=，()3,2P -代入上式方程得7c =-，所以所求的直线方程为270x y --=. 故答案为：270x y --=.【点睛】本题考查直线的位置关系求方程，利用直线的位置关系合理设方程是解题的关键，属于容易题. 【变式2】（2020·上海市控江中学高二期末）经过点()1,0，且以()2,5d =为一个方向向量的直线l 的方程为_____.【答案】5250x y --=【分析】求出直线l 的斜率，可得出直线l 的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】直线l 的斜率为52k =，所以，直线l 的方程为()512y x =-，即5250x y --=. 故答案为：5250x y --=.【点睛】本题考查直线的方程，考查直线的方向向量与斜率的关系，考查计算能力，属于基础题. 【变式3】（2020·上海高二期末）已知点()1,2A ,()3,0B ,则线段AB 的垂直平分线的方程是_____． 【答案】10x y --=【分析】先求出AB 的中点M 的坐标,再求出直线AB 的斜率,根据两直线垂直时斜率乘积为1-得到垂直平分线的斜率,最后用点斜式公式即可求出直线方程. 【详解】解:设M 的坐标为(),x y ， 则1322x,2012y,所以()2,1M . 因为直线AB 的斜率为120113k , 所以线段AB 垂直平分线的斜率2111k , 则线段AB 的垂直平分线的方程为112y x 化简得10x y --=. 故答案为：10x y --=【点睛】本题考查求线段AB 的垂直平分线:即要求垂直平分线线上一点与直线的斜率，根据中点坐标公式求出AB 的中点M 的坐标利用A 与B 的坐标求出直线AB 的斜率根据两直线垂直时斜率乘积为1-得到垂直平分线的斜率根据M 的坐标和求出的斜率写出AB 的垂直平分线的方程即可.【变式4】（2020·上海高二期末）若直线l 过点3(2,)A -且平行于向量(6,5)d =，则直线l 的点方向式方程是___________. 【答案】2365x y -+= 【分析】利用直线l 的点方向式方程即可得出． 【详解】由已知可得：直线l 的点方向式方程是2365x y -+=．故答案为：2365x y -+=． 【点睛】本题考查直线的点方向式方程，考查推理能力与计算能力，属于基础题．【变式5】（2021·上海市松江二中高二期末）若关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =________ 【答案】2-【分析】根据方程组无解，得到直线42+=+mx y m 与直线+=x my m 平行，根据两直线平行的充要条件，即可求出结果.【详解】因为关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，所以直线42+=+mx y m 与直线+=x my m 平行，所以24024m m m m ⎧-=⎪⎨+≠⎪⎩，解得：2m =-.故答案为：2-【点睛】本题主要考查由方程组无解求参数，熟记直线与直线平行的判定条件，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.【变式6】（2020·上海师大附中高二期末）直线10x y -+= 上一点P 的横坐标是3，若该直线绕点P 逆时针旋转90°得直线l ，则直线l 的方程是____________． 【答案】70x y +-=【详解】(,3,4)P l 的倾斜角为4590135,tan1351k ︒-︒=︒=︒=-， 则其方程为43y x -=-+，即70x y +-=. 故答案为：70x y +-=.【变式7】（2021·上海市奉贤中学高二期末）数学家欧拉在1765年提出定理；三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC 的顶点A (4，0)，B (0，2)，AC BC =，则ABC 的欧拉线所在直线方程为___________.【答案】2x -y -3=0【分析】根据题意求出线段AB 的垂直平分线即可求解. 【详解】线段AB 的中点为(2，1)，201042AB k -==--， 线段AB 的垂直平分线为：y =2(x -2)+1，即2x -y -3=0 AC =BC ，∴三角形的外心､重心､垂心依次位于AB 的垂直平分线上，因此ABC 的欧拉线方程为2x -y -3=0. 故答案为：2x -y -3=0.【变式8】（2020·华东师范大学附属周浦中学高二期末）直线l 经过点(3,5)P -，且(1,2)n =是直线l 的一个法向量，则直线l 的一般式方程是________. 【答案】270x y ++=【分析】由直线的法向量可得直线的方向向量，进而可得直线的斜率，由直线方程的点斜式即可得出结果. 【详解】直线的法向量为(1,2)n =，则直线的方向向量为(2,1)m =-，直线的斜率为12k =- 由点斜式可得：1(5)(3)2y x --=--，即270x y ++= 故答案为：270x y ++=【变式9】（2020·上海市三林中学高二期末）过点()1,0且与直线20x y +=垂直的直线的方程______. 【答案】210x y --=【分析】方法一，利用两条直线互相垂直，斜率之积等于-1，求出垂线的斜率，再求垂线的方程； 方法二，根据两条直线互相垂直的关系，设出垂线的方程，利用垂线过某点，求出垂线的方程. 【详解】方法一，直线20x y +=的斜率是-2， 则与这条直线垂直的直线方程的斜率是12， ∴过点()1,0且与直线20x y +=垂直的直线方程为()1012y x -=-， 即210x y --=；方法二，设与直线20x y +=垂直的直线方程为20x y a -+=， 且该垂线过过点()1,0，∴11200a ⨯-⨯+=，解得1a =-，∴这条垂线的直线方程为210x y --=. 故答案为：210x y --=.【点睛】本题考查了直线方程的求法与应用问题，也考查了直线垂直的应用问题，是基础题目.例题3．（2021·上海高二期末）已知直线l 与直线250x y +-=平行，并且直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的一般式方程. 【答案】240x y ++=或240x y +-=【分析】设所求直线方程为()205x y C C ++=≠-，求出直线l 与两坐标轴的交点坐标，结合已知条件可得出关于C 的方程，进而可求得直线l 的方程.【详解】由于直线l 与直线250x y +-=平行，设直线l 的方程为()205x y C C ++=≠-， 在直线l 的方程中，令0x =，可得y C =-；令0y =，可得2Cx =-. 所以，直线l 交x 轴于点,02C ⎛⎫-⎪⎝⎭，交y 轴于点()0,C -. 由于直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则214224C C C ⨯-⨯-==，解得4C =±. 因此，直线l 的方程为240x y ++=或240x y +-=.【变式1】（2020·上海高二期末）已知直线1:220l x y +-=和2:10l mx y -+=. (1)当12l l //时，求m 的值； (2)当1l 与2l 的夹角为4π时，求m 的值. 【答案】(1)2-；(2)3或13-. 【分析】（1）直接利用线线平行的充要条件的应用求出结果． （2）直接利用夹角公式的应用求出结果．【详解】（1）直线1:220l x y +-=和2:10l mx y -+=． 所以20m --=，解得：2m =-．（2）由于1:220l x y +-=的斜率12k =-，2:10l mx y -+=的斜率2=k m ．所以2112tan||141k kk kπ-==+，解得3m=或13-．【点睛】本题考查的知识要点：线线平行的充要条件的应用，夹角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．【考点2】：直线的倾斜角和斜率例题1．（2020·上海市杨浦高级中学高二期末）直线210x y+-=的倾斜角为（）.A．arctan2B．arctan2-C．()arctan2π--D．arctan2π-【答案】D【分析】先根据所给直线的斜率-2，直线的斜率是倾斜角的正切，得到[)tan=20ααπ-∈，，，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果.【详解】因为直线210x y+-=的斜率2k=-，所以[)tan=20ααπ-∈，，，所以=arctan2απ-.所以直线210x y+-=的倾斜角为arctan2π-.故选：D【点睛】求斜率的方法：①定义法：()tan90kαα=≠；②两点法求斜率：()212121y yk x xx x-=≠-；③由直线方程求斜率；④由直线的方向向量求斜率.【变式1】（2020·上海高二期末）下图中的直线1l、2l、3l的斜率分别为1k、2k、3k,则（）A．123k k k<<B．312k k k<<C．321k k k<<D．132k k k<<【答案】D【分析】根据斜率与直线倾斜角的关系判断即可.【详解】由图可知：10k <,20k >,30k >,且直线3l 的倾斜角小于直线2l 的倾斜角,所以32k k <,综上可知：132k k k <<.故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系,属于基础题.【变式2】（2020·上海高二期末）已知l 过定点()4,5的直线的一个方向向量是()2,3d =-，则直线l 的点方向式方程可以为（ ） A ．()()3425x y -=- B ．45=23x y --- C ．()()34250x y -+-= D ．45=32x y -- 【答案】B【分析】利用直线的点向式方程可以直接得到所求的方程． 【详解】因为直线l 的方向向量为()2,3d =-且经过点()4,5， 故直线l 的点向式方程为45=23x y ---． 故选：B ．【点睛】本题考查直线的点向式方程，注意点向式方程的标准形式，此题属于基础题．【变式3】．（2021·上海市建平中学高二期末）直线l 的倾斜角为θ，则直线l 关于直线y =x 对称的直线l '的倾斜角不可能为（ ） A ．θ B ．2θπ- C ．πθ-D ．32πθ- 【答案】C【分析】可分类讨论求出对称直线l '的倾斜角，然后判断． 【详解】当[0,]2πθ∈时，直线l '的倾斜角为2θπ-，当,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线l '的倾斜角为32πθ-，当4πθ=时，直线l '的倾斜角为4πθ=，因此ABD 均可能，只有C 不可能．实际上当直线l '倾斜角为πθ-时，直线l '与直线l 关于和x 轴垂直的直线对称． 故选：C ．【变式4】．（2020·上海市洋泾中学高二期末）若直线0ax by c 的一个法向量()3,1n =-，则该直线的倾斜角为（ ） A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 【答案】B【分析】根据直线的方程可得直线的法向量，结合题设条件可得,a b 的关系，从而可求直线的斜率进而得到直线的倾斜角.【详解】由直线的方程为0ax by c可得直线的法向量为(),m a b =，故,m n 共线，所以()1b a ⨯-=，即ab-=，设直线的倾斜角为[)()0,θθπ∈，则tan θ=3πθ=.故选：B.例题2．（2020·上海市进才中学高二期末）直线210x y -+=的倾斜角为________． 【答案】1arctan2【分析】根据直线方程求出直线的斜率，从而求出倾斜角. 【详解】直线210x y -+=的斜率12k =， 所以直线的倾斜角是1arctan 2. 故答案为：1arctan2. 【变式1】（2020·上海高二期末）直线40x my 的倾斜角为4π,则m 的值是_____． 【答案】1【分析】由直线的倾斜角求出斜率,再由斜率列式求得m 值. 【详解】解：直线40x my 的倾斜角为4π. 所以该直线的斜率为tan 14π=,所以11m=,解得：1m =. 故答案为：1.【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系,是基础题.【变式2】（2020·上海市七宝中学）直线l 的倾斜角范围是__________； 【答案】0,【分析】由直线的倾斜角定义来确定. 【详解】由直线倾斜角的定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度. 范围：倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 故答案为：0,【点睛】本题主要考查了直线倾斜角的定义及范围，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 【变式3】（2020·上海高二期末）若直线l 的倾斜角的范围为,43ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则l 的斜率的取值范围是__________.【答案】【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性即可得出． 【详解】直线l 的倾斜角,43θππ⎡⎫⎪⎢∈⎣⎭，则l 的斜率tan [1θ∈．故答案为：．【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 【变式4】（2020·上海复旦附中高二期末）一个方向向量为(1,3d =的直线的倾斜角的大小是__________． 【答案】60︒【分析】根据直线的方向向量可得直线的斜率，然后可求直线的倾斜角.【详解】因为直线的方向向量为(1,3d =，所以直线的斜率为k = 所以直线的倾斜角的大小是60︒. 故答案为：60︒.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角，明确直线的方向向量与直线的斜率间的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.【变式5】（2020·上海市金山中学高二期末）直线l ：4y =+的倾斜角的大小为______.【答案】3π；【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系可得tan θ=. 【详解】解：设直线的倾斜角为θ，由直线l 的方程为：4y =+可得tan θ= 又[)0,θπ∈， 所以3πθ=，故答案为：3π.【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题.【变式6】（2021·上海市松江二中高二期末）若直线l 的参数方程是2,()12x t t y t =+⎧∈⎨=--⎩R ，则l 的斜率为________． 【答案】-2【分析】把参数方程消参化为斜截式方程即可求出斜率．【详解】由2,()12x t t y t =+⎧∈⎨=--⎩R ，消去参数t 可得23y x =-+， 所以直线的斜率2k =- 故答案为2-【点睛】本题考查直线的参数方程与一般方程的互化，属于基础题．【变式7】（2021·上海市奉贤中学高二期末）直线23y x =-+的倾斜角是___________(结果用反三角表示). 【答案】arctan 2π-【分析】根据斜率公式tan k α=化简即可.【详解】解：由题意得tan 2,arctan 2k ααπ==-∴=- 故答案为：arctan 2π-.【变式8】（2021·上海高二期末）直线1:10l x y +-=与直线2:20l x y -+=夹角的大小为___________. 【答案】2π 【分析】根据直线方程求得两直线的斜率，进而可求得倾斜角，即可求得答案.【详解】直线1:10l x y +-=的斜率为-1，因为倾斜角[0,)απ∈，即tan 1α=-，所以1l 的倾斜角为34π， 同理直线2:20l x y -+=的斜率为1，所以2l 的倾斜角为4π， 所以直线1l 与2l 的夹角为3442πππ-=. 故答案为：2π 【变式9】（2021·上海曹杨二中高二期末）若直线l 的倾斜角为34π，则l 的一个方向向量d 可以是______.(只需填写一个) 【答案】()1,1-【分析】利用直线倾斜角确定直线斜率，进而确定方向向量的横纵坐标之比，写出方向向量. 【详解】直线l 的倾斜角为34π，故直线的斜率3tan 14k π==-， 故方向向量的横纵坐标之比为1-， 故d 可以是()1,1-， 故答案为：()1,1-.【变式10】（2020·上海曹杨二中高二期末）设()1,2A ，()3,1B -，若直线2y kx =-与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围是______. 【答案】(][),14,-∞-+∞【分析】画出图象求出定点与A 、B 两点连线的斜率，即可求出实数k 的取值范围．【详解】解：直线2y kx =-恒过定点()0,2-，由题意平面内两点()1,2A ，()3,1B -，直线2y kx =-与线段AB 恒有公共点，如图求出定点与A 、B 两点连线的斜率，()122410k --==-．()212130k --==---，所以直线2y kx =-与线段AB 恒有公共点，则实数k 的取值范围是(][),14,-∞-+∞，故答案为：(][),14,-∞-+∞【点睛】本题考查直线斜率的求法，考查数形结合的思想的应用，考查计算能力．【变式11】（2020·上海高二期末）已知直线l 的一个方向向量是(1,2)，则它的斜率为______________. 【答案】2【分析】根据直线方向向量与直线斜率关系求斜率即可. 【详解】直线l 的一个方向向量是(1,2)，则直线的斜率为：2=21故答案为：2【点睛】本题考查直线方向向量以及直线斜率，考查基本分析求解能力，属基础题. 【变式12】（2020·上海高二期末）直线210x y +-=的倾斜角为________． 【答案】arctan 2π-【分析】先求直线210x y +-=的斜率,进而用反三角函数转化为倾斜角即可. 【详解】直线210x y +-=的斜率为2k =-,设倾斜角为α,所以tan 2α,则arctan 2απ-= 故答案为：arctan 2π-【点睛】本题关键是倾斜角以及反三角函数的问题,考查计算能力．【变式13】（2020·上海市控江中学高二期末）若不垂直于x 轴的直线10kx y -+=与直线20x y -=所成的角的大小为25，则实数k 的值为_____.【答案】34【分析】设直线20x y -=的倾斜角为α，记β=k 的方程，进而可求得实数k 的值.【详解】设直线20x y -=的倾斜角为α，记β=，则tan 2α=，cos 5β=，sin 5β=，1tan 2β=，由题意可得tan 21tan 1tan 122k k k k αβα--===++，解得34k =.故答案为：34. 【点睛】本题主要考查直线夹角公式的应用，涉及两角差的正切公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 【变式14】．（2020·上海交大附中高二期末）直线223x ty t =+⎧⎨=+⎩（参数t R ∈）的倾斜角为_________.【答案】12arctan【分析】代入消参，将参数方程化为普通方程，再根据斜率求得倾斜角. 【详解】由3y t =+可得3t y =-，代入22x t =+，可得()223x y =+- 整理得：直线的一般式方程为240x y -+= 则直线的斜率为12k =，设其倾斜角为θ，[)0,θπ∈ 故12arctanθ=. 故答案为：12arctan. 【点睛】本题考查将直线的参数方程化为普通方程，以及由直线斜率求解倾斜角，属基础题.例3．（2019·上海高二期末）已经直线:1l y kx =-与两点()()1,5,4,2.A B - （1）若l 与直线AB 平行，求它们之间的距离以及l 的倾斜角；（2）若l 与线段AB 无公共点，求k 的取值范围. 【答案】（1）d =；3arctan 5θπ=-；（2）36,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由两点连线斜率公式可求得AB k ，即k ，从而得到直线l 方程及tan θ、直线AB 方程；根据反三角函数可求得倾斜角θ，利用平行直线间距离公式可求得所求距离d ；（2）首先确定直线恒过定点()0,1C -，可知临界状态为,AC BC ，利用两点连线斜率公式求得,AC AB k k ，可知(),AC AB k k k ∈，从而得到结果. 【详解】（1）由,A B 坐标可得：523145AB k -==--- ∴直线AB 方程为：()3245y x -=--，即35220x y +-= l 与直线AB 平行 35AB k k ∴==- 3:15l y x ∴=--，即3550x y ++=设直线l 倾斜角为θ 3tan 5θ∴=- 3arctan 5θπ∴=-直线l 与直线AB之间距离34d ==（2）由题意知，直线l 恒过点()0,1C -51610AC k +∴==---，213404BC k +==- l 与线段AB 无公共点 (),AC AB k k k ∴∈，即36,4k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【点睛】本题是对直线部分知识的综合考查，涉及到直线斜率与倾斜角的关系、两条直线平行的位置关系的应用、平行直线间距离公式、根据直线与线段交点情况求解斜率范围的问题，属于基础题. 【考点3】 ：两条直线的位置关系例题1．（2020·上海高二期末）直线210x y ++=与直线36100x y 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．重合C ．平行D ．垂直【答案】C【分析】根据直线的一般方程满足111222A B C A B C =≠,则两直线平行. 【详解】解: 直线210x y ++=与直线36100x y ,满足1213610, 故直线210x y ++=与直线36100x y 平行. 故选:C【点睛】本题考查直线与直线的位置关系,若两直线满足111222A B C A B C =≠,则两直线平行. 【变式1】．（2020·上海市金山中学高二期末）已知两条直线1l 与2l 不重合，则“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 的平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】“1l 与2l 的平行”则有“1l 与2l 的斜率相等”或“1l 与2l 的斜率均不存在”两种情况，再判断即可得解. 【详解】解：因为两条直线1l 与2l 不重合，由“1l 与2l 的斜率相等”可得“1l 与2l 的平行”； 由“1l 与2l 的平行”则可得“1l 与2l 的斜率相等”或“1l 与2l 的斜率均不存在”， 即“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 的平行”的充分不必要条件， 故选：A.【点睛】本题考查了两直线平行的充分必要条件，重点考查了直线的斜率，属基础题. 【变式2】．（2020·上海市嘉定区封浜高级中学高二期末）14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的（ ）.A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】对a 分类讨论，利用两条相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出． 【详解】解：对于：直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=， 当0a =时，分别化为：10x +=，30x y -+-=，此时两条直线不垂直，舍去；当1a =-时，分别化为：310y -+=，230x --=，此时两条直线相互垂直，因此1a =-满足条件； 当1a ≠-，0时，两条直线的斜率分别为：13a a +-，11a a -+，由于两条直线垂直，可得11131a aa a +--⨯=-+，解得14a =或1-（舍去）． 综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为：14a =或1-． ∴14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的充分而不必要条件． 故选：A ．【点睛】本题考查了两条相互垂直的直线与斜率之间的关系，考查了分类讨论思想、推理能力与计算能力，属于中档题．例题2．（2021·上海闵行中学高二期末）过点()3,5与直线y x m =+垂直的直线方程是___________. 【答案】80x y +-=【分析】设与y x m =+垂直的直线方程为y x n =-+，利用过的点，求出n 即可. 【详解】设所求直线为y x n =-+ 过点()3,5，故8n = 直线方程为80x y +-= 故答案为：80x y +-=【变式1】．（2021·上海位育中学高二期末）已知直线1:230l ax y a ++=与直线2:3(1)70l x a y a +-+-=互相垂直，则a =________ 【答案】25【分析】利用两条直线垂直的等价条件可得()3210a a +-=，解方程即可求a 的值. 【详解】因为直线1:230l ax y a ++=与直线2:3(1)70l x a y a +-+-=互相垂直， 所以()3210a a +-=，解得：25a =， 故答案为：25.【变式2】．（2021·上海市进才中学高二期末）若直线1:210l ax y ++=与2:(1)10l x a y +++=互相垂直，则a 的值为_________. 【答案】23-【分析】根据两个直线垂直的公式代入计算. 【详解】因为12l l ⊥，所以2(1)0a a ++=，得23a =-. 故答案为：23-【变式3】．（2021·上海市复兴高级中学高二期末）已知直线220x y +-=和10x y -+=的夹角为______. 【答案】arctan 3【分析】求出两直线的斜率，利用相交两直线的夹角公式求解而得. 【详解】直线220x y +-=和10x y -+=的斜率分别为k 1=-2，k 2=1， 设直线220x y +-=和10x y -+=的夹角为(0)2πθθ<≤，而两直线不垂直，由夹角公式得：121221tan ||||311(2)1k k k k θ---===++-⋅，所以arctan 3θ=. 答案为：arctan 3【变式4】．（2020·上海闵行中学高二期末）已知直线1:10l ax y -+=，2:10l x ay --=，且12l l ⊥，则实数a =_________. 【答案】0【分析】依据两条直线垂直充要条件12120A A B B +=直接计算即可. 【详解】因为12l l ⊥，所以()()1100a a a ⨯+-⨯-=⇒= 故答案为：0【变式5】．．（2020·上海高二期末）已知直线1:42l mx y m +=+，2:l x my m +=，若12//l l ，则实数m =________．【答案】2-【分析】根据直线互相平行的判定公式得到结果. 【详解】直线1:42l mx y m +=+，2:l x my m +=， 若12//l l ，则24102m m -⨯=⇒=±，当2m =时，1l 和2l 化简为：1:22l x y +=，2:22l x y +=，此时，1l 与2l 重合，故2m =时不符合题意当2m =-时，1l 和2l 化简为：1:20l x y -=，2:220l x y -+=，此时，1l 与2l 不重合且平行，故2m =-时符合题意 故答案为：2-.【点睛】这个题目考查了已知两直线的位置关系求参数的应用，属于基础题.【变式6】．（2020·上海高二期末）直线10x y ++=与直线30x y -+=的夹角大小等于___________. 【答案】2π【分析】算出两条直线的斜率，根据它们的乘积为1-可得它们的夹角． 【详解】设两条直线的夹角为θ，直线10x y ++=的斜率为11k =-，直线30x y -+=的斜率为21k =， 因为121k k =-，所以两条直线垂直，所以2πθ=．故答案为：2π． 【点睛】本题考查直线的夹角，注意先判断它们是否垂直，如果不垂直，则利用夹角公式1212tan 1k k k k θ-=+来计算，本题属于容易题．【变式7】．（2020·上海市洋泾中学高二期末）已知直线1:220++=l x ay 与直线2:(1)310l a x y -++=平行，则实数a 的值为__________ 【答案】2-或3【分析】根据两直线平行，直接列式求解. 【详解】12//l l ，22131a a ∴=≠-，解得：2a =-或3a =. 故答案为：2-或3【变式8】．（2020·上海高二期末）直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y ++=的夹角为______________. 【答案】90︒【分析】先利用斜率之积为1-，判定两直线垂直，即可得解.【详解】由直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y ++=的方程可知，两直线的斜率分别为：1212,2k k ==-，∴121k k =-，∴12l l ⊥,∴两直线的夹角为90︒. 故答案为：90︒.【点睛】本题考查两直线的夹角的求法，关键根据两直线的方程求得斜率，根据斜率是否乘积为1-，从而判定两直线是否垂直是关键点.【变式9】．（2020·上海格致中学高二期末）若直线1:2310l x y +-=的方向向量是直线2:20l ax y a -+=的法向量，则实数a 的值等于__________. 【答案】32【分析】由题意结合直线方向向量、法向量的概念可得12l l ⊥，再由直线垂直的性质即可得解. 【详解】直线1l 的方向向量是直线2l 的法向量，∴12l l ⊥，∴230a -=，解得32a =. 故答案为：32. 【点睛】本题考查了直线方向向量、法向量概念的应用，考查了直线垂直的性质，属于基础题.【变式10】．（2020·上海高二期末）已知直线1l ：210ax y -+=、2l ：()130x a a y ++-=，若12l l ⊥，则实数a =_________.【答案】0或12- 【分析】若直线1l ：1110A x B y C ++=与直线2l ：2220A x B y C ++=垂直，则12120A A B B +=，代入数据计算即得. 【详解】直线1l ：210ax y -+=、2l ：()130x a a y ++-=，且12l l ⊥，()()1+210a a a ∴⨯-⨯+=,即220a a +=，解得0a =或12a =-. 故答案为：0a =或12a =-. 【点睛】本题考查直线的位置关系，属于基础题.【变式11】．（2020·上海市三林中学高二期末）已知直线1l ：()6180x t y +--=，直线2l ：()()46160t x t y +++-=，若1l 与2l 平行，则t =______.【答案】-5【分析】由平行关系可得()()()6641t t t ⨯+=+-，解方程验证排除重合可得.【详解】由题意可得()()()6641t t t ⨯+=+-，解方程可得5t =-或8t =，经验证8t =时直线重合，应舍去故当5t =-时，两直线平行.故答案为：-5.【点睛】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题.【变式12】．（2021·上海市奉贤中学高二期末）已知直线()()1:3410l k x k y -+-+=与()2:23230l k x y --+=平行，则k 的值是____．【答案】3或5【分析】由两直线平行得出()()()23243k k k --=--，解出k 的值，然后代入两直线方程进行验证. 【详解】直线()()1:3410l k x k x y -+-++=与()2:23230l k x y --+=平行，()()()23243k k k ∴--=--，整理得()()350k k --=，解得3k =或5.当3k =时，直线1:10l y +=，23:02l y -=，两直线平行； 当5k =时，直线1:210l x y -+=，23:202l x y -+=，两直线平行. 因此，3k =或5.故答案为3或5.【点睛】本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验证，考查运算求解能力，属于基础题.例题3．（2020·上海高二期末）已知二元一次方程组()()32232120k x y k x k y k ⎧--=⎪⎨++++=⎪⎩无解，求k 的值： 【答案】32k 【分析】根据题意知两直线平行,根据直线与直线平行的关系建立方程,求解验证即可.【详解】解:因为二元一次方程组()()32232120k x y k x k y k ⎧--=⎪⎨++++=⎪⎩无解, 则()322k x y k --=与()32120x k y k ++++=平行, 由3223212k k k k ---=≠++，解得：32k ． 经过验证满足题意． 32k ∴=时方程组无解． 【点睛】本题考查两直线平行,求参数,是基础题.【考点4】 ：点到直线的距离例题1．（2020·上海市七宝中学）直线l 经过点()2,1P -，且点()1,2--A 到l 的距离为1，则直线l 的方程为______．【答案】2x =-或4350x y ++=【分析】当直线l 斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l 的方程为4350x y ++=；当直线与x 轴垂直时，l 方程为2x =-也符合题意．由此即可得到此直线l 的方程．【详解】设直线l 的方程为()12y k x -=+，即210kx y k -++=∵点()1,2--A 到l 的距离为1，1=，解之得43k =-， 得l 的方程为4350x y ++=．当直线与x 轴垂直时，方程为2x =-，点()1,2--A 到l 的距离为1，∴直线l 的方程为2x =-或4350x y ++=．故答案为：2x =-或4350x y ++=【点睛】本题主要考查求经过定点，且到定点的距离等于定长的直线l 方程，着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题．【变式1】．（2020·上海高二期末）若O 为坐标原点，P 是直线20x y -+=上的动点，则||OP 的最小值为______________.【分析】线段OP 的最小值，就是原点到已知直线的距离，根据点到直线的距离公式即可得出．【详解】解：原点到直线的距离d==故||OP【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、转化方法，属于基础题．【变式2】．（2020·上海高二期末）已知点()4,1P,点Q的坐标(),x y满足212x y=,则点P与点Q距离的最小值为_____．【分析】先将212x y=转化为直线220x y--=,再求点P到直线220x y--=的距离即可.【详解】解: 点Q的坐标(),x y满足212x y=,则点Q在直线220x y--=上,则点P与点Q距离的最小值即为点P到直线220x y--=的距离:d===故点P与点Q故答案为:【点睛】本题考查二阶行列式的运算,考查点到直线的距离公式,是基础题.【变式3】．（2019·上海市进才中学高二期末）圆22240x y x y+-+=的圆心到直线3450x y+-=的距离等于________。
高二数学直线方程练习题
高二数学直线方程练习题
1. 启示飞机从一个机场起飞后，按照速度600 km/h直线飞行，1小时后发生故障，使得启示飞机的速度减少为400 km/h，于是飞机改变航向，并以恒定的速度在空中滑行，经过1小时20分钟后，飞机在距合围空港300 km的某地点坠毁。
求该航班的飞行方向与正北方向之间的夹角。
2. 设直线L1:x=2t,y=-t+1,z=3t-1与直线L2:x=3s+2,y=1,z=2s-1，求直线L1与直线L2之间的夹角。
3. 试求过点A(-1,2,3)并且与直线L:x=t,y=1,z=1+2t平行的直线的方程。
4. 在直线L：x=3+2t, y=-3-5t, z=4+3t上求满足条件x-y+2z=1的点，并求此点到直线所在平面的距离。
5. 已知平面P：3x+5y-2z-7=0，平面P与直线L：x=2-t, y=t, z=3+t 相交于点A，求点A至直线L的距离。
6. 已知直线L1：x=y=z, 平面P：2x+y+z-6=0，求直线L1在平面P 上的投影。
7. 求过点A(2,-1,3)且与直线L：x=1-3t, y=4+2t, z=2t平行的平面方程。
8. 已知直线L1:x-1=y-2=z+5,直线L2:x-2=y+1=z-3，求直线L1与直线L2之间的夹角。
9. 求过直线L1:x-2=y-1=z-4的直线L2，并且直线L2与直线L1及坐标轴所围成的立体体积为72。
10. 已知三点A(2,3,1)、B(1,0,-2)和C(3,1,5)，求直线AB和直线BC 的夹角。
以上是高二数学直线方程练习题，希望能够帮助你更好地理解和掌握直线的相关知识。
如果还有其他问题，欢迎随时提问。
2023-2024学年高二上数学：直线的方程(附答案解析)
故所求直线的斜率为 ，
所以所求直线的方程为
，即 x+2y+13＝0．
故选：B．
3．若直线经过点（﹣3，4），且平行于 y 轴，则该直线方程是（ ）
A．x﹣3＝0
B．x+3＝0
C．y+4＝0
D．y﹣4＝0
【解答】解：直线经过点（﹣3，4），且平行于 y 轴，则该直线的斜率不存在，故它的方
程是 x＝﹣3，即 x+3＝0，
所以
，
则所求直线的斜率为 ，
所以过点 C 且与线段 AB 平行的直线方程为 y﹣1 （x﹣1），即 3x﹣2y﹣1＝0．
故选：B． 二．填空题（共 4 小题） 6．直线 l：2x﹣y+4＝0 与两坐标轴相交于 A，B 两点，则线段 AB 的垂直平分线的方程为 x+2y
﹣3＝0 ． 【解答】解：直线 l：2x﹣y+4＝0 与两坐标轴相交于 A，B 两点， 由 y＝0，得 A（﹣2，0），由 x＝0，得 B（0，4）， 线段 AB 的中点坐标为（﹣1，2）， 直线 l：2x﹣y+4＝0 的斜率 kAB＝2，
8．过点 A（﹣1，5）且以 （2，1）为法向量的直线方程为 2x﹣y+7＝0 ．
【解答】解：过点 A（﹣1，5）且以 （2，1）为法向量的直线斜率 k＝﹣2，
故直线方程为 y﹣5＝﹣2（x+1），
即 2x﹣y+7＝0．
故答案为：2x﹣y+7＝0．
9．经过点 M（﹣2，1）和 N（4，3）的直线方程为 x﹣3y+5＝0 ．
2023-2024 学年高二上数学：2.2 直线的方程
一．选择题（共 5 小题）
1．若直线 l 经过点 P（﹣2，1），且直线 l 的一个法向量为 （2，﹣1），则直线 l 的方程
高二数学直线的方程练习题
高二数学直线的方程练习题在高二数学学习中，直线的方程是一个重要的知识点。
掌握直线方程的求解方法对于解决与直线相关的问题具有重要意义。
本文将从不同的角度出发，给出一些关于直线方程的练习题。
1. 直线的一般方程1.1 给出直线过两个已知点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，求直线L的一般方程。
解析：首先计算直线L的斜率k。
根据斜率的定义，有 k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
然后，代入直线的点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 中的点和斜率，化简得到直线的一般方程 Ax + By + C = 0。
示例题：过点P(2, 3)和Q(4, 7)的直线L的一般方程为2x - y + 1 = 0。
2. 直线的截距式方程2.1 给出直线与x轴和y轴的坐标交点分别为A(a, 0)和B(0, b)，求直线L的截距式方程。
解析：直线与x轴的交点可以看作是y坐标为0的点，直线与y轴的交点可以看作是x坐标为0的点。
根据直线截距式的定义，直线的截距式方程为 x/a + y/b = 1。
示例题：过点A(2, 0)和B(0, 3)的直线L的截距式方程为 x/2 + y/3 = 1。
3. 直线的点斜式方程3.1 给出直线L的斜率k和过直线上一点P(x1, y1)，求直线的点斜式方程。
解析：根据直线的斜率定义，可以写出直线L的点斜式方程为 y -y1 = k(x - x1)。
示例题：直线L的斜率为2，过点P(3, 4)，则直线L的点斜式方程为 y - 4 = 2(x - 3)。
4. 直线的两点式方程4.1 给出直线上两个已知点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，求直线L的两点式方程。
解析：直线的两点式方程可以通过点斜式转化得到。
首先计算直线的斜率k，然后代入直线的点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 中的任意一点的坐标得到直线的两点式方程。
示例题：过点P(1, 2)和Q(3, 6)的直线L的两点式方程为 2x - y - 2 = 0。
2019-2020年高二数学下册《直线的方程》练习沪教版
2019-2020年高二数学下册《直线的方程》练习沪教版解析几何又称坐标几何，建立坐标系，使得点就具有了坐标，点的运动轨迹就有了方程，用方程的代数性质来研究曲线的几何性质，即用数来研究形。
直线方程11.1直线的方程课标解读：1．掌握由一点和方向向量导出直线方程的方法；2．掌握直线的点方向向式方程，知道与坐标轴垂直的直线方程的表示；3．能根据条件熟练求出直线的方程，并能根据方程提取它的方向向量；4．掌握由一点和法向量导出直线方程的方法；5．掌握直线的点法向式方程，知道与坐标轴垂直的直线方程的表示；6．能根据条件熟练求出直线的方程，并能根据方程提取它的法向量；目标分解：一、直线方程的概念：对于坐标平面内的一条直线，如果存在一个方程，满足：（1）直线上所有的点的坐标都满足方程；（2）以方程的所有的解为坐标的点都在直线上。
那么，我们把方程叫做直线的方程，直线叫做方程的直线。
设集合{}{},(,)(,)0A P P l B x y f x y =∈==，有上述叙述：，所以。
二、一条直线方程可以怎样确定：（1）两点； （2）一点和一个平行方向； （3）一点和一个垂直方向；三、直线的点方向式方程：如图：在直线上任选一点，由的充要条件得：……○1；反之若满足直线的方程，则必有，所以落在直线上。
当且时，上述方程○1可化为：，这就是直线的点方向式方程；当且时，上述方程○1可化为：，它表示垂直于轴的直线；当且时，上述方程○1可化为：，它表示垂直于轴的直线；有上述过程知：一条直线的方向向量并不唯一。
四、直线的点方向式方程：由学生自行推导：五、直线的一般方程：不管是上述的点方向式方程、还是点法向式方程都可以化为：的形式（其中不全为零），我们把这样的直线方程称为一般式方程。
通过它们之间的变换关系，我们不难获得：直线的一个方向向量为，它的一个法向量为：例1．直线经过点，法向量为，求这条直线方程；若把条件法向量改为方向向量呢？例2．写出下列直线的一个方向向量和法向量：（1）； （2）； （3）； （4）例3．将直线分别化为点方向式方程和点法向式方程；例4．（1）求过点且平行于直线的直线方程；（2）求过点且垂直于直线的直线方程；例5．中，已知点，求（1）边所在直线的点方向式方程；（2）边上高所在的直线的点法向式方程；（3）边的中垂线方程；一页纸训练：1．点，则直线的点方向式方程是；2．若直线过点，且它的一个方向向量为，则直线的方程为；3．直线的单位法向量为；4．已知点、，直线过线段的中点，则；5．已知点在点构成线段的中垂线上，则；6．点在直线上移动，则的最小值为；7．过点且垂直于直线的直线一般式方程是；8．已知直线的方程是320()kx y k k R -++=∈，则直线必经过；9．的三个顶点是，直线将分割成面积相等的两部分，则的值为；10．已知直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与平行，则；11．已知直线，求直线的点法向式方程和点方向式方程；12．已知点和是三角形的三个顶点，求：（1）边上的高所在的直线方程；（2）边的垂直平分线所在的直线方程；13．已知直线1:(3)(1)(25)(1)0l a x a y+-++-=，直线2:(12)(3)(3)l a x a--+-⋅（1）若与的方向向量平行，求的值；（2）若，求的值。
(整理版)高二数学上学期直线的方程例题(二)
高二数学 上学期直线的方程例题〔二〕［例1］一条直线经过点M (2，－3)，倾斜角α=135°，求这条直线的方程，并画出图形.选题意图：考查直线方程的点斜式，通过画图加深对直线方程的理解.解：这条直线经过点M (2，－3)，斜率是k =tan135°y －(－3)=－(x －2)，即x +y +1=0.这就是所求的直线方程，图形如下图.说明：在用直线的点斜式方程y －y 1＝ｋ〔x －x 1〕时不要把“y－(－3)〞写成“y －3〞而把所求直线方程误写为y －3=－(x －2).［例2］直线l 过点P (3，2)，倾斜角是直线x －4y +3=0的倾斜角的2倍，求直线l 的方程.选题意图：稳固直线的点斜式方程及二倍角的正切公式.解：设直线的倾斜角为α，那么所求直线l 的倾斜角为2α,∵tan α=41 ∴tan2α=158)41(1412tan 1tan 222=-⨯=-αα. ∴所求直线l 的方程为y －2=158 (x －3), 即8x －15y +6=0为所求.［例3］求倾斜角是直线y =－3x +1的倾斜角的41，且分别满足以下条件的直线方程 (1)经过点(3，－1)；(2)在y 轴上的截距是－5.选题意图：考查由直线的斜率求直线的倾斜角及直线方程的斜截式.解：∵直线的方程为y =－3x +1,∴k =－3,倾斜角α=120°.由题意得所求直线的倾斜角为30°.(1)∵直线的斜率tan30°＝33，且经过点(3，－1)， ∴所求直线方程是y +1=3(33-x ), 即3x －3y －6=0.(2)∵直线的斜率是33，直线在y 轴上的截距为－5，∴所求直线的方程是y =33x －5, 即3x －3y －15=0.说明：直线的斜截式方程为y =kx +b ，其中k 为斜率，b 为直线在y 轴上的截距，假设某直线的方程为y =ax +c ，那么a 为其斜率，c 为其在y 轴上的截距.。
上海高二数学直线方程经典例题
来源：网络转载直线的倾斜角和斜率（1）倾斜角定义（2）斜率k=tan α=1212x x y y --（0°≤α＜180°），当α=90时，k 不存在。
例1：过点M （-2，m ）,N(m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为。
例2：过两点A （m 2+2,m 2-3）,B （3-m-m 2,2m ）的直线l 的倾斜角为45°求m 的值。
例3：已知直线l 经过点P （1,1），且与线段MN 相交，又M （2，-3），N （-3，-2），求直线l 的斜率k 的取值范围。
例4：已知1例（1）l 1（2）l 12、垂直：例（1）l 1例（21、点斜式12、两点式341.过点（23、经过点4、已知5直线的交点坐标与距离公式1、求两条直线的交点（联立方程组）例（1）若三条直线：2x+3y+8=0,x-y-1=0和x +ky +k+21=0相交于一点，则k= （2）已知直线l 1：x+y+2=0,l 2：2x-3y-3=0,求经过的交点且与已知直线3x +y -1=0平行的直线l 的方程。
2、两点间的距离公式︱P 1P 2︱=212212)()(y y x x -+-例（1）已知点A （a,-5）与B （0,10）间的距离是17，求a 的值。
例（2）已知点A （-1,2），B （2，7），在x 轴上求一点P ，使︱PA ︱=︱PB ︱，并求的︱PA ︱值。
来源：网络转载 点到直线的距离点P （x 0,y 0）到直线l:A x +By+c=0的距离d=2200B A CBy Ax +++例1：求点A(-2,3)到直线l :3x+4y+3=0的距离d=2200B A CBy Ax +++例2：已知点（a,2）到直线l:x-y+1=0的距离为2，则a=。
(a ＜0) 例3:求直线y=2x+3关于直线l :y=x+1对称的直线方程。
两平行直线间的距离例例例。
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直线的倾斜角和斜率
（1）倾斜角定义
（2）斜率k=tan α=1
212x x y y -- （0°≤α＜180°），当α=90时，k 不存在。
例1：过点M （-2，m ）,N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为 。
例2：过两点A （m 2+2,m 2-3）,B （3-m-m 2,2m ）的直线l 的倾斜角为45°求m 的值。
例3：已知直线l 经过点P （1,1），且与线段MN 相交，又M （2，-3），N （-3，-2），求直线l 的斜率k 的取值范围。
例4：已知a ＞0,若平面内三点A （1，—a ），B （2，a 2）,C(3,a 3)共线，则a 值为 。
两直线的平行与垂直
1、 两直线平行：l 1//l 2 ⇒k 1=k 2
例（1）l 1 经过点M （-1，0）, N (-5,-2)，l 2经过点R （-4,3），S （0,5），l 1与l 2是否平行？
（2）l 1 经过点A （m ，1）, B (-3,4), ）l 2 经过点C （1，m ）, D (-1, m+1),确定m 的值，使l 1//l 2。
2、 垂直：l 1 ⊥ l 2 ⇒k 1k 2 =—1
例（1） l 1的倾斜角为45，l 2经过点P （-2,-1），Q （3,-6）.
例（2）已知点M （2,2）和N （5，-2），点P 在x 轴上，且∠MPN 为直角，求点P 的坐标。
直线的方程
二、直线方程的分类：
1、点斜式: y-y 0=k (x －x 0)
1、 斜截式： y=kx +b (b 是与y 轴的交点)
2、 两点式: 121y y y y --=1
21x x x x -- 3、 一般式：A x +B y +C=0
4、 截距式：a x +b
y =1 三、典型例题
1.过点（1,0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程。
2、直线过点（3,2），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。
3、经过点A （-1,8），B （4，-2）的直线方程。
4、已知A(1,2), B （3,1），求线段AB 的垂直平分线方程。
5、一条光线从点P （6,4）射出，与x 轴相交于点Q （2，0）经x 轴反射，求入射光线和反射光线所在的直线方程。
直线的交点坐标与距离公式
1、求两条直线的交点（联立方程组）
例（1）若三条直线：2x+3y+8=0,x-y-1=0 和x +ky +k+21=0相交于一点，则k=
（2）已知直线l 1：x+y+2=0, l 2：2x-3y-3=0,求经过的交点且与已知直线3x +y -1=0平行的直线l 的方程。
2、 两点间的距离公式︱P 1P 2︱= 212212)()(y y x x -+-
例（1）已知点A （a,-5）与B （0,10）间的距离是17，求a 的值。
例（2）已知点A （-1,2），B （2，7），在x 轴上求一点P ，使︱PA ︱=︱PB ︱，并求的 ︱PA ︱值。
点到直线的距离
点P （x 0,y 0）到直线 l: A x +By+c=0的距离d= 2200B A C
By Ax +++
例1：求点A(-2,3)到直线 l :3x+4y+3=0的距离 d= 2200B A C
By Ax +++
例2：已知点（a,2）到直线l: x-y+1=0的距离为2，则a= 。
(a ＜0)
例3:求直线 y=2x+3关于直线l : y=x+1对称的直线方程。
两平行直线间的距离
d=222
11B A C By Ax +++
例1：求平行直线l 1:2x-7y-8=0与l 2:6x-21y-1=0的距离
例2：已知直线l 1：（t+2）x +(1-t)y=1与 l 2：（t-1）x+(2t+3)y+2=0相互垂直，求t 的值。
例3：求点A （2,2）关于直线2x-4y+9=0的对称点坐标。