1605 常用的连续型分布.

p(x)
1
1. 曲线以直线 x 为对称轴，即 p( h) p( h)； 2π
2. h 0, P h P h;
3. 当 x 时，曲线处于最高点： p() 1 ；
o h h
x
2π
p(x)
4. 参数 确定了曲线的位置， 确定了曲线的形状，
越大，曲线越平坦， 越小，曲线越集中.
O
x
简记为 R.V. : e().
2. 指数分布
指数分布有重要应用，常用它来作为各种“寿命”分布的近似.例如无 线电元件的寿命、动物的寿命、电话问题中的通话时间、随机服务系统 中的服务时间等都常假定服从指数分布.
2. 指数分布
例1 设某元件使用寿命(单位:h) R.V. : e(1/ 2000) ，试求下列事件的概率：
(1) 任取其中一只，正常使用达1000h以上；
(2) 若任取的一只已经使用了1000h，以后继续使用2000h以上.
解：1) P 1000
1
e x/2000 dx e x/2000
1
e 2 0.6065.
1000 2000
1000
2)
P
2000
1000
P
2000 1000
P 1000
此处二值相等， 绝非偶然
P P
2000 1000
e1 e 1/ 2
e1/2
0.6065
2. 指数分布
事实上，服从指数分布的随机变量. 具有以下性质： t, t 0，有
P t t t P t.
注：
P
t
t
t
P
t t P t
t
P t t P t
e (t t ) et
et
P
t
此说明指数分布具有“无记忆性”的特征， 即对于某些“寿命”相当长的考察对象， 已经有了较长时间 t 经历后，能再持续t 的概率与前面的 t 无关.这也是指数分布 具有广泛应用的原因.
3. 正态分布
正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一， 故它在概率统计中占有特别重要的地位。
1. 均匀分布
均匀分布常见于下列情形： 1.在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差； 2.公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.
2. 指数分布
如果随机变量 的分布密度为
f (x)
ex ,
p(x)
x 0 ( 0)
0, x 0
则称 服从以 为参数的指数分布，
他的工作对后世影响极大，所以正态分布同时有了 “高斯分布”的名称。
现今，德国10马克的钞票上还印有高斯的头像和正 态分布的密度曲线。
高斯
小结
1. 各类连续型分布: (1) 均匀分布：
(2) 指数分布：
ex , p(x)
x0
0, x 0
p(x)
b
1
a
,
0,
( 0)
a xb 其他
(3) 正态分布： p(x)
高等数学在线开放课程
常用的连续型 分布
学习目标
1. 掌握各类连续型分布的概念 2. 能够通过定义求解相应的概率问题
目录
01 均匀分布 02 指数分布 03 正态分布
1. 均匀分布
如果随机变量 的分布密度为
f (x)
p(x)
b
1
a
,
a xb
0,
其他
ab
则称 服从以 a,b 为参数的均匀分布，简记为 R.V. : Ra,b.
B
A
A, B 间真实距离为 ，测量值为 x， x 的分布密度应该是什么形态？
3. 正态分布
如果随机变量 的分布密度为
p(x)
1
e
(
x )2 2 2
( x )
p(x)
2π
其中 , 0，则称 服从以 ， 2 为参数
的正态分布，简记为 R.V. : N (, 2 ).
o
x
3. 正态分布
正态分布密度的性质：
1
e
(
Baidu Nhomakorabea
x )2 2 2
( x )
2π
标准正态分布： (x)
1
x2
e2
( x )
2π
2. 指数分布的无记忆性.
3. 正态分布的各项性质.
谢谢
x
3. 正态分布
当 0, 1 时，分布密度为
(x)
1
x2
e2
( x )
2π
称 服从标准正态分布，简记为 R.V. : N(0,1).
(x)
1. (x) 为偶函数，以 x 0 为对称轴；
1
2π
2. 当 x 0 时取得最大值：(0) 1 .
2π
0
x
3. 正态分布
正态分布的应用与背景 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸
如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸、长度、重量、高度等， 都近似服从正态分布.
用某大学女大学生的身高 的数据画出的频率直方图. 红线是拟合的正态密度曲 线
3. 正态分布
正态分布最早是由A.棣莫弗在求二项分布的渐进公 式中得到。
伟大的数学家、物理学家、天文学家、大地测量学 家高斯(Gauss)在研究测量误差时，从另一个角度导出 了它，并研究了它的性质。