苏教版高中数学必修五第5讲：等差数列前n项和公式(教师版)

苏教版高中数学 等差数列的前n 项和

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教学重点： 掌握等差数列前n 项和通项公式及性质，数列最值的求解，与函数的关系 教学难点： 数列最值的求解及与函数的关系

1. 数列的前n 项和

一般地，我们称312...n a a a a ++++为数列{}n a 的前n 项和，用n S 表示；记法：

123...n n S a a a a =++++ 显然，当2n ≥时，有1n n n a S S -=- 所以n a 与n S 的关系为

n a = 1S ()1n =

②()12n n S S n --≥

2. 等差数列的前n 项和公式()()

11122

n n n a a n n S na d +-==+ 3. 等差数列前n 项和公式性质

（1） 等差数列中，依次()2,k k k N +≥∈项之和仍然是等差数列，即

23243,,,,...k k k k k k k S S S S S S S --- 成等差数列，且公差为2k d

（2） n S n ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

是等差数列 （3） 等差数列{}n a 中，若(),n m a m a n m n ==≠，则0m n a +=；若(),,n m S m S n m n ==≠

则()m n S m n +=-+

（4） 若{}n a 和{}n b 均为等差数列，前n 项和分别是n S 和n T ，则有

21

21

n n n n a S b T --=

（5） 项数为2n 的等差数列{}n a ，有()1,n n n S n a a +=+有S 偶 -S 奇 =nd ，S

S

奇 /偶 =1n n a a + 4. 等差数列前n 项和公式与函数的关系

等差数列前n 项和公式()112n n n S na d -=+

可以写成2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 若令1,,22

d d

A a

B =-=

类型一： 数列及等差数列的求和公式

例1.已知数列{}n a 的前n 项和2

2,n S n n =+ 求{}

n a

解析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+当1n =时，上式成立所以

21n a n =+

答案：21n a n =+

练习1. 已知数列{}n a 的前n 项和2

2,n S n n =+求2a

答案：25a =

练习2：已知数列{}n a 的前n 项和2

2,n S n n =+求10a

答案：1021a =

例2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，131

,,15,22

m a d S ==-=-求m 及m a 解析：()131.

.15222m m m S m -⎛⎫

=+-=- ⎪⎝⎭，整理得27600,m m --= 解得12m =或5m =-（舍去）()12311211522m a a ⎛⎫

∴==

+-⨯-=- ⎪⎝⎭

答案：1212,4m a ==-

练习3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11,512,1022n n a a S ==-=-，求d

答案：171d =-

练习4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，524,S =求24a a + 答案：24485

a a +=

例3.在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S (1) 若81248,168,S S ==求1a 和公差d

(2) 若499,6,a a ==-求满足54n S =的所有n 的值

解析：（1）由等差数列前n 项和公式有11182848,1266168,8,4a d a d a d +=+=∴=-= （2）由4919,6,18,3a a a d ==-∴==-所以()()1

1813542

n S n n n =+--=即213360n n -+= 解得4n =或9n = 答案：（1）18,4a d =-= （2）4n =或9n =

练习5.设n S 是等差数列{}n a 的前项和，1532,3,a a a ==则9S =___________ 答案：54-

练习6.在等差数列{}n a 中，241,5,a a ==则{}n a 的前5项和 5S = ______________ 答案：15

类型二： 等差数列前n 项和公式的性质 例4.在等差数列{}n a 中， （1） 若41720a a +=，求20S

（2） 若共有n 项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项和286n S = ，求n （3） 若10100100,10S S ==求110S

解析：（1）由等差数列的性质，知()1204172012020

202002

a a a a S a a +=+=∴=

+= （2）由题意得，知123412321,67,n n n n a a a a a a a a ---+++=+++= 由等差数列的性质知

()121324311488,22n n n n n n a a a a a a a a a a a a ---+=+=+=+∴+=∴+=又()12

n n n

S a a =

+ ，即 22

2862

n ⨯=

26n ∴= （4） 因为数列{}n a 是等差数列，所以10,2010302010090110100,,...,,S S S S S S S S S ----成等差数列，