35届物理竞赛试卷及答案
第35届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题及参考答案
R1
r
R2
宇宙微波背景辐射温度为 T 2.73K 。 若单位时间内由球壳 量为 5.67 10 8 W m 2 K 4 ， 内表面传递到球壳外表面的热量为 Q 44.0W ，求 （1）球壳外表面温度 T2 ；（2）球壳内表面温度 T1 ；（3）内球温度 T0 。 已知： 物体表面单位面积上的辐射功率与同温度下的黑体在该表面单位面积上的辐射功 率之比称为比辐射率。 当辐射照射到物体表面时， 物体表面单位面积吸收的辐射功率与照射 到物体单位面积上的辐射功率之比称为吸收比。 在热平衡状态下， 物体的吸收比恒等于该物 dT 体在同温度下的比辐射率。 当物体内某处在 z 方向 （热流方向） 每单位距离温度的增量为 dz dT 时， 物体内该处单位时间在 z 方向每单位面积流过的热量为 ， 此即傅里叶热传导定律。 dz
式中 m 是小物体的质量。小物体相对于地球中心的角动量为
L mv0 R h
该物体能绕地球做周期运动，其能量应 E0 由此条件以及 E 的表达式，得
2GM 2GM ，即 v0 ① Rh Rh 物体能绕地球做持续的周期运动，不能坠落到地球表面。当物体初始速度 v0 降低到某 个值 v0min 时，物体运动的椭圆轨道将与地球表面相切，设这种情况下物体在与地球表面相
y
三、（40 分）如图，一质量为 M 、长为 l 的匀质细杆 AB 自由悬挂于 通过坐标原点 O 点的水平光滑转轴上（此时，杆的上端 A 未在图中标 ， 杆可绕通过 O 点的轴在竖直平面 （即 x-y 平 出， 可视为与 O 点重合） 面， x 轴正方向水平向右）内转动； O 点相对于地面足够高，初始时 杆自然下垂； 一质量为 m 的弹丸以大小为 v0 的水平速度撞击杆的打击 中心（打击过程中轴对杆的水平作用力为零）并很快嵌入杆中。在杆 转半圈至竖直状态时立即撤除转轴。重力加速度大小为 g 。 （1）求杆的打击中心到 O 点的距离；
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题第01套-解答v1
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题第01套解答【第一题】40分如图所示，一均匀杆AB ，质量为m ，长为2b ，中点记为C . 初始时刻，杆静止，其两端点,A B 分别用一轻绳系在其竖直上方的固定悬点,P Q 上，=1AP l 、=2BQ l . 现突然给杆一绕C 的角速度ω（角速度矢量沿竖直方向），求两绳中的张力12,T T ， （1）（15分）若==12l l l ；（2）（25分）若>12l l .解答：（1） 杆两端的线速度：v b ω= [1] 杆两端在竖直方向加速度为向心加速度：222A B v b a a l l ω=== [2]22C A B b a a a lω===[3]由对称性和竖直方向受力平衡：12T T = [4] 12C T T mg ma +-= [5]解得：22121()2b T T m g lω==+ [6][1][2][4][5]各2分 [3]3分 [6]4分（2） 同（1）的第一步：22211A v b a l l ω== [7]22222B v b a l l ω== [8]设：A C a a b β=- [9]BC a a b β=+[10]可解得：2212122C l l a b l l ω+=[11]212122l l b l l βω-=[12]平衡和牛顿第二定律：21T b T b I β-=[13] 2211(2)123I m b mb ==[14] 12C T T mg ma +-=[15]解得：221211221(b )23l l T m g l l ω+=+[16]221221221(b )23l l T m g l l ω+=+[17][7][8][11][12][13][15]各2分[9][10][14]各1分 [16][17]各5分【第二题】40分如图，这时是一种三角打孔机的结构。
其中持钻架A被限制平行运动，A中间有一个正三角形的内孔，边长为l。
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题第07套-解答v2
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题第07套解答【第一题】40分如图所示，有一长为2l的轻质细杆，两端各固连一个质量为m的小球（A和B），中点处有一原长为0，劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧一端与杆的中点相连，另一端与一个套在杆上质量也是m的小球C相连，这个小球可以沿杆无摩擦滑动. 初始时系统静止在光滑水平桌面上，一个质量也是m的小球D以速度v0与小球B发生弹性正碰，v0垂直于杆.(1)求碰后瞬间四个小球的速度.(2)在碰后的运动中，如果小球C稍稍偏离杆的中点，为了在中点附近相对于杆做简谐振动，弹簧的劲度系数k至少多大？(3)在(2)的条件下，求出振动的周期.答案(1)选择杆中点为转轴，ABC系统的转动惯量I0=2ml2[1]设碰后ABC系统质心速度（即C的速度）为v C，角速度为ω0，小球D的速度为v D，则有动量守恒mv0=3mv C+mv D[2]角动量守恒mv0l=mv D l+I0ω0[3]机械能守恒1 2mv02=123mv C2+12mv D2+12I0ω02[4]联立解得v C=4v011v D=−v011ω0=6v011l[5] 则有v A=v C−ω0l=−2v011v B=v C+ω0l=10v011[6] (18分，每式2分)(2)在ABC系统质心系研究此问题. 假设杆中点到质心的距离为x，则小球C到质心的距离为2x，C偏离杆中点共3x. 此时系统绕质心的转动惯量I=m(l+x)2+m(l−x)2+m(2x)2=2ml2+6mx2[7] 角动量守恒，有Iω=I0ω0[8] 所以转动动能为T1=12Iω2=L22I=L24m(l2+3x2)[9]其中L=I0ω0=12mv0l/11表示系统的角动量. 研究径向运动时，转动动能化为有效势能的一部分. 有效势能V eff=12k(3x)2+T1=12k(3x)2+L24m(l2+3x2)[10]利用小量展开1/(1+α)≈1−α，有V eff≈92kx2−3L24ml4x2+L24ml2[11]要形成简谐振动，x=0处V eff应极小，即要求9 2k−3L24ml4>0[12]所以k min=L26ml4=24mv02121l2[13](14分，每式2分)(3)由(14)式，等效劲度系数K=9k−3L22ml4=9k−216mv02121l2[14]径向运动的动能T2=12(2m)ẋ2+12(2ẋ)2=3mẋ2[15]等效质量M=6m[16] 所以周期T=2π√MK =2π√2m3k−72mv02121l2[17](8分，每式2分)【第二题】40分如图所示，在水平地面上放着一个物体，其由两个全同的刚体在O点光滑铰接组成。
第35届全国部分地区大学生物理竞赛考题和答案
夹角为
。
9.设想将地球挤压成半径为 ������0 的小球体，光子在小球体的万有引力作用下，恰好能沿着球 体表面作匀速圆周运动，地球便成为一个“黑洞”。已知地球真实半径 ������ = 6.4 × 106 m ，地
面重力加速度 ������ = 9.8 m/s2，真空光速 ������ = 3.0 × 108 m⁄s 。地球成为“黑洞”的半径 ������0 =
线，其中 ������ 的单位取为 ������������������ 。
（2）计算循环效率 ������ 。
������
������ ������
������
������
������
4 / 10
*****************************密******************封*******************线*********************************
������
������0
=
√3 4
������0
������(������) = ������������0√1���6������20���2 + 5
������
其中 ������0 为 ������ = ������0 处介质的折射率，试 求 ������ 值和在 ������ > 0 区域内的光线方程 ������~������ 。
������
摩擦。假设 ������ 端可以沿地面朝右滑动，但因受约束，不
会离开地面；������ 端可以沿着墙面朝下滑动，但不受相应
������
的约束，故可以离开墙面。试问在 ������ 端未达墙的底端 ������
������
第35届国际物理奥林匹克竞赛实验试题及解答(英文)
Mechanical “Black Box” and rotation stage
Rotating stub
Weight with a string
京翰教育中心/
高中物理辅导网/
Mechanical “Black Box”
1. 2. 3. 4. 5. 6. The time available is 5 hours. Use only the pen provided. Use only the front side of the writing sheets. Write only inside the boxed area. In addition to the blank writing sheets, there are Answer Forms where you must summarize the results you have obtained. Write on the blank writing sheets the results of your measurements and whatever else you consider is required for the solution to the question. Please, use as little text as possible; express yourself primarily in equations, numbers, fixes at the top of each sheet of paper write down your country code (Country Code) and student number (Student Code). In addition, on each blank writing sheets, write down the progressive number of each sheet (Page Number) and the total number of writing sheets used (Total Number of Pages). If you use some blank writing sheets for notes that you do not wish to be marked, put a large X across the entire sheet and do not include it in your numbering. At the end of the experiment, arrange all sheets in the following order: • Answer forms (top) • used writing sheets in order • the sheets you do not wish to be marked • unused writing sheets • the printed question (bottom) It is not necessary to specify the error range of your values. However, their deviations from the actual values will determine your mark. Place the papers inside the envelope and leave everything on your desk. You are not allowed to take any sheet of paper or any material used in the experiment out of the room.
第35届全国中学生物理竞赛预赛试卷及答案
第35届全国中学生物理竞赛预赛试卷及详细解析本卷共16题，满分200分。
一、选择題，本题共5小题，每小题6分。
在毎小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合題意，有的小题有多项符合题意。
把符合题意的选项前面的英文字母写在每小題后面的方括号内全部，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分1.居里夫人发现了元家钋（Po), 其衰变的核反应方程式为Po b a αd c Pb +82206γf e 其中，a 、b 、c 、d 、e 、f 的值依次为A. 211、84、4、2、1、0B. 210、84、4、2、0、0C. 207、84、1、1、0、1D. 207、83、1、1、0、02.如图，一劲度系数为k 的轻弹簧上端固定在天花板上，下端连接一质量为m 的小球，以小球的平衡位置O 作为坐标原点，x 轴正方向朝下。
若取坐标原点为系统势能的零点，则当小球位于坐标为x 0的位置时，系统的总势能为 A. 12kx 02-m g x 0 B. 12k(x 0+mg k )2−mgx 0 C. 12k(x 0+mg k )2 D. 12kx 023.库伦扭摆装置如图所示，在细银丝下悬挂一根绝缘棒，捧水平静止；棒的两端各固定一相同的金属小球a 和b ，另一相同的金属小球c 固定在插入的竖直杆上，三个小球位于同一水平圆周上，圆心为棒的悬点O 。
细银丝自然悬挂时，a 、c 球对O 点的张角θ=4°。
现在使a 和c 带相同电荷，库伦力使细银丝扭转，张角α增大，反向转动细银丝上端的旋钮可使张角α变小；若将旋钮缓慢反向转过角度β=30°，可使小球a 最终回到原来位置，这时细银丝的扭力矩与球a 所受球c 的静电力的力矩平衡。
设细银丝的扭转回复力矩与银丝的转角β成正比。
为使最后a 、c 对O 点的张角α=2°，旋钮相对于原自然状态反向转过的角度应为A.β=45°B. β=60°C.β=90°D.β = 120°4．霍尔传感器的结构如图所示，图中H 为一块长方体半导体薄片，外加磁场的磁感应强度B 和外加电流I 的方向如相应箭头所示（B 与长方体的前后两个表面及电流I 均重直），电压表（可判断直流电压的正负）按图中方式与H 的上下表面相连。
第35届全国中学生物理竞赛决赛试题(word版).docx
第 35 届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题（上海交大）1、（ 35 分）如图，半径为R、质量为 M的半球静置于光滑水平桌面上，在半球顶点上有一质量为m、半径为r 的匀质小球。
某时刻，小球收到微扰由静止开始沿半球表面运动。
在运动过程中，小球相对半球的位置由角位置描述，为两球心连线与竖直线的夹角。
己知小球绕其对称轴的转动惯量为2mr 2，小球与半球5间的动摩擦因数为，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
重力加速度大小为 g。
（1）（ 15 分）小球开始运动后在一段时间内做纯滚动，求在此过程中，当小球的角位置为的速度大小 V M ( 1) 和加速度大小a M ( 1) ；1 时，半球运动（2）（ 15分）当小球纯滚动到角位置2 时开始相对于半球滑动，求 2 所满足的方程（用半球速度大小V M ( 2 )和加速度大小a M ( 2 ) 以及题给条件表示）；（3）（ 5 分）当小球刚好运动到角位置3时脱离半球，求此时小球质心相对于半球运动速度的大小v m ( 3 ) 2、（ 35 分）平行板电容器极板 1 和 2 的面积均为S，水平固定放置，它们之间的距离为d，接入如图所示的电路中，电源的电动势记为U。
不带电的导体薄平板3（厚度忽略不计）的质量为m、尺寸与电容器极板相同。
平板 3 平放在极板 2 的正上方，且与极板 2 有良好的电接触。
整个系统置于真空室内，真空的介电常量为0 。
合电键K 后，平板 3 与极板 1 和2 相继碰撞，上下往复运动。
假设导体板间的电场均可视为匀强电场；导线电阻和电源内阻足够小，充放电时间可忽略不计；平板 3 与极板 1 或2 碰撞后立即在极短时间内达到静电干衡；所有碰撞都是完全非弹性的。
重力加速度大小为g。
（1）（ 17 分）电源电动势 U至少为多大？（2）（ 18 分）求平板 3 运动的周期（用 U 和题给条件表示）。
已知积分公式dx1ln 2ax b 2 a ax2bx C ，其中a>0，C为积分常数。
2018年第35届全国中学生物理竞赛复赛试题与答案
第35届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题2018年9月22日说明:所有解答必须写在答题纸上，写在试题纸上的无效（35届复赛）一、（40分）假设地球是一个质量分布各向同性的球体。
地球自转及地球 大气的影响可忽略。
从地球上空离地面髙度为h 的空间站发射一个小物体，该物体相对于地球以某一初速 度运动，初速度方向与其到地心的连线垂直。
已知地球半径为R,质呈为M,引力常量为G 。
（1） 、若该物体能绕地球做周期运动,其初速度的大小应满足什么条件？ （2） 、若该物体的初速度大小为％，且能落到地而，求其落地时速度的大小和方向（速度与其水平分量之间的夹角）、以及它从开始发射直至落地所需的时间。
已知:对于c<0, A = /?2 -4ac >0,有 dZ _ _JL_arcsin 竺工 + C f , “= bx + cx 2c2(-c)品yja +式中C 为积分常数。
解：（1）、E = 0时对应的扌〃巴二一G#f = 0角动量守恒 加匕(R+ h) = mRvcosa机械能守恒-mV ： -G --------- = -mV^ -G ——2 R+h 2 Rxdx 小球做椭圆运动，最近点和地球相切解得忌佛(R+h)%cos a = —=^== R 込 V 0 R+h解 1、角动量守恒 mV {)(R+ h) = mrv& = mr打吒一G 四哎20 R+h 2r机械能守恒 =l,wt v ；+v ；]-^-1 2 f 、、 GmM =-ni[(—y + 广(—r 一 ------- 2 dt dt rdr _ J (R+h)飞 | 2罗 * 芒 2GM + h)2 v (; + 2GMr + (v ；- 2^)r R + h-r 2 + 2GMr 一 (R+ h)2 vj R + hrdr呂邑)r 2 + 2GMr 一 (R+ h)S ： R + hrclr兰竺)r 2 + 2GM/・ - (R+ h)2 v (;R + h令 C = x ^-Z^£<o h = 2GM “ = -(R+h)fR + h可得 △ = /一4^・>0.r xdxyja +bx + ex 2 b. 2cx + b由. ==- ----------- 一 ---- arcsin ― +Q 可得Ja + bx + cF c 2(-e) * 逅2GMi ：(R+h)丄厂”『R + h ・ v (;/?(R+h)-GM(R-h)+GM -------------- ； ------ — + arcsin ------- ---------------- ； ------ -]2GM - v ；(R+ h) 2 GM(R+ h) - v ：(R+ h)2当初始速度为临界速輕彳册帀时，下落时间仏希［警严解 2: 1 阴 _G 〃M J2R+h 2•加-G “MrF 22 2GM 2GM*T l —T0 R + h rv 0(R+h) = rvcosa得 Avsin a = rvjl_cos'a = y/r 2v 2 - r 2v 2 cos 2 a = JrV -(R + 疔谛解得v/供 de It消掉空可得dt =一 X (2R+h)h(35届复赛)二、(40分)如图，一劲度系数为*的轻弹簧左端固左，右端连一质量为m 的小球;弹簧水平，它处于自然状态时小球位于坐标原点O;小球可在水平地面上滑动，它与 地面之间的动摩擦因数为“ o 初始时小球速度为零，将此时弹簧相对于其原长的伸长记为 -兔(现＞0,但心并不是已知量)。
第35届全国中学生物理竞赛决赛试题(word版)
第35届全国中学生物理竞赛决赛试题(word版)35届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题（XXX）1、（35分）如图，半径为R、质量为M的半球静置于光滑水平桌面上，在半球顶点上有一质量为m、半径为r的匀质小球。
某时刻，小球收到微扰由静止开始沿半球表面运动。
在运动过程中，小球相对半球的位置由角位置$\theta$描述，$\theta$为两球心连线与竖直线的夹角。
已知小球绕其对称轴的转动惯量为$\frac{2}{5}mr^2$，小球与半球间的动摩擦因数为$\mu$，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
重力加速度大小为g。
1）（15分）小球开始运动后在一段时间内做纯滚动，求在此过程中，当小球的角位置为$\theta_1$时，半球运动的速度大小$V_M(\theta_1)$和加速度大小$a_M(\theta_1)$；2）（15分）当小球纯滚动到角位置$\theta_2$时开始相对于半球滑动，求$\theta_2$所满足的方程（用半球速度大小$V_M(\theta_2)$和加速度大小$a_M(\theta_2)$以及题给条件表示）；3）（5分）当小球刚好运动到角位置$\theta_3$时脱离半球，求此时小球质心相对于半球运动速度的大小$v_m(\theta_3)$。
2、（35分）平行板电极板1和2的面积均为S，水平固定放置，它们之间的距离为d，接入如图所示的电路中，电源的电动势记为U。
不带电的导体薄平板3（厚度忽略不计）的质量为m、尺寸与电极板相同。
平板3平放在极板2的正上方，且与极板2有良好的电接触。
整个系统置于真空室内，真空的介电常量为$\epsilon$。
合电键K后，平板3与极板1和2相继碰撞，上下往复运动。
假设导体板间的电场均可视为匀强电场；导线电阻和电源内阻足够小，充放电时间可忽略不计；平板3与极板1或2碰撞后立即在极短时间内达到静电干衡；所有碰撞都是完全非弹性的。
重力加速度大小为g。
1）（17分）电源电动势U至少为多大？2）（18分）求平板3运动的周期（用U和题给条件表示）。
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题第03套-解答
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题第03套解答【第一题】40分如图所示，一个质量为m ，半径为R 的匀质圆环静止竖立在地面上，二者间的摩擦系数为μ.图中A 点所在直径与竖直方向夹角为()0/2θθπ<<，现在在A 点瞬间给予圆环一个冲量I ，与竖直方向夹角为()0/2φφπ<<.假设收到冲击后圆环竖直方向上速度为零。
(1) 参数μ,θ,ϕ满足何种条件时，圆环最低点（M 处）将与地面发生滑动？ (2) 分别在发生滑动与不发生滑动的条件下求出末态圆环的质心速度和转动角速度. (3) 在一定条件下，圆环可能在一段时间之后滚回初始位置. 这要求参数μ,θ,ϕ满足何种条件？解答：(1) 由于冲量是瞬间作用的，可以不考虑重力的作用. 考虑到圆环竖直方向没有运动，地面支持力的冲量为cos I ϕ.设摩擦力冲量为i .先确定冲量i 的方向，如果地面光滑，则容易看出sin C v I ϕ=,()sin //C I mR v R ωϕθ=-<，故最低点速度向右，由此判断摩擦力向左. 水平方向动量定理：sin C mv I i ϕ=- [1]对质心C 的角动量定理：()2sin mR IR iRωϕθ=-+ [2]假设底部没有滑动，则C v R ω= [3]联立以上三式可解得()sin sin 2I i ϕϕθ--⎡⎤⎣⎦= [4]而摩擦力可提供的冲量最大为max cos i I μϕ=,故发生滑动摩擦的条件是()sin sin cos 2ϕϕθμϕ--⎡⎤⎣⎦<[5](16分，判断摩擦力方向2分，[3]式2分，其他四式各3分)（2）不发生滑动摩擦的情况下，联立[1]-[3]式可解得()sin sin 2C I v mϕϕθ+-⎡⎤⎣⎦=,()sin sin 2I mRϕϕθω+-⎡⎤⎣⎦=[6] 发生滑动得情况下，联立[1]、[2]式以及cos i I μϕ=可解得sin cos c I I v mϕμϕ-=, ()cos sin I I mR μϕϕθω+-=[7](12分，两种情况各6分)（3）要滚离初始位置再滚回，首先要求I 作用完成后圆环底部与地面有相对滑动（否则将一直匀速纯滚动，不可能滚回来），即要满足[5]式.在这个前提下，就有可能质心速度向右，但逆时针转动，在地面摩擦力作用下达到纯滚动时向左运动，最终回到初始位置. 以地面上的固定点M 为参考点，I 作用完成后的运动中，重力与支持力的力矩相互抵消，摩擦力过M 点不产生力矩，故圆环角动量守恒. 圆环能滚回来要求初始时角动量向纸面外（逆时针转动）.由于冲量I 作用过程中支持力和摩擦力对M 点也没有力矩，故这就要求M 在I 的延长线上方，即/2ϕθ<.所以参数应满足的条件为()cos sin sin /2/2μϕϕϕθϕθ⎧<--⎡⎤⎪⎣⎦⎨<⎪⎩ [8](12分，利用上一问解得的速度和角速度计算纯滚动速度时得到结果也可，其他方法也可)【第二题】40分在数轴的原点有一只球形猪，每过0t 时间，猪就会随机向左或者向右走单位长度1。
第35届全国部分地区大学生物理竞赛试卷及答案(2018年12月)
������
杆静止，后因微小扰动，细杆开始运动，设系统处处无
������
摩擦。假设 ������ 端可以沿地面朝右滑动，但因受约束，不
会离开地面；������ 端可以沿着墙面朝下滑动，但不受相应
������
的约束，故可以离开墙面。试问在 ������ 端未达墙的底端 ������
������
之前，������ 端会否离开墙面？若会，再问 ������ 达何值时 ������ 端
如图 2 所示，每边长为 ������ 的均匀正方形电阻薄平板，已测得 ������、������ 两端间电阻 ������������������ = 5Ω 。若将每边长都增为 2������ ，质材不变， 试分析地判定相应的电阻 ���������∗��������� = ？
������ ������1
考场
准考证号
三、限做题（根据考生类别选做）
15.（20 分）相对论中，质点在惯性系 ������ 中静止时，它的质量 ������0 称为静质量，质点内在的能
量称为静能 ������0 ，且有
������0 = ������0������2
质点在 ������ 系中运动时，速度记为 ���⃑��� ，质点质量 ������ 和内含的能量 ������ 分别为
大学生物理竞赛试题大全
13.（15 分）如图所示，轻的细杆 ������������������ 的 ������ 端靠在竖直
墙上，������ 端落在水平地面上，������ 端、������ 端和杆的中点 ������
������
处各有质量相同的固定小球。开始时图中角 ������ = 0 ，细
������ = ������0 , ������ = ������������2
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题第05套解答v4
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题 第05套解答【第一题】40分疯狂的科学家想制造一条太空锁链.在地球赤道上两处，立起等长的足够坚固、长度可调的两根柱子，忽略地球自转，地球半径为R ，地表重力加速度为g .在两根柱子的顶端之间连接一根质量线密度为λ的链条，链条处于平衡状态. 锁链所能承受的最大张力为max T .若要求锁链最低点距离地心为0r 、有张力2002gR T r λ=，已知2max 00gR T T r λ<+，求在锁链恰好不断裂时：（1） 端点处链条切线与柱子的夹角C α； （2） 锁链的形状()r θ； （3） 两根柱子之间的夹角C φ；解答：易知引力势能为：2P R E mg r=-[1]由虚功原理，可以得到r 处张力T 的大小：()20011T T ds dsgR r r λ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()20011T T ds dsgR r r λ⎛⎫-=-⎪⎝⎭20011T T gR r r λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭[2]由于对称性，取一半锁链对地心有力矩平衡：00sin Tr T r α=[3]极坐标下有几何关系：sin α==[4]联立以上方程可得：22000011T gR T r r r λ⎡⎤⎛⎫+-=⎢ ⎪⎝⎭⎣ [5]作换元1u r=：()200011gR u u T u λ⎡⎤+-=⎢⎣进一步整理：()20000gR u u u u T λ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦[6]由于θ↑r ↑u ↓，于是：d θ= [7]代入2002T gR u λ=及00r r θ==可以得到:()1arcsin1022rrπθθ⎡⎤⎛⎫=-+>⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[8]()0rθ=>[9]()()()0r rθθθ=-<[10] 由[2]可知：11max0max220013CT T Trr gR r gRλλ--⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[11]代入[3]有Cα：()2max00max02max max02arcsin1arcsin3CT TT T rgRT g T r gRλαλλ-⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[12]代入[8]有：max0212arcsin422C CT rgRπφθλ⎡⎤⎛⎫==--⎢⎥⎪⎝⎭⎦[13][1-5]共10分[8][9]共10分[12]10分[13]10分【第二题】40分记太阳质量为sM、地球质量为eM、火星质量为MM、地球半径为er、火星半径为mr.认为地球和火星在同一平面内绕太阳圆周运动，轨道半径分别为eR和mR. 现通过某种机制使火星突然获得一指向太阳的速度v.（1）（15分）若火星此后的轨道可以与地球轨道相交，求v的最小值.（2）（25分）在（1）的条件下，设火星在到达地球轨道附近时地球恰在轨道上该位置，在地球与火星的间距d满足,,e m e mr r d R R<<<<时，火星相对地球的速度的矢量线与地球球心的距离为b（如图）. 若火星和地球可以发生碰撞，求b的最大值.解答：（1） 202m s mm m mv GM M M R R = [1]0m m m m t e M v R M v R =[2]()()22221122s m s m m m m m t m eGM M GM M M v v M v v R R +-=+-[3]由t v =22212m ms e m e R v GM v R R R ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭[4]则可知v ≥[5][1]-[4]共10分[5]5分（2） ()2220rel t e m v v v v =-+[6]由0e v =2231rels em v GM v R R ⎛=--+ ⎝[7]质心系角动量守恒()rel rel m e v b v r r μμ'=+[8]能量守恒221122e m rel relm eGM M v v r r μμ'=-+ [9]其中约化质量e me mM M M M μ=+可解得)max m e b r r =+[10][6]-[9]共15分[10]10分【第三题】（40分）如图所示, 一个粗糙的, 半径为b 的半球固定在水平面上, 其顶部有一个半径a 的匀质薄球壳. 重力加速度为g .1两球球心的连线与地面夹角为0θ。
第35届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题参考答案;
mg
0SU 2 d3
x
由此得，平板3在图b所示位置的加速度
a
Ftotal m
3 0 SU 2md 2
2
g
0SU 2 md 3
x
⑰
因为
0SU 2 2md 2
g
0 ，则 a
0
，平板3能一直向下加速运动。令
a a0 B(d x)
U
电键 K 后，平板 3 与极板 1 和 2 相继碰撞，上下往复运动。假设导体板之间的电场均可视为
匀强电场；导线电阻和电源内阻足够小，充放电时间可忽略不计；平板 3 与极板 1 或 2 碰撞
后立即在极短时间内达到静电平衡；所有碰撞都是完全非弹性的。重力加速度大小为 g 。
（1）电源电动势U 至少为多大？ （2）求平板3运动的周期（用U 和题给条件表示）。 已知积分公式
①
设小球转动角速度大小为，小球做纯滚动，故有
r (R r)
②
无耗散力做功，系统的机械能守恒
mg(R r)(1 cos )
1 2
MVM2
1 2m
R r cos VM 2 R r sin 2
1 2
I
2
③
式中
代入上式得
t2
d U
md 0S
ln
(3
0
SU
2
2mgd 2 ) 2U 0SU 2
0S(20SU 2 2mgd 2
mgd 2 )
⑲
平板 3 从极板 1 运动到极板 2 后，与极板 2 发生完全非弹性碰撞，速度变为零。其下表面所 带的负电荷与极板 2 所带正电荷交换后相互抵消，上表面所带电荷为
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题第06套-解答v2
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题 第06套【第一题】40分根据伯努利定律，流体沿着一条稳定、不可压缩的流线移动时，根据能量守恒，其动能、势能总保持为常数，也就是212v gh P const ρρ++= （1）由于圆柱比较简单，我们先计算一个质心cx v 水平运动，角速度ω（方向为图示中y 方向），半径为R ，高度为h （对称轴为y 轴，>>h R ）的圆柱受到的合力。
假设其表面的空气和圆柱保持同样的速度，并且假设圆柱转动比较快以至于其表面流体的流动可以看做沿着表面的流管进行流动，并且不同位置的高度差可以忽略，如图请先用对称性分析受到的合力方向再计算出其大小。
（13分）（2）假如圆柱质心以cz v 竖直运动，其他条件和（1）中一样，求受到的气体压力的大小和方向。
（5分）（3）作为一个简单的假设，只考虑流体对圆柱平动的影响而不考虑对其转动的影响，圆柱以初速度00ˆˆ(0)c y z v v y v z =+，角速度ˆy ωω=，求速度与时间的关系。
（12分）解答：（1）关于x-z 平面对称，合力无y 分量，速度大小关于y-z 平面对称，合力无x 分量，故合力应该延z 方向。
以柱为系，认为系统为定常理想流体。
则流体的定常流动如图所示，可以认为如图情形在y 方向是无限延伸的。
流体流场为u v +，其中u 为向x 轴负方向常量，v 为环流场，在R 处速度为R ω，随着距离圆柱的距离增大衰减。
对于环路12,C C ，分别是无限靠近圆柱和远离圆柱的两个环路，它们之间用两个从上和从下无限靠近x 轴的路径连接起来。
考察体积内流体动量变化为零()()()()120C C pds u v u v ds ρ-+++⋅=⎰【1】则有()()()()()()()()12--C C Fpds u v u v ds h pds u v u v ds ρρ=+++⋅=+++⋅⎰⎰【2】对于稳定流体()()2011=22P u v u v P u ρρ++++()()()()2201---2C F P v u v ds u u v ds v u ds v v ds h ρρρρρ⎛⎫⎛⎫=⋅++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰考虑到在环路2C 上<<v u ，()u v ds +⋅为环路内流体流量，则净流量为零，上式化简为()()()()()22=--=-C C Fu v ds v u ds h u v ds ρρ⋅+⋅⨯⨯⎰⎰可知合力为y 方向，其大小为()()2----x y y x C x y Fuv ds v uds h u v dx v dy ρρ=+=⎰⎰ 【3】由茹可夫斯基定理，以及将u 代换成cx v22cx F hR v πρω=【1】【2】各3分，结果方向2分，大小2分（2）在计算F 时，x 轴与z 轴是等地位的，所以圆柱延z 轴方向运动时所受到的力为22cz F hR v πρω=- 【4】负号代表方向沿x 轴负方向。