几种特殊函数的图象及应用

几种特殊函数の图象及应用

函数学习中，除了二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等常见函数外，还有一类分式函数、绝对值函数也常常出现．这类函数问题，虽说借助于导数等工具也能解决，但如果能够掌握这类函数の基本图象特征，便能起到事半功倍の效果．本文介绍四个最常见の函数模型及其图象特征，并在实际问题中借助于换元、分离变量等手段将函数表达式转化为这几个函数模型之一，根据函数图象，迅速找到解决问题の切入点和解题思路．

先了解这四个基本函数：

①函数1y x =（图1）；②函数1y x x =+（图2）； ③函数1

y x x

=-（图3）；④函数y x =（图4）．

从函数の图象很容易看出函数の对称性、单调性、值域等性质，下面看它们各自の应用．

一、形如()0c y a c x

b =+

≠-の函数可利用函数1y x =（或1

y

x

=-）の性质．当0c >时，函数c y a x b =+-の图象可看成由函数c

y x

=の图象左右、上下平移得到，在区间(,)b -∞、(,)b +∞上

分别递减；当0c <时，函数c y a x b =+-の图象可看成由函数c

y x

=の图象左右、上下平移得到，

在区间(,)b -∞、(,)b +∞上分别递增．

例1 函数())0(11

lg

>--=k x kx x f 在[)+∞,10上单调递增，求实数k の取值范围． 解析：令11,lg )(--==x kx t t x f ，由复合函数单调性及题意可得:1

1

--=x kx t 需满足两个条件：①

t 在[)+∞∈,10x 上单调递增；②0>t 在[)+∞∈,10x 上恒成立．

考虑)1(1

1

11≠--+=--=

x x k k x kx t 当1=k 时，0)(=x f 不合题意，舍去；

当1>k 时，t 在()()+∞∞-,1,1,上均递减，不合题意，舍去； 当10<

∴t 也在[)+∞,10上递增，且当10=x 时，

图4

图3 图2

09110min >-=

k t ，即,101>k ∴⎪⎭

⎫

⎝⎛∈1,101k ， 综上所述，实数k の取值范围是1,110⎛⎫

⎪⎝⎭

．

二、形如(),0b

y ax c a b x

=++>の函数可利用函数1y x x =+の性质．类似地，如图5，函数(),0b

y ax a b x

=+>在

区间(,-∞

、)+∞

上递增，在区间[

、

上递减．其中，

b ax x =时解得．

例2 已知a R ∈,函数2()223f x ax x a =+--在区间[-1,1]上有零点,求实数a の取值范围． 解析：“函数2()223f x a x x a =+--在区间[-1,1]上有零点”等价于“方程

22230ax x a +--=在区间[-1,1]上有解”

．显然0a ≠，可得2

121

32x a x

-=-，令32[1,5]t x =-∈，可得216717()322t t t a t t -+==+-,

∴13,0)(0,1]a ∈⋃,

解得(,[1,)a ∈-∞⋃+∞．

例 3 已知集合(){}

02,2

=+-+=y mx x y x A ，(){}

20,01,≤≤=+-=x y x y x B ，如果

A B φ⋂≠，求实数m の取值范围．

解析：A B φ⋂≠，即方程022

=+-+y mx x 与方程01=+-y x （20≤≤x ）の图象有公共点，消去y 得关于x の方程01)1(2

=+-+x m x 在[]2,0上有解，显然0=x 不是方程の解，当

(]2,0∈x 可得x

x m 11+

=-． ∴21≥-m ，即1-≤m ．

三、形如(),0b

y ax c a b x

=-

+>の函数可利用函数1y x x =-の性质．类似地，如图6，函数(),0b

y ax a b x

=->在

图6

图5

区间(,0)-∞、(0,)+∞

上分别递增．其中，

由b ax x =时解得．

例4 函数())1(4)41(2≥+-+=a a x a ax x f 在区间[]2,2-上の最大值、最小值分别为M 、

m ，记m M a g +=)(，求)(a g の最小值．

解析：由题得()x f の对称轴⎪⎭

⎫

⎢⎣⎡∈-

=2,23212a x ， ∴()2162-=-=a f M ，a

a a f m 41

8212-=

⎪⎭⎫ ⎝

⎛-

= ∴())1(41

16≥-=a a a a g ，由()a g 图象易得()a g 在[1,)+∞上递增， ∴

4

63

)1()(min ==g a g ．

四、形如()0y a x b c a =-+≠の函数可利用函数y x =の性质．当0a >时，函数

y a x b c =-+在区间(,]b -∞上递减、在区间[,)b +∞上递增；当0a <时，函数y a x b c =-+在

区间(,]b -∞上递增、在区间[,)b +∞上递减．

例5 若函数()2+-=b x a x f 在[)+∞,0为增函数，分别确定实数b a ,の取值范围． 解析：函数x y =在()0,∞-上递减、[)+∞,0上递增；函数x y -=在()0,∞-上递增、在[)+∞,0上递减．函数()x f の图象可由x y =の图象经过平移伸缩变换得到，不难得到0,0≤>b a ．

例6 若关于x の不等式2

2x x t <--至少有一个负数解，求实数t の取值范围． 解析：考察函数

22y x =-与||y x t =-の图象，如图7，当t 在区间

12(,)t t 内变化时，两函数の图象在y 轴左侧有交点，22x x t <--至少有一

个负数解．当1t

t =时，两图象相切，由∆=0，可求得19

4

t =-，当2t t =时，

||y x t =-经过点P(0,2)，解得22t =，所以t ∈9,24

⎛⎫- ⎪⎝

⎭

．

五、综合应用．