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结构力学 虚功原理和结构的位移计算PPT课件
6.1 概 述
本章任务 学习任意平面杆件结构在任意外因（ 荷载、温 度、支移 等）作用下，引起任意形式位移（线 位移、角位移 ）的计算原理及计算方法。
第1页/共130页
一、结构的位移
在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变，称为结构变形 结构变形引起结构上任一横截面位置和方向的改变，称为位移是结构某一截面相对 于初始状态位置的变化.
位移是矢量，即有大小，方向，起点和终点
按运动形式分：
线位移 角位移
绝对线位移（以地基为参照体） 相对线位移（以内部杆件为参照体）
绝对角位移（以地基为参照体） 相对角位移（以内部杆件为参照体）
第2页/共130页
1、一个截面的位移（绝对位移）
1）截面A 位置的移动（用截面形心
的移动来表示）ΔA，称为线位移，
DA
FP A
A1
DB
B1
B FP
2）相对角位移
CD C D
C θC
E θCD
θD D
第4页/共130页
3、一个微杆段的位移
ds
A
dv= g0 ds
g0
dθ= ds/R =kds
v
u
A’
θ
微段刚体位移
g0
ds du= eds
dv
ds
ds
微段相对位移 微段相对位移 微段相对位移 （轴向变形） （剪切变形） （弯曲变形）
第16页/共130页
三、刚体体系的虚功原理
刚体体系处于平衡的必要和充分条件是：对于符合约束条
件的任意微小虚位移，刚体体系上所有外力所做的虚功总
和等于零。
Σ→Fi .δ→i=0
FN1
FP1
δ1
ΔP
本章任务 学习任意平面杆件结构在任意外因（ 荷载、温 度、支移 等）作用下，引起任意形式位移（线 位移、角位移 ）的计算原理及计算方法。
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一、结构的位移
在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变，称为结构变形 结构变形引起结构上任一横截面位置和方向的改变，称为位移是结构某一截面相对 于初始状态位置的变化.
位移是矢量，即有大小，方向，起点和终点
按运动形式分：
线位移 角位移
绝对线位移（以地基为参照体） 相对线位移（以内部杆件为参照体）
绝对角位移（以地基为参照体） 相对角位移（以内部杆件为参照体）
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1、一个截面的位移（绝对位移）
1）截面A 位置的移动（用截面形心
的移动来表示）ΔA，称为线位移，
DA
FP A
A1
DB
B1
B FP
2）相对角位移
CD C D
C θC
E θCD
θD D
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3、一个微杆段的位移
ds
A
dv= g0 ds
g0
dθ= ds/R =kds
v
u
A’
θ
微段刚体位移
g0
ds du= eds
dv
ds
ds
微段相对位移 微段相对位移 微段相对位移 （轴向变形） （剪切变形） （弯曲变形）
第16页/共130页
三、刚体体系的虚功原理
刚体体系处于平衡的必要和充分条件是：对于符合约束条
件的任意微小虚位移，刚体体系上所有外力所做的虚功总
和等于零。
Σ→Fi .δ→i=0
FN1
FP1
δ1
ΔP
结构力学虚功原理课件
刚体的位移
01
刚体的位移
在结构力学中，刚体的位移是研究结构在受力作用下的变形和运动状态
的基本概念。刚体的位移涉及到结构的位移、转角、挠度等参数，这些
参数可以通过测量或计算得到。
02
位移的测量
位移的测量是确定结构在受力作用下的变形程度和运动状态的重要手段。
通过测量位移可以了解结构的响应和行为，从而评估结构的性能和安全
能量原理与虚功原理的关系
能量原理与虚功原理 的联系
能量原理和虚功原理都是弹性力学中 的基本原理，它们之间存在密切的联 系。能量原理指出，对于一个处于平 衡状态的弹性体，其总能量（包括外 力势能和内能）在任何微小虚位移下 的改变量等于零。而虚功原理则是能 量原理的一种特殊情况，即当外力势 能忽略不计时，能量原理就变为虚功 原理。
03
虚功原理的推导
力的平衡方程
力的平衡方程是结构力学中的 基本方程，它描述了结构中力 的平衡条件。在平衡状态下， 作用在结构上的所有外力之和 为零。
力的平衡方程可以表示为：∑F = 0，其中∑F表示作用在结构上 的所有外力矢量和。
力的平衡方程是求解静力学问 题的基础，通过它我们可以求 解出结构的位移、应变和应力 等参数。
实例分析
以梁为例，通过应用虚功原理，可以分析梁在不同载荷下的变形和应力分布，从而优化梁的截面尺寸和 形状，提高其承载能力和刚度。
06
总结与展望
虚功原理的重要性和意义
结构力学中的虚功原理是分析结构稳定性和变形的关键理论之一，对于工程设计和建筑安全具有重要 意义。
虚功原理能够为结构设计和优化提供理论基础，帮助工程师更好地理解和控制结构的力学行为，提高结 构的稳定性和安全性。
变形方程，进而求解物体的内力和变形。
虚功原理ppt
i 1
i 1
i 1
又因为体系所受约束是理想约束，于是有
n
r Fi
rri
0
i 1
-
虚功原理的另一种表述
受有理想约束的力学体系平衡的充要 条件是：力学体系的诸主动力在任意虚位 移中所做的元功之和等于零，也叫虚位移 原理。
-
虚功原理的分量表达式
nu u ru r n W F i.r i(F ixx i F iy y i F iz z i) 0
-
1 基本概念
（1）虚位移
想象中可能发生的无限小的位移，而 不是实际发生的。它只决定于质点在此时 刻的位置和加在它上面的约束，时间没有 改变（δt =0）， 表示为 rr。
-
关于虚位移的说明 • rr 称为 rr 的变分 • 虚位移一般情况不止一个
-
• 虚位移与可能位移
✓ 稳定约束下实位移是许多虚位移中一个 ✓ 不稳定约束下实位移一般不是虚位移中一个
q r r ti
s
t
r ri
1 q
q
i1, 2, L , n
-
（2）理想约束
如果在任何时刻，对于系统的任何 虚位移，约束力所作的虚功之和等于零， 则系统受到的约束是理想约束。
3n
Rixi 0
i1
n R rirri 0
i1
-
几种典型的理想约束
• 质点沿光滑的曲面运动； • 质量可忽略的刚性杆所连接的两个质点； • 两个刚体以光滑的表面接触； • 两个物体以完全粗糙的表面接触（无滑动）； • 两个质点以柔软的且不可伸长的绳子相连接。
P 1 ( l 2 1 c o ) P 2 s ( l 1 c o l 2 2 s c o ) F s ( l 1 s i n l 2 s i) n 0
结构力学虚功原理课件
(二)虚功原理
具有理想约束的刚体体系在任意平衡力系作用下，体 系上所有主动力在任一与约束条件相符合的无限小刚 体位移上所作的虚功总和恒等于零。
W 0
刚体体系的虚功方程
所谓理想约束，是指其约束力在虚位移 上所作的功恒等于零的约束。
(三)虚功原理的两种应用
1.虚设位移状态——求未知力
拟求支座A处的支反力
位移的分类：线位移；角位移。
角位移
线位移
A
A
B
B
相对角位移
2、结构位移计算的目的
①验算结构的刚度； ②为超静定结构的内力计算打下基础； ③结构制作、施工的需要。
3、结构位移计算的假定
①材料服从虎克定律。 ②结构的变形是微小的。 ③结构各处的约束都是理想约束。
线弹性体系
§5-2 虚功原理
（1）刚体体系虚功原理 （2）变形体体系虚功原理
FP
A
B FBx
FA
a
b
l
FBy
W FA A FP P 0
FA
FP
P A
P b A l
b FA l FP
FP
A
B
FA
△A
△P
B
A
A 1
P
b l
B
A
FA FP P
虚位移原理
应用虚位移原理求解静定结构的某一约束力时， 一般应遵循如下步骤： （1）解除欲求约束反力的约束，用相应的约束反 力来代替。 （2）把机构可能发生的刚体位移当作虚位移，写 出虚功方程。 （3）求出虚位移之间的几何关系，利用虚功方程 即可求解约束反力。
结构力学
STRUCTURAL MECHANICS
理论力学第八章虚位移原理课件
只滚不滑？
教材：
若轮子又滚又滑，则滑动中轮与 支承面相互的动滑动摩擦力的元 功有：
δW Fdds fd FNds
ds vI dt
δW Fdds fd FNvI dt
10
>> 力的功
8.1.5 几种常见力的功 5、摩擦力的功
轮滚动时，滚动摩阻力 偶也作功，设最大滚动摩阻 力偶矩为Mr,max，滚过的圆
δW Fxdx Fydy Fzdz
2015/10/27
教材：
2
>> 力的功
8.1.2 变力在质点任意曲线路程中的功 2、变力在质点全路程上所作的功
W M2 F dr M2 F tds
M1
M1
W
M2 M1
(
Fxdx
Fy
dy
Fzdz
)
2015/10/27
教材：
3
>> 力的功
8.1.3 合力的功
教材：
17
>> 虚位移的概念与分析方法
8.2 虚位移的概念与分析方法 8.2.2 虚位移的分析方法
1．几何法
在完整定常约束条件下，微小的实位移是虚位移之一。 因此，可以用质点间实位移的关系来给出质点间虚位移的关 系。
由运动学知，质点无限小实位移与该点的速度正成比， ，所以可用分析速度的方法来建立质点间虚位移的关系。
教材：
24
>> 虚位移的概念与分析方法
8.2 虚位移的概念与分析方法 8.2.2 虚位移的分析方法
2．解析法
xA l sin
yA xB
l cos l sin
l
s in
yB l cos l cos
δxA
教材：
若轮子又滚又滑，则滑动中轮与 支承面相互的动滑动摩擦力的元 功有：
δW Fdds fd FNds
ds vI dt
δW Fdds fd FNvI dt
10
>> 力的功
8.1.5 几种常见力的功 5、摩擦力的功
轮滚动时，滚动摩阻力 偶也作功，设最大滚动摩阻 力偶矩为Mr,max，滚过的圆
δW Fxdx Fydy Fzdz
2015/10/27
教材：
2
>> 力的功
8.1.2 变力在质点任意曲线路程中的功 2、变力在质点全路程上所作的功
W M2 F dr M2 F tds
M1
M1
W
M2 M1
(
Fxdx
Fy
dy
Fzdz
)
2015/10/27
教材：
3
>> 力的功
8.1.3 合力的功
教材：
17
>> 虚位移的概念与分析方法
8.2 虚位移的概念与分析方法 8.2.2 虚位移的分析方法
1．几何法
在完整定常约束条件下，微小的实位移是虚位移之一。 因此，可以用质点间实位移的关系来给出质点间虚位移的关 系。
由运动学知，质点无限小实位移与该点的速度正成比， ，所以可用分析速度的方法来建立质点间虚位移的关系。
教材：
24
>> 虚位移的概念与分析方法
8.2 虚位移的概念与分析方法 8.2.2 虚位移的分析方法
2．解析法
xA l sin
yA xB
l cos l sin
l
s in
yB l cos l cos
δxA
第十讲-虚功原理与单位载荷法_图文
可能内力满足： 虚位移满足：
（平衡条件） （静力边界条件） （变形连续条件）
（位移边界条件）
外力虚功
内力虚功 比较
证毕！
变形体虚功原理的例证——讨论 讨论： 1）简支梁： 位移边界条件与静力边界条件
变形体虚功原理的例证——讨论 2）悬臂梁： 位移边界条件与静力边界条件
§5 单位载荷法
解： 影响小曲率梁变形的主要内力－弯矩
由虚功原理可得
()
杆微段的虚变形用dd *、df *与dq *表示
4、 虚功（以梁为例）
如温度
结构的外力与内力 变形
任取结构的虚位移与虚变形
如何表示？ 二者的关系？
5、内力虚功与外力虚功
作用在所有微段上的可能内力 在虚变形上作之总虚功－内力虚功
外力在可能位移上所作之总虚功－外力虚功
变形体虚功原理的例证
第十讲-虚功原理与单位载荷法_图文.ppt
上讲回顾
余功与余能
Complementary Work and Complementary Energy
余功的定义:
弹性体的余能Vc数 值上等于余功：
余能计算 单向应力状态下 的余能密度为
故拉压杆与梁 的余能为
《材料力学（II）》第1版， 单辉祖编著，高教社
变形 1）与外力保持平衡并满足静力边界条件的
内力，称为静力可能内力或可能内力
2）杆的可能内力用FN, T, FS与M表示
）可能内力与外力
结构的静力许可场
几个概念 2、 可能位移与可能变形（运动许可场）
1）满足变形连续条件与位移边界条件的任意结构位 移，称为几何可能位移，相应之变形称为可能变形
单位载荷法的基本公式 单位载荷法的常用公式 例题
结构力学(虚功原理和结构位移计算)ppt课件
A
i
δij
j Pj=1
B
δjj
δjj －－直接柔度 δij －－间接柔度
δjj >0
>0 δij <0
=0
完整版课件
9
5、计算位移的有关假定
1)、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。
2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3)、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
由平衡条件知：
A
R1
b 未知力与已知力 a 之间的几何方程
由虚功方程：
R1
C
a
b
图（a）
C
图（b）
Δ1c1ab0
即
完整版课件
Δ
c1
•
b a
B
B' P=1 B
14
应用虚力原理求未知位移的关键是沿拟求位移Δ方向虚设单 位荷载，并利用平衡条件求与已知位移c1对应的支反力 R1 这种解法称为单位荷载法。
特点：利用静力平衡，通过虚功方程来解几何问题。 适用范围： 刚体体系的位移计算，
若求桁架中AB杆的角位移，应加 一单位力偶，构成这一力偶的两个 集中力的值取 1/d。作用于杆端 且垂直于杆(d 为杆长)。
完整版课件
32
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线的相对位移，可在 该两点沿其连线加上两个方向相反的单位力。
完整版课件
33
4) 若求梁或刚架上两个截面的相对角位移，可在两个截 面上加两个方向相反的单位力偶。
当静力加载时，即：
P
P由0增加至P
第十四章理论力学PPT教学课件
2、运动分析：
虚位移（按虚
速度对应法分析）；
rrBA
BP AP
3、建立动力学关系：虚位移原理；
F A δrAF B δrB0
4、求解：
FAFBtan
2020/12/12
13
例14-2
已知：如图所示曲柄压榨机构中，M=50Nm，
OA=r，
BD=DC=ED=l， ； A
若杆重均不计、
B
忽略各处摩擦， E
W F r
（2）集中力偶的虚功： W M
2）约束力：
（1）光滑面、光滑铰链、固定端等约束力的功：
2020/12/12
s
F
做功均为零；
8
（2）滑动摩擦力的功： A、静滑动摩擦力的功：为零； 如：只滚不滑；
Fs
B、动滑动摩擦力的功：不为零； 4、理想约束：
1）做功为零的约束称为理想约束：光滑面、光滑铰 链、静滑动摩擦力等；
且机构在图示 求位：置求平压衡榨.力 P。
o M
D C
P
2020/12/12
14
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
15
第十四章 虚位移原理
虚位移原理 一种用动力学的原理求解静 力学问题的方法；
§14-1 约束 · 虚位移 · 虚功
一、几个基本概念：
1、自由度：空间物体在三维空间内自由运 动的程度；
2、完全自由的物体在三维空间内的自由度：
2020/12/12
1
完全自由的物体在空间可以沿三根独立的坐标
轴做移动运动、同时还可以绕三根坐标轴做转动运
故，非完全自由的物体的自由度为：6-约 束方程的个数。
理论力学PPT课件第8章 虚位移原理与能量法
2019年9月17日
24
§ 8.3 虚位移及其计算
一. 虚位移的概念 在约束允许条件下，各质点实际发生的位移称为实位移。 在约束允许条件下，各质点可能发生，而实际未发生的任 何微小位移，称为质点系的虚位移。
2019年9月17日
25
虚位移只是可能的位移，具有任意性和方向的不确定 性；实位移则有确定的指向。
若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以相 应的约束反力，并计入主动力。应逐步解除约束，每一 次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动 力，增加一个自由度。
2019年9月17日
51
2）正确进行受力分析： 画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦
之和为零的约束，称为理想约束。 质点系受有理想约束的条件：
W N F N ir i 0
理想约束的例子：
1、光滑面约束
2019年9月17日
30
2、铰链约束
3、圆轮在平面上作纯滚动
二. 虚位移原理 受定常理想约束的质点系，在某位置平衡的必要与充
分条件是： W F iri0
虚位移原理研究受约束的质点、质点系、刚体、 刚体系统在力系作用下的平衡规律。是研究非自由质 点系平衡问题的最一般的原理，又称分析静力学。
2019年9月17日
3
几何静力学存在的缺陷：
F
E
γ L2
W
B L3 C W3
M W2
L1 αA
L4
W1
b
W4 β
Da
2019年9月17日
4
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5
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19
非完整约束的例子——追踪系统
y
yB
结构力学课件(虚功原理与结构位移计算)_图文
k--为截面形状系数
1.2
(3) 荷载作用下的位移计算公式
二、各类结构的位移计算公式 （1）梁与刚架 （2）桁架
（3）拱
例1. 试计算悬臂梁A点的竖向位移
。
q
P=1
A
C
BA
C
B
1）列出两种状态 的内力方程：
(a) 实际状态
AC段
(b) 虚设状态
CB段
AC段
CB段
2) 将上面各式代入位移公式分段积分计算
C
B
A
a
b
已知 求 设虚力状态
P=1
虚功方程
A
C
B
a
b
小结：（1）形式是虚功方程，实质是几何方程； （2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相 应的支座反力。构造一个平衡力系；
（3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。
单位荷载其虚功正好等于拟求位移。
四、支座位移时静定结构的位移计算
G
B
0.25l 0.25l
0 1.5
0 1.5
0.5
0.5
2P
2P
1
1
1
C
1
D A
F B
00
4.5 E 3.0
1.5
G 1.5
1.5 0.5
1.5
0.5
钢筋砼
材料 杆件
AD
DC DE CE 钢 AE EG
lA
例3：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移Δ。钢筋混凝土结构G≈0.4E P 矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12
推导位移计算公式的两种途径 由刚体虚功原理来推导－局部到整体。
一、局部变形时的位移计算公式
04-课件：6.2 虚功原理
原理
原理
力系平衡 位移相容
实 虚
实
虚位移原理
虚 虚力原理
u 变形体体系的虚功原理适用于所有变形体体系（二维板壳结构
和三维块体）
u 实际或虚设的力状态（内外力） 均应满足的静力平衡条件。
u 杆件结构的每一个杆件的位移状态 （实际或虚设）均应满足：①任一 微段满足应变～位移关系；②边界 位移满足约束边界条件。
Ø3、虚功原理的两种应用
虚位移原理
对于给定的力状态（实力状态）， 另虚设一个位移状态（虚位移状 态），利用虚功方程来求解力状态
中的未知力
虚力原理
对于给定的位移状态（实位移 状态），另虚设一个力状态 （虚力状态），利用虚功方程 来求解位移状态中的位移
Ø4、变形体系虚功原理的几点说明
功 能 力与位移无关 虚功
u单位位移法
总结利用刚体体系的虚位移原理求解静定结构的支反力 和内力的求解步骤：单位位移法
①取实际力状态 ：撤除与待求力相应约束，用约束力X 代替
②取虚位移状态：沿X正方向产生单位位移X=1；与荷载 F处对应位移记为P(由几何关系求得)
③列虚功方程：X.1+(F.P)=0 ④ X=-F.P
例3：一伸臂梁，支座A向下移动距离c1，求C点的竖向位移△。
A
c1
a
A
F RA F. b a
A
F RA b a
c
B
C
实位移状态
b
F
B
C
虚力状态
F 1
B
C
说明：①实位移状态：给 定的实际状态
②虚力状态：沿所求位移 方向假设一外力
③虚功方程：
F.
FR .c1
0
第四章 虚功原理
（1）解除约束代之以约束力，建立静力状态（k）； （2）沿所求约束力的方向给以单位位移，建立协调的位移状态（m）； （3）用“m”状态考察“k”状态的平衡条件，建立虚功方程，求解未知力。
结构力学
第4章 虚功原理
例题1
A a
试利用单位位移法求FRD 和M E。
q=F/ 2a E a B a F
解： 1、解除D支座约束代之以FRD作用，
W (外力虚功) = U (变形虚功)
虚功方程
1
平面杆系结构 虚功方程
Fk km = ∑ ∫ FNk ε m ds + ∑ ∫ FQk γ m ds + ∑ ∫ M k
s s s
ρm
ds
虚功原理适用范围：刚体体系、弹性、非弹性、线性、非线性 的变形体系均可适用。
结构力学
第4章 虚功原理
虚功原理两种应用形式：
1
s s
ρm
Fk km = ∑ ∫ FNk ε m ds + ∑ ∫ FQk γ m ds + ∑ ∫ M k
ρm
ds
FQk FQm FNk FNm M M = ∑∫ ds + ∑ ∫ λ ds + ∑ ∫ k m ds s s s EA GA EI
结构力学
第4章 虚功原理
1、虚功互等定理
Fk km FQk FQm FNk FNm MkMm = ∑∫ ds + ∑ ∫ λ ds + ∑ ∫ ds s s s EA GA EI
Mk Mk
FNk
FNk
FQ k FQ k
FQ k
FQ k
ρm
ρm
dθm
dθm
γmds
ds
εmd s
结构力学
第4章 虚功原理
例题1
A a
试利用单位位移法求FRD 和M E。
q=F/ 2a E a B a F
解： 1、解除D支座约束代之以FRD作用，
W (外力虚功) = U (变形虚功)
虚功方程
1
平面杆系结构 虚功方程
Fk km = ∑ ∫ FNk ε m ds + ∑ ∫ FQk γ m ds + ∑ ∫ M k
s s s
ρm
ds
虚功原理适用范围：刚体体系、弹性、非弹性、线性、非线性 的变形体系均可适用。
结构力学
第4章 虚功原理
虚功原理两种应用形式：
1
s s
ρm
Fk km = ∑ ∫ FNk ε m ds + ∑ ∫ FQk γ m ds + ∑ ∫ M k
ρm
ds
FQk FQm FNk FNm M M = ∑∫ ds + ∑ ∫ λ ds + ∑ ∫ k m ds s s s EA GA EI
结构力学
第4章 虚功原理
1、虚功互等定理
Fk km FQk FQm FNk FNm MkMm = ∑∫ ds + ∑ ∫ λ ds + ∑ ∫ ds s s s EA GA EI
Mk Mk
FNk
FNk
FQ k FQ k
FQ k
FQ k
ρm
ρm
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虚功原理及其应用ppt课件
5
②虚功原理是分析力学的基本原理，仅对惯性系成立;
③理想约束 理想约束概念是分析力学的基本假设，是从客观实践中抽象
出来的。例如光滑约束，刚性约束等都是理想约束。 此假设不仅运用于静力学，对动力学同样成立。
④对于保守力学系统：
V V V
Fi
iV
N
( xi
i
yi
j zi
k)
W Fi ri
o
r
x
(2r cos 2 l cos )
2
y
mg
W Fi ri mg yD 0 i
Q
i
Fi
ri qk
Q mg(2r cos 2 l cos ) 2
2r cos 2 l cos
0
mg yD
mg
[(2r cos l )sin] 2
2
4(c2 2r 2 ) l
2r cos2 l cos 2
p1 A
p22（（xBx23,,yyF2）3）
x2
l1
cos
1 2
l2
cos
y3 l1 sin l2 sin
23
由虚功原理
P1 x1 P2 x2 F y3 0
广义力Q1
1 2
P1l1
cos
P2l1
cos
Fl1
sin
1 2
P2l2
cos
Fl2
sin
0
tg P1 2P2
2F
tg P2
b、确定系统的自由度，选取合适的广义坐标，
c、并建用立广坐义标坐系标，表分示析力并作图用示点系的统有受用到坐的标所，有即主：动将力r；i 表示为广
义坐标qk (k=1,2,…s) 的函数，并求出：xi , yi , zi
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n r f x f y f z 0
x y z
9
3) 虚位移与实位移区别与联系
1）真实位移： dri ri (t dt) ri (t)
其和中 约束ri 方必程须同时满f (t足, ri运, ri动)。微0 分方程及初始条件，
2）可能位移：
FA
A
PA
FA
A
C FC
21
光滑铰链
固定铰链支座
A
球铰支座约束
圆柱铰链
C
• 蝶形铰链约束
A
B
22
3. 虚功
定义 质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功称为虚功
W
F
r
23
ri
ri (t dt) ri (t)
其中
ri
只须满足约束方程
f
(t,
ri
,
ri
)
0
，而
不必满足运动定律及初始条件。
10
由定义知：真实位移是可能位移之一。 真实位
移是唯一的，可能位移有无穷多个。
Pi
dri
Pi
ri1 ri 2 ri 3
Fi
Fi
• 若约束球面的半径随时间匀速增加，
即
R R0 vt
则约束方程为：
R+vt
x2 y2 z2 (R vt)2 0
17
举例4:滑块
稳定几何约束条件下，无限小的实位移是虚位移之一
18
2. 理想约束
1)定义 约束反力在质点系的任何虚位移中所作元功之和等于零,这
种约束称为理想约束.
r 图中质点M有一虚位移
，其坐标 由（x,y,z）变为（x+δx，
y+δy，z+δz）
有虚位移后，质点的坐标仍
满足约束方程
f （x+δx，y+δy，z+δz） =0
将上式泰勒展开，舍去高 于1阶的高阶微量后
f （x+δx，y+δy，z+δz） =
f (x, y, z) f x f y f z
FNi
质点mi 的合约束反力
ri
质点的虚位移
理想约束条件
FNi
ri
0
19
2)常见的理想约束
支持刚体的固定点
刚性杆
y A
M
不可伸长的绳 O
光滑面（曲线）约束
光滑铰链
x
B
A P
20
光滑面约束
固定平面 固定曲面
齿轮的齿面
PA
A 的分析方法来求解呢？
杠杆
平衡条件：
F1a F2b 0 （a）
——— 微小角度
s atg 1
s btg 2 4
由于在新的位置系统仍然平衡
F1S1 F2S2 0
（b）
条件（a）和条件（b）是等价的
杠杆的平衡条件可用作用力在平衡附近的微小位移中所 作的功来建立。
虚功原理 ~
西霞院反调节水库
1
教学要求：
• 教学目标： • 对理想约束和虚位移有清晰的认识，并会计算虚位移。 • 能正确地运用虚位移原理求解物体系的平衡问题。 • 对广义力和广义坐标形式的虚位移有初步的理解，并会
计算广义力。 • 本节重点： • 虚位移、理想约束的概念，应用虚位移原理求解物体系
的平衡问题。 • 本节难点： • 广义力的概念，广义坐标形式的虚位移原理。
请问，对于一般的非自由 质点系是否能写出类似的平衡 条 件呢？答案是肯定的。
6
二. 基本概念
1. 虚位移
1)虚位移定义 某瞬时，质点系在约束所允许的条件下，
可能实现的任何无限小的位移。
T平面----过M点的切面
该瞬时虚位移 r
切面上过M点的任何无限小位移
受固定曲面S约束的质点M
7
2)虚位移与约束关系
5
由此可见，物体的平衡条件，不仅可以通过外力矢量和为0和外 力矩矢量和为0判定，还可以通过位移、做功概念来表述，即判
断一个状态是否平衡可以通过在这个状态附近一个可能发生的过
程中外力的功的特征来判定。
平衡条件： F mg sin 0 （a）
设想平衡附近的微小位移，再次平衡
Fs mg sins 0 （b）
x y z
f x f y f z 0
x y z
8
用n表示曲面f （x，y，z） =0
在（x,y,z）点处的单位法向矢量
n
f C(
i
f
j
f
k)
r
x
y
xi yj zk
z
虚位移如何反映了约束的几何性质： 虚位移r垂直于曲面上该点处的法线， 也就是说虚位移r必在通过该点的曲 面的切平面上。
俯视图
俯视图
11
3）约束对可能位移（真实位移）的限制：
设质系受到几何约束
和微分约束
N a i (t, ri
)
f (t, ri vi a
) 0, 0,
i1
1,2,..., l 1,2,...,s
几何约束对可能位移的限制方程为
N
f
i1 ri
ri
f t
t
0,
1,2,..., l
微分约束对可能位移的限制方程为
N
a i (t, ri ) ri a t 0, 1,2,...,s
i1
12
4）虚位移：满足下面齐次线性方程的ri 的集合。
N
f
i1 ri
ri
2
一. 问题的提出 二. 基本概念
本
1. 虚位移
节 主 要
1)虚位移定义 2)虚位移与约束关系 3) 虚位移与实位移区别与联系 4)举例
2. 理想约束
内 容
1)理想约束定义 2) 常见的理想约束
3.虚功
三. 虚功原理
1.虚功原理表述
2.虚功原理证明
3. 广义坐标中的虚功原理
4.虚功原理的应用
3
一. 问题的提出
与约束、所受力及运动情况有关
14
4)举例
举例1:单摆
该瞬时摆锤虚位移 r 沿 AA1或AA2方向的任何无限小位移
15
举例2:斜面
dr r
真实位移不仅与约束有关，还与运动、受力有关
16
举例3:汽球 R
在半径为R的球面上质点运动，r-R=0 若取直角坐标系，则写为 x2+ y2 + z2 - R2=0
0,
1,2,..., l
N a
i
(t,
ri
)
ri
0,
1,2,...,s
i1
一种等价定义：虚位移是任何两个可能位移之差。
13
虚位移与实位移区别与联系总结
虚位移
x r
无限小的位移 有多种不同方向 仅与约束有关
实位移
dx dr
无限小或有限位移 有确定的方向