九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程课件 (新版)湘教版.pptx
合集下载
湘教版九年级数学课件-一元二次方程根的判别式
當∆=0時，原方程有兩個相等的實數根其根為
當∆<0時，原方程沒有實數根.
例 不解方程，利用判別式判斷下列方程根的情況:
（1） （2） （3）
解：（1）因為 ，
所以，原方程有兩個不相等的實數根.
（2）將原方程化為一般形式，得 .
因為 ，
所以，原方程有兩個相等的實數根.
（3）將方程化為一般形式，得 .
1. 一元二次方程根的判別式
2.根的判別式與一元二次方程根的情況:
當∆>0時，原方程有兩個不相等的實數根； 當∆=0時，原方程有兩個相等的實數根； 當∆<0時，原方程沒有實數根.
中考 試題
例 (2011北京市朝陽區一模考試19題)
已知關於x的方程 (m-1) x2 - 2x + 1=0有兩個不相等 的實數根．求m的取值範圍.
一元二次方程 第2章
第二章 一元二次方程
本節內容 一元二次方程根的判別式 2.3
議一議
我們在運用公式法求解
一元二次方程
時，
總是要求
這是為什麼？
議一議
將方程 配方後得到
由於
， 所以
，因此發現：
（1）當
時，
.
由於正數有兩個平方根，所以原方程的根為
因此，原方程有兩個不相等的實數根.
議一議
（2）當
時，
.
由於0的平方根為0，所以原方程的根為
此時，原方程有兩個相等的實數根.
（3）當
時，
.
由於負數在實數範圍內沒有平方根，
所以原方程沒有實數根.
結論
我們把
叫作一元二次方程
的根的判別式，
記作“∆”，即∆=
.
綜上可知，一元二次方程
湘教版九年级数学上册精品教学课件 第二章 一元二次方程 一元二次方程应用：复率问题课件
思考:(1)若设年平均增长 上网计算
率为x,你能用x的代数式 表示2002年的台数吗? 3200
机总台数
(万台)
(2)已知2002年的台数 2400
是多少? (3)据此,你能列出方
1600
. 800 350
.892
.
1254
. .3089
2083 年份
程吗?
0 2000年 2000年 2001年 2002年 2003年
892（1+x)2=2083
(1+x)2= 2083
892
x1
x 2083 1
892
2083 892
1≈52.8%
x2
2083 892
1 (不合题意，舍去）
答：从2000年12月31日至2002年12月31日我国计算机上网总台数的年平均增长
率是52.8%.
2023年2月20日3时21分
依次类推n次降低后的值为 a •( 1 x )n
2023年2月20日3时21分
3
问题:截止到2000年12月31日，我国的上网计算机总数为 892万台；截止到2002年12月31日，我国的上网计算机总 数以达2083万台. （1）求2000年12月31日至2002年12月31日我国的上网计 算机台数的年平均增长率（精确到0.1%）.
某单位为节省经费,在两个月内将开支从 每月1600元降到900元,求这个单位平均每 月降低的百分率是多少?
2023年2月20日3时21分
9
练一练:
某校坚持对学生进行近视眼的防治,近视学生 人数逐年减少.据统计,今年的近视学生人数是 前年人数的75℅,那么这两年平均每年近视学 生人数降低的百分率是多少(精确到1℅)?
湘教版九年级数学上册课件：2.2 一元二次方程的解法 (共35张PPT)
反过来，如果d和h是方程 x2 + bx + c = 0 的两 个根，则方程的左边可以分解成
x2 + bx + c = (x - d )(x – h)= 0.
我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法 解一元二次方程，在具体的问题中，我们要根据方 程的特点，选择合适的方法来求解.
如何选择合适的方法来解一元二次方程呢？
x b b2 4ac ( b2 - 4ac ≥0) 2a
我们通常把这个式子叫作一元二次方程的求根公式.
由求根公式可知， 一元二次方程的根由方程的系
数a，b，c 决定， 这也反映出了一元二次方程的根与 系数a，b，c之间的一个关系.
运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二 次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2 一元二次方程的解法 —配方法
教学重、难 点
教 学 重 点 ： 运 用 开 平 方 法 解 形 如 （ x+m ） 2=n(n≥0)
的方程；领会降次—转化的数学思想.
教学难点：通过根据平方根的意义解形如 x2=n 的方 程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2 = n(n≥0)的方程.
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
移项:把常数项移到方程的右边； 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方； 开方:根据平方根意义，方程两边开平方； 求解:解一元一次方程； 定解:写出原方程的解.
例 市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规 划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将 达到289平方米，这块绿地的边长增加了多少米？
解：这里 a 1 b 7 c 18
湘教版九上数学精品教学课件 第2章 一元二次方程 第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
式都不成立．∴ 原方程无实数根．
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？ 移项时需注意改变符号.
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. ①移项，二次项系数化为 1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程.
规律总结 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
九年级数学上（XJ） 教学课件
第2章 一元二次方程
2.2.1 配方法
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的 一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.会用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程； （重点）
2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程. （难点）
导入新课
复习引入 1.用直接开平方法解下列方程:
(1) 9x2 = 1 ； (2) (x - 2)2 = 2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗?
(1) x2 + 6x + 9 = 5； (2) x2 + 6x + 4 = 0.
把两题转化成 (x + m)2 = n (n≥0) 的 形式，再利用开平方
讲授新课
一 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 问题1：观察下面两个是一元二次方程的联系和区别：
1 4
0，
因此
x
3 2
2
10 4
.
由此，得 x 3 10 或 x 3 10 .
22
22
所以
x1
3 10 2
，x2
3 10 2
.
归纳总结
配方法的应用
类别
解题策略
1.求最值或证 将关于 x 的二次多项式通过配方成 a(x + m)2 + n 的 代数式的值 形式后，由于 (x + m)2≥0，故当 a＞0 时，可得其 恒正（或负） 最小值为 n；当 a＜0 时，可得其最大值为 n.
湘教版数学九年级上册一元二次方程根的判别式课件
b2－4ac.
知2－讲
知识点
2 一元二次方程根的类别
综上所知，我们不难发现一元二次方程a x2＋b x＋c＝0
( a ≠ 0 ) 的根的情况可由 =b2－4ac 来判断：
当＞0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
b b 2 4ac
b b 2 4ac
x1＝
, x2＝
.
2a
2a
当＝0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
b
x1＝x2＝
.
2a
当＜0时，原方程没有实数根.
知2－讲
例1
不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
(1) 3x2＋4x －3 = 0；
(2) 4x2 = 12x －9；
(3) 7y = 5 ( y2＋1 ).
解： (1) 因为=b2－4ac = 42 －4×3×(－3)
因为=b2－4ac = (－7) 2 －4×5×5
=49－100 =－51 ＜0，
所以，原方程没有实数根.
知2－讲
总 结
利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的方法：
先将一元二次方程化成一般情势 ax2＋bx＋c ＝0，
当方程中的a，b，c 是常数时，直接求出 = b2－4ac
的值， 确定方程根的情况；当方程中的a，b，c 含有
母，则应注意检验二次项系数是否为零.
3. 应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、
有两个不等的实根、有两个相等的实根）.
知3－讲
例2 【中考·凉山】关于 x 的一元二次方程 ( m－2 )x2＋
2x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是( D )
A．m ≤3
B．m ＜3
知2－讲
知识点
2 一元二次方程根的类别
综上所知，我们不难发现一元二次方程a x2＋b x＋c＝0
( a ≠ 0 ) 的根的情况可由 =b2－4ac 来判断：
当＞0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
b b 2 4ac
b b 2 4ac
x1＝
, x2＝
.
2a
2a
当＝0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
b
x1＝x2＝
.
2a
当＜0时，原方程没有实数根.
知2－讲
例1
不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
(1) 3x2＋4x －3 = 0；
(2) 4x2 = 12x －9；
(3) 7y = 5 ( y2＋1 ).
解： (1) 因为=b2－4ac = 42 －4×3×(－3)
因为=b2－4ac = (－7) 2 －4×5×5
=49－100 =－51 ＜0，
所以，原方程没有实数根.
知2－讲
总 结
利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的方法：
先将一元二次方程化成一般情势 ax2＋bx＋c ＝0，
当方程中的a，b，c 是常数时，直接求出 = b2－4ac
的值， 确定方程根的情况；当方程中的a，b，c 含有
母，则应注意检验二次项系数是否为零.
3. 应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、
有两个不等的实根、有两个相等的实根）.
知3－讲
例2 【中考·凉山】关于 x 的一元二次方程 ( m－2 )x2＋
2x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是( D )
A．m ≤3
B．m ＜3
九年级数学上册第2章 第1课时用一元二次方程解决增长(降低)率及营销问题作业课件新版湘教版
解：(1)设增长率为x，根据题意，得2(1＋x)2＝2.42， 解得x1＝－2.1(舍去)， x2＝0.1＝10%.答：增长率为10%. (2)2.42(1＋0.1)＝2.662(万人). 答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．
15．(12分)(安顺中考)天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的 黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准(如图所示)：
二、填空题(每小题5分，共10分) 12．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定 价．经市场调查发现：若每件商品售价为a元，则可卖出(350－10a)件， 但物价局限定每件商品售价不能超过进价的25%，商店计划要赚400元， 需要卖出_1_0_0_件商品，每件商品的售价为_2_5__元． 13．李先生将10 000元钱存入银行，到期后取出2 000元购买电脑，余下 的8 000元及利息又存入银行，如果两次存款的年利率不变，一年到期后 本息和是8 925元，则存款的年利率为_5_%__．(不计利息税)
某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅 行社旅游费用27 000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌 特征的黄果树风景区旅游？
解：设该单位这次共有x名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅 游．因为1 000×25＝25 000＜27 000，所以员工人数一定超过25人，可知方 程[1 000－20×(x－25)]x＝27 000，整理得x2－75x＋1 350＝0，解得x1＝45， x2＝30，当x1＝45时，1 000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；当x2＝30时， 1 000－20(x－25)＝900＞700，符合题意．
三、解答题(35分) 14．(11分)(2019·长沙)近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅 导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益 大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万 人次，第三批公益课受益学生2.42万人次． (1)如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同， 求这个增长率； (2)按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
湘教版2019--2020年九年级数学上册第二章：2.2.1 配方法 课件(共13张PPT
＝0，
由此得 x 3 10 或x 3 10 ，
22
22
解得
x1
2
10 ，
x2
3
2
10
.
议一议 解方程： －2x2＋4x－8＝0.
总结
用配方法解一元二次方程的一般步骤： (1) 移项， 把方程中含有未知数的项移到方程的左边，
把常数项移到方程的右边. (2) 二次项系数化为1：方程的左、右两边同时除以二
2.2 一元二次方程的解法
第2课时 配方法——配方法 解方程
填上合适的数，使下列等式成立.
x2＋12x＋___＝( x＋6 )2
x2－6x＋___＝( x －3 )2
x2＋ 8x ＋ ___＝( x＋___ )2 x2－4x ＋___＝( x－___ )2
上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系? 对 于形如 x2 ＋ax 的式子如何配成完全平方式 ?
二次三项式的配方
左边填的是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一 次项系数的一半” . 例1 当x 取何值时，代数式 2x2－6x＋7 的值最小 ? 并求
出这个最小值 ． 解题秘方：求代数式的最小值，要先将代数式配成 a(x＋m)2
＋n 的形式，然后根据完全平方式的非负性求代 数式的最小值.
解： 2x2－6x＋7
课堂小结
定义
通过配成完全平方式来解一元 二次方程的方法，叫做配方法.
配方法 解题步骤
1. 移项 2. 化二次项系数为1 3. 配方法 4. 开平方 ( 降次 ) 5. 解一次方程
次项系数. (3) 配方： 把方程的左、右两边同时加上一次项系数
一半的平方，把原方程化为(x＋n)2=p的形式.
(4) 开方：如果方程右边是一个非负数，那么就用直接开 平方法求解； 如果方程右边是一个负数，那么这个方 程无实数根. 即 ①当p ＞ 0 时，方程(x＋n)2=p有两个不等的实数根 x1=－n－ p ， x2=－n＋ p. ②当p=0 时，方程(x＋n)2=p有两个相等的实数根 x1=x2=－n. ③当p ＜ 0 时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2 ≥0， 所以方程 (x＋n)2=p无实数根.
2024-2025学年初中数学九年级上册(湘教版)教学课件2.1一元二次方程
比赛共 1 x(x 1) 28 场. 2 即 x2 x 56 0.
新课导入
思考 探究
4x2 -26x+22 ＝0 x2 +12x-15 ＝0
4x2 -8x+75 ＝0 x2 x 56 0
这四个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区 别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点: ①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
随堂训练
4.(只列方程）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这 三个数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋1, x＋2，依题意 得方程：
x (x ＋1) ＋ x(x ＋2) ＋ (x ＋1) (x ＋2) ＝242. 整理得 x2 ＋2x－80＝0.
课堂小结
概念 一元二次方程
随堂训练
1.判断下列是否为一元二次方程？
(1)3x²-x=2 ( √ )
(2)-2x+5 ( × )
(4)
( ×)
(5)(m²+5)x²+7x-1=0 ( √ )
随堂训练
2.方程（2a-4）x2 -2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方 程为一元一次方程？
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项等都是针对一般形式而言的； （2）系数和项均包含前面的符号.
一元二次方程
新课导入
思考 探究
4x2 -26x+22 ＝0 x2 +12x-15 ＝0
4x2 -8x+75 ＝0 x2 x 56 0
这四个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区 别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点: ①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
随堂训练
4.(只列方程）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这 三个数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋1, x＋2，依题意 得方程：
x (x ＋1) ＋ x(x ＋2) ＋ (x ＋1) (x ＋2) ＝242. 整理得 x2 ＋2x－80＝0.
课堂小结
概念 一元二次方程
随堂训练
1.判断下列是否为一元二次方程？
(1)3x²-x=2 ( √ )
(2)-2x+5 ( × )
(4)
( ×)
(5)(m²+5)x²+7x-1=0 ( √ )
随堂训练
2.方程（2a-4）x2 -2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方 程为一元一次方程？
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项等都是针对一般形式而言的； （2）系数和项均包含前面的符号.
一元二次方程
湘教版九年级数学 2.2 一元二次方程的解法(学习、上课课件)
第二章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
第1课时 配方法学习Leabharlann 标1 课时讲解 2 课时流程
一元二次方程的解（根） 直接开平方法 配方法
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 一元二次方程的解（根）
知1－讲
概念
使一元二次方程左、右两边相等的未知数 的值叫作一元二次方程的解 . 一元二次方 程的解也叫作一元二次方程的根 .
知1－练
感悟新知
1-1.判断下列方程后面括号内的数是不是方程的解． 知1－练 (1) x2 － 5x － 6 ＝ 0(－ 1， 2， 6)； 解：当x＝－1时，x2－5x－6＝1＋5－6＝0，所以 x＝－1为方程x2－5x－6＝0的解； 当x＝2时，x2－5x－6＝4－10－6＝－12≠0，所以 x＝2不是方程x2－5x－6＝0的解； 当x＝6时，x2－5x－6＝36－30－6＝0，所以x＝6 为方程x2－5x－6＝0的解．
感悟新知
知2－讲
特别警示 直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点： ◆不要只取正的平方根而遗漏负的平方根； ◆只有非负数才有平方根，所以直接开平方法的前提是
x2＝p中p ≥ 0.
感悟新知
例2 [月考·西安莲湖区]解方程： (1) 16x2 ＝ 25； (2) 3( x ＋ 1) 2 － 108 ＝ 0；
知2－讲
2. 方程x2＝p 的解(根)的情况： (1)当p>0时，方程有两个不等的实数根x1＝－ p，x2＝ p； (2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0； (3)当p<0时，方程没有实数根.
感悟新知
知2－讲
3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤： 步骤1：将方程变成左边是( ax+b) 2，右边是非负数的 形式(如果方程右边是负数，那么这个方程无 实数根). 步骤2：开平方，将方程转化为两个一元一次方程. 步骤3：解这两个一元一次方程，则得出的两个解即为 一元二次方程的两个根.
2.2 一元二次方程的解法
第1课时 配方法学习Leabharlann 标1 课时讲解 2 课时流程
一元二次方程的解（根） 直接开平方法 配方法
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 一元二次方程的解（根）
知1－讲
概念
使一元二次方程左、右两边相等的未知数 的值叫作一元二次方程的解 . 一元二次方 程的解也叫作一元二次方程的根 .
知1－练
感悟新知
1-1.判断下列方程后面括号内的数是不是方程的解． 知1－练 (1) x2 － 5x － 6 ＝ 0(－ 1， 2， 6)； 解：当x＝－1时，x2－5x－6＝1＋5－6＝0，所以 x＝－1为方程x2－5x－6＝0的解； 当x＝2时，x2－5x－6＝4－10－6＝－12≠0，所以 x＝2不是方程x2－5x－6＝0的解； 当x＝6时，x2－5x－6＝36－30－6＝0，所以x＝6 为方程x2－5x－6＝0的解．
感悟新知
知2－讲
特别警示 直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点： ◆不要只取正的平方根而遗漏负的平方根； ◆只有非负数才有平方根，所以直接开平方法的前提是
x2＝p中p ≥ 0.
感悟新知
例2 [月考·西安莲湖区]解方程： (1) 16x2 ＝ 25； (2) 3( x ＋ 1) 2 － 108 ＝ 0；
知2－讲
2. 方程x2＝p 的解(根)的情况： (1)当p>0时，方程有两个不等的实数根x1＝－ p，x2＝ p； (2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0； (3)当p<0时，方程没有实数根.
感悟新知
知2－讲
3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤： 步骤1：将方程变成左边是( ax+b) 2，右边是非负数的 形式(如果方程右边是负数，那么这个方程无 实数根). 步骤2：开平方，将方程转化为两个一元一次方程. 步骤3：解这两个一元一次方程，则得出的两个解即为 一元二次方程的两个根.
【教学课件】《一元二次方程根的判别式》(湘教版)
解：不存在这样的非负整数m 理由：要使关于x的一元二次方程m2x2-(2m-1)x+1=0有两个实数根
则m2≠0 ① ∆=[-(2m-1)]2≥0 ②
1 解得m≤ 4 且 m≠0
而题中要求m为非负整数，因此这样的非负整数m不存在
例4：已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BD=b，BC=c,且关于x的 一元二次方程ax2-2bx+c=0有两个相等的实数根，求证：∠BDC=∠A
• 9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.1821.9.18Saturday, September 18, 2021 • 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。14:40:3314:40:3314:409/18/2021 2:40:33 PM • 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1814:40:3314:40Sep-2118-Sep-21 • 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。14:40:3314:40:3314:40Saturday, September 18, 2021
填空题
1、关于x的方程x２+2kx+k-１＝0的根的情况是有_两__个__不_相__等__的__实_数__根
2 关于的一元二次方程（a+c）x2+bx+ 根，则∆ABC为—直—角——三角形
a
4
c
=0有两个相等的实数
二、求证:不论a为任何实数,2x2+3(a-1)+a2-4a-7=0必有两个不相等 的实数根.
•
则m2≠0 ① ∆=[-(2m-1)]2≥0 ②
1 解得m≤ 4 且 m≠0
而题中要求m为非负整数，因此这样的非负整数m不存在
例4：已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BD=b，BC=c,且关于x的 一元二次方程ax2-2bx+c=0有两个相等的实数根，求证：∠BDC=∠A
• 9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.1821.9.18Saturday, September 18, 2021 • 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。14:40:3314:40:3314:409/18/2021 2:40:33 PM • 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1814:40:3314:40Sep-2118-Sep-21 • 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。14:40:3314:40:3314:40Saturday, September 18, 2021
填空题
1、关于x的方程x２+2kx+k-１＝0的根的情况是有_两__个__不_相__等__的__实_数__根
2 关于的一元二次方程（a+c）x2+bx+ 根，则∆ABC为—直—角——三角形
a
4
c
=0有两个相等的实数
二、求证:不论a为任何实数,2x2+3(a-1)+a2-4a-7=0必有两个不相等 的实数根.
•
湘教版九年级上册.2公式法课件
7 121 7 11
x
.
2 1
2
即 x1=9，x2=-2
(2)x2 3 2 3 x
解：方程化为 x 2 2 3 x 3 0
这里 a=1, b= 2 3 , c= 3.
b2 - 4ac=(2 3 )2 - 4×1×3=0,
即 x1 x2 3
2、解方程：
（1）x2-6x +1=0.
（2）2t2
- t = 6.
（3）4x2-3x
-1=x-2.
答案：x1= 3+2 2, x2= 3-2 2
答案：t1= 2, t2=
答案：x1= x2=
（4）3x(x-3)= 2(x-1) (x+1). 答案：x1=
3
−
2
1
2
9+ 73
2
9− 73
x2=
2
课堂小结
=
2
(b2-4ac≥0)
我们通常把这个式子叫作一元二次方程
2 + + = 0（a≠0）的求根公式.
由求根公式可知， 一元二次方程的根由方程的系数a，b，
c 决定， 这也反应出了一元二次方程的根与系数a，b，c之间的
一个关系.
运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的
根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
例题讲授
例1
用公式法解下列方程：
（1） 2 − − 2 = 0；
（2）x2-2x=1.
（1）x2-x-2=0
解： 这里a ＝ 1， b ＝ -1， c ＝ -2.
因而b2 - 4ac ＝ (- 1) 2- 4 × 1 × (- 2)
x
.
2 1
2
即 x1=9，x2=-2
(2)x2 3 2 3 x
解：方程化为 x 2 2 3 x 3 0
这里 a=1, b= 2 3 , c= 3.
b2 - 4ac=(2 3 )2 - 4×1×3=0,
即 x1 x2 3
2、解方程：
（1）x2-6x +1=0.
（2）2t2
- t = 6.
（3）4x2-3x
-1=x-2.
答案：x1= 3+2 2, x2= 3-2 2
答案：t1= 2, t2=
答案：x1= x2=
（4）3x(x-3)= 2(x-1) (x+1). 答案：x1=
3
−
2
1
2
9+ 73
2
9− 73
x2=
2
课堂小结
=
2
(b2-4ac≥0)
我们通常把这个式子叫作一元二次方程
2 + + = 0（a≠0）的求根公式.
由求根公式可知， 一元二次方程的根由方程的系数a，b，
c 决定， 这也反应出了一元二次方程的根与系数a，b，c之间的
一个关系.
运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的
根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
例题讲授
例1
用公式法解下列方程：
（1） 2 − − 2 = 0；
（2）x2-2x=1.
（1）x2-x-2=0
解： 这里a ＝ 1， b ＝ -1， c ＝ -2.
因而b2 - 4ac ＝ (- 1) 2- 4 × 1 × (- 2)
2.第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程课件数学湘教版九年级上册
（B ）
A．x2-8x+（-4）2=31 C．x2+8x+42=1
B．x2-8x+（-4）2=1 D．x2-4x+4=-11
3.解下列方程 (1)3(x＋1)2＝13；
解：方程两边都除以3，得(x＋1)2＝19 ，
开平方，得x＋1＝±
1 3
，即x＋1=13或x＋1
=
−
1 3
，
∴x1＝－23 ，x2＝－43.
一元二次方程配方的方法： 在方程两边都加上一次项系数一半的平方——注意是在二次项 系数为 1 的前提下进行的.
例2：用配方法解下列方程： (1) x2 + 10x + 9 = 0；
解：配方，得 x2 + 10x + 52-52 + 9 = 0， 因此 (x + 5)2 = 16， 由此得 x + 5 = 4 或 x + 5 = -4， 解得 x1 = -1，x2 = -9.
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2.1 配方法
第2课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
1.理解配方法，知道用配方法解二次项系数为1的一元二次方 程的基本步骤. （重点） 2.体会一元二次方程解法中的转化与降次思想.（难点）
填一填 你能填上适当的数使等式成立吗？
(1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2 ； (2)x2－6x＋__9__＝(x－__3__)2 ； (3)x2＋6x＋5＝x2＋6x＋__9__－__9_＋5
解： x2 + 4x - 12= 0 移项
x2 + 4x = 12 两边都加上 4
x2 + 4x + 4 = 12 + 4
湘教版九年级上册数学精品教学课件 第2章 一元二次方程 第2课时 图形面积问题
视频：平 移求面积 动态展示
点击视频 开始播放
例2 如图，要利用一面墙（墙长为 25 m）建羊圈，用
100 米的围栏围成总面积为 400 m2 的三个大小相同的矩
形羊圈，求羊圈的边长 AB 和 BC 的长各是多少米 ？
解：设 AB 长是 x m. (100 - 4x)x = 400 整理得 x2 - 25x + 100 = 0.
运用常见几何图形的 面积公式构建等量关系
几何图形问 题与一元二 次方程
类型
课本封面问题
彩条/小路宽 度问题
常采用图形 平移聚零为 整，方便列 方程
动点面积问题
用长为 12 m 的住房墙，另外三边用 25 m 长的建筑材料
围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1 m
的门，所围鸡场的长、宽分别为多少时，面积为 80 m2？
解：设矩形鸡场垂直于住房墙的一边长为 x m，
则平行于住房墙的一边长 (25 − 2x + 1) m.
由题意得 x(25 − 2x + 1) = 80，
上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使
草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？
方法一：
x
解：设道路的宽为 x m. 则
20 32 32x 20x x2 540. 20
x
还有其他列法吗？
32
方法二：
x
解：设道路的宽为 x m. 则
(32 − x)(20 − x) = 540.
20
整理，得 x2 − 52x + 100 = 0.
解得
x1=
17 3
229
0.62，x2=
17
3
229
一元二次方程课件2021-2022学年湘教版数学九年级上册
这个问题需要建立一元二次方程模型来解决.
探究新知
新知一 一元二次方程的定义
(1) 如图所示，已知一矩形的长为200 cm,宽为150 cm.
现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩
形面积的 3 ， 求挖去的圆的半径 x cm应满足的方
4
程( 其中 π 取3 )；Biblioteka 150cm150cm
200cm
200cm
增长(利润)率问题、行程问题、工程问题等.
例3.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠， 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100 元降为64元， 求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率 为x，可列方程为( ) A. 100(1－x)2=64 B. 100(1+x)2=64 C. 100(1－2x)=64 D. 100(1+2x)=64
解： (1)整理方程，得 x2－x－6 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为－1，常数项为－6.
(2)整理方程，得x2+2x－14 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－14.
(3)整理方程，得2x2－7 = 0. 其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－7.
特别提醒 确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要
解：根据面积＝长× 宽，建立方程模型. 根据题意，得扩大后的正方形绿地边长为x m， 则扩大部分长方形的长为x m，宽为(x－60)m， 所以可得方程为x(x－60)=1 600． 答案：A
归纳
建立一元二次方程模型的一般步骤： (1) 审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量； (2) 设出合适的未知数，一般设为x； (3) 确定等量关系； (4) 根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为 一般形式.
探究新知
新知一 一元二次方程的定义
(1) 如图所示，已知一矩形的长为200 cm,宽为150 cm.
现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩
形面积的 3 ， 求挖去的圆的半径 x cm应满足的方
4
程( 其中 π 取3 )；Biblioteka 150cm150cm
200cm
200cm
增长(利润)率问题、行程问题、工程问题等.
例3.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠， 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100 元降为64元， 求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率 为x，可列方程为( ) A. 100(1－x)2=64 B. 100(1+x)2=64 C. 100(1－2x)=64 D. 100(1+2x)=64
解： (1)整理方程，得 x2－x－6 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为－1，常数项为－6.
(2)整理方程，得x2+2x－14 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－14.
(3)整理方程，得2x2－7 = 0. 其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－7.
特别提醒 确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要
解：根据面积＝长× 宽，建立方程模型. 根据题意，得扩大后的正方形绿地边长为x m， 则扩大部分长方形的长为x m，宽为(x－60)m， 所以可得方程为x(x－60)=1 600． 答案：A
归纳
建立一元二次方程模型的一般步骤： (1) 审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量； (2) 设出合适的未知数，一般设为x； (3) 确定等量关系； (4) 根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为 一般形式.
九年级数学上册2.2用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程课件(新版)湘教版
第十页，共13页。
11．用配方法解下列方程：
(1)2y2－7y－4＝0； 解：y1＝－12，y2＝4
(2)6x2－x－12＝0； 解：x1＝32，x2＝－43
(3)3x2－2 3x＝0；
解：x1＝0，x2＝2 3 3 (4)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
解：x1＝4，x2＝2
第十一页，共13页。
A．(x＋2ba)2＝b2－4a42 ac B．(x＋2ba)2＝4a4c－a2 b2 C．(x－2ba)2＝b2－4a42 ac D．(x－2ba)2＝4a4c－a2 b2
第五页，共13页。
5．用配方法解方程 3x2－6＝－9x，正确的解法是( A )
A．(x＋32)2＝147，x＝－32±
17 2
(3)3x2＋8x－3＝0；
解：x1＝13，x2＝－3
第七页，共13页。
(4)23x2＋13x－2＝0； 解：x1＝32，x2＝－2
(5)0.4y2＋0.8y－1＝0；
14－2
－ 14－2
解：y1＝ 2 ，y2＝ 2
(6)3x2－4 3x＋4＝0.
解：x1＝x2＝2 3 3
第八页，共13页。
7．将方程 2x2－3x＋1＝0 化为(x＋a)2＝b 的形式，正确的是( C )
解：A－B＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴A>B
第十三页，共13页。
12．已知 y＝2x2－3x－10，当 x 为何值时，y＝4？当 x 为何值时， y＝－5? 解：当 x＝72或－2 时，y＝4；当 x＝－1 或52时，y＝－5
第十二页，共13页。
13．(1)用配方法证明：无论 x 取何实数，代数式 2x2－8x＋18 的 值不小于 10.
一元二次方程PPT课件
【点拨】原方程可整理为x2＋(m－2－1)x＋1＝0，由方程不 含x的一次项，得到m－3＝0，解得m＝3.
14.【2020·遵义】如图，把一块长为40 cm，宽为30 cm的矩形硬 纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把硬纸板沿虚线折 起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600 cm2， 设剪去小正方形的边长为x cm，则可列方程为( D ) A．(30－2x)(40－x)＝600 B．(30－x)(40－x)＝600 C．(30－x)(40－2x)＝600 D．(30－2x)(40－2x)＝600
次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？
解：若设方程 1 x2－x＝2的一般形式的二次项系数为 2
a(a≠0)，则一次项系数为－2a，常数项为－4a，因此二次 项系数∶一次项系数∶常数项＝1∶(－2)∶(－4)．
人教版 九年级上
第十九章 生活用电
第1节 家庭电路
课堂导练
3．下图是家庭电路的组成，请填出各组成部分的名称。
10．两个连续奇数的积为15，设其中较小的奇数为x，则 列出符合条件的方程为__x_(_x_＋__2_)＝__1_5_____．
11. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是( ) A．ax2＋bx＋c＝0 B．2x2＋3x－1＝x(mx＋1) C．(m2＋1)x2－9＝0 D. x12＋2x＋1＝0
9 火；断路；不能 10 D
5D
11 试电笔；大地
6 火线；220
12 见习题
课堂导练
8．漏电保护器的作用：如果站在地上的人不小心接触 ___火___线，电流经过人体流入大地，这时总开关上的 “漏电保护器”就要起作用了，它会迅速__切__断____电流 ，对人体起到保护作用。
14.【2020·遵义】如图，把一块长为40 cm，宽为30 cm的矩形硬 纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把硬纸板沿虚线折 起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600 cm2， 设剪去小正方形的边长为x cm，则可列方程为( D ) A．(30－2x)(40－x)＝600 B．(30－x)(40－x)＝600 C．(30－x)(40－2x)＝600 D．(30－2x)(40－2x)＝600
次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？
解：若设方程 1 x2－x＝2的一般形式的二次项系数为 2
a(a≠0)，则一次项系数为－2a，常数项为－4a，因此二次 项系数∶一次项系数∶常数项＝1∶(－2)∶(－4)．
人教版 九年级上
第十九章 生活用电
第1节 家庭电路
课堂导练
3．下图是家庭电路的组成，请填出各组成部分的名称。
10．两个连续奇数的积为15，设其中较小的奇数为x，则 列出符合条件的方程为__x_(_x_＋__2_)＝__1_5_____．
11. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是( ) A．ax2＋bx＋c＝0 B．2x2＋3x－1＝x(mx＋1) C．(m2＋1)x2－9＝0 D. x12＋2x＋1＝0
9 火；断路；不能 10 D
5D
11 试电笔；大地
6 火线；220
12 见习题
课堂导练
8．漏电保护器的作用：如果站在地上的人不小心接触 ___火___线，电流经过人体流入大地，这时总开关上的 “漏电保护器”就要起作用了，它会迅速__切__断____电流 ，对人体起到保护作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x
35cm
x
x
x
35cm
4
解：设人行道的宽度为x m，则草坪的边长为 35-2x m.
根据题意，列出方程 (35-2x)2= 900 把方程通过移项，写成 (35-2x)2-900 =0 即4x2-140x+325=0
5
问题二 据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆 . 求该市两年来汽
8
例：下列方程是否为一元二次方程，若是，指出其二次
项系数、一次项系数和常数项。
3x(1-x)+10=2(x+2)
解：去括号，得： 3x-3x2+10=2x+4
可以写成：3x2-x-6=0
整理，得： -3x2+x+6=0
二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是6。
9
例：已知关于x的一元二次方程 x2+ax+a=0的一 个根是3，求a的值.
7
4x2-140x+325=0 25x2 50x 11 0.
上述两个方程有什么共同特点？ 如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只
含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一 元二次方程，它的一般形式是：
ax2+bx+c=0（a，b，c是已知数，a≠0），
其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程 。
6
分析： 问题涉及的等量关系是：
两年后的汽车拥有量 = 前年的汽车拥有量 × （1+年平均增长率）2 .
解： 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x .
根据等量关系，可以列出方程
7（ 5 1 x）2 108.
化简，整理得
25x2 50x 11 0.
由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念.
难点：尝试的方法求简单的二元一次方程的解.
3
新课引入
问题一 如图所示，某住宅小区内有一栋旧建筑， 占地为一边长为35 m的正方形.现打算拆除建筑 并在其正中间铺上一面积为900 m2的正方形草坪， 使四周留出的人行道的宽度相等，问人行道的宽 度为多少米？
11
3.已知关于x的方程(k2－1)x2＋(k＋1)x－2＝0. (1)当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方
程的根；
(2)当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个
一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
12
课堂小结
1.了解一元二次方程的概念和一般形式. 2.会判别一元二次方程的二次项系数,一次项系数和常
解：由题意得
把x =3代入方程x2+ax+a=0得，
32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
a 9 4
10
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课堂练习
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当 k ≠3 时，是一元二次方程． 2.一元二次方程(2x＋1)(x－2)＝5－3x的 二次项系数、一次项系数及常数项之和为 __－__5__．
2.1 一元二次方程
1
知识回顾
1、什么叫方程？什么叫方程的解？我们学了哪些方程？ 2、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？ 3、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实 际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤 吗?
2
重、难点
重点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再
数项. 3.注意:一元二次方程的二次项系数不能为零.
13