高一数学必修一函数讲义

第二章、函数

第一节、函数

一、函数

1、函数的定义：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一

确定的数y 与它对应，这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作()y f x =，x A ∈。其中，x 叫做自变量，自变量的取值范围叫做函数的定义域。所有函数值构成的集合，即(){}

,y y f x x A =∈叫做这个函数的值域。

2、检验两个给定的变量之间是否具有函数关系，需检验：

（1）定义域和对应法则是否给出；

（2）根据给出的对应法则，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y 。 1、下列图形中，能表示y 是x 的函数的是（ ）

2、下列等式中，能表示y 是x 的函数的是（ ）

A. y x =±

B. 2

1y x =+ C. 21y x =

-- D. 21y x =-

3、如何判断函数的定义域：

（1）分式的分母不能为零；

（2）开偶次方根的被开方数要不小于零；

（3）多个函数经过四则运算混合得到的函数定义域是多个定义域的交集； （4）函数0

x 中x 不为零。 例3、求下列函数的定义域 （1）32()32x

f x x

-=+； （2）()21f x x =-

A

x

B

C

D

x

x

x

y

y

y

y o

o

o o

（3）20

()(4)f x x =-； （4）21()42

f x x x =

-+

例4、求下列函数值域

（1）{}()21,1,2,3,4f x x x =+∈ （2）[]2()21,0,3f x x x x =--∈ （3）)

,1(,1

)(+∞-∈=

x x

x f （4）[)21(),1,1

x f x x x -=∈+∞+

4、函数的3要素：定义域、值域和对应法则。

判断两个函数相同的依据就是函数的三要素完全相同。

注：在函数关系式的表述中，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。 例5、下列各对函数中，是相同函数的是 （ ） A.2

(),()f x x g x x == B. 2

(),()f x x g x x ==

C.2(),()f x x g x x =

= D. 2

(),()f x x g x x ==

5、区间：设a ，b ∈R ，且a ＜b ，

满足a ≤x ≤b 的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[a,b]； 满足a ＜x ＜b 的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作﹙a,b ﹚；

满足a ≤x ＜b 或a ＜x ≤b 的全体实数x 的集合，都叫做半开半闭区间，分别记作[a,b ﹚或﹙a,b ]； 分别满足x ≥a,x ＞a,x ≤a,x ＜a 的全体实数的集合分别记作[a,﹢∞﹚,﹙a,﹢∞﹚,﹙﹣∞,a ], ﹙﹣∞,a ﹚。

6、映射：设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一

个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．其中x 叫做原象，y 叫做象。

注：映射可以是多对一，不可以一对多。即A 中元素不可剩余，B 中元素可以剩余。特别的，集合B 中的任意元素在集合A 中有且只有一个原象的映射，叫做一一映射。

7、映射个数的确定：若集合A 有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则A 到B 的映射有m n 个。

例6、已知集合},{},3,2,1{b a B A ==。问： (1)Ａ到Ｂ的不同映射ｆ：B A →有多少个？ (2)Ｂ到Ａ的不同映射ｇ：A B →有多少个？

8、映射与函数的关系：函数是特殊的映射。 9、复合函数：

二、函数的表示方法

1、列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系；

2、图像法：用图像表示函数关系；

3、解析法（公式法）：用代数式表示函数关系。

三、分段函数

在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数。

例7、已知函数)22(2

||1)(≤<--+

=x x

x x f （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）画出该函数的图像； （3）写出该函数的值域。

四、函数的单调性

1、增函数和减函数的定义：设函数)(x f y =的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D

内的任意两个自变量21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.区间D 称为)(x f y =的单调增区间；如果对于区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x < 时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f 在这个区间上是减函数.区间D 称为)(x f y =的单调减区间。

2、图像特点：

增函数：自左向右图象是上升的 减函数：自左向右图象是下降的

3、函数单调性的判定方法

（1）定义法：任取D x x ∈21,，且21x x <，判断()()21y f x f x ∆=-的符号，若y ∆＞0，()

f x 在D 上单调递增，若y ∆＜0，()f x 在D 上单调递减；

（2）图像法：根据图像直观地判断函数的单调性；

（3）直接法：根据一些特殊函数的性质，直接得出函数的单调性，如一次函数中的k ＞0,直

接得出函数为增函数；

（4）结论：①()()f x f x 与-具有相反的单调性；② ()f x 与()f x c +（c 为常数）具有相同

的单调性；③a ＞0时，()af x 与()f x 具有相同的单调性，a ＜0时，()af x 与()f x 具有相反的单调

性；④若()0f x ≠，则

1

()()

f x f x 与具有相反的单调性；⑤()0f x ≥时，()f x 与()f x 具有相同

的单调性；⑥若()f x 与()g x 具有相同的单调性，则()()f x g x +与()f x 和()g x 都具有相同的单调性。

例8、讨论下列函数的单调性

（1）3

x y = （2）1||+=x y （3）)0(1

>=x x

y （4）223y x x =++

例9、证明函数x

x x f 1

)(+=在)1,0(上是减函数。

例10、求函数x

x x f 1

)(+=在区间)2,0(上的最小值。

4、复合函数单调性判断：同增异减

例11、判断函数22(2)4

44

x y x x +-=++在（-2，+∞）上的单调性