第十一章统计学一元线性回归
贾俊平《统计学》章节题库-第十一章至第十二章(圣才出品)
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5．根据下面的散点图，可以判断两个变量之间存在（ ）。
A．正线性相关关系 B．负线性相关关系 C．非线性关系 D．函数关系 【答案】B 【解析】在线性相关中，若两个变量的变动方向相反，一个变量的数值增加，另一个变 量的数值随之减少，或一个变量的数值减少，另一个变量的数值随之增加，则称为负线性相 关关系。
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3．下面的假定中，哪个属于相关分析中的假定（ ）。 A．两个变量之间是非线性关系 B．两个变量都是随机变量 C．自变量是随机变量，因变量不是随机变量 D．一个变量的数值增大，另一个变量的数值也应增大 【答案】B 【解析】在进行相关分析时，对总体主要有以下两个假定：①两个变量之间是线性关系； ②两个变量都是随机变量。
【答案】C 【解析】在线性相关中，若两个变量的变动方向相反，一个变量的数值增加，另一个变
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量的数值随之减少，或一个变量的数值减少，另一个变量的数值随之增加，即 x 值增大时 y 值随之变小，或 x 值变小时 y 值随之增大，则称为负相关。
12．如果相关系数 r=0，则表明两个变量之间（ ）。 A．相关程度很低 B．不存在任何关系 C．不存在线性相关关系 D．存在非线性相关关系 【答案】C 【解析】相关系数是根据样本数据计算的度量两个变量之间线性关系强度的统计量。如 果相关系数 r=0，说明两个变量之间不存在线性相关关系。
13．设产品产量与产品单位成本之间的线性相关系数为-0.87，这说明二者之间存在着 （ ）。
2．下面的各问题中，哪个不是相关分析要解决的问题（ ）。 A．判断变量之间是否存在关系 B．判断一个变量数值的变化对另一个变量的影响 C．描述变量之间的关系强度 D．判断样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系 【答案】B 【解析】相关分析就是对两个变量之间线性关系的描述与度量，它主要解决的问题包括： ①变量之间是否存在关系；②如果存在关系，它们之间是什么样的关系；③变量之间的关系 强度如何；④样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系。
《一元线性回归》课件
使用评价指标对模型的性能进行评估。
《一元线性回归》PPT课 件
一元线性回归是一种用于探索变量之间关系的统计方法。本课件将介绍一元 线性回归的基本概念、模型、参数估计、模型评估以及Python实现。
一元线性回归-简介
一元线性回归是一种分析两个变量之间线性关系的方法。在这一节中，我们 将介绍一元线性回归的定义、使用场景以及它的重要性。
决定系数
4
方的平均值。
衡量模型对观测值的解释能力，取值范 围从0到1。
一元线性回归-Python实现
导入数据
使用Python的pandas库导入数据集。
划分数据集
将数据集划分为训练集和测试集。
预测结果
使用测试集数据对模型进行预测。
特征工程
选择合适的特征并对其进行处理。
训练模型
使用训练集数据训练线性Байду номын сангаас归模型。
一元线性回归-线性回归模型
1
简单线性回归模型
一个自变量和一个因变量之间的线性关
多元线性回归模型
2
系。
多个自变量和一个因变量之间的线性关
系。
3
线性回归模型的假设
包括线性关系、平均误差为零、误差具 有相同的方差、误差相互独立等。
一元线性回归-模型参数估计
1
最小二乘法
通过最小化观测值和模型预测值之间的平方误差来估计模型参数。
2
矩阵求导
使用矩阵求导的方法来计算模型参数的最优解。
3
梯度下降法
通过迭代的方式逐步优化模型参数，使得模型预测值与观测值之间的差距最小。
一元线性回归-模型评估
1
对模型误差的描述
通过各种指标来描述模型预测值和观测
定量分析方法(11-1)
第十一章 回 归 分 析本章以一元线性回归模型为重点介绍回归分析方法，对于一元线性回归模型所建立的理论与方法作适当的修改便可推广到多元线性回归模型。
§1 回归的概念一、变量之间的关系现实中，各种变量相互依赖、相互影响，存在着某种关系。
如：价格与需求量、利率与投资、收入与消费，等等。
大致可以归纳为两类关系：确定性关系（函数关系），非确定性关系（统计关系）。
1. 确定性关系：变量之间存在着某种完全确定的关系。
如：总收益Y 与产量X 之间的关系：X P Y ⋅=当价格一定时，Y 由X 完全确定。
表现在图形上，()Y X ,的所有点位于一条直线上。
一般地：()n X X X f Y ,,21= （多元函数）2. 非确定性关系：变量之间由于受到某些随机因素的影响而呈现出一种不确定的关系。
如：农业产量主要受到降雨量、施肥量、温度等的影响，但决定产量的并非完全是这些因素，还要受到许多其它因素的影响，如冰雹、蝗灾等自然灾害。
非确定性关系可以分为两大类：1) 相关关系：两个变量处于完全对等的位置，且两个变量皆为随机变量，常用相关系数来度量。
如：计量经济学成绩与统计学成绩，物价水平和股票价格，等等。
2) 回归关系：一个变量的变化是另一个变量变化的原因，而不是相反。
如：消费量Y 与可支配收入X 之间便是一种回归关系。
一般来讲，随着可支配收入的增加，消费增加，可支配收入是影响消费的主要因素，但并非唯一的因XYPX Y =素，影响消费的因素还有消费习惯、地区差异、年龄构成、宗教信仰等等。
同样收入的家庭，有的支出多，有的支出少，即使是同一家庭，其每个月的收入相同的话，各个月的支出也不会完全一样。
这样，对应于一个X 的值，Y 有多个不同的值相对应，X 与Y 呈现出不确定性的关系。
此时：()u X f Y += （u 为随机影响）表现在图形上，()Y X ,的点不是完全处于一条直线（或曲线）上，而是围绕在一条理论线的两旁变化。
管理统计学习题参考答案第十一章
十一章1. 解：回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，运用十分广泛。
回归分析按照涉及的变量的多少，分为一元回归和多元回归分析；在线性回归中，按照因变量的多少，可分为简单回归分析和多重回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且自变量之间存在线性相关，则称为多元线性回归分析。
相关分析，相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度，是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。
相关分析和回归分析是研究客观现象之间数量联系的重要统计方法。
既可以从描述统计的角度，也可以从推断统计的角度来说明。
所谓相关分析，就是用一个指标来表明现象间相互依存关系的密切程度。
所谓回归分析，就是根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型，来近似地表达变量间的平均变化关系。
它们具有共同的研究对象，在具体应用时，相关分析需要依靠回归分析来表明现象数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表明现象数量变化的相关程度。
只有当变量之间存在着高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。
由于相关分析不能指出变量间相互关系的具体形式，所以回归分析要对具有相关关系的变量之间的数量联系进行测定，从而为估算和预测提供了一个重要的方法。
在有关管理问题的定量分析中，推断统计加具有更加广泛的应用价值。
需要指出的是，相关分析和回归分析只是定量分析的手段。
通过相关与回归分析，虽然可以从数量上反映现象之间的联系形式及其密切程度，但是现象内在联系的判断和因果关系的确定，必须以有关学科的理论为指导，结合专业知识和实际经验进行分析研究，才能正确解决。
因此，在应用时要把定性分析和定量分析结合起来，在定性分析的基础上开展定量分析。
统计学-第11章一元线性回归学习指导
第11章一元线性回归（相关与回归）学习指导一、本章基本知识梳理基本知识点含义或公式相关关系 客观现象之间确实存在的、但在数量表现上不是严格对应的依存关系。
函数关系 客观现象之间确实存在的、而且数量表现上是严格对应的依存关系。
因果关系有相关关系的现象中能够明确其中一种现象(变量)是引起另一种现象(变量)变化的原因，另一种现象是这种现象变化的结果。
起影响作用的现象(变量)称为“自变量”；而受自变量影响发生变动的现象(变量)称为“因变量”。
因果关系∊相关关系，但相关关系中还包括互为因果关系的情况。
相关关系的种类 按涉及变量多少分为单相关、复相关；按相关方向分为正相关、负相关；按相关形态分为线性相关、非线性相关等。
线性(直线) 相关系数 简称相关系数，反映具有直线相关关系的两个变量关系的密切程度。
()()∑∑∑∑∑∑∑---==2222y yn x xn yx xy n SS S r yx xy相关系数的 显著性检验 ——t 检验 ()().2;,212:0:,0:020221Hn t t Hn t t rn r t HH，拒绝不能拒绝检验统计量-〉-〈--=≠=ααρρ回归方程中的 参数β0和β1为回归直线的截距、起始值，表示在没有自变量x 的影响(即x =0)时，其他各种因素对因变量y 的平均影响；β1为回归系数、斜率，表示自变量x 每变动一个单位，因变量y 的平均变动量。
β1的最小平方估计：∑∑∑∑∑⎪⎭⎫ ⎝⎛--=221x x n yx xy nβ估计标准误差反映因变量实际值与其估计值之间的平均差异程度，表明其估计值对实际值的代表性强弱。
其值越大，实际值与估计值之间的平均差异程度越大，估计值的代表性越差。
()代替。
用大样本条件下，分母可；n n yyS e 2ˆ2--=∑总离差平方和S S T反映因变量的n 个观察值与其均值的总离差。
回归离差平方和S S R 反映自变量x 的变化对因变量y 取值变化的影响；或者说，是由于x 与y 之间的线性关系引起的y 取值的变化，也称为可解释的平方和。
贾俊平《统计学》(第5版)章节题库-第十一章至第十四章【圣才出品】
2．下面的各问题中，哪个不是相关分析要解决的问题（ ）。 A．判断变量之间是否存在关系 B．判断一个变量数值的变化对另一个变量的影响 C．描述变量之间的关系强度 D．判断样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系 【答案】B 【解析】相关分析就是对两个变量之间线性关系的描述与度量，它主要解决的问题包括： ①变量之间是否存在关系；②如果存在关系，它们之间是什么样的关系；③变量之间的关系 强度如何；④样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系。
9．根据你的判断，下面的相关系数取值哪一个是错误的（ ）。 A．-0.86 B．0.78 C．1.25 D．0
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【答案】C
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【解析】相关系数 r 的取值范围是[-1，1]。
10．下面关于相关系数的陈述中哪一个是错误的（ ）。 A．数值越大说明两个变量之间的关系就越强 B．仅仅是两个变量之间线性关系的一个度量，不能用于描述非线性关系 C．只是两个变量之间线性关系的一个度量，不一定意味着两个变量之间一定有因果关 系 D．绝对值不会大于 l 【答案】A 【解析】相关系数的性质有：①r 的取值范围是[-1，1]；②r 具有对称性；③r 的数值
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【答案】C 【解析】在线性相关中，若两个变量的变动方向相反，一个变量的数值增加，另一个变
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量的数值随之减少，或一个变量的数值减少，另一个变量的数值随之增加，即 x 值增大时 y 值随之变小，或 x 值变小时 y 值随之增大，则称为负相关。
一元线性回归分析PPT课件
拟合程度评价
拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧
密程度. ( Y t Y ) ( Y ˆ t Y ) ( Y t Y ˆ t)
n
n
n
(Y t Y )2 (Y ˆt Y )2 (Y t Y ˆ)2
t 1
t 1
t 1
n
(Yt Y)2 :总离差平方和，记为SST;
t1
n
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例
食品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
求和
脂肪Xt 4 6 6 8 19 11 12 12 26 21 11 16 14 9 9 5
热量Yt 110 120 120 164 430 192 175 236 429 318 249 281 160 147 210 120
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回归分析的分类
一个自变量
一元回归
回归分析
两个及以上自变量
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
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一元线性回归模型
(一)总体回归函数
Yt＝0＋1Xt＋ut
ut是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的 随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对Y的 影响。
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
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回归分析的Excel实现
“工具”->“数据分析”->“回归”
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ˆ 0
S ˆ 0
ˆ 1
S ˆ 1
(ˆ0t(n2)Sˆ0)
2
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
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贾俊平第四版统计学-第十一章一元线性回归练习答案
第十一章一元线性回归练习题答案二．填空题 1. 不能；因为该相关系数为样本计算出的相关系数，它的大小受样本数据波动的影响，它是否显著尚需检验；t 检验;2.图1；不能；因为图1反映的是线性相关关系，图2反映的是非线性性相关关系，相关系数只能反映线性相关变量间的相关性的强弱，不能反映非线性相关性的强弱。
三．计算题1.（1） SSR 的自由度是1，SSE 的自由度是18。
（2）2418/6080220/1/==-=SSE SSR F(3)判定系数%14.57140802===SST SSR R 在y 的总变差中，由57.14％的变差是由于x 的变动说引起的。
(4)7559.05714.02-=-=-=R r相关系数为-0.7559。
(5)线性关系显著和：线性关系不显著和y x y x H 10H :因为414.424=>=αF F，所以拒绝原假设，x 与y 之间的线性关系显著。
2.（1）方差分析表df SS MS F Significance F回归分析 1 425 425 85 0.017 残差 15 75 5 － － 总计16500－－－（2）判定系数%8585.05004252====SST SSR R表明在维护费用的变差中，有85％的变差可由使用年限来解释。
（3）9220.085.02===R r二者相关系数为0.9220，属于高度相关（4）x y248.1388.6ˆ+= 分布；显著。
的自由度为t n r n r t 2);12||2---=回归系数为1.248，表示每增加一个单位的产量，该行业的生产费用将平均增长1.248个单位。
（5）线性关系显著性检验：线性关系显著：生产费用和产量之间性关系不显著生产费用和产量之间线10:H H因为Significance F=0.017<05.0＝α,所以线性关系显著。
（6）348.3120248.1388.6248.1388.6ˆ＝＝⨯++=x y当产量为10时，生产费用为31.348万元。
统计学：11 一元线性回归
经管类 核心课程
统计学
11.1.1 变量间的关系
1. 变 量 之 间 存 在 的 不 确 定 的 数量关系称为相关关系 (correlation)。
2. 变 量 间 关 系 不 能 用 函 数 关 系精确表达
3. 一 个 变 量 的 取 值 不 能 由 另 一个变量唯一确定
4.当变量x取某个值时，变量 y的取值可能有几个
5. 线 性 相 关 关 系 时 各 观 测 点 分布在直线周围
y
x
经管类 核心课程
统计学
11.1.1 变量间的关系
相关关系的例子
【例11.3】从遗传学角度看，子女身高(y)与其父 母的身高(x)有很大关系。一般来说，父母身高 较高时，其子女的身高通常也较高，父母身高 较低时，其子女的身高通常也较低。但实际情 况并不完全是这样，因为它们之间并不是完全 确定的关系。显然，子女的身高并不是完全由 父母身高一个因素所决定，还有其他许多因素 的影响，因此二者之间属于相关关系。
4).相关与回归分析正是描述与探索变量之间相关关系 及其规律的统计方法。
经管类
核心课程统计学111.2相关关系的描述与测度
1.相关分析是对两个变量之间线性关系的描述与度量。 2.相关分析所要解决的问题是： (1).变量之间是否存在关系？ (2).如果存在关系，它们之间是什么样的关系？ (3).变量之间的关系强度如何？ (4).样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量
【例11.1】某种产品的销售额(y)与销售量(x)之间的 关系。设销售价格为p，则x与y的关系可表示为 y= px ，是一种线性函数关系。
【例11.2】企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单 位产量消耗(x2) 、原材料价格(x3)之间的关系可 表示为y = x1 x2 x3，它们之间是一种确定的函数 关系，但不是线性函数关系。
管理统计学习题参考答案第十一章
一章1. 解：回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，运用十分广泛。
回归分析按照涉及的变量的多少，分为一元回归和多元回归分析；在线性回归中，按照因变量的多少，可分为简单回归分析和多重回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且自变量之间存在线性相关，则称为多元线性回归分析。
相关分析，相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度，是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。
相关分析和回归分析是研究客观现象之间数量联系的重要统计方法。
既可以从描述统计的角度，也可以从推断统计的角度来说明。
所谓相关分析，就是用一个指标来表明现象间相互依存关系的密切程度。
所谓回归分析，就是根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型，来近似地表达变量间的平均变化关系。
它们具有共同的研究对象，在具体应用时，相关分析需要依靠回归分析来表明现象数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表明现象数量变化的相关程度。
只有当变量之间存在着高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。
由于相关分析不能指出变量间相互关系的具体形式，所以回归分析要对具有相关关系的变量之间的数量联系进行测定，从而为估算和预测提供了一个重要的方法。
在有关管理问题的定量分析中，推断统计加具有更加广泛的应用价值。
需要指出的是，相关分析和回归分析只是定量分析的手段。
通过相关与回归分析，虽然可以从数量上反映现象之间的联系形式及其密切程度，但是现象内在联系的判断和因果关系的确定，必须以有关学科的理论为指导，结合专业知识和实际经验进行分析研究，才能正确解决。
因此，在应用时要把定性分析和定量分析结合起来，在定性分析的基础上开展定量分析。
一元线性回归教案
一元线性回归教案引言一元线性回归是统计学中非常重要的一种回归分析方法。
它能够通过建立一个线性模型，根据自变量的值来预测因变量的值。
本教案将介绍一元线性回归的基本概念、原理和应用场景，并通过示例演示如何进行一元线性回归分析。
目录1.什么是一元线性回归？2.一元线性回归的原理3.数据的处理与准备4.拟合一元线性回归模型5.模型评估与预测6.应用案例分析7.总结1. 什么是一元线性回归？一元线性回归是指只有一个自变量和一个因变量的线性回归模型。
它的数学表达式为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是模型的参数，ε是误差项。
一元线性回归的目标是找到最合适的β0和β1，使得模型对观测数据点的拟合程度最优。
2. 一元线性回归的原理一元线性回归的原理基于最小二乘法，即通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来确定模型的参数。
最小二乘法可以通过求解正规方程来获得最优的参数估计值。
3. 数据的处理与准备在进行一元线性回归分析之前，需要对数据进行处理和准备。
这包括数据清洗、变量选择和数据可视化等步骤。
本节将介绍常用的数据处理方法，以及如何选择适当的自变量和因变量。
4. 拟合一元线性回归模型拟合一元线性回归模型是通过最小二乘法来确定模型的参数估计值。
本节将介绍如何使用Python中的scikit-learn库来拟合一元线性回归模型，并分析模型的拟合结果。
5. 模型评估与预测在拟合一元线性回归模型之后，需要对模型进行评估和预测。
本节将介绍常用的评估指标，如均方误差（MSE）和决定系数（R-squared），以及如何使用模型进行预测。
6. 应用案例分析本节将通过一个实际的数据集来展示一元线性回归的应用场景。
通过分析数据集中的自变量和因变量之间的关系，我们可以建立一元线性回归模型，并对模型进行评估和预测。
7. 总结本教案从一元线性回归的基本概念和原理开始，通过示例和实践对一元线性回归进行了详细讲解。
贾俊平《统计学》配套题库 【课后习题】详解 第11章~第12章【圣才出品】
第11章一元线性回归一、思考题1．解释相关关系的含义，说明相关关系的特点。
答：变量之间存在的不确定的数量关系，称为相关关系。
相关关系的特点：一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定，当变量x取某个值时，变量y的取值可能有几个。
对这种关系不确定的变量是不能用函数关系进行描述的。
2．相关分析主要解决哪些问题？答：相关分析就是对两个变量之间线性关系的描述与度量，它要解决的问题包括：（1）变量之间是否存在关系；（2）如果存在关系，它们之间是什么样的关系；（3）变量之间的关系强度如何；（4）样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系。
3．相关分析中有哪些基本假定？答：在进行相关分析时，对总体主要有以下两个假定：（1）两个变量之间是线性关系；（2）两个变量都是随机变量。
4．简述相关系数的性质。
答：相关系数是根据样本数据计算的度量两个变量之间线性关系强度的统计量。
若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为ρ；若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为r 。
相关系数的性质：（1）r 的取值范围在－1～＋1之间，即－1≤r ≤1。
若0<r ≤1，表明x 与y 之间存在正线性相关关系；若－1≤r <0，表明x 与y 之间存在负线性相关关系；若r =＋1，表明x 与y 之间为完全正线性相关关系；若r =－1，表明x 与y 之间为完全负线性相关关系。
可见当|r |=1时，y 的取值完全依赖于x ，二者之间即为函数关系；当r ＝0时，说明y 的取值与x 无关，即二者之间不存在线性相关关系。
（2）r 具有对称性。
x 与y 之间的相关系数xy r 和y 与x 之间的相关系数yx r 相等，即xy r =yx r 。
（3）r 数值大小与x 和y 的原点及尺度无关。
改变x 和y 的数据原点及计量尺度，并不改变r 数值大小。
（4）r 仅仅是x 与y 之间线性关系的一个度量，它不能用于描述非线性关系。
统计学 第11章一元线性回归
25 2 t 0.8436 7.5344 2 1 0.8436
3. 根据显著性水平＝0.05，查t分布表得t(n-2)=2.069 由于t=7.5344>t(25-2)=2.069，拒绝H0 ，不良贷 款与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系
相关系数的显著性检验
1. 2. 3. 4. 5. 自变量x与因变量y之间具有线性关系 在重复抽样中，自变量x的取值是固定的，即假定x是 非随机的 误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E(ε)=0。对 于一个给定的 x 值，y 的期望值为E ( y ) = 0+ 1 x 对于所有的 x 值，ε的方差σ2 都相同 误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。 即ε~N(0 ,σ2 )
性质4：仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能 用于描述非线性关系。这意为着， r=0只表示两个变 量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没 有任何关系
性质5：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量， 却不一定意味着x与y一定有因果关系
相关系数的经验解释
1. 2. 3. 4. |r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关 0.5|r|<0.8时，可视为中度相关 0.3|r|<0.5时，视为低度相关 |r|<0.3时，说明两个变量之间的相关程度 极弱，可视为不相关 5. 上述解释必须建立在对相关系数的显著性 进行检验的基础之上
粮食单位面积产量y与施肥量x1 、降雨量 x2 、温度x3之间的关系 商品的消费量y与居民收入x之间的关系
商品销售额y与广告费支出x之间的关系
相关关系
(类型)
相关关系
线性相关
正相关 负相关
非线性相关
第十一章 一元线性回归.ppt
在HO成立的条件下，回归系数b服从t分布。
统计量t b / Sb , df n 2.........(.11 3) 其中，Sb S yx / S XX ，称为回归系数标准误
(三)直线回归方程的建立 在x、y的坐标平面上可作出无数条直线，而
回归直线是所有直线中最接近散点图中全部散点
的直线。设样本直线回归方程为：yˆ = a +bx
其中a是的估计值，称为 回归截距；b是β的估计值，
称为回归系数；yˆ i是+βxi的
估计值。
图11—2 直线回归散点图
回归值 yˆi与yi观察值间的偏差（或称残差）为：
Sb S yx / S XX 60.9525/ 1685 1.4849 t b / Sb 21.7122/1.4849 14.62
当df = n-2 = 12-2 = 10,查附表4得
t 0.05(10) = 2.228,t 0.01(10) = 3.169
t = 14.62 > 3.169
函数关系－有确定的数学表达式
直线回归分析
（确定性的关系）
一元回归分析
变
曲线回归分析
量
间 的 关
因果关系 回归分析
多元线性回归分析
系
多元回归分析
多元非线性回归分析
相关关系
（非确定性的关系）
简单相关分析－直线相关分析
平行关系 相关分析
复相关分析
多元相关分析
偏相关分析
主要内容：
第一节 直线回归
2021年统计学(贾5)课后练答案(11-14章)
第11章 一元线性回归分析欧阳光明（2021.03.07）11.1（1）散点图（略），产量与生产费用之间正的线性相关关系。
（2）920232.0=r（3） 检验统计量2281.24222.142=>=αt t ，拒绝原假设，相关系数显著。
11.2（1）散点图（略）。
11.3 （1）0ˆβ表示当0=x 时y 的期望值。
（2）1ˆβ表示x 每变动一个单位y 平均下降0.5个单位。
11.4 （1）%902=R（2）1=e s11.5 一家物流公司的管理人员想研究货物的运输距离和运输时间的关系，为此，他抽出了公司最近10个卡车运货记录的随机样本，得到运送距离要求：(1)绘制运送距离和运送时间的散点图，判断二者之间的关系形态： (2)计算线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。
(3)利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。
解：（1）可能存在线性关系。
（2）x 运送距离（km ）y 运送时间（天） x 运送距离（km ）Pearson 相关性 1.949(**) 显著性（双侧）0.000 N10 10 y 运送时间（天）Pearson 相关性 .949(**) 1显著性（双侧） 0.000 N**. 在 .01 水平（双侧）上显著相关。
有很强的线性关系。
（3）模型非标准化系数标准化系数t 显著性B标准误Beta1（常量） 0.118 0.355 0.333 0.748 x 运送距离（km ）a. 因变量: y 运送时间（天）回归系数的含义：每公里增加0.004天。
11.6 下面是7个地区2000年的人均国内生产总值（GDP ）和人均消费水要求：(1)人均GDP 作自变量，人均消费水平作因变量，绘制散点图，并说明二者之间的关系形态。
(2)计算两个变量之间的线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。
(3)利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。
(4)计算判定系数，并解释其意义。
贾俊平《统计学》复习笔记课后习题详解及典型题详解 第11章~第12章【圣才出品】
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图 11-1 不同形态的散点图
（4）相关系数
通过散点图可以判断两个变量之间有无相关关系，并对变量间的关系形态作出大致的描
有所差异。样本相关系数是总体相关系数的一致估计量。样本相关系数记为 r，其计算公式
为：
r
n xy x y
n x2 ( x)2 n y2 ( y)2
按照上述计算公式计算的相关系数也称为线性相关系数，或 Pearson 相关系数。 ②相关系数的性质 a．r 的取值范围在－1～＋1 之间，即－1≤r≤1。若 0＜r≤1，表明 x 与 y 之间存在正 线性相关关系；若－1≤r＜0，表明 x 与 y 之间存在负线性相关关系；若 r＝＋1，表明 x 与
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y 之间为完全正线性相关关系；若 r＝－1，表明 x 与 y 之间为完全负线性相关关系。可见当 |r|＝1 时，y 的取值完全依赖于 x，二者之间即为函数关系；当 r＝0 时，说明 y 的取值与 x 无关，即二者之间不存在线性相关关系。|r|→1 说明两个变量之间的线性关系越强；|r|→0 说明两个变量之间的线性关系越弱。
b．r 具有对称性。x 与 r 之间的相关系数 rxy 和 y 与 x 之间的相关系数 ryx 相等，即 rxy ＝ryx。
c．r 数值大小与 x 和 y 的原点及尺度无关。改变 x 和 y 的数据原点及计量尺度，并不 改变 r 的数值大小。
述，但不能准确反映变量之间的关系强度。需要计算相关系数来准确度量两个变量之间的关
系强度。
一元线性回归(S).ppt
y)2 y)2
＝1－SSE/SST
• R2∼[0,1] 越接近于1，拟合度越好。
简单回归中，R2与简单相关系数的关系
•判定系数的平方根即皮尔逊积矩相关系数
r (b的符号) r2 •其方向与样本回归系数 b (b1) 相同。 •R说明两变量间关联程度及方向。 •有夸大变量间相关程度的倾向，判定系数是更好的
点估计 区间估计
点估计
对于给定的 X 值，求出 Y 平均值的一个估计值或 Y 的一个个别值。
yˆ 123.15961.0788x 若 x = 169，则：
yˆ 123.15961.0788169
y 59.16 Y
点估计不能提供估计量的精确度。
在样本自变量取值范围之外进行预测要特别谨慎。
区间估计
果，因此可以认为I（即Yi)是在x条件下的正态分布。
回归方程的拟合优度检验- R2
• R2 （Coe. of determination）：决定系数或判定系数。
• 拟合优度的度量。
• PRE意义。表明Y 的变异性能被估计的回归方程
解释的部分所占比例。
•
•
定义式：
r2
SSR SST
( yˆ (y
样本一元线性回归方程： (估计的回归方程)
样本回归系数
yˆ b0 b1x
以样本统计量估计总体参数
Yˆ 0 1X
总体未知参数
线性回归方程的参数估计－最小二乘法
• 所谓最小二乘法就是通过使残差平方和为最小来估计回 归系数的一种方法。
• 回归系数的意义
• b1表示X每增加一个单位 ，Y会增加b个单位；
回归系数的显著性检验X可否有 效地解释Y的线性变化。
H0 : 1 0 H1 : 1 0
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11.1 变量间关系的度量 11.2 一元线性回归 11.3 利用回归方程进行估计和预测 11.4 残差分析
学习目标
1. 相关关系的分析方法 2. 一元线性回归的基本原理和参数的最小
二乘估计 3. 回归直线的拟合优度 4. 回归方程的显著性检验 5. 利用回归方程进行估计和预测 6. 用 Excel 进行回归
全依赖于 x ，当变量 x 取某 个数值时， y 依确定的关系 取相应的值，则称 y 是 x 的 函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量， y 称为因变
?????????
量
x
3. 各观测点落在一条线上
函数关系(几个例子 )
? 某种商品的销售额 y与销售量x之间的关系 可表示为 y = px (p 为单价)
相关系数的经验解释
1. |r|?0.8时，可视为两个变量之间高度相 关
2. 0.5?|r|<0.8时，可视为中度相关 3. 0.3?|r|<0.5时，视为低度相关 4. |r|<0.3时，说明两个变量之间的相关程度
3. 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总
体相关系数，记为 ?
4. 若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数， 简称为相关系数，记为 r
? 也 称 为 线 性 相 关 系 数 (linear correlation coefficient)
? 或称为 Pearson 相关系数 (Pearson's correlation coefficient)
? r =1，为完全正相关 ? r =-1，为完全负正相关
? r = 0，不存在 线性相关关系
? -1? r<0，为负相关 ? 0<r?1，为正相关 ? |r|越趋于 1表示关系越强； |r|越趋于 0表示
关系越弱
相关系数的性质
? 性质2：r具有对称性。即 x与y之间的相关系数和 y与 x之间的相关系数相等，即rxy= ry
本章教学重点与难点
重点
1. 一元线性回归分析 2. 用软件进行回归分析
难点
最小二乘法的原理并用它解决实际问题
11.1 变量间关系的度量
11.1.1 变量间的关系 11.1.2 相关关系的描述与测度 11.1.3 相关系数的显著性检验
变量间的关系
函数关系
1. 是一一对应的确定关系
2. 设有两个变量 x 和 y ，变量 y y 随变量 x 一起变化，并完
3. 当变量 x 取某个值时，变 量 y 的取值可能有几个
? ?
?
??
? ?
?
?
4. 各观测点分布在直线周围
x
相关关系(几个例子)
? 父亲身高y与子女身高x之间的关系 ? 收入水平y与受教育程度x之间的关系 ? 粮食单位面积产量y与施肥量x1 、降雨量
x2 、温度x3之间的关系 ? 商品的消费量y与居民收入x之间的关系 ? 商品销售额y与广告费支出x之间的关系
不良贷款与累计应收贷款的散点图
14
12
款 10
贷8
良 不
6
4
2
0 0
50
100
150
200
固定资产投资额
不良贷款与固定资产投资额的散点图
相关关系的描述与测度
(相关系数)
相关系数(correlation coefficient)
1. 度量变量之间关系强度的一个统计量
2. 对两个变量之间线性相关强度的度量称为简单相 关系数
间的关系？
2. 为解决这些问题，在进行相关分析时，对总体有 以下两个主要假定
? 两个变量之间是线性关系 ? 两个变量都是随机变量
散点图(scatter diagram)
?????????
完全正线性相关
?
? ?
? ?
?
?? ?
正线性相关
???????
完全负线性相关
?? ? ?? ? ? ??
负线性相关
? 性质3：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变 x 和y的数据原点及计量尺度，并不改变 r 数值大小
? 性质4：仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不 能用于描述非线性关系。这意为着， r=0只表示两 个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之 间没有任何关系
? 性质5：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量， 却不一定意味着x与y一定有因果关系
相关系数 (计算公式)
? ? 样本相关系数的计算公式
r ? ? (x ? x)(y ? y) ? (x ? x)2 ?? (y ? y)2
或化简为 r ?
n??xy? x? y
n? x2 ? ?? ?x 2 ? n? y2 ??? y?2
相关系数的性质
? 性质1：r 的取值范围是 [-1,1]
? |r|=1，为完全相关
相关关系(类型)
相关关系
线性相关 非线性相关 完全相关 不相关
正相关 负相关
正相关 负相关
相关关系的描述与测度
(散点图)
相关分析及其假定
1. 相关分析要解决的问题
? 变量之间是否存在关系？ ? 如果存在关系，它们之间是什么样的关系？ ? 变量之间的关系强度如何？ ? 样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之
散点图(例题分析 )
散点图(不良贷款对其他变量的散点图)
14
12
10
款
贷8
良 不
6
4
2
0 0
100
200
不良贷款与贷款余额的散点图
300
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贷款余额
14
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款
贷8
良 不
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0
0
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20
30
40
贷款项目个数
不良贷款与贷款项目个数的散点图141210款贷8
良 不
6
4
2
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10
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累计应收贷款
? ?? ??
?
?? ??
??
非线性相关
? ?? ? ??? ? ? ? ??
不相关
散点图(例题分析)
? 【例】 一家大型商业银行在多个地区设有分行， 其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项 目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来， 该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有 较大比例的增长，这给银行业务的发展带来较 大压力。为弄清楚不良贷款形成的原因，管理 者希望利用银行业务的有关数据做些定量分析， 以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行 所属的 25家分行 2002年的有关业务数据
? 圆的面积 S与半径 R之间的关系可表示为
S=? R2
? 企业的原材料消耗额 y与产量x1 、单位产 量消耗x2 、原材料价格x3之间的关系可表 示为 y = x1 x2 x3
相关关系(correlation)
1. 变量间关系不能用函数关
系精确表达
y
2. 一个变量的取值不能由另 一个变量唯一确定